2021年洛必达法则 泰勒公式

洛必达法则泰勒公式一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此.在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和.由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难.今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理.定理1设（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大.这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达（L' Hospita 1）法则.下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理.再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理.证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定.于是由条件（1）和（2）知，及在点的某一邻域内是连续的.设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式（在与之间）成立.对上式两端求时的极限，注意到时，贝叽又因为极限存在（或为无穷大），所以.故定理1成立.注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即.且这种情况可以继续依此类推.例1求.分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则.解、注最后一个求极限的函数在处是连续的.例2求.解、注例2中我们连续应用了两次洛必达法则.例3求.解、例4求、解、注（1）在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化.因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化.课后请同学们自己学习教材136页上的例10・（2）例4中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果.以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则.对于时的未定式有以下定理.定理2设（1）当时，函数及都趋于零；（2）当时，与都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.同样地, 对于（或）时的未定式，也有相应的洛必达法则.定理3设（1）当（或）时，函数及都趋于无穷大；（2）在点的某去心邻域内（或当时），及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.例5求、解、例6求、解、事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零.注由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是.除了和型未定式外，还有型的未定式.这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明.例7求.分析因为，，所以是型未定式.又因为，.而是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以转化为或型未定式去计算.解、例8 求.分析因为，，所以是型未定式.又因为.而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算•解.注讨论型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论.例9求、分析这是一个幕指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解、例10求.分析由于，，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解、由于，所以.例11求、分析由于，，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解.由于，所以、型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为：或；（或）；（或）；（或）・最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法.当定理的条件满足时，所求的极限当然存在（或为），但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在.也就是说，当不存在时(无穷大的情况除外)，仍可能存在，见下面的例题.例12 求、解这是一个型未定式，我们有.由于上式右端极限不存在，所以未定式的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限不存在.这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限・・由此可见极限是存在的.二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达.说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单.那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过.设函数在点的某个邻域内可导，且，则在该邻域内.用上述的一次多项式去近似表达函数存在两点不足：(1)精确度不高，它所产生的误差仅是比高阶的无穷小；(2)用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的.这时我们就想，是否可以找到一个关于的更高次多项式去近似地表达函数，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题.设函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，并设用于近似表达函数的多项式为、(1)既然我们要用去近似地表达，自然要求在处的函数值及它的直到阶的导数在处的值依次与，相等，即，，…，・这样我们就得到了如下个等式，，，・・・，，即，，，…，.将所求得的多项式的系数，，…，代入(1)式，得、(2)下面的泰勒(Taylor)中值定理告诉我们，多项式(2)就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数f(x),其误差的确变小了.泰勒中值定理若函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意x, 有f(x)二、(3)其中，(4)这里是在与之间的某个值.由(2)式和(3) 式知，，现在只要证明(介于与之间)即可•证由假设知，在内具有直到阶的导数，且、函数与在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、同样，函数与在以及为端点的区间上也满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、继续对函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，如此做下去，经过次应用柯西中值定理后，得(介于与之间，因而也在与之间)、定理证毕.泰勒中值定理告诉我们，以多项式近似表达函数时，其误差为.如果对某个固定的，当时，，则有误差估计式，及.由此可见，当时，误差是比高阶的无穷小，即(5)上述结果表明，多项式的次数越大，越小，用去近似表达的误差就越小，是比高阶的无穷小，并且误差是可估计的.泰勒公式不仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重要的作用，同学们一定要深刻地理解它.到此我们所提出的问题就解决了.多项式(2)称为函数按的專展开的次泰勒多项式，公式(3)称为按的幕展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式，而的表达式(4)称为拉格朗日型余项.当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式(介于与之间).因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成、(6 )的表达式(5)称为佩亚诺(Peano)型余项，公式(6)称为按的幕展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.在泰勒公式(3)中，如果取，则在0与之间.因此可令，从而泰勒公式变成简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Mac 1 aurin)公式、(7)在泰勒公式(6)中，若取，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为、(8)由(7)和(8)可得近似公式、(9)误差估计式相应地变成、(10)例1写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.解因为，所以.把这些值代入公式(7),并注意到，便得、由这个公式可知，若把用它的次泰勒多项式近似地表达为，则所产生的误差为、如果取，则无理数的近似式为，其误差.当时，可算出，其误差不超过.例2求的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.解因为，，，・・・，，所以，，，，・・・，它们顺序循环地取四个数，，，，于是令，按公式(7)得，其中.如果取，则得近似公式，这时误差为、如果分别取和，则可得的次和次近似和，其误差的绝对值依次不超过和.以上三个近似多项式及正弦函数的图形见图4.由图4可见，当时，近似多项式的次数越高，其向函数逼近的速度就越快，这就是泰勒公式的精髓.类似地，我们还可以求出函数和的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：其中；，其中；，其中.由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的得到相应地带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出来.以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以便在今后使用时方便.例3利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.分析利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限，就是把极限中所涉及到的不是关于的多项式的函数，都用麦克劳林公式来表示，然后求其极限.在利用麦克劳林公式计算极限时，自变量的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函数的良好近似.在本问题中，由于分式的分母，因此我们只需要将分子中的和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示即可，其中，.为什么和要展成三阶麦克劳林公式，而不展成其它阶的麦克劳林公式呢？这是因为用麦克劳林公式将分子展成关于的多项式后，分子分母中的最高次幕一定要相等，以便运算.这一点同学们今后一定要注意.解其中仍是比高阶的无穷小，因为.总结由于两个多项式之比的极限比较容易计算，所以人们经常利用泰勒公式把两个复杂函数之比的极限问题转化为多项式之比的极限问题.。

洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。

这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。

洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。

通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。

洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。

洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。

洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。

若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。

示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。

假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。

首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。

总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。

泰勒公式的证明与应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（泰勒公式的证明与应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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本科生毕业论文（设计）册学院专业班级学生指导教师论文编号目录中文摘要、关键词 (Ⅱ)绪论 (1)一、泰勒简介 (1)二、泰勒公式的证明 (2)2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式 (2)2。

2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (3)2.3几种常见函数的展开式 (4)三、泰勒公式应用 (5)3。

1应用泰勒公式求极限 (5)3.2利用泰勒公式证明不等式……………………………………(7)3。

3 利用泰勒公式判断级数、积分的敛散性 (11)3。

4利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (13)3。

5 利用泰勒公式证明函数极值 (14)3。

6利用泰勒公式近似计算求值 (14)3。

6.1 对函数的近似计算 (14)3。

6.2求高阶导数在某些点的数值 (16)3.6。

3求行列式的值 (17)参考文献 (20)英文摘要、关键词 (Ⅲ)泰勒公式的证明与应用摘要本文主要介绍了泰勒公式及其常见的几个函数展开式。

在微积分学中，泰勒定理,是给出了一个近似k次可微函数，通过给定k—阶泰勒多项式点周围。

对于解析函数在某一点的泰勒多项式是有限阶泰勒级数，这完全决定在一些点附近的函数。

泰勒公式的初衷也就是用多项式来近似表示函数在某一点周围的情况,从而可以将复杂的函数在定义域内某一具体点展成我们熟悉的多项式,也即用一个多项式函数去逼近原函数,将误差控制在我们需要的范围内，从而更加有利于我们简化计算、思维方式,从而得到我们想要的答案来解决问题。

泰勒公式的证明及应用(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（泰勒公式的证明及应用(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明…………………… ……。

.3（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二)带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)(三)带有柯西型余项的泰勒公式 (5)(四)积分型泰勒公式 (6)(五)二元函数的泰勒公式.......................................。

.7三、泰勒公式的若干应用 (8)(一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七)利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor 公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用.在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。

在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。

并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式.定义:设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式,称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。

洛必达法则泰勒公式f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是要计算的函数，a是展开点，f'(a)表示函数在a点的一阶导数，f''(a)表示函数在a点的二阶导数，以此类推。

通过使用洛必达法则，我们可以通过计算泰勒级数的前n项来近似计算函数在a点附近的值。

1.洛必达法则只适用于形如0/0或无穷大/无穷大形式的极限计算。

当计算极限时遇到这种情况，可以尝试使用洛必达法则来简化计算。

2.如果一个函数在特定点a处连续，并且它的导数在该点附近存在且有定义，那么这个函数在该点处的极限等于导数在该点的值。

也就是说，如果f(a)=g(a)=0，且f'(a)和g'(a)存在（有限或无穷大），那么f(x)/g(x)的极限为f'(a)/g'(a)。

3.洛必达法则可以迭代使用，即可以多次应用洛必达法则来计算复杂的极限。

如果一个极限形式无法直接应用洛必达法则，可以通过迭代运用洛必达法则来简化极限的计算。

4.使用洛必达法则需要注意，由于洛必达法则只是一种近似方法，所以在使用洛必达法则计算极限时，结果可能只是一个近似值，并不是一个准确的值。

因此，在进行极限计算时，需要将结果验证过程中的任何近似值与准确值进行比较。

洛必达法则的应用广泛，特别是在微积分和数学分析中。

通过洛必达法则，我们可以在计算函数的极限时，通过近似的方式得到一个接近准确值的结果。

因此，洛必达法则被认为是一种非常有用的数学工具，对于解决复杂的极限计算问题有着重要的作用。

洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

求极限过程中洛必达法则的使用技巧发布时间：2021-11-09T03:11:22.761Z 来源：《中国教工》2021年17期作者：李继猛[导读] 文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯李继猛邵阳学院, 理学院,湖南邵阳 422004 文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。

关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。

极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。

理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。

下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。

五、结语极限运算是高等数学中的一种基本运算，贯彻微积分学的始终。

从以上例题分析，极限运算特别是洛比达法则应用于求极限时，一定要检查相应条件是否满足。

同时在求极限时要善于对表达式进行重组，并及时地进行分项运算，从而简化表达式。

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洛必达法则（L'Hopital's Rule）是一种求极限的方法，应用于解决未定式极限问题。

它的核心思想是通过求导和求极限的过程，将未定式转化为可求极限的形式。

洛必达法则的应用范围广泛，是微积分学中的重要知识点。

洛必达法则的基本表述如下：设函数f(x)和F(x)在点a的邻域内可导，且当x趋近于a时，f(x)和F(x)都趋近于零，且F'(x)不为零。

如果当x趋近于a时，极限存在（或为无穷大），那么此时极限的结果为：lim (f(x) / F(x)) = lim (f'(x) / F'(x))换句话说，当两个函数在某一点附近趋近于零时，我们可以通过求导并求极限的方式，来确定这两个函数的比值的极限。

在使用洛必达法则时，需要注意以下几点：1. 检查是否满足使用条件：在使用洛必达法则之前，首先要确保给定的函数满足极限存在的条件，如0/0或∞/∞型未定式。

否则，滥用洛必达法则会产生错误。

2. 连续多次使用：洛必达法则可以连续多次应用，直到求出最终的极限。

每次应用洛必达法则时，都要确保满足使用条件。

3. 适用范围：洛必达法则适用于解决一系列未定式极限问题，但并非所有极限问题都可以用洛必达法则求解。

当极限形式不满足0/0或∞/∞时，洛必达法则不适用。

此时，需要寻求其他求解方法，如泰勒公式等。

4. 化简结果：在求解过程中，可能需要对结果进行化简，以得到最终的极限值。

5. 举例说明：例如，求极限：lim (sin x / x)我们可以先求导，得到：lim (sin'(x) / 1) = lim (cos x / x) 再求导，得到：lim (cos'(x) / 1) = lim (-\sin x / x^2) 继续求导，得到：lim (-\cos x / 2) = lim (-\sin'(x) / 2x) 最后，我们可以看到，当x趋近于0时，极限存在，且满足洛必达法则的条件。

洛必达法则的公式泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，由英国物理学家泰勒-洛必达在19年首先提出。

该定律用来解释一个简单机械系统中液体和空气之间的力学运动。

该定律表述为：动能守恒定律，指运动系统中的动能保持不变。

这就意味着，动能受到外部力的作用下不变，同时，系统中物体之间可能存在非位能作用，比如离心力和空气阻力。

泰勒-洛必达法则将物体之定义为在任何时间t中可能改变的变量的函数的总和。

这个变量就是泰勒-洛必达公式的乘数，用符号P表示。

而等号右边就是物体的动能，也就是所谓的“动能定律”。

通过定义上述的变量和动能的定义，我们可以得到泰勒-洛必达公式的表达形式：P =K+V+U其中，K是物体的动能，V是物体的动量，U是物体的位能。

K受到外部力的作用，永远是恒定的。

V和U受物体本身减速和空气阻力的影响，随时间改变而改变。

因此，总而言之，注意动能定律总是保持不变，即：K+V+U = constant泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，既能够解释物体的运动，又能够说明物体的动能是一个恒定的值，受到外部力的作用才会改变。

在机械系统的研究中，它也被广泛使用，以揭示物体在不同力学系统中的运动表现。

因此，泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，不仅仅被用于物理研究，也可以用于其他领域，比如力学分析，系统分析和计算机科学中。

总而言之，泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，用于诠释力学系统中的动能定律，其公式表达形式为：P=K+V+U，这就意味着动能守恒定律，其位能和动能定义的变量就成为泰勒-洛必达公式的乘数。

它的重要性和杰出性在于可以有效地推导出物体在力学运动中的行为，从而解释物体之间的相互关系和规律，为人们提供了一种有效的分析和理解物理现象的方法。

洛必达法则与泰勒公式一、洛必达法则 定义：若函数和满足下列条件： ⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞或），则适用对象：，型未定式。

（其它类型未定式：，，，，等，可通过简单变换而转化为，型未定式。

注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。

但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz －Ces àrotheorem ）作为替代。

求极限. 1ln lim 1+--→x x x x x x求极限求极限求极限211)1(ln lim 111)1(ln lim 2211-=-++=--+=→→x xx x x xx x xx x x x 解：.1lim21100x x ex-→0!50lim 50lim lim lim ,1t t 49t 50t 50t 2=====+∞→=+∞→+∞→+∞→-+∞→t t t tee t e t e t x则原式可化为解：令.)4cos 2(sin lim x x xx +→∞2001)14cos 2(sin 010)1(2)4sin 42cos 2(lim 14cos 2sin lim lim )4cos 2(sin lim 13(,01e t tt t et t e u x t t t tt t t tt v u v ==-=-+=+==→=→→-+→→-故原式又因为原式种方法）得见求极限的则由公式解：令.cos sin 1lim 20x x xx -+→二、泰勒公式泰勒公式是求数学极限的重要技术性工具，我们要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心注：对以上公式进行处理，可得到一组“差函数”的等价无穷小替34cos 24lim sin 24lim cos 12lim cos sin 1cos sin 1lim0022020=+=+=-+=-+++=→→→→x x x xx x x x x x x x x x x x x x ）（解：原式)0(→x )(!2)1(1)1()(!31!211)(3121)1ln()(31arctan )(61arcsin )(31tan )(!41!211cos )(61sin 2233233233333344233x o x x x x o x x x e x o x x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x+-++=+++++=++-=++-=++=++=++-=+-=αααα换式：如求极限 解：原式原式又即原式求极限. 解：等（，（同理有（，则如),061~arcsin )031~tan )061~sin )(61sin 33333→-→-→-+=-x x x x x x x x x x x x x o x x x .)1tan (lim 2n n nn →∞01,lim 1tanln 2→==∞→nt e nn n n 令3tan 21tan 2lim lim lim tan lnt t t t t teee n n t t tn --∞→∞→∞→===)(31tan 33t o t t t ++=31)(31lim tan lim 333=-++=-∞→∞→t tt o t t t t t n n 31=)]1ln()1([lim 220ax a xx a x +--→)()(21)1ln(2x o ax ax ax +-=+求极限 解令利用展开式可得故原式= 求极限 解：方法一；洛必达法则21)2121(lim ))]()(21)(1([lim )]1ln()1([lim 24302220220=-+=+---=+--=→→→x a a x a x o ax ax a x x a ax a x x a x x x 原式)(lim 656656x x x x x --++∞→故时，于是，当,0t x ,1+→+∞→=tx ])1()1[(t1)(6161656656t t x x x x --+=--+)(1)1(t o t t ++=+αα)(611)1(),(611)1(6161t o t t t o t t +-=-++=+31)(31lim ])1()1[(t 1lim 061610=+=--+==→→t t o t t t t t .)1ln(sin 1tan 1lim 20xx x xx x -++-+→方法二；泰勒公式2121lim )111(2lim ))1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 0020020-=-+=-+=-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→xx x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 原式21)(21(221lim))(21(221lim)(21)1ln())1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 222022202220020-=+-=-+-=+-=+-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→）原式得由原式x o x x x x o x x x x o x x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x上篇练习题答案讲解1、求极限 解：方法一；洛必达法则方法二；利用公式求极限 解求极限.,,2,1i ,0,)(lim i 21n a na a a xnx nx x n =>+++∞→其中nx nx x nxn x x n xn x x n xn x nx xn a a a a a a a a a a a a n na a a x n n a a a 212122112121}ln ln ln lim exp{)}ln(lim exp{)(lim =++++++⋅=+++=+++→∞→∞→∞型）∞-=1}()1ex p{(v u u v nn xn x x n x nxx n xn xnxx n a a a a a a x na a a xnn a a a n a a a 2121212121}exp{ln }lim exp{)1(lim exp{)(lim ==-+++=-+++=+++∞→∞→∞→.)111(lim 2nn nn ++∞→.)}1n 1(lim exp{原式＝2en n n =+⋅∞→.,,,,lim 1均为正整数其中q p n m xx x x qpn mx --→解：)()(11111111lim lim lim 111111111111111p q mn m n pq qp n m xq x p xn x m x x x x x x x x q p n m x qpnm x q p n mx --=--=--=--=------→→→。

cx k利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限之比较摘 要 通过实例说明，在利用洛必达法则和麦克劳林公式求函数极限时，应因题目不同而加以选 择，同时在求极限的过程中，如果糅合代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分 离岀来等等方法，有可能大大简化求极限的计算过程.关键词 洛必达法则；麦克劳林公式；求极限；比较关于洛必达法则和含 x 的幕展开的带有佩亚诺型余项的泰勒公式(也就是麦克劳林公 式)，以及利用它们求函数极限所必须满足的条件，这里均不赘述.本文意图通过实例说明，利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限，各有各的优势，同时如果糅合代数式的恒等变形、 无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法， 有可能大大简化求极限的计 算过程.当然，利用上述两种方法求函数极限也有其局限性， 本文将就具体例子对利用这两种方法求函数极限作一比较.例1当X -； 0时，函数f(x) =3sin X -sin 3x 与cx k 是等价无穷小，求c, k . 解法一利用洛必达法则.由等价无穷小的定义知lim 丄^ =1,这里c= 0,k ■ 0 •记I = lim 丄^ •第一次利用 T CX kTCX k3cos x - 3cos3 x.洛必达法则，有I = lim刁；注意到上式分子趋于零，因而分母必趋于零，x )0ckx且当k 1时可再次利用洛必达法则，即有I 二lim ~3sin x 9si k n 23x；同样上式分子趋于t ck(k-1)x零，因此要求分母趋于零，则当k 2时，可第三次利用洛必达法则，即I =l i m " co 爲匚铝s 此时可见分子当x > 0时趋于24,因而不满足洛必达法则的 —ck (k 一1 )k (一 x )条件.要使得当I =1时，则必有k -3 = 0,ck(k -1)(k -2) = 24.故解得k = 3, c = 4 .解法二利用麦克劳林公式展开.3If (x)二 3sin x -sin 3x =[3xx o(x )] -[3x (3x) o(x )] = 4x o(x )! 3!则当 k =3,c = 4 有 I =lim 4x —=1 .或注意到 f(x) = 4x 3o(x 3)，即xTk3f (x) ~ 4x ，故有 k = 3, c = 4 .比较上两种方法，方法二似乎简单一些，但以笔者多年来的教学经验看，初学者(大 一新生)会有把sinx 和sin 3x 展开到多少阶为合适的问题.比如，把3sinx 和sin 3x 分别展开为3sin x = 3x ■ o(x)和sin 3^ 3x o(x)，贝y f (x)二o(x).这样的展开不仅对求解该题无任何帮助，反而会得出错误结果. 若将两者展开到比方法二更高阶， 即四阶及四阶以 上,则必出现冗余.因此方法一对初学者而言不失为一种较为稳妥的方法，尽管步骤看起来a sec x bsin x-2 c 1 -x22dxe 」a 1b 0-2c “ c2d 01-0-2c=2，即得a 二-4c，选D.解法二利用麦克劳林公式将展开•考虑到当x「. 0时tan x = x o(x),1 2 21 -cosx x o(x )2 ,ln(1-2x)ax o(x) ；x2o(x2)ax o(x)=lim 2 2 limx Q -2cx o(x) dx o(x ) x* -2cx o(x) -2c=2 , 即得a = -4c，选D.2xcosx22x 1 -x2kx二2limx )0/ 3、 2(x-x)COSX -xk」kx• limx—.011 -x2多一些.例2已知I =lim atanx mi-cosx、=2，则下列四个结论正确的是( ).Tel n(1—2x) +d(1—e」)(A) b =4d ； (B) b - -4d ； (C) a =4c ； (D) a - -4c .解法一利用洛必达法则•注意到该极限适合洛必达法则，故由洛必达法则有从例2可以看出，用洛必达法则更好•因为初学者同样面临与例1相似的问题一一将函数展开到多少阶为合适的问题.那么可否认为用洛必达法则求极限比用麦克劳林公式求极限更有效呢？例3当Xr 0时，试确定无穷小f (x) = sinx2ln(1-x2)的阶.解法一用洛必达法则.这里设k ■ 0，并记| =lim丄単，则T x1这里，上式中已将因式一7分离出来，因为它的极限为1.故当k 1时，对上式再次利1 — x用洛必达法则得到2 23 2(1-3x)cosx -2x(x-x)sinx -1k(k _1)x k<此时可以看出上式还可以用洛必达法则，但是分子过于复杂.若当k 2时对上式再次利用洛必达法则，解题者将陷入繁琐的求导境地. 事实上，考虑用麦克劳林公式将函数展开，则将另有一番天地.解法二利用麦克劳林公式展开.2 1 6 6 2 1 4 1 6 6 1 4 4f (x)二[x x o(x )] [-x x x o(x )] x o(x ),3! 2 3 2 1即有f (x) ------ x4(X T 0 ).因此f (x)为X T 0时x的四阶无穷小.2当然，对有些题目而言，两种方法均可使用，计算均简单.1一 11 t，则 I 二 lim 上J n(1 ° 二 lim T t 2 T 2tt 2 利用麦克劳林公式展开.1 1 11 因 ln(1 丄)=丄—1(-)2xx 2 x解法o((-)2) ，故有x注：例4解法一中先做变量代换求极限I = lim^^0x(1 cosx) ln(1 x)ln(1 x) ~ x(x —； 0),故有 I = limx T2xX .此时如果考虑用洛必达法则，即有(j)X= lim 3cosx xcos 丄」sin 」x 102x 2 x21例4求极限|=i )m[x —x ln(1 + )]-解法一作变换后用洛必达法则.I =lim[x —x 2Q 一 2 x 匚 x2xx 2x = 1之后，再用麦克劳林公式将 ln(1 - t)展开为1 2 2t- t o(t )，这样对学生理解为什么把In(1 t)展开到二阶是有帮助的.因为分母中含222t ，而t 是t > 0时的二阶无穷小，这可以解开学生在利用麦克劳林公式展开函数求极限 时展开到多少阶的困惑.有些题目两种方法均不能使用，如下例5,那只能另辟蹊径了•我们可以考虑利用代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法， 再用上述两种方法，以期简化计算.3sin x x 2cos一 一 一 一 一 1分析 本例用麦克劳林公式展开求极限是行不通的，因为COS —在x = 0处不可能展x开.考虑到lim (1 cosx) = 2 ,故先分离函数(1 cosx)并求出其极限.又注意到X —3sin x x 2cos 11 2 13cosx 2xcos x sin x x21 .,,而极限lim sin 1不存在.因此本例用洛必达法则是行不通的，其原因是不符合洛必达法则3sin x 2x1 XCOS — xT x的第三个条件，即要求求导后的极限存在或为无穷大.正确解法如下：3sin x x21 cosIn x (x_1)ln xe (e1)In x xln xe -e注意到 In xlim eX 1=1 , lim/x 「1）l n x = 0 ,故先求分子中e lnx（也就是x ）的极限，同时把无穷小考虑到 In =ln[1 (1 -x)] ~ 1 - x (x 》0)，故有 I = lim (X 一1) J x —In x —1,再用洛必达法则求之得到..2(x -1) =lim X —11 1——x=lim 2X12 . x 1x -1 求极限I 二lim〔X 2 一 、2X 2(cosx -e") sin x 21此处后一极限为零的原因是， COS 为有界变量，x 为Xr 0时的无穷小.xX例6 求极限I = lim一H —x +ln x分析 若用洛必达法则，分子求导繁琐，而利用麦克劳林公式展开又要作变换，也较 繁•考虑用恒等变形，之后用无穷小替换，再用洛必达法则.I 二 limlimJ 1 1 — x l n x x 1x — l n x — 11用与之等价的无穷小（x "）lnx替换，得到下式I=l x m 1X^，又分析将COSX 禾口X2e x麦克劳林展开，并分离有理化因子，得到X—1[(1< 彳、21 +^x2j _(1 +x2)I 2丿1x2o(x2))「(1 x2o(x2)]x22______ 11 1 x2J x22-3x2o(x2)2112可将分子有理化（事实上就是代数式恒等变形），分母中的Sin X2用无穷小替换,当然，例7也可直接将分子中的 d X2麦克劳林展开求之.例8的解法将会用到：分离极限存在的函数、无穷小替换、变量代换、洛必达法则.例8 求极限I . lim[sin^sin（S4in x）]sinx .解 I =lim [sinx —sin(sinx)]s i nx • lim [sin x -sin(sin x)]=lim3x )D(sinx)3=limt刃 t 「sin t t 31..1 「cost 广-2 =lim lim3t 2t 03t 2上式中，第一步是分离极限存在的函数16 •业,并求出其极限，第二式是将第一式中x 3最后得出结论.解注意到lim xln^_D'士空L D ，故有IxlnIn 2 cos x-1)3x 23x 2的用(sinx)3替换，第三式是用变量t 替换变量sinx ，第四式是对第三式用洛必达法则而得,1 2第五式再次用到无穷小替换 1 - cost ~ t 2(x —； D)，I = limX [0cosx —1 二 limx )D例9纯粹用到恒等变形和无穷小替换，没有用到洛必达法则和麦克劳林公式.参考文献[1]同济大学应用数学系•高等数学[M] •北京：高等教育出版社，2DD7例9求极限，即。

极限的计算方法洛必达法则和泰勒展开洛必达法则和泰勒展开是数学中极限的计算方法，它们在求解复杂函数的极限问题时非常有用。

本文将详细介绍这两种计算方法的原理和应用。

一、洛必达法则洛必达法则是一种计算不定型极限的方法，它是由17世纪法国数学家洛必达提出的。

当我们计算一个函数的极限时，如果得到的是0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以运用洛必达法则来求解。

洛必达法则的思想是利用两个函数的导数之商来逼近函数的极限，具体步骤如下：1. 若极限形式为0/0或无穷大/无穷大，先对分子函数和分母函数分别求导；2. 如果导数的极限存在，即可得到原极限的结果。

如果导数的极限不存在，或者求导后的函数仍然为0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以继续使用洛必达法则。

以下是一个应用洛必达法则求解极限的示例：设函数f(x) = (sinx - x)/x^3，求lim(x→0) f(x)的极限。

解：首先对函数f(x)分子分母求导，得到f'(x) = (cosx - 1)/x^3 - 3sinx/x^4。

然后计算极限lim(x→0) f'(x)，仍然得到0/0的形式。

再次对f'(x)进行求导，得到f''(x) = (-2sinx - 9cosx)/x^4 +12sinx/x^5。

继续计算极限lim(x→0) f''(x)，仍然得到0/0的形式。

最后再对f''(x)求导，得到f'''(x) = (-16sinx - 4cosx)/x^5 -60cosx/x^6。

继续计算极限lim(x→0) f'''(x)，得到极限值为-4/3。

因此，lim(x→0) f(x)的极限为-4/3。

二、泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法。

根据泰勒定理，如果一个函数在某点处存在各阶导数，则可以用一个多项式逼近该函数。

泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + R_n(x)其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f^(n)(a)表示函数在点a 处的n阶导数，R_n(x)为余项。

洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.定义:求待定型的方法(与此同时);定理:若f(x)与g(x)在(a,a+)上有定义,且f(x)= g(x)=0;并且与在(a,a+)上存在. 0 且=A则= =A,(A可以是).证明思路: 补充定义x=a处f(x)=g(x)=0则[a,a+) 上==即x时,x,于是=3.2.2 定理推广:由证明过程显然定理条件x可推广到x, x,x。

所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。

3.2.2 泰勒公式泰勒公式是微分学中的重要内容，是利用高阶导数处理函数的估值和极值的重要工具．利用泰勒公式可以更精准地讨论函数的性态．一. 麦克劳林公式及其应用1.麦克劳林公式设函数()f x 在点0x =处n 阶可导（2n ≥），我们来用洛必达法则推广微分公式()()()()00f x f f x o x '=++.事实上，如果()f x 在点0x =处二阶可导，则()f x '在点0x =处连续,由洛必达法则和二阶导数定义有()()()()()()20000limlim22x x f x f f x f x f f x x →→'-+⎡⎤''''-⎣⎦==. 所以，存在点0x =的某邻域()0U ，对任意()0x U ∈，有()()()()()20002f x f f x f x x α'-+⎡⎤''⎣⎦=+（其中()0lim 0x x α→=）． 最后，因为()22()x x o x α⋅=，就得到()()()()()220002!f f x f f x x o x '''=+++. 当()f x 在点0x =处三阶可导时，()f x ''在0x =连续，由洛必达法则与二阶导数的定义有，()()()()()()()23200000002!lim lim 3x x f f x f f x x f x f f x x x→→''⎡⎤'-++⎢⎥''''-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦= ()()()000lim 323!x f x f f x →'''''''-==⋅. 从而，()()()()()()23300002!3!f f f x f f x x x o x ''''''=++++，()0x U ∀∈.归纳可得，定理3.2.3（带佩亚诺余项的麦克劳林展开定理）若()f x 在点0x =处n 阶可导时，存在0x =的某邻域()0U ，对任意()0x U ∈有()()()()()()()()23000002!3!!nnn f f f f x f f x x x x o x n ''''''=++++++L ． （3.2.2）这个公式称为麦克劳林公式，它在计算高阶未定式极限时十分有用．将函数()f x 写成（3.2.2）式右端的形式，称为将()f x 展开，（3.2.2）式被称为()f x 在点0x =处的一个n 阶展开式.，()n o x 称为展开式中的佩亚诺余项.2.常见函数的麦克劳林公式我们要熟悉几个常见函数的麦克劳林公式． 命题3.2.1 在0x =的某个邻域中，有 （1）211e 1()2!!x n n x x x o x n =+++++L ； （2）3511sin 3!5!x x x x =-+-1212(1)()(21)!m m m x o x m ---++-L ；（3）2411cos 12!4!x x x =-+-221(1)()(2)!m mm x o x m +-++L ；（4）2311()1n n x x x x o x x=++++++-L ； （5）12311(1)ln(1)()23n nn x x x x x o x n--+=-++++L ； （6）2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x o x n ααααααα---++=+++++L L ．这些结果都是不难验证的，例如，因为()()ee n x x=，()()00ee 1n x x ===，0,1,2,n =，代入公式（3.2.2），就得到（1）．有了这些公式，只要保持自变量在点0x =的邻域内，就可以间接地获得其他等式．例如：在（4）中，用x -代换x 就得到()2311(1)1n n n x x x x o x x=-+-++-++L ． 进而，再用2x代换x 又得()2311111(1)222222212nn nx x x x o x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+L ． 根据需要，可以按给定的n 写出等式．例如，当x 在∞邻域时，取2n =，有2211111111x o x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+.3.用麦克劳林公式计算极限的例子例3.2.12 计算极限：（1）2240cos elimx x x x -→-； （2）20e ln(1)lim x x x x x →-+．解 把22cos ,ex x -，e ,ln(1)xx +按麦克劳林公式展开到适当的阶数，之后进行等量代换，这不是等价无穷小替换，因此可以在加减运算中进行.（1）2240cos elimx x x x -→-2242255411()1()2!4!22!2limx x x x x o x o x x →⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-+-+-+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦=45401()12lim x x o x x→-+=112=-． （2）20e ln(1)lim xx x x x →-+()22201()()2lim x x x x o x x o x x →⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭=22203()32lim 2x x o x x →+==．例 3.2.13 当,a b 为何值时，()cos sin x a b x x -+是x 的五阶无穷小量（当0x →时）？解法一（用洛必达法则） 设5(cos )sin lim0x x a b x xA x →-+=≠，则5(cos )sin limx x a b x xA x→-+= 2401(cos )cos sin lim 5x a b x x b x x →-++=（分子的极限必须为零，得10a b --=） 303sin cos (cos )sin lim20x b x x a b x xx →++=204cos lim 20x a b x x→+=（分子的极限必须为零，得40a b +=） 04sin lim 4010x b x b x →-==-． 综上所述，41,33a b ==-，进而130A =．解法二（用麦克劳林公式）将cos ,sin x x 的麦克劳林公式展开到5x ，代入并整理得()2435555cos sin 1()()2!4!3!5x x x x x a b x x x a b o x x o x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+=-+-++⋅-++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦355216(1)()63120a b a b a b x x x o x +⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．为使上式成为x 的5阶无穷小量，当且仅当102063160120a b a ba b⎧⎪--=⎪⎪+=⎨⎪+⎪≠⎪⎩， 解得41,33a b ==-．二. 泰勒公式式（3.2.2）指出，若()f x 在点0x =处n 阶可导，那么可以构造一个n 阶多项式()()()()()()()23000002!3!!nnn f f f P x f f x x x x n ''''''=+++++L ，这个多项式在点0x =的某邻域里代替微分式中的一次多项式()0f +()0f x '，能更好地逼近()f x ，其中，()()00n f P =，()()()()00i i n f P =（1,2,,i n =）.如果令()()()n n R x f x P x =-，则()n R x 反映了点0x =的某邻域上两个函数取值的误差，特别地()00n R =，()()00i n R =（1,2,,i n =）.为了更清楚地表示这个误差，我们假设()f x 在0x =的某邻域()0U 上有1n +阶导数，反复运用柯西中值定理可以得到()()()()()()()()()()()()()()11121111112000111011!n n n n n n n n n n n n n n n n R x R x R R R R R R x x n n n n n n ξξξξξξξ++++-'''''--======-++-+++，这里10n x ξξξ<<<<<L ，或10n x ξξξ<<<<<L .于是()()()()111!n n n n R R x x n ξ++=+，其中ξ还可以表示为x ξθ=（ξ对应某个值()0,1θ∈）.将()()()n n R x f x P x =-代到上式中，也就得到定理 3.2.4（带拉格朗日余项的麦克劳林公式）设()f x 在点0x =的某邻域()0U 内存在1n +阶导数，那么对任意()0x U ∈，存在ξ介于,0x 之间，使得2(0)(0)()(0)1!2!f f f x f x x '''=+++L ()(0)!n n f x n +(1)1()(1)!n n f x n ξ++++． （3.2.3）（3.2.3）式称为()f x 在的带拉格朗日余项的麦克劳林公式，其中()(1)1()(1)!n n n f R x x n ξ++=+称为拉格朗日余项.对于一般的点0x ，可以用“平移”的方法从（3.2.2）式和（3.2.3）式获得更一般的结论.事实上，对于高阶可导的函数()f x ，只要令()0()t f t x ϕ=+，其中0t x x =-，则()()t f x ϕ=，从而()0(0)f x ϕ=，()()()0(0)i i f x ϕ=（1,2,,i n =），()()0()nn o to x x =-，()(1)(1)00110()()()(1)!(1)!n n n n f x x x t tx x n n θϕθ+++++-=-++，代入()()()()()()()()23000002!3!!n n n t t t t t o t n ϕϕϕϕϕϕ''''''=++++++L和()()()()()()()(1)231000()002!3!!(1)!n n nn t t t t t t t n n ϕϕϕϕθϕϕϕ++''''''=+++++++L ，立即就有：定理3.2.5（带有佩亚诺余项的泰勒公式) 若函数()f x 在点0x x =处具有直到n 阶导数，则存在0x 的一个邻域()0U x ，对任意()0x U x ∈，有()20000000()()()()()()()()1!2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-L()0()n o x x +-． （3.2.4）定理3.2.6（带有拉格朗日余项的泰勒公式）设()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内存在1n +阶导数，那么对任意()0x U x ∈，存在ξ介于0,x x 之间，使得200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+L ()00()()!n n f x x x n +-(1)10()()(1)!n n f x x n ξ+++-+． （3.2.5） （3.2.4）式和（3.2.5）都称为()f x 在点0x 处（或按()0x x -展开）的n 阶泰勒公式，泰勒公式中的多项式()n P x 200000()()()()()1!2!f x f x f x x x x x '''=+-+-+L ()00()()!n n f x x x n +- 称为泰勒多项式，系数()()000(),(1,2,,)!i i f x a f x a i n i ===L 称为泰勒系数. 泰勒公式中的佩亚诺余项为()0()no x x -，拉格朗日余项为(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+其中00(),01x x x ξθθ=+-<<.当00x =时泰勒公式成为麦克劳林公式．显然，微分公式0000()()()()(())f x f x f x x x o x x '=+-+-正是1n =时的带佩亚诺余项的泰勒公式；拉格朗日公式00()()()()f x f x f x x ξ'=+-就是0n =时的带拉格朗日余项的泰勒公式，因此定理3.2.5和定理3.2.6也称为泰勒中值定理.当()f x 恰好是n 阶多项式时，(1)()0n f x +≡，因此()0n R x =.泰勒公式的用途很广，用法很直接.以例3.1.8为例，设1202x x x +=，则()f x 在点0x 处的泰勒展开式为20000()()()()()()2f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-，ξ介于0,x x 之间． 将12,x x 代入得211001010()()()()()()2f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-， 222002020()()()()()()2f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-.再两式相加得212121200()()()()2()2()222f f x x f x f x f x f x ξξ''''+⎡⎤⎛⎫+=++> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1222x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又如，设()f x 在点x 处二阶可导，为求2()()2()limh f x h f x h f x h →++--（见例3.2.7），写出()f x h +和()f x h -在点x 处的二阶泰勒公式，有22()()()()()2!f x f x h f x f x h h o h '''+=+++， 22()()()()()()()2!f x f x h f x f x h h o h '''-=+-+-+．两式相加得22()()2()()()f x h f x h f x f x h o h ''++--=+，从而22200()()2()()lim lim ()()h h f x h f x h f x o h f x f x h h →→⎛⎫++--''''=+= ⎪⎝⎭． 一般来说，带佩亚诺余项的泰勒公式主要用于计算极限，带拉格朗日余项的泰勒公式主要用于证明不等式（见阅读材料3.2.2）和估计误差.三*. 带拉格朗日余项的麦克劳林公式及其应用将定理3.2.6应用于具体函数，就得到：命题 3.2.2 几种常见函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式（式中01θ<<）：（1）2111e e 12!!(1)!x xn n x x x x n n θ+=++++++，x ∈R ； （2）3511sin 3!5!x x x x =-+- 12121(1)(1)cos (21)!(21)!m m m m x x xm m θ--+--++-+，x ∈R ； （3）2411cos 12!4!x x x =-+- 1222(1)(1)cos (2)!(22)!m m m m x x xm m θ++--+++，x ∈R ； （4）1232111(1)n nn x x x x x xx θ++=++++++--，1x <； （5）12311(1)ln(1)23n nx x x x x n--+=-++++11(1)11(1)n n n x n x θ++-⋅++，1x >-； （6）2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x R x n ααααααα---++=+++++，其中11(1)()()(1)(1)!n n n n R x x x n ααααθ--+--=++，1x >-.函数的在点0x 的泰勒公式既可以直接通过高阶导数计算，也可以间接地通过麦克劳林公式的结论获得.事实上，只需像定理3.2.6的证法一样，在（3.2.3）式的右端用0x x -代替x ，就可以用0x 代替0，()00x x x θ+-代替x θ.例 3.2.14 求函数()ln f x x =按()2x -的幂展开的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式.解法一（直接法） 因为()()1(1)1!()n n nn fx x ---=，故(2)l n f =，()()1(1)1!(2)2n n nn f---=，()()()121!2n n nf n n --=，所以()()()()()()()1211211(1)(1)ln ln 222222222122n n n n n n x x x x x n n x θ-++--=+---++-+-⋅⋅++-（01θ<<）.解法二（间接法） 根据命题3.2.2（5），()()2ln ln 22ln 212x x x -⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2ln 2ln 12x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2111212(1)2(1)12ln 2222212212n n n n n x x x x n n x θ+-+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛-⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()()1211211(1)(1)ln 222222222122n n n n n n x x xx n n x θ-++--=+---++-+-⋅⋅++-（01θ<<）.例3.2.15设()f x =，求(98)(0)f ，(99)(0)f .解 利用()1x α+的麦克劳林公式（见命题3.2.2（6））得到：()1221x-=+242211111(1)(1)(1)1222221()22!!n n n x x x R x n --------+⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭L L2112x =-+()422221(2)!132!2(!)2nn nn x x n -⋅++⋅⋅L 2()nR x +． 当49n ≥时，就可以求出9899,a a ．显然，因为展开式中没有奇数项，故系数990a =．又因为()49(98)98298198!(0)98!(49!)2f a -⋅==⋅，就有2(98)298(98!)(0)(49!)2f =-⋅．泰勒公式能使某数或函数的近似值达到“任意精确”的程度，也就是说，在给定精确度的前提下，带拉格朗日余项的泰勒公式能给出近似值，并控制误差．例3.2.16（1）计算e 的近似值，使误差不超过610-； （2）证明e 是无理数． 解（1）因为2111e e 12!!(1)!x xn n x x x x n n θ+=++++++，01θ<<． 取1x =得11e e 112!!(1)!n n θ=++++++， 其中误差(1)n R θe (n+1)!=<e (1)!n + 3(1)!n <+.为使6(1)10n R -<，只要6310(1)!n -<+，即6(1)!310n +>⨯，取9n =，则6(1)!3628800310n +=>⨯，从而，11e 11 2.71828152!9!≈++++≈． （2）由于11ee 112!!(1)!n n θ⎛⎫-++++= ⎪+⎝⎭（01θ<<）， 两边同乘以!n 便得：()e !e !!(1)311n n n n n n θ-++-++=+，若e 为有理数，即e pq=（,p q ∈N ，互质），则可取n 使n q ≥，则上式左端为整数，而右端当2n ≥时不是整数（因e 011n θ<<+），矛盾．故e 必为无理数．证毕. 例3.2.17 讨论以泰勒多项式来近似正弦函数sin x 时的误差．解 3511sin 3!5!x x x x =-+-1212(1)()(21)!m m m x R x m ---++-，其中误差 注在中学里，有些函数的函数值是借助于《四位数学用表》而“查”出来的，例如：三角函数表（sin x , cos x , tan x ），对数函数lg x ，立方3x 等等，如果没有表的帮112121221sin(π)||2()(21)!(21)!m m m m x x R x x m m θ++++=≤++， 于是(1)当1m =时，sin x x ≈，若要误差3332||1()||103!6x R x x -≤=<，只要0.181712x <，也就是说，当0.1817x <时，用x 近似sin x 的误差不会超过310-． （2）当2m =时（如图3.2.1），3sin 6x x x ≈-，由误差534||()105!x R x -≤<，得0.65443730x '<≈，即此时用36x x -近似sin x 的误差不会超过310-．（3）可见，在相同的精确度范围内，m 愈大，x 可取的范围也愈大（如图3.2.1）．图3.2.1阅读材料3.2.2应用泰勒公式证明不等式的杂例。