任意函数的输入响应

输入输出(响应)系统第二章 测试装置的基本特性第一节 概述测试是具有试验性质的测量，是从客观事物取得有关信息的过程。

在此过程中须借助测试装置。

为实现某种量的测量而选择或设计测量装置时，就必须考虑这些测量装置能否准确获取被测量的量值及其变化，即实现准确测量，而能否实现准确测量，则取决于测量装置的特性。

这些特性包括动态特性、静态特性、负载特性、抗干扰性等。

测量装置的特性是统一的，各种特性之间是相互关联的。

1、测试装置的基本要求通常工程测试问题总是处理输入量)(t x 、装置（系统）的传输特性)(t h 和输出量)(t y 三者之间的关系。

图2-1系统、输入和输出1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通过它们推断系统的传输特性。

(系统辨识)。

2)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它们推断导致该输出的输入量。

(反求)。

3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。

(预测) 。

测试装置的基本特性主要讨论测试装置及其输入、输出的关系。

理想的测试装置应该具有单值的、确定的输入——输出关系。

即对应于某一输入量，都只有单一的输出量与之对应 。

知道其中的一个量就可以确定另一个量。

以输出和输入成线性关系为最佳。

一般测量装置只能在较小工作范围内和在一定误差允许范围内满足这项要求。

2、测量装置的静态特性测试系统的静态特性就是在静态测量情况下，描述实际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。

测量装置的静态特性是通过某种意义的静态标定过程确定的。

静态标定是一个实验过程，这一过程是在只改变测量装置的一个输入量，而其他所有的可能输入严格保持为不变的情况下，测量对应得输出量，由此得到测量装置的输入输出关系。

3、测量装置的动态特性测量装置的动态特性是当被测量即输入量随时间快速变化时，测量输入与响应输出之间的动态关系得数学描述。

研究测量装置动态特性时，认为系统参数不变，并忽略迟滞、游隙等非线性因素，可用常系数线性微分方程描述测量装置输入与输出间的关系。

脉冲响应原理
脉冲响应原理是信号处理中一个重要的概念，用于描述系统对于输入信号脉冲的响应方式。

它是通过输入一个单位脉冲信号，观察系统输出的响应，从而推导出系统对任意输入信号的响应。

在信号处理中，系统可以是一个滤波器、一个电路、一个传感器或者其他任何能够对输入信号进行处理并产生输出信号的装置。

通过研究系统对单位脉冲信号的响应，我们可以得到系统的冲激响应函数，也称为脉冲响应函数。

系统的脉冲响应函数描述了系统对一个单位脉冲信号的处理过程。

当输入信号为一个单位脉冲信号时，系统的输出信号就是脉冲响应函数对应时刻的值。

通过对单位脉冲信号的不同延迟和幅度进行组合，我们可以得到系统对任意输入信号的响应。

脉冲响应函数通常用数学公式来表示。

在离散时间信号处理中，脉冲响应函数通常是一个离散序列。

而在连续时间信号处理中，脉冲响应函数通常是一个连续函数。

脉冲响应原理在实际应用中具有广泛的应用。

例如，通过研究音频系统的脉冲响应函数，我们可以了解不同频率的音乐信号对系统音质的影响；通过研究电路的脉冲响应函数，我们可以了解系统对输入电压的稳定性和响应速度；通过研究滤波器的脉冲响应函数，我们可以了解滤波器对输入信号的频率特性。

总之，脉冲响应原理是信号处理中的重要概念，它描述了系统对输入信号脉冲的响应方式。

通过对系统的脉冲响应函数的研究，我们可以了解系统对任意输入信号的响应方式。

脉冲响应原理在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和设计各种信号处理系统都具有重要意义。

复频域求零输入响应一、概述复频域求零输入响应是一种求解线性时不变系统的响应的方法。

该方法利用了傅里叶变换的性质，将时域中的微分方程转换为复频域中的代数方程，从而得到系统的频率响应函数。

进而可以求出系统对任意输入信号的响应。

二、复频域1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个函数从时域转换到频域的方法。

它可以将一个周期函数表示为无限多个正弦和余弦函数的加权和，从而展示出这个函数在不同频率下的分布情况。

2. 复数在复频域中，我们使用复数来表示信号和系统。

一个复数可以表示为实部加上虚部乘以虚数单位i，即z=a+bi。

其中a和b都是实数，i 满足i²=-1。

3. 复频域中的微分方程在复频域中，微分方程可以表示为代数方程。

我们可以通过对时域微分方程进行傅里叶变换，并将导数转化为虚数单位i乘以角频率ω，从而得到复频域下的表达式。

三、零输入响应1. 定义零输入响应指当系统没有外部输入信号时，系统的响应。

这个响应是由系统的初始状态决定的。

2. 复频域下的零输入响应在复频域中，零输入响应可以表示为系统对初始条件的响应。

我们可以通过将时域中的初始条件转换为复频域下的表达式，并与系统的频率响应函数相乘，从而得到复频域下的零输入响应。

四、求解方法1. 求解过程首先，我们需要将时域中的微分方程转换为复频域下的代数方程。

然后，我们需要求出系统的频率响应函数。

接着，我们将初始条件转换为复频域下的表达式，并与系统的频率响应函数相乘，从而得到复频域下的零输入响应。

2. 实例以二阶低通滤波器为例，其微分方程为：y''(t) + 2ξω0y'(t) + ω02y(t) = x(t)其中ω0和ξ分别表示滤波器自然角频率和阻尼比。

将该微分方程进行傅里叶变换，并假设初始条件y(0)=0和y'(0)=0，则可得到复频域下的代数方程：H(jω) = Y(jω)/X(jω) = 1/(jω)² + 2ξω0/(jω) + ω02其中H(jω)表示系统的频率响应函数。

更一般的，利用函数P=lyap(A ,Q)可以求解下面给出的李雅普诺夫方程。 AP+PB=-Q (5-4) 对于离散系统的李雅普诺夫方程的求解函数为 dlyap(). 【例5-4】设系统的状态方程为 其平衡状态在坐标原点处，试判断该系统的稳定性。 解：MATLAB程序为： %ex5_4.m A=[0 1;-1 -1];Q=eye(size(A));P=lyap(A,Q); i1=find(P(1,1)>0);n1=length(i1); i2=find(det(P)>0);n2=length(i2); if(n1>0 & n2>0) disp('P>0,正定，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的'); else disp('系统不稳定'); end
【例5－6】假设系统的开环传递函数为 试求该系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线和最大超调量。 解：MATLAB程序为： %ex5_6.m num0=20;den0=[1 8 36 40 0];[num,den]=cloop(num0,den0); t=0:0.1:10;[y,x,t]=step(num,den,t);plot(t,y) M=((max(y)-1)/1)*100;disp([‘最大超调量M=‘ num2str(M) ‘%’]) 执行结果为：最大超调量M＝2.5546%，单位阶跃响应曲线如图5－3中曲线所示。
图5-3 例5－6的单位阶跃响应曲线
例5-7 对于典型二阶系统 试绘制出无阻尼自然振荡频率ωn=6，阻尼比ζ分别为0.2,0.4,…,1.0,2.0时系统的单位阶跃响应曲线。
解 MATLAB程序为 %Example5_7.m wn=6;zeta=[0.2:0.2:1.0:2.0]; figure(1);hold on for k=zeta; num=wn.^2; den=[1,2*k*wn,wn.^2]; step(num,den);end title('Step Response');hold off 执行后可得如图5-5所示的单位阶跃响应曲线。 从图中可以看出，在过阻尼( ) 和临界阻尼( ) 响应曲线中，临界阻尼响应应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼（ ） 响应曲线中，阻尼系数越小，超调量越大，上升时间越短，通常取

实验2 离散LSI 系统的时域分析一、.实验目的：1、加深对离散系统的差分方程、单位脉冲响应、单位阶跃响应和卷积分析方法的理解。

2、初步了解用MA TLAB 语言进行离散时间系统时域分析的基本方法。

3、掌握求解离散时间系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、线性卷积以及差分方程的程序的编写方法，了解常用子函数的调用格式。

二、实验原理：1、离散LSI 系统的响应与激励由离散时间系统的时域分析方法可知，一个离散LSI 系统的响应与激励可以用如下框图表示：其输入、输出关系可用以下差分方程描述：[][]NMkk k k ay n k b x n m ==-=-∑∑2、用函数impz 和dstep 求解离散系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

例2-1 已知描述某因果系统的差分方程为6y(n)+2y(n-2)=x(n)+3x(n-1)+3x(n-2)+x(n-3) 满足初始条件y(-1)=0，x(-1)=0，求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

解： 将y(n)项的系数a 0进行归一化，得到y(n)+1/3y(n-2)=1/6x(n)+1/2x(n-1)+1/2x(n-2)+1/6x(n-3)分析上式可知，这是一个3阶系统，列出其b k 和a k 系数： a 0=1， a ,1=0， a ,2=1/3， a ,3=0 b 0=1/6，b ,1=1/2， b ,2=1/2， b ,3=1/6程序清单如下： a=[1,0,1/3,0]; b=[1/6,1/2,1/2,1/6]; N=32; n=0:N-1; hn=impz(b,a,n); gn=dstep(b,a,n);subplot(1,2,1);stem(n,hn,'k');课程名称 数字信号处理 实验成绩 指导教师 ***实 验 报 告院系 班级学号 姓名 日期title('系统的单位序列响应'); ylabel('h(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(hn),1.1*max(hn)]); subplot(1,2,2);stem(n,gn,'k'); title('系统的单位阶跃响应'); ylabel('g(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(gn),1.1*max(gn)]); 程序运行结果如图2-1所示：102030系统的单位序列响应h (n )n1020300.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2系统的单位阶跃响应g (n )n图2-13、用函数filtic 和filter 求解离散系统的单位序列响应和单位阶跃响应。

ii=find(条件式)
用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。
例如
条件式real(p>0)，其含义就是找出极点向量p中满足实 部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii向量中去。这 样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii 下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳 定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量的元素 个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定 的结论。 pzmap(p,z)
系统稳定及最小相位系统的判别 方法
1、间接判别（工程方法） 劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统 稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系 统不稳定。 胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的 胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。 2、直接判别 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数， 因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定 性及是否为最小相位系统进行判断。
margin()函数
margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以 及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言，它 指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin 可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显示的Bode图，其 中幅值裕度以分贝为单位。 幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180 度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值 裕度，则等于：-20*log10(g)。类似地，相角裕度是当开环增益为1.0 时，相应的相角与180度角的和。
控制系统的稳定性分析
系统稳定及最小相位系统判据
对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左 半平面，则系统是稳定的。 对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z 平面的单位圆内，则系统是稳定的。

法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。

【说明】
MATLAB中频率范围w除可直接用冒号生成法生成外，还可由两 个函数给定：linspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个线 性分布频率点；logspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个 对数分布频率点；N可以省略。 调用 nyquist() 指令若指定 w ，则 w 仍然必须是正实数组 ,MATLAB 将自动绘制与-w对应的Nyquist轨迹。 所绘Nyquist图的横坐标为系统频率响应的实部,纵坐标为虚部.
ω=0
−
Gk ( s ) = G ( s ) H ( s )
G( s) Φ( s) = 1 + G( s) H ( s)
频率特性的一般概念
Nyquist稳定性判据
绘制ω从0→+∞变化时GK(jω)的Nyquist轨迹，求出其
包围(-1,j0)点的次数N， 顺时针为正，逆时针为负； 由给定的开环传递函数确定开环右极点的个数P， 右 零点数Z； 若Z=P+N则闭环系统稳定，否则不稳定。如果GK(jω) 的Nyquist曲线刚好通过(-1,j0)点，表明有闭环极点位 于虚轴上，系统仍然不稳定。
s −α
线 性 系i 统 -t / T o j ωt ) k e r ( t ) ∴ xo（ (t或元件） )= ki e c(t+ 0
∑
i =1
K
x (t)
+ k 0 e − j ωt
*
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω )
A 其中：k
0
=−
0
e jθ = cos(θ ) + i sin( θ )
指定频率向量
不指定频率向量

自动控制原理MATLAB仿真实验指导书李明编写广东工业大学自动化学院自动控制系二〇一四年九月实验项目名称：实验一线性系统的时域响应实验项目性质：MATLAB仿真实验所属课程名称：自动控制原理实验计划学时：2学时一、实验目的1.熟悉控制系统MATLAB仿真的实验环境。

2.掌握使用MATLAB进行系统时域分析的方法，研究一阶系统和二阶系统的时域响应特性。

二、实验环境装有MATLAB6.5或以上版本的PC机一台。

三、实验内容和要求1.了解和掌握MATLAB中传递函数表达式及输出时域函数表达式。

2.利用MATALB观察和分析一阶系统的阶跃响应曲线，了解一阶系统的参数：时间常数对一阶系统动态特性的影响。

3.掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法；研究二阶系统运动规律。

研究其重要参数：阻尼比对系统动态特性的影响，分析与超调量%、过渡过程时t的关系。

间s四、实验方法1.MATLAB中建立传递函数模型的相关函数(1)有理分式降幂排列形式: tf()(2)零极点增益模型: zpk()(3)传递函数的连接方式: series(), parallel(), feedback()2.MATLAB中分析系统稳定性的相关函数(1)利用pzmap()绘制连续系统的零极点图；(2)利用roots()求分母多项式的根来确定系统的极点3.MATLAB中分析线性系统的时域响应的相关函数(1)生成特定的激励信号的函数gensig( )(2) LTI 模型任意输入的响应函数lsim( ) (3) LTI 模型的单位冲激响应函数impulse( ) (4) LTI 模型的阶跃响应函数step( )五、 实验步骤1. 线性系统的稳定性分析(1) 若线性系统的闭环传递函数为225()425G s ss，试绘制其零极点分布图，并据此判断系统的稳定性。

(2) 若线性系统的闭环传递函数为229(0.21)()( 1.29)s s G s s s s ，求出该闭环传递函 数的所有极点，并据此判断系统的稳定性。

答：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数，则：
2 44, 724,500, 600 2 22,362, 250,300 11,181,125,150
所以该信号的周期为 0.25s。
1-7 求正弦信号 x(t) Asin( 2 t) 的单边、双边频谱，如果该信号延时 T 后，其频谱如何变
T
4
化？
0 ea jwt dt ea jwdt
0
11 a jω a jω
2a a2 ω2
双边指数信号的傅里叶变换是一个正实数，相频谱等于零。由于双边指数信号为实偶对
称函数，因此 X ω 为 ω 的实偶对称函数。
5
1-5 设有一组合信号，有频率分别为 724Hz， 44 Hz，500 Hz，600 Hz 的同相正弦波叠加而 成，求该信号的周期。
答：在时域范围内，实现不失真的条件是：输出信号 y t 与输入信号 x t 相比，只要是幅
值上扩大 A0 ,时间上滞后 t0 ，即 y t A0x t t0 。
2-6 从频域说明测量系统不失真测量条件是什么? 答：在频域内实现不失真测试的条件即为幅频特性是一条平行于 轴的直线，相频特性
1
在教学环节中安排与本课程相关的必要的实验及习题，学习中学生必须主动积极地参加 实验及完成相应的习题才能受到应有的实验能力的训练，才能在潜移默化中获得关于动态测 试工作的比较完整的概念，也只有这样，才能初步具有处理实际测试工作的能力。
2
思考题与习题
1-1 信号的分哪几类以及特点是什么？ 答：按信号随时间的变化规律分为确定性信号和分确定性信号，确定信号分为周期信号
则 有 输 出 y1 t ， 且 y1 t
2
2
11
1
cos 10t

重置
在系统运行过程中，通过重置操作将系统的状态清零，达到 零状态的效果。
零状态优势分析
简化系统分析
零状态可以简化系统的分析和设 计过程，因为在无输入信号作用 时，系统的输出仅与初始状态有 关，使得问题变得更加简单。
提高系统稳定性
零状态有助于提高系统的稳定性。 当系统处于零状态时，其内部不 存在任何振荡或不稳定因素，从 而降低了系统出现故障或失稳的 风险。
全响应满足线性性质，即系统对输入的响应可以 分解为各个输入单独作用时产生的响应之和。
3
时不变性质
全响应具有时不变性质，即系统参数不随时间变 化，输出响应仅与输入和系统函数有关。
全响应实现方式
卷积积分法
通过求解系统函数与输入的卷积积分，可以得到全响应的表达式。
频域分析法
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，通过分析系统函数在 频域的特性，可以得到全响应的频域表达式。
PART 03
零状态原理及特点
零状态定义与性质
零状态定义
零状态是指系统在某一时刻无任何输入信号作用时的状态，即系统的初始状态 为零。
零状态性质
零状态是线性时不变系统的一个重要性质，它表明系统在无输入信号作用时， 其输出仅与系统的初始状态有关，而与输入信号无关。
零状态实现方式
初始化
在系统设计时，通过初始化操作将系统的状态设置为零，从 而实现零状态。
效果评估及经验教训总结
效果评估
经过数字化转型，企业运营效率得到显著提升，客户满意度大幅提 高，市场竞争力得到增强。
成功经验
制定科学合理的数字化转型战略、搭建稳定可靠的数字化平台、注 重数据迁移与整合的质量、加强员工培训和市场推广等。
教训总结

3-2 脉冲响应函数对于线性定常系统，其传递函数)(s Φ为)()()(s R s C s =Φ式中)(s R 是输入量的拉氏变换式，)(s C 是输出量的拉氏变换式。

系统输出可以写成)(s Φ与)(s R 的乘积，即)()()(s R s s C Φ= （3-1） 下面讨论，当初始条件等于零时，系统对单位脉冲输入量的响应。

因为单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统输出量的拉氏变换恰恰是它的传递函数，即)()(s s C Φ= （3-2） 由方程(3-2)可见，输出量的拉氏反变换就是系统的脉冲响应函数，用)(t k 表示，即1()[()]k t s -=Φ脉冲响应函数)(t k ，是在初始条件等于零的情况下，线性系统对单位脉冲输入信号的响应。

可见，线性定常系统的传递函数与脉冲响应函数，就系统动态特性来说，二者所包含的信息是相同的。

所以，如果以脉冲函数作为系统的输入量，并测出系统的响应，就可以获得有关系统动态特性的全部信息。

在具体实践中，与系统的时间常数相比，持续时间短得很多的脉动输入信号就可以看成是脉冲信号。

设脉冲输入信号的幅度为11t ，宽度为1t ，现研究一阶系统对这种脉动信号的响应。

如果输入脉动信号的持续时间t )0(1t t <<，与系统的时间常数T 相比足够小，那么系统的响应将近似于单位脉冲响应。

为了确定1t 是否足够小，可以用幅度为12t ，持续时间(宽度)为21t 的脉动输入信号来进行试验。

如果系统对幅度为11t ，宽度为1t 的脉动输入信号的响应，与系统对幅度为12t ，宽度为21t 的脉动输入信号的响应相比，两者基本上相同，那么1t 就可以认为是足够小了。

图3-3(a)表示一阶系统脉动输入信号的响应曲线；图3-3(c)表示一阶系统对脉冲输入信号的响应曲线。

应当指出，如果脉动输入信号T t 1.01<(图3-3(b)所示)，则系统的响应将非常接近于系统对单位脉冲信号的响应。

试卷总分:100 得分:100
判断题（共17小题，1至15小题每小题6分，16至17小题每小题5分，共100分）1.matlab中有两种描述系统的方法：传递函数模型和零极点增益模型。

答案:正确
2.matlab中两种表示模型的方法之间可以相互转换。

答案:正确
3.matlab中支持的系统互联方式有三种：串联、并联和反馈。

答案:正确
4.方波信号的产生函数是square()。

答案:正确
5.冲激信号是特异信号。

答案:正确
6.系统反馈的函数为feedback。

答案:正确
7.step函数用于计算系统的冲激响应。

答案:错误
8.impulse函数用于计算系统的阶跃响应。

答案:错误
9.lism函数可用于求解系统对任意输入的响应。

答案:正确
10.一个线性系统对正弦信号的响应中，其频率、幅值和相角均有可能发生改变。

答案:错误
11.Matlab 中freqs函数用于绘制系统的幅频特性。

答案:正确
12.bode图可用于判断系统是否稳定。

答案:正确
13.M-函数是利用Matlab语言编写的特定功能函数。

答案:正确
14.simulink的S函数，可以是用C语言编写的。

答案:正确。

t
阶 装 置
d d2 y (t ) yu (t ) 2 yr (t ) dt dt
y (t )
图形
1

h(t )
越小越好
1
t
输 误差

2
3
4
稳
5.4.2 单位脉冲输入
二阶系统单位脉冲响应函数
b0 a 2 2 a 1 1 y (t ) y (t ) y (t ) x (t ) a0 a0 a0 S n2 H (s) 2 s 2 n s n2 h (t ) L 1
S(t) S(t)
t
1
1/

t
0 << t t ,t 0
t
0
t
1 / st 0
(t) lim S t) (
,t 0 (t) 0, t 0



(t)dt1
脉冲函数(impulse function)
函数的特性
一阶系统单位正弦输入响应
S0 Y (s) (1 s)(s2 2 ) y(t)
1 1( )2
sin(t ) e t cos 1 1
y t
1 tg1
x t
sin t
t
t
5.4.2 单位正弦输入
二阶系统单位正弦输入响应
x(t) x(n t ) t
nt
t
卷积的物理意义
（2）根据线性系统特性，在
条脉冲引起的响应为:
x(nt) t h(t- nt)
t 0
l i m xn t h t n t t

x(t )dt I (t )dt I


“冲量”一词原只用于力冲量，在此进行扩展，x(t)可 代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I 的量纲也不同。 如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度×时间
系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应 h(t)， 称为单位脉冲响应函数。 如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当 t<0时，有h(t)=0。
对于任意输入信号xt其频谱x连续变化取其由到d频带内的频率分量xd讨论与之出对应的在同一频带内的输出yt的频率分量为yd对应简谐分量输入的时域波形12jtxtxde?????与此简谐输入相对应的简谐输出的时域波形12jtytyde?????对于简谐输入xtx0ejt来说与其相应的输出为12jtxtxde?????12jtytyde?????ythxt??则输出简谐分量yt又可表示为12jtythxde??????所以xy和h三者之间的重要关系式为yhx????yhx????oryhx????此式对任一频率分量都成立则对于任意非周期输入来说频率响应函数等于输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比
y0 j e x0e jt x0
用复数H(ω)表示输出与输入的振幅比y0/x0和相位φ， 其模代表了振幅比，幅角即为输出与输入之间的相 位差，φ前面的负号表示输出比输入滞后。
复数H(ω)描述了线性系统在频率域上的动态特性，称 为频率响应函数，简称频响函数。 频率响应函数是线性动力系统的本身特性，与外加激 励(输入)无关。
频响函数： H ( )
1 k m 2 jc
k m 2 c j 2 2 2 (k m ) (c ) (k m 2 ) 2 (c ) 2 A( ) jB( )

如：step(sys1, ’r’, sys2, ’y--’, sys3, ’gx’)
③返回响应输出值：[y, x, t]=step(num, den)
[y, x, t]=step(num,den,t)
t：仿真时间，由系统模型的特性自动生成。
状态变量x返回为空矩阵。 可省略不写。
3
s 1 【例】已知传递函数模型 G ( s) 2 s s5 绘制单位阶跃响应曲线。
（1）max(A) ：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩
阵A的第i列上的最大值。
（2）[Y,U]=max(A) ：返回行向量Y和U，Y表示A中每 列的最大值，U对应每列最大值的行号。
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超调量
C= dcgain (G)
[Y,k]=max(y)
%求系统的稳态值
%求y的峰值及峰值采样点
percentovershoot=100*(Y-C)/C %计算超调量
减法：math operations →subtract
传递函数： continuous →transfer Fcn 输入、输出信号组合：Signal Routing→Mux 示波器模块：sinks→scope
图5.13 simulink模型
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图5.14 锯齿波参数设置界面
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模型连好后仿真，仿真结束后双击示波器，
f (t ) e2t 时，系统的零状态响应曲线。 求当输入信号为



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5.3.1.2 时域响应应用举例
【例5.1】已知系统的闭环传递函数为
1 G( s) 2 s 0.4s 1
求单位阶跃响应曲线和单位斜坡响应曲线。
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解：MATLAB程序代码如下：

脉冲传递函数脉冲传递函数（Impulse Response）是一种数学概念，用于描述线性时不变（LTI）系统对于脉冲输入信号的响应。

在实际应用中，LTI系统常用于滤波、均衡、信号传输等领域，而脉冲传递函数是分析和设计这些系统的重要工具之一。

脉冲传递函数通常用h(t)表示，是一个响应脉冲输入信号单位脉冲（或单位斜坡）的连续时间函数。

当LTI系统接收到一个脉冲信号（即只在一个时刻上有信号，其余时刻信号为0），其输出信号即为该系统的脉冲响应。

脉冲响应描述了系统对于不同频率的信号输入的滤波响应，因此是分析系统性能和设计滤波器等应用中的重要指标。

对于一个离散时间系统，类似于连续时间系统，脉冲传递函数可以表示为一个响应单位脉冲输入信号的离散时间函数。

脉冲传递函数可以用公式表达为：h(t)=L^{-1} \{H(s)\}H(s)是系统的传递函数，L^{-1}表示拉普拉斯反变换。

对于离散时间系统，同样可用Z变换及反变换表示脉冲传递函数，即：h(n)=\frac {1}{2π j} \oint_C H(z) z^{n-1} dzH(z)是系统的传递函数，C是一条限定了积分路径的封闭曲线，n为离散时间点。

脉冲传递函数的使用脉冲传递函数可以用于分析和设计LTI系统。

利用脉冲传递函数，可以计算系统对于任意输入信号的响应。

对于任意输入信号，可以将其表示为单位脉冲序列的线性组合。

假设输入信号为x(t)，其可以表示为x(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau\delta(t)为单位脉冲函数。

利用线性性质，可以将其转化为单位脉冲响应的组合形式：y(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) d\tauh(t)为系统的脉冲传递函数。

根据卷积公式，可以得到输出信号y(t)为y(t)=x(t)*h(t)*表示卷积运算。

通过计算脉冲传递函数，可以得到系统对于任意输入信号的响应。