巴蜀中学2020届高考适应性月考卷文科数学(六)

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）文科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|10A x x =->，{}0,1,2,3B =，则()R C A B =I （ ）A. {}2,3B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U 2. 设复数1z i =+，则34z i=+（ ） A. 725i + B.725i - C. 1725i -- D. 1725i -+ 3. 在等差数列{}n a 中，若21336a a +=，则252729a a a ++=（ ）A. 6B. 9C. 12D. 544. 命题“()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a a x x e e+-≤+”的否定形式是（ ） A. ()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a ax x e e +->+B. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e +-≤+C. (][),11,a ∃∈-∞-+∞U ，1ln cos 21a a x x e e +-≤+D. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e+->+ 5. 在区间[]1,5-上随机取一个实数a ，则使[]2log 0,2a ∈的概率为（ ） A. 13 B. 12C. 23D. 14+ 6. 函数5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（ ） A. 13B. 17C. -13D. 127. 若实数x ，y 满足不等式组210028000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48. 设1l ，2l 是两条不同的直线，1α，2α是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A. 若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则12αα⊥B. 若11l α⊂，22l α⊂，且12//l α，21//l α，则12//ααC. 若11l α⊥，22l α⊥，且12αα⊥，则12l l ⊥D. 若11//l α，22//l α，且12//αα，则12//l l9. 已知正实数a ，b ，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △为等边三角形，AB =1BB =，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ）A. 64πB. 36πC. 27πD. 16π11. 已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，直线l ：()b y x c a=-与双曲线的一条渐近线交于点P ，且12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 3 12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ）A. (),2-∞-B. ()2,+∞C. ()(),11,-∞-+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若向量m u r 与n r 夹角为3π，2m =u r ，()1,0n =r ，则2m n +=u r r ______.14. 在ABC △中，若BC =2AB =，3CAB π∠=，则AC =______. 15. 函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为______.16. 焦点为F 的抛物线24y x =上有不同的两点P ，Q ，且满足()1PF FQ λλ=>u u u r u u u r ，若线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，则λ=______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N ∈，若0n a >，数列{}n S 为等比数列，126S S +=，3424S S +=.（1）求n S ；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级1000名文科生中随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为[]35,95.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生历史成绩的平均分，众数；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（3）已知该学校每年高考有65%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？19. 如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11122AB AC AA A B ====.若点M 为1CC 的中点，点N 为BC 靠近点C 的四等分点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）若三棱台111ABC A B C -的体积为73V =，求三棱锥1A AMN -的体积.注：台体体积公式：()1'3V S S h =++，其中S ，'S 分别为台体的上下底面积，h 为台体的高. 20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()()2,00F c c >，上顶点为P ，右顶点为Q .若2POF △（O 为坐标原点）的三个内角大小成等差数列.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点.设直线l ：65b my x =-，若AQB △面积的最大值为425，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆C 的标准方程.21. 函数()21ln 12f x x ax bx =-++.（1）若函数()f x 在1x =处的切线为2y =，求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：对任意210x x >>时，()()121212'2f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】点P 的极坐标为2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.点S 为圆M 上一动点，线段PS 的中点为点N .（1）求点N 的轨迹方程1C ；（2）设线段PM 的中点为点Q ，直线l 过点Q 且与圆M 交于A ，D 两点，直线l 交轨迹1C 于B ，C 两点，求QA QD QB QC+的最小值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()1222f x x a x a=++--. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()8f x <；（2）已知2a ≤-，求函数()f x 的最小值.。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）理科数学一、选择题1.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >， 所以{}20A B x x ⋂=-<<， 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 满足：()11i z i +=-，其中i 是虚数单位，则z 的值为（ ） A. 1 B.12C. 1-D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数的乘除运算化简复数，再求模.【详解】因为()221111i i z i i i--===-+-， 所以1z =. 故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.74P ξ≤=，则()02P ξ≤≤=（ ）A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.52【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，得到2μ=，利用正态分布的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，所以()2,00.26P μξ=≤=， 所以()()()020.24042P P P ξξξ≤-=≤≤≤=.故选：B【点睛】本题主要考查随机变量的正态分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.已知向量()1,2a =-，()1,3b =，2,4c ，若t 为实数，()//a tb c +，则t =（ ）A .2B. 2-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】根据()//a tb c +，由共线向量得到()()22341t t +=-+求解. 【详解】因为向量()1,2a =-，()1,3b =， 所以()1,23a tb t t +=-++， 因为()//a tb c +，所以()()22341t t +=-+， 解得4t =-.故选：D .【点睛】本题主要考查平面向量的共线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5.下列说法中，正确的有（ ）个. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】举例说明.②根据平面的基本性质判断.③举例说明.④根据斜二测画法判断. 【详解】①如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误； ②过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误；③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确； ④因为平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，故错误. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线与圆()()22311x y -+-=没有交点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A. 54e < B.53e < C. 513e >>D. 514e >>【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有1>求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有交点，1>，解得34a b >， 又因为222c a b =+，所以53e =<. 故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.“ln ln x y >”是“1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线712x π=-对称 D. 关于直线712x π=对称 【答案】B 【解析】 【分析】 根据()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得推出()()f x f x π+=，即T π=得到2ω=，再由()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，得到3x π=是()f x 的一条对称轴，求得()f x 再验证即可.【详解】因为()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以236f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即266f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()()fx f x π+=，所以T π=，所以2ω=， 因为()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以2sin =133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<， 所以6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 所以77sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为（ ）A. 188243 B.55243 C. 95243D. 148243【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路性质先求出从A 到B 电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】从A 到B 电路不能正常工作的概率为1222115115511133333927243P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯=⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以从A 到B 电路能正常工作的概率为15518811243243p P =-=-=. 故选：A .【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10.已知()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，且对任意实数x ，都有()2123f x mx -+>，则m 的取值范围是（ ）A. 22m -<<B. 02m <<C. 44m -<<D. 2m >【答案】A 【解析】 【分析】根据()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，由()00f =，得到a ，再利用函数的单调性，将()()21213f x mx f -+>=恒成立，转化为210x mx -+>恒成立求解.【详解】因为()121x af x =-+是定义域为R 的奇函数所以由()00f =，得2a =， 而()()21213f x mx f -+>=且()f x 单调递增， 所以210x mx -+>恒成立， 所以240m -<， 解得22m -<<. 故选：A .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.锐角ABC 的三边分别为,,a b c ，2cos a b B =，则cb的取值范围是（ ） A. [)1,3B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3⎛ ⎝D. [)1,2【答案】D 【解析】 分析】根据2cos a b B =，由正弦定理得到sin 2sin cos sin 2A B B B ==，再根据ABC 是锐角三角形，分2A B =，2A B π+=两种情况求解. 【详解】因为2cos a b B =， 所以sin 2sin cos sin 2A B B B ==， 因为ABC 是锐角三角形，所以当2A B =时，()0,202,202,2B B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩解得64B ππ<<.所以 211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 3sin sin 334sin 1,2sin sin sin B c C B B b B B Bπ-====-∈. 当2A B π+=时，B C =，得1cb=. 故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知单调递增的整数列{}n a 共有n 项，11a =，200n a =，且对任意的整数[]2,m n ∈，都存在整数[],1,1i j m ∈-使得m i j a a a =+（,i j 可以相等），则数列{}n a 至少有（ ）项. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的新定义，采用验证推理的方法求解.【详解】当10n =时，数列1,2,3,5,10,20,40,80,160,200满足； 若有9项，依题意22a =，12m m a a -≤，所以34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，764a ≤，8128a ≤，而9200a =，所以8100a =，750a =，625a =，此时625816a =>+， 所以5a 无法取整数； 显然当8n ≤都不成立. 故选：D .【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了分析推理求解的能力，属于难题. 二、填空题13.如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，则展开式中21x 的系数是______. 【答案】90- 【解析】 【分析】根据1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，令1x =解得n ，得到其通项公式，再令x的指数为-2求解即可.【详解】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n . 由232n =，得5n =，通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 令5322r-=-，得3r = 所以21x 的系数是()32351390C -⨯⨯=-. 故答案为：90-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=______.【解析】【分析】 根据1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由平方关系得到sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由角的变换得到sin sin 66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin sin in cos cos sin 666666s ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：16【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.设抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 的抛物线上，直线AB 过焦点F ，若32BF AF -=，则AF BF 的值为______.【答案】12【解析】 【分析】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，再根据32BF AF -=，结合抛物线定义解得21,x x ，然后由1222px AF p BF x +=+求解. 【详解】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=,所以1212044y y t y y >⎧⎪+=⎨⎪=-⎩所以()()()2121212121111ty ty t y y x y y x t ++++==+=⋅因为32BF AF -=， 由抛物线定义得：2132x x -=， 所以112x =，22x =， 故1112212AF BF +==+.故答案为：12【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，22AC AD ==，CD 23=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据2AB BC BD ===，22AC AD ==，由勾股定理得到AB BC ⊥，AB BD ⊥，从而有 AB ⊥平面BCD ，根据截面圆的性质，得到球心到平面BCD 的距离h ，在CBD 中，由余弦定理和正弦定理求得BCD 的外接圆半径r ，再利用球的半径为22R r h =+求解. 【详解】如图所示：因为2AB BC BD ===，AC AD == 由勾股定理得AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =所以AB ⊥平面BCD ，所以球心到平面BCD 的距离为1在CBD 中，由余弦定理得2221cos 22BC BD CD CBD BC BD +-∠==-⋅，所以23CBD π∠=所以BCD的外接圆半径为122sin3=，=【点睛】本题主要考查球的外接问题，以及截面圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，()*1122n n n a a n +=-∈N . （1）求证：数列{}2nn a ⋅是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn a b n =+，令{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <. 【答案】（1）证明见解析；12n n n a +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ，两边同时乘以2n ，有11221n nn n a a ++⋅-⋅=，再由等差数列定义求解.（2）由（1）知112n n n a b n ==+，再利用等比数列求和公式求解..【详解】（1）∵11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ， 两边同时乘以2n ，即有11221n n n n a a ++=-，即11221n n n n a a ++⋅-⋅=.又1122a =，所以数列{}2nn a ⋅是首项为2和公差为1的等差数列， 所以21nn a n ⋅=+， 故12n nn a +=. （2）由（1）知112n n n a b n ==+， 所以111122111212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-<-.【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及等比数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒，2BC =，1AD =，PAB △与PAD △都是等边三角形.（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）63- 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点为O ，连接,PO AO ，根据PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =，得到PO BD ⊥，再由222PO AO PA +=，得到PO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PO ⊥平面ABD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面APD 和平面PDC 一个法向量，由二面角的向量公式求解.【详解】（1）如图所示：设BD 的中点为O ，连接,PO AO ，因为PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =， 所以1AD AB AP PD PB =====，所以PO BD ⊥. 在等腰直角三角形ABD 中，易知22AO =， 又ABD PBD △△，所以22PO =， 所以222PO AO PA +=，所以PO AO ⊥. 又BDOA O =，,BD OA ⊂平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD .又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则2,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛ ⎝⎭. 设平面APD 一个法向量为()1111,,n x y z =，又22,22DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1111220,22220,22x y x z +=⎪+=⎩，取11x =，得()11,1,1n =--.设平面PDC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，又()0,2,0DC =-，2222DP ⎛= ⎝⎭，所以22220,220,x z ⎧==，取21x =，得()21,0,1n =-. 所以1211116cos ,332n n ⨯+-⨯-==⨯设二面角A PD C --的大小为,,2πθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以126cos cos ,n n θ=-=. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查，潜伏期为1~14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示.（1）由直方图可认为答题者的成绩z 服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ分别为答题者的平均成绩x 和成绩的方差2s ，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）（2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求()3P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z Nμσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=，30.84130.595=.【答案】（1）1587人（2）0.499 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得x ，z 服从正态分布()2,N μσ根据提供的数据，得到()()22,70.5,14.31N N μσ=，然后通过σ法则求解.（2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=，()~4,0.8413B ξ，利用二项分布公式求解.【详解】（1）由题意知：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，()2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()()56198481068.6..2P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587100001587⨯=人. （2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=， 而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 作圆()()22:8R x a y b -+-=的两条切线，切点分别为,A B ，圆心R 的轨迹为C .（1）若AOB ∠为钝角，求四边形OARB 的面积的取值范围； （2）设OA 与OB 的斜率分别为12,k k ，且1212k k =-，OA 与OB 交轨迹C 于,M N ，求22OM ON +的值.【答案】（1）()0,8（2）36 【解析】【分析】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.根据AR =得到OA =，再由2OARB OARS S =△求解.（2）根据1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=，得到12,k k 是方程()2228280ak abk b --+-=的两根，再由 1212k k =-得到圆心的轨迹方程，由点()11,M x y ，()22,N x y ，在轨迹C 上，结合1212k k =-，由()()2222221122OM ON x y x y +=+++求解.【详解】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. AR =OA =，()820,8tan OARB OAR S S θ==∈△.（2）由于1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=， 故12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根.所以21228182b k k a -==--，整理得(2212412a b a +=≠±，故轨迹C的方程为(2212412x y x +=≠±.设()11,M x y ，()22,N x y ，由1212k k =-，得121220y y x x +=①， 又221112412x y +=，所以2211242x y =-，同理2222242x y =-， 则()()()2222222212121212242242448576x x y y y yy y =--=--+，将①代入得221212y y +=.所以()()()()22222222112212242436OM ON x y x y y y +=+++=-+-=.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()()22ln 1f x x x a x=+-.（1）证明：1ln 1x x≥-+； （2）（i ）证明：当102a <<时，对任意0,1a x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，总有()0f x >； （ii ）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）当0a ≤或12a =时，函数()f x 有唯一零点；当0a >且12a ≠时，函数()f x 有两个零点 【解析】 【分析】（1）()()1ln 10g x x x x=+->，用导数法求得最小值大于零即可。

重庆市巴蜀中学2020届高三数学下学期适应性月考试题（六）理（含解析）一、选择题1.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >， 所以{}20A B x x ⋂=-<<， 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 满足：()11i z i +=-，其中i 是虚数单位，则z 的值为（ ） A. 1 B.12C. 1-D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数的乘除运算化简复数，再求模.【详解】因为()221111i i z i i i--===-+-， 所以1z =.故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.74P ξ≤=，则()02P ξ≤≤=（ ）A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.52【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，得到2μ=，利用正态分布的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，所以()2,00.26P μξ=≤=， 所以()()()020.24042P P P ξξξ≤-=≤≤≤=.故选：B【点睛】本题主要考查随机变量的正态分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.已知向量()1,2a =-，()1,3b =，2,4c ，若t 为实数，()//a tb c +，则t =（ ）A .2B. 2-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】根据()//a tb c +，由共线向量得到()()22341t t +=-+求解. 【详解】因为向量()1,2a =-，()1,3b =， 所以()1,23a tb t t +=-++， 因为()//a tb c +，所以()()22341t t +=-+，解得4t =-. 故选：D .【点睛】本题主要考查平面向量的共线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5.下列说法中，正确的有（ ）个. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】举例说明.②根据平面的基本性质判断.③举例说明.④根据斜二测画法判断. 【详解】①如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误； ②过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误；③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确； ④因为平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，故错误. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线与圆()()22311x y -+-=没有交点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A.54e < B.53e < C. 513e >> D.514e >> 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有1>求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有交点，1>，解得34a b >， 又因为222c a b =+，所以53e =<. 故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.“ln ln x y >”是“1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，反之1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >. 故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线712x π=-对称 D. 关于直线712x π=对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得推出()()f x f x π+=，即T π=得到2ω=，再由()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得到3x π=是()f x 的一条对称轴，求得()f x 再验证即可.【详解】因为()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以236f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即266f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()()fx f x π+=，所以T π=，所以2ω=，因为()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以2sin =133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<， 所以6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以77sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为（ ）A.188243 B.55243 C. 95243D.148243【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路性质先求出从A 到B 电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】从A 到B 电路不能正常工作的概率为1222115115511133333927243P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯=⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以从A 到B 电路能正常工作的概率为15518811243243p P =-=-=. 故选：A .【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10.已知()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，且对任意实数x ，都有()2123f x mx -+>，则m 的取值范围是（ ） A. 22m -<< B. 02m <<C. 44m -<<D. 2m >【答案】A 【解析】 【分析】 根据()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，由()00f =，得到a ，再利用函数的单调性，将()()21213f x mx f -+>=恒成立，转化为210x mx -+>恒成立求解. 【详解】因为()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数 所以由()00f =，得2a =， 而()()21213f x mx f -+>=且()f x 单调递增， 所以210x mx -+>恒成立， 所以240m -<， 解得22m -<<. 故选：A .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.锐角ABC 的三边分别为,,a b c ，2cos a b B =，则cb的取值范围是（ ） A. [)1,3B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3⎛ ⎝D. [)1,2【答案】D 【解析】 【分析】根据2cos a b B =，由正弦定理得到sin 2sin cos sin 2A B B B ==，再根据ABC 是锐角三角形，分2A B =，2A B π+=两种情况求解. 【详解】因为2cos a b B =，所以sin 2sin cos sin 2A B B B ==， 因为ABC 是锐角三角形， 所以当2A B =时，()0,202,202,2B B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩解得64B ππ<<.所以 211sin ,42B ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以()()2sin 3sin sin 334sin 1,2sin sin sin B c C BB b B B Bπ-====-∈. 当2A B π+=时，B C =，得1cb=. 故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知单调递增的整数列{}n a 共有n 项，11a =，200n a =，且对任意的整数[]2,m n ∈，都存在整数[],1,1i j m ∈-使得m i j a a a =+（,i j 可以相等），则数列{}n a 至少有（ ）项. A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】D 【解析】【分析】根据数列的新定义，采用验证推理的方法求解.【详解】当10n =时，数列1,2,3,5,10,20,40,80,160,200满足； 若有9项，依题意22a =，12m m a a -≤，所以34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，764a ≤，8128a ≤， 而9200a =，所以8100a =，750a =，625a =，此时625816a =>+， 所以5a 无法取整数； 显然当8n ≤都不成立. 故选：D .【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了分析推理求解的能力，属于难题. 二、填空题13.如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，则展开式中21x 的系数是______. 【答案】90- 【解析】 【分析】根据1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，令1x =解得n ，得到其通项公式，再令x的指数为-2求解即可.【详解】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n . 由232n =，得5n =，通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 令5322r-=-，得3r = 所以21x的系数是()32351390C -⨯⨯=-. 故答案为：90-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=______.【答案】16【解析】 【分析】 根据1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由平方关系得到sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由角的变换得到sin sin 66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故1sin sin in cos cos sin 6666666s ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.设抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 的抛物线上，直线AB 过焦点F ，若32BF AF -=，则AF BF 的值为______.【答案】12【解析】 【分析】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，再根据32BF AF -=，结合抛物线定义解得21,x x ，然后由1222px AF p BF x +=+求解. 【详解】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=,所以1212044y y t y y >⎧⎪+=⎨⎪=-⎩所以()()()2121212121111ty ty t y y x y y x t ++++==+=⋅因为32BF AF -=， 由抛物线定义得：2132x x -=， 所以112x =，22x =， 故1112212AF BF +==+.故答案为：12【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，AC AD ==CD =，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为______.【解析】 【分析】根据2AB BC BD ===，AC AD ==AB BC ⊥，AB BD ⊥，从而有 AB ⊥平面BCD ，根据截面圆的性质，得到球心到平面BCD 的距离h ，在CBD 中，由余弦定理和正弦定理求得BCD 的外接圆半径r，再利用球的半径为R .【详解】如图所示：因为2AB BC BD ===，22AC AD == 由勾股定理得AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =所以AB ⊥平面BCD ，所以球心到平面BCD 的距离为1在CBD 中，由余弦定理得2221cos 22BC BD CD CBD BC BD +-∠==-⋅，所以23CBD π∠=所以BCD 的外接圆半径为123222sin3π⋅=， 415+=5【点睛】本题主要考查球的外接问题，以及截面圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，()*1122n n na a n +=-∈N . （1）求证：数列{}2nn a ⋅是等差数列，并求数列{}n a 通项公式；（2）设1nn a b n =+，令{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <. 【答案】（1）证明见解析；12n n n a +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ，两边同时乘以2n ，有11221n nn n a a ++⋅-⋅=，再由等差数列定义求解.（2）由（1）知112n n n a b n ==+，再利用等比数列求和公式求解.. 【详解】（1）∵11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ， 两边同时乘以2n ，即有11221n n n n a a ++=-，即11221n n n n a a ++⋅-⋅=.又1122a =，所以数列{}2nn a ⋅是首项为2和公差为1的等差数列， 所以21nn a n ⋅=+， 故12n n n a +=. （2）由（1）知112n n n a b n ==+， 所以111122111212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-<-.【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及等比数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒，2BC =，1AD =，PAB △与PAD △都是等边三角形.（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）63- 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点为O ，连接,PO AO ，根据PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =，得到PO BD ⊥，再由222PO AO PA +=，得到PO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PO ⊥平面ABD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面APD 和平面PDC 一个法向量，由二面角的向量公式求解.【详解】（1）如图所示：设BD 的中点为O ，连接,PO AO ，因为PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =， 所以1AD AB AP PD PB =====，所以PO BD ⊥. 在等腰直角三角形ABD 中，易知22AO =， 又ABD PBD △△，所以22PO =， 所以222PO AO PA +=，所以PO AO ⊥.又BD OA O =，,BD OA ⊂平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD .又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则2,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛ ⎝⎭.设平面APD 一个法向量为()1111,,n x y z =， 又22,22DA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，22,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1111220,22220,22x y x z +=⎪+=⎩，取11x =，得()11,1,1n =--.设平面PDC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，又()0,2,0DC =-，2222DP ⎛= ⎝⎭，所以22220,220,x z ⎧==，取21x =，得()21,0,1n =-. 所以1211116cos ,332n n ⨯+-⨯-==⨯设二面角A PD C --的大小为,,2πθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以126cos cos ,3n n θ=-=-. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查，潜伏期为1~14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示.（1）由直方图可认为答题者的成绩z 服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ分别为答题者的平均成绩x 和成绩的方差2s ，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）（2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求()3P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z Nμσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=，30.84130.595=.【答案】（1）1587人（2）0.499 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得x ，z 服从正态分布()2,N μσ根据提供的数据，得到()()22,70.5,14.31N N μσ=，然后通过σ法则求解.（2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=，()~4,0.8413B ξ，利用二项分布公式求解.【详解】（1）由题意知：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，()2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()()56198481068.6..2P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587100001587⨯=人. （2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=， 而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 作圆()()22:8R x a y b -+-=的两条切线，切点分别为,A B ，圆心R 的轨迹为C .（1）若AOB ∠为钝角，求四边形OARB 的面积的取值范围； （2）设OA 与OB 的斜率分别为12,k k ，且1212k k =-，OA 与OB 交轨迹C 于,M N ，求22OM ON +的值.【答案】（1）()0,8（2）36 【解析】 【分析】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.根据22AR =得到22OA =，再由2OARB OARS S =△求解.（2）根据1:OA y k x =与圆R 121221k a b k -=+，整理得()222118280ak abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=，得到12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根，再由 1212k k =-得到圆心的轨迹方程，由点()11,M x y ，()22,N x y ，在轨迹C 上，结合1212k k =-，由()()2222221122OM ON x y x y +=+++求解.【详解】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 22AR =22OA =，()820,8tan OARB OAR S S θ==∈△ （2）由于1:OA y k x =与圆R 121221k a b k -=+，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=， 故12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根.所以21228182b k k a -==--，整理得(2212412a b a +=≠±，故轨迹C 的方程为(2212412x y x +=≠±.设()11,M x y ，()22,N x y ，由1212k k =-，得121220y y x x +=①， 又221112412x y +=，所以2211242x y =-，同理2222242x y =-， 则()()()2222222212121212242242448576x x y y y yy y =--=--+，将①代入得221212y y +=.所以()()()()22222222112212242436OM ON x y x y y y +=+++=-+-=.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()()22ln 1f x x x a x=+-.（1）证明：1ln 1x x≥-+； （2）（i ）证明：当102a <<时，对任意0,1a x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，总有()0f x >；（ii ）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）当0a ≤或12a =时，函数()f x 有唯一零点；当0a >且12a ≠时，函数()f x 有两个零点 【解析】 【分析】（1）()()1ln 10g x x x x=+->，用导数法求得最小值大于零即可。

EF
，
∴ 1 1 DE EF d 1 1 OE DE sin 60 EF ，
32
32
∴d 8 3.
…………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）在公差 d 不为 0 的等差数列{an} 中， a1 ， a3 ， a9 成等比数列，
解：（1）∵成绩在[90，100)内的人数为 30，
∴成绩在[90，100)内的频率为 30 0.15 . 200
由频率分布直方图得 (0.01 y x x 0.005) 10 0.15 1 ，化简得 y 2x 0.07 ，①
由中位数可得 0.0110 10 y (78 70) x 0.5 ，化简得 5y 4x 0.2 ，②
所以 EF 平面 ADE ，
又 OT 平面 ADE ， ∴ EF OT ，又 OT DE ， EF DE E ，
∴ OT 平面 CDEF ，即 OT 为点 O 到平面 CDEF 的距离，
∵ OA AM ，∴ OA AM AM 7 ，
OE EF
OA 2 EF AB 8
∴ y 1 0 (x 1) ，即 y 1 0 为所求切线的方程. …………………………………（3 分）
（2）∵函数
f
(x)
在
1 e
，1
上单调递减，在
(1，e]
上单调递增，
故 f (x)min f (1) 1， 橙子辅导
又因为
f
1 e

1 e2

则 N 为 FD 的中点，所以 DO∥MN .
图3
又 DO 平面 EMC ， MN 平面 EMC ，∴ DO∥ 平面 EMC .