对数性凸函数和几何凸函数的一些性质
张晶晶
(楚雄师范学院数学系2004级1班,)
指导老师郎开禄
摘要: 在本文中，获得了对数性凸函数的五个性质和几何凸函数的六个性质。
关键词: 凸函数; 对数性凸函数; 几何凸函数；基本性质
The research on some properties of logarithmatical convex
function and geometric convex function
Abstract: In this paper, the author gives five properties of logarithmatical convex function and six properties of geometric convex function by studying the fundamental properties.
Key Words: Convex Function; Logarithmatical Convex Function; Geometric Covex
Function;Fundamental Property
导师评语：
在文[1] ( [1]. 刘芳园,田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》, 2006, 25(3): 22-25.)及文[2]( [2] .王传坚.对数性凸函数的性质及应用[D].楚雄师范学院03级优秀毕业
论文)等中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的
基本性质的一些应用.文[3]( [3] .吴善和.几何凸函数与琴生型不等式[J].《数学的实践与认识》，2004,34(2),155-163)讨论了几何凸函数与琴生型不等式的关系.
受文[1]- [3]的启发,在文[1]- [3]的的基础上, 张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>进一步研究对数性凸函数和几何凸函数的性质,获得了对数性凸函数的五个性质 (论文中的定理7至定理11),获得了几何凸函数的六个性质 (论文中的定理13至定理17及推论).
张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>选题具有理论与实际意义,通过深入研究, 在文[1]- [3]的基础上,该论文获得了对数性凸函数的五个性质,获得了几何凸函数的六个性质.该论文完成有相当的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,爱钻研,能吃苦,独立性强.
对数性凸函数和几何凸函数的一些性质
前言
凸函数是一类重要的函数，它有许多很好的性质,并有广泛的应用，特别是在不等式的证明中发挥着无可代替的作用，受文[1]、[2]、[3]的影响，本文得到了对数性凸函数和几何凸函数的几个性质。
1.对数性凸函数的基本性质
1.1 凸函数的定义
定义]1[1 设)(x f 在区间I 上有定义,如果对任意I x x ∈21,和所有实数)1,0(∈λ有
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (1)
成立，则称()f x 在区间I 上为下凸函数。如果21x x ≠，（1）式严格不等式成立，则称()f x 在区间I 上为严格下凸函数。若（1）式中不等号反向，则称()f x 在区间I 上为上凸函数。
1.2 对数性凸函数的定义
定义]1[`2 设)(x f 为区间I 上的正值函数，如果ln ()f x 在区间I 上为下凸函数，即对任意的I x x ∈21,和所有的实数)1,0(∈λ有
)()1()())1((ln 211x f x f x f λλλλ-+≤-+ (2)
成立，则称)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数，如果对于21x x ≠，（2）式严格不等式成立，则称)(x f 在区间I 上为严格对数性下凸函数。若（2）式中不等号反向，则称)(x f 在区间I 上为对数性上凸函数。
1.3 对数性凸函数的基本性质
文[1]研究获得了以下对数性凸函数的性质。
引理]1[1 设)(x f 为区间I 上正值函数，则)(x f 在区间I 为下凸函数的充要条件是在区间I 上0)(≥''x f 。
引理]
1[2 若0,0≥≥y x 且111=+q p ，1>p 则y q
x p y x q p 1
11
1+≤，其中等式成立当且仅当y x =.
引理]1[3 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意的I x x ∈21,和所有的实数)1,0(∈λ有
)()())1((21121x f x f x x f λλλλ-≤-+
引理]1[4 设)(x f 为区间I 上的正值函数且二阶可导，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意x I ∈有
2))(()()(x f x f x f '≥''
性质]1[1 如果函数)(1x f 和)(2x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则)()(21x f x f ?也为区间I 上的对
数性下凸函数。
推论]
1[1 如果函数).,2,1)((n i x f i =为区间I 上的对数性下凸函数，则∏=n
i i x f 1
)(也为区间I 上的对
数性下凸函数。
性质]1[2 如果函数)(1x f 和)(2x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则)()(21x f x f +也为区间I 上的对
数性下凸函数。
推论]
1[2 如果函数).,2,1)((n i x f i =为区间I 上的对数性下凸函数，则∑=n
i i x f 1
)(也为区间I 上的对
数性下凸函数。
性质]1[3 如果函数)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则
)
(1
x f 为区间I 上的对数性上凸函数。 性质]1[4 设)(μf 为定义在区间I 上的正值函数，B A x →:)(?，其中B A ,为区间，I B ?，若)
(μf 为区间I 上严格增的对数性下凸函数且)(x ?μ=在A 区间上为下凸函数，则))((x f ?为区间A 上的对数
性下凸函数。
性质]1[5 如果一个正值函数)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数，则)(x f e x ?α对所有的α值是下凸
函数。
性质]1[6 如果任意的))1(()(,,2121x x f I x x ααα?-+=∈为区间]1,0[上的对数性下凸函数，则)(x f 是区间I 上的对数性下凸函数。
受文[1]的启发，在文[1]的基础上，文[2]研究获得了以下对数性凸函数的七个性质。
定理 ]2[1 如果函数)(x f ，)(x g 为区间I 上的对数性下凸函数，则)()(x g x f βα+（βα,是不全为零的非负实数）也为区间I 上的对数性下凸函数。
定理 ]2[2 设)(x f 和)(x ?都为区间I 上的正值函数, 且
)()(x x α?α?=，)()()(2121x x x x β?α?βα??=+ R ∈?βα,，
若)(x f 在I 上是对数性下凸函数，则)()(x f x ??是下凸函数。
定理 ]2[3 若)(x f 为区间I 上的正值函数，则以下三个条件等价： （1）. )(x f 为区间I 上的对数性下凸函数；
（2）. ),,2,1(1,
0,1
n i I x n
i i
i i ==≥∈?∑=λ
λ,有
∏∑==≤n
i i
n i i
i x f x f i
1
1)()(
λλ.
（3）. ),,2,1(,n i I x i i =∈?λ是不全为零的非负实数，有
∏=+++≤+++++n
i i n n
n x f x x x f n
i
1
212211)()(
21λλλλλλλλλλ .
定理 ]2[4 设函数)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则函数)(x f 在I 的任意闭子区间上有
界。
定理 ]2[5 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件
是对I 上任意三点321x x x <<，总有
2
31
21
231
12)()()()(x x x x x f x f x f x f --?
??? ?
?≤?
??? ?
?
推论]2[ 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<，总有
2
31
31
21
231
131
12)()()()()()(x x x x x x x f x f x f x f x f x f ---?
??? ?
?≤?
??? ?
?≤?
??? ?
?
定理 ]2[6 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<， 都有
01
)(ln 1)(ln 1
)
(ln 332211≤x x f x x f x x f 2.对数性凸函数的五个性质
在本文中，我们研究获得了对数性凸函数的如下五个性质。
定理7 设)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则对I 上任意四点4321x x x x <<<，总有
3
41
21
341
12)()()()(x x x x x f x f x f x f --?
??? ?
?≤?
??? ?
?
证明：设)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，由定理5，
43214321,,,,x x x x I x x x x <<<∈?，总有
2
31
2123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --?
???
??≤?
??? ??，3
42
3134123)()()()(x x x x x f x f x f x f --?
???
?
?≤?
???
??
于是由不等式的传递性，有
3
412134112)()()()(x x x x x f x f x f x f --?
??? ?
?≤????
??
定理 8 设()f x 和()x ?都为区间I 上的正值函数,且
)()(x x α?α?=-，)()()(2121x x x x β?α?βα?-?-=+ (,)R αβ?∈，
若()f x 在I 上是对数性下凸函数，则()()x f x ??是下凸函数。
证明：由于函数()f x 是对数性下凸函数，则对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈，有
)()())1((21121x f x f x x f λλλλ-≤-+
故
)()())1(()())1(())1((211212121x f x f x x x x f x x λλλ?λ?λλλλ?-??--?-≤-+?-+
)()()()(211211x f x f x x λλλλ??--???= λλ??-???=12211))()(())()((x f x x f x
又由引理2知
λλ??-???12211))()(())()((x f x x f x
))()()(1())()((2211x f x x f x ?-+?≤?λ?λ
从而 ))()()(1())()(())1(())1((22112121x f x x f x x x f x x ?-+?≤-+?-+?λ?λλλλλ? 故()()x f x ??是下凸函数。
定理9 设()f x 为区间I 上的正值函数，若()f x 是区间I 上的对数性下凸函数，则I x ∈?0，
1
0)()()(x x x f x f x g -?
???
?
?=
是区间I 上的增函数。
证明：记)(ln )(x f x h =， 由于()f x 为区间I 上的对数性下凸函数，故)(x h 为区间I 上的下凸函数，从而有I x ∈?0，过0x 的弦的斜率
0)
()()(x x x h x h x k --=
是关于x 的增函数，即
100000)()(ln )
(ln )(ln )()()(x x x f x f x x x f x f x x x h x h x k -???
? ??=--=--=
是关于x 的增函数，于是I x x ∈?21,，且21x x <，有
20
11
021
01)()(ln )()(ln x x x x x f x f x f x f --?
??? ??≤?
???
?
?
故
2011021
01)()()()(x x x x x f x f x f x f --?
???
?
?≤?
??? ?
?
既函数0
10)()()(x x x f x f x g -?
??
?
??=是关于x 的增函数。
定理10 设)(x f 为区间I 上的正值可微函数，则下述论断互相等价： （1）)(x f 为I 上的对数性下凸函数；
（2）)
()(x f x f '为I 上的增函数；
（3）对I 上的任意两点21,x x ，有
)()
()
()(ln )(ln 121112x x x f x f x f x f -'+≥。
证明： )2()1(?
2121,,x x I x x <∈?，取充分小的正数h ，由于h x x x h x +<<<-2211， )(x f 是区间I 上
的对数性下凸函数，由定理5，
h
x x h
x f h x f x f x f h x f x f 1
221121
11)()()()()()(1
2???
? ??-≤?
??? ?
?≤???? ??--
取自然对数后化简得：
h
x f h x f x x x f x f h h x f x f )
(ln )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln 22121211--≤
--≤-- 由于)(x f 是区间I 上可微函数，令+
→0h 时可得
21))((ln )
(ln )(ln ))((ln 1
212x x x x x f x x x f x f x f =='≤--≤'
即
)
()
()(ln )(ln )()(22121211x f x f x x x f x f x f x f '≤
--≤' 故
)()
(x f x f '是I 上的增函数。 )3()2(?
)(,,2121x x I x x <∈?，由于)(x f 在I 上可微，则由拉格朗日中值定理，),(21x x ∈?ξ，使
)()
()
()(ln )(ln 1212x x f f x f x f -'=-ξξ
又)
()(x f x f '为I 上的增函数，1x >ξ，从而
)()()()()()
()(ln )(ln 12111212x x x f x f x x f f x f x f -'≥-'=-ξξ （3）
（3）式化简得：)()
()
()(ln )(ln 121112x x x f x f x f x f -'+≥
)1()3(?
)(,,2121x x I x x <∈?，)1,0(∈?λ，令21)1(x x x λλ-+= ，则),(21x x x ∈
))(1(])1([212111x x x x x x x --=-+-=-λλλ
)(])1([122122x x x x x x x -=-+-=-λλλ
由（3）得：
)()()
()1()(ln )()()()(ln )(ln 2111x x x f x f x f x x x f x f x f x f -'-+=-'+≥λ （4） )()
()
()(ln )()()()(ln )(ln 1222x x x f x f x f x x x f x f x f x f -'+=-'+≥λ （5）
)1()5(,)4(λλ-??得：
)()
()
()1()(ln )(ln 211x x x f x f x f x f -'-+≥λλλλ （6）
)()
()
()1()(ln )1()(ln )1(122x x x f x f x f x f -'-+-≥-λλλλ （7）
（6）+（7）整理得：
))1((ln )(ln )(ln )1()(ln 2121x x f x f x f x f λλλλ-+=≥-+
故)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数。
定理 11 设)(x f 为区间I 上的正值函数，若)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则)(x f 为区间I 上的下凸函数。
证明：由于)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则引理3得：I x x ∈?21,，及所有的)
1,0(∈λ有
)()())1((21121x f x f x x f λλλλ-≤-+ 又由于)(x f 为区间I 上的正值函数，，则0)(1>x f ，0)(2>x f ，1)1(=-+λλ，从而由引理2
得：
)()1()()()(21211x f x f x f x f λλλλ-+≤-
由不等式的传递性得：
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 故)(x f 为区间I 上的下凸函数。
3.几何凸函数的基本性质 3.1 几何凸函数的定义
文[3]引入了几何凸函数的概念。
定义]3[3 设)(x f 是定义在区间+?R I （+R 表示),0(+∞）上的正值函数，如果对于任意I x x ∈21,和)1,0(∈λ，有
()()λ
λ
λ
λ--≤121121)()()(x f x f x x f （8）
则称)(x f 在区间I 上是几何下凸的；如果（8）中不等号反向，则称)(x f 在区间I 上是几何上凸的。
3.2 几何凸函数的基本性质
文[3]研究获得了几何凸函数的如下性质。
定理 ]3[12 设)(x f 是定义在区间+?R I 上的正值函数，)(x f 在I 上存在二阶导数，则 （1）)(x f 在I 上为几何下凸函数的充要条件为对于任意I x ∈，有
0)()(]))(()()([2≥'+'-''x f x f x f x f x f x ，
（2）)(x f 在I 上为几何上凸函数的充要条件为对于任意I x ∈，有
0)()(]))(()()([2≤'+'-''x f x f x f x f x f x .
4 几何凸函数的六个性质
在本文中，我们研究获得了几何凸函数的如下六个性质。
定理13 设)(x f 是定义在区间+?R I 上的正值函数，)(x f 在I 上存在二阶导数，若)(x f 是I 上单调递增对数性下凸函数，则)(x f 是I 上的几何下凸函数。
证明：由于)(x f 是I 上单调递增对数下凸函数，则由引理4得：
I x ∈?，2))(()()(x f x f x f '≥''，0)(≥'x f
从而0)()(]))(()()([2≥'+'-''x f x f x f x f x f x ，故由定理12， )(x f 是I 上的几何下凸函数。
定理 14 设)(x f 是定义在+?R I 上的正值函数，如果任意的+?∈R I x x 21,，
)()(121α
αα?-=x x f 为区间]1,0[的对数性下凸函数，则)(x f 是区间I 上的几何下凸函数。
证明：由于+?∈?R I x x 21,，)()(121α
αα?-=x x f 为]1,0[上的对数性下凸函数，则]1,0[,21∈?αα及所有的实数)1,0(∈λ有
)()())1((21121α?α?αλλα?λλ-≤-+
取0,121==αα得：
)0()1()(1λλ??λ?-≤
即
)()()(211
121x f x f x x f λ
λλλ--≤ 故)(x f 是区间I 上的几何下凸函数。
定理 15 设)(1x f ,)(2x f 定义在区间+
?R I 上的正值函数，若)(1x f ,)(2x f 是区间I 上的几何下凸函数，则)()(21x f x f +为区间I 上的几何下凸函数。
证明：记)()()(21x f x f x g +=，由于)(1x f ,)(2x f 是区间I 上的几何下凸函数，由定义3，
I x x ∈?21,及所有的实数)1,0(∈λ，有
)()()()()()()(21212211
1112121211121x f x f x f x f x x f x x f x x g λλλ
λλλλλλλ-----+≤+= 又由于)(1x f ,)(2x f 定义在区间+
?R I 上的正值函数，从而0)(1>x f ,0)(2>x f ，1)1(=-+λλ，于是由Holder 不等式]3[得：
λλλλλλ---+?+≤+121212*********)]()([)]()([)()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f
由不等式的传递性得：
λλλλλλ---+?+≤+1212112121211)]()([)]()([)()(x f x f x f x f x x f x x f
即
)()()(211121x g
x g x x g λ
λλλ--= 故)()(21x f x f +为区间I 上的几何下凸函数。
推论 设)(1x f ,)(2x f 定义在区间+?R I 上的正值函数，若)(1x f ,)(2x f 是区间I 上的几何
下凸函数，则)()(21x f x f βα+（βα,是不全为零的非负实数）也为区间I 上的几何下凸函数。
证明：由于)(1x f 是区间I 上的几何下凸函数，则由定义3，]1,0[,21∈?x x 及所有的实数)1,0(∈λ有
()()
λ
λ
λλ--≤121111211)()()(x f x f x x f
两边同时乘以非负实数α得：
()()
λλλ
λαα--≤121111211)()()(x f x f x x f ()()λ
λλλα--+=12111)1()()(x f x f
λ
λαα-=12111))(())((x f x f 故)(1x f α为区间I 上的几何下凸函数
同理可证)(2x f β（β是非负实数）为区间I 上的几何下凸函数，又由定理15，)()(21x f x f βα+（βα,是不全为零的非负实数）也为区间I 上的几何下凸函数。
定理 16 设)(),(x f x ?定义在区间+?R I 上的正值函数，)()()(2121x x x x βαβ
α???=（R ∈?βα,），若)(x f 为区间I 上的几何下凸函数，则)()(x f x ?为区间I 上的几何下凸函数。
证明：由于)(x f 为区间I 上的几何下凸函数，则由定义3，I x x ∈?21,及所有的实数)
1,0(∈λ有
()()λ
λ
λλ--≤121121)()()(x f x f x x f
又由于 )()()(211121x x x x λλλ
λ???--=
从而有
()()λλλ
λλλ???---≤12
211121121)()()()()()(x f x x f x x x f x x （9） 由于)(x ?，)(x f 为定义在区间+
?R I 上的正值函数以及（9）式，由定义3知， )()(x f x ?为
区间I 上的几何下凸函数。
定理17 设区间+?R M I ,，M I f →:，若)(x f y =为区间I 上的严格增加的对数性下凸函数，则)(1
x f
y -=为M 上的严格增加的几何上凸函数。
证明：由于)(x f y =为区间I 上严格增加的，故)(x f y =在I 上的反函数)(1x f y -=在M 上
是严格增加的。
M y y ∈?21,，则I x x ∈?21,，使)(111y f x -=，)(212y f x -=，)(11x f y =，)(22x f y = 又由于)(x f y =为区间I 上对数性下凸函数，则由引理3，对所有的实数)1,0(∈λ有
)()())1((21121x f x f x x f λλλλ-≤-+
即
λ
λλλ-≤-+12121))1((y y x x f
由于I x x ∈21,，M y y ∈21,，则I x x ∈-+21)1(λλ，M y y ∈-λ
λ121，从而
)()1(121121λ
λλλ--≤-+y y f x x
即
)()()1()(12112111λ
λλλ----≤-+y y f y f y f
由于0)(11>-y f ，0)(21>-y f ，1)1(=-+λλ，由于引理2得：
λλλλ------≤1211112111))(())(())(())((y f y f y f y f
从而有λλλ
λ-----≥121111211))(())(()(y f y f y y f ，故)(1x f y -=为M 上的几何上凸函数。
参考文献
[1] 刘芳园,田宏根.对数性凸函数的一些性质[J].新疆师范大学学报,2006,25(3):22-25. [2] 王传坚.对数性凸函数的性质及应用[D].楚雄:楚雄师范学院,2007.
[3] 吴善和.几何凸函数与琴生型不等式[J].数学的实践与认识,2004,34(2),155-163. [4] 华东师范大学数学系编.数学分析[M]（上册）.北京:高等教育出版社,2001:148-153. [5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006:267-278. [6] 匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科教出版社,2004:3-4.
致 谢
感谢数学系老师四年来的教导与关心！感谢郎开禄老师在我论文的选题及写作过程中对我的精心指导与帮助！
幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象
6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③；
函数的凸性及应用文献综述 文献综述 函数的凸性及应用 一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点) 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义,最早是由Jersen给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只研究具有二阶导数的凸函数。本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:凸函数在证明Jensen不等式时的应用;凸函数在Hadamard不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。 二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述) 凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展,在现代学习应用函,和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数．数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。 2.1凸函数的定义 2.1.1凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。 数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。 葛丽萍[3]介绍了以下的结论:若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。 2.1.2严格凸函数的定义 江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。
对数函数及其性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 要点二、对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象
性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函 数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律
§5. 函数的凹凸性与拐点 教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。 教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸 性证明某些有关的命题。 教学重点：利用导数研究函数的凸性。 教学难点：利用凸性证明相关命题。 教学方法：讲授与练习。 教学学时：2学时。 引言： 前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。 一、函数凹、凸性的定义： 在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y y B A B A o 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数 特点???? ???????? ??---+≥∈??????---+≤∈?) ()()()()(),()()()()()(),(1 121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧 凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(211 2221∈-+=?<--=
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
对数性凸函数和几何凸函数的一些性质 张晶晶 (楚雄师范学院数学系2004级1班,) 指导老师郎开禄 摘要: 在本文中，获得了对数性凸函数的五个性质和几何凸函数的六个性质。 关键词: 凸函数; 对数性凸函数; 几何凸函数；基本性质 The research on some properties of logarithmatical convex function and geometric convex function Abstract: In this paper, the author gives five properties of logarithmatical convex function and six properties of geometric convex function by studying the fundamental properties. Key Words: Convex Function; Logarithmatical Convex Function; Geometric Covex Function;Fundamental Property 导师评语： 在文[1] ( [1]. 刘芳园,田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》, 2006, 25(3): 22-25.)及文[2]( [2] .王传坚.对数性凸函数的性质及应用[D].楚雄师范学院03级优秀毕业 论文)等中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的 基本性质的一些应用.文[3]( [3] .吴善和.几何凸函数与琴生型不等式[J].《数学的实践与认识》，2004,34(2),155-163)讨论了几何凸函数与琴生型不等式的关系. 受文[1]- [3]的启发,在文[1]- [3]的的基础上, 张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>进一步研究对数性凸函数和几何凸函数的性质,获得了对数性凸函数的五个性质 (论文中的定理7至定理11),获得了几何凸函数的六个性质 (论文中的定理13至定理17及推论). 张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>选题具有理论与实际意义,通过深入研究, 在文[1]- [3]的基础上,该论文获得了对数性凸函数的五个性质,获得了几何凸函数的六个性质.该论文完成有相当的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,爱钻研,能吃苦,独立性强. 对数性凸函数和几何凸函数的一些性质 前言 凸函数是一类重要的函数，它有许多很好的性质,并有广泛的应用，特别是在不等式的证明中发挥着无可代替的作用，受文[1]、[2]、[3]的影响，本文得到了对数性凸函数和几何凸函数的几个性质。 1.对数性凸函数的基本性质
课题： 对数函数的定义 教学目标： 知识与技能：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初 步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模 型； 过程与方法：能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解 对数函数的单调性与特殊点； 情感态度价值观：通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函 数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方 法，学会研究函数性质的方法． 教学重点：掌握对数函数的图象和性质． 教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用． 教学过程： 一、 创设问题情景 1．（知识方法准备） ○ 1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ 设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质． ○ 2 对数的定义及其对底数的限制． 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备． 2．（引例） 教材P 81引例 处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表： 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t 然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P 的取 值，通过对应关系P t 2 15730log =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数” ．（进而引入对数函数的概念） 二、 新结论的探究 （一）对数函数的概念 1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ） 其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○ 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 巩固练习：（教材P 68例2、3） 三、探索开发新结论 对数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究： ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机） （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大第一象限的图 象纵坐标都大0log ,1>>x x a 0log ,10>< 凸函数的性质 【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】 通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和 2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式” 1212() [(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※) 或 () 11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※) [其中1t 和2t 为正数且121=+t t ] 它的特别情形(取2 1 = t )是 ()()()121222f x f x x x f >++?? < ??? ()21x x ≠ (※※※) 在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。 因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。 （一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一， 设231x x x <<，则21 21 3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。 根据琴生不等式(※※)， )(3x f )()(2121311232x f x x x x x f x x x x --+--< [注意1 213212321,x x x x t x x x x t --=--=] 图一 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如 y log a x( a 0且 a 1) 的函数叫做对数函数 . 说明：（ 1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为 1； ②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数； ③自变量为真数 . 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于 1。 2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y log a x (a 0, a 1) 是指数函数 y a x (a 0, a 1) 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称。 ②若函数 y f ( x) 上有一点 (a, b ) ，则 (b, a) 必在其反函数图象上， 反之若 (b, a) 在反函 数图象上，则 ( a, b) 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数 y a x (a 0, a 1) 的定义域 x R ，值域 y 0 ， 容易得到对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的定义域为 x 0 ，值域为 R ，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3、．对数函数的图象和性质 定义 y log a x (a 0且 a 1) 底数 a 1 0 a 1 图象 定义域 (0, ) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点 (1,0) ，即 log a 1 函数值x (0,1) y ( ,0); x [1, ) x (0,1) y (0, ); x [1, ) 特征 y [0, ) y ( ,0] 对称性 函数 y log a x 与 y log 1 x 的图象关于 x 轴对称 a 4．对数函数与指数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y a x (a 0, a 1) y log a x (a 0, a 1) 函数凹凸性判别法与应用 作者：祝红丽 指导老师：邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x =在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化. 2 凹凸函数及拐点的定义 我们已经熟悉函数2 y x =和lg y x =的图象. X凸函数的性质
对数函数知识点
函数凹凸性判别法与应用
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结