学霸笔记————浙江省专升本《高等数学》复习全书赵伟良著不懂事长编学霸笔记——《高等数学》不懂事长的话不懂事长的话专升本培训班流行一句话“上线靠数学，二本靠英语”，主要是因为数学在专升本考试中是提升最快的一门课程。
经过赵伟良老师的8个多月的悉心辅导，小编从开始的15分考到70分，到考前模拟的99分，到4月15号正式考试的110分，衷心感谢赵伟良老师上课时候的学霸笔记。
把学霸笔记从笔记形式做成《学霸笔记》，主要是希望在浙江工业职业技术学院的你在看到《学霸笔记》的后，可以通过自己的努力如愿以偿考上自己理想的本科院校。
学霸笔记是根据赵伟良老师给2018届专升本考生的上课笔记整理而成，符合《浙江省普通专升本考试高等数学考试大纲》及本科教育对数学基础的基本要求，含浙江省历年考试真题及经典题型。
尽管小编在整理笔记的时候倾注的很多心血，在新增题型方面也做出了努力，但由于小编能力实在有限，笔记整理中难免有疏漏之处，请各位学弟学妹见谅，也希望学弟学妹可以对学霸笔记的完善提出宝贵的意见和建议，以便小编在第二版学霸笔记中完善。
不懂事长2018年5月学霸笔记——《高等数学》目录目录第1章函数、极限与连续 (3)1.1 函数的概念与性质 (3)1.1.1函数定义域的求法 (3)1.1.2函数的性质 (4)1.1.3反函数 (6)1.1.4基本初等函数 (6)1.1.5复合函数 (7)1.1.6初等函数 (8)1.2极限 (9)1.2.1数列的极限 (9)1.2.2函数的极限 (9)1.2.3极限的计算 (9)1.2.4无穷小与无穷大 (14)1.3连续 (16)1.3.1连续 (16)1.3.2间断点 (16)1.3.3闭区间上连续函数的性质 (20)学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续3第1章 函数、极限与连续1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数定义域的求法1. 分母≠02. 偶次方根被开方数≥03. 对数y =log a x （a >0且a ≠1），真数x >04 反正弦arcsin x反余弦arccos x |x |≤1或−1≤x ≤15 正切 y =tan x （x ≠kπ+π2） k ∈z （正整数）余切 y =cot x （x ≠kπ）6. 分段函数 各段函数的并集例1：求y =log x x−2+arccos 5x−13的定义域y =log x x −2+arccos 5x −13∴x x−2>0 ，x −2≠0 ，−1≤5x−13≤1 ∴x (x −2)>0，−3≤5x −1≤3 ，−2≤5x ≤4∴x <0或x >2 ，x ≠2 ，−25≤x ≤45∴−25≤x <0∴[−25，0)例2：y =log x+14−x 2的定义域y =log x+14−x 2∴{x +1>0x +1≠14−x 2>0 → {x >−1x ≠0−2<x <2∴D =(−1,0)∪(0,2)学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续4例3：y =11+11+1x的定义域{11+1x≠−11+1x ≠0x ≠0→ {1x ≠−21x≠−1x ≠0→ {x ≠−12x ≠0x ≠−1∴D =(−∞,−1)∪(−1,−12)∪(−12,0)∪(0,+∞)例4：f (x )={x −1 ,x <0x ,x =0x +1 ,x >0的定义域为 R 或 (−∞，+∞)例5：设f (x )的定义域为[0，1] φ(x )=ln x −1则复合函数f [φ(x )]的定义域为 [e ，e 2]例6：设f (x )的定义域为[0，2a ]，则f (x +a )的定义域为 [−a ，a ]则f (x +a )+f (x −a 2)的定义域为 [ a2，a ]1.1.2 函数的性质1 单调性{x 1 <x 2 ,f(x 1 )<f (x 2 )，则f (x )单调递增，即f ′(x )>0x 2<x 2 ,f(x 1 )>f (x 2 )，则f (x )单调递减，即f ′(x )<0注意：1）复合函数f [φ(x )]的单调性：同增异减2）单调函数的反函数也是单调的，且单调性相同2 奇偶性（定义域关于原点对称）且{f (−x )< f (x )，偶函数，关于y 轴对称f (−x )<−f (x )，奇函数，关于原点对称注意：奇＋奇=奇 奇×奇=偶 偶＋偶=偶 偶×偶=偶 奇＋偶=非奇非偶学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续5例：判断函数f (x )=ln(x +√1−x 2)的奇偶性f (x )=ln (x +√1−x 2)f (−x )=ln (−x +√1−(−x )2)=ln [(√1+x2−x)(√1+x 2+x)√1+x 2+x]=1√1+x 2+x=ln (√1+x 2+x)−1=−ln (√1+x 2+x)=−f (x )∴f (x )=ln(x +√1−x 2)为奇函数3 周期性f (x +T )=f (x ) T 为最小正周期注意：1）y =A sin (ωx +φ) ,T =2πω y =A cos (ωx +φ) ,T =2πω2) y =A tan (ωx +φ) ,T =πωy =A cot (ωx +φ) ,T =πω例：若y =3+4sin π3x ，则T=6若y =sin π3+cos π4，则T=24π4 有界性∀x ∈I ，∃M >0，s.t |f (x )|≤M 则f (x )在I 上有界例：|sin x |≤1|cos x |≤1 |arcsin x |≤π2 0≤arccos x ≤π |arctan x |<π2 0<arccot x <π学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续61.1.3 反函数y =f (x ) 反解→ x =φ(x )习惯上→ y =φ(x )→ y =f −1(x )y =f (x )与y =f −1(x )关于直线y =x 对称例1：求y =√x −1的反函数y =√x −1 ∴y 2=x −1 ∴x =1+y 2∴反函数为y =1+x 2 ，x ∈[0，+∞)例2：求y =ln (x +√1+x 2)的反函数y =ln (x +√1+x 2)∴e y =x +√1+x 2 ——① 令f (x )=ln (x +√1+x 2)∴f (−x )=ln (−x +√1+(−x )2)=−f (x )即−y =ln (−x +√1+(−x )2) ∴e −y =−x +√1+(−x )2——② ∴①−②=e y −e −y =2x∴x =e y −e −y2∴所求反函数为y =e x −e −x21.1.4 基本初等函数1 幂函数 y =x u2 指数函数 y =a x3 对数函数 y =log a x学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续74 三角函数 正弦sin x 正割sec x =1cos x余弦cos x 余割csc x =1sin x正切tan x 余切cot x注意：平方关系{sin 2x +cos 2x =1tan 2x +1=sec 2x cot 2x +1=csc 2x二倍角{cos 2x =cos 2x −sin 2x =2cos 2x −1=1−2sin 2x sin 2x =2sin x cos x5 反函数 arcsin x 与 sin x 互为反函数 arccos x 与 cos x 互为反函数 arc tan x 与 tan x 互为反函数 arc cot x 与 cot x 互为反函数1.1.5 复合函数y =f (u )，u =φ(x )，则y =f [φ(x )]例1：分解y =cos 2[ln (x 2−1)]y =u 2 ,u =cos v , v =ln w ,w =x 2−1例2：若f (x )=x 2 ，g (x )=2xf [g (x )]=4xg [f (x )]=2x 2f [f (x )]=x 4例3：若f (x )={1，|x |≤10，x >1则f [f (x )]= 1f (x )={1，|x |≤10，x >1∴f [f (x )]={1，|f (x )|≤10，f (x )>1= 1学霸笔记——《高等数学》第1章函数、极限与连续1.1.6初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算（加减乘除）及有限次复合，并且能用一个式子表示的函数的函数8学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续91.2 极限1.2.1 数列的极限lim n→∞U n =A 或U n →A (n →∞)1.2.2 函数的极限lim n→∎f(x)=A 或f(x)→A (n →∎)1.2.3 极限的计算1 lim x→x 0f (x )=f(x 0) 直接代入（x 0有意义）20 0型a ）分解因式 约分例：lim x→1x 2−1x−1=lim x→1(x−1)(x+1)x−1=lim x→1x +1=2b )有理化例：lim √x 2−3−2=lim x→1(√x 2−3+2)(√x 2−3−2)(√x 2−3+2)=lim x→1(x−1)(√x 2−3+2)x−1=lim x→1√x 2−3+2=4c )用第一重要极限公式lim ∎→0sin ∎∎=1例：lim x→0sin 4x 3x =lim x→0sin 4x 4x ×43=43学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续10d ）洛必达法则lim x→∎f (x )g (x )=lim x→∎f ′(x )g ′(x ) =lim x→∎f ′′(x )g ′′(x )例：lim x→0sin 4x 3x=lim x→04cos 4x3=43e ）用等价无穷小替换sin x ~x tan x ~x arcsin x ~x arctan x ~x ln (1+x )~xe x −1~x 1−cos x~12x 2 √1+x n−1~1n x例：lim x→0e x −1sin x =lim x→0e xcos x =1（洛必达法则） =lim x→0xx =1（等价无穷小）3∞ ∞型a ）分子分母同除以最快无穷大例1：lim x→∞3x 2−4x 2x 2+1=lim x→∞3−4x 2+1x2=32例2：lim x→∞3n +4n10n +2n =lim x→∞(310)n +(25)n 1+(15)n =0b ）利用结论limx→x 0a 0x m+⋯+a m b 0x n +⋯+b n ={∞ ,m >n a 0b 0,m =n 0 ,m <n学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续11c ）洛必达法则lim x→∎f (x )g (x )=lim x→∎f ′(x )g ′(x ) =lim x→∎f ′′(x )g ′′(x )例：lim x→+∞x 2ln x =lim x→+∞2x1x=lim x→+∞2x 2=+∞4 0∙∞ 型 转化为⇒ 0型 或 ∞∞型例1：lim x→0+x ∙ln x =lim x→0+ln x1x=limx→0+1x−1x 2=lim x→0+−x =0例2：lim x→0x ∙cot x =lim x→0xtan 2x =lim x→0x2sec 22x =12例3：lim x→0x 2∙e1x 2=lim x→0e 1x 21x 2=lim x→0−2x −3∙e 1x 2−2x −3=+∞5 ∞−∞ 型 转化为⇒ 0型 或 ∞∞型(通分或有理化)例1：lim x→1(1x−1−1x 2−1)=lim x→1xx 2−1=∞例2：lim x→+∞(√x 2+x −x)=lim x→+∞[(√x 2+x−x)(√x 2+x+x)(√x 2+x+x)]=limx √x 2+x +x=lim1√1+1x+1=12学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续126 1∞ 型a ）利用第二重要极限公式 (1+0)∞变形⇒ lim x→0(1+x )1x=e变形⇒ lim ∎→0(1+∎)1∎=e变形⇒ lim ∎→∞(1+1∎)∎=e例1：lim x→0(1+4x )32x=lim x→0(1+4x )14x×6=lim x→0[(1+4x )1x]6=e 6例2：lim x→∞(x−1x+1)2x=lim x→∞(1−2x+1)2x=lim x→∞(1−2x+1)−x+12×(−4)−2=lim x→∞(1−2x +1)−x+12×(−4)∙lim x→∞(1−2x +1)−2=e −4b ）利用对数恒等式1∞=e ln 1∞=e ∞ ∙ ln 1=e ∞ ∙ 0转化为⇒ 00型 或 ∞∞型例：lim x→0(cos x )1x=lim x→0e ln (cos x )1x=e lim x→01xln cos x=elim x→0−sin x cos x=e 07 00 型取对数恒等式的方法（见6 - b ）学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续138 利用无穷小的性质无穷小×有界函数=无穷小lim x→0sin x x =1 lim x→∞sin xx =0lim x→0x ∙1sin x =1 lim x→∞x ∙sin 1x=1lim x→0x ∙sin 1x=0 lim x→∞sin ∎∎=1例：lim x→1(x −1)sin 1x−1=09 分段函数在分界点上的极限（讨论左右极限）例：设f (x )={x sin 1x ,x <0ln (1+x )x,x >0，讨论lim x→0f (x )是否存在。
