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凸函数上凸下凸凹函数凸函数、上凸函数、下凸函数和凹函数是数学中常见的函数类型，它们在经济学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍这些函数类型的定义、性质和应用。
一、凸函数的定义和性质凸函数是定义在实数区间上的一类函数，它具有很好的几何性质。
具体来说，如果函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件，那么它就是凸函数：1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≤tf(a)+(1-t)f(b)。
这个条件称为凸函数的Jensen不等式。
从几何上来看，Jensen不等式意味着函数图像上任意两点之间的连线位于函数图像的下方。
这个性质被称为凸函数的上凸性。
凸函数的性质包括以下几个方面：1.凸函数的上凸性。
对于凸函数f，任意两点a和b以及他们之间的连线位于函数图像的下方。
2.凸函数的上确界性质。
如果函数f在一些区间上凸且上有界，那么在该区间上必存在一个唯一的点c，使得f(x)≤f(c)，对于任意的x∈区间。
3.凸函数的导数性质。
凸函数的导函数是非递减的。
也就是说，如果函数f在一些区间上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非负。
凸函数有许多应用，特别是在经济学和运筹学中。
经济学家和决策者常常使用凸函数来描述效用函数、成本函数、收益函数等。
在运筹学中，凸函数被广泛应用于线性规划、非线性规划和凸优化等问题的建模和求解。
二、上凸函数和下凸函数的定义和性质上凸函数和下凸函数是凸函数的两个特殊情况。
上凸函数是指函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件：1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≥tf(a)+(1-t)f(b)。
上凸函数的性质包括：1.上凸函数是凸函数的一种特殊情况。
也就是说，任何一个上凸函数都是凸函数。
2.上凸函数的导数是非递增的。
也就是说，如果函数f在一些区间上上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非正。
什么是凸函数及如何判断⼀个函数是否是凸函数t元j⼀、什么是凸函数 对于⼀元函数f(x)，如果对于任意tϵ[0,1]均满⾜：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为凸函数(convex function) 如果对于任意tϵ(0,1)均满⾜：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为严格凸函数(convex function) 我们可以从⼏何上直观地理解凸函数的特点，凸函数的割线在函数曲线的上⽅，如图1所⽰：从f(x1)连⼀条线到右侧的虚线，利⽤三⾓形边的⽐例性质可以推出中间虚线与上⾯直线交点的值 上⾯的公式，完全可以推⼴到多元函数。
在数据科学的模型求解中，如果优化的⽬标函数是凸函数，则局部极⼩值就是全局最⼩值。
这也意味着我们求得的模型是全局最优的，不会陷⼊到局部最优值。
例如⽀持向量机的⽬标函数||w||2/2就是⼀个凸函数。
⼆、如何来判断⼀个函数是否是凸函数呢？ 对于⼀元函数f(x)，我们可以通过其⼆阶导数f″(x) 的符号来判断。
如果函数的⼆阶导数总是⾮负，即f″(x)≥0 ，则f(x)是凸函数 对于多元函数f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的⼆阶导数组成的⽅阵）的正定性来判断。
如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)凸函数三、Jensen不等式 对于凸函数，我们可以推⼴出⼀个重要的不等式，即Jensen不等式。
如果 f 是凸函数，X是随机变量，那么f(E(X))≤E(f(X))，上式就是Jensen不等式的⼀般形式 我们还可以看它的另⼀种描述。
假设有 n 个样本{x1,x2,...,x n}和对应的权重{α1,α2,...,αn}，权重满⾜a i⩾，对于凸函数 f，以下不等式成⽴：f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_ix_i) \leq \sum_{i=1}^{n}\alpha_if(x_i)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。
凸集和凸函数凸集和凸函数是数学中一些重要的概念。
它们的应用范围广泛，涉及到诸如优化、几何学、经济学、物理学等领域。
本文将分步骤阐述凸集和凸函数的定义、性质及应用。
一、凸集的定义和性质凸集是指在欧几里得空间中，对于其中的任意两点，它们之间的连线都落在该集合内。
换句话说，凸集中的任何一条线段都是完全落在凸集内的。
要说明集合是凸的，需要证明其满足如下两个条件：①对于其中的任意两点x和y，它们之间的任意一个点z，都应该满足z=λx+(1-λ)y（其中0≤λ≤1）；②该集合是一个凸组合的闭包。
凸集有以下性质：1. 任意两个凸集的交集也是凸集；2. 凸集的闭包是凸集；3. 凸集的凸壳是凸集；4. 凸集的极小凸包是凸集；5. 凸集是连通的。
二、凸函数的定义和性质凸函数是指在函数图像下方的区域是凸集。
凸函数有以下几个特征：1. 任意两个点的线段都落在函数图像下方；2. 函数的一阶导数递增或数值非负；3. 函数的二阶导数数值非负。
凸函数具有以下性质：1. 任意两个凸函数的和是一个凸函数；2. 凸函数的下凸包是凸函数；3. 凸函数的上凸包是凸函数；4. 若函数f在定义域D内是凸的，那么其上任意一点的全体支撑线构成的集合是非空凸集。
在实际应用中，凸函数可用于优化问题、光学物理等方面。
因为凸函数有唯一的最小值和全局最小值，这种性质对于优化问题非常重要。
光学物理中，利用凸函数可对某些照明系统进行设计。
三、凸集和凸函数的应用凸集和凸函数的应用非常广泛。
它们在很多领域都得到了充分的应用，下面将简单介绍一些常见应用：1. 最优化问题。
凸函数有唯一的最小值和全局最小值，因此可以用于优化问题中，如线性规划、非线性规划等。
2. 几何形状分析。
凸集的定义是指一个区域内的两点连线都在该区域内，因此凸集可以用于分析几何形状。
3. 光学物理。
利用凸函数可以对光学系统进行设计，尤其是在非均匀照明下平均照度问题的解决中可以应用到凸函数。
4. 机器学习。
凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。
它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。
本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。
一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。
定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。
性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。
2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。
二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。
1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。
1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。
由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。
02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。
函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。
仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。
⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。
如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。
那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。
解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。
上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
凸函数的知识点总结一、凸函数的定义凸函数是一种具有很多重要性质的函数。
在数学上，凸函数的定义如下：设$f$是定义在实数集上的函数，如果对于任意的$x_1, x_2$和任意的$t \in [0,1]$，都有$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$，则称$f$是凸函数。
凸函数的定义实际上描述了函数图像上两点之间的连线位于函数图像之上，即函数的下凹性。
二、凸函数的性质1. 一阶导数的非减性：凸函数在其定义域上是处处可导的，在其定义域上的各点处，函数的导数保持不减。
2. 二阶导数的非负性：凸函数在其定义域上是处处二阶可导的，并且在其定义域上的各点处，函数的二阶导数大于等于零。
3. 零阶条件：如果$f$是定义在实数集上的连续函数，那么$f$是凸函数当且仅当对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
三、常见的凸函数1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中$a, b \in \mathbb{R}$，且$a \geq 0$。
2. 指数函数：$f(x) = e^{ax}$，其中$a \geq 0$。
3. 幂函数：$f(x) = x^a$，其中$a \geq 1$或$0 \leq a \leq 1$。
4. 对数函数：$f(x) = \log(x)$，其中$x > 0$。
四、凸函数的应用1. 在优化领域中，凸函数是一类非常重要的函数。
因为凸函数具有许多良好的性质，比如局部最小值也是全局最小值、一阶导数大于零等等。
所以在优化问题中，可以采用凸函数作为目标函数或约束条件，从而使得问题更容易求解。
2. 在经济学中，凸函数通常被用来描述一些经济变量之间的关系。
比如成本函数、效用函数等都可以用凸函数来描述。
3. 在凸优化问题中，凸函数也是一种标准形式的函数。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。
一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。
如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。
2.凸函数的二阶导数是非负的。
3.函数的局部极小值点是凸函数。
4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。
三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。
下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。
3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。
4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。
我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。
在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。
它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用凸函数（Convex function）是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。
在证明不等式中，凸函数的性质可以帮助我们简化问题，提供了一种有效的方法。
1. 定义：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2∈R以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么f(x)是凸函数。
2.几何意义：凸函数的几何意义可以通过以下两点来理解。
首先，凸函数的图像上的任意两点形成的线段在函数图像的上方或者处于函数图像上。
其次，凸函数的下方的切线都位于函数图像下方。
3.一阶导数条件：对于凸函数来说，一阶导数是单调递增的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f'(x)≥0。
4.二阶导数条件：凸函数的二阶导数是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f''(x)≥0。
凸函数在证明不等式中的应用：1.约束条件：凸函数在一些约束条件下的最大值或最小值通常是问题的关键。
我们可以通过构造一个约束函数和一个目标函数，来求解最优化问题。
通常情况下，约束函数是一个凸函数，而目标函数是可以转化为凸函数的。
2.差分近似：在证明不等式过程中，我们常常需要利用凸函数近似一些复杂的函数。
这是因为凸函数在大部分区间上是递增的，所以可以将复杂的问题简化为凸函数问题。
3. Jensen不等式：Jensen不等式是证明凸函数不等式的重要工具。
Jensen不等式指出，如果f(x)是凸函数且x1, x2, ..., xn是任意实数，那么有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)，其中λ1, λ2, ..., λn是非负实数且满足λ1+λ2+...+λn=14. Karamata不等式：Karamata不等式是一种更加广义的不等式，可以被用于证明许多重要的几何不等式。
这个不等式是基于对凸函数定义的一个扩展。
凸函数的图像凸函数在数学中具有广泛的应用，它的图像也具有一些独特的特点。
凸函数的图像呈现出一种弯曲的形状，无论是在二维还是多维的情况下都是如此。
本文将从凸函数定义、性质以及图像特点三个方面介绍凸函数的图像。
一、凸函数的定义及性质凸函数是指在定义域上的两点之间的线段均在函数的图像上方，这里的图像指的是函数图像在直角坐标系中所构成的线条。
换句话说，凸函数是一种具有向上弯曲形状的函数图像，它的斜率是单调递增的。
除了以上的定义特点，凸函数还具有以下几个性质：1. 凸函数的导函数单调递增。
2. 对于任意的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB的线段上的所有点都在凸函数的图像上。
3. 在函数图像上任取两点A、C，且C在A的右侧，设B是直线AC与函数图像交点，若D是函数图像上一点，且D位于BC 上，那么有f(D)≤g(D)，其中f(x)表示x在函数图像上对应的值，g(x)表示连接AB的线段上x对应的值。
二、凸函数的图像特点在了解了凸函数的定义和性质后，我们可以更深入地探讨凸函数的图像特点。
凸函数的图像呈现出一种向上弯曲的形状，且无论是在二维还是多维平面上都是如此。
以下是凸函数图像的一些具体特点：1. 凸函数的图像上没有尖点、断点以及拐点。
这里的尖点指的是函数图像出现俯仰的地方，可以想象成岩石的尖端，而断点则是函数图像出现断裂的地方，拐点则是函数图像在某一点处发生拐弯的地方。
凸函数的图像上不存在这些特殊的点，它们的图像始终是一条向上的曲线。
2. 凸函数的图像始终在斜率变化缓慢的地方具有凸性。
凸函数的导数始终是单调递增的，使得函数的斜率变化非常缓慢。
因此，即使在复杂的几何形状中，凸函数的图像看起来也是连续且凸起的。
3. 凸函数的图像具有可分离性。
凸函数的图像始终能够在平面上被完全包含，并且没有交叉，这种形状被称为可分离形状。
这种形状具有很强的可视化特性，使人们更容易理解它们的形状和性质。
三、凸函数在实际应用中的使用不同学科领域中，凸函数的特性得到了广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 在经济学中凸函数被用于描述惠更斯-斯蒂格利兹法的规律。
对数性凸函数和几何凸函数的一些性质张晶晶(楚雄师范学院数学系2004级1班,)指导老师郎开禄摘要: 在本文中，获得了对数性凸函数的五个性质和几何凸函数的六个性质。
关键词: 凸函数; 对数性凸函数; 几何凸函数；基本性质The research on some properties of logarithmatical convexfunction and geometric convex functionAbstract: In this paper, the author gives five properties of logarithmatical convex function and six properties of geometric convex function by studying the fundamental properties.Key Words: Convex Function; Logarithmatical Convex Function; Geometric CovexFunction;Fundamental Property导师评语：在文[1] ( [1]. 刘芳园,田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》, 2006, 25(3): 22-25.)及文[2]( [2] .王传坚.对数性凸函数的性质及应用[D].楚雄师范学院03级优秀毕业论文)等中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用.文[3]( [3] .吴善和.几何凸函数与琴生型不等式[J].《数学的实践与认识》，2004,34(2),155-163)讨论了几何凸函数与琴生型不等式的关系.受文[1]- [3]的启发,在文[1]- [3]的的基础上, 张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>进一步研究对数性凸函数和几何凸函数的性质,获得了对数性凸函数的五个性质 (论文中的定理7至定理11),获得了几何凸函数的六个性质 (论文中的定理13至定理17及推论).张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>选题具有理论与实际意义,通过深入研究, 在文[1]- [3]的基础上,该论文获得了对数性凸函数的五个性质,获得了几何凸函数的六个性质.该论文完成有相当的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,爱钻研,能吃苦,独立性强.对数性凸函数和几何凸函数的一些性质前言凸函数是一类重要的函数，它有许多很好的性质,并有广泛的应用，特别是在不等式的证明中发挥着无可代替的作用，受文[1]、[2]、[3]的影响，本文得到了对数性凸函数和几何凸函数的几个性质。
1.对数性凸函数的基本性质1.1 凸函数的定义定义]1[1 设)(x f 在区间I 上有定义,如果对任意I x x ∈21,和所有实数)1,0(∈λ有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (1)成立，则称()f x 在区间I 上为下凸函数。
如果21x x ≠，（1）式严格不等式成立，则称()f x 在区间I 上为严格下凸函数。
若（1）式中不等号反向，则称()f x 在区间I 上为上凸函数。
1.2 对数性凸函数的定义定义]1[`2 设)(x f 为区间I 上的正值函数，如果ln ()f x 在区间I 上为下凸函数，即对任意的I x x ∈21,和所有的实数)1,0(∈λ有)()1()())1((ln 211x f x f x f λλλλ-+≤-+ (2)成立，则称)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数，如果对于21x x ≠，（2）式严格不等式成立，则称)(x f 在区间I 上为严格对数性下凸函数。
若（2）式中不等号反向，则称)(x f 在区间I 上为对数性上凸函数。
1.3 对数性凸函数的基本性质文[1]研究获得了以下对数性凸函数的性质。
引理]1[1 设)(x f 为区间I 上正值函数，则)(x f 在区间I 为下凸函数的充要条件是在区间I 上0)(≥''x f 。
引理]1[2 若0,0≥≥y x 且111=+q p ，1>p 则y qx p y x q p 1111+≤，其中等式成立当且仅当y x =.引理]1[3 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意的I x x ∈21,和所有的实数)1,0(∈λ有)()())1((21121x f x f x x f λλλλ-≤-+引理]1[4 设)(x f 为区间I 上的正值函数且二阶可导，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意x I ∈有2))(()()(x f x f x f '≥''性质]1[1 如果函数)(1x f 和)(2x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则)()(21x f x f ⋅也为区间I 上的对数性下凸函数。
推论]1[1 如果函数).,2,1)((n i x f i =为区间I 上的对数性下凸函数，则∏=ni i x f 1)(也为区间I 上的对数性下凸函数。
性质]1[2 如果函数)(1x f 和)(2x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则)()(21x f x f +也为区间I 上的对数性下凸函数。
推论]1[2 如果函数).,2,1)((n i x f i =为区间I 上的对数性下凸函数，则∑=ni i x f 1)(也为区间I 上的对数性下凸函数。
性质]1[3 如果函数)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则)(1x f 为区间I 上的对数性上凸函数。
性质]1[4 设)(μf 为定义在区间I 上的正值函数，B A x →:)(ϕ，其中B A ,为区间，I B ⊆，若)(μf 为区间I 上严格增的对数性下凸函数且)(x ϕμ=在A 区间上为下凸函数，则))((x f ϕ为区间A 上的对数性下凸函数。
性质]1[5 如果一个正值函数)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数，则)(x f e x ⋅α对所有的α值是下凸函数。
性质]1[6 如果任意的))1(()(,,2121x x f I x x αααϕ-+=∈为区间]1,0[上的对数性下凸函数，则)(x f 是区间I 上的对数性下凸函数。
受文[1]的启发，在文[1]的基础上，文[2]研究获得了以下对数性凸函数的七个性质。
定理 ]2[1 如果函数)(x f ，)(x g 为区间I 上的对数性下凸函数，则)()(x g x f βα+（βα,是不全为零的非负实数）也为区间I 上的对数性下凸函数。
定理 ]2[2 设)(x f 和)(x ϕ都为区间I 上的正值函数, 且)()(x x αϕαϕ=，)()()(2121x x x x βϕαϕβαϕ⋅=+ R ∈∀βα,，若)(x f 在I 上是对数性下凸函数，则)()(x f x ⋅ϕ是下凸函数。
定理 ]2[3 若)(x f 为区间I 上的正值函数，则以下三个条件等价： （1）. )(x f 为区间I 上的对数性下凸函数；（2）. ),,2,1(1,0,1n i I x ni ii i ==≥∈∀∑=λλ,有∏∑==≤ni in i ii x f x f i11)()(λλ.（3）. ),,2,1(,n i I x i i =∈∀λ是不全为零的非负实数，有∏=+++≤+++++ni i n nn x f x x x f ni1212211)()(21λλλλλλλλλλ .定理 ]2[4 设函数)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则函数)(x f 在I 的任意闭子区间上有界。
定理 ]2[5 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<，总有2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 推论]2[ 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<，总有231312123113112)()()()()()(x x x x x x x f x f x f x f x f x f ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 定理 ]2[6 设)(x f 为区间I 上的正值函数，则)(x f 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<， 都有01)(ln 1)(ln 1)(ln 332211≤x x f x x f x x f 2.对数性凸函数的五个性质在本文中，我们研究获得了对数性凸函数的如下五个性质。
定理7 设)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，则对I 上任意四点4321x x x x <<<，总有3412134112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛证明：设)(x f 为区间I 上的对数性下凸函数，由定理5，43214321,,,,x x x x I x x x x <<<∈∀，总有2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，3423134123)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛于是由不等式的传递性，有3412134112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 定理 8 设()f x 和()x ϕ都为区间I 上的正值函数,且)()(x x αϕαϕ=-，)()()(2121x x x x βϕαϕβαϕ-⋅-=+ (,)R αβ∀∈，若()f x 在I 上是对数性下凸函数，则()()x f x ϕ⋅是下凸函数。
证明：由于函数()f x 是对数性下凸函数，则对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈，有)()())1((21121x f x f x x f λλλλ-≤-+故)()())1(()())1(())1((211212121x f x f x x x x f x x λλλϕλϕλλλλϕ-⋅⋅--⋅-≤-+⋅-+)()()()(211211x f x f x x λλλλϕϕ--⋅⋅⋅= λλϕϕ-⋅⋅⋅=12211))()(())()((x f x x f x又由引理2知λλϕϕ-⋅⋅⋅12211))()(())()((x f x x f x))()()(1())()((2211x f x x f x ⋅-+⋅≤ϕλϕλ从而 ))()()(1())()(())1(())1((22112121x f x x f x x x f x x ⋅-+⋅≤-+⋅-+ϕλϕλλλλλϕ 故()()x f x ϕ⋅是下凸函数。
