巴蜀中学2021届高考适应性月考卷(八)数学双向细目表

巴蜀中学 2021 届高考适应性月考卷（二） 数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B C B D C A C B
9 10 11 12 DCCB
【解析】
2．计算可得 z 2 1 i ，故选 C． 55
4．由公式
f
(v)
10
2bc cos A， 可得 ab cos C ac cos B b2 c2 2bc cos A ，可得 D 错误，故选 C．
数学参考答案·第 1 页（共 8 页）
11．三次函数过两点 (0，0)，(3，0) ，且在这两点的导数分别为 2，3 ，联立可得 C 满足，故选 C．
12．方法一：设 AB x，BAD ，在 △BAD 中，由正弦定理：
0
，可求得
P(0)
27 40
．
16．由 f (x) ex (x 1) x2 ，设 h(x) ex (x 1) x2 ，有 h(x) (ex 2) x， 当 x [2，3] 时， x2
h(x)
0
，所以
h(x)
e2
4
0 ，即
f
(x)
单调递增，值域为
e2
2
4，e3 3
9
，估算取整，
（2）因为 a 15 ， b 2c ，且 △ABC 为锐角三角形，则角 C 一定为锐角， 因为 cos A 0 ，所以 b2 c2 a2 0 ，即 5c2 15 ， c 3 ，
又 cos B 0 ，所以 a2 c2 b2 0 ， 3c2 15 ，即 c 5 ，
综上所述，c 的取值范围是 3 c 5 ．……………………………………………（10 分） 18．（本小题满分 12 分）

秘密★启用前巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（八）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“{}3|log (2)1x x x ∈-≤”是“{||11}x x x ∈-≤∣”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要出 D ．既不充分也不必要2．已知复数z 在复平面内对应的点都在射线3(0)y x x =>上，且||z =z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i C ．3± D ．i 3±3．“垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为（ ） A ．16 B ．23 C ．13 D ．124．已知直线34100x y +-=与圆22:24200C x y x y +-+-=相交于A ，B 两点，点P 在圆C 上，且满足4PABS=，则满足条件的P 点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知在边长为3的等边ABC 中，1123AP AC AB =+，则CP 在CB 上的投影为（ ） A ．154 B ．54- C ．54 D ．1526．函数lg||()10sin x f x x x =+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，3PA =，4PB =，5PC =，点E 为线段PC 的中点，过点E 作该三棱锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为（ ） A ．6π B ．8π C ．10π D ．12π 8．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[0,)t 上存在最大值和最小值，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．2,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,,633πππ⎛⎤⎛⎫⋃+∞⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．2020年12月31日，我国第一支新冠疫苗“国药集团中国生物新冠灭活疫苗”获得国家药监局批准附条件上市，保护率为79.34%，中和抗体阳转率为99.52%，该疫苗将面向全民免费．所谓疫苗的保护率，是通过把人群分成两部分，一部分称为对照组，即注射安慰剂；另一部分称为疫苗组，即注射疫苗来进行的当从对照组和疫苗组分别获得发病率后，就可以计算出疫苗的保护率=（对照组发病率疫苗组发病率）/对照组发病率100%⨯．关于注射疫苗，下列说法正确的是（ ） A ．只要注射了新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎B ．新冠疫苗的高度阳转率，使得新冠肺炎重症感染的风险大大降低C ．若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病80人，则保护率为60%D ．若某疫苗的保护率为80%，对照组发病率为50%，那么在10000个人注射了该疫苗后，一定有1000个人发病10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别是棱1BB ，1DD ⊥上异于端点的两个动点，且DQ BP =，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥D APQ -的体积为定值B ．对于任意位置的点P ，平面APQ 与平面1111A BCD 所成的交线均为平行关系 C ．PAQ ∠的最小值为3π D ．对于任意位置的点P ，均有平面APQ ⊥平面11AC CA11．已知非零实数a ，b 满足32a b =，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．a b < B ．若0a <，则0b a << C ．||||1||1||a b a b <++ D ．若30log 2a <<，则b a a b <12．给定两个函数()f x 与()g x ，若实数m ，n 满足()()g m f n =，则称||n m -的最小值为函数()f x 与()g x 的横向距．已知0k >，1()lnx f x k k=+，()e x k g x -=，则（ ） A ．当1k =时，()f x 与()g x 的横向距为0 B ．若()f x 与()g x 的横向距为0，则01k <≤ C ．()f x 与()g x 的横向距随着k 的增大而增大 D ．若()f x 与()g x 的横向距大于1，则e k >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．在5(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为________．14．已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，若2712a a a =，17136b b b π++=，则212311tanb b a a +=________． 15．如图，为测量C 点到河对岸塔顶A 的距离，选取一测量点D ，现测得75BCD ∠=︒，60BDC ∠=︒，40m CD =，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为30︒，则CA 的距离为________m ．16．已知点P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，点D 为线段1PF 上一点，12F PF ∠的角平分线与线段2F D 交于点M ，且满足24377PM PD PF =+，则2||DM MF =________；若D 为线段1PF 的中点且1260F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且已知ABC 的外接圆半径为R ，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）： ①cos cos 2cos C B Bac ab bc+=，②sin cos R A b A c +=，③cos )0a c b C C +-+=． 问题：（1）求角B 的大小； （2）若2R =，求a c +的最大值． 18．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()14n n n n S S a S +-⋅=，*n ∈N ． （1）求2a ，3a ，4a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列()121n n a a n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和公式n T ．19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD//BC ，AF //BE ，AD AB ⊥，AB AF ⊥，222AD AB BC BE ====．（1）已知点G 为AF 上一点，且1AG =，求证：BG//平面DCE ；（2）已知直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为5，求平面DCE 与平面BDF 所成锐二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽．因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径80mm 85mm ~为一级果，果径75mm 80mm ~为二级果，果径7075mm ~或85mm 以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量奉节脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm ），得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计这1000个奉节脐橙的果径的中位数；（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径7085mm ~中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数X 的分布列与数学期望；（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为Y ，记一级果的个数为k 的概率为()P Y k =，写出()P Y k =的表达式，并求出当k 为何值时，()P Y k =最大？21．（本小题满分12分） 已知函数()ln(1)1x f x x a x x ⎛⎫=+-+⎪+⎝⎭，12a ≥． （1）当0x >时，求证：()0f x <； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1n a n n =∈N ，求证：2ln 24n n n aS S -+>． 22．（本小题满分12分）已知椭圆方程22221(0)y x a b a b+=>>，抛物线方程：22(0)y px p =>，O 为坐标原点，F 是抛物线的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，如图所示．（1）证明：直线OA ，OB 的斜率乘积为定值，并求出该定值；（2）反向延长OA ，OB 分别与椭圆交于C ，D 两点，且225OC OD +=，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，若OAB OCDSS的最小值为1，求抛物线方程．巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（八）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．3log (2)1[1,2)x A -≤⇒=-，|1|1[0,2]x B -≤⇒=，因为A B ⊂，B A ⊂/，∴x A ∈是x B ∈的既不充分也不必要条件，故选D ．2．设3i z a a =+，a ∈R ，0a >=，∴1a =，虚部为3，故选A ．3．四袋垃圾总共有44A 24=种不同的情况，选出一袋投放正确14C 4=，剩下3袋与对应垃圾桶全部错位排，共2种情况，1444C 21A 3P ⨯==，故选C ．4．圆22:(1)(2)25C x y -++=，5r =，(1,2)C -到直线34100x y +-=的距离|3810|35d --==，则弦长||8AB ==，设P 到AB 的距离为h ，则1||42PABSAB h =⋅⋅=，解得1h =，而圆上AB 两侧的动点到直线AB 的最大距离分别为5和2，故满足条件的点P 共4个，故选D ． 5．1132CP AP AC AB AC =-=-，∴21115()3236CP CB AB AC AB AC AB AB AC ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+⎪⎝⎭211524AC =，∴CP 在CB 的投影为54||CP CB CB ⋅=，故选C ． 6．()||sin (0)f x x x x x =+≠为偶函数，定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，排除AC 选项；0x >时，()sin (1sin )0f x x x x x x =+=+≥，图象横在x 轴的上方，排除D 选项；当sin 1x =-，32()2x k k ππ=+∈Z 时，()0f x =，故选B ．7．构造以PA ，PB ，PC 为棱长的长方体，设该长方体的外接球球心为O ，半径为R ，则有249162550R =++=，则2504R =，在所有过点E 的截面里，当截面过球心O 时，截面圆的面积取最大值，此时半径为R；在所有过点E 的截面里，当OE 与截面垂直时，截面圆的面积取最小值，此时截面圆的圆心为E ，因为522OE ==，∴最小截面圆的半径为52r ===，∴最小截面圆的面积为2252524S r πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故截面圆的面积范围为2525,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ． 8．()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以120326322T ππππωω-=≤=⋅⇒<≤，又41263ππππ-=<，所以41226πππ+=，∴()662k k πππωπ⨯+=+∈Z ，26k ω=+，k ∈Z ，所以0k =，2ω=，当[0,)x t ∈时，2,2666x t πππ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，52266t πππ<+≤或326263t t ππππ+>⇒<≤或23t π>，故选D ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．A 选项错误：B 选项中阳转率高说明有高滴度的抗体，当感染新冠肺炎后，肺炎症状将会大大降低，进而减少重症率；C 选项中由保护率的计算公式可得：对照组和疫苗组的发病率分别为1%，0.4%，代入可得保护率为60%；D 选项中虽然根据公式算出样本中疫苗组的发病率为10%，但实际是否会发病是随机事件，故选BC ．10．对于A 选项，D APQ P ADQ V V --=，ADQ 面积不定，而P 到平面ADQ 的距离为定值AB ，故D APQ V -不是定值；对于B 选项，由于PQ//平面1111A B C D ，则经过直线PQ 的平面APQ 与平面1111A B C D 的所有交线均与直线PQ 平行，根据平行的传递性，可得所有交线也平行；对于C 选项，设正方体棱长为1，(0,1)PB DQ a ==∈，则AP AQ ==，PQ =，则()22222112cos 121a a a PAQ a a +++-∠==++21110,12a ⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则,32PAQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，错误；对于D 选项，易得直线PQ 与平面11ACCA 垂直，故平面APQ ⊥平面11AC CA ，故选BD ．11．A 选项中，由指数函数的图象可知，0a b <<或者0b a <<，所以错误，所以B 正确；C 选项中，函数1111x y x x-==+++在(1,)-+∞上单增，而||||a b <，所以正确；或者也可以将B 选项等价转化为证明||||a b <是正确的；D 选项中，30log 201a a b <<⇒<<<，则有b a a a a b <<，所以正确，故选BCD ．12．由()()g m f n =，令1eln 0m kn t k k-=+=>，则ln m t k =+，1e t kn k -=，所以1e ln t k n m k t k --=--，记函数1()eln t kh t k t k -=--，0t >，则11()et kh t k t -'=-，显然()h t '单调递增，且10h k ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故()h t 在10,k ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭，1,k ⎛⎫+∞↑ ⎪⎝⎭，即min 11()ln ln h t h k k k ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，①当1k >时，ln 0k >，所以min ()ln n m k -=0>，即函数()f x 与()g x 的横向距为ln k ；②当01k <≤时，ln 0k ≤，所以min ()ln 0n m k -=≤，所以min ||0n m -=，即函数()f x 与()g x 的横向距为0，故选ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．25C 10=．14．由数列性质知327127a a a a ==，得7a =，又1713736b b b b π++==，得72b π=，又212724b b b π+==，231173a a a ==，所以2123114tantan tan 33b b a a ππ+===15．由题意知45CBD ∠=︒，由正弦定理40sin 45sin 60BC=︒︒，得BC =CA =． 16．过M 作2MN //PF 交1PF 于点N ，作1MG //PF 交2PF 于点G ，由24377PM PD PF =+，得234DM DN MFNP ==，由角平分线定理2234PD DM PF MF ==，因为D 为PF 的中点，所以1264PF PF =，由双曲线的定义，122PF PF a -=，所以16PFa =，24PF a =，122F F c =，在12PF F 中，由余弦定理22236164cos60e 264a a c a a+-︒=⇒=⨯⨯．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（1）选条件①：由题知cos cos 2cos b C c B a B +=，∴2sin cos 2sin cos 22sin cos R B C R C B R A B +⋅=⋅⋅⋅， ∴sin()2sin cos B C A B +=，∴sin 2sin cos A A B =，又0A π<<，则sin 0A >， ∴1cos 2B =，又0B π<<，∴3B π=． 5分 选条件②：由题知2sin 4sin cos 4sin R A R B A R C +=，∴sin 2sin cos 2sin A B A C +=，又()C A B π=-+， ∴sin 2sin cos 2sin()A B A A B +=+，∴sin 2sin cos A A B =，又0A π<<，则sin 0A >，∴1cos 2B =，又0B π<<，∴3B π=． 5分 选条件③：由题知2sin 2sin 2sin cos )0R A R C R B C C +-+=，∴sin()sin cos sin sin 0B C B C C B C +-+-=，∴cos sin sin sin 0B C C B C +-=，又0C π<<，则sin 0C >，∴cos 10B n B +-=， ∴2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又5666B πππ-<-<， ∴66B ππ-=，∴3B π=． 5分（2）由正弦定理知2sin bR B=，∴2sin b R B ==， 又2222cos b a c ac B =+-， ∴2212a c ac =+-， ∴212()3a c ac =+-，∴22()()12334a c a c ac ++-=≤⋅，∴2()48a c +≤，∴a c +≤a c ==，∴a c +的最大值为 10分18．解：（1）由题知()*14n n n S a a n +=⋅∈N ①，又12a =， ∴1124S a a =⋅，∴24a =， 又2234S a a =⋅，∴36a =， 又3344S a a =，∴48a =，由①知：2n ≥时，114n n n S a a --=⋅②，-①②：()()1114n n n n n S S a a a -+--=-，又0n a >，∴114(2)n n a a n +--=≥，∴对于数列{}n a 来说，1a ，3a ，5a ，…成等差数列，2a ，4a ，6a ，…成等差数列，（ⅰ）当n 为奇数时，11422n n a a n -=+⨯=， （ⅱ）当n 为偶数时，22422n n a a n -=+⨯=，∴*n ∈N 时，2n a n =． 8分 （2）()11111214(1)41n n a a n n n n n ⎛⎫==- ⎪-+⋅++⎝⎭，∴11111111114122314114(1)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 12分 19．（1）证明：如图，连接AE 交BG 于点O ，取DE 中点为H ，连接HO ，HC ，GE ， 在四边形ABEG 中，AG//BE ，AG BE =， 故四边形ABEG 为平行四边形， 故O 为AE 中点，所以在ADE 中，OH 为中位线，则OH //AD 且12OH AD =， 又BC//AD 且12BC AD =，故OH //BC 且OH BC =， 即四边形BCHO 为平行四边形， 所以HC//OB ，又∵HC ⊂平面DCE ，OB ⊂/平面DCE ，∴OB//平面DCE ，即BG//平面DCE ． 5分（2）解：ABCD ABEFABCD ABEF AB AD AD AB AD ABCD ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⊆⎭平面平面平面平面平面平面ABEF ，如图，以点A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系，设AF a =（0a >且1a ≠），则(,0,0)F a ，(0,2,0)B ，(0,0,2)D ，(1,2,0)E ，(0,2,1)C ， 则(0,2,1)DC =-，(1,2,2)DE =-，(,2,0)BF a =-，设平面DCE 的法向量为(,,)n x y z =，则20220DC n y z DE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取(2,1,2)n =，所以直线BF 与平面DCE 所成角α满足||sin 5||||3BF n BF n a α⋅===⋅⨯， 即21140160a a --=，解得4a =或411a =-（舍）， 设平面BDF 的法向量为(),,m x y z '''=， ∵(4,2,0)BF =-，(0,2,2)BD =-，∴420220BF m x y BD m y z ⎧''⋅=-=⎪⎨''⋅=-+=⎪⎩，取(1,2,2)m =， 所以平面BDF 与平面DCE 所成锐二面角θ满足||88cos ||||339m n m n θ⋅===⋅⨯． 12分20．解：（1）果径[65,80)的频率为(0.0130.0300.045)50.440.5++⨯=<， 果径[65,85)的频率为(0.0130.0300.0450.060)50.740.5+++⨯=>，故果径的中位数在[80,85)，不妨设为a ，则(80)0.0600.50.440.06a -⨯=-=， 解得中位数81a =． 3分（2）果径[70,75)，[75,80)，[80,85)的频率之比为(0.035)(0.0455):(0.065):3:4:2⨯⨯⨯=，所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个， 故随机变量0,1,2,3X =，3539C 10(0)C 84P X ===，215439C C 40(1)C 84P X ===， 125439C C 30(2)C 84P X ===，3439C 4(3)C 84P X ===， 所以X 的分布列为期望41124()012384848484843E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 7分（3）这批果实中一级果的概率310P =，每个果实相互独立，则3~100,10Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10010037()C 1010kkkP Y k -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，题目即求k 为何值时，()P Y k =最大，令199110010010037C (1)3(100)10101()7(1)37C 1010k kk k k kP Y k k P Y k k +-+-⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭==>=+⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得29.3k <， 故当29k ≤时，(1)()P Y k P Y k =+>=，即(30)(29)(28)(27)P Y P Y P Y P Y =>=>=>=>…，当30k ≥时，(1)()P Y k P Y k =+<=，即(30)(31)(32)(33)P Y P Y P Y P Y =>=>=>=>…，所以max ()(30)P Y k P Y ===，即一级果的个数最有可能为30个． 12分 21．证明：（1）∵()ln(1)1x f x x a x x ⎛⎫=+-+⎪+⎝⎭，12a ≥，则(0)0f =， 当0x >时，221111()11(1)(1)1f x a a a x x x x ⎡⎤'=-+=-⋅+-⎢⎥++++⎣⎦， 令1(0,1)1t x =∈+， 则由()0f x '=，可得20a t t a -⋅+-=，∵12a ≥， ∴2140a ∆=-≤，则()0f x '≤，在(0,x ∈+∞恒成立， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减， 则()(0)0f x f <=． 6分 （2）由（1）知，当12a =时，11ln(1)121x x x ⎛⎫+<+ ⎪+⎝⎭，取1x n=， 则1111ln 11112211n n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，∴111ln(1)ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭， ∴111ln(2)ln(1)212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，∴111ln(3)ln(2)223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…，∴111ln(2)ln(21)2212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，上式全部相加，则有112221ln(2)ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++⋅⋅⋅++ ⎪++-⎝⎭， 则211111ln 22122144n n n aS S n n n n n <+++⋅⋅⋅++=-+++-，证毕． 12分 22．（1）证明：设直线OA 的斜率为()110k k >，直线OB 的斜率为2k ， 由题可知，直线l 的斜率不为0， 设直线:2pl x ty =+， 则由222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y pty p --=，易知0∆>，且212y y p =-，又()222212121222244y y y y p x x p p p =⋅==，则2121221244y y k k p x x p ⋅=⋅=-⋅=-． 3分 （2）解：设(),c c C x y ，(),d d D x y ， 由（1）可知，1:OA l y k x =，214:OB l y k x x k ==-， 联立方程12222,1y k x y x a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222221c a b x b k a =+， 用14k -替换式子中的1k ，有222222122221221164d a b a b k x a k bb a k ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 2222222222222211c d ccddcd x x OC OD x y x y x a x a b b ⎛⎫⎛⎫+=+++=+-⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222221c d a a x x b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭222222221222222211216b a a b a b k a b b k a a k b ⎛⎫-=++ ⎪++⎝⎭()22244422242112224442221121621616b a a b k a b k a b a b a b k a b k a b-++=+⋅+++ 又225OC OD +=，则42244216a b b a b =+，且2222225b a a b b-+⋅=， 即225a b +=，∴2241a b ⎧=⎨=⎩，此时椭圆方程为2214y x +=． 7分 （3）解：∵12121||sin ||21||||sin 2OAB OCDc d c d OA OB AOBS OA OB x x x xS OC OD x x x x OC OD COD ∠===⋅=∠‖‖‖‖， 由（2）可知，当24a =，21b =时，22144cx k =+，221214d k x k =+，则12124c d k x x k =+， 又由（1）可知2124p x x =，2221211121442824OAB OCDc d p Sx x p p k k S x x k k ⎛⎫===+≥⎪⎝⎭+，当且仅当12k =时等号成立，由题意212p =，p =2y =． 12分。

重庆市巴蜀中学2021届高考数学适应性月考试题（二）理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cosα＝（ ） A.45B. 45-C. 35D. 35-【答案】D 【解析】 【分析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案. 【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2.集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A. {1，7} B. {3，5，7}C. {1，3，5，7}D. {1，2，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣， 集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }， ∴A ∩B ={1，3，5，7}， 故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3.向量a =（1，2），b =（2，λ），c =（3，﹣1），且（a b +）∥c ，则实数λ＝（ ） A. 3 B. ﹣3C. 7D. ﹣7【答案】B 【解析】 【分析】向量a ，b ，计算可得a b +，再由c 和（a b +）∥c ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.【详解】根据题意, 向量=a （1，2），=b （2，λ），则()=32+a b λ+，， c =（3，﹣1），且（a b +）∥c ,则有()()3132+0λ⨯--=， 解可得=3λ-， 故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4.已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（ ） A. 0.1 B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】D 【解析】 【分析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求.【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2）， ∴正态分布曲线关于=3x 对称， 又P （x ≤1）＝0.1， ∴()50.1P x ≥＝，∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5.函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（ ）A. π12x =B. π12x =-C. π6x =D. π6x =-【答案】B 【解析】 试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B.考点：1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6.定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（ ）A. H （﹣x ）＝﹣H （x ）B. H （2﹣x ）＝H （x ）C. H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D. H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项. 【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D .【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（ ） A.2πB.3π C.6π D.23π 【答案】A 【解析】 【分析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角. 【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab +-+-++＝，22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc+++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc+++-+-+，进一步化简可得222a b c =+ ∴△ABC 为直角三角形，2A π＝.故选：A .【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8.对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ） A. f （cosx ）＝sin 2x B. f （sin 2x ）＝sinx C. f （sinx ）＝sin 2x D. f （sinx ）＝cos 2x【答案】D 【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x=2,sin2x =1,∴f(2)=1； 取x =4π-,则cos x=2,sin2x =-1,∴f(2)=-1； ∴f(2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0； 取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1； ∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于C 选项，取x =4π,则sin x =2,sin2x =1,∴f(2)=1； 取x =34π,则sin x,sin2x =-1,∴f)=-1； ∴f(2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于D 选项，∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ， 只有D 选项满足题意. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9.在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =则三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为（ ） A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π【解析】 【分析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC = ∴由勾股定理可得AC =2， ∴AC 是△ABC 外接圆的直径， ∴△ABC 外接圆的半径为r =1， ∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2， 设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-， ∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10.已知AB •AC =0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA |＝1，则PB •PC 的最小值是（ ）A. ﹣4B. ﹣3C. ﹣2D. ﹣1【答案】B 【解析】 【分析】利用已知0AB AC ⋅=，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA |＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅的取值范围，从而得解.【详解】∵0AB AC ⋅=， ∴AB AC ⊥， 建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，， 又|BC |＝4， ∴2224x y +=∵|PA |＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()22+1x y θϕ=-+-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤,故最小值为3-， 故选：B .【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11.已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值. 【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈， 又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--, 综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=--故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12.已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点右侧），直线l 2：y ＝kx +m （m ≠t ）交抛物线C 于M ，N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（ ） A. x 2＝y B. x 2＝2yC. x 2＝3yD. x 2＝4y【答案】D 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)M x y N x y ，利用根与系数关系公式，推出12+2x x pk =，34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线，且所在直线方程为x =pk ，又根据E 的横坐标为2k ，求解即可．【详解】如图所示,设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 联立消去y ， 可得2220,x pkx pt --= ∴12+2x x pk =， 设3344(,),(,)M x y N x y ,则直线l 2：y ＝kx +m 与抛物线C 联立消去y 可得2220,x pkx pm --=∴34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线, 且所在直线方程为x =pk ， ∵E 的横坐标为2k ， ∴22k pk p ==，， ∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y. 故选：D .【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及平面几何知识，取A 、B 中点，M 、N 中点与E 三点共线,考查分析能力及转化能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设复数z 满足12zi=+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5 【解析】 【分析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ．【详解】复数z 满足212zi i=++， 所以()()212=2245z i i i i i =++-++=， 故5z = 故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题. 14.函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2x ﹣24）的单调递增区间是_____【答案】（﹣∞，﹣4）. 【解析】 【分析】先求出函数f （x ）的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为22240x x >﹣﹣， 即为64{|}x x x -＞或＜， 令2224t x x =﹣﹣， 则原函数13y log t ＝，因为13y log t ＝在（0，+∞）单调递减，2224t x x =﹣﹣在（-∞，-4）单调递减，在（6，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（-∞，-4）， 故答案为：（-∞，-4）.【点睛】本题考查复合函数单调性，复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的判断法则，前提是先求定义域，然后找出中间函数的单调区间，再判断复合函数的单调区间即可，属于基础题.15.sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】 【分析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭-1cos1010cos102︒︒︒︒=1310sin10cos10sin1010cos1022sin ︒︒︒︒︒︒--sin 200in 20s ︒︒︒-=2=【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16.已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】（﹣∞，14-ln 2） 【解析】 【分析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y＝121x --lnx 1x -与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0 ∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x-=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点；令g （x ）＝121x --lnx 1x-， ∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-， 令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题． 三、解答题（共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值.【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】 【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx 3+cos 2x +112=sin 2x 3+cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π， 当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数， 所以2φ3π+=kπ2π+，k ∈Z ，即φ12=kπ12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18.如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E 是SD 的中点，求证：SB ∥平面ACE ； （2）若SA ＝AB ＝AD ＝2，SC ＝2，且DE 23=DS ，求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2419【解析】 【分析】（1）由题意连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，可证OE ∥SB ，SB ∥平面ACE 得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC 与平面ACE 的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ， ∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点， ∵E 是SD 的中点，∴OE ∥SB ， ∵SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴SB ∥平面ACE .（2）∵SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AC ，在Rt △SAC 中，SA ＝2，SC ＝， ∴AC ＝2， ∵AB ＝AD ＝2，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形， ∴BD ＝以O 为原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作AS 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，O （0，0，0），D0，0），A （0，1，0），S （0，1，2），DS =（1，2），23DE DS ==（3-，2433，）， OE OD DE =+=2433，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==0，）， 设平面ACE 的法向量m =（x ，y ，z ），则03240333m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取x ＝4，得m =（4，0，）， 设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ， 则cosθ43193m n m n⋅===⋅⋅.∴二面角S ﹣AC ﹣E .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19.甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，1 3，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立.（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】【分析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X ＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P 121111133333C =⨯⨯+⨯=.（2）记A i 表示甲在第i 轮胜利，B i 表示甲在第i 轮平局，∁i 表示甲在第i 轮失败，∴P （A i ）151151384382⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，P （B i ）13=，P （∁i ）16=， ①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利， 其概率P 1111112228⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利， 其概率P 21155666216=⨯⨯=， ∴经过3轮比赛结束的概率P 12154821627P P =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20.已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D 斜率为2的直线交椭圆E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】 【分析】（1）因为c e a ==2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =22y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0， 所以y 1+y22=-，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =2y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.已知函数f （x ）＝()21211x x x e -+-（1）求f （x ）＞0的解集； （2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞） 【解析】 【分析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解； （2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x x x e -+-，则f ′（x ）＝2122xxx e -；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0， 所以x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，∴f （x ）＞0的解集为（0，+∞）. （2）因为x ∈R 时，2e 2mxx+≥e 2x+1恒成立，等价于221mx x xxe e e+-≥恒成立， 即2e 2mx ≥e x 1xe +（x ∈R ）， 因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，令F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，F （0）＝0，F ′（x ）＝2（2mx +1）e 2mxx+-2e 2x ＝2e 2x[（2mx +1）e 2mx x --1]，F ′（0）＝0，令G（x）＝（2mx+1）e2mx x--1，G（0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m12≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．请考生在第22，23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题书上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P （1，0），直线C 2与曲线C 1相交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值.【答案】（1）曲线C 1：x 2+y 2﹣4x ＝0；直线C 2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3【解析】【分析】（1）求曲线C 1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，x 2+y 2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C 2的参数方程消去参数t 即为普通方程；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入曲线C 1：x 2+y 2﹣4x ＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，根据根与系数关系可得则t 1t 2＝﹣3，故可求|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3.【详解】（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，x 2+y 2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcosθ，即为x 2+y 2﹣4x ＝0， 直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入x 2+y 2﹣4x ＝0， 可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，化为t 2﹣2tcosα﹣3＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣3，可得|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3.【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23.已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣m |（1）当m ＝2时，求f （x ）≤9的解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】【分析】（1）当m＝2时，函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,对x分类讨论，分别在三个区间1122x x x--≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，转化为f（x）min≤2成立，又根据|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f（x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.。

４
（２）当ｐ 在什么范围内取值时，学生参与两次乙方案后取得的平均分更高？
２２． （本小题满分１２ 分）
已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ
－
ｍｘ－
，其中 ， ｎ ｍ＞０ ｎ＞０．
ｘ
（１）当ｎ＝１ 时，ｆ（ｘ）在［１，２］上是单调函数，求ｍ 的取值范围；
槡 （２）若ｆ（ｘ）的极值点为ｘ０，且ｆ（ｘ１）＝ （ｆ ｘ２）（ｘ１≠ｘ２），求证： · ｘ１ ｘ２ ＜ｘ０．
６３
１ ；乙方案：每天多做一套试题则获得８０ 分，若不能按时多做一套试题则扣除２０ 分（即获取－２０ 分），
２
若每天多做一套试题的概率为ｐ（０＜ｐ＜１），每位同学可以参加两次甲方案或乙方案（但是甲、乙两种方案 不能同时参与，只能选择其一），且两次方案互不影响． 规定参加两次方案后获得的分数为正，则获得学 校的嘉奖；获得的分数为负，则没有嘉奖． （１）若ｐ＝ １ ，试问学生选择哪种方案更容易获得嘉奖？请说明理由；
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巴蜀中学 2021 届高考适应性月考卷（一） 数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B C C A B A D D C B A B
【解析】 1．阴影部分所表示的集合为{x | x A，且x B} {3，4，5} ，故选 B. 3 ． f (x) (x 2)ex， 由 f (x) (x 2)ex 0， 得 x 2 ， 当 x (，2) 时 ， f (x) 0 ； 当
a8 C88 (2)8 28， 所以 | a0 | | a1 | | a2 | | a3 | | a7 | 38 28 ，故选 D．