线性代数——二次型[1]-课件PPT讲义(演示稿)

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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨—罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
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线性代数二次型讲义
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)

a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)

an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx

称 为 由 变 量 x 1 , x 2 , , x n 到 y 1 , y 2 , , y n 的 一 个 线 性 变 换 。
记
x 1
X
x2
,
x n
y 1
Y
y2
,
y n
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： XCY. 11
的矩阵A和二次型的秩，其 中 a 1,a 2,a 3不 全 为 零 。
解 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 (x1, x2, x3)a2(a1,a2,a3)x2,
a3
x1 c11y1 c12y2 c1n yn x2 c2 1y1 c22y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnnxn
C 称为该线性变换的矩阵。
XCY.
若 C 0 ， 则 此 线 性 变 换 称 为 可 逆 线 性 变 换 。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
a 2x 2 2 2 2 a 2x 3 2 x 3 2 a 2 n x 2 x n
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
3
f(x1,x2,,xn) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 2 x 2 2 a 1 x 1 3 x 3 2 a 1 n x 1 x n
6
f(x1,x2, ,xn)XTA,X

, a110,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a11 a1r
1r
0, r1,2, ,n.
ar1 a判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
推 论 1 二 次 型 正 定 的 充 要 条 件 是 它 的 标 准 型 为
fX = y 1 2+ y 2 2+ y n 2
推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 a1n
P205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明: 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵,且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
P 205 ex 2 设 A 为对称矩阵，证明当 t充分大时， tI A 是正定矩阵。 证明：因为 A为对称矩阵， A可对角化，存在可逆 矩阵 P，使得，
奇数阶顺序主子式为负而偶数阶顺序主子式为正即判别二次型xzxy22211211大家学习辛苦了还是要坚持大家学习辛苦了还是要坚持继续保持安静继续保持安静是a的特征值gx为任一多项式则g是ga的特征值

2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x

n
ki
y
2 i

0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.

P
1



P

n

n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结

是否正定.
解
fx1,x2,x3的矩阵 52 为 12

4 2

,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5
2 10,
5 2
2 4 1 2 10,
2 1
4 2 5
故上述二次型是正定的.
例2 判别二次型 f 5 x 2 6 y 2 4 z 2 4 x 4 y xz
第二节 正定二次型
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
fx1 23x2 2
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理 1 实二次f 型xT Ax为正定的充分必要条
件是 :它的标准n形 个的 系数全.为正
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶主子式为正，即
a11 a1n
, a110,
a11 a21
a12 0, a22

0;
an1 ann
正定矩阵具有以下一些简单性质
1.设 A 为正定,则 实 A T,A 对 1,A 称 均阵 为 定矩 ; 阵
2.若 A ,B 均n 阶 为正,则 定 A B 也 矩是 阵正 矩. 阵
例1 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3

推论：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一 个对角阵．
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵

2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
a11 a12
x1 , x2 ,
,
xn
a21
a22
an1 an2
于是，化二次型为标准形的问题就转变成如何
使实对称矩阵合同于实对角矩阵的问题.
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P ,
P P 使 1 AP ,即 T AP . 因此把这个结论应
用于二次型, 即有
n
定理1 任给二次型 f
aij xi x j aij a ji ,总有
i , j 1
正交变换x Py,使 f 化为标准形
0
令P q1 , q2 , q3 ,
则P为正交阵.
故正交变换为x Py，即
1
x1 x2 x3
6 1
6 2
6
1
1
2 1 2
0
3 1
3 1
y1 y 2 , y 3
3
化二次型为
f
4
y
2 2
9
y
2 3
.
可知f ( x1 , x 2 , x 3) 1表示椭圆柱面.
特征值问题与二次型
3 3,
3
于是A的特征值为 1 0, 2 4, 3 9,
对应特征向量为
1
1
1
p1 1 , p2 1 , p3 1.
2
0
1
将其单位化得
q1
p1
1 1
p1
2
6
6 ,
6

证
证 设实对称方阵 A 的特征值为
1 2 n
（重根计算在内），则由定理3 知，
对 于A的 某 个k重 特 征 值 i1 i2
i
，
k
恰 有k个 线 性 无 关 的 实 特 征 向 量 ， 将 它 们 正 交 化 ，
所 得 的k个 正 交 向 量 仍 是 对 应 于 的 特 征 向 量.
则
f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .
而
(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵为 对称矩阵 B=C TAC .
f = X TAX
满秩变换 X = CY F = Y TBY B = C TAC
AX1 1X1, AX 2 2 X 2.
因为 A 的对称性，得
2
X
T 1
AX
2
( AX 1)T X 2
从而， 因此，
(1 X1)T X 2
1
X
T 1
X
2,
(1
2
)
X
T 1
X2
0,
X
T 1
X2
0,即X1,
X
正
2
交.
定理 3
若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于 的线性
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的 几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f

9
( 3) f ( x1 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn1 xn
解：A 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形。
4
取 aij a ji
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
1 2 3 2
0 3 2 0
2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
解：
1 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
则线性变换（2）可记作：
X CY
12
则称线性变换（2）是非退化线性变换 若C 是可逆矩阵，
若C 是正交矩阵， 则称线性变换（2）是正交线性变换
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项. 即二次型
f X T AX
i , j 1
a
n
ij
xi x j
经过可逆线性变换 X CY 使得
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型
13
3. 矩阵的合同