离散型随机变量及其分布列(1.1教师版)

离散型随机变量及其分布列2015高考会这样考 1.考查离散型随机变量及其分布列的概念；2.考查超几何分布的简单 应用．复习备考要这样做 1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握超几何分布的特点，并会应用．题型一 离散型随机变量的分布列的性质 离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫作随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫作离散型随机变量．(2)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i为随机变量X 的分布列，具有性质：①p i __>__0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝__1__.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 随机变量的本质(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f (x )的自变量是实数x ，而在随机变量的概念中，随机变量X 的自变量是试验结果．(2)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性． 1、设随机变量X则p ＝________.解析 由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p ＝13.答案 132、已知随机变量则m 的值为( ) A.115 B.215 C.15 D.415解析 利用概率之和等于1，得m ＝315＝15.答案 C3、设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．答案4、若离散型随机变量X则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.答案 13 13解析 由离散型随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝10≤9c 2－c ≤10≤3－8c ≤1，解得c ＝13.P (X ＝1)＝3－8×13＝13.5、在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_________． 答案解析 η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为6、设随机变量ξ的分布列为P ⎪⎭⎫⎝⎛=5ξ＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎪⎭⎫⎝⎛≥53ξ＝________. 思维启迪：直接根据分布列的性质求解．答案115 45解析 随机变量ξ由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.P ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥53ξ＝P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=53ξ＋P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=54ξ＋P (ξ＝1) ＝3a ＋4a ＋5a ＝12a ＝45⎝⎛⎭⎫或P ⎝⎛⎭⎫ξ≥35＝1－P (ξ≤25)＝1－3a ＝45.探究提高 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．7、已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516答案 A解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.8、离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝)1(a+n n (n ＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P (12＜X ＜52)的值为( )A.23B.34C.45D.56解析 由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1 ∴a ＝54.故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.答案 D9、随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.16B.13C.12D.23答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c＝23. 10、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．A.15B.25C.35D.45解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.答案 D11、一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为 ( )．A.1220B.2755C.27220D.2155解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220，故选C.答案 C题型二 离散型随机变量的分布列的求法及应用 离散型随机变量的分布列的作用(1)对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．(2)利用离散型随机变量的分布列，可以求其期望和方差．1、口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值； (2)X 的分布列．解析 (1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1nC 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)．∴n ＝7.(2)X＝1,2,3,4。

且P(X＝1)＝710，P(X＝2)＝730，P(X＝3)＝7120，P(X＝4)＝1120.∴X的分布列为2、袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个．从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．解析(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C3 5C12C12C12C310＝23.(2)由题意知，X有可能的取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为．P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量X的分布列为：C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.3、在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝3045＝23. ⎝⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23.(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.所以X 的分布列为：【点评】 概率、出现，其解题的一般步骤为：,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；,第三步：画出随机变量的分布列；,第四步：明确规范表述结论；4、某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率． 解析 X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P (X ＝1)＝0.6. X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故P (X ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P (X ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. ∴李明实际参加考试次数X 的分布列为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.5、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率．解 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)1件产品的平均利润为Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)． (3)设技术革新后三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－x －0.01)＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x .由Eξ≥4.73，得4.76－x ≥4.73，解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.探究提高 (1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．6、 (2011·湖南)试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 所以X 的分布列为故X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.题型三 超几何分布超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布。