2020年江西省南昌二中高考数学质检试卷(文科)(7月份) (解析版)

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数，，，则A. B. 2 C. D. 42.集合，，则A. B. C. D.3.已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是A. B. C. D.5.已知函数的图象关于原点对称，则A. B. 1 C. D.6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于A. B. C. D.7.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则A. B. C. D.8.直线被圆截得最大弦长为A. B. C. 3 D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则A. 3B.C. 4D.11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆--桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：在上有2个最大值点；在上最少3个零点，最多4个零点；；在上单调递减．其中所有正确判断的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知函数，，则的最小值为______．15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为______．16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则______，四边形EMBN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽8甲8281797895889384乙9295807583809085用茎叶图表示这两组数据；求两位学生预赛成绩的平均数和方差；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______从；，，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题．Ⅰ求；Ⅱ若，求数列的前n项和．19.如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，D.Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知函数．Ⅰ讨论在区间上的单调性；Ⅱ若恒成立，求实数a的最大值．为自然对数的底21.已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．Ⅰ求以AB为直径的圆的方程；Ⅱ设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求抛物线E的极坐标方程；Ⅱ过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．23.已知，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，，且，．故选：D．直接利用乘积的模等于模的乘积求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：“”“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．“”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．利用空间线线位置关系即可判断出关系．本题考查了空间线线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：已知，则不等式，即或．由可得；由可得，综上，，故选：A．不等式即或，分别求出的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，属于中档题．5.答案：A解析：解：由题意可知，为奇函数，故，所以，，则．由奇函数的性质可知，代入可求a，进而可求．本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或舍去，，．故选：C．由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得sin A的值，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，故；则．故选：D．根据向量在向量的方向上投影的定义求出，进而求出即可．本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，而的最小值为1，则直线被圆截得最大弦长值为，根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，故排除AD；，令，则，显然在上递减，且，当时，，在上递增，又，故存在，使得，且当，，，递减，，，，递增，可排除B．故选：C．利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．本题主要考查函数图象的运用以及利用导数研究函数的单调性，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：抛物线C：的焦点为，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，若，可得，可得，所以，解得舍去，此时，所以．故选：D．画出图形，结合已知条件，利用，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；所以，解得，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；BC 管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；本题考查解三角在实际生活中的应用，灵活利用夹角以及直角三角形中的正余弦定义即可求解．属于基础题．12.答案：A解析：解：令解得，由，可知满足题意的k值只有两个，而，所以或，即有，，，解得，，所以错误；当时，取，，此时只有当时取最大值，所以错误；当时，，，，，，有5个解，所以错误；当时，，而，所以在上单调递减，正确．故选：A．先求出函数的最小值点，再解不等式即可得到的范围，即可判断各选项的真假．本题主要考查正弦函数的性质应用，整体代换法的应用，以及求零点的方法，属于较难题．13.答案：3解析：解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由，解得，此时，故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.答案：解析：解：因为，，所以，故，则，当且仅当时取等号，故答案为：由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，设点P的坐标为，不妨令，，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，，即，，，，即，则，故答案为：．根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据即可求出，可得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，，，∽，，，，，，平面PBD，平面PBD，，四边形EMBN的面积为．故答案为：；．过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17.答案：解：作出茎叶图如下：派甲参赛比较合适，理由如下：，，，，，，结合甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解析：根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．18.答案：解：Ⅰ由，得，即；由，，成等比数列，得，，即；由，得，即；当选择时，有，，此时；当选择时，有，，解得，此时；当选择时，有且，解得，，此时；综合以上不管选择哪两个，均得、，即；Ⅱ，，两式相减得：，得．解析：Ⅰ先分别由首项与公差的关系式，然后选择、、条件组合，求出；Ⅱ利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列基本量的运算及通项公式的求法，以及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：中，，，，得，则，即，而，，平面，又面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：取BD的中点O，由于，，由Ⅰ可知平面面ABCD，故D面ABCD．，，，平面ABCD，．解析：Ⅰ中，由已知求解三角形可得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面ABCD；Ⅱ取BD的中点O，由于，得，结合Ⅰ可得面求得，再由平面ABCD，然后利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，时，；时，．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上递增；当时，在的单调递减；分Ⅱ，即，由Ⅰ知：在上递减，在上递增，则，即，分令，，即在R单调递增，而，，所以，即a的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：Ⅰ由已知，则，故AB方程：，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，从而以AB为直径的圆方程为：，即；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，由，消去y得：，故，，从而，，而以CD为直径的圆方程为：，即，且以AB为直径的圆方程为，将两式相减得直线MN：，即，可得：，两条直线互异，则，即，令，解得，即直线MN过定点；当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，则以CD为直径的圆为，而以AB为直径的圆方程，两式相减得MN方程：，过点．综上所述，直线MN过定点．解析：Ⅰ由已知，求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系、圆与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.答案：解：Ⅰ由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为；Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，化简得，，，且．由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，所以，当时，解得，所以或．解析：Ⅰ求出抛物线E的标准方程为，然后求解极坐标方程．Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．本题考查抛物线的极坐标方程的求法，普通方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，不等式为，平方得，则，得，即或，所以，所求不等式的解集；Ⅱ证明：因为，又，所以，不等式得证．解析：Ⅰ将代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；Ⅱ运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得，，由此得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。

2020届江西省南昌二中高三高考校测（一）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】C【解析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4-【答案】B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3．已知实数.a b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识． 充分性：由均值不等式；必要性：取，显然得不到2ab ≥．故“2ab ≥”是“224a b +≥”的充分不必要条件，选A ．4．若函数()()sin 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin 2sin 23f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值， ∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ， ∵0>ω， ∴ω的最小值为52. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.5．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）． A ．35 B ．33C ．31D ．29【答案】C【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ． 【考点】等比数列的通项公式及性质． 6．已知向量()3,0a =，(),2b x =-，且()2a a b ⊥-，则⋅=a b （ ）A ．-B ．C ．32-D ．32【答案】D【解析】先由题意，求出()232,4a bx -=-，再由向量垂直的坐标表示列出方程求出x =，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果. 【详解】 因为向量()3,0a =，(),2b x =-， 则()232,4a b x -=-；又()2a a b ⊥-，则()20aa b ⋅-=，)2040x +⨯=，解得x ；所以()33·3022a b =⨯+⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题.7．我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为（ ）A ．20B ．25C ．30D ．75【答案】B【解析】利用循环结构依次推理计算即得结果. 【详解】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的n ，m ，s 的值，即可得出跳出循环时输出n 的值.解：输入20n =，80m =，100s ≠，21n =，79m =，100s ≠， 22n =，78m =，100s ≠， 23n =，77m =，100s ≠， 24n =，76m =，100s ≠， 25n =，75m =，100s ，输出25n =， 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，属于基础题.8．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【答案】A【解析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小. 【详解】 由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题． 9．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的； 当a =0时,则()1f x x=,其定义域为：{x |x ≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的． 本题选择C 选项.10．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )A ．3B ．1C ．12D ．3 【答案】B【解析】画图分析可知O 到面ABC 的距离为定值,故只需求底面ABC 的面积最大值,再根据基本不等式的方法求解即可. 【详解】如图,设PO 交平面ABC 于D .因为2PA PB PC ===,由球的对称性有PD ⊥底面ABC .又PB PO OB ==,PO DB ⊥.故1PD OD ==.3DB =,23AC =因为90ABC ︒∠=,所以111326O ABC V AB BC OD AB BC -=⨯⋅⨯=⋅. 又222122AB BC AC AB BC +==≥⋅.故6AB BC ⋅≤. 故116O ABC V AB BC -=⋅≤.当且仅当6AB BC ==时取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.11．已知1F ，2F 分别是双曲线22:143x y C -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆22:(3)1E x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．6D ．3【答案】A【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，求得圆E 的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值. 【详解】双曲线22143x y -=中2a =，b =c ==1(F ，2F ，0)，圆E 半径为1r =，(0,3)-E ，21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE -=-(当且仅当A ，E ，B 共线 且B 在A ，E 之间时取等号)，21111433AB AF AE AF AF AE EF +-++=+++37==，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号.2AB AF ∴+的最小值是7.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e---【答案】A【解析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x a f x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21Ma --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____. 【答案】1【解析】求出导函数，根据0x =处的导数值为1，即可求得参数的值. 【详解】因为x y axe =，故可得()xy eax a ='+，又x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直， 故01x y a ='==.故答案为：1. 【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值，属基础题.14．如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边CD 的中点，13DF DA →→=，若·4AE BF →→=-，则cos DAB ∠=___________.【答案】14【解析】直接利用三角形法则和向量的线性运算和向量的数量积的运算的应用求出夹角的余弦值. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边CD 的中点，13DF DA →→=，∴12AD DE AD AB AE →→→→→=+=+，23BF AF AB AD AB →→→→→=-=-，∴2212212()()23323AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB →→→→→→→→→→⋅=+⋅-=--⋅222123434cos 323BAD =⨯-⨯-⨯⨯⨯∠ 688cos 4BAD =--∠=-，所以1cos 4DAB ∠=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.15．如图，在一个底面边长为4cm 的正六棱柱容器内有一个半径为23cm 的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm .【答案】43π 【解析】由题意可求球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为32883234433243h ππ-==，即可求水面下降高度．【详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，水面高度为3此时正六棱柱容器中水的体积为2134643323288323V ππ=⨯⨯=-， 若将铁球从容器中取出，则水面高度3234433243h ππ==，则水面下降4443(43)33ππ=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.16．在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，则n S 为___________. 【答案】13(1)3n- 【解析】将122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+化为1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，再由等比数列的定义和通项公式､求和公式，可得所求和. 【详解】解：由11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，可得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--⋅+，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项､2为公差的等差数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n nS -==--.故答案为：13(1)3n-. 【点睛】本题考查数列的通项公式和求和公式，构造等比数列是解题的关键，考查转化思想和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知3()22sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且()f A =，3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）()f x 的最小正周期为：π；函数()f x 单调递增区间为： 511[,]()1212k k k Z ππππ++∈；（2. 【解析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可； （2）由（1）结合()f A =，求出A 的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可. 【详解】 （1）3()3cos 22sin()sin()23cos 22cos sin 3cos 2sin 22cos(2)6f x x x x x x x x x x πππ=++-=-=-=+()f x 的最小正周期为：22T ππ==； 当2222()6k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，即当511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为：511[,]()1212k k k Z ππππ++∈； （2）因为()3f A =-，所以3()2cos(2)3cos(2),6675(0,),2(,)2.2666663f A A A A A A A πππππππππ=+=-⇒+=-∈∴+∈∴+=∴=设BC 边上的高为h ，所以有113sin 22ah bc A h bc =⇒=， 由余弦定理可知：22222222cos 929a b c bc A b c bc b c bc bc =+-⇒=+-+≥∴≤（当用仅当b c=时，取等号），所以333h bc =≤，因此BC 边上的高的最大值33. 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数： 温度（单位：C ︒）21 23 24 27 29 32死亡数y （单位：株）61120275777经计算：611266i i x x ===∑，611336i i y y ===∑，()()61557i i i x x y y =--=∑，()62184ii x x =-=∑，()6213930i i y y =-=∑，()621ˆ236.64i i y y=-=∑，8.0653167e ≈，其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i =.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2303ˆ0.06xye =，且相关指数为20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-；相关指数为：()()22121ˆ1ni i i niii v vR v v ==-=--∑∑.【答案】（1）ˆy =6.6x −139.4；（2）（i ）回归方程0.2303ˆ0.06xy e =比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好；（ii ）190.【解析】（1）根据公式，结合已知数据，分别求得ˆˆ,ba ，则问题得解； （2）根据相关指数的计算公式，结合已知数据，求得2R ，再进行比较即可； （3）将35x =代入回归方程，即可求得结果. 【详解】(Ⅰ)由题意得，()()()121557ˆ 6.6384nii i nii xx y y bxx ==--==≈-∑∑∴ˆa=33−6.63⨯26=−139.4， ∴y 关于x 的线性回归方程为：ˆy=6.6x −139.4． (Ⅱ) （i ）线性回归方程ˆy=6.6x −138.6对应的相关指数为： ()()6221621ˆ236.641110.06020.93983930ii i i i i yyR y y ==-=-=-≈-=-∑∑，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程0.2303ˆ0.06xye =比线性回归方程ˆy=6.6x −138.6拟合效果更好． （ii ）由（i ）知，当温度35C x ︒=时，0.2303358.06050.060.060.063167190ˆye e ⨯==≈⨯≈， 即当温度为35︒C 时该批紫甘薯死亡株数为190. 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解、相关指数的求解，以及用回归直线方程进行估算，属综合中档题.19．已知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面是边长为4的正方形，14AA =，且1AA ⊥面ABCD ，点P 为1DD 的中点，点Q 在BC 上，3BQ QC =，1DD 与面ABCD 所成角的正切值为2.（1）证明：//PQ 面11A ABB ；（2）求证：1AB ⊥面PBC ，并求三棱锥1Q PBB -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，6.【解析】（1）取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H ，可证四边形PQBE 为平行四边形，得出//PQ BE ，故而//PQ 面11A ABB ；（2）由1AA ⊥面ABCD 可得1AA BC ⊥，由相似三角形可得1AB BE ⊥，故而1AB ⊥平面PEBC ，求出1B 到平面PEBC 的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积. 【详解】（1）证明：取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H .1AA ⊥面ABCD ，11//AA D H ，1D H ∴⊥面ABCD .1D DA ∴∠为1DD 与面ABCD 所成角. ∴12AA DH=，又14AA =， 2DH ∴=.112A D ∴=.111()32PE A D AD ∴=+=， 334BQ BC == 又//,//EP AD EP BQ ，∴四边形PQBE 为平行四边形，//PQ BE ∴，又PQ ⊂/面11A ABB ，BE ⊂面11A ABB ， //PQ ∴面11A ABB .（2）1AA ⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，1ABAA A =，BC ∴⊥面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ∴⊥.在梯形11A ABB 中，Rt BAE Rt ∆≅△11AA B ，111190B AE AEB B AE AB A ∴∠+∠=∠+∠=︒，1AB BE ∴⊥，又BEBC B =，BE ⊂平面PEBC ，BC ⊂平面PEBC ，1AB ∴⊥面PEBC .设1AB BE M ⋂=，2AE =，4AB =，25BM ∴=，112A B =，14AA =，125AB ∴=，·4525AE AB AM BE ∴===， 1165B M AB AM ∴=-=， 又334BQ BC ==， ∴11111165·3256332Q PBB B PBQ PBQ V V S B M --∆===⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.20．已知曲线C 上的点到点()1,0F 的距离比到直线:20l x +=的距离小1，O 为坐标原点.（1）过点F 且倾斜角为45的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求MON △的面积； （2）设P 为曲线C 上任意一点，点()2,0N ，是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22（2）直线l 存在，其方程为1x =，定值为2.【解析】（1）利用抛物线的定义可求得曲线C 的方程，由题意可得直线MN 的方程为1y x =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得MON △的面积；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，并设点()00,P x y ，求出以PN 为直径的圆的方程，将x a =代入圆的方程，求出弦长的表达式，进而可求得a 的值，由此可求得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意得，曲线C 上的点到点()1,0F 的距离与到直线:1l x =-的距离相等， 所以曲线C 的方程为：24y x =.过点F 且倾斜角为45的直线方程为1y x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，则124y y +=，124y y ⋅=-，则1212MAN S y y =-==△；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，设点()00,P x y ， 则以PN 为直径的圆的方程为()()()0020x x x y y y --+-=， 将直线x a =代入，得()()20020y y y a a x -+--=，则()()()()2000424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦，设直线l 与以PN 为直径的圆的交点为()3,A a y 、()4,B a y ， 则340y y y +=，()()3402y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值. 故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，同时也考查了抛物线中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数2()ln 2f x x x x =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间.[,](,)m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2⎛ ⎝⎭，单调减区间为1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）答案见解析.【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数()'g x ，分类讨论()'g x 的正负，确定()g x 的单调性，再根据零点存在定理确定零点存在的区间．首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,3)，(3,)+∞上有否零点，从而可得n m -的最小值．【详解】（1）2()ln 2f x x x x =+-的定义域为(0,)+∞，21221()22x x f x x x x'-++=+-=，令()0f x '=，得112x =，212x -=（舍）.当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当⎫+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，因此，函数()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）2()ln 2cos g x x x x x =+--，当(0,1)x ∈时，1()22sin g x x x x'=+-+， 因为1()22f x x x'=+-单调递减， 所以()12201g x '>+-+=，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)1cos10g =->，11111ln cos 0442164g ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭， 所以存在唯一1(0,1)x ∈，使得()10g x =.当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又22102g πππ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭， 所以()0g x '>，()g x 在1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增. 因为(1)1cos10g =->，所以()0>g x ，故不存在零点.当,32x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又02g π⎛⎫'>⎪⎝⎭，1(2)24sin 202g '=+-+<， 所以存在0,22x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使得()00g x '=. 当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()0,3x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.又2ln 0224g ππππ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，(2)ln 2cos 20g =->，(3)ln 369cos30g =+--<，所以存在唯一2(2,3)x ∈，使得()20g x =.当[3,)x ∈+∞时，22()12130g x x x x x x <-+-+=-+≤，故不存在零点. 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1(0,1)x ∈，0(2,3)x ∈， 因此n m -的最小值为3. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【解析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积． 【详解】解：（1）1cos :1sin x t C y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M 到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．第 1 页 共 6 页 23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。

南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（文）试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．设集合{}2M x x x ==，{}lg 0N x x =≤，则M N =（ ）A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (,1]-∞2．设i 是虚数单位，若()52ii x yi i+=-,x ,y R ∈，则复数x yi +的共轭复数是（ ） A. 2i -B. 2i --C. 2i +D. 2i -+3．设p :()21f x x mx =++在()2,+∞内单调递增,q :4m >-，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）A.2或2 B. 2C.25．若,m n 是两条不同的直线， ,,αβγ是三个不同的平面，下面说法正确的是（ ） A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥B. 若,αγαβ⊥⊥，则γβ⊥C. 若,,//m n m n αγβγ⋂=⋂=，则//αβD.若,//m m βα⊥，则αβ⊥6．在ABC ∆中， D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF x AB y AC =+，若不等式212a at x y+≥+对[]2,2t ∈-恒成立，则a 的最小值为（ ） A. -4B. -2C. 2D. 47．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）C. D. 18．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A.316B.38C.14D.189．已知函数()2sin cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>）的相邻两 个零点差的绝对值为4π，则函数()f x 的图象（ ） A. 可由函数()cos4g x x =的图象向左平移524π个单位而得B. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移524π个单位而得C. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移724π个单位而得D. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移56π个单位而得10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.316π B. 318π C. 48164π11．已知抛物线21:4C y x =和圆()222:11C x y -+=，直线()1y k x =-与12,C C 依次相交于()()1122,,,,A x y B x y()()3344,,,C x y D x y 四点（其中1234x x x x <<<）， 则AB CD ⋅的值为（ ）A. 1B. 2C. 24kD. 2k12．已知实数0a >，函数()f x = ()112,02{1,022x x ae x a ae x a x x --+<+-++≥，若关于x 的方程()2aa f f x e -⎡⎤-=+⎣⎦有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 21,2e ⎛⎫+⎪⎝⎭ B. 22,2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 12,2e ⎛⎫+⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13．已知奇函数()f x 的图像关于直线对称，当[]0,3x ∈时， ()f x x =-，则()16f -=__________．14．已知x ，y 满足约束条件20,{20, 4180,x y x y x y -≤-≥+-≤则目标函数328xy z =的最小值为__________．15．在ABC ∆中，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，且,4cos cos a b c A B==，则OA AB ⋅=_______. 16．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2MA MO =，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且2211b S +=，3329S b =．（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)2n n n na c nb --=⋅，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求1n n T T -（*n N ∈）的最大值与最小值．18．（本小题满分12分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为,A B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图， 表一(I)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；(Ⅱ)某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；(Ⅲ)在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%， B 类女生占女生总数的比例为1k ， B 类男生占男生总数的比例为2k ，判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11AAC C ， 1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .(I)求证： 1A C ⊥平面1ABC ； (Ⅱ)求证： 1//AA EF ；(Ⅲ)记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若直线l ： 2y kx =+与椭圆C 相交于A ， B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()222x e f x e x=+， ()3ln g x e x =，其中e 为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性.(Ⅱ)试判断曲线()y f x =与()y g x =是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线l 的方程；若不存在，请说明理由.四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ： 21sin ρθ=-，直线l ： {x tcos y tsin αα==（t 为参数， 0απ≤<）. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限），当30OA OB +=时，求α的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =+．（I ）求不等式()103f x x ≤--的解集；（II ）若正数m ， n 满足2m n mn +=，求证： ()()216f m f n +-≥．南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（文）试卷参考答案一、选择题1．设集合{}2M x x x ==，{}lg 0N x x =≤，则M N =（ ）A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (,1]-∞ 【答案】A【解析】试题分析：,,所以，故选A. 考点：集合的运算.2．设i 是虚数单位，若()52ii x yi i+=-， x ， y R ∈，则复数x yi +的共轭复数是（ ） A. 2i - B. 2i -- C. 2i + D. 2i -+ 【答案】A 【解析】()()5i 2i 5i i i i,12i 2i 5x y y x ++=-+==-+-，根据两复数相等的充要条件得2,1x y ==，即i 2i x y +=+，其共轭复数为i 2i x y -=-，故选A.3．设p ： ()21f x x mx =++在()2,+∞内单调递增， q ： 4m >-，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】∵()21f x x mx =++在()2,+∞内单调递增，∴42m-≤，解的4m ≥-，故则p 是q 的必要不充分条件，故选B.4．已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）【答案】B【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2c e a ====；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为c e a ====B ． 5．若,m n 是两条不同的直线， ,,αβγ是三个不同的平面，下面说法正确的是（ ） A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. 若,αγαβ⊥⊥，则γβ⊥C. 若,,//m n m n αγβγ⋂=⋂=，则//αβD.若,//m m βα⊥，则αβ⊥ 【答案】D【解析】若,m βαβ⊂⊥，则m 与α平行，相交或m α⊂，故A 不正确；若,αγαβ⊥⊥，则γ与β相交或平行，故B 不正确；若,m αγ⋂= n βγ⋂=， //m n ，则//αβ或α与β相交，故C 不正确；若,//m m βα⊥，则αβ⊥， //m α，根据线面平行的性质在α内至少存在一条直线'm 与m 平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直这个平面，那么另一条也垂直于该平面， 'm β⊥，可得αβ⊥，故D 正确，故选D.6．在ABC ∆中， D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF x AB y AC =+，若不等式212a at x y+≥+对[]2,2t ∈-恒成立，则a 的最小值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】B【解析】根据图像知道点DFC 三点共线，故AF x AB y AC =+ 2x AD y AC =+，由共线定理得到21,x y += 则()124248y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故问题转化为28a at ≥+，对[]2,2t ∈-恒成，因为不等式是关于t 的一次函数，故直接代入端点即可， []22280{ 2,2280a a a a a +-≤⇒∈---≤ a 的最小值为-2. 故答案为：B 。

南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学（文）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21|3}A x x =-≥，(){}2lg 6B xy x x ==--∣，则()RA B =（ ）A. (1,3)-B. ∅C. (2,3)D. (2,1)--【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合A ，再求定义域得集合B ，最后根据补集与交集定义得结果. 【详解】{|21|3}{|213A x x x x =-≥=-≥或213}(,1][2,)x -<-=-∞-+∞(){}{}22lg 660(,2)(3,)B x y x x x x x ==--=-->=-∞-+∞∣∣()R(1,2)A B B =-∅==故选：B【点睛】本题考查补集与交集、解含绝对值不等式、函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.复数(sin 2cos )(sin 2cos )z iθθθθ=-++是纯虚数，则sin cos =θθ（ ）A. 52-B. 25-C.25D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据z 为纯虚数，求得tan 2θ=，由此求得sin cos θθ.【详解】由于z 是纯虚数，所以sin 2cos 0tan 2sin 2cos 0θθθθθ-=⎧⇒=⎨+≠⎩， 所以2222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1215θθθθθθθθ====+++.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查纯虚数的知识，属于基础题.3.甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值m n=A.13B.12C. 2D. 3【答案】A 【解析】分析：根据茎叶图得到甲乙两组数的中位数和平均数，根据题意求出,m n 的值，然后可得所求． 详解：由题意得，甲组数据为：24,29,30,42m +；乙组数据为：25,20,31,33,42n +． ∴甲、乙两组数据的中位数分别为59,312m+， 且甲、乙两组数的平均数分别为2429(30)4212525(20)313342151,4455m m n nx x 甲乙+++++++++++====． 由题意得5931212515145mm n +⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得39m n =⎧⎨=⎩， ∴3193m n ==． 故选A ．点睛：茎叶图的优点是保留了原始数据的所有特征，且便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图和平均数、方差、众数、中位数等数字特征常结合在一起，考查学生的数据分析能力和运算能力．4.在等差数列{}n a 中，381327a a a ++=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则15S =（ ） A. 134 B. 135C. 136D. 137【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求得8a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得15S 的值. 【详解】由等差中项的性质可得38138327a a a a ++==，则89a =，因此，()11581581515215159135 22a a aSa+⨯====⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.5.已知0a>，0b>，直线1l：(1)10a x y-+-=，2l：210x by++=，且12l l⊥，则21a b+的最小值为（）A. 2B. 4C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】由12l l⊥，可求得21a b+=，再由()2121424b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为12l l⊥，所以()11120a b-⨯+⨯=，即21a b+=，因为0a>，0b>，所以()212144222428b a b aa ba b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+⋅=⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即11,24a b==时等号成立，所以21a b+的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A. 0B.33C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S ＝tan 3π+tan 23π+tan 33π+…+tan 20163π+tan 20173π的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【详解】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S ＝tan3π+tan 23π+tan 33π+…+tan 20163π+tan 20173π的值， 由于tan(31)3k π++tan (32)3k π++tan (33)3k π+＝0，k ∈Z ， 且2017＝3×672+1，所以S ＝（tan 3π+tan 23π+tan 33π）+…+（tan 20143π+tan 20153π+tan 20163π）+ tan 20173π＝0+0+…+0+ tan 20173π＝tan 3π故选：C ．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，也考查正切函数求值的应用问题，属于基础题．7.圆柱的底面半径为r ，侧面积是底面积的4倍.O 是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P ，则使||PO r ≤的概率为（ ） A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆柱的底面半径与高的关系，再根据圆柱体积公式、球体积公式求概率. 【详解】设圆柱的高为h ，因为侧面积是底面积的4倍，所以2242rh r h r ππ=⨯∴=因此||PO r ≤的概率为33224423323πr πrπr h πr r ==⨯ 故选：C【点睛】本题考查几何概型概率、圆柱体积公式与侧面积公式、球体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.下列四个命题中，正确的有（ ）①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对x ∀∈R ，均有210x x ++>”； ③命题“p g ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件；④若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x=-有极值0，则2a =，9b =或1a =，3b =. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得，(1)0,(1)0,f f '-=-= 解得a=2,b=9或a=1,b=3,经检验，当a=1,b=3时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥恒成立，此时()f x 没有极值点，故④错误。

2020年江西省南昌二中高三高考数学（文科）校测试题（一）一、单选题1．2019年是新中国成立70周年，某学校为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则4个剩余分数的方差为（ ）A ．1B ．32 C ．4 D ．62．如图所示的图形可以作为某个函数图象的是( )A ．B ．C ．D ．3．已知圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为45︒，则该圆锥的母线长为（ ）A B C ．D ．4．若()()2,3,4,7a b ==-，b 方向上的单位向量为e .则a 在b 上的投影向量为（）A ．5eB eC eD e5．执行如图所示的程序框图，则输出a =（ ）A ．6B ．6.25C ．6.5D ．6.86．“0a b >>”是 “22a b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}2|340,{|273}A x x x B x x =+-<=+≥，则AB =（ ） A ．1{|}4x x -≤< B ．1{|}4x x -<≤C ．{|21}x x -≤<D ．{|21}x x -<≤ 8．若复数2z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +⋅=（ ）A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．39．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ）A ．-4B ．-6C ．-8D ．-10 10．对任意实数,a b 定义运算“”，,,,b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩，设2()(2)(4)f x x x =--，有下列四个结论：①()f x 最大値为2；②()f x 有3个单调递减区间；③()f x 在3[,1]2--是减函数； ④()f x 图象与直线y m =有四个交点，则02m ≤<，其中正确结论有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个11．已知圆22240x y x my +-+-=上两点M ，N 关于直线20x y +=对称，则圆的半径为（ ）．A ．9B ．3C ．D ．212．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对于任意x ∈R ，都有()( 0)0f f π+=，且()f x 在()0,π有且只有5个零点，则ω=（ ）A ．112B ．92C ．72D ．52二、填空题13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，1AC BC ==，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为______ .14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()12n n a S n N *+=∈，则n a = ____． 15．函数()y f x =在1x =处切线方程为10x y -+=，则()()1'1f f +=______.16．轴截面为正方形的圆柱的侧面积为8π，则此圆柱的体积为__________．三、解答题17．（本小题满分13分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A,B 两点.椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =（Ⅰ）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过A,B 两点分别作抛物线C 的切线12,l l ，切线12l l 与相交于点M.证明AB MF ⊥；（Ⅲ）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A M B ''''，（,A B ''为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M A M B ''''，所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.18．设()236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最大值及取到最值时x 的取值集合；（2）求()f x 的单调区间；（3）若锐角α满足()3f α=-tan 2α的值.19．凤天路上某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系. (附：回归直线方程y bx a =+中，1122211()()()n n i i i i i i n n i ii i x x y y x y nx y b xx x nx ====---⋅==--∑∑∑∑　，a y bx =-)（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额.20．在直角坐标系xOy 中，已知点()6,2Q ，曲线1C 的参数方程为28682x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），点P 是曲线1C 上的任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于点O ，A ，射线OA 逆时针旋转90︒交曲线2C 于点B，且3OA OB ⋅=，求k . 21．如图，已知三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（2）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积.22．已知函数()()221f x m x x x R =---+∈.（1）当4m =时，求不等式()20f x +>的解集；（2）若函数()f x 的图象与函数223y x x =++的图象存在公共点，求实数m 的取值范围.23．已知函数． （1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．参考答案1．B先分析得到x ≥3，再确定剩下的四个数并求它们的方差得解.数据93，90，90，91的平均数为91，由题意可得3x ≥，所以4个剩余分数为93，90，90，91，则4个剩余分数的方差为222221(9391)(9091)(9091)(9191)4S ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦32=. 故选B本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．B根据函数定义，选项,,A C D 为错误，选项B 正确.根据函数的定义，定义域中的任一自变量只有唯一的函数值对应，选项,,A C D 均不满足定义，所以错误；选项B 满足.故选:B.本题考查识别图像是否表示函数，考查函数定义的理解，属于基础题.3．D先设圆锥底面圆半径为r ，圆锥母线长为l ；根据圆锥的体积，以及母线与底面所成的角为45︒，即可列出方程组，求出结果.设圆锥底面圆半径为r ，圆锥母线长为l ，由圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为45︒，可得19345r r cos l ππ︒⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3l r ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故选D本题主要考查圆锥的有关计算，熟记圆锥的体积公式等即可，属于常考题型.4．A由向量的投影计算公式，代值计算即可求得.由向量的投影计算公式可得，故a 在b 上的投影向量为65565a b e e e b ⋅==. 故选：A .本题考查向量的投影计算公式，属基础题.5．A 分析：根据框图，先求得91101a =+=，然后执行循环体，求,k b 的值，判断条件，满足，b 的值赋给a ，再执行循环体，直到不满足条件a b >时，输出a 的值。

2020届江西省南昌二中高三校测试数学（文）题（三）一、单选题1．已知集合4{|log 1}M x x =<，{}2M N =，则集合N 可以是（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{2，3，4}【答案】C【解析】先利用对数函数的单调性化简集合M ，然后再根据交集的运算求解. 【详解】{|04}M x x =<<，{}2M N =，∴集合N 可以是{2，4}.故选：C 【点睛】本题主要考查交集的运算以及对数函数的单调性应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.2．若复数z 的其共轭复数z 满足131zi i=++，则复数z 为（ ） A ．24i -- B ．24i -+C ．44i -D ．44i +【答案】A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案. 【详解】 解：由131zi i=++，得(13)(1)24z i i i =++=-+， 24z i ∴=--.故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ）A ．36.5B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】利用点(,)x y 满足回归直线方程，求出x ，进而得到y ，即可求解. 【详解】回归方程1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =． 故选：D . 【点睛】本题考查线性回归方程，样本中心点在回归直线上是解题的关键，属于基础题. 4．设52a -=，5log 2b =，3log 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】 解：521log 2log 5b ==，321log 2log 3c ==，22log 5log 31>>，2210log 511log 3∴<<<， 则53log 2log 21<<， 又1135355log 2log log 1853>==， 531log 2log 213∴<<<， 又51232a -==， 故a b c <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内，则22m n +的最小值为（ ）A ．25B．5C ．49D ．23【答案】A【解析】画出约束条件的可行域,转化m 2+n 2为x ,y 的关系,利用目标函数的几何意义转化求解即可． 【详解】0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域如图阴影部分, 点(m +n ,m -n )在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内,设x m n y m n =+⎧⎨=-⎩,即(,)x y 在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内, 且,22x y x ym n +-==, 所以()2222221222x y x y m n x y +-⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则m 2+n 2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．由可行域可知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为P 到原点的距离, 即原点到直线2x -y -2=0的距离,所以距离的最小值为所以m 2+n 2的最小值为:21225⨯=, 故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题． 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263【答案】A【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.7．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+．设()()sin g x f x x x =+-，若(10)2020g =，则()10g -=（ ）A ．2020-B ．2020C ．0D ．1010【答案】A【解析】利用抽象函数关系，判断函数()f x 是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】 解：有()()()f x y f x f y +=+，(00)(0)(0)(0)f f f f ∴+=+=，即(0)0f =，令y x =-，则有()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，即()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，若()()sin g x f x x x =+-，(10)2020g =，则(10)(10)sin10102020g f =+-=， 则(10)(10)sin1010(10)sin1010g f f -=--+=--+，两式相加得：02020(10)g =+-，得(10)2020g -=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键，属于中档题．8．已知ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，则AD BC =（ ） A ．20 B ．102C ．10D ．103【答案】C【解析】先由正弦定理求得2220b c -=，再将,AD BC 均用,AB AC 表示，再结合向量的数量积的运算律即可求解结论． 【详解】解：因为ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，21R ∴=且··2022b cb c R R-=； 故2220b c -=；∴2222111·()()()()10222AD BC AB AC AC AB AC AB b c =+⋅-=-=-=； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立， 所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线22:1x C y m -=(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．2(,0)(0,)22-B ．(，0)(0⋃C ．2(,(,)-∞+∞ D ．5(,(,)-∞+∞ 【答案】A【解析】利用双曲线的离心率求出m ，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB 坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k 的范围即可． 【详解】解：由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2=2m =， 双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=， 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12222y y t =-，12224y y t t =--+ 221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-， 又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >， 所以直线l 的斜率22112k t =<， 又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是2(,0)(0,)22-， 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题． 12．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（ ）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞【答案】C【解析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围． 【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >．所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．二、填空题13．若向量1(tan15,)cos75a =，(1,sin 75)b =，则·a b =__．【答案】4【解析】进行数量积的坐标运算即可得出sin15cos15·cos15sin15a b =+，然后通分，根据二倍角的正弦公式和22sin cos1αα+=即可求出答案．【详解】解：22sin75sin15cos15sin15cos151·tan1541cos75cos15sin15sin15cos15sin302a b+=+=+===⋅．故答案为：4．【点睛】本题考查了切化弦公式，二倍角的正弦公式，向量坐标的数量积的运算，22sin cos1x x+=，考查了计算能力，属于基础题．14．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道（斑马线）两侧划分5块区域（如图），现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有__种．【答案】288【解析】根据题意，分两步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有2412A=种选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有3424A=种选法，则不同的摆放方式有1224288⨯=种．故答案为：288.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．三棱柱111ABC A B C-的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于20π．若2AB AC==，120BAC∠=︒，则此棱柱高为__．【答案】2【解析】设球的半径为R，由球的表面积公式可求出R的值；在ABC中，结合余弦定理和正弦定理，可求得ABC的外接圆半径r，而棱柱的高为222R r-解． 【详解】解：设球的半径为R ，则2420S R ππ==球，5R ∴=．在ABC 中，由余弦定理知，22212cos12044222()122BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯-=，23BC ∴=．由正弦定理知，ABC 的外接圆半径r 满足232sin120r =︒，2r ∴=．∴球心到平面ABC 的距离为22541d R r =-=-=．∴此棱柱的高为2．故答案为：2．【点睛】本题考查棱柱与球中的简单计算问题，熟悉棱柱与球的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．已知椭圆()22210x y m m+=>的焦点为1F ，2F ，若在长轴12A A 上任取一点M ，过点M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，若使得12·0PF PF <的点M 的概率为，则m 的值为__． 【答案】2或12【解析】根据12·0PF PF =，得到P 的轨迹为圆，利用椭圆的焦点坐标在x 或y 轴，分类求解椭圆与圆的焦点坐标，利用几何概型，转化求解即可． 【详解】当12·0PF PF =时，点P 在圆222x y c +=上， 联立椭圆()22210x y m m+=>，222x y c +=，当1m 时，()222211m c x m -=-，解得x c=±，所以当x c=±12·0PF PF =. 若使得12·0PF PF <的点M，可得2c m =，解得23c =，2m =． 当01m <<时，解得y =3=， 得到2232c m =+，又因为221c m =-，解得12m =． 故答案为：2或12【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时考查椭圆的简单性质以及向量的数量积，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，所以2n S n =，①当1n =时，111a S ==，当2n 时，21(1)n S n -=-，②，①-②得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-（首项符合通项）．故21n a n =-． （2）数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+，整理得13(3)3n nb b +-=-，即13133n n b b +-=-， 所以数列{}3n b -是以1133b -=为首项，13为公比的等比数列． 所以11113()333n n n b --=⨯=，故1(21)3n n c n =-⨯．211113(21)333n n T n =⨯+⨯+⋯+-⨯①，231111113(21)3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯②， ①-②得：2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋯+--⨯，整理得113n nn T +=-． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）若点M 为PC 的中点，4PA =，求点D 到平面MAB 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）4217. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，只需证明BCEF 是平行四边形，即可得到//CE BF ，然后得到直线//CE 平面PAB ；（2） 取AD 的中点O ，M 在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点，取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ，可得AB MQ ⊥，设点D 到平面MAB 的距离为h ，利用等体积法M ABD D MAB V V --=，得11 (33)ABD MAB MN S h S ∆∆=，即可求得结论．【详解】解：（1）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =， 由，90BAD ABC ∠=∠=︒，得//BC AD ， 又12BC AD =， 所以//EF BC 且EF BC =，四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊂平面PAB ，故//CE 平面PAB ；（2）解：取AD 的中点O ，连接,OC OP ， 侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，PO ∴⊥底面ABCD ，点M 为PC 的中点，M ∴在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点．12MN PO ∴=， 取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ， 则NQ AB ⊥，又MN AB ⊥，NQMN N =，AB ∴⊥平面MNQ ，AB MQ ∴⊥，4PA =，23PO ∴=，2AB =，由在Rt MNQ ∆中，132MN PO ==，2NQ =，222(3)7MQ =+=， 11··27722MABS AB MQ ∆∴==⨯⨯=，11··24422ABD S AB AD ∆==⨯⨯=， 设点D 到平面MAB 的距离为h ，由M ABD D MAB V V --=得11····33ABD MAB MN S h S ∆∆=，即1134733h ⨯⨯=⋅⋅ 421h ∴=， 即点D 到平面MAB 的距离为4217．【点睛】本题考查了线面平行的判定，点到平面的距离的求法，其中，利用体积法是解决点面距离的常用方法，属于中档题．19．某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．如表是家长所打分数X的频数统计．（1）求家长所打分数的平均值；（2）若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？（3）在评分为10分的学生中有7名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）395；（2）有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）27.【解析】（1）利用平均数公式计算平均值即可；（2）填写列联表，计算2K，对照附表得出结论；（3）利用古典概型的概率公式，计算即可．【详解】解：（1）家长所打分数的平均值为139 (5468720824916108) 805X=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）填写列联表如下：计算2280(1882430)10.8277.87942384832K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）总共基本事件为2721C =种，有小雯同学的选法为1116·6C C =种， 故所求的概率值为62217P ==． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均值与古典概型的概率计算问题，是基础题．20．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标. 【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=， 1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==① 又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养. 21．设函数()()ln 0k x f x x x k x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2312g x x k x =-+，求证：方程()()f x g x =有唯一零点. 【答案】（1）函数()y f x =在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增（2）证明见解析；【解析】（1）当1k =时，()2x x f x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=，即可得出其单调区间（2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，则()()()1x x k F x x--'=-，然后分1k =，1k >，01k <<三种情况讨论即可.【详解】（1）当1k =时，()2ln f x x x =-，所以()12f x x x'=-，即()2x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=，当0x <<0f x，函数()f x 单调递减；当2x >时，0f x，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，()()()1x x k F x x--'=-①当1k =时，()0F x '≤，当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数. 因为()3102F =>，()4ln 40F =-<，所以()F x 在()1,4内有唯一零点； ②当1k >时，当01x <<或x k >时，()0F x '<；当1x k <<时，()0F x '>， 所以()F x 在0,1和(),k +∞上单调递减，在()1,k 上单调递增. 因为()1102F k =+>，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在()1,22k +内有唯一零点；③当01k <<时，当0x k <<或1x >时，()0F x '<；当1k x <<时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,k 和1,上单调递减，在(),1k 上单调递增.因为()()22ln 02kF k k k =+->，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在(),22k k +内有唯一零点. 综上可得方程()()f x g x =有唯一零点.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=（2）直线l 与曲线C 相交，公共弦的长【解析】（1）化圆的方程为一般方程，结合222x y ρ=+及cos x ρθ=，sin y ρθ=即可得到曲线的极坐标方程； （2）把()3R πθρ=∈代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l 与曲线C 相交，再由根与系数的关系求解弦长. 【详解】（1）将22(1)(1)3x y -++=改称为222210x y x y +-+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（2）将3πθ=代入22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，21)480∆=+=->，所以方程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为12ρρ-==【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题. 23．已知函数()12f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值. 【答案】（1）53[,]22-；（2）2a =-.【解析】（1）将1a =代入()f x 中，然后根据()4f x ，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件，求出()f x 的图象与x 轴围成的三角形底边长和高，然后根据面积为6得到关于a 的方程，再求出a 的值.【详解】解：（1）当1a =时，21,1()123,2121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-++=-<<⎨⎪---⎩.()4f x ，∴2141x x +⎧⎨⎩或21x -<<或2142x x --⎧⎨-⎩， ∴312x 或21x -<<或522x --，∴5322x -， ∴不等式的解集为53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当1a <-时，(1)(12),2()(1)21,21(1)(21),1a x a x f x a x a x a x a x -++--⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-⎩，当1a <-时，令()0f x =，则121a x a -=+或211a x a+=-， 又由(1)(12)(1)21y a x a y a x a =-++-⎧⎨=-++⎩，得3y =， ()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，∴1211236211a a a a +-⎛⎫⨯⨯-= ⎪-+⎝⎭， 解得2a =-或12a =（舍).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.。

2020届江西省南昌市第二中学高三第六次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．2．设复数，则的虚部是（）A．1 B． C．-1 D．-3．已知命题甲：；命题乙：，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期在8月C．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5．执行如图所示的程序框图，其输出结果是( )A．61 B．62 C．63 D．646．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C． D．7．函数（其中）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度8．函数的部分图像大致为（）A． B．C． D．9．已知双曲线mx2-ny2＝1与直线y＝1+2x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )A．- B． C． D．10．如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11．已知数列满足：，则的前40项的和为（）A．860 B．1240 C．1830 D．242012．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题13．设向量a＝(x－1，1)，b＝(－x＋1，3)，若a⊥(a－b)，则x＝__________。

14．已知集合从M中任取一个元素，则满足a+b-2≤0的概率为________．15．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为___________16．已知A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的体积为，则三棱锥P-ABC表面积为___________．三、解答题17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.（1）求A；（2）若，求△ABC的面积.18．如图，四棱锥中，平面平面，为线段上一点，, 为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥C-BMN的体积.19．2018年，南昌市召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如下的列联表：优秀非优秀总计男生a3550女生30d70总计4575120（1）确定a,d的值；（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（3）为了宣传普及VR知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010k1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.63520．如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.（1）求抛物线C的标准方程（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.21．已知函数为实数.（1）若，求的单调区间和极值；（2）设，且有两个极值点，若，求的最小值.22．直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程，（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于两点A,B，若点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的图像最低点为，正数，满足，求的取值范围.2020届江西省南昌市第二中学高三第六次考试数学（文）试题参考答案一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】解一元二次不等式可得集合A，由对数型函数定义域可得集合B，利用交集定义求解即可.【详解】因为,，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合交集的定义，属于基础题.2．设复数，则的虚部是（）A．1 B． C．-1 D．-【答案】C【解析】结合复数的四则运算，计算z，得到虚部，即可。

南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．已知集合{|{|1}A x y B x a x a ==≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值 范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B.C. D.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95B.115C.94D.1143．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件;②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个5．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4πB.8πC.38πD.58π6．如图，在△ABC 中， 21,,33AD AC BP BD ==若AP AB AC λμ=+,则λμ的值为( )A. －3B. 3C. 2D. －27．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A. 94- B.94C.274D. 274-8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）A. k ≤ 14?B. k ≤ 15?C. k ≤ 16?D. k ≤ 17?9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小 的面的面积为（ ） A. 8B. 4C.D.10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60D ．10011．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,则该双曲线的离心率为（ ）D. 212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1a f =， 则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．设n= 26sinx π⎰dx ，则二项式22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为 ________．14．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-≥113337y x y x x y 则23412x y z -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为__________．15．已知椭圆22194x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点()00,P x y （P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为00194x x y y +=，过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________． 16．有下列命题：①等比数列{}n a 中，前n 项和为n s ，公比为q ，则n n n n n s s s s s 232,,--仍然是等比数列,其公比为n q ；②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是π34cm 3；③若数列{}n a 是正项数列，且221n a a a n =+++ n 3+()*∈N n ，则n n n a a a n 62132221+=++++ ； ④在ABC ∆中，1,2,1200===∠AC AB BAC ,D 是边BC 上的一点（包括端点），则的取值范围是[]2,5-.其中正确命题的序号是_____（填序号）三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题12分）已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ， 且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.18．（本小题12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位： cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[)170,180（单位： cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[)180,175（单位： cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题12分）如图，在等腰梯形ABCD 中， 060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三角形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.（1）在四棱锥B AECD -中，求证： AD BD ⊥；（2）若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为0120，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值.20．（本小题12分）设抛物线()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为23E ⎛ ⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=.（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围.21．（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x x =+-， ()2xg x e x =-（e 为自然对数的底数）．（1）当[)0,x ∈+∞时，求()g x 的最小值； （2）若函数()f x 恰有两个不同极值点12,x x ．①求a 的取值范围；②求证： 212x x e ≥．四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠．以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA MB =，求直线l 的斜率k ．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =++--， (1)当m ＝5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围．南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.60 14．164． 15. ()22139x y x +=≠± 16. ②③④ 一、单选题1．已知集合{|{|1}A x y B x a x a ==≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：集合{|{|22}A x y x x ===-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C.考点：集合间的关系.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95 B. 115 C. 94 D. 114【答案】A【解析】∵()()()424m 2n 4235m ni i n m i i +-=++-=+，∴425{ 423m n n m +=-=，解得： 710{ 1110m n ==，∴m n +=95故选：A3．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件; ②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】①已知,a b ∈R ,“1a >且1b >”能够推出“1ab >”,“1ab >”不能推出“1ab >”,本选项正确;②已知平面向量,a b , “1,1>>a b ”不能推出“1+>a b ”,本选项不正确; ③已知,a b ∈R ,“221a b +≥”是“1+≥a b ”的充分不必要条件,正确; ④命题:P “0x ∃∈R ,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x ∀∈R ,都有e 1x x <+或ln 1x x >-”本选项不正确.正确的个数为2. 故选：C4．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)-3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个 【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时， ()f x x =，所以当[]1,0x ∈-时， ()f x x =-，函数()3l o g y f x x =-的零点等价于函数()y f x =与3log y x =的交点个数，在同一坐标系中，画出()y f x =的图象与3log y x =的图象，如上图所示，显然()y f x =的图象与3log y x =的图象有4个交点。

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分1236.01. 已知集合A={x|x2-x-2>0}，B={x|0<x<3}，则A∩B 等于（）C.4. 己知角的顶点在坐标原点，始边为A. -B. -5. 已知抛物线y2=8 x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|-|PE|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l ，有以下结论：① l：r=4：3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③7. 某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100 名学生，他们身高都处于A，B，C，D，E 五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（）2.3.A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）已知a，b∈R，复数z=a-bi，则|z|2= （）D. （2，3）A. a2+b2-2abiB. a2-b2-2abiC. a2-b2D. a2+b2已知函数，命题，若p 为假命题，则实数 a 的取值范围是D.x 轴非负半轴，终边过点P（2,－1），则cos2 等于（）A. 样本中男生人数少于女生人数C. 样本中 D 层次身高的男生多于女生B. 样本中 B 层次身高人数最多D. 样本中 E 层次身高的女生有3人）10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐 含着一个有趣的数学问题 --“将军饮马”问题， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到 河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤1，若将军从点 A （ 2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. -1 B. 2 C. 2 D.11. 已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为 1），则该四 棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知双曲线 E ： - =1（ a > 0，b >0）的焦距为 2c ，圆 C 1：（ x-c ）2+y 2=r 2（ r >0）与圆 C 2： x 2+、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0分）与 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则 ?（ ） =14. 已知实 x ，y 满足 ，则 2x+y 的最小值是 _____15. 已知函数 f （x ）对于任意实数 x 都有 f （ -x ） = f （ x ），且当 x ≥0时，f （x ）=e x -sinx ，若实数 a满 足 f （log 2a ）< f （ 1），则 a 的取值范围是 ．8.已知函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（ A >0， 所示，若将 f （ x ）图象上的所有点向左平移 象，则函数 g （ x ）的单调递增区间是（A. [k π- ，k π- ] （k ∈Z ）B. [k π- ， k π ] （ k ∈Z ）C. [k π- ，k π ] （k ∈Z ）D. π， π （ ∈）9. 已知正实数 a ，b ，c 满足 log a 2=2，log 3b= ，c 6= ，则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b < cB. a < c < bC. c < b < aD. b < a < cy-m ）2=4r 2（m ∈R ）外切，且 E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 E 的离心率为（A. B. C.13. 已知平面向量16. 已知平行四边形 ABCD 中， AB=AC ，BD=6，则此平行四边形面积的最大值为 ______ ．三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0分）17. 已知数列 { a n }是公差不为零的等差数列， a 1=1，且存在实数 λ满足 2a n+1=λa n +4， n ∈N +． （ 1）求 λ的值及通项 a n ；（ 2）求数列 { a } 的前 n 项和 S n ．矩形 ABCD 中，AB=3，BC=1，E 、F 是边 DC 的三等分点．现将 △DAE 、△CBF 分别沿 19. 已知椭圆 C ： =1（a >b >0），点 M 是C 长轴上的一个动点， 过点 M 的直线 l 与 C 交于 P ，Q 两点，与 y 轴交于点 N ，弦 PQ 的中点为 R ．当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 时， N ， P重合， |PM |=2． （ 1）求椭圆 C 的方程；（2）当 M ，N 均与原点 O 不重合时， 过点 N 且垂直于 OR 的直线 l ′与 x 轴交于点 H ．求证： 为定值．18. 如图，1）若 G 为线段 AB 上一点，且 AG=1，求证： DG ∥平面CBF ；2）求多面体 CDABFE 的体积．20. 某品牌餐饮公司准备在10 个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5 个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额y加盟店个数x（个）12345单店日平均营业额y（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他 5 个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35 万元，求一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于 2 个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率．21. 已知函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当时，证明：x3>f（x）．x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos-2θ=0，点P的极坐标是（，参考数据及公式：x i y i=125，=55 ，线性回归方程22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，，以坐标原点为极点，直线l 的参数方程为t 为参数）1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l的距离；2）若直线l 与曲线C交于M，N两点，求△PMN 的面积．23. 已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为 1 ，求的最小值.答案与解析1. 答案： D解析： 解： A={ x|x <-1，或 x >2} ； ∴A ∩B=（ 2， 3）． 故选： D ．可求出集合 A ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2. 答案： D解析： 解：因为复数 z=a-bi ， 所以 |z|= ， 故|z|2=a 2+b 2， 故选： D ．根据复数 z=a-bi ，先求出 |z|，然后再求出 |z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对 |z|2 的正确理解．本题属于基础题．3. 答案： C解析： 解：因为 p 为假命题，所以￢ p 为真命题， 即不存在 x 0∈R ，使 f （ x 0） =0 ， 故 △=1-4 a 2< 0， 解得： ， 故选： C ．直接利用命题 p 为假命题，即不存在 x 0∈R ，使 f （x 0）=0，根据这个条件得出实数 a 的取值范围． 本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题．4. 答案： C解析： 解：由题得点 P 到原点的距离为= ，故选： C ．先求出点 P 到原点的距离为 ，再利用三角函数的坐标定义求出 cos α，再利用二倍角的余弦求 cos2α 的值．本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理 计算能力．5. 答案： B解析： 解：因为抛物线 y 2=8x ， 所以抛物线的准线方程为 x=-2， 因为 P 在 y 轴上的投影为点 E ， 所以|PE|即为点 P 到 x=-2的距离减去 2， 因为点 P 在该抛物线上， 故点 P 到 x=-2的距离等于 |PF|，cos 所以cos2α =2co 2s α-1=2所以，|PE|=|PF |-2，故|PF|-|PE|=2，故选：B．P在y轴上的投影为点E，由抛物线的定义可得，|PE|=|PF|-2，故可得结果．本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化．6. 答案：A解析：解：①，由题意得= ，可得l：r=4：3，所以该结论正确；②，由题意得= = = ，所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3，所以该结论正确；③，由题得轴截面的三角形的三边长分别为，，2r ，顶角最大，其余弦为=- < 0，所以顶角为钝角，所以轴截面三角形是钝角三角形，所以该结论错误．故选：A．利用圆锥的侧面展开图和圆锥的关系可判断①；由圆锥的侧面积和底面积计算可判断②；由余弦定理计算可判断③．本题主要考查圆锥的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7. 答案：C解析：解：A．样本中男生人数为4+12+10+8+6=40 ，女生人数为100-40=60 ，所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；B．因为男生中 B 层次的比例最大，女生中 B 层次的比例最大，所以样本中 B 层次身高人数最多，所以该选项是正确的；C．样本中 D 层次身高的男生有8人，女生 D 层次的有60×15%=9，所以样本中 D 层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；D．样本中E层次身高的女生有60×5%=3 人，所以该选项是正确的．故选：C．结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解．本题主要考查统计图表，考查比例和样本频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8. 答案：A解析：【分析】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，属于中档题.根据三角函数的图象得出函数f（x）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数g（x）的单调区间．【解答】解：由图可得解得ω=2，将点代入函数f（x）=Asin（2x+φ），即，因为| φ<|，所以φ=，故函数f（x）= Asin（2x+ ），因为将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象．所以，当（k∈Z）时,解得：（k∈Z ），故当x∈[ ]（k∈Z）时，g（x）单调递增，故选：A．9. 答案：B解析：解：由题得a2=2，；∴a6=8，b6=9，且；∵，a，b，c 都是正数；∴a<c<b．故选：B．先求出a6=8，b6=9，从而得出a6< c6< b6，根据a，b，c为正数即可得出a，b，c 的大小关系．考查对数的定义，对数式与指数式的互化，以及指数幂的运算，幂函数的单调性．10.答案：A解析：解：设点A关于直线x+y=3 的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），解得要使从点 A 到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线x+y=3 的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．11.答案：C解析：解：由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD ，在四个侧面中，有∠PBA= ∠PCD = ∠CPB =90°，△PAD 是等边三角形．所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为：3．故选：C．先找到几何体原图，再确定侧面直角三角形的个数得解．本题主要考查三视图还原几何体，考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12.答案：C解析：解：双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，故C1（c，0）到渐近线的距离为=r ，即b=r，设圆C1与圆C2的切点为M，则OM ⊥C1C2，故Rt△OMC 1∽Rt△C2OC1，于是= ，即，故c= r ，∴a= r ，∴双曲线的离心率e= = = ．故选：C．根据三角形相似和距离公式得出a，b，c与r 的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．13.答案：3解析：解：由题平面向量与的夹角为，| |=2，| |=1，得?（）= =4-2×=3．故答案为：3．直接利用数量积的运算法则求解．本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．14.答案：-4解析：解：先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z=2x+y，所以y=-2 x+ z，当直线经过点 A 时，直线的纵截距最小，z最小，联立得A（-2，0），所以z最小=2×（-2）+0=-4 ．故答案为：-4．先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y 的最小值．本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15.答案：（，2）解析：解：∵任意实数x 都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=e x-sinx，即f′（x）=e x-cosx>0，即f（x）为增函数，则f（log 2a）< f （1），等价为f（|log2a|）< f（1），即|log 2a|< 1，即-1< log 2a< 1，即实数 a 的取值范围是故答案为：，2）根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16.答案：3解析：解：平行四边形ABCD 中，AB=AC，BD=6，如图所示；则OB=3，设AB=2 x，∠BAC =θ，θ∈（0，π），则AO=x；△AOB 中，由余弦定理得32=4x2+x2-2?2x?x?cos θ，∴x2= ，∴ = ，∴平行四边形的面积为：S=2S△ABC =2? ?2x?2xsin θ=4x2sin θ=4? ?sin θ当且仅当tan θ=时取“ =”，∴平面四边形ABCD 面积的最大值为 3 ．故答案为： 3 ．根据题意设AB=2x，∠BAC=θ，利用余弦定理求得x2，再计算平行四边形的面积与它的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．17. 答案：解：（1）设等差数列{ a n}的公差为d，由存在实数λ满足2a n+1=λa n+4①，得2a n=λa n-1+4②，①-②得，2d=λd，又因为d≠0，解得λ=2；将λ =2代入① 可得：a n+1-a n=2，即d=2 ，又因为a1=1，所以a n=2n-1．2）由（1）可得：=2n+1-（2n+1 ），所以：，===2n+2-n2-2n-4解析：（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列{a }的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前n 项和S n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18. 答案：证明：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，因为AD=DE=1，∠ADE=90°，所以DM ⊥AE，且DM= ．因为BC=CF=1，∠BCF=90°，所以CN⊥BF，且CN= ．因为面DAE 、面CBF 均与面ABFE 垂直，所以DM ⊥面ABFE，CN⊥面ABFE ，所以DM ∥CN，且DM=CN．因为AM=AGcos45°，所以∠AMG=90°，所以△AMG 是以AG 为斜边的等腰直角三角形，故∠MGA =45°，而∠FBA=45°，则MG ∥FB，故面DMG ∥面CBF ，则DG∥面CBF．解：（2）如图，连接BE，DF，由（1）可知，DM ∥CN，且DM=CN，则四边形DMNC 为平行四边形，故DC=MN= =2．因为V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．所以V= +3× （）×1= ．解析：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，先证明DM ∥CN，再证明面DMG ∥面CBF，即证DG∥面CBF ．（2）连接BE，DF ，利用割补法和体积变换V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．求多面体CDABFE 的体积．本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19. 答案： （1）解： ∵当 M 为 C 的右焦点，且 l 的倾斜角为，又 a 2=b 2+c 2，解得 b=1， c= ，∴椭圆 C 的方程为 ；（ 2）证明：设直线 l ：y=kx+m （k ≠0）， P （x 1，y 1）， Q （ x 2， y 2），将 y=kx+m 代入 得：（ 1+4k 2） x 2+8kmx+4m 2-4=0，∴R （1）根据题意得到关于 a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；2）设直线 l ：y=kx+m （ k ≠0），P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2），联立直线和椭圆的方程得到 R （本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．将 =3， =9 代入，得 a=9-（ -3） =12，故所求线性回归方程为 =-x+12．（ 2）根据题意， m （12-m ）≥35，解得： 5≤m ≤7，又 m ∈Z +，所以 m 的所有可能取值为 5， （3）设其他 5个地区分别为 A ，B ，C ，D ，E ，他们选择结果共有 25 种，具体如下： AA ， AD ，AE ，BA ，BB ，BC ，BD ，BE ，CA ，CB ，CC ，CD ，CE ，DA ，DB ，DC ，DD ，DE ，EA ，EB EE ， 其中他们在同一个地区的有 5 种，所以他们选取的地区相同的概率 P= 解（1）利用最小二乘法求线性回归方程；，N ，P 重合， |PM |=2．∴直线 l ′的方程为 y=4 kx+m ，点 H 的坐标为（ -，0）， 又∵点 M （ ，0）， ∴为定值．点 H 的坐标为（），再求 为定值．）， 解析： 20.答案： 解（ 1）由题可得，=3， =9，设所求线性回归方程为 = x+a ， 则==-1， ，6，7． AB ，AC ， EC ．ED ，），则 ．2）解不等式 m （12-m ）≥35得一个地区开设加盟店个数 m 的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率．本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力．属中档题．21. 答案： 解：（ 1）f （ x ）的定义域为（ 0，+∞）．由已知， f ′（ x ） = = ，①当 a ≥0时， f ′（ x ）≥0恒成立，此时 f （x ）在（ 0，+∞）．上单调递增；②当 a < 0时，令 f ′（ x ）> 0恒，得 x ，所以 f （ x ）在（ 0， - ）上单调递增，在（ - ）上单调递减．综上所述，当 a ≥0时， f （x ）的单调增区间为（ 0，+∞），无单调递减区间；当 a < 0时， f （x ）的单调递增区间为（ 0，- ），单调递减区间为（ - ）．（ 2）考虑到 x >0 时 x-1≥lnx ，欲证 x 3>ln x+ ，只要证明-1，令 g （x ）= ， x >0， 则 g ′（ x ）= ，令则 g ′（ x ）=0，可得 x 0= ， 且当 x ∈（0，x 0）时 g ′（x ）<0，当 x ∈（x 0，+∞）时 g ′（ x ）>0， 所以 g （ x ）在∈（0，x 0）上单调递减，在 x ∈（x 0，+∞）上单调递增，因为 ，所以 ，所以 g （x ） ≥g （ x 0）> 0，即 x 3>（ x-1）+ 只恒成立，所以 x 3>ln x+ 恒成立，即 x 3>f （x ）解析： （1）对 a 分 a ≥0和 a < 0讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）x >0 时，x-1≥lnx ，欲证： x 3> ln x+ 只需证明-1，再构造函数 g （x ）= ，x >0，利用导数求函数的最小值 g （ x 0），即得证．本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式和求函数的最值，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 22.答案： 解（ 1）由 消去 t ，得到 y= ，则 ρ sin θ=ρ cos ，θ ∴θ=，所以直线 l 的极坐标方程为 θ=（ ρ∈R ）．所以 g （ x ） ≥g（ x ）点P（，）到直线l 的距离为d= ×sin （- ）（2）由，得，ρ2-ρ-2=0 所以ρ1+ρ2=1 ，ρ1ρ2=-2所以，|MN |=| 1ρ-ρ2|= =3则△PMN 的面积为．S△PMN= |MN| ×d= ×= ．解析：（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN 的长度，从而得出面积．本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键．属中档题．23. 答案：解：（1）因为f（x）=|x-a|-|x+2b| ≤（|x-a）-（x+2b）|=a+2b．，所以函数f（x）的最大值为a+2b．（2）由（1）可知，a+2b=1，因为a2+4b2≥4ab，所以2（a2+4b2）≥a2+4b2+4ab=（a+2b）2=1，即a2+4b2≥，且当a=2b= 时取“ =”，所以a2+4b2的最小值为解析：本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键．（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得a+2b=1，再根据基本不等式可得a2+4b2的最小值．。

江西省南昌市第二中学2020届高三数学第四次月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，0，1，，则A. B.C. D. 0，1，2.A. B. C. D.3.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. B. 33 45 35 C. D.4.若，则A. B. C. D.5.已知平面向量的夹角为，且，，则A. B. 2 C. D.6.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的y值的取值范围是A. 或B.C. 或D. 或8.观察下列各式：，，，，，，则A. 322B. 521C. 123D. 1999.已知，若存在三个不同实数a，b，c使得，则abc的取值范围是A. B. C. D.10.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C.D.11.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，面ABCD，则球O的体积为A. B. C. D.12.已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为______．14.已知，为第二象限的角，，则的值为______．15.设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，若函数且在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为______．16.已知实数x，y满足，则的最大值是_________．三、解答题（本大题共7小题）17.2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；若从样本中年龄在的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；已知该小区年龄在内的总人数为2000，若18岁以上含18岁为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．18.已知数列的各项均为正数，且，．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，且底面ABCD．证明：平面PBD；若Q为PC的中点，求三棱锥的体积．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1．求椭圆的标准方程；若P为椭圆上的一点点P不在y轴上，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．21.已知函数．Ⅰ设，曲线在点处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值；Ⅱ若只有一个零点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的直角坐标方程；若与有且仅有三个公共点，求的方程．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，0，1，，则．故选：A．直接利用集合的交集的运算法则求解即可．本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：．故选：D．3.【答案】B【解析】解：从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是：35，故选：B．根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可．本题考查了茎叶图的应用以及中位数、众数以及极差的求法问题，求中位数时，要把数据从小到大排好，再确定中位数，也要注意数据的个数．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据能求出结果．【解答】解：，．故选B．5.【答案】A【解析】解：由，得：，即：，解得：．故选：A．将进行平方运算可化为关于的方程，解方程求得结果．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的计算问题，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．根据程序框图，分析程序的功能，结合输入自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出的值．如图：若：，则满足条件输出，若：，则不满足条件，此时，则：输出的y值的取值范围是或．故选：C．8.【答案】A【解析】解：根据题中数据，归纳推理，即可得出结果．因为，，，，，，等式右边对应的数为1，3，4，7，11，，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；因此，求，即是求数列“1，3，4，7，11，”中的第12项，所以对应的数列为“1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322”，即第12项为322．故选：A．观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到．本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础．9.【答案】C【解析】解：由题意，可画出函数的图象大致如下：存在三个不同实数a，b，c，使得，可假设，根据函数图象，可知：，，．又，，即：．，即．．，．故选：C．本题可先画出分段函数的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出，即可得到abc的取值范围．本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质．本题属中档题．10.【答案】A【解析】解：，，，，，，，，故选：A．先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作，与E，F，则，可得，取BC中点M，连接AM，易得，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径，故球O的体积为：，故选：B．利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解．此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，点到直线的距离公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，如图所示：，．取，点M到直线l的距离不小于，，解得．．椭圆E的离心率的取值范围是．故选A．13.【答案】，或【解析】解：当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：，即；当在坐标轴上截距不为0时，在坐标轴上截距互为相反数，可设直线方程为，将代入得，，此时所求的直线方程为．综上，要求的直线的方程为，或，故答案为：，或．可分当在坐标轴上截距为0时、与在坐标轴上截距不为0时，分类讨论解决．本题主要考查求直线的方程的方法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，为第二象限的角，，所以，，又因为，所以，故答案为：．由，为第二象限的角，，可得，，由于，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解．本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．15.【答案】【解析】解：对任意的实数x，恒有，函数是周期为2的偶函数，当时，，若，则，即，即，，而在有且仅有三个零点可化为函数与在上有三个不同的交点，故作函数与在上的图象可得，若，则两个函数只有一个交点，不满足条件．则，若函数与在上有三个不同的交点，则，即，即，故；故答案为：．由题意可判断出函数是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象，利用数形结合进行求解即可求a的取值范围．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象，利用数形结合是解决本题的关键．16.【答案】15【解析】解：如图，由，可得，，则，令，得，如图，要使最大，则直线在y轴上的截距最小，由，得．则，即或．由题意可得z的最大值为15．故答案为：15．由题意可得，，去绝对值后得到目标函数，然后结合圆心到直线的距离求得的最大值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：平均数，前三组的频率之和为，故中位数落在第3组，设为x，则，解得，即中位数为35样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y则从中选取2人共有如下15个基本事件：，，，，，，，，，，，，．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：，，，，，，，，．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率为．样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为．【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了古典概型的概率计算，用频率分布直方图估计平均数和中位数．做题时要认真审题，准确把握题意．本题属于中档题．以每一个小矩形的下方中点为该组的代表值，以频率为权加权平均即可得到平均数，根据中位数处于中间位置，即在中位数之前的数频率为估计即可；样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y列举出取出的两人的所有情况，数出2人中至少有1人年龄不低于60岁包含的基本事件个数和基本事件的总数即可求出2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；以频率当做概率的近似值，又年龄在内的总人数为2000，相乘即可得到估计值．18.【答案】解：由，得，所以或，又因为的各项均为正数，负值舍去，所以；由，所以前n项和由得：，化简可得．【解析】将所给等式分解因式，结合条件可得所求通项公式；求得，运用数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，化简整理可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：，，，．又底面ABCD，．，平面PBD．解：三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而．所以三棱锥的体积．【解析】证明，然后证明平面PBD．利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，，且，解得，，椭圆的标准方程为设，，由题意知OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，，，，当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由，得，解得，，，，直线OQ的方程为，由，得，，，综上所述，．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，是难题．由椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程当OP的斜率为0时，，，；当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由，得，由此利用直线与直线垂直，结合已知条件，求出的值．21.【答案】解：Ⅰ函数的导数为，可得，，可得曲线在点处的切线方程为，令，可得，由，可得b在递增，b的最小值为；Ⅱ若，或；，可得在递减，在，递增，即有的极小值为，极大值为，，若只有一个零点，则或，由，解得或，由，可得；由，即，由，可得，解得；则或；若，，在R上递增，，只有一个零点；若，或；，可得在递减，在，递增，即有的极小值为，极大值为，，，若只有一个零点，，即，由，可得，解得；综合可得或．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，可令，求得b关于a的二次函数，由二次函数的最值，可得所求最小值；Ⅱ讨论，，，求得的增区间和减区间，进而得到极值，由只有一个零点，可得极值的符号，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查函数的零点的求法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：，转换为标准式为：．由于曲线的方程为，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点．由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线的距离等于半径2．故：，或解得：或0，当时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线与曲线没有公共点．故C的方程为：．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．23.【答案】解：Ⅰ或或，解得，故不等式的解集为Ⅱ，，即，又a，b，且，z则，设，，，，，同理：，，，，，即，当且仅当时，取得最大值．【解析】Ⅰ分3段去绝对值解不等式，在相并；Ⅱ先求得，再设，，，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

南昌二中2020届高三第四次考试文科数学试卷一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+3．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 354．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．已知平面向量,a b 的夹角为135，且1a =，22a b +=，则b =A B ．2 C 1 D6．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A B C ． D ．7．执行如图所示的程序框图，如果输入的[]22x ∈-，，则输出的y 值的取值范围是A.52y ≤-或0y ≥ B.223y -≤≤ C.2y ≤-或203y ≤≤ D.2y ≤-或23y ≥ 8. 观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…， 则1212a b += A ．322B ．521C ．123D ．1999. 已知201911,0()2log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数,,a b c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A ．(0,1]B ．[2,0)-C ．(2,0]-D ．(0,1)10. 设a ，b ，c 分别是ABC 的内角A,B,C 的对边，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC()AB DA DB ⋅+等于 A ．2B ．4C ．4-D ．2-11.已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为A．3BC．D ．16π12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 A ．(0,2 B ．3(0,]4C．2D ．3[,1)4二、填空题（每小题5分，共20分）13.过点()2,4-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________. 14.已知,αβ为第二象限的角，35cos(),sin()45413ππαβ-=-+=，则s i n αβ+（）的值为_____.15.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为_____.16. 已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 三、解答题（共5小题，共60分）17.（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。

2020届江西省南昌市第二中学高三第四次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对集合A和集合B取交集即可.【详解】集合，则．故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．12i 12i += -A．43i55--B．43i55-+C．34i55--D．34i55-+【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)34 1255i i iiQ ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．32 34 32 B．33 45 35 C．34 45 32 D．33 36 35【答案】B【解析】根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可．【详解】从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34， 所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45； 最大值是47，最小值是12，故极差是：35， 故选：B ．【点睛】画茎叶图时的注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶； （2）将茎上的数字按大小次序排成一列。

（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧。

（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较。

4．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.5．已知平面向量,a b r r 的夹角为135o，且1a =r ，2a b +=r r ，则b =rA B ．2C ．1D 【答案】A【解析】将2a b +=rr 进行平方运算可化为关于b r 的方程，解方程求得结果.【详解】由2a b +=r r 得：()2222224444cos1352a ba ab b a a b b +=+⋅+=+⋅+=or r r r r r r r r r即：220b -+=r r，解得：b =r 本题正确选项：A 【点睛】本题考查向量模长的求解，关键是能够通过平方运算，利用数量积运算构造出关于所求模长的方程，属于常考题型.6．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A． BC． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.7．执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2x ∈-，2，则输出的y 值的取值范围是A ．52y ≤-或0y ≥ B ．223y -≤≤C ．2y ≤-或203y ≤≤ D ．2y ≤-或23y ≥【答案】C 【解析】【详解】由题意知，该程序的功能是求函数,021()1,20xx x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+-≤<⎪⎩的值域．①当02x ≤≤时，1()111x f x x x ==-++在区间[0,2]上单调递增， ∴(0)()(2)f f x f ≤≤，即203y ≤≤；②当20x -≤<时，111()()22f x x x x x x x=+=--+≤-⋅=---，当且仅当1x x-=-，即1x =-时等号成立． 综上输出的y 值的取值范围是2y ≤-或203y ≤≤．选C ． 8．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1212a b +=（ ） A ．322 B ．521C ．123D ．199【答案】A【解析】根据题中数据，归纳推理，即可得出结果. 【详解】因为1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…， 等式右边对应的数为1,3,4,7,11,...，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和； 因此，求1212a b +，即是求数列“1,3,4,7,11,...”中的第12项，所以对应的数列为“1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322”，即第12项为322.故选A 【点睛】本题主要考查归纳推理，结合题中数据，找出规律即可，属于常考题型.9．已知20191,0()2log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数,,a b c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[)2,0-C ．(]2,0-D ．（0，1）【答案】C【解析】先画出分段函数f （x ）的图象，然后根据图象分析a 、b 、c 的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出bc ＝1，即可得到abc 的取值范围． 【详解】由题意，画出函数f （x ）的图象大致如图所示：∵存在三个不同实数a ，b ，c ，使得f （a ）＝f （b ）＝f （c ），可假设a ＜b ＜c ， ∴根据函数图象，可知：﹣2＜a ≤0，0＜b ＜1，c ＞1．又∵f （b ）＝f （c ）， ∴|log 2019b |＝|log 2019c |，即：﹣log 2019b ＝log 2019c ．∴log 2019b +log 2019c ＝0． ∴log 2019bc ＝0，即bc ＝1．∴abc ＝a ．∵﹣2＜a ≤0，∴﹣2＜abc ≤0． 故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质，属于中档题．10．设a，b，c分别是ABCV的内角A，B，C的对边，已知()()()()sin sin sinb c A C a c A C++=+-，设D是BC边的中点，且ABCV的面积为()AB DA DB⋅+u u u r u u u r u u u r等于()A．2 B．4 C．4-D．2-【答案】A【解析】利用三角形内角和定理可得()()()sinB sin sinb c a c A C+=+-．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A∈（0，π）可得A的值，结合ABC∆的面积求得bc,将()•AB DA DB+u u u v u u u v u u u v利用向量加减法运算转化为•AB ACu u u v u u u v,即可求得结果.【详解】∵()()()()sin sin sinb c A C a c A C++=+-，，∴由正弦定理可得：()()b a cb c a c+=+-（），整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=12-，∴由A∈（0，π），可得：A=23π，又ABC的面积为1223bcsinπ=∴bc=4,又()()()••AB DA DB DB DA DA DB+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=2DBu u u v-2DAu u u v=24CBu u u v-()24AB AC+u u u v u u u v= ()24AB AC-u u u v u u u v-()24AB AC+u u u v u u u v=4?4AB AC-u u u v u u u v=•AB AC-u u u v u u u v=-bccosA=2.故选A.【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．11．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，//AD BC，2AB DC AD===，4BC PA==，PA⊥面ABCD，则球O的体积为（）A．3B．3C．D．16π【答案】A【解析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC 中点E 为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE ⊥平面ABCD ，利用勾股定理构造出关于OE 和球的半径R 的方程，解方程求得R ，代入球的体积公式可求得结果. 【详解】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC Q 且12AD BC EC == ∴四边形ADCE 为平行四边形 AE DC ∴=，又12DC BC = 12DE BC ∴=AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE == 设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x = 4422R ∴=+=∴球O 的体积：346423V R π==本题正确选项：A 【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0,2B ．3(0,]4C ．,1)2D ．3[,1)4【答案】A【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤．故选A ． 【考点】椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．二、填空题13．过点()2,4-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.【答案】2x+y=0，或 x-y=6=0【解析】可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决． 【详解】：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x ，即2x+y=0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x-y=a ，将A （-2，4）代入得，a=-6， ∴此时所求的直线方程为x-y+6=0； 即答案为2x+y=0，或 x-y=6=0. 【点睛】本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．14．已知,αβ为第二象限的角，35cos(),sin()45413ππαβ-=-+=，则sin()αβ+的值为_____. 【答案】6365-【解析】由,αβ为第二象限的角，35cos(),sin()45413ππαβ-=-+=，可得4sin(),45πα-=12cos()413πβ+=-，由于αβ+=()()44ππαβ-++，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解. 【详解】解：因为,αβ为第二象限的角，35cos(),sin()45413ππαβ-=-+=， 所以4sin(),45πα-=12cos()413πβ+=-，又因为sin αβ+（）=sin[()()]44ππαβ-++=sin()cos()44ππαβ-++cos()sin()44ππαβ-+，所以sinαβ+（）=4123563()()51351365⨯-+-⨯=-， 故答案为：6365-. 【点睛】本题考查了象限角对应的三角函数值及两角和的正弦公式，主要考查了αβ+=()()44ππαβ-++，属中档题.15．设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意实数x 恒有()()0,f x f x --=当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若()()log xa g x f x =-在(0,)x ∈+∞上有三个零点，则a 的取值范围为_______. 【答案】()3,5【解析】根据函数的周期和奇偶性作出()f x 和log a y x =在(0,)+∞上的图象，根据交点个数列出不等式解出a ． 【详解】解：()()0f x f x --=Q ，()()f x f x ∴=-，()f x ∴是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()f x 的图象如图所示：()()log a g x f x x =-Q 在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，()y f x ∴=和log a y x =的图象在(0,)+∞上只有三个交点，∴31511a a log log a <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得35a <<即()3,5a ∈ 故答案为：()3,5． 【点睛】本题考查了零点个数的判断，作出()f x 的函数图象是解题关键．16．已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y xy +-+--的最大值是 ．【答案】15【解析】22,222463{1034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-=+-+--=--<-由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.【考点】1.简单的线性规划；三、解答题17．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。

南昌二中下学期高三数学（文）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,0,1,2,3},{2,0}M N =-=-，则下列结论正确的是A ．N M ⊆B ．M N N =IC ．M N M =UD ．{}0M N =I 2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 4、等比数列{}n a 为等差数列，且17134a a a ++=，则212a a +的值为A ．43B ．83C ．2D ．45、若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的最大值为（A ）13 （B ）11 （C ）3 （D ）1 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为A ．536 B ．16 C ．215 D ．1127、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2πα-=A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103 B ．53 C ．203D ．49、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 10、在四面体S-ABC中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====o ，则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A ．3B ．32 C ．33 D ．23312、已知函数()11(,2)2(2)[2,)x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，设方程()122x f x -=的根从小到大依次为12,,,,,n x x x n N *∈L L ，则数列{()}n f x 的前n 项和为A ．2nB ．2n n + C ．21n - D ．121n +-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。