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合情推理1：和代数式有关的推理问题例1、观察()()()()()()223322443223,a b a b a b a b a b a ab b a b a b aa b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．．等式．．为 。
解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．．等．式．为333333212345621+++++=。
2：和三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。
2020202020202020202020203sin 30sin 90sin 150,23sin 60sin 120sin 18023sin 45sin 105sin 165,23sin 15sin 75sin 1352++=++=++=++= 练习：观察下列等式：① cos2α=2 cos 2α－1；② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1；③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1；④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1；⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1；可以推测，m －n+p= .答案：962 3：和不等式有关的推理例1、观察下列式子：， 由上可得出一般的结论为： 。
答案：222111211......,23(1)1n n n ++++<++练习、由331441551,,221331441+++>>>+++。
可猜想到一个一般性的结论是： 。
合情推理（理科一）一、选择题1.如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为( )A． B． C． D．2.已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有( )A．f（2n）＞（n∈N*） B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*） D．f（2n）＞（n∈N*）3.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为( )A．76 B．80 C．86 D．92 4.类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是（）①；②；③；④.A．①②③ B．①②④ C．②③④D．①②③④5.观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（）A． B．C． D．6.如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有.上述命题是( )A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题二、填空题7.将正整数1，3，5，7，9…排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）的所有数之和为．8.将数列{a n}按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列．若a1=1，a3=4，a5=3，则d=1；第n行的和T n= ．9.如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=__________；f（n）=__________．（答案用数字或n的解析式表示）10.把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表．第k行有2k﹣1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（8，17）=11.如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=__________．12.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．合情推理（理科一）试卷答案1.C解：根据题意，设第k个三角形的周长记为a k，（k=1、2、3、…）∵△ABC周长为1，∴a1=1∵第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点∴第二个三角形的周长为a2=a1=依此类推，第三个三角形的周长为a3=a2=，…第k个三角形的周长为a k=，…∴第2003个三角形周长为a2003=．故选C2.D解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．3.B解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n=4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．4.D5.B6.A因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD 内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得故选A.7.n3解：由题意，第1行的所有数之和为1；第2行的所有数之和为3+5=23；…第n行（n≥3）的所有数之和为n3，故答案为：n3．8.n•22n﹣1﹣n解：依题意得a5=a1+2d，∴3=1+2d，∴d=1．又∵a3=a2q=（a1+d）q，q=2，∴d，q的值分别为1，2；记第n行第1个数为A，则A=a1+（n﹣1）d=n，又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，∴第n行共有（2n﹣1）个数，∴第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，因此其总数的和T n==n•22n﹣1﹣n．故答案为：1，n•22n﹣1﹣n；9.解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．10.解：由第k行有2k﹣1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2，前t﹣1行共有=2t﹣1﹣1个数，∴第t行第一个数是A（t，1）==，∴A（t，s）=，令t=8，s=17，∴A（8，17）=．故答案为：11.5解：由题意，，∴，∴a﹣b+c=5，故答案为：512.9解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9补充（一）13.设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．14.正偶数列有一个有趣的现象：①2+4=6②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第个等式中．15.给出下列三个类比结论：①若a，b，c，d∈R，复数a+bi=c+di，则a=c，b=d，类比推理出：若a，b，c，d∈Q，a+b=c+d，则a=c，b=d；②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出，已知向量，若，，则；③同一平面内，a，b，c是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出：空间中，α，β，γ是三个互补相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ．其中正确结论的个数是．16.观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n 表示）．17.从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n 个等式为．18.观察下列不等式：①＜1；②；③；…则第5个不等式为．19.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山．根据以上条件，可以判断游览过华山的人是．20.观察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…以上等式都是成立的，照此写下去，第2015个成立的等式是．21.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是．22.观察如图列数表：第1行 1第2行 1 3 1第3行 1 3 9 3 1第4行 1 3 9 27 9 3 1根据如图列数表，数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为．23.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．24.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．25.观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是=______26.将自然数按如图排列，其中处于从左到右第列从下到上第行的数记为，如，，则__________；__________．13.f（2n）≥（n∈N*）解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．14.31解：①2+4=6；②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2，当n=31时，等式的首项为1922，所以2016在第31个等式中故答案为：31．15.①③解：①在有理数集Q中，若a+b=c+d，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故正确；②=，满足，，但不一定成立，故不正确；③同一平面内，a，b，c是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出：空间中，α，β，γ是三个互不相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ．正确．故答案为：①③．16.n2－m2解析：第一行m＝0，n＝1，右边的值为1；第二行m＝2，n＝4，右边的值为12＝42－22；第三行m＝5，n＝8，右边的值为39＝82－52；所以猜想．17.1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）解：∵1=1=（﹣1）1+1•11﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1•（1+2）1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1•（1+2+3）1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1•（1+2+3+4）…所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）18.解：由①＜1；②+；③；归纳可知第四个不等式应为；第五个不等式应为．故答案为．19.甲解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所以填甲去过．故答案为：甲．点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．20.×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152解：由已知中的等式：观察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…归纳可得：第n个成立的等式是：×n3+×n2+×n=12+22+32+42+…+n2，当n=2015时，第2015个成立的等式是：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152故答案为：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+2015221.甲乙丙解：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意故答案为：甲乙丙．点评：本题考查进行简单的合情推理，比较基础．22.2×3n﹣1﹣1解：由已知可得：第1行有1个数；第2行有3个数；第3行有5个数；…归纳可得：第n行有2n﹣1个数；设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：S n，数表中第n行中所有数的和为T n，则T2=S2+S1，T3=S3+S2，T4=S4+S3，…故T n=S n+S n﹣1=+=2×3n﹣1﹣1，即数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为2×3n﹣1﹣1，故答案为：2n﹣1，2×3n﹣1﹣1点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．23.解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：．故答案为：．点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义．24.．25.14 26.解析：由题意，，∴，∴．故答案为11。
合情推理演绎推理（带答案）作者: 日期:1:与代数式有关的推理问题2a b a b a b ,例1、观察a 3b 3a b 2 a ab b 2进而猜想a n b n4a b 4 a b3a a 2b ab 2 b 3练习：观察下列等式：13 23 以 3 3 , 123 33 6, 13 2"33 43 10,…，根据上述规律，第五个等式为o解析：第i 个等式左边为 1 到i+1的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个等式为13空 33 43 5"21 o2:与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。
练习：观察下列等式:① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ；42② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ；③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1；④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ；108642⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ；可以推测，m — n+p= .答案：9623:与不等式有关的推理例1、观察下列式子：1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。
.1 1 1 2n 1答案：12232……(n 1)2n 1，练习、由35口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。
2 2 1 33 14 4 1合情推理sin 2 30 0 sin 2 60 0 • 2 Ar 0sin45sin 15• 2 “ 0sin90sin 2120 sin 2105 sin 275 0. 2 * LC 0sin 150sin 2180 sin 2165 2 X CL 0sin 1354:与数列有关的推理例1、已知数列｛a n ｝中，a i =1，当n >2时，a . 2am 1，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通 项表达式为：。
第2章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于（ ）1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111234×9+5=11 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 答案：B2.定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下图中的图形：则下列图形中可以表示A*D 、A*C 的分别是（ ）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（1）（4） 答案：C解析：注意观察分析、辨别，找到A 、B 、C 、D 分别对应的图形，A 为竖线，B 为大正方形，C 为横线，D 为小正方形.3.已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=f 1′(x),f 3(x)=f 2′(x),f 4(x)=f 3′(x)，…，f n (x)=f n-1′(x)，则f 2 006(x)等于（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx 答案：B解析：f 1(x)=cosx,f 2(x)=f 1′(x)=-sinx,f 3(x)=f 2′(x)=-cosx,f 4(x)=f 3′(x)=sinx,f 5(x)=f 4′(x)=cosx,…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 006（x)=f 2(x)=-sinx.4.三角形的面积为S=21(a+b+c)r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（ ）A.V=31abcB.V=31ShC.V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径） D.V=31（ab+bc+ac)h （h 为四面体的高） 答案：C解析：三角形ABC 的内心为O ，连结OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ，类比：设四面体A —BCD 的内切球球心为O ，连结OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V=31（S 1+S 2+S 3+S 4）r. 10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图),则第七个三角形数是( )A.27B.28C.29D.30答案：B解析：第七个三角形数为1+2+3+4+5+6+7＝28.2.观察三角形数与正方形数,猜测有可能正确的命题是( )A.相邻两个三角形数之和是正方形数B.相邻两个正方形数之和是三角形数C.相邻两个三角形数之差是正方形数D.相邻两个正方形数之差是三角形数 答案：A3.设平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同一点,它们把平面分成的区域数为p(n),如果该平面内再增加一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为p(n+1),那么p(n)与p(n+1)的递推关系式为_____________.解析：第n+1个圆与前n 个圆有2n 个交点,这2n 个交点将第n+1个圆分成2n 段弧,每段弧把所在的区域一分为二,就增加了2n 个区域.答案:p(n+1)=p(n)+2n4.考查下列式子：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,得出的结论是__________________________.解析:从数值特征看：左式首数为n 时,共有连续2n-1个数,右式为(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)25.设{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1·a n =0(n≥1,n ∈N *),试归纳出这个数列的通项公式.解:由a 1=1,2a 22-a 12+a 2·a 1=0,得a 2=21.又3a 32-2a 22+a 3·a 2=0,∴a 3=31. 又4a 42-3a 32+a 4·a 3=0, ∴a 4=41. 归纳猜想a n =n1. 30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后） 1.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式：S=2高底 ,可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.22rB.22lC.2lr D.不可类比 答案：C解析：由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得.2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色的?( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大答案：A解析:由图知,三白两黑周而复始相继排列,因36÷5＝7余1,所以第36颗应与第1颗珠子颜色相同,即白色.3.观察下图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.■B.△C.□D.○答案：A解析:图形涉及□、○、△三种符号;其中○与△各有3个,且各自有两黑一白,所以缺一个黑色□符号,即应画上■才合适.4.如果对象A 和B 都具有相同的属性P 、Q 、R 等,此外已知对象A 还有一个属性S,而对象B 还有一个未知的属性x,由类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立?…( )A.x 就是PB.x 就是QC.x 就是RD.x 就是S 答案：D解析:各自另外的属性S 只能类比x.5.由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_____________.解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等6.已知抛物线y 2=2px(p>0)，过其焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则有AF 1+BF 1为定值，试写出关于椭圆的类似结论：____________________________________________. 答案：过椭圆的焦点F 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，则AF 1+BF1为定值 7.半径为r 的圆的面积S(r)=πr 2,周长C(r)=2πr,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则(πr 2)′=2πr.① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子: ____________.② ②式可用语言叙述为___________________________________________________________. 解析:该题考查了类比推理的思想.合情推理的正确与否来源于我们平时知识的积累,从平面到空间,长度到面积、面积到体积,这是我们平时的经验.答案:(34πR 3)′=4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数8.20世纪60年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数,如果它是偶数就用2除它;如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,会得到什么结果？试考察几个数并给出猜想.解:取自然数6,按角谷的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1.取自然数7,则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→ (1)取自然数100,则有100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→ (1)归纳猜想：这样反复计算,必然会得到1.9.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.解:如图（1）所示,我们知道,在Rt △ABC 中,由勾股定理可得c 2=a 2+b 2,如图(2),在四面体D —PEF 中,PD ⊥ED,PD ⊥DF,DE ⊥DF.设△DEF 、△DPF 和△DPE 的面积分别为S 1、S 2和S 3,△PEF 的面积为S.于是,类比直角三角形的勾股定理,在四面体P —DEF 中,我们猜想:S 2=S 12+S 22+S 32.。
2.1 合情推理与演绎推理一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a1＝1，an ＝3n －1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和Sn 的表达式C ．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f(2n)>2n ＋12B ．f(n2)≥n ＋22C ．f(2n)≥n ＋22D ．以上都不对3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4. 若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )A ．h>h1＋h2＋h3B ．h ＝h1＋h2＋h3C ．h<h 1＋h2＋h3D ．h1，h2，h3与h 的关系不定二、填空题(每小题5分，共10分)5．把正有理数排序：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，则数19891949所在的位置序号是________．6．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．三、解答题(共70分)7.（15分）通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案] A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p .5．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．。
数学·选修1－2(人教A版)2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为( )A．V＝13 abcB．V＝13 ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B 4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a qC.a m a n ＝a pa qD ．a m －a n ＝a p －a q答案：B5．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则∑i＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为H i(i＝ 1,2,3,4)，若S1 1＝S22＝S33＝S44＝K，则∑i＝14(S i H i)＝( )A.4VKB.3VKC.2VKD.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n －1)×4＝4n ＋8.答案：4n ＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n 个图中三角形被剖分成a n 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a 100＝________.…图1 图2 图3答案：182983．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线； 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1) 3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________； (2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×12＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12，c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6(2)79。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.由下列事实：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4，（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5，可得到合理的猜想是．【答案】.【解析】由所给等式可以发现：等式左边由两个因式相乘；第一个因式相同，是；第二个因式是和的形式，每一项为的形式，且按降次排列，按升次排列，且；等式右边为差的形式，次数比左边第二个因式的第一项次数大1，；因此，我们可得到合理的猜想是.【考点】归纳推理.2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．3.把命题“若是正实数，则有”推广到一般情形，推广后的命题为____________.【答案】若都是正数，则有【解析】可通过类比，归纳得一般结论，证明如下：【考点】推理与证明.4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】A【解析】三段论推理形式为大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确，且推理的形式也正确，结论才正确，此处结论错误的原因是“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”这句话不正确，它恰是推理的大前提，故选择A.【考点】三段论推理.5.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．6.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．9.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.10.把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把上图中的数分为4个数列分别是：（1）1,5,9 (2)2,6,10 ;(3)3,7,11 ;(4)4,8,12 它们都是以4为公差的等差数列，4个数列的通项公式分别为，，，，只要确定2014在哪个位置就可以了，只有解得，其余的解得不是整数，所以2014在第二个数列的位置，观察数的结构得本题选A。
高中数学2.1.1合情推理（1）（含解析）新人教A 版选修12知识点一 数列中的归纳推理1.数列2,5,11,20，x,47中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2C.nn －4＋n ＋4n ＋4－4＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2答案 A解析 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 正确.知识点二 几何中的归纳推理3.如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n－2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1.4．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：n 1 2 3 4 … S n136…(2)S 10＝答案 (1)10 (2)55解析 S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，…S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点三 归纳推理的应用5.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解 因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *).易错点 归纳过程找不到规律而致错6.在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________；f (n )＝________(答案用含n 的代数式表示)．易错分析 在图形推理问题中，一般思路为：(1)从图形的数量关系入手，找到数值变化与序号之间的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构发生一次变化后，与上一次进行比较，看数值发生了怎样的变化．答案 10n n ＋1n ＋26解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋n n ＋12＝n n ＋1n ＋26.一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A ．归纳推理是由一般到一般的推理过程 B ．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C ．归纳推理得出的结论不一定正确 D ．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 答案 A解析 由归纳推理的定义与特征可知选项A 错误，选项B ，C ，D 均正确，故选A. 2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( )A．1,2 B．1,3 C．2,4 D．1,4答案 C解析由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120172<( )A.40312017B.40322017C.40332017D.40342017答案 C解析观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1，所以当n＝2016时不等式为：1＋122＋132＋…＋120172<40332017.4．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A．(2,10) B．(10,2) C．(3,5) D．(5,3)答案 A解析由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2解析 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…， 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.6．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．答案 a n ＝1n(n ∈N *)解析 由首项为1，得a 1＝1；由n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12；当n ＝2时，由3a 23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13；…归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n(n ∈N *)．7．观察分析表中的数据：答案 F ＋V －E ＝2解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.三、解答题8．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .解 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.9．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2).(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9900，问a n是数列第几项？解(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。
