高考大题题型总结
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高考数学导数压轴题7大题型总结
北京八中
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力,其考察内容方法远远高于课本,其涉及基本概念主要是:切线,单调性,非单调,极值,极值点,最值,恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目,今天就总结导数7大题型,让你在高考数学中多拿一分,平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用
02交点与根的分布
03不等式证明(一)做差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式
(三)替换构造不等式证明不等式
04不等式恒成立求字母范围(一)恒成立之最值的直接应用
(二)恒成立之分离参数
(三)恒成立之讨论字母范围
05函数与导数性质的综合运用
06导数应用题
07导数结合三角函数
实用标准
文案大全。
高考物理题型归纳总结一、选择题1. 基础概念题:考察学生对物理基本概念的理解和掌握程度。
2. 计算题:要求学生根据已知条件进行计算,包括简单的代数运算和几何运算。
3. 实验题:要求学生根据实验现象和数据进行分析和推理,得出结论。
4. 综合题:将多个知识点或多个物理过程综合起来进行考察,要求学生综合运用知识解决问题。
二、填空题1. 基础概念填空题:要求学生根据已知条件填写正确的物理概念。
2. 计算填空题:要求学生根据已知条件进行计算,填写正确的结果。
3. 实验填空题:要求学生根据实验现象和数据填写正确的结论。
4. 综合填空题:将多个知识点或多个物理过程综合起来进行考察,要求学生综合运用知识填写正确的答案。
三、解答题1. 分析题:要求学生对给定的问题进行分析,找出问题的关键因素,并提出解决问题的方法和步骤。
2. 计算题:要求学生根据已知条件进行计算,并给出详细的计算过程和结果。
3. 实验设计题:要求学生根据给定的实验目的和条件,设计出合理的实验方案,并进行实验操作和数据处理。
4. 综合题:将多个知识点或多个物理过程综合起来进行考察,要求学生综合运用知识解决问题,并给出详细的解题过程和结果。
四、应用题1. 实际问题应用题:将物理知识与实际问题相结合,要求学生根据已知条件分析和解决问题。
2. 工程问题应用题:将物理知识与工程问题相结合,要求学生根据已知条件分析和解决工程问题。
3. 科学研究问题应用题:将物理知识与科学研究问题相结合,要求学生根据已知条件分析和解决科学研究问题。
4. 社会问题应用题:将物理知识与社会问题相结合,要求学生根据已知条件分析和解决社会问题。
五、实验题1. 基础实验题:要求学生根据实验目的和条件,进行实验操作和数据处理,并得出正确的结论。
2. 设计实验题:要求学生根据给定的实验目的和条件,设计出合理的实验方案,并进行实验操作和数据处理。
3. 分析实验题:要求学生根据给定的实验现象和数据,进行分析和推理,得出结论。
高考英语题型分析大全汇总一、单项选择题单项选择题是高考英语试卷频率最高的题型之一,通常占据了试卷的30%左右。
这种题型要求考生从四个选项中选择一个正确答案。
1.题目特点:单项选择题在考查词汇、语法和阅读理解等方面都有涉及。
通常考查的重点是语法和词汇。
2.解题技巧:(1)注意选项中的修饰词,如副词、形容词等,它们往往是提示正确答案的关键。
(2)根据上下文的语义关系,选项中的关联词或者动词形式可以帮助我们判断正确答案。
(3)遇到长句时,可以将其拆分成几个简单的片段来理解,然后再选择正确答案。
二、完形填空题完形填空题在高考英语试卷中的比例相对较高,通常占据试卷的20%左右。
这种题型要求考生在给定的短文中填入一个最恰当的词语,使短文内容通顺、连贯。
1.题目特点:完形填空题通常涉及词汇、语法和修辞等方面的内容。
考查的重点是词汇的运用和理解上下文的能力。
2.解题技巧:(1)通读全文,了解短文的大意。
(2)通过上下文的语义关系判断空格处需要填入的词性和意思。
(3)根据前后句子的逻辑关系,判断空格处的词语是否需要转换词形。
(4)注意固定搭配和常用短语的运用,选择最合适的词语填入空格。
三、阅读理解题阅读理解题是高考英语试卷中的重头戏,通常占据试卷的40%左右。
这种题型要求考生根据所给材料回答一系列问题。
1.题目特点:阅读理解题分为短文理解和长文阅读两种类型。
短文理解通常包括一篇或几篇短文,每篇短文后跟有若干个问题;长文阅读通常包括一篇长文和若干个问题。
阅读理解题主要考查考生的阅读理解和推理能力。
2.解题技巧:(1)通读全文,了解文章的大意和结构。
(2)注意文章的主题、作者的观点和态度等信息。
(3)仔细阅读问题,理解问题的要求和关键词。
(4)根据问题的要求在文章中选择相应的信息进行推理,注意排除干扰项。
四、语法填空题语法填空题在高考英语试卷中的比例较小,通常只占据试卷的10%左右。
这种题型要求考生在给定的短文中根据上下文填入一个合适的词语,使短文内容通顺、连贯。
高考政治大题题型总结高考政治大题题型总结题型一、“体现类”主观题【题型特点】:体现型的设问中有“体现了什么”“怎样体现”“如何体现”等字眼。
【解题技巧】:具体的解题思路是:定点——联系——梳理——作答一定点:确定考核的知识点是什么;二联系:联系所给材料与所学知识;三梳理作答:将材料所给的信息与考核的知识点一一对照,二者相符的就是要点,作答时要做到观点和材料相结合。
题型二、“反映类”主观题【题型特点】:“反映型”的设问,一般来说所给的材料有文字式的,也有图表式的,大致有两种情况:一是反映了什么问题或现象,二是上述材料反映了什么变化.【解题技巧】:不管是哪一种设问的情况,材料所提供的信息都是感性的,而答案要求是理性的也就是说感性材料理性化,既把材料所提供的信息用教材中所学的知识加以表明。
做这类题关键是对材料所给的信息要全面把握,可采用定点法。
同上题型三、“为什么(原因)类”主观题【题型特点】:此类一般设问以“为什么说”,“为什么要”等形式呈现【解题技巧】:具体有三种方案:第一种:从分析其必然性,必要性的角度展开。
必然性亦可理解为紧迫性,也就是应客观规律、时代背景而生的产物,是为了解决现状不足的需要,必要性和重要性就是解决此问题的重要现实意义。
第二种:从为什么要、为什么能的角度展开。
一定要紧扣题意且联系教材知识来回答,答的越充分越全面越好,同时还要分析能够这么做的条件和社会环境第三种:从政治、经济或文化、历史或现实,内因与外因等角度展开,要求具体问题,具体分析。
一般情况下要回答“这样说”“这样做”的依据,意义(重要性)、必要性、可能性等,有时也要回答不这样做的危害,在解答中,一般应由近及远,由直接到间接,先经济后政治有次序,有条理地展开说明。
题型四、“怎么办(对策)类”主观题【题型特点】:此类题的设问一般来讲都是给出了确定的主体,如党、国家、政府、公民、企业、消费者和个人等。
并且指定了要回答的某一方面内容。
导数-大题导数在大题中一般作为压轴题出现,其复杂的原因就在于对函数的综合运用:1.求导,特别是复杂函数的求导2.二次函数(求根公式的运用)3.不等式:基本不等式、均值不等式等4.基本初等函数的性质:周期函数、对数函数、三角函数、指数函数5.常用不等式的巧妙技巧:1/2<ln2<1,5/2<e<3导数大题最基本的注意点:自变量的定义域1.存在性问题2.韦达定理的运用3.隐藏零点4.已有结论的运用5.分段讨论6.分类讨论7.常见不等式的应用8.导数与三次函数的利用1. 存在性问题第(1)问有两个未知数,一般来说,双未知数问题要想办法合并成一个未知数来处理合并成一个未知数后利用不等式1.存在性问题(2)问将有且仅有一个交点分成两部分证明,分别证至多存在一个交点与必然存在交点:证明必然存在交点是单纯的找“特殊点”问题高考导数大题中的存在性问题,最后几乎都会变成零点的存在性问题要点由于只关注零点的存在性,因此就没有必要对t(x)求导讨论其单调性,直接使用零点定即可。
(2)问先对要证明的结论进行简单变形:证毕韦达定理的使用(1)问是常规的分类讨论问题隐零点设而不求,代换整体证明对称轴已经在-1右侧,保证有零点且-1处二次函数值大于0两道例题都是比较简单的含参“隐零点”问题,总之就是用零点(极值点)反过来表示参数再进行计算一些比较难的题目,一般问题就会进行一定提示,如利用(2)问提示(3)问,其难点就在于知道要利用已有结论,但无从下手第(1)问分类讨论问题,分离变量做容易导致解题过于复杂(2)问将不等式两边取对数之后思路就很清晰了(1)(2)分别证明两个不等号即可化到已知的结论上()()()()()()()()()()()()''''1101,0,1,0;1,,00,11,110f x x xx f x x f x x f x f x x x x f x f =->=∈>∈+∞<∈∈+∞==为的零点于是在上单调递增,在上单调递减是的极大值点,(3)问需要利用(2)问结论才能比较顺利的证明利用(2)中结论第(1)问是一个比较简单的存在型问题分段)高考导数大题除求导外,隐藏零点、韦达定理、极值点偏移、二,三阶导等技巧,都是附加的技巧,导数的核心,是分类讨论的考察,高考题多数绕不开分类讨论。
高考政治大题答题技巧总结归纳一、“体现类”主观题【题型特点】体现型的设问中有“体现了什么”“怎样体现”“如何体现”等字眼。
【解题技巧】具体的解题思路是:定点——联系——梳理——作答一定点:确定考核的知识点是什么;二联系:联系所给材料与所学知识;三梳理作答:将材料所给的信息与考核的知识点一一对照,二者相符的就是要点,作答时要做到观点和材料相结合。
二、“反映类”主观题【题型特点】“反映型”的设问,一般来说所给的材料有文字式的,也有图表式的,大致有两种情况:一是反映了什么问题或现象,二是上述材料反映了什么变化.【解题技巧】不管是哪一种设问的情况,材料所提供的信息都是感性的,而答案要求是理性的也就是说感性材料理性化,既把材料所提供的信息用教材中所学的知识加以表明。
做这类题关键是对材料所给的信息要全面把握,可采用定点法。
同上三、“为什么(原因)类”主观题【题型特点】此类一般设问以“为什么说”,“为什么要”等形式呈现【解题技巧】具体有三种方案:第一种:从分析其必然性,必要性的角度展开。
必然性亦可理解为紧迫性,也就是应客观规律、时代背景而生的产物,是为了解决现状不足的需要,必要性和重要性就是解决此问题的重要现实意义。
第二种:从为什么要、为什么能的角度展开。
一定要紧扣题意且联系教材知识来回答,答的越充分越全面越好,同时还要分析能够这么做的条件和社会环境第三种:从政治、经济或文化、历史或现实,内因与外因等角度展开,要求具体问题,具体分析。
一般情况下要回答“这样说”“这样做”的依据,意义(重要性)、必要性、可能性等,有时也要回答不这样做的危害,在解答中,一般应由近及远,由直接到间接,先经济后政治有次序,有条理地展开说明。
四、“怎么办(对策)类”主观题【题型特点】此类题的设问一般来讲都是给出了确定的主体,如党、国家、政府、公民、企业、消费者和个人等。
并且指定了要回答的某一方面内容。
【解题技巧】解答此类题目时,可采用定点法,同题型一。
高考语文各大题型答题技巧模板归纳总结高考语文答题技巧全套选择题的答题技巧(15分,每小题3分)1.字音辨析题答题技巧:常见字注音正确的可能性小。
生僻字一般不会标错音。
审清题干,用排除法是较好的方法。
2.字形辨析题答题技巧:形近而音不同的别字。
生僻字一般不会错。
平时多积累。
3.词语运用题:凭语感去选择自己认为的最佳答案,一般有两种类型:答题技巧:对词义的理解,先拿你最会的词语去排除,对词语的运用,一定要在上下文中找到相应的信息,重点是使用场合上的搭配。
注意采用排除的方法,将最容易辨析的词语先排除,逐渐减少选项。
4.熟语(含成语)辨析题答题技巧:第一,逐字解释熟语,运用成语结构特点把握成语大意,但要注意不能望文生义;第二,体会熟语的褒义贬义中性等感情色彩;第三,要注意熟语使用范围,搭配的对象;第四,尽可能找出句中相关联的信息。
第五,四个选项权衡比较,选出认为最符合要求的。
要正确理解熟语的整体意义,要注意语境的组合与搭配情况,越是想要你字面理解的熟语越要注意陷阱。
特别陌生的熟语往往是对的。
5.病句辨析题病句类型:语序不当、搭配不当、成分残缺或赘余、结构混乱、表意不明(歧义)、不合逻辑。
答题技巧:判断病句用排除法居多。
回忆以前做的常见病句的标志做题思路通常是:检查句子的主干,是否缺成分推敲词语运用,是否搭配心里默读,看是否有不同的句式混用综合思考,是否符合逻辑思维,凭借语感。
特别注意以下几种情况:介词关于对于对等开头的句子,注意主语的残缺。
类似于A是B的句子,注意AB的协调,也可能是句式杂糅。
动词后有很长的修饰词语,注意是否宾语残缺。
用和或以及顿号连接的并列成分,注意歧义及内在逻辑顺序是否失当以及意义的从属关系。
前半句使用了能否可否等双面词语,注意后半句是否与前半句协调。
反问句及疑问句注意是否表意相反。
6.标点符号题答题技巧:注意试卷中常考标点(顿号、引号、破折号、括号、分号、问号)的使用,重点审查这类标点的使用正确性,逐一辨析排除。
高考生物大题答题方法与技巧最新一览高考生物大题常考题型答题技巧简单类大题1、高考生物文字信息迁移题:解题时要认真阅读材料,针对材料提出的问题认真推敲,要学会把握有效信息,找出真实的联系,揭示材料和问题之间的关系。
答题时要紧扣题意,观点准确,全面。
2、高考生物曲线信息迁移题:解题时要通过阅读和分析图像,理解图像中所表达的内涵,将提取到的有效信息转化为可利用的信息,最终去回答问题。
3、高考生物图示信息迁移题:第一点要认真阅读,弄清楚图示的内涵和延伸;第二点要善于挖掘图示中的隐含条件,找出解题所需要的条件;第三点要善于运用已有的生物学知识进行分析来获得准确的答案。
4、高考生物表格信息迁移题:首先要看表格的名称、数据和备注等主要内容,还要明确解题所需的知识点要点,在通过表格中的数据进行全方位的比较,找到解决问题中的突破口。
图表资料类大题1、学会对已知实验进行变式。
发展求异思维,有助于提高实验综合能力。
很多实验都可以选择不同的材料,不同的实验步骤,也可以从众多不同的实验结果中得出同一个结论。
2、言简意赅,提高高考生物答题的准确性。
复习时要加强规范答题训练,提升解题技巧。
在答题时尽量做到找出关键词,明确命题指向,避免答非所问,准确的选用生物学专业术语作答,提高用词的科学性和规范性,全盘考虑,答全要点,确保答案的完整性。
实验探究类大题1、学会掌握生物学基础知识。
深入理解和灵活运用生物学的基本原理、基本概念和基本规律是培养科学思维方法,完成探究性实验的基础。
2、深刻领会教材实验的设计思想。
想要做好高考生物探究性大题,就要认真分析教材中所涉及到的实验,理解每一个实验的原理与目的的要求,弄清楚材料用具的选择方法与原则,掌握实验方法和实验步骤们深入分析实验条件、过程和现象。
为实验设计提供科学的实验依据,搭建基本框架。
高考生物大题必背知识点1、基因具有双螺旋结构,基因储存的遗传信息指碱基对的排列顺序2、基因可控制酶的合成进而来控制生物性状3、产前诊断羊水检查胎心细胞上有关酶的活性4、基因重组发生在受精过程中吗?不在,基因重组发生在精子与卵细胞行程过程中,即发生在减数第一次分裂后期及四分体时期5、激素进入血液后定向运输到靶细胞上,对吗?不对,激素运输至全身各处,但只在靶细胞处发挥作用6、生态系统的结构包括哪些?组成成分:生产者消费者、分解者、非生物的物质与能量以及食物网、食物链7、设置对照组的目的是排除其他因素对实验结果的影响,以保证本实验的结果是由于单一要证因素引起的8、目的基因不能直接导入受体细胞来表达,原因是目的基因无复制原点,目的基因无表达所需的启动子9、以mRNA为材料可得到cDNA,原理是在逆转录酶的作用下,以mRNA为模板按照碱基互补配对原则可以合成cDNA(叫做“反转录”)10、DNA分子按反向平行方式盘旋成双螺旋结构11、DNA分子的三大特性稳定性、多样性、特异性12、DNA的基本骨架是怎样构成的?磷酸和脱氧核糖交替连接,排列在外侧,构成基本骨架13、为什么DNA能够进行准确的复制?DNA具有独特的双螺旋结构,能为复制提供精确的模块;通过碱基互补配对,保证了复制能够准确地进行14、细胞内水分的主要作用是?为细胞内的化学反应提供液体环境、作为某些化学反应的反应物、维持细胞的渗透压、是细胞的重要组成部分,重要的结构组织15、基因表达载体的组成是启动子、插入基因(目的基因)、终止子、抗性基因、复制原点16、质粒载体作为基因工程的工具,应具备的条件有必须有一个或多个限制酶的酶切分点、必须有自我复制的能力、具有标记基因、分子大小合适、必须是安全的不伤害受体细胞17、而作为基因表达载体,还需要启动子和终止子18、转录和翻译同时进行发生在原核生物中19、基因控制酶的合成来控制代谢过程,进而控制生物性状。
高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中,三角形是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。
在这一题型中,常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。
二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。
学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。
在这一题型中,学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。
三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。
学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。
在这一题型中,学生需要利用已知条件来判断圆的位置,或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。
四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。
在这一题型中,学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直,或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。
五、多边形的性质与判定在解析几何题中,多边形也是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。
在这一题型中,学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质,或者求解未知的角度或者线段长度。
六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。
在这一题型中,学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。
这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。
七、向量的应用在解析几何题目中,向量是一个重要的工具。
学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。
在这一题型中,学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。
总结:解析几何题目涉及到的题型很多,常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。
针对这些题型,学生在备考中应该重点复习相关知识,并且多进行一些练习题,以加深对题型的理解和应用能力。
2024年高考数学大题题型总结及技巧一、选择题1. 勾股定理题目:会给出两个直角三角形边长的关系,让你求解其中一个边长。
一般使用勾股定理或者特殊三角函数来解题。
解题技巧:通过观察哪个角是直角,使用特殊三角函数求解。
2. 向量运算题目:会给出两个向量的关系或者向量的模长,让你计算向量的运算。
解题技巧:首先根据题目给出的向量关系写出方程,然后利用向量的基本运算规则解方程得出结果。
3. 数列问题:会给出数列的前几项或者数列的通项公式,让你计算数列的和或者通项。
解题技巧:根据题目给出的数列关系,使用求和公式或者递推公式求解。
4. 几何证明题目:会给出几何图形或者条件,让你证明某个结论。
解题技巧:根据题目给出的几何图形,观察几何性质,使用几何定理进行证明。
5. 函数题目:会给出函数的定义或者函数的性质,让你计算函数的值或者求函数的极值。
解题技巧:根据题目给出的函数关系,使用函数的性质进行计算。
6. 应用题:会给出一个实际问题,让你运用数学知识解决问题。
解题技巧:首先理清问题,找出与题目相关的数学知识点,然后运用数学知识解决问题。
二、解答题1. 平面向量题目:会给出一些平面向量的条件,让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧:根据平面向量的性质,进行条件的推导或者使用向量的运算进行计算。
2. 集合论题目:会给出一些集合的条件,让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧:根据集合的性质和运算规则进行条件的推导或者使用集合的运算进行计算。
3. 函数题目:会给出一些函数的条件,让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧:根据函数的性质和函数的运算规则进行条件的推导或者使用函数的运算进行计算。
4. 几何问题:会给出几何图形的条件,让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧:利用几何图形的性质和几何定理进行条件的推导或者使用几何的运算进行计算。
5. 解析几何问题:会给出解析几何的条件,让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧:根据解析几何的性质和定理进行条件的推导或者利用解析几何的运算进行计算。
导数压轴大题7个题型梳理归纳题型一:含参分类讨论 类型一:主导函数为一次型例1:已知函数()ln f x ax a x =--,且()0f x ≥.求a 的值 解:()1ax f x x-'=.当0a ≤时,()0f x '<,即()f x 在()0,+∞上单调递减,所以当01x ∀>时,()()010f x f <=,与()0f x ≥恒成立矛盾.当0a >时,因为10x a <<时()0f x '<,当1x a>时()0f x '>,所以()min 1f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,又因为()1ln10f a a =--=,所以11a =,解得1a =类型二:主导函数为二次型例2: 已知函数()()320f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解:()f x 的定义域为R ,()()23210f x x kx k '=-+<,其开口向上,对称轴3k x =,且过()0,1,故03kk k <<<-,明显不能分解因式,得2412k ∆=-.(1)当24120k ∆=-≤时,即0k ≤<时,()0f x '≥,所以()f x 在[],k k -上单调递增;(2)当24120k ∆=->时,即k <令()23210f x x kx '=-+=,解得:12x x ==,因为()()210,010f k k f ''=+>=>,所以两根均在[],0k 上.因此,结合()f x '图像可得:()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤+-⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增,在⎢⎥⎣⎦上单调递减.类型三:主导函数为超越型例3:已知函数()cos xf x e x x =-.求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. 解:定义域0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,()()cos sin 1x f x e x x '=--,令()()cos sin 1xh x e x x =--,则()()cos sin sin cos 2sin .xx h x e x x x x e x '=---=-当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得()0h x '≤,即()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减,可得()()()000h x h f '≤==,则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减,所以()()()max01,.22f x f f x f ππ⎛⎫====- ⎪⎝⎭类型四:复杂含参分类讨论例4:已知函数()()33f x x x a a R =+-∈.若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为()(),M a m a ,求()()M a m a -.解:()33333,333,x x a x a f x x x a x x a x a ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩,()2233,33,x x af x x x a⎧+≥⎪'=⎨-<⎪⎩ ①当1a ≤-时,有x a ≥,故()333f x x x a =+-,所以()f x 在()1,1-上是增函数,()()()()143,143M a f a m a f a ==-=-=--,故()()8M a m a -=.②当11a -<<时,若()()3,1,33x a f x x x a ∈=+-,在(),1a 上是增函数;若()1,x a ∈-,()333f x x x a =-+,在()1,a -上是减函数,()()(){}()()3max 1,1,M a f f m a f a a =-==,由于()()1162f f a --=-+因此当113a -<≤时,()()334M a m a a a -=--+;当113a <<时,()()332M a m a a a -=-++.③当1a ≥时,有x a ≤,故()333f x x x a =-+,此时()f x 在()1,1-上是减函数,因此()()()()123,123M a f a m a f a =-=+==-+,故()()4M a m a -=.题型二:利用参变分离法解决的恒成立问题类型一:参变分离后分母跨0例5:已知函数()()()242,22xf x x xg x e x =++=+,若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.解:由题意()24221xx x ke x ++≤+,对于任意的2x ≥-恒成立.当1x =-,上式恒成立,故k R ∈;当1x >-,上式化为()24221x x x k e x ++≥+,令()()()2421,21x x x h x x e x ++=>-+ ()()()22+221x xxe x h x e x -'=+,所以()h x 在0x =处取得最大值,()01k h ≥= 当21x -≤<-时,上式化为()24221x x x k e x ++≤+,()h x 单调递增,故()h x 在2x =-处取得最小值,()22k h e ≤-=.综上,k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦.类型二:参变分离后需多次求导例6:已知函数()()()()212ln ,f x a x x a R =---∈对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立,求a 的最小值.解:即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立. 令()2ln 12,0,12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭,则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x l x x x --+-'=-=-- 再令()()()222121122ln 2,0,,02x m x x x m x x x x x --⎛⎫'=+-∈=-+=< ⎪⎝⎭()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭,从而,()0l x '>,于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数,()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭,故要2ln 21xa x >--恒成立,只要[)24ln 2,a ∈-+∞,即a 的最小值24ln 2-. 变式1:已知函数()()1ln ,0x f x x a R a ax -=+∈≠,()()()11x g x b x xe b R x=---∈(1)讨论()f x 的单调性;(2)当1a =时,若关于x 的不等式()()2f x g x +≤-恒成立,求b 取值范围.类型三:参变分离后零点设而不求例7:已知函数()ln f x x x x =+,若k Z ∈,且()1f x k x <-对于任意1x >恒成立,求k 的最大值.解:恒成立不等式()minln ln ,111f x x x x x x x k k x x x ++⎛⎫<=< ⎪---⎝⎭,令()ln 1x x x g x x +=-,则()()2ln 21x x g x x --'=-,考虑分子()ln 2,h x x x =-- ()110h x x'=->,()h x 在()1,+∞单调递增.()()31ln 30,42ln 20h h =-<=->由零点存在定理,()3,4b ∃∈,使得()0h b =.所以()1,x b ∈,()()00h x g x '<⇒<,同理()(),,0x b g x '∈+∞>,所以()g x 在 ()1,b 单调递减,在(),b +∞单调递增.()()min ln 1b b bg x g b b +==-,因为()0h b =即ln 20ln 2b b b b --=⇒=-,()()()23,4,1b b b g b b b +-==∈-所以,k b <得max 3k =变式1:(理)已知函数().x ln x eaxx f x +-=(2)当0>x 时,()e x f -≤,求a 的取值范围.题型三:无法参变分离的恒成立问题类型一:切线法例8:若[)20,,10x x e ax x ∈+∞---≥,求a 的取值范围.类型二:赋值法例9:已知实数0a ≠,设函数()ln 1,0f x a x x x =++>.(1)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间; (2)对于任意21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭均有()2x f x a ≤,求a 的取值范围. 解析:(1)当34a =-时,3()ln 1,04f x x x x =-++>. 3(12)(21()42141x x f 'x x x x x++=-=++ 所以,函数()f x 的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(2)由1(1)2f a≤,得0a <≤当04a <≤时,()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥.令1t a=,则t ≥.设()22ln ,g t t x t =≥,则()2ln g t g x ≥=.(i )当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g t g x ≥=.记1()ln ,7p x x x =≥,则1()p'x x =-=.故所以,()(1)0p x p ≥= .因此,()2()0g t g p x ≥=≥.(ii )当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,1()1g t g x ⎛+= ⎝.令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦,则()10q'x =+>, 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭.由(i )得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以,()<0q x . 因此1()10g t g x ⎛+=>⎝.由(i )(ii )得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,),()0t g t ∈+∞,即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,均有()2x f x a.综上所述,所求a 的取值范围是⎛ ⎝⎦题型四:零点问题类型一:利用单调性与零点存在定理讨论零点个数 例10:已知函数()()31+ln .4f x x axg x x =+=-,(2)用{}min ,m n 表示,m n 中最小值,设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>讨论()h x 零点个数.解:(2)当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤,∴()h x 在(1,)+∞无零点.当x =1时,若54a -≥,则5(1)04f a =+≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点;若54a <-,则5(1)04f a =+<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =->,所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数. (ⅰ)若3a -≤或0a ≥,则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点,故()f x 在(0,1)单调,而1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当3a -≤时,()f x 在(0,1)有一个零点; 当a ≥0时,()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<,则()f x 在(01)单调递增,故当x ()f x 取的最小值,最小值为f 14.①若f >0,即34-<a <0,()f x 在(0,1)无零点.②若f =0,即34a =-,则()f x 在(0,1)有唯一零点;③若f <0,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5(1)4f a =+, 所以当5344a -<<-时,()f x 在(0,1)有两个零点; 当534a -<≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点.综上,当34a >-或54a <-时,()h x 由一个零点;当34a =-或54a =-时,()h x 有两个零点;当5344a -<<-时,()h x 有三个零点.类型二:±∞方向上的函数值分析例11:已知函数()()22.x xf x ae a e x =+--若()f x 有两个零点,求a 取值范围.(2)(ⅰ)若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点. (ⅱ)若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+.①当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点; ②当(1,)a ∈+∞时,由于11ln 0a a-+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点; ③当(0,1)a ∈时,11ln 0a a-+<,即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>+⎪⎝⎭,则()()000032ln 10n nf n e ae n f a ⎛⎫⎛⎫>-->+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上,a 的取值范围为(0,1).总结:若()01,ln 0a f a <<-<,要证明()f x 有两个零点,结合零点存在定理,分别在a 的左右两侧,这两个点的函数值()f x 都大于0,这时候需要我们对函数进行适当地放缩,化简,以便取值.先分析当x →-∞,2,x x ae ae 虽然为正,但是对式子影响不大,因此可以大胆的舍掉,得出()2xf x x e >--,显然我们对于右侧这个式子观察,就容易得出一个足够小的x (如1x =-),使得式子大于0了.再分析当x →+∞,我们可以把x ae 这个虽然是正数,但贡献比较小的项舍掉来简化运算,得到()()2xxf x eaex >--,显然当x 足够大,就可以使()2x ae -大于任何正数.那么把它放缩成多少才可以使得x e 的倍数大于x 呢?由常用的不等式1x e x x ≥+>,因此只需要使得21x ae ->即3ln x a >(如3ln 1x a=+)就可以了.题型五:极值点偏移类型一:标准极值点偏移例13:已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点1,2x x ,证明12 2.x x +<解: 不妨设12x x <,由(Ⅰ)知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,又()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<.由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-, 而22222()(2)(1)0xf x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x ex e --=---.设2()(2)xx g x xex e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--.所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<.类型二:推广极值点偏移例14:已知()()()12ln ,f x x x f x f x ==,求证121x x +<. 解:我们可以发现12,x x 不一定恒在12x =两侧,因此需要分类讨论: (1)若12102x x <<<,则1211122x x +<+=,该不等式显然成立; (2)若121012x x <<<<,令()()()()()1ln 1ln 1g x f x f x x x x x =--=---102x <<,故()()()()12ln ln 12,01x g x x x g x x x -'''=+-+=>-,()g x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,当0x →时,()1;22ln 202g x g ⎛⎫''→-∞=-> ⎪⎝⎭.010,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()00g x '=即()g x 在()00,x 上单调递减,在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又0x →时,()0g x →,且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭,故()0g x <,即()()1f x f x <-对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立,得证.题型六:双变量问题类型一:齐次划转单变量例15:已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+()2a ≤.设,m n R +∈,且m n ≠,求证ln ln 2m n m nm n -+<-. 解:设m n >,证明原不等式成立等价于证明()2ln m n mm n n-<+成立,即证明21ln 1m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭<+成立.令m t n =,1t >,即证()()21ln 01t g t t t -=->+.由(1)得,()g t 在()0,+∞上单调递增,故()()10g t g >=,得证.变式1:对数函数()x f 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,e P ,函数()()()为常数m ,n x f m n x g '-=,()()的导函数为其中x f x f '.(1)讨论()x g 的单调性;(2)若对于()+∞∈∀,x 0有()m n x g -≤恒成立,且()()n x x g x h -+=2在()2121x x x ,x x ≠=处的导数相等,求证:()()22721ln x h x h ->+.解:(2)因为()1g n m =-,而()0,x ∀∈+∞有()()1g x n m g ≤-=恒成立,知()g x 当1x =时有最大值()1g ,有(1)知必有1m =.∴()()()11ln ,22ln ,g x n x h x g x x n x x x x=--=+-=-- 依题意设()()211122221120,1120k x x h x h x k k x x ⎧-+-=⎪⎪''==⎨⎪-+-=⎪⎩∴12111x x +=121212+=4x x x x x x ⇒≥>∴()()()()121212*********+ln ln 21ln h x h x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=-+-+=-- ⎪⎝⎭令()124,21ln t x x t t t ϕ=>=--,()()1204t t tϕ'=->> ∴()t ϕ在4t >单调递增,∴()()472ln 2t ϕϕ>=-类型二:构造相同表达式转变单变量例16:已知,m n 是正整数,且1m n <<,证明()()11.nmm n +>+解:两边同时取对数,证明不等式成立等价于证明()()ln 1ln 1n m m n +>+,即证明()()ln 1ln 1m n m n ++>,构造函数()()ln 1x f x x+=,()()2ln 11xx x f x x -++'=,令()()ln 11x g x x x =-++,()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++,故()()00g x g <=,故()0f x '<,结合1,m n <<知()()f m f n >类型三:方程消元转单变量例17:已知()ln xf x x=与()g x ax b =+,两交点的横坐标分别为1,2x x ,12x x ≠,求证:()()12122x x g x x ++>解:依题意11211112222222ln ln ln ln x ax b x x ax bx x x ax bx ax b x ⎧=+⎪⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪⎩,相减得: ()()()12121212ln ln x x a x x x x b x x -=+-+-,化简得()()121212lnx x a x x b x x ++=-,()()()()()()112121121212121122221ln ln 1x x x x x x x x g x x x x a x x b x x x x x x ++++=+++==⎡⎤⎣⎦-- 设12x x >,令121x t x =>,()()()12122112ln 2ln 011t t x x g x x t t t t -+++>⇔>⇔->-+ 再求导分析单调性即可.变式1:已知函数()1++=ax x ln x f 有两个零点21x ,x .()10a -<<(2)记()x f 的极值点为0x ,求证:()0212x ef x x >+.变式2:设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. 若()f x 存在三个极值点123,,x x x ,且123x x x <<,求k 范围,证明1322x x x +>.变式3:已知函数()122ln 21x ef x a x x x-⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭在定义域()0,2内有两个极值点.(1)求实数a 的取值范围;(2)设12,x x 是()f x 两个极值点,求证12ln ln ln 0x x a ++>.类型四:利用韦达定理转单变量例18:已知()()21ln 02f x x x a x a =-+>,若()f x 存在两极值点1,2x x , 求证:()()1232ln 24f x f x --+>.解:()21,a x x af x x x x-+'=-+=由韦达定理12121,x x x x a +==1140,4a a ∆=->< ()()()()()212121212121+2ln 2f x f x x x x x x x a x x ⎡⎤=+--++⎣⎦ ()11121ln ln 22a a a a a a =--+=--令()()11ln ,0,ln 024g a a a a a g a a '=--<<=<,()g a 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,故()132ln 244g a g --⎛⎫>=⎪⎝⎭. 变式1:已知函数().R a ,x ax x ln x f ∈-+=22(2)若n ,m 是函数()x f 的两个极值点,且n m <,求证:.mn 1>方法二:变式2:已知函数()213ln 222f x x ax x =+-+()0a ≥. (1)讨论函数()f x 的极值点个数;(2)若()f x 有两个极值点12,x x ,证明()()110f x f x +<.题型六:不等式问题类型一:直接构造函数解决不等式问题例19:当()0,1x ∈时,证明:()()221ln 1x x x ++<.解:令()()()221ln 1f x x x x =++-,则()00f =,而()()()()2ln 1ln 12,00f x x x x f ''=+++-=,当()0,1x ∈时,有()ln 1x x +<,故()()()ln 12222ln 10111x f x x x x x x+''=+-=+-<⎡⎤⎣⎦+++, ()f x '在()0,1上递减,即()()00f x f ''<=,从而()f x 在()0,1递减,()()00f x f ≤=,原不等式得证.变式1:已知函数()()()R a ex x ln x a x f ∈+-=1.(1)求函数()x f 在点1=x 处的切线方程;(2)若不等式()0≤-x e x f 对任意的[)+∞∈,x 1恒成立,求实数a 的取值范围解:(2)令()()()()1ln 1,x xg x f x e a x x ex e x =-=-+->()1ln 1xg x a x e e x ⎛⎫'=+-+- ⎪⎝⎭, ①若0a ≤,则()g x '在[)1,+∞上单调递减,又()10g '=.即()0g x '≤恒成立,所以()g x 在[)1,+∞上单调递减,又()10g =,所以()0g x ≤恒成立.②0a >,令()()1ln 1,x h x g x a x e e x ⎛⎫'==+-+- ⎪⎝⎭所以()211xh x a e x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭,易知211x x +与x -e 在[)1,+∞上单调递减,所以()h x '在[)1,+∞上单调递减,()12h a e '=-. 当20a e -≤,即02ea <≤时,()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立,则()h x 在[)1,+∞上单调递减,即()g x '在[)1,+∞上单调递减,又()10g '=,()0g x '≤恒成立,()g x 在[)1,+∞上单调递减,又()10g =,()0g x ≤恒成立.当20a e ->时,即2ea >时,()01,x ∃∈+∞使()00h x '=,所以()h x 在()01,x 上单调递增,此时()()10h x h >=,所以()0g x '>所以()g x 在()01,x 递增,得()()10g x g >=,不符合题意. 综上,实数a 的取值范围是2e a ≤. 变式2:(文)已知函数()()()().R a ,x a x g ,x ln x x f ∈-=+=11(1)求直线()x g y =与曲线()x f y =相切时,切点T 的坐标. (2)当()10,x ∈时,()()x f x g >恒成立,求a 的取值范围.解:(1)设切点坐标为()00x y ,,()1ln 1f x x x'=++,则()()000001ln 11ln 1x a x x x a x ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩,∴00012ln 0x x x -+=.令()12ln h x x x x=-+,∴()22210x x h x x -+'=-≤,∴()h x 在()0+∞,上单调递减, ∴()0h x =最多有一根.又∵()10h =,∴01x =,此时00y =,T 的坐标为(1,0).(2)当()0 1x ∈,时,()()g x f x >恒成立,等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈,恒成立. 令()()1ln 1a x h x x x -=-+,则()()()()2222111211x a x ah x x x x x +-+'=-=++,()10h =. ①当2a ≤,()1x ∈0,时,()22211210x a x x x +-+≥-+>, ∴()0h x '>,()h x 在()0 1x ∈,上单调递增,因此()0h x <. ②当2a >时,令()0h x '=得1211x a x a =-=-由21x >与121x x =得,101x <<.∴当()1 1x x ∈,时,()0h x '<,()h x 单调递减, ∴当()1 1x x ∈,时,()()10h x h >=,不符合题意; 综上所述得,a 的取值范围是(] 2-∞,.变式3:(文)已知函数().x x x ln x f 12---=(2)若存在实数m ,对于任意()∞+∈0x ,不等式()()()0212≤+-+x x m x f 恒成立,求实数m 的最小整数值.解:(2)法一:参变分离+二次局部求导+虚设零点变式4:(理)已知函数()()()R a x a eae x f xx∈-++=-22.(1)讨论()x f 的单调性;(2)当0≥x 时,()(),x cos a x f 2+≥求实数a 的取值范围.变式5:已知()1ln ,mf x x m x m R x-=+-∈. (1)当202e m <≤时,证明()21x e x xf x m >-+-.类型二:利用min max f g >证明不等式问题例20:设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程为()12y e x =-+.(1)求,a b 值; (2)证明:()1f x >【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+. 由题意可得(1)2f =,(1)f e '=.1, 2.a b ==故(2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+,从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()1g x x nx =,则'()1g x nx =.所以当1(0,)x e ∈时,()0g x '<;当1(,)x e ∈+∞时,()0g x '>.故()g x 在1(0,)e 单调递减,在1(,)e+∞单调递增,从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11()g e e=-. 设函数2()xh x xee-=-,则'()(1)x h x e x -=-. 所以当(0,1)x ∈时()0h x '>;当(1,)x ∈+∞时,()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增, 在(1,)+∞单调递减,从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-.变式1. 已知函数()x ln a bx x f +=2的图像在点()()11f ,处的切线斜率为2+a .(1)讨论()x f 的单调性; (2)当20e a ≤<时,证明:()222-+<x e xx x f 解:(2)要证()222x f x x e x -<+,需证明22ln 2x a x e x x-<.令()ln 02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭,则()()21ln a x g x x -'=, 当()0g x '>时,得0x e <<;当()0,g x '<得x e >. 所以()()max ag x g e e==. 令()()2220x e h x x x -=>,则()()2322x e x h x x--'=. 当()0h x '>时,得2x >;当()0h x '<时,得02x <<. 所以()()min 122h x h ==.因为02e a <≤,所以()max 12a g x e ==. 又2e ≠,所以22ln 2x a x e x x-<,即()222x f x x e x -<+得证.变式2:(理)已知函数()().ax ln axx f -=(1)求()x f 的极值;(2)若()012≤+-++m x e mx x ln e x x ,求正实数m 的取值范围.变式3:已知()1ln ,mf x x m x m R x-=+-∈. (2)当202e m <≤时,证明()21x e x xf x m >-+-.类型三:利用赋值法不等式问题例21:已知函数()2x xf x e e x -=--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设()()()24g x f x bf x =-,当0x >,()0g x >,求b 的最大值. (3)估计ln 2(精确小数点后三位).解:因为()()()()()2224484xx x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+-所以()()()()()2222422222xx x x x x x xg x ee b e e b e e e e b ----⎡⎤'=+-++-=+-+-+⎣⎦①当2b ≤时,()0,g x '≥等号仅当0x =时成立,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =,所以对于任意()0,0x g x >>.②当2b >,若x 满足222x x e e b -<+<-,即(20ln 12x b b b <<-+-时,()0g x '<,而()00g =,因此当(20ln 12x b b b <≤--时,()0g x <,综上最大为2.(3)由(2)知,(()3221ln 22g b =-+-,当2b =时,(36ln 20,ln 20.69282g =->>>;当14b =+时,(ln 1b -+=(()32ln 202g =--<,18ln 20.69328+<<,所以近似值为0.693类型四:利用放缩法构造中间不等式例22:若0x >,证明:()ln 1.1x x xx e +>- 解:转化成整式()()2ln 11xx e x +->.令()()()2ln 11xf x x e x =+--,则()()1ln 121x xe f x e x x x -'=++-+()()()21ln 1211x x x e x e f x e x x x +''=+++-++.由()+1ln 11x x e x x x ≥+≥+,, 得()()()()3222112120,11x x x x f x x x x +++''≥++-=>++()()00,f x f ''≥=故()()00f x f ≥=,得证.变式1:(2020河南鹤壁市高三期末)已知函数()21xf x e kx =--,()()()2ln 1g x k x x k R =+-∈.(2)若不等式()()0f x g x +≥对任意0x ≥恒成立,求实数k 范围.变式2:(2020年河南六市联考)已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++,()1ln g x ax b x =-- 证明:当1,x >-()()2sin 22xf x x x e<++类型五:与数列相关的不等式例23:设m 为整数,且对于任意正整数n ,2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求m 的最小值.解:(2)由(1)知当(1,)x ∈+∞时,1ln 0x x -->令112n x =+得11ln(1)22n n +<,从而 221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<而23111(1)(1)(1)2222+++>,所以m 的最小值为3.变式1:(理)已知函数()()()021>+-+=a ax xx ln x f .(1)若不等式()0≥x f 对于任意的0≥x 恒成立,求实数a 的取值范围;(2)证明:().N n ln ln ln ln n n n *-∈⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⋅⋅⋅+++1212121279353变式1:(2020河南开封二模)已知函数()1xf x e x =--.(1)证明()0f x >;(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 求m 的最小值.类型六:与切、割线相关的不等式例24:已知函数()()2901xf x a ax =>+ (1)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值;(2)若直线2y x a =-+为曲线()y f x =的切线,求实数的值;(3)当2a =时,设12141,,22x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦,且121414x x x +⋅⋅⋅+=,若不等式()()()1214f x f x f x λ+⋅⋅⋅+≤恒成立,求实数λ的最小值.解:证明()29412xf x x x=≤-++,即32281040x x x -+-+≥, 令()3228104F x x x x =-+-+,()261610F x x x '=-+-,所以()F x在1,12⎛⎫⎪⎝⎭,5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭递减,在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增.而()50,203F F ⎛⎫>> ⎪⎝⎭,表明不等式()29412xf x x x =≤-++成立.所以()()()12141244+442n f x f x f x x x x ++⋅⋅⋅+≤-+-+⋅⋅⋅-+=, 等号在全部为1时成立,所以λ最小值为42。
高考数学必考题型总结一、函数与方程的思想函数思想就是用运动变化的观点去分析和研究具体问题,建立函数关系,并运用函数的概念和性质及图象去解决问题。
方程思想就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程或不等式的方式来解决问题。
二、数形结合的思想中学数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数,一部分是形,但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找解题途径的一种思想方法,又是解题的具体方法,且可运用于整个高中数学。
三、分类讨论的思想在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论思想。
分类讨论思想是对复杂问题的一种分解策略,通过分类可以分解为若干个或若干类已知或未知的问题,以便逐个分析解决。
四、转化与化归的思想转化与化归是解决数学问题常用的思想方法。
转化是将原问题转化为一个新的问题,而化归则是将新问题化归为更简单的或已经解决的问题。
实践证明,转化与化归的思想方法在解决许多数学问题时行之有效。
五、函数与方程的思想方法函数思想就是用运动变化的观点去分析和研究具体问题,建立函数关系,并运用函数的概念和性质及图象去解决问题。
方程思想就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程或不等式的方式来解决问题。
六、分类讨论的思想方法在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论思想。
分类讨论思想是对复杂问题的一种分解策略,通过分类可以分解为若干个或若干类已知或未知的问题,以便逐个分析解决。
七、数形结合的思想方法中学数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数,一部分是形,但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找解题途径的一种思想方法,又是解题的具体方法,且可运用于整个高中数学。
高考语文考试题型及答题技巧总结高考语文考试题型及答题技巧1.字音辨析题:答题技巧:常见多音字标“次读音”正确的可能性大,标“常读音”正确的可能性小。
形声字标“不同声旁读音”的正确可能性大,标“同声旁读音”的正确可能性小。
常见字标音正确的可能性小。
生僻字一般不会标错音。
一般考辨析,不考拼写,不考查汉语拼音方案。
用排除法是较好的方法,但必须用?或其他记号来提示自己。
2.字形辨析题答题技巧:由于计算机处理的局限,高考只考别字的辨析。
如果怀疑某个是别字,可以写出几个同音字来比较,可以写出几个形似字来比较。
通过分析形声字的形旁来推导这个字的含意,再放到这个词语中去判定是否相符。
对于独体字或形声字中的形旁已失去表意功能的形声字可以通过分析词语的语法结构来确定它是不是别字,还可以通过对整个词语的理解,来寻找不合语境的别字。
多使用结构分析法:字形结构及词语结构分析法。
看词语不宜太长久,时间长了对的都象错的,如无把握,可放放再说,但必须用?或其他记号来提示自己。
3.标点符号运用题常见错误:非疑问句用问号,倒装句中句号、叹号前置;分句之间用顿号,联合词组不同层次的词语之间用顿号,连词前面用顿号,概数用顿号,集合词语用顿号;句中没有逗号径直用分号,句中已用句号再用分号;句中短暂停顿用冒号,同一句中用两个冒号,引语中"某某说,后用冒号,冒号后面揭示范围不清;引语中句末点号误置,直排引号用于横排;不是书名用书名号;括号句内、句外不分;破折号、省略号。
4.词语运用题实词辨析题答题技巧:对词义的理解,有相同语素又有不相同语素的词语,重点是分析理解不相同语素,可以通过组词来理解,也可以找出反义词来理解,还可以分析形声字的形旁来理解。
语素都不相同的词语,重点从用法方面考虑。
对词语的运用,一定要在上下文中找到相应的信息,重点是使用场合上的搭配。
注意采用排除的方法,将最容易辨析的词语先排除,逐渐减少选项。
虚词辨析题虚词它在语句中起着调节各种语言关系的作用。
关于数学中导数题型总结导数是高中数学的一种重要题型,虽然每年的高考考的不是很多,但它是必考题型,也是分值占比最大的题型。
导数部分相对简单,大多数学生在接触它的时候是不太适应的,特别是导数求导速度和导数运算题都非常棘手。
很多学生在做这类题目的时候只能靠运气或者是其他因素来解决问题,很多学生往往没想清楚为什么要做这个题,认为是简单的导数计算题又不重要。
我想对这部分同学做一个详细的总结汇报,希望对你们有所帮助。
一、求导速度求导速度也就是求的各个节点的距离等于节点的坐标,而每个节点所对应的计算量也就是这个知识点要完成多少道题目,所以这个知识点就是一个考点:最小行程问题。
对于求导速度比较快的问题可以利用等式关系求解解题,特别喜欢求导过程中不需要等待或者没有注意到节点的坐标和距离不需要等待,这样不仅能节省时间也能提高解的准确率。
对于求导速度慢的问题,可利用参数化问题的方法进行求导,这样就可以大大缩短你计算出结论的时间。
另外还有一些特殊复杂的求导运算也是需要注意的,比如导数的实数解和虚数解的计算方法,一定要清楚。
实数解一般利用的都是原函数的解析式来计算,而虚数解一般是利用定理方程或者导数方程的求导来进行求导,所以对于一些没有解出来的题就不要着急了,可以用一些方法进行求导即可完成解题而不需要考虑到解析的思想和方法,比如一些特殊导数中可以利用一些特殊的符号进行计算。
二、导数形式1、正态分布:求导问题一般以正态分布形式出现,这类题目一般有三种常见的形式:极坐标、双曲对称性、椭圆对称性。
根据上述定义,这三种形式是正态分布和坐标对称性求导方法中的两种简单方法,在求导问题中,常以椭圆对称性求导方法为主,这类求导方法一般可以用到积分求导法则、周期律求导法则等。
2.直线方程:导数中直线方程的求导过程是求解直线方程的关键,可以直接通过求导公式来求导,比如下面的求导公式:3、等式与不等式:当满足给定的等式中有一条不等式的时候,可以利用等式求导的性质进行求导,比如下面的等式与不等式都可以直接求导来求解:其实很多同学对这类题不是很熟悉和了解,下面我们简单分析一下各种形式分别有哪些优缺点。
高考语文120个答题技巧各题型全总结第Ⅰ卷(选择题共36分)(一)(15分,每小题3分)1.【字音辨析题】答题技巧:常见字注音正确的可能性小。
生僻字一般不会标错音。
审清题干,用排除法是较好的方法。
2. 【字形辨析题】答题技巧:“形近而音”不同的别字。
生僻字一般不会错。
平时多积累。
3.【词语运用题】凭语感去选择自己认为的最佳答案,一般有两种类型:答题技巧:对词义的理解,先拿你最会的词语去排除,对词语的运用,一定要在上下文中找到相应的信息,重点是使用场合上的搭配。
注意采用排除的方法,将最容易辨析的词语先排除,逐渐减少选项。
4. 【熟语(含成语)辨析题】答题技巧:第一,逐字解释熟语,运用成语结构特点把握成语大意,但要注意不能望文生义;第二,体会熟语的褒义贬义中性等感情色彩;第三,要注意熟语使用范围,搭配的对象;第四,尽可能找出句中相关联的信息。
第五,四个选项权衡比较,选出认为最符合要求的。
要正确理解熟语的整体意义,要注意语境的组合与搭配情况,越是想要你字面理解的熟语越要注意陷阱。
特别陌生的熟语往往是对的。
5. 【病句辨析题】病句类型:语序不当、搭配不当、成分残缺或赘余、结构混乱、表意不明(歧义)、不合逻辑。
答题技巧:判断病句用排除法居多。
回忆以前做的常见病句的标志做题思路通常是:检查句子的主干,是否缺成分→→推敲词语运用,是否搭配→→心里默读,看是否有不同的句式混用→→综合思考,是否符合逻辑思维,——凭借语感。
特别注意以下几种情况:①介词“关于”“对于”“对”等开头的句子,注意主语的残缺。
②类似于“A”是“B”的句子,注意“A”“B”的协调,也可能是句式杂糅。
③动词后有很长的修饰词语,注意是否宾语残缺。
④用"和""或"以及顿号连接的并列成分,注意歧义及内在逻辑顺序是否失当以及意义的从属关系。
⑤前半句使用了“能否”“可否”等双面词语,注意后半句是否与前半句协调。
⑥反问句及疑问句注意是否表意相反。
高考数学大题解题技能各个科目都有自己的学习方法,但其实都是万变不离其中的,基本离不开背、记,运用,数学作为最烧脑的科目之一,也是一样的。
下面是作者给大家整理的一些高考数学大题解题技能的学习资料,期望对大家有所帮助。
高考数学大题必考题型排列组合篇1.掌控分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的运用问题。
2.知道排列的意义,掌控排列数运算公式,并能用它解决一些简单的运用问题。
3.知道组合的意义,掌控组合数运算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的运用问题。
4.掌控二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们运算和证明一些简单的问题。
5.了解随机事件的产生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式运算一些等可能性事件的概率。
7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率。
8.会运算事件在n次独立重复实验中恰好产生k次的概率.立体几何篇高考立体几何试题一样共有4道(挑选、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考核的知识点在20个之内。
挑选填空题考核立几中的运算型问题,而解答题侧重考核立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为条件。
随着新的课程改革的进一步实行,立体几何考题正朝着“多一点摸索,少一点运算”的发展。
从历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。
知识整合1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的进程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、运算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,第一应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌控立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
三角函数一 知识点总结1.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180π≈0.01745(rad )2.弧长及扇形面积公式弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .21α----是圆心角且为弧度制。
r-----是扇形半径3.任意角的三角函数设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切tan α=xy (2)各象限的符号:sin α cos α tan α 4、三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.5.同角三角函数的基本关系:(1)平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。
(2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2ππα) 6.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限xy+O— —+x yO — ++— +y O— + + —()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=.()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质8.三角函数的伸缩变化10.正弦定理 :2sin sin sin a b cR A B C===. 11.余弦定理:2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.二 、三角函数常考题型三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题,试题难度一般不大,但其战略意义重大,所以稳拿该题12分对文理科学生都至关重要。
分析近年高考试卷,可以发现,三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起,且向量为辅,三角为主,主要有以下三类:一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
例1 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x x x ππ==-∈且a b 。
(1)若||+>a b x 的取值范围;(2)函数()||f x =⋅++a b a b ,若对任意12,[,]2x x ππ∈,恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。
解:(1)||||1,cos 2,||2cos x x ==⋅=∴+==->a b a b a b即5cos [,],26x x x ππππ<∈∴<≤。
(2)213()||cos 22cos 2(cos )22f x x x x =⋅++=-=--a b a b 。
max min 1cos 0,()3,()1x f x f x -≤≤∴==-,又12max min |()()|()()4,4f x f x f x f x t -≤-=∴>二、运用三角函数性质解题,通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
例3 已知向量α(sin =, )21-,1(=, )cos 2α,51=⋅,)2,0(πα∈(1)求ααsin 2sin 及的值; (2)设函数x x x f 2cos 2)22sin(5)(+++-=απ])2,24[(ππ∈x ,求x 为何值时,)(x f 取得最大值,最大 值是多少,并求)(x f 的单调增区间。
解:(1)51cos sin =-=⋅αα,2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα,∴25242sin =α,25492sin 1)cos (sin 2=+=+ααα,∴57cos sin =+αα,∴53cos =α,54sin =α.(2)12cos )sin 2sin cos 2(cos 52cos 1)2cos(5)(+++=++-=x x x x x x f ααα12sin 42cos 412cos )2sin 542cos 53(5++=+++=x x x x x 1)42sin(24++=πx ,∵224ππ≤≤x , ∴45423πππ≤+≤x ,∴当24π=x 时,621)24()(max +==πf x f ,要使)(x f y =单调递增,∴πππππk x k 224222+≤+≤+-,Z)(883∈+≤≤+-k k x k ππππ,又]2,24[ππ∈x ,∴)(x f y =的单调增区间为]8,24[ππ. 三、解三角形问题,判断三角形形状,正余弦定理的应用。
例 6 在△ABC 中,角A,B ,C 的对边分别为a,b ,c .已知向量(,)a c b a =+-m ,(,)a c b =-n ,且⊥m n .(1)求角C 的大小; (2)若sin sin 2A B +=,求角A 的值。
解: (1)由⊥m n 得()()()0a c a c b a b +-+-=; 整理得2220a b c ab +--=.即222a b c ab +-=,又2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.又因为0C π<<,所以3C π=. (2)因为3C π=,所以23A B π+=, 故23B A π=-.由2sin sin sin sin()3A B A A π+=+-=得1sin sin 2A A A +=cos A A +=sin()6A π+=203A π<<,所以5666A πππ<+<,故64A ππ+=或364A ππ+=,∴12A π=或712A π=.三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点,因此,熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件,在日常训练中一定要改掉边做题边看公式的坏习惯。
再者,填空题答案书写的规范也需反复强调。
数列一、知识点1、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).2、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;3、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 5、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.二、高考常见题型题型一:数列的通项公式的求法A 、定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
B 、公式法:已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
例.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式。
解:由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时,有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……,.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3212---+=n n n aC 、累加法:若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。
D 、累乘法:已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121n n n n n a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。
E 、已知递推关系求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)。
①()n f 为常数,即递推公式为q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。
解法:转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。
例. 已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .解:设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列,则11224+-=⨯=n n n b , 所以321-=+n n a . 二.数列的前n 项求和的求法1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论. 常用公式:1123(1)2n n n ++++=+,222112(1)(21)6n n n n +++=++,2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法). 例3、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解:设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② (反序)又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 (反序相加))89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S =89∴ S =44.54.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 和公式的推导方法).例4、 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和 常用裂项形式有: ①111(1)1n n n n =-++;②1111()()n n k k n n k=-++; ③2211111()1211k k k k <=---+,211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--; ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ;⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++;6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。