第四章 概率分布

《概率论与数理统计》第四章 随机变量的数字特征考点33 离散型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是离散型随机变量,概率分布为P {X =x i }=p i ,i =1,2,…。

则∑∞==1)(i i ip x X E 为X 的数学期望(或均值)。

2.常用离散型随机变量的数学期望（1）两点分布：X ∼B(1,p),0<p<1，则E(X)=p 。

（2）二项分布：X ∼B(n,p)，其中0<p<1，则E(X)=np 。

（3）泊松分布:X ∼P(λ)，其中λ>0，则E(X)=λ。

考点34 连续型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是连续型随机变量，则称⎰∞∞-=dx x f x X E )()(为X 的数学期望。

2. 常用连续型随机变量的数学期望（1）均匀分布若X~U[a,b],即X 服从[a,b]上的均匀分布,则； 21)()(b a dx a b x dx x xf X E b a +=-==⎰⎰+∞∞- （2）指数分布若X 服从参数为λ的指数分布，则 ； /1)(0λλλ⎰+∞-==dx e x X E x 正态分布若X 服从),(2s µN ，则.)(μ=X E考点35 二维随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.二维离散型随机变量的数学期望：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为p ij ,i=1,2,⋯，j=1,2,⋯.则：.),()],([11åå¥=¥==i j ij j i p y x g Y X g E2. 二维连续型随机变量的数学期望：设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:. ),(),()],([dxdy y x f y x g Y X g E òò¥¥-¥¥-=考点36 数学期望的性质（★★★一级考点，选择、填空）(1).设C 是常数，则E(C)=C;E(C)=C ×1=C(2).若k 是常数，则E(kX)=kE(X);(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4).设X,Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);考点37 方差的概念（★★二级考点，选择、填空）1.方差的概念:设X 是一随机变量，若E [X -E (X )]2 存在,则称其为X 的方差，记成Var(X )，即Var(X )=E {[X -E (X )]2} 并称)(X Var 为X 的标准差。

63.5
65.5
66.0
66.5
59.0
59.5
61.5
63.5
64.0
66.0
66.5
67.0
61.0
61.5
63.5
65.5
66.0
68.0
68.0
69.0
61.5
62.0
64.0
66.0
66.5
68.5
69.0
69.5
62.0
62.5
64.5
66.5
67.0
69.0
69.5
70.0
（4）样本均值的正态概率图如下：
详细答案：
（1） ， 。
（2）共有64个样本。
（3）.5
56.5
58.5
59.0
61.0
61.5
62.0
54.5
55.0
57.0
59.0
59.5
61.5
62.0
62.5
56.5
57.0
59.0
61.0
61.5
63.5
64.0
64.5
58.5
59.0
61.0
63.0
从正态概率图可以看出，样本均值近似服从正态分布。
（5） ， 。样本均值的平均数等于总体平均数，样本均值的标准差等于总体标准差的 。
第4章 概率分布
教材习题答案
4.1消费者协会经过调查发现，某品牌空调器有重要缺陷的产品数出现的概率分布如下：
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
0.041
0.130
0.209

样本均数和方差S2计算结果如下：
x =Σfk/n
=(120×0+62×1
+15×2+2×3+1×4)/200
=0.51
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s2
fk 2 ( fk ) 2 / n
n 1 2 2 2 2 2 2 (120 0 62 1 15 2 2 3 1 4 102 ) / 200 200 1
即得各项按波松分布的理论窝数。 波松分布与
相应的频率分布列于表4—7中。
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表4—4 畸形仔猪数的波松分布
将实际计算得的频率与根据λ=0.51的泊 松分布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的频 率分布与 λ=0.51 的 波松分布是吻合得很好 的 。这进一步说明了畸形仔猪数是服从波松分 布的。
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【例4.14】 为监测饮用水的污染情况， 现 检验某社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400 个记录如下：
0 1 p( x 1) C15 0.2 0 0.815 C15 0.210.814 0.1671
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。 因此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有效的。
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【例4.11】 仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率 为20％，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相 应的概率。 设5头病猪中死亡头数为x，则x服从二项分
作中，当 λ≥20时就可以用正态分布来近 似地处理波松分布的问题。
二、波松分布的概率计算
波松分布的概率计算，依赖于参数 λ的确定， 只要参数λ确定了 ，把k=0，1，2，… 代入 (4-23)式即可求得各项的概率。 但是在大多数 服从波松分布的实例中，分布参数λ往往是未知 的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样 本平均数作为 λ 的 估计值，将其代替(4-23) 式中的λ，计算出 k = 0，1，2，… 时的各项 概率。

x2
150
3) P X 20
x 20
P( X x ) 1 P X x 0.4880
x 0
150
19
Poisson分布
1)Poisson分布的概念
Poisson分布可以看作是发生的概率（或未发生的概
率1－）很小，而观察例数n很大时的二项分布。除二项

100! 99 0.4 5 1 0.4 6.48 10 16 5!95! 100! 100 40 60 40 P(X 40) C 100 π 40 1 π 0.4 40 1 0.4 0.0812 40!60! 100! 100 80 20 80 P(X 80) C 100 π 80 1 π 0.4 80 1 0.4 2.86 10 16 80!20!
π 1 π 0.13 0.87 0.027 n 150
۩二项分布的的应用
累积概率计算
分三种情况：P(X≤x1); P(X≥x2); P(x1≤X≤x2)
若X～B(n,)，上述三种累积概率的计算公式分别为:
k k P X x1 P X k C n 1 k 0 k 0 x1 x1 n k
100 5
二项分布的特征
we'll keep the fixed at 0.5, and vary the sample size n:
Cited from /boost_doc/libs/math/…/dists/binomial_dist.html
Poisson分布的概率函数图举例:
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 x λ =1