一、数列的概念选择题
1.删去正整数1,2,3,4,5,…中的所有完全平方数与立方数(如4,8),得到一个新数列,则这个数列的第2020项是( ) A .2072
B .2073
C .2074
D .2075
2.已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+,n *∈N ,若11
02
a <<,则( ) A .8972a a a +< B .91082a a a +> C .6978a a a a +>+
D .71089a a a a +>+
3.已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-,则10a =( )
A .35
B .40
C .45
D .50
4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
1n S n n =++,则{}n a 的通项公式是( )
A .2n a n =
B .3,12,2
n n a n n =?=?≥? C .21n a n =+
D .3n a n =
5.已知数列{}n a 的通项公式为23n
n a n ??= ???
,则数列{}n a 中的最大项为( ) A .
89
B .
23
C .
6481
D .
125
243
6.
的一个通项公式是( )
A
.n a =
B
.n a =C
.n a =D
.n a =7.已知数列{}n a 满足11a =,()*11
n
n n a a n N a +=∈+,则2020a =( ) A .
1
2018
B .
1
2019 C .
1
2020
D .
1
2021
8.若数列的前4项分别是
1111,,,2345
--,则此数列的一个通项公式为( ) A .1(1)n n
--
B .(1)n n -
C .1
(1)1
n n +-+
D .(1)1
n n -+
9.已知数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=-,则2019a =
( ) A .1
B .3
C .2
D .3-
10.已知数列{}n a 满足()()*
6
22,6,6
n n p n n a n p
n -?--≤=∈?
>?N ,且对任意的*
n ∈N 都有
1n n a a +>,则实数p 的取值范围是( )
A .71,4?? ???
B .101,
7??
???
C .()1,2
D .10,27??
???
11.数列{}n a 中,()1121n
n n a a n ++-=-,则数列{}n a 的前8项和等于( ) A .32
B .36
C .38
D .40
12.数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,则10a =( ) A .511
B .513
C .1025
D .1024
13.设n a 表示421167n n +的个位数字,则数列{}n a 的第38项至第69项之和
383969a a a ++???+=( )
A .180
B .160
C .150
D .140
14.已知数列{}n a 满足11a =,12
2
n n a a n n
+=++,则10a =( ) A .
259
B .
145 C .
3111
D .
176
15.定义:在数列{}n a 中,若满足
21
1n n n n
a a d a a +++-=( *,n N d ∈为常数),称{}n a 为“等差比数列”,已知在“等差比数列”{}n a 中,1231,3a a a ===,则2020
2018
a a 等于( ) A .4×20162-1
B .4×20172-1
C .4×20182-1
D .4×20182
16.已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+,且11
3
a =,则{}n a 的前2021项之积为( ) A .
23
B .
13
C .2-
D .3-
17.数列1
2,16,112,120
,…的一个通项公式是( ) A .()1
1n a n n =-
B .()1
221n a n n =
-
C .111
n a n n =
-+ D .11n a n
=-
18.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…即()()121F F ==,()()()12F n F n F n =-+- (3n ≥,
n *∈N ),此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用,若此数列的每一项被2除
后的余数构成一个新数列{}n a ,则数列{}n a 的前2020项的和为( ) A .1348
B .1358
C .1347
D .1357
19.在数列{}n a 中,11a =,()*
1
22,21
n n a n n N a -=
≥∈-,则3
a =( )
A .6
B .2
C .
23
D .
211
20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1221,1n n a a S a +===-,则下列命题错误的是
A .21n n n a a a ++=+
B .13599100a a a a a ++++=
C .2499a a a a ++
+=
D .12398100100S S S S S +++
+=-
二、多选题
21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .a 8=34 B .S 8=54
C .S 2020=a 2022-1
D .a 1+a 3+a 5+…+
a 2021=a 2022
22.设数列{}n a 满足11
02
a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .
21
12
a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312a <<
D .
20203
14
a << 23.若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为
( ) A .
1
5
B .
25
C .
45
D .
65
24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .2
3n S n n =- B .2392
-=n n n
S
C .36n a n =-
D .2n a n =
25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,218a =,512a =,则下列选项正确的是( ) A .2d =- B .122a =
C .3430a a +=
D .当且仅当11n =时,n S 取得最大值
26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则( )
A .80a <
B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值
C .49S S =
D .满足0n S >的n 的最大值为12
27.已知等差数列{}n a 的公差不为0,其前n 项和为n S ,且12a 、8S 、9S 成等差数列,则下列四个选项中正确的有( ) A .59823a a S +=
B .27S S =
C .5S 最小
D .50a =
28.(多选题)在数列{}n a 中,若22
1n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称
{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A .若{}n a 是等差数列,则{}
2
n a 是等方差数列
B .
(){}1n
-是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
29.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d <
B .70a =
C .95S S >
D .170S <
30.在数列{}n a 中,若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 31.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )
A .2
n S n =
B .2
23n S n n =-
C .21n a n =-
D .35n a n =-
32.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22
B .d =-2
C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值
D .当S n >0时,n 的最大值为21
33.无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++,其中a ,b ,c 为实数,则( )
A .{}n a 可能为等差数列
B .{}n a 可能为等比数列
C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
34.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0
B .10S 最小
C .712S S =
D .190S =
35.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >
B .170S <
C .1819S S >
D .190S >
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一、数列的概念选择题 1.C 解析:C 【分析】
由于数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?共有2025项,其中有45个平方数,12个立方数,有3个既是平方数,又是立方数的数,所以还剩余20254512+31971--=项,所以去掉平方数和立方数后,第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数,从而求得结果. 【详解】
∵2452025=,2462116=,20202025<,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉45个平方数,
因为331217282025132197=<<=,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉
12个立方数,
又66320254<<,所以在从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中有3个数即是平方数, 又是立方数的数,重复去掉了3个即是平方数,又是立方数的数, 所以从数列2
2
2
21,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉平方数和立方数后还有
20254512+31971--=项,此时距2020项还差2020197149-=项, 所以这个数列的第2020项是2025492074+=, 故选:C. 【点睛】
本题考查学生的实践创新能力,解决该题的关键是找出第2020项的大概位置,所以只要
弄明白在数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?去掉哪些项,去掉多少项,问题便迎刃而解,属于中档题.
2.C
解析:C 【分析】
由递推公式1221n n n a a a ++=
+得出25445n n n a a a ++=+,计算出25,24a ??
∈ ???
,利用递推公式推导得
出()0,1n a ∈(n 为正奇数),1n a >(n 为正偶数),利用定义判断出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性,进而可得出结论.
【详解】
()()
113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++,110,2a ??∈ ???,25,24a ??∴∈ ???, ()()
12
1259245221545944221454544452121
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++?++,
且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++,()
2
1212
2121
n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=
++. 110,2a ??∈ ???
,则101a <<,则()()3590,14445n a a =-
∈+, 如此继续可得知()(
)210,1n a n N *
-∈∈,则(
)2
21
21212141=
045
n n n n a a
a a -+---->+,
所以,数列{}()21n a n N *
-∈单调递增;
同理可知,()21n
a n N *
>∈,数列{}()2n
a n N *
∈单调递减.
对于A 选项,78a a <且79a a <,8972a a a ∴+>,A 选项错误; 对于B 选项,89a a >且108a a <,则91082a a a +<,B 选项错误; 对于C 选项,68a a >,97a a >,则6978a a a a +>+,C 选项正确; 对于D 选项,79a a <,108a a <,则71098a a a a +<+,D 选项错误. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列不等式的判断,涉及数列递推公式的应用,解题的关键就是推导出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性,考查推理能力,属于难题.
3.A
解析:A 【分析】
利用()n n n a S S n 12-=-,根据题目已知条件求出数列的通项公式,问题得解.
【详解】
223n S n n =-,
n 2∴≥时,1n n n a S S -=-
22(23[2(1)3(1)]n n n n )=-----=45n
1n = 时满足11a S = ∴ =45n a n ,∴ 10a =35
故选:A. 【点睛】
本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S =求出1a .
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系,利用()n n n a S S n 12-=-便可求出当n 2
≥时n a 的表达式.
(3)对1n =时的结果进行检验,看是否符合n 2≥时n a 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n =与n 2≥两段来写. .
4.B
解析:B 【分析】
根据11,1
,2n n
S n a S S n -=?=?-≥?计算可得;
【详解】
解:因为2
1n S n n =++①,
当1n =时,2
11113S =++=,即13a =
当2n ≥时,()()2
1111n S n n -=-+-+②,
①减②得,()()2
2
11112n n n n n n a ??++--+-+=?
=?
所以3,1
2,2n n a n n =?=?≥?
故选:B 【点睛】
本题考查利用定义法求数列的通项公式,属于基础题.
5.A
解析:A 【分析】
由12233n
n n n a a +-??
-=? ???
,当n <2时,a n +1-a n >0,当n <2时,a n +1-a n >0,从而可得
到n =2时,a n 最大. 【详解】
解:112222(1)3333n n n
n n n a a n n ++-??????-=+-=? ? ? ?????
??, 当n <2时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ;
当n =2时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >2时,a n +1-a n <0,即a n +1a 4>a 5>…>a n ,
所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3,且2328239
a a ??==?= ???. 故选:A . 【点睛】
此题考查数列的函数性质:最值问题,属于基础题.
6.C
解析:C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论. 【详解】
因为数列3,7,11,15?的一个通项公式为41n -,
,
?
的一个通项公式是n a = 故选:C . 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法,利用条件找到项的规律是解决本题的关键.
7.C
解析:C 【分析】
根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化,构造等差数列,结合等差数列的性质求出通项公式即可. 【详解】 解:11
n
n n a a a +=
+, ∴两边同时取倒数得
11111n n n n
a a a a ++==+, 即
11
11n n
a a ,
即数列1n a ??
?
?
??
是公差1d =的等差数列,首项为111a .
则
1
1(1)1n
n n a =+-?=,
得1n a n
=
, 则20201
2020
a =
, 故选:C 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解,结合数列递推关系,利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键.考查学生的运算和转化能力,属于基础题.
8.C
解析:C 【分析】
根据数列的前几项的规律,可推出一个通项公式. 【详解】
设所求数列为{}n a ,可得出()11
1
111
a
+-=
+,()21
2
121
a
+-=
+,()31
3
131
a
+-=
+,()41
4
141
a
+-=
+,
因此,该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=
+.
故选:C. 【点睛】
本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式,考查推理能力,属于基础题.
9.C
解析:C 【分析】
根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得
2019a 的值.
【详解】
数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=?+
所以201932a a == 故选:C 【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.
10.D
解析:D 【分析】
根据题意,得到数列是增数列,结合通项公式,列出不等式组求解,即可得出结果. 【详解】
因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>, 则数列{}n a 单调递增;
又()()*622,6,6
n n p n n a n p n -?--≤=∈?>?N , 所以只需6
7201p p a a ->??>??,即21106p p p p
?
>??-,解得1027p <<. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查由数列的单调性求参数,属于基础题型.
11.B
解析:B 【分析】
根据所给数列表达式,递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加,即可求得2n n a a ++,即隔项和的形式.进而取n 的值,代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-,① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+,②
由()1n ?-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-?-++,
取1,5,9n =及2,6,10n =,易得13572a a a a +=+=,248a a +=,6824a a +=, 故81234836S a a a a a =++++???+=. 故选:B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用,对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键,属于中档题.
12.B
解析:B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -,求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-,所以121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-,
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠, 所以{}1n a -是首项为1,公比为2的等比数列,
所以112n n a --=,所以121n n a -=+,所以9
1021513a =+=,
故选:B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式,难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式,可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
13.B
解析:B 【分析】
根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数,而2n 的个位是以2,4,8,6为周期,7n 的个位数是以7,9,3,1为周期,即可求和. 【详解】
由n a 为421167n n +的个位数, 可得n a 为27n n +的个位数, 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期,
7n 的个位数是以7,9,3,1为周期,
所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期, 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期, 第38项至第69项共32项,共8个周期, 所以383969a a a ++???+=8(9317)160?+++=. 故选:B
14.B
解析:B 【分析】 由122n n a a n n +=+
+转化为11
121n n a a n n +??-=- ?+??
,利用叠加法,求得23n
a n =-,即
可求解. 【详解】 由122n n a a n n +=+
+,可得121
12(1)1n n a a n n n n +??-==- ?++??
,
所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+
11111
111222*********n n n n n n ????????
=-+-+-++-+ ? ? ? ?-----??????
??
122113n n ??
=-+=- ???
,
所以102143105
a =-=. 故选:B. 【点睛】
数列的通项公式的常见求法:
1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列,通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式;
2、对于递推关系式可转化为
1
()n n
a f n a +=的数列,并且容易求数列{()}f n 前n 项积时,通常采用累乘法求其通项公式; 3、对于递推关系式形如1
n n a pa q +=+的数列,可采用构造法求解数列的通项公式.
15.C
解析:C 【分析】
根据“等差比”数列的定义,得到数列1n n a a +??
????
的通项公式,再利用202020202019201820192019a a a a a a =?求解. 【详解】
由题意可得:3
23a a =,
211a a = ,3221
1a a a a -=, 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +??
????
是首先为1,公差为2的等差数列,
则()1
11221n n
a n n a +=+-?=-, 所以
20202019220191220181a a =?-=?+,20192018
220181a
a =?-,
所以
()()2202020202019
201820192019
220181220181420181a a a a a a =?=?+?-=?-. 故选:C 【点睛】
本题考查数列新定义,等差数列,重点考查理解题意,转化思想,计算能力,属于中档题型.
16.B
解析:B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+,且11
3a =,可得:111n n n
a a a ++=-,可得其周期性,进而得出结论.
【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+,且11
3
a =, 所以111n
n n
a a a ++=
-, 21
132113
a +
∴==-,33a =-,412a =-,513a =,??, 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=??--??=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=?=.
故选:B 【点睛】
方法点睛:已知递推关系式求通项:(1)用代数的变形技巧整理变形,然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式.(2)通过具体的前几项找到其规律,如周期性等求解.
17.C
解析:C 【分析】
根据选项进行逐一验证,可得答案. 【详解】 选项A. ()
1
1n a n n =
-,当1n =时,无意义.所以A 不正确.
选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时,()2111
22221126
a =
=≠???-,故B 不正确. 选项C.
11122=-,111162323==-?,1111123434==-?,1111204545==-? 所以11
1
n a n n =
-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111
1012
a =-=≠,故D 不正确. 故选:C
18.C
解析:C 【分析】
由题意可知,得数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=,又
202067331=?+,由此可得答案
【详解】
解:由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,各项除以2的余数,可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,???,
所以数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=, 因为202067331=?+,
所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347?+= 故选:C
19.C
解析:C 【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】
()*
1
22,21
n n a n n N a -=
≥∈-,1
1a =,212221
a a ∴=
=-,3222
213a a =
=-. 故选:C. 【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项,考查计算能力,属于基础题.
20.C
解析:C 【分析】
21n n S a +=-,则111n n S a -+=-,两式相减得到A 正确;由A 选项得到
13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=进而得到B
正确;同理可得到C 错误;由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++?+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-,则111n n S a -+=-,两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-?=+,故A 正确;根据A 选项得到
13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=,故B 正
确;
24698a a a a +++?+=2234569697a a a a a a a a ++++++?++=
1234569697a a a a a a a a ++++++?++=97991S a =-,故C 不正确;根据2123981n n S a S S S S +=-+++?+=
,123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用,根据题干中所给的条件进行推广,属于中档题,这类题目不是常规的等差或者等比数列,要善于发现题干中所给的条件,应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
二、多选题 21.BCD 【分析】
由题意可得数列满足递推关系,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】
对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,,故B 正确; 对于C ,可
解析:BCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】
对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,81+1+2+3+5+8+13+2154S ==,故B 正确; 对于C ,可得()112n n n a a a n +-=-≥,
则()()()()1234131425311++++
++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----
即212++1n n n n S a a a a ++=-=-,∴202020221S a =-,故C 正确; 对于D ,由()112n n n a a a n +-=-≥可得,
()()()135202124264202220202022+++
+++++a a a a a a a a a a a a =---=,故D 正确.
故选:BCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,解题的关键是得出数列的递推关系,()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,能根据数列性质利用累加法求解.
22.ABD 【分析】
构造函数,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】 由, 设, 则,
所以当时,,
即在上为单调递增函数, 所以函数在为单调递增函数, 即, 即, 所以 ,
解析:ABD 【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122x
f x x x
-'=-
=--, 所以当01x <<时,0f x
,
即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2?? ???
为单调递增函数,
即()()102f f x f ??<<
???
,
即(
)131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=, 所以()1
12
f x << , 即
1
1(2)2
n a n <<≥, 所以
2112a <<,20201
12
a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,
1
12
n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确; 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用,属于难题.
23.ABC 【分析】
利用数列满足的递推关系及,依次取代入计算,能得到数列是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列满足,,依次取代入计算得, ,,,,因此继续下去会循环
解析:ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得,
211215a a =-=
,32225a a ==,43425a a ==,5413
215
a a a =-==,因此继续下去会
循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234
,,,5555
. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题.
24.BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】
解:设等差数列的公差为, 因为,, 所以,解得, 所以, , 故选:BC
解析:BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,
所以1132302
36
a d a d ??
+
=???+=?,解得133a d =-??=?, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
, 故选:BC
25.AC 【分析】
先根据题意得等差数列的公差,进而计算即可得答案. 【详解】
解:设等差数列的公差为, 则,解得. 所以,,,
所以当且仅当或时,取得最大值. 故选:AC
【点睛】
本题考查等差数列的
解析:AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-,进而计算即可得答案. 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 则52318312a a d d =+=+=,解得2d =-.
所以120a =,342530a a a a +=+=,11110201020a a d =+=-?=, 所以当且仅当10n =或11时,n S 取得最大值. 故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算,前n 项和n S 的最值问题,是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况:
(1)当10,0a d ><时,n S 有最大值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定;
(2)当10,0a d <>时,n S 有最小值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定;
26.ACD 【分析】
由题可得,,,求出可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出可判断C ;令,解出即可判断D. 【详解】
设等差数列的公差为,则,解得, ,,且,
对于A ,,故A 正确; 对于B ,的对称
解析:ACD 【分析】
由题可得16a d =-,0d <,21322
n d d S n n =
-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022
n d d
S n n =->,解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,
10a >,0d ∴<,且()21113+
222
n n n d d
S na d n n -==-, 对于A ,
81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;
对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为13
2
n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误;
对于C ,4131648261822d d S d d d =
?-?=-=-,9138191822
d d S d =?-?=-,故49S S =,故C 正确;
对于D ,令213022
n d d
S n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
方法点睛:由于等差数列()2111+
222n n n d d S na d n a n -?
?==+- ??
?是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.
27.BD 【分析】
设等差数列的公差为,根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系,可得出、的表达式,进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列的公差为,则,, 因为、、成等差数列,则,即, 解得,,
解析:BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系,可得出n a 、n S 的表达式,进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则81187
88282
S a d a d ?=+
=+,91198
99362
S a d a d ?=+
=+, 因为12a 、8S 、9S 成等差数列,则81922S a S =+,即11116562936a d a a d +=++,