解析几何填空选择压轴题(含答案)解析-

【高中数学】数学《平面解析几何》复习知识要点一、选择题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程． 【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．2．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得AF =u u u v【详解】根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.3．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A ．3B 3C ．2D ．22【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.【详解】 由22224(42)02y x b x b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 121222,24b p b x x x x +=-=-，因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，125x =-，所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1） 又直线l 经过C 的焦点，则,22b pb p -=∴=- （2）由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】解：由抛物线的方程 可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =， 由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==gg g ， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．5．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x yx y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点()2,2，()2,2-，()2,2--，()2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.8．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a 4a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ． 【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率， 切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.因为切线与圆相切，所以22a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．3-B ．2-CD 1【答案】D 【解析】由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQPQα===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P ．设204x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得(21)P ，±，所以2PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴1a =，1c =，∴1ce a==，故选D ．13．已知曲线()2222:100x y C a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（ ）A BC D【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得124,2PF a PF a == ，由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ，即有2224208c a a =+，即227c a =，可得c =，即ce a==【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．14．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A【解析】 【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为b y x a=±=±. 【点睛】 本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.15．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.16．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解.【详解】由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+.圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===，即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0)，直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.17．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C ．3D ．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】 由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-，解得21122a c AF -=，1722a c AF -=， 直线1AF 与b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.18．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A【解析】 分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率. 详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ= ∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵AP BP <u u u v u u u v∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限） ∴2(,)b P c a ，2(,)b B c a - ∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x y a b +=- ∴()(,)a c b A c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈ ∴35e =故选A. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．19．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ）AB．3 C．2 D【答案】B【解析】【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率.【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =， 11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+- 222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=，因此椭圆的离心率为223c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.20．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A 75-B 73-C ．532-D 31- 【答案】A【解析】【分析】 根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得2212302x y x y +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．。

几何综合结论1. （2020深圳）如图，矩形纸片個8中,AB=6. 5（7=12.将纸片折叠，使点3落在边"的延长线上的点 G 处，折痕为肪 点E 、尸分别在边血和边證上.连接％,交CD 于点、K, FG 交CD 于点、H.给出以下结 论： ① EF1BG ；② GE=GF ：③ 冰和2X00的而积相等；④ 当点尸与点Q 重合时，Z/?£F=75° ,其中正确的结论共有（ ）【解答】解：如图，连接宓设EFG BG 交于点0,•••将纸片折叠，使点〃落在边〃的延长线上的点G 处,B. 2个 C. 3个D. 4个:.EFIBG, BO=GO. BE=EG, BF= FG,故①正确,AD//BC.:・ZEGO= ZFBO、又T ZEOG= ZBOF,:.、BOZ'GOE (ASA\:・BF=EG,:・BF=EG=GF、故②正确，•: BE=EG=BF=FG、・••四边形购沪是菱形，:•乙BEF= ZGEF,当点尸与点Q重介时，则BF=BC=BE=\2,TsinZ 遊「，•••ZM5=30° ,:・ZDEF=W,故④正确，由题意无法证明△宓和△GAZf的而积相等，故③错误：故选：C.2.（2020贵州铜仁）如图，正方形個力的边长为4,点厅在边曲上，BE=\,ZQLW=45°，点尸在射线刖上，且过点尸作“的平行线交BA的延长线于点H, 67■与初相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论：①尸的而积为S②△庇G的周长为&③必=亦+血：其中正确的是（）A.①(D ③B. @@C.①②【解答】解：如图，在正方形個8中，AD//BC. AB=BC=AD=49AZZ£W=90° ,HF//AD.AZ J ^=90° ,VZ2£4F=90° - ZMQ45° >AAFH=AHAF.:.AH=HF=\=BE.:.EH=AE^AH=AB- BE ・AH=4 = BC 、:AEHFg'CBE (SAS'、:・EF=EC, ZHEF= ZBCE,•:乙BCE+乙BEC=9$ ,:・HEHZBEC=9y »:.ZFEC=9Q° ,:■ \ CEF 是等腰直角三角形, 在 R 仏CBE 中，BE=1. BC=A. H 刀D.②③ ZB=ZBAD=9Q Q ,:.EC=BE+BC = 17.=i=g =兰：£g云EF・EC 2EC 2\故①正确；过点尸作FQLBC于0,交.AD于P,•••Z 时=90° = ZH= ZHAD.・••四边形北明是矩形，•: AH=HF,.•・矩形册叨是正方形，:.AP=PH=AH=\,同理：四边形测是矩形，:.PQ=AB=\y BQ=AP1、FQ=FP-PQ=z. CQ=BO BQ=3、•: AD〃BC,•••△/TVs △磁，FP _况. 五一&在RtAEAG 中，根据勾股宦理得，EG°V/i^=4,=空 Is t 2旳工空 Is 产云 :・E C 羊D C+B E,故③错误，・•・正确的有①故选：C.:.AG=AP^PG'AEG 的周长为 AG-E&rAEI r 3=8,敬②正确; 25:.DG^BE 1£7•: EC= ( 3:.DG=AD- AG3. （2020黑龙江鹤岗）如图，正方形 馭7?的边长为⑦ 点&在边月万上运动（不与点川3重合），ADAM= 45°，点尸在射线凡『上，且AF ^^BE,仔■与血相交于点G,连接应'、EF 、EG.则下列结论： ① ZECF= 45° :② △近的周长为（1 <3：③ B »D C=E C ；④△轩的而积的最大值是肚其中正确的结论是（ ）•:BE=BH, Z 翊=90° ,:・AF=EH,⑤当BE 二;a 时，G 是线段初的中点.A.①②③B.②④⑤C.①®®D.①④⑤ 【解答】解：如图1中, 任BC 上截取BH=庞,连接筋•: ZDAM=ZEHB=45° , Z馳?=90° ,:・ZFAE=ZEHC=\35° ,•: BA=BC, BE= BH,:.AE=HC.:仏FAE^HEHC (SAS)、:・EF=EC, ZAEF= ZECH,•:乙EC出乙CEB=90° ,:.AAEF^ACEB=W y•••Z亦*90° ,:•乙ECF= ZEFC='M ,故①正确，如图2中.延长初到/ 使得BE,则厶CBMHCDH ISAS). :・ZECB= ZDCH、：.2LECH= ABCD=W ,:.ZECG=ZGCH=45° ,•: CG=CG、CE=CH.:.HGCE^HGCH (SAS),:・EG=GH,V GH=D&rDH. DH=BE、:・EG=BE+DG.故③错误，'AEG的周长=AE^EG-AG= AE-AH= AD-DH^AE= AE^E&vAD= A&rAD= 2a.故②错误,二屈 设殆F 贝^AE=a-x. AF 阳=—- 十一■ ■£> 2 W.Y ax解得-Y •:.AG=GD.故⑤正确,故选:D.4. （2020黑龙江绥化）如图，在Rt △磁中，G9为斜边初的中线，过点。

全国中考数学压轴题精选-解析几何71.（中考江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由． （中考江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AOH QCH ∠=∠=o Q ，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△．············································································· （1分） OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点． ···························································· （2分） 法二：(01)A Q ，，(01)B -，，OA OB ∴=． ·················································· （1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ···································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ Q ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ············································································· （3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ············································· （4分）②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y Q ∥轴，则(1)Q m -，，则2114PQ m =+． 过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中，x2114AP m PQ ====+=．∴平行四边形APQR为菱形． ····································································（6分）（3）设直线PR为y kx b=+，由OH CH=，得22mH⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m⎛⎫⎪⎝⎭，代入得：221.4mk bkm b m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，221.4mkb m⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线PR为2124my x m=-．·····················（7分）设直线PR与抛物线的公共点为214x x⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线PR关系式得：2211424mx x m-+=，21()04x m-=，解得x m=．得公共点为214m m⎛⎫⎪⎝⎭，．所以直线PH与抛物线214y x=只有一个公共点P．·······································（8分）72（中考黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C-，，点A B，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足10OA-=．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设ABP△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A B P，，为顶点的三角形与AOB△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x（中考黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）10OA -=Q230OB ∴-=，10OA -= ······································································· （1分）OB ∴=，1OA =Q 点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(0A B ∴，， ·················································································· （2分）（2）求得90ABC ∠=o············································································· （3分）(0(t t S t t ⎧<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（每个解析式各1分，两个取值范围共1分） ················································ （6分）（3）1(30)P -，；21P ⎛- ⎝；31P ⎛ ⎝；4(3P （每个1分，计4分） ··········································································································· （10分）注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．73（中考海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（中考海南省卷24题解析）（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分）将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x x y -=241. （6分） （2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BG CG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分）②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. （3） 存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b .将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得 1,21-==b k .∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -241)，∴ 21x -1=x x -241. ………………………………（13分）解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y .∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)74.（中考广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.（中考广东东莞22题解析）解：（1）…………………………1分等腰；…………………………2分（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°，∴ ∠PFB ＝∠2＝30°,∴ FP ＝BP.…………………………6分过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则FK BK ==∵ AF ＝t ，AB ＝8，∴ FB ＝8－t ，1(8)2BK t =-.DCAE图9图10在Rt △BPK中，1tan 2(8)tan 30)26PK BK t t =⋅∠=-︒=-. ……………………7分 ∴ △FBP的面积11(8)(8)226S FB PK t t =⋅⋅=⋅-⋅-， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：28)S t =-，或243S t =-分 t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分75（中考甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（中考甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE ∴=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． ··················································································· 2分 在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =Q ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， ······················································································ 3分（2）如图①PM ED Q ∥，APM AED ∴△∽△．PM AP ED AE ∴=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =-Q ．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+g 矩形 ·················································· 5分 21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<Q∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ······························································ 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①） 在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥Q ，P ∴为AE 的中点，1522t AP AE ∴===．又PM ED Q ∥，M ∴为AD 的中点． 过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线， 1524MF OD ∴==，1522OF OA ==， ∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ·············································································· 8分 （ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）在Rt AOD △中，AD ===过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED Q ∥，APM AED ∴△∽△． AP AMAE AD∴=．555AM AE t AP AD ⨯∴====g，12PM t ∴==．MF MP ∴==5OF OA AF OA AP =-=-=-∴当t =（05<），此时M点坐标为(5-．······················ 11分综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-． ······················································· 12分76.（中考天津市卷26题）（本小题10分） 已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．（中考天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ········································· 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ·································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ． 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ···························· 4分②当31<c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤． ····································································· 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ···························································································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式 0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ························· 8分 又该抛物线的对称轴abx 3-=， 由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2， ∴32331<-<a b ． 又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ····································· 10分77（中考湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC 中的三个顶点坐标为O (0，0)，A (0，n )，C (m ，0)．动点P 从点O 出发依次沿线段OA ，AB ，BC 向点C 移动，设移动路程为z ，△OPC 的面积S 随着z 的变化而变化的图象如图2所示．m ，n 是常数， m ＞1，n ＞0． （1）请你确定n 的值和点B 的坐标； （2）当动点P 是经过点O ，C 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点，且在双曲线y ＝115x上时，求这时四边形OABC 的面积．（中考湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当P 从O 向A 运动时，△POC 的面积S(第25题)＝12mz ， z 由0逐步增大到2,则S 由0逐步增大到m ，故OA ＝2，n ＝2 . (1分) 同理，AB ＝1，故点B 的坐标是(1，2).(2分) (2)解法一：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0),∴c ＝0，b ＝－am ，(3分) ∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标为(2m ，－14 am 2).(4分)如图1，设经过点O ，C ，P 的抛物线为l.当P 在OA 上运动时，O ,P 都在y 轴上， 这时P ,O ,C 三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线l 不存在, 故不存在m 的值..① 当点P 与C 重合时，双曲线y ＝115x不可能经过P , 故也不存在m 的值.②(5分)(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 当P 在AB 上运动时，即当0<x 0≤1时，y 0＝2， 抛物线l 的顶点为P (2m，2). ∵P 在双曲线y ＝115x 上，可得 m ＝115，∵115>2,与 x 0＝2m≤1不合，舍去.(6分)③容易求得直线BC 的解析式是：2211m y x m m=---，(7分) 当P 在BC 上运动，设P 的坐标为 (x 0,y 0)，当P 是顶点时 x 0＝2m， 故得y 0＝02211m x m m ---＝1m m -，顶点P 为(2m，1m m -)， ∵1< x 0＝2m <m ，∴m>2，又∵P 在双曲线y ＝115x 上，于是，2m ×1m m -＝115，化简后得5m 2－22m ＋22＝0,解得1m =2m =分)2,2220,>∴-<Q 2222,10m -∴=<与题意2<x 0＝2m<m 不合,舍去.④(9分)故由①②③④，满足条件的只有一个值：2210m +=.这时四边形OABC 的面积＝1(1)22m +⨯＝165+.(10分) (2)解法二： ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0)∴c ＝0，b ＝－am ，(3分)∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标P 为(m 2 ，－14am 2). (4分) ∵m ＞1，∴m 2 ＞0，且m 2≠m ， ∴P 不在边OA 上且不与C 重合. (5分)∵P 在双曲线y ＝115x 上，∴m 2 ×(－ 14 am 2)＝115 即a ＝－ 885m 3 . .①当1＜m ≤2时，12 ＜m 2≤1，如图2,分别过B ，P 作x 轴的垂线， M ，N 为垂足，此时点P 在线段AB 上，且纵坐标为2，∴－14 am 2＝2，即a ＝－8m 2 . 而a ＝－ 885m 3 ，∴－ 885m 3 ＝－8m 2 ，m ＝115＞2，而1＜m ≤2，不合题意，舍去.(6分) ②当m ≥2时，m 2＞1，如图3,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，ON ＞OM ， 此时点P 在线段CB 上，易证Rt △BMC ∽Rt △PNC ，∴BM ∶PN ＝MC ∶NC ，即: 2∶PN ＝(m －1)∶m 2 ，∴PN ＝m m －1(7分) 而P 的纵坐标为－ 14 am 2，∴m m －1 ＝－ 14 am 2，即a ＝4m(1－m)而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3 ＝4m(1－m)化简得：5m 2－22m ＋22＝0.解得：m ＝ 11±11 5 ，(8分) 但m ≥2，所以m ＝11－11 5舍去，(9分) 取m ＝ 11＋11 5 . 由以上,这时四边形OABC 的面积为：12 (AB ＋OC ) ×OA ＝12 (1＋m ) ×2＝16＋11 5. (10分)。

201５解析几何填空选择压轴题（含答案）一.选择题(共1５小题)1.(2015•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1，F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A. Ｂ．C．D．2.（201５•绥化一模)已知椭圆,F1,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ2的重心为G,内心Ｉ，且有（其中λ为实数)，椭圆C的离心率ｅ=（)Ａ．Ｂ．Ｃ. Ｄ.３.（2015•鹰潭二模)已知点Ａ（﹣１,０),Ｂ（1,０）及抛物线ｙ２=2ｘ，若抛物线上点P满足|PＡ|=m|PＢ|,则m的最大值为（)A. 3B. 2C. D．4.（2０15•大庆校级模拟)已知双曲线的标准方程为,Ｆ为其右焦点，A1,A２是实轴的两端点,设P为双曲线上不同于Ａ1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x＝a分别交于两点M，N，若，则a的值为( ）A． B. Ｃ. D.5.（2０1４•瓦房店市校级二模)已知抛物线y2=２px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点,且AF⊥ｘ轴,则椭圆的离心率为（）A．Ｂ. C. D.6.(201４•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AB|=2０，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点Ｍ、N与直线l的距离|MP｜、｜NQ｜满足条件,则｜ＡM|＋|ＡＮ｜的值为（)A. ２2 Ｂ．20 C．１８Ｄ. 16 7．(2013•东城区模拟)设F为抛物线y2=4x的焦点，A，Ｂ,C为该抛物线上三点，若++＝,则的值为(）A． 3 Ｂ．4C． 6 D． 9８．（20１３•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点Ｏ，若有且只有一对相交于点Ｏ,所成的角为60°的直线Ａ１B1和A2B2,使｜A1B1｜=|A2Ｂ2｜，其中A１、B１和A２、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ）A. B．C．D．９．（2011•江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（）A . Ｂ.C．D.１0．(2０10•陕西)已知抛物线y2=2ｐx（p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）2+y2=１６相切，则p 的值为( ）A．Ｂ．1 C. 2 D. ４11．(2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A．直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线１2．（２009•天津)设抛物线y2=2x的焦点为F，过点Ｍ(,0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，｜BF|=２，则△ＢCF与△ＡCF的面积之比=()Ａ．Ｂ．C．D．1３.(2０0８•四川）已知抛物线Ｃ：y２＝8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K，点Ａ在C上且，则△AＦＫ的面积为(）A． 4 B. 8 C． 1６D．３214．(2008•海南)已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）Ａ. B．C． (1,2) Ｄ. (１，﹣２)15．（2０08•福建）双曲线(a>0，b>０)的两个焦点为F1、Ｆ2，若Ｐ为其上一点，且|PF1｜=2｜PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A．（1,3) B. (1，3]C．(3,+∞）D． [３，＋∞］二.填空题（共1５小题）16．(20１５•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在ｘ轴上,左右焦点分别为Ｆ1，F２，且它们在第一象限的交点为P,△ＰF１F2是以PＦ2为底边的等腰三角形.若|ＰF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(１,2）.则该椭圆的离心率的取值范围是.１7．（20１5•上饶二模）以抛物线y２=２0x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．１8．（2015•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点Ｆ且斜率为k（k>0）的直线与Ｃ相交于A、B两点,若=.19．(2０14•福建模拟)若函数f(x）=lｏｇ2（x+１）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a＝.20.（2０１3•建邺区模拟)过抛物线y2=２ｐｘ(ｐ>０）的对称轴上的定点M（ｍ,0）(m＞0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.(1)试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（２)若点Ｎ是定直线l:ｘ=﹣m上的任一点,试探索三条直线ＡN,MN,BＮ的斜率之间的关系，并给出证明.２１．(2０1２•湖北)如图,双曲线﹣=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1,F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1F2B2，切点分别为Ａ，Ｂ，C，D.则:（Ⅰ)双曲线的离心率e=;(Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２Ｂ２的面积S1与矩形ABＣD的面积S2的比值=．22．（2013•沈河区校级模拟）＋＝1上有一动点P，圆E:(ｘ﹣1)2+y2＝1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆Ｆ：(x＋１）2＋y2=1,过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值为.２3.(2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1Ｂ2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A２在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．２4．（2013•江西）抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线=１相交于A，B两点,若△AＢF为等边三角形,则p= .２5．（2０13•湖南)设F1,F2是双曲线C：(a＞0，b＞０）的两个焦点．若在C上存在一点P.使PＦ1⊥PＦ2，且∠PＦ１F2＝３0°,则C的离心率为.2６．（２0１１•浙江)设F1，Ｆ２分别为椭圆+y2=１的焦点，点Ａ，Ｂ在椭圆上,若=5;则点Ａ的坐标是．2７．（2010•湖北）已知椭圆Ｃ:的两焦点为Ｆ1，F２,点P（x０,ｙ０)满足,则|PF1|＋PF2｜的取值范围为，直线与椭圆C的公共点个数.28．(201１•重庆)动圆的圆心在抛物线y２=８ｘ上,且动圆恒与直线ｘ+2=0相切，则动圆必过点.２9．（２0１0•上海)在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、ｂ∈R),则a、b满足的一个等式是 .30．(2０07•重庆）过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为1０50的直线,交双曲线于P、Q两点,则|FP｜•｜FQ|的值为．2015解析几何填空选择压轴题(含答案）参考答案与试题解析一.选择题（共15小题）1.（201５•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1,Ｆ２,若椭圆Ｃ上恰好有6个不同的点P,使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是（) A. B. C. D．考点：椭圆的简单性质.专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：分等腰三角形△F1F2Ｐ以F１F2为底和以F１Ｆ2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于ａ、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.解答：解:①当点P与短轴的顶点重合时，△Ｆ1F2Ｐ构成以F１F２为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;②当△F1F2P构成以F１F2为一腰的等腰三角形时，以F２P作为等腰三角形的底边为例,∵F１F2=F1Ｐ,∴点Ｐ在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在２个满足条件的等腰△F1Ｆ２P,在△Ｆ1F2Ｐ1中，F1F2+PF1＞PF２,即２c+２c>２ａ﹣2c,由此得知3c＞ａ．所以离心率e＞.当e＝时,△Ｆ１F2Ｐ是等边三角形,与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时,在ｅ且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△Ｆ1Ｆ2P为等腰三角形综上所述,离心率的取值范围是:e∈（，）∪（,1)点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有６个不同点P使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,求椭圆离心率e的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题．2．（2015•绥化一模）已知椭圆,F１,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ２的重心为G,内心I,且有(其中λ为实数）,椭圆C的离心率e=()A. B. Ｃ．Ｄ.考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．分析：在焦点△F1PF2中，设Ｐ(ｘ0，y0),由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标,因为,故内心I的纵坐标与G相同,最后利用三角形F１ＰＦ2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立ａ、b、ｃ的等式,即可解得离心率解答：解:设P（x0,ｙ０),∵G为△Ｆ１PＦ2的重心，∴Ｇ点坐标为Ｇ（,),∵，∴IG∥x轴,∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|ＰF１|+｜PＦ2｜=2ａ,｜F１F2|=2c∴=•｜Ｆ1Ｆ2|•｜y0|又∵Ｉ为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1ＰF２分为三个底分别为△F１ＰＦ２的三边,高为内切圆半径的小三角形∴=(|PF1｜+|F１Ｆ2｜＋|PＦ2|)｜｜∴•｜F1F2|•|y0|=（|PF１｜＋|F1F２|+|PF2|)||即×2c•|y0|=(2a+2c)||,∴２c=a，∴椭圆C的离心率e==故选Ａ点评:本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用,椭圆离心率的求法３.（2015•鹰潭二模）已知点A(﹣1,０)，Ｂ（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足｜PA|=ｍ|ＰB|，则m的最大值为( )Ａ．３Ｂ. 2 Ｃ．Ｄ.考点：抛物线的简单性质.专题：计算题;压轴题．分析：由题意可得m2=＝＝=1＋≤3,可得m≤．解答:解：设P（,y）,由题意可得m2==＝=1+≤1+=３,∴m≤，当且仅当y2=2时,等号成立，故选Ｃ.点评:本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用,运用基本不等式求出ｍ2≤3，是解题的关键．4.(2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点,Ａ1，Ａ2是实轴的两端点，设Ｐ为双曲线上不同于A1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x=a分别交于两点M,N,若，则ａ的值为()Ａ．B．C．D．考点: 双曲线的简单性质.专题：综合题；压轴题.分析：双曲线，右焦点F（5．０),A1（﹣3，0),Ａ2(３，0),设P(ｘ,ｙ），Ｍ（a，m)，N（ａ，n），由P,A1,M三点共线,知，故m=,由P，A2,N三点共线,知，故n＝,由,和,能求出a的值．解答：解：∵双曲线，右焦点F(5,0），A１（﹣3,0)，A２（3，0），设P（x,ｙ),M（ａ,m），N(a,ｎ),∵P，A1,M三点共线，∴m=，∵P，Ａ2,N三点共线,∴,∴ｎ=,∵，∴,∴，，，∴=(a﹣5)2＋=（a﹣5)２＋，∵，∴(ａ﹣5）2+=0，∴２５a2﹣90ａ+81=０,∴a=．故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.解题时要认真审题,注意向量知识的合理运用．5．(2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0)与椭圆有相同的焦点F,点Ａ是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为( ）A．B．C． D.考点: 圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:设点Ａ坐标为(x0，y0）依题意可知＝,把ｘ0=代入椭圆方程求得关于y0的等式,根据抛物线定义可知y0＝2c代入等式整理可得关于离心率ｅ的一元二次方程求得e.解答:解：设点A坐标为（x０，y０)依题意可知=,x0＝代入椭圆方程得(*)根据抛物线定义可知ｙ0=ｐ=2=2ｃ∴y20=4c2，代入（*）式整理得a２﹣c2﹣2ac=0两边除以a2得ｅ2+2e﹣1=0,解得ｅ=或﹣﹣1(排除）故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握．6.（2０１4•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AＢ|=2０,l为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T,｜AT｜＝４,半圆上相异两点M、N与直线ｌ的距离|MP|、|ＮQ｜满足条件,则|AM|+|AN｜的值为（）A．２2 B. 2０Ｃ．18 Ｄ．16考点: 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题: 计算题;压轴题.分析：先以ＡT的中点O为坐标原点，AＴ的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+ｙ２=100,根据条件得出M,N在以A为焦点，PＴ为准线的抛物线上,联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系,利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解:以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴,可得半圆方程为(x﹣１2）2+y2=10０又,设M(x1，y１)，N（x2，y2),M,N在以A为焦点,ＰＴ为准线的抛物线上;以ＡT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系,则有物线方程为ｙ2=８ｘ（ｙ≥０),联立半圆方程和抛物线方程,消去y得：x2﹣16x+44=0∴x1+ｘ2=1６，｜AM｜+｜ＡN|=|ＭP|+|ＮＱ|=x1+ｘ2+４=2０．故选：B.点评:本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题．7.(2０13•东城区模拟）设F为抛物线ｙ2=4x的焦点,Ａ，B,C为该抛物线上三点，若＋＋＝,则的值为( )Ａ. 3 Ｂ．4 C. ６ D. 9考点：抛物线的简单性质；向量的模.专题: 计算题；压轴题.分析:先设A(ｘ，y1)，Ｂ(ｘ2,y2）,Ｃ（x３,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,１再依据=0,判断点F是△ＡBC重心，进而可求x1+x２+x３的值.最后根据抛物线的定义求得答案．解答:解:设A（x1,y1）,B(x2，y2）,Ｃ(x3,ｙ3）抛物线焦点坐标Ｆ(１，0),准线方程：ｘ=﹣１∵=,∴点F是△AＢC重心则ｘ１+x2+x3＝３y1＋y2＋y3＝0而|FA｜=ｘ１﹣（﹣1)＝ｘ1+1|ＦB|=x２﹣（﹣1）=ｘ2+1|FC|＝x3﹣（﹣1)=ｘ3+1∴|ＦA|+|FB|+｜FC|=x１+1+x2+1＋x3＋1＝(x１+ｘ2+ｘ３）+3＝3+3=６故选Ｃ点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．８.(2０１3•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为６0°的直线A1B1和A2B2,使|A１B1|=|A2B２|，其中A1、B1和A２、B2分别是这对直线与双曲线Ｃ的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B．C．Ｄ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=｜A２B2｜及双曲线的对称性知A1,A2，Ｂ1,B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得,由此能求出双曲线的离心率的范围.解答：解：不妨令双曲线的方程为，由|Ａ1B1|＝|Ａ2B2|及双曲线的对称性知A1，Ａ２,Ｂ１，B2关于x轴对称，如图,又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为３0°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于３0°，双曲线与直线才能有交点A1,A2,B1,B2,若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点,则不可能存在|A１B1|=｜Ａ2B2｜，当直线与ｘ轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于６0°，双曲线与直线有一对交点A1，Ａ2，B1,B2，若双曲线的渐近线与ｘ轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于6０°，则有两对直线．不符合题意,∴tan３0°，即,∴,∵b2=ｃ２﹣a２,∴，∴,∴,∴双曲线的离心率的范围是.故选：A.点评:本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.9．（2011•江西)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方,其“底端”落在远点Ｏ处，一顶点及中心M在Ｙ轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（)A ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.考点：圆锥曲线的轨迹问题.专题: 作图题；综合题；压轴题．分析：解答本题宜用排除法，本题中图形的中心M到三个顶点的距离最远，到三段弧的中点的距离最近,随着凸轮的滚动,M点离Ｘ轴的距离由小变大再由大变小,作周期性的变化,由图形可以看出，三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的,故当M在最高点与最低点时,凸轮最高点到X轴的距离相等,由这些特征即可排除错误选项.解答：解：令图中最高点为Ａ,根据题意，可令三角形边长为1,即AO＝1，由于M是中心,故可得AM=＞，故中心Ｍ的位置并非是处于凸轮最低与最高中间的位置,而是稍微偏下，随着转动，M的位置会先变高，当点C为最低点时，Ｍ最高,由此排除CD 选项,而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同都是1,因此排除Ｂ，故选Ａ点评：本题考点是圆锥曲线的问题，考查根据实物的特征,探究其上某一点的位置变动规律，由此得出其轨迹的大体形状,本题轨迹方程不易求出,直接求解有困难,故根据其变化特征选择用排除法求解,做题时要根据题设条件的特征选择合适的方法解题．１0．(2０10•陕西)已知抛物线y２=2px(p＞０）的准线与圆(x﹣3）2+ｙ2=１６相切，则p的值为()A．Ｂ．1C． 2 D. 4考点：抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:根据抛物线的标准方程可知准线方程为,根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．解答:解:抛物线ｙ2＝2pｘ(p>０）的准线方程为，因为抛物线ｙ2=2px(p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）２+y2=１6相切，所以;故选C．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.11．（2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（)A．直线B．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线考点：抛物线的定义;双曲线的标准方程.专题：计算题;压轴题;分类讨论.分析：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为ｘ轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为ｚ轴,过ｘ且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是(x,y，ｚ）根据它到两条异面直线的距离相等,求得z的表达式,把ｚ=0和ｚ=ａ代入即可求得ｘ和y的关系，根据其方程判断轨迹．解答：解:先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴，公垂线与ｘ轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoｙ平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程就分别是y＝0,z=０和x=０，z=a(a是两异面直线公垂线长度，是个常数)空间内任意点设它的坐标是（x，y,ｚ）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即＝两边平方,化简可得z=(y２﹣x２+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z＝0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x２＝﹣a２，图形是个双曲线ｚ=a时代入可以得到y２﹣x2=ａ２，图形也是个双曲线故选D点评：本题主要考查了双曲线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力.12.（20０９•天津)设抛物线y２=2x的焦点为F，过点M(,０）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C,｜BＦ|=2，则△BCF与△ACＦ的面积之比＝（)A．B．C．Ｄ.考点：抛物线的应用;抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据=,进而根据两三角形相似,推断出=,根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得Ｂ的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入,即可求得Ａ的坐标,进而求得的值，则三角形的面积之比可得.解答:解：如图过B作准线l：ｘ=﹣的垂线，垂足分别为A1，B１，∵=,又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|＝|BB1|＝2知ｘB=,ｙＢ=﹣,∴AB：y﹣０=（ｘ﹣）．把x=代入上式，求得y A=2,xＡ=2,∴|AF|=|AＡ1|=．故=＝＝.故选A.点评:本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质.考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．13．（200８•四川)已知抛物线C：ｙ２=8ｘ的焦点为Ｆ,准线与x轴的交点为K,点A在Ｃ上且，则△AFK的面积为( ）A. ４B．８ C. 16 D． 32考点：抛物线的简单性质．专题: 计算题；压轴题．分析:根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得Ｋ的坐标，设A（x0,y0)，过A点向准线作垂线AB,则Ｂ（﹣２，y０），根据及ＡＦ=AB=x0﹣（﹣2）=ｘ０+２,进而可求得A点坐标,进而求得△AＦK的面积．解答:解:∵抛物线Ｃ：y2=８x的焦点为F(２，0)，准线为x＝﹣2∴K（﹣2,0)设A(x0，y0)，过Ａ点向准线作垂线ＡＢ，则B(﹣2,y0）∵,又AF=AＢ=x0﹣(﹣2)=x0＋２∴由BK2＝AK2﹣AB２得y02＝（ｘ0+２）２,即8x0=(x０＋2）2,解得A(2,±4）∴△AＦK的面积为故选B．点评：本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置,在△ABK中集中条件求出x0是关键；14.（２００8•海南)已知点P在抛物线ｙ2=4x上,那么点Ｐ到点Q（2,﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为（)A．B．C． (1,2） D. （１,﹣２）考点: 抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题.分析:先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内,再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S,P,Q三点共线时取得,可得到答案.解答:解：点Ｐ到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF＋PＱ=PＳ＋PＱ,故最小值在S,P，Q三点共线时取得，此时P,Q的纵坐标都是﹣1，故选A．点评:本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合. 15．（２008•福建）双曲线(ａ>0,b>0)的两个焦点为F1、Ｆ２，若Ｐ为其上一点,且｜PF１|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，３) B. （1，３]C．（３，+∞)D． [3，+∞]考点：双曲线的简单性质.专题: 计算题;压轴题．分析:可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系.解答：解：设|PF1|＝x,|ＰF2｜=y，则有，解得ｘ＝4ａ，ｙ＝２ａ，∵在△PＦ1F2中，x+y＞２c,即４a＋2ａ>2c,4a﹣2ａ＜2c，∴,又因为当三点一线时，4a+２a＝2c，综合得离心的范围是（1，3],故选B.点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了关于离心率范围的确定.可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法.二．填空题(共15小题)16．（２015•鞍山一模)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在ｘ轴上，左右焦点分别为F1,Ｆ2,且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１Ｆ2是以ＰF2为底边的等腰三角形.若｜ＰF1|=１０，双曲线的离心率的取值范围为（1，2).则该椭圆的离心率的取值范围是(，) .考点: 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质.专题：压轴题;数形结合法．分析:作出图象,结合图象把问题转化为1＜＜２，求的取值范围.解答:解:如图，设双曲线的半实轴长,半焦距分别为ａ，c，２|PF1|=m，|PF２|=n,则⇒，问题转化为已知１＜<2，求的取值范围．设=x，则c=，=＝﹣.∵1＜ｘ<2,∴﹣<﹣<﹣,即＜﹣＜．故答案为：()．点评:本题考查双曲线的性质和应用,作出图象,数形结合,事半功倍.1７．(２015•上饶二模)以抛物线ｙ2=2０x的焦点为圆心,且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为（x﹣5)2+y2＝9.考点: 双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系．专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程,求出圆的半径，即可得到圆的方程．解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5,０）,双曲线:的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意，r=3,则所求方程为(x﹣5）２+y2＝9故答案为：(ｘ﹣5）2+y2＝9．点评:本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．1８.（２0１5•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点F且斜率为k（k＞０）的直线与Ｃ相交于A、Ｂ两点,若=.考点: 直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析:设l为椭圆的右准线，过Ａ、B作AA，BＢ1垂直于ｌ,A1，B1为垂足,过B作BE⊥AA1１于E,由=3知,||=，，由此可知．解答：解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BＢ1垂直于l,A1,Ｂ1为垂足，过B作BE⊥ＡA1于Ｅ,则|AA1|=，｜ＢB1|=,由=3知，||=，∴,∴，∴ｔａn.∴．故答案：.点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.１９．(20１4•福建模拟)若函数f(x）＝ｌog2（x+1)﹣1的零点是抛物线ｘ=ay２焦点的横坐标，则a=.考点: 抛物线的简单性质.专题：压轴题．分析:先求出函数ｆ(x）=ｌｏg２(x+1)﹣1的零点ｘ=１和抛物线ｘ=ay2焦点的横坐标,然后再求a.解答：解:由ｆ(ｘ）=ｌoｇ2（ｘ＋１)﹣1=0,知x＝１,抛物线x=ａy2焦点的坐标是F（），由题设条件知，∴a=．故答案为：.点评：本题考查抛物线的简单性质,解题时要认真审题，仔细解答,注意公式的合理运用.2０．（2013•建邺区模拟）过抛物线ｙ2=2pｘ（p>0)的对称轴上的定点Ｍ(ｍ,0)(ｍ>0），作直线AＢ与抛物线相交于A，Ｂ两点．(1）试证明Ａ,B两点的纵坐标之积为定值;（2）若点Ｎ是定直线l：ｘ=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN,BN的斜率之间的关系,并给出证明.考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;直线的一般式方程.专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（1)设直线AB的方程为:x＝ｔy+m,与y2=２px联立,消去x得到关于ｙ的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明;(2)三条直线ＡN,MＮ,BN的斜率成等差数列．设点N（﹣m，n),则直线AN的斜率为,直线BN的斜率为,再利用（1）的结论即可证明．解答：（1）证明:.设Ａ（ｘ1，y1）,B(ｘ2,y2)有ｙ1•y2=﹣2ｐｍ，下证之:设直线ＡＢ的方程为：x＝ty+ｍ，与ｙ2=2px联立消去x得y2﹣２pty﹣2ｐm＝0，由韦达定理得y1•ｙ2=﹣2pm，(2）解:三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：设点N(﹣m，n)，则直线AN的斜率为，直线BN的斜率为,∴＝＝=又∵直线MN的斜率为,∴k AＮ＋ｋBN=2k MＮ即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关系、直线的斜率计算公式、等差数列的定义等是解题的关键．21．（2012•湖北)如图，双曲线﹣=1（ａ，b＞0)的两顶点为A1，Ａ2,虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F１，F２．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1Ｆ２B２，切点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，D.则：(Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1Ｆ2B2的面积Ｓ１与矩形AＢCD的面积S2的比值= .考点：圆锥曲线的综合.专题: 综合题;压轴题.分析:（Ⅰ)直线B２F1的方程为ｂｘ﹣cy+bｃ=0，所以O到直线的距离为，根据以Ａ1A２为直径的圆内切于菱形F1Ｂ１Ｆ2B2，可得,由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２B2的面积S１=２bｃ,求出矩形AＢCD的长与宽，从而求出面积S２=４mn=，由此可得结论．解答:解:(Ⅰ)直线B2F１的方程为bx﹣cy+ｂc＝0，所以O到直线的距离为∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,∴∴(c２﹣a2）c2=(２c2﹣a2)ａ2∴c4﹣3ａ２c2＋a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e>１∴e=（Ⅱ)菱形F1Ｂ１F２B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=２ｎ，BA=2m,∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2＝4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：,点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定几何量之间的关系.22．（2０13•沈河区校级模拟)＋=1上有一动点Ｐ，圆E:(x﹣1)2+y2＝1，过圆心Ｅ任意做一条直线与圆E交于A、B两点,圆F：（x+１）２+ｙ2=1，过圆心任意做一条直线交圆F 于C、D两点,则•+•的最小值为6．考点：圆与圆锥曲线的综合.专题：计算题;压轴题．分析:先利用条件得出与互为相反向量，且长为1.再利用向量的三角形法则和向量的数量积的运算求出•的表达式；同理求出•,再与点P是椭圆上的点相结合即可求出结论．解答:解：设P(ａ，b）则由已知得与互为相反向量，且长为1．又∵=,=，∴=＋•（)＋＝+0﹣1=﹣１；同理可得=﹣1．故•＋•=+﹣２＝（a﹣1)２+b２+（a+1）２+ｂ2﹣2=２(a2＋b2)①．又因为点Ｐ(a，ｂ）在+＝1上,所以有=1⇒ｂ2=3(1﹣) ②．把②代入①整理得,•+•＝2（3+）≥6．故答案为6.点评:本题主要考查向量基本知识以及圆与圆锥曲线的综合问题.是对知识点的一个综合考查,属于中档题．23.(201２•庐阳区校级模拟)如图，椭圆的长轴为A1Ａ2，短轴为B1B２,将坐标平面沿ｙ轴折成一个二面角，使点A2在平面Ｂ１A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.考点：椭圆的应用;循环结构；二面角的平面角及求法．专题: 综合题;压轴题．分析:确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角,利用点Ａ2在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,可求得cos∠A2OＦ1＝，即可求得结论.解答：解:由题意,椭圆中ａ=４，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1Ａ1Ｂ2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△Ａ2OF1中，cos∠A2ＯＦ1=∴∠A2ＯＦ1=即二面角的大小为故答案为:点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角,解题的关键是确定二面角的平面角. 24.(2０13•江西)抛物线ｘ2=2py(p＞０）的焦点为Ｆ,其准线与双曲线=1相交于A,B 两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解:抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y＝﹣,准线方程与双曲线联立可得:，解得x=±，因为△ABF为等边三角形,所以，即ｐ２=3x2，即,解得p＝6.故答案为:6.点评：本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．。

压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A.3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313C.51326D ．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0， 由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－(－6)|62＋22＝71020.故选D. 答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3 B ．⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎣⎡⎦⎤π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π2.故选B.答案：B6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A 二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零． 设直线方程为x a ＋yb＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0， 即2a －(1＋a )3－(1－a )<0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1. 答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________． 解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋3＝0，x ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)． 答案：(－3，－3) 三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在， l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二 由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α－1＝0，1＋sin α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0. ∴α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时， l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1， 而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )， 则12＋(t －2)2＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A. 答案：A2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )， 则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B. 答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则() A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：x2＋y2－4x＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d ＝(3－2)2＋(0－0)2＝1<2，点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合，故选C.答案：C5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0解析：与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1，故b＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知＝1相切，可得|b|12＋12b＝－2，则直线方程为x＋y－2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考福建卷)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．2 3C.3D．1|0＋3×0－2|＝1，半径r＝2，解析：因为圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝12＋(3)2所以弦长|AB|＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r ＝5. 又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：4 58．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为 d ＝|1－1＋4|12＋(－1)2＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2. 答案： 29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上， ∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切， ∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________． 解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1 三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程． (1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0， ∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二 直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部， ∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点． (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )， 由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0， 得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x ，代入x ＝m m 2＋1，得x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x 2＋1＝y －1x ，化简得x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14. 经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D. 答案：D2．(2014唐山二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3B ． 3C ．23D ．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55C.12D ．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用． 由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ， |F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2， 可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35 B ．57C.45D ．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°， 半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2， 连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8， 2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14， 即a ＝7， 则e ＝c a ＝57.故选B. 答案：B5．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等． 选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等． 选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等． 排除选项A 、B 、C ，故选D. 答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上， 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca＝e ， 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ， 解得|PF 2|＝2a e ＋1. 由于a －c <|PF 2|<a ＋c ， 所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧(1－e )(1＋e )<2，2<(1＋e )2，解得2－1<e . 又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D. 答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3， 2c ＝|F 1F 2|＝1. ∴e ＝ca ＝2－ 3.答案：2－ 39．(2014西安模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y 225－m ＋x 29－m ＝1(m <9)，代入点(3，－5)， 得525－m ＋39－m＝1， 解得m ＝5或m ＝21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案：y 220＋x 24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， 即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3. 答案：3 三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0， 设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0， Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0， Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0， 化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧kb ＝1，2k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0， ∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)， ∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22. 即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△P AB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴， y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)， 又因为|AB |＝23，|PO |＝3， 所以∠P AO ＝60°， 所以△P AB 是等边三角形， 所以直线AB 的方程为y ＝0， 当直线AB 的斜率存在且不为0时， 则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3， 所以|x 1|＝33k 2＋1， 则|AO |＝1＋k 233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－1k x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3kk －1，y 0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9(k －1)2， 因为△P AB 为等边三角形， 所以应有|PO |＝3|AO |， 代入得9k 2＋9(k －1)2＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1. 综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8， 又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1， ∴|PF 2|＝17. 故选B. 答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5. 将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20， 所以方程为x 220－y 25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B ．35C.34D ．45解析：∵c 2＝2＋2＝4， ∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B ．x 2132－y 252＝1C.x 232－y 242＝1 D ．x 2132－y 2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10， 则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)， 根据题意，可知曲线C 2为双曲线， 根据双曲线的定义可知， 双曲线C 2中的2a 2＝8， 焦距与椭圆的焦距相同， 即2c 2＝10， 可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 242－y 232＝1.故选A.答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5， 则|PQ |＝16， 又因为|PF |－|P A |＝6， |QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12， |PF |＋|QF |＝28， 则△PQF 的周长为44. 答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1， 又e ＝ca ＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝19．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径， 故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°， 设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ， 该双曲线的离心率等于 |F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上， 由题意，在Rt △F 1PF 2中， |F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°， 得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ， 根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ， e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 答案：3＋1 三、解答题 11．已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2. 由题意，得k (1－k )2－k 2＝1， 解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， 即2－y 1－y 2x 1－x 2＝0， 即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1， 双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，0B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫0，18 D ．⎝⎛⎭⎫0，14 解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y ，它的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18.故选C. 答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( ) A ．x 2＝－45yB ．y 2＝－45xC ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B ．83 C.103D ．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1， 将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝3(x 2＋1)，x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216＝1， 解得x 1＝3，x 2＝13， 故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B. 答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1 C.54D ．74 解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3， ∴x A ＋x B ＝52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y . 答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°， ∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧ x 1＝13，y 1＝－233，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝23， 由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3. 答案： 310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫12，0. 求|P A |＋|PM |的最小值，可先求|P A |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|P A |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|P A |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12， 所以|P A |＋|PM |≥5－12＝92. 答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，求实数m 的值． 解：法一 如图所示，连接AB ， ∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋n ，y ＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0， ∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n 2. 由x 1x 2＝－12，得n ＝1. 又x 0＝x 1＋x 22＝－14， y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54， 即点M 为⎝⎛⎭⎫－14，54， 由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ， ∴m ＝32. 法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2x 21，y 2＝2x 22， ∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0. 又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14. 又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14， 即M ⎝⎛⎭⎫－14，m －14， ∴AB 的方程是y －⎝⎛⎭⎫m －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14， 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2， 得2x 2＋x －⎝⎛⎭⎫m －12＝0，∴x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝32. 12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

高考解析几何压轴题精选(含答案)1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =。

（I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2xx≠）的直线222:44lx x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。

（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)xy a b ab +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CDλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

1. 设抛物线22(0)ypx p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

（3分）时间：2021.03.12创作：欧阳文2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分） 3已知以原点O 为中心，)5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率5e =（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。

（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CDλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

第1页（共22页）2015解析几何填空选择压轴题（含答案）一．选择题（共15小题） 1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同2．（2015•绥化一模）已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）4．（2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F 为其右焦点，A 1，A 2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P与直线x=a 分别交于两点M ，N ，若，则a 的5．（2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，半圆上相异两点M 、N 与直线l 的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（ ）7．（2013•东城区模拟）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B，C 为该抛物线上三点，若++=，则的值为（ ）8．（2013•重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）（2008•四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，13．上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和15．（2008•福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF116．（2015•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．17．（2015•上饶二模）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．18．（2015•射阳县校级模拟）已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k ＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=．19．（2014•福建模拟）若函数f（x）=log2（x+1）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=．20．（2013•建邺区模拟）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线l：x=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．第2页（共22页）21．（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．22．（2013•沈河区校级模拟）+=1上有一动点P，圆E：（x﹣1）2+y2=1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆F：（x+1）2+y2=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D 两点，则•+•的最小值为．23．（2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．24．（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=．25．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C ：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．26．（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B 在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．27．（2010•湖北）已知椭圆C ：的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足，则|PF1|+PF2|的取值范围为，直线与椭圆C的公共点个数．28．（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．29．（2010•上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．30．（2007•重庆）过双曲线x2﹣y2=4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|•|FQ|的值为．2015解析几何填空选择压轴题（含答案）参考答案与试题解析第3页（共22页）一．选择题（共15小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同．时，e且e≠（，）∪（，2．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）的纵坐标，因为，的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和第4页（共22页），），∴的纵坐标为=的纵坐标=||•|F（||×2c•|y||=3．（2015•鹰潭二模）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的=≤3．第5页（共22页）（==1+≤1+=3m≤4．（2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的双曲线，右焦点，故，由三点共线，知n=，，解：∵双曲线，右焦点，，n=第6页（共22页），，，==+a=5．（2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，）依题意可知=，把代入等式整理可得关于离心率e）依题意可知=，代入椭圆方程得=2c）式整理得a2﹣c2﹣或﹣第7页（共22页）第8页（共22页）6．（2014•江北区校级模拟）如图，已知半圆的直径|AB|=20，l 为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T ，|AT|=4，半圆上相异两点M 、N 与直线l 的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（ ）7．（2013•东城区模拟）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若++=，则的值为（ ）再依据=0=，∴点F 是△ABC 重心1122使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是不妨令双曲线的方程为轴对称，由满足条件的直线只有一对，得解：不妨令双曲线的方程为，tan30°，即，，∴，∴双曲线的离心率的范围是．轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（）第9页（共22页）AM=，故中心根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知）的准线方程为2所以第10页（共22页）=z=12．（2009•天津）设抛物线y=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）根据=，进而根据两三角形相似，推断出==代入，即可求的值，则三角形的面积之比可得．的垂线，垂足分别为=，=由拋物线定义==第11页（共22页）0=）x=代入上式，求得．===，根据∴由BK2=AK2﹣AB第12页（共22页）15．（2008•福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则，则有，16．（2015•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，）．＜，求⇒＜，求=x，=﹣．，∴﹣＜﹣﹣，即﹣＜．第13页（共22页）第14页（共22页） （17．（2015•上饶二模）以抛物线y 2=20x 的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方22，双曲线：的两条渐近线方程为r =318．（2015•射阳县校级模拟）已知椭圆，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若= ． 由=3||=，由此可知解：设l 为椭圆的右准线，过为垂足，|==3知，||=，tan ．故答案：．本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．19．（2014•福建模拟）若函数f（x）=log2（x+1）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=．，然后再求）由题设条件知．故答案为：．20．（2013•建邺区模拟）过抛物线y=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；的斜率为的斜率为联立的斜率为的斜率为第15页（共22页）第16页（共22页） =的斜率为，21．（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a ，b ＞0）的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值= ． ，根据以，由此可求双曲线的离心率；到直线的距离为，∴，∴，==故答案为：，22．（2013•沈河区校级模拟）+=1上有一动点P，圆E：（x﹣1）2+y2=1，过圆心E任意做一条直线与圆E 交于A、B两点，圆F：（x+1）2+y2=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值先利用条件得出与•的表达式；同理求出•，再与点解：设则由已知得与互为相反向量，且长为又∵，=第17页（共22页）第18页（共22页） +•（+01=同理可得﹣••=+）在=1上，所以有）把②代入①整理得，••=23+23．（2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A 2在平面B 1A 1B 2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为． 解：由题意，椭圆中即二面角的大小为故答案为：24．（2013•江西）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线=1相交于A ，B 两点，若△ABF），准线方程与双曲线联立可得：，x=±为等边三角形，所以，即，解得25．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，c|=由双曲线定义可知|PF|=2a=﹣=故答案为：本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．26．（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是，利用椭圆的焦半径的方程，解之即可得到点A的坐标．又∵由椭圆的对称性，得第19页（共22页）由于椭圆的，，，由于2，=5×=5∴（（﹣由①+②得：x1=0．分别为椭圆的焦点，则，设；则，所以，代入解得第20页（共22页）第21页（共22页） 27．（2010•湖北）已知椭圆C ：的两焦点为F 1，F 2，点P （x 0，y 0）满足，则|PF 1|+PF 2|的取值范围为 [2，2） ，直线与椭圆C 的公共点个数 0 ． 故范围为）在椭圆的内部，则直线上的点（）均在椭圆外，故此直线与=2a=2）在椭圆的内部，则直线本题考查椭圆的性质及其应用，画出图形，数形结合事半功倍．29．（2010•上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若（a 、根据是渐近线方向向量，进而可知双曲线渐近线方程根据c=第22页（共22页） ，求得双曲线方程，进而根据解：因为、所以双曲线渐近线方程为双曲线方程为，，化简得的值为 ． 解：∵． 代入x 2﹣y 2=4得：|FP|=|FQ|= 故答案为：。

专业资料整理分享高中数学解析几何压轴题一．选择题1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1C．D．e2+15．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．156．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4xB．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4xD．y2=﹣4x（x≠0）9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22B．20C．18D．1611．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．D．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．8D．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣41．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则PN∥MQ，，又由双曲线第二定义可知=，3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，B C D，，，4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一2B D，∴M（（的坐标代入，可得5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（的焦点分别是两圆（6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）B C D=（+解：∵若（+）e==7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）B C D==8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足、的坐∥∥22+=1（y≠0）B+=1（y≠0）C﹣=1（y≠0）D﹣=1（y≠0）=2，根据抛物线定义可得（10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）B C D，，再利用余弦定理，即可求得|=2|=，12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）BD，+∞）解：曲线=，k′=，＜k≤13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=B C=，14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）B C D，=的中点坐标是（）﹣，，m=15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值根据双曲线上存在两点（﹣，，∴b=，m二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．）根据椭圆的离心率为kk'==，利用，即可求直，且经过点（的标准方程为…（，及=则有，的最小值为17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．S S S S，故．=•≤15，所以（﹣在双曲线上，所以，所以=，﹣==，则S=5．﹣=，﹣﹣的取值范围为18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．，可得：中，，所以，（﹣，（﹣：．，圆的方程为（＜=ty=y=3×[+4×[=＜19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．•=并与椭圆联立，利用韦达定理求﹣•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），••．，=0，=+=++20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．b=，知==，，==，=+4当且仅当21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k 的取值范围．．所以，得（的中垂线为，由，的中点为，即，得，，∴，④…（根据导数知识易得．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．的大小，求出）由时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率＞；b≤23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．⇒代入①即得的方程为的坐标为．的方程为，得，得，当且仅当，即，的面积的最小值为24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．则．=．又由sin60°=a，平方整理得＜φ＜分）=．．所以•φ=θ＜φ＜时，θ=φ＜时，点4，则．．＜φ＜）分）= sinφ=aφ=时，点θ=φ＜25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．的方程为，解得的方程为．故点，的直线方程为得，．，则，同理可得，的斜率的直线方程为，由．，得．此时，的距离为，===．面积的最大值为．26．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？）依题意，可知椭圆的方程为：x++，令y=0得x==cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有x+1∴椭圆的方程为：），=﹣=（x++，cosθ（cosθ≠0）≤x=cosθ≤，，﹣得：|AB|=|BC|=|=||==+1≥3（当且仅当，即当时，以＜a≤27．如图，P是抛物线C：x2=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T①求证：②求的取值范围．，消去，|PQ|=，消去可取一切不相等的正数∴）==28．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1 （1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．，则过点的切线方程为：相切，坐标为的方程为：29．已知圆C的圆心在抛物线x2=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．（1）求弦长MN；（2）设AM=l1，AN=l2，求的取值范围．所以．所以θ=45°时，原式有最大值从而30．已知以动点P为圆心的圆与直线y=﹣相切，且与圆x2+（y﹣）2=外切．（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若M（m，m1），N（n，n1）是C上不同两点，且 m2+n2=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．（1）求直线L斜率k的取值范围；（2）设椭圆E的方程为+=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求E离心率的范围．相切，且与圆﹣外切，建立方程，即可求动）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由，则有的斜率为﹣∴|k|＞∴k＜﹣＞﹣﹣，＞恒成立，方程②的判别式，∴＞）+1=＞＜＜。

专题18解析几何（选填压轴题）一、单选题1．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（）A．13B．12【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β，由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan tc aα=-，tan tc aβ-=+.12F MF βα∠=- ，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t t ct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.2．（2021·山东肥城·高三模拟预测）已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2【答案】B 【详解】由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d ==所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．3．（2021·丽水外国语实验学校高三期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段1B C 的中点，F 是棱11A D 上的动点，P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值是（）B．12C．6D．2【答案】C 【详解】在11D C 上取点1F 使得111D F D F =，由对称性可知1PF PF =.连接1BC ，则11BC B C E = ，点P 、E 、1F 都在平面11BC D 内，且111BC C D ⊥，11=1C D ，1BC =在11Rt BC D 所在平面内，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示.则1(1,0)D，B，0,2E ⎛ ⎝⎭，所以直线1BD的方程为1x =.设点E 关于直线1BD 的对称点为(,)E m n '，则22122n m n m ⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得236m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,36E ⎛' ⎝⎭.因此，1116PE PF PE PF PE PF E F ''+=+=+≥≥所以，当且仅当1,,E P F '三点共线且111E F C D '⊥时，PE PF +有最小值6.故选：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（）A．15B．25C．35D．45【详解】由双曲线方程知，12a =，b =，2c =，设2MF x =，则11MF x =+，12F F 120MF MF →→⋅=，则22(1)13x x ++=，解得2x =或-3（舍），设折叠后点1F 达到F 点，如图所示，作FA MN ⊥于A 点，易知FA ⊥平面12MF F ，1FAN F AN ≅ ，1F A MA ⊥，设1F MN α∠=，则22F MN πα∠=-，在1Rt MAF 中，13sin FA F A α==，3cos MA α=，在2MAF 中，由余弦定理知，222222222cos (3cos )423cos 2sin AF MA MF MA MF F MN ααα=+-⋅∠=+-⨯⨯29cos 6sin 24αα=-+，则2222222(3sin )9cos 6sin 24136sin 27FF AF AF αααα=+=+-+=-≥，当且仅当sin 21α=，即4πα=时，等号成立，折叠后点1F ，2F 距离最小.此时MN 为12F MF ∠的角平分线，由角平分线定理知，112232F N MF NF MF ==，则11235F N F F →→=，35λ=故选：C5．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知F 是椭圆2221(1)x y a a+=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点,M N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（）A．当01e <<时，2πα<B．当0e <2πα>C．当12e <<23πα>1e <<时，34πα>【详解】不失一般性，设M 在x 轴上方，N 在x 轴下方，设直线AM 的斜率为1k ，倾斜角为θ，直线AN 的斜率为2k ，倾斜角为β，则210,0k k ><，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()0,απθβπ=-+∈.又()2121tan tan tan tan 1+tan tan 1k k k k βθαπθββθ--=-+==+.又直线AM 的方程为()1y k x a =-，由()12222y k x a x a y a ⎧=-⎨+=⎩可得22232422111(1)20a k x a k x a k a +-+-=，故42212211M a k a x a a k -⨯=+，所以3212211Ma k ax a k -=+，故122121M ak y a k -=+，同理3222221N a k ax a k -=+，故222221N ak y a k -=+，因为,,M F N 共线，故21222221323221222221221111ak ak a k a k a k a a k ac ca k a k --++=--++++，整理得到()()()()21212210a a c k k k k c a k k +-+--=即()122c ak k a a c -=+，若01e <<，()()122211c a e k k a a c a e --==++，因为()1211,011e e e -=-∈-++，21a >，故121k k >-，所以2121tan 01k k k k α-=>+，故2πα<.6．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（）A．AC BC⊥B．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅C．AF BF AF BF +=⋅D．直线AC 与抛物线相切【答案】B 【详解】如图，由题意可得()1,0F ，抛物线的准线方程为1x =-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，利用根与系数的关系得124y y =-，因为线段MN 的中点为C ，所以121,2y y C +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21121,42y y y CA ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，22211,42y y y CB ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，所以，()()2222121212121111210444162y y y y y y y yCA CB -⎛⎫⎛⎫⋅=++-=++=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AC BC ⊥，A 选项正确；对于B 选项，因为()11,M y -，所以()12,MF y =-，所以()2112112220222y y y y y yCA MF -⋅=+-=+= ，所以AC MF ⊥，所以四边形AMCF 的面积等于12AC BF ⋅，B 选项错误；对于C 选项，根据抛物线的定义知2114y AF AM ==+，2214y BF BN ==+，所以221224y y AF BF ++=+，22222222121212121112441644y y y y y y y y AF BF ⎛⎫⎛⎫++⋅=++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AF BF AF BF +=⋅，C 选项正确；对于D 选项，直线AC 的斜率为()12111212221111422224414ACy y y y y y y k y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭====+++，抛物线24y x =在点A 处的切线方程为2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立211244y y y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去x 可得2211440ky y y ky -+-=，由题意可得()211016440k k y ky ≠⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩，可得12ky =，即12k y =，则AC k k =.所以，直线AC 与抛物线24y x =相切，D 选项正确.故选：B.7．（2021·全国高三模拟预测（理））如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A．53B．54C．43D．32【答案】A 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x yb a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22()2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⨯++=⨯⋅，化简可得2442c m n a c a+=--，①由双曲线的定义可得2m n a -=，②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan baθ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53ce a==．故选：A．8．（2021·湖南天心·长郡中学高三二模）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是（）B．3C．2D．1【答案】B 【详解】解：A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '，记d 为直线EB '与AC 之间的距离，则MT NT M TNT M N d ''+=+≥≥，由//B E D C ''，d 为E 到平面ACD '的距离，因为111111333D ACE ACE V S '-=⨯⨯==⨯⨯= ，而21346D ACE E ACD V V d d ''--==⨯⨯⨯=，故3d =，故选：B.9．（2021·贵州贵阳·高三模拟预测（理））在平面内，已知动点P 与两定点,A B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB =，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（）A．12B．13C．14D．15【答案】D 【详解】如图，在平面PAB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，则MPN NAP ∠=∠,又因PNM ANP ∠=∠，所以PNM ANP ，所以2PN AN PA MN PN MP ===22,2AN MN PN =,所以22AM AN MN PN =-=.因为112AM AB ==，所以2,1PN MN ==,所以B、N 重合且2BP PN ==所以点P 落在以B 2作BH AC ⊥于H ，则222BH AB ==因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA ⊥BH ，又因为1AA AC A = ，所以BH ⊥面11AA CC ，所以B 到面11AA CC 的距离为=2=BH BP ，所以球面与面11AA CC 相切，而122BB π=>所以球面不会与面111A B C 相交，则31142833V BP π== ，111=222222V AB BC AA ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=三棱柱,所以2125222=33V V V πππ=-=-三棱柱，所以12V V =15.故选：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是（）A．13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞，则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =，当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增.所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==.故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.11．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆22:143x y C +=，P 是直线4x =-上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是（）437B．86565721032【答案】A 【详解】设11(,)A x y 若A 在椭圆的上半部分，则2314xy =-22332214144x x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=---A 在椭圆上，2211143x y +=，111211334414x x x x y y x ===--'．∴过A 点的切线方程是11113()4x y y x x y -=--，221111343412x x y y x y +=+=，即11143x x y y+=，同理可证当A 在下半圆时，过A 的切线方程也是11143x x y y+=，A 是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．∴无论A 在椭圆的何处，切线方程都是11143x x y y +=．设22(,)B x y ，则过B 点的切线方程是22143x x y y +=，P 在直线4x =-，设(4,)P m -，则由两切线都过P 点∴11221313y m x y m x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴直线AB 方程是13my x -+=，易知直线AB 过定点(1,0)-，该定点为椭圆左焦点F ．直线OP 方程为4m y x =-，则由134my x m y x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221212312x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22123,1212m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，3AB k m=，4(1)3PF m m k ==----，1AB PF k k =-，∴PF AB ⊥，PF =PM =∴2sin PFPMB PM =7===≥=．当且仅当22144m m =，即m =±时等号成立．故选：A．12．（2021·吉林长春·高三模拟预测（理））已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(1)2B．(02，C．1(0)2，D．1(1)2，【答案】A 【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()2221211142AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AFa a a⎛⎫+≥+-=-= ⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以12e >>故选：A13．（2021·山西阳泉·高三期末（理））已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x 2212y -=1B．22134x y -=C．221169x y -=D．221916x y -=【答案】D 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，可得1||22AF a c =+，由于过F 2的直线斜率为247，所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-，则217cos 25AF F ∠=-，由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-= ，化简得：35c a =，即35a c =，45b c =，可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D．14．（2021·全国高三专题练习（理））已知O 为坐标原点，抛物线()220C y px p =>：上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，给出以下命题：①当MAF △为正三角形时，p 的值为2；②存在M 点，使得0MF MA -=；③若3MF FA =，则p 等于3；④OM MA +的最小值为p 等于4或12.其中正确的是（）A．①③④B．②③C．①③D．②③④【答案】C 【详解】对于①，当MAF △为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交x 轴于N ，4AF AM MF ===,由抛物线定义可知AF AM =，则AM 与准线垂直，所以60AMF AFM ∠=∠= ，则30FMN ∠= ，所以12NF MF =,而NF p =，即122p MF ==，所以①正确；对于②，假设存在M 点，使得0MF MA -= ，即MA MF =，所以M 点为AF 的中点，由抛物线图像与性质可知，A 为抛物线上一点，F 为焦点，线段AF 在y 轴右侧，点M 在抛物线C 准线上，在y 轴左侧，因而M 不可能为AF 的中点，所以②错误；对于③，若3MF FA =，则:3:4MF MA =，作AE 垂直于准线并交于E ，准线交x 轴于N ，如下图所示：由抛物线定义可知4AE AF ==，根据相似三角形中对应线段成比例可知MF FN MAAE=，即344p =，解得3p =，所以③正确；对于④，作O 关于准线的对称点O '，连接AO '交准线于M ，作AD 垂直于准线并交于D ，作AH 垂直于x 轴并交于H ，如下图所示：根据对称性可知，此时AO '即为OM MA +的最小值，由抛物线定义可知4AD AF ==，所以A 的横坐标为42p -，代入抛物线可知22242A p y AHp ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，OM MA AO +='的最小值为1342pO H NH O N '=+'=+，则22O O AHA H '='+，即(224241322p p p ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得216480p p -+=，即()()4120p p --=，解得4p =或12p =，当p =12时，不满足点A 到焦点F 的距离为4，所以④错误；综上所述，正确的为①③.故选：C.15．（2021·全国高三专题练习（理））关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（）A．{}5B．{}1-C．()0,1D．(){}0,11- 【答案】D 【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -==，又圆心O 1到A 的距离O 1A=，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.16．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r=（）A．12C．12-D．2【答案】D 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11ABC D 处的截面如图所示，则122212AC O F r AO ===，221AF AO O F =-.又因为111AF AO O F r =+=+，因此)111r=，得12r =-所以122r r =-故选：D17．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））过抛物线()220y px p =>的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A．54B．43C．32D．2【答案】C 【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C18．（2021·西工大附中分校高三模拟预测（理））设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若12PF F ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为A．2【答案】A 【详解】画出图形如图所示，设12PF F ∆的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与12PF F ∆的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质可得1122||||,||||,||||PN PQ F Q F M F N F M ===．不妨设点()0,2P x a 在第一象限内，∵G 是12PF F ∆的重心，O 为12F F 的中点，∴1||||3OG OF =，∴G 点坐标为02(,33x a ．由双曲线的定义可得121212||||2||||||||PF PF a F Q F N F M F M -==-=-，又12||||2F M F M c +=，∴12||,||F M c a F M c a =+=-，∴M 为双曲线的右顶点．又I 是12PF F ∆的内心，∴12IM F F ⊥．设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =．由题意得GI x ⊥轴，∴3x a =，故03x a =，∴点P 坐标为()3,2a a ．∵点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212b a =，∴2c e a ==．故选A ．19．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =A．12B．12+【答案】B 【详解】由题意12F P F P ⊥，则222212124F P F P F F c +==①，又122PF PF b -=②，2①－②得12PF PF ＝22a ，∵P 在渐近线上且OP c =，设A 为双曲线右顶点，如图，则PA b =，且12PA F F ⊥，由1212PF PF F F PA =得222a cb =，于是422222()a b c c c a ==-，变形为4210e e --=，解得212e =（12舍去），故选B．20．（2021·陕西西安·高新一中高三二模（理））我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是C．3D．2【答案】A 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11c a e =．双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，c e a =，c a e=，设1PF x =，2PF y =(x >0)y >，则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-，当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c =()224x y xy a xy -+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A．二、多选题21．（2021·广东茂名·高三月考）已知曲线C ：1x x y y +=，则下列结论正确的是（）A．直线0x y +=与曲线C 没有公共点B．直线x y m +=与曲线C 最多有三个公共点C．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为()*,()i i P x y i N ∈．则1ni i x =∑的取值范围为(【答案】ACD 【详解】由题设得：曲线C 为()()()22222210,010,010,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=<>⎩，A：由0x y +=是221x y -=和221y x -=的渐近线，且0x y +=与()2210,0y x y x +=≥≥没有公共点，故正确；B：由A 中的分析知：x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故错误；C：由图可知，若x y m +=与曲线C 有两个公共点或一个公共点，当0m <<x y m +=与曲线C 有两个公共点()111,P x y ，()222,P x y ，由对称性知，()111,P x y ，()222,P x y 关于直线y x =对称，则12y x =，∴1211x x x y =，（1）当01m <<时，120x x -∞<<．（2）当12m ≤<时，由12x x ≠，则21112112122x y x x x y +=<=．（3）当2m =l 与曲线C 只有一个公共点，不合题意．（4）当2m >0m ≤时，直线l 与曲线C 无公共点，综上可知，C 正确；D：由C 的分析，02m <<x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点，则12111nii xx x x y m ==+=+=∑，即102ni i x =<∑．当2m =x y m +=与曲线C 只有一个公共点，此点为2222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．此时(111222ni x x ===∑．故正确．故选：ACD．22．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三开学考试）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a．B．已知抛物线C 与直线l ：4320x y p --=在第一、四象限分别交于,A B 两点，若||||AF FB λ=，则4λ=．C．过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则四边形ADBE 面积的最小值为28p ．D．若过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于,M N 两点，过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，则点P 在定直线上．【答案】BCD【详解】A：抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a，故A 错误；B：联立243202x y p y px--=⎧⎨=⎩，则22163440x px p -+=，解得12,28px x p ==，由题意可知25||2222p p p AF x p =+=+= ，15||2828p p p pFB x =+=+= ，故55428p p=⨯，所以4λ=，故B 正确；C：由题意可知直线1l ，2l 的斜率均存在，且不为0，设直线1:2pl x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则2220y pmy p --=，设两交点为()()1122,,,A x y B x y ，结合韦达定理122y y pm +=，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+；同理2121DE p m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()22111212122ADBE S AB DE p m p m ⎛⎫=⋅=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭222122p m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222p ⎛⎫≥+ ⎪ ⎪⎝⎭28p =，当且仅当1m =±时，等号成立；所以四边形ADBE 面积的最小值为28p ，故C 正确；D：设221212,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设120,0y y ><因为22y px =（0p >），若0y >，则y =y '，所以在点M1p y =，因此在M 处的切线方程为21112y p y y x y p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即112y p y x y =+，同理在N 处的切线方程为222y py x y =+，则112222y py x y y py x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y x p=，因为直线MN 过点F ，所以122212002222y y y y p p p p --=--，即212y y p =-，所以2p x =-，故点P 在定直线2px =-上，故D 正确；故选：BCD.23．（2021·全国高三模拟预测）已知点F 为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（）A．4e =B．4e =C．12916k k =-D．12916k k =【答案】AC 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒，所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =．由余弦定理可得()22222931122cos60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e ==．设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--．因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC．24．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为(4,0)F ，直线l 经过点F 交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若2PB BF →→=，则（）A．8m =B．点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭C．50||3AB =D．弦AB 的中点到y 轴的距离为133【答案】CD 【详解】由于(4,0)F 得到16m =，故A 错误；抛物线方程为216y x =，过B 点作BD 垂直于y 轴，垂足为D 点，则//BD OF ,因为2PB BF →→=，所以23PB BD PFOF==,所以83BD =，即83B x =,代入抛物线方程216y x =，解得B y =B 错误；不妨取点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭，所以直线AB 的方程为：4)y x =-，联立抛物线方程得到：2326480x x -+=，韦达定理可知：12263x x +=，由抛物线的弦长公式可知：12268350|38|AB x x ++=+==，故C 正确；弦AB 的中点到y 轴的距离为121323x x +=，故D 正确；故选：CD.25．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（）A．双曲线CB．点1FC．21PF F ∆的面积为D．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD 【详解】解：∵双曲线222:105()x y C a a -=＞，∴225c a =+，又圆222:5O x y a +=+，∴圆O 的半径为c ，∴12||F F 为圆O 的直径，∴122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∵21tan 3PF F ∠=，∴1212tan 3PF PF F PF ∠==，∴123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∴()22221231||0F F m m m =+=，∴12||2F F c ==，又12||22m PF PF a -==，∴双曲线C的离心率2222c e a m ===，故A 正确；对于B，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ===B 正确；对于C，由离心率2e a ==得2103a =，21025533c =+=，∴122||F F c ===，∴2||m PF ==，1||3PF m ==，∴21PF F的面积为152=，故C 错误；对于D，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y =0=，设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=①，(),M p q到两条渐近线的距离1d =，2d =，∴22123210255p q d d -====，故D 正确；故选：ABD.26．（2021·广东汕头·高三二模）已知抛物线方程为24x y =，直线:220l x y --=，点00(,)P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为,A B ，则以下选项正确的是（）A．当00x =时，直线AB 方程为1y =B．直线AB 过定点()0,1C．AB 中点轨迹为抛物线D．PAB ∆的面积的最小值为2【答案】ACD 【详解】解析：214y x =Q ，12y x '∴=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1111:()2PA y y x x x -=-，即211111111222y x x x y x x y =-+=-，同理221:2PB y x x y =-，PA PB 、都过点00(,)P x y ，010102021212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩∴直线001:2AB y x x y =-，即0012y x x y =-，当000,1x y ==-时，:1AB y =.故A 正确；00112y x =- ，01:(1)12AB y x x ∴=-+，∴直线AB 过定点(1,1)，故B 错误；联立021(1)124y x x x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2002240x x x x -+-=，1202x x x ∴+=，12024x x x ⋅=-，212002y y x x +=-+，A B ∴、中点坐标为200011(,1)22x x x -+，故其轨迹方程为211122y x x =-+，故C正确；AB ==d2001122S x x ∴=-+∴当01x =时，min 2S =，故D 正确；故选：ACD 三、填空题27．（2021·浙江高三模拟预测）设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.【详解】设点D 在底面ABC 的射影点为O ，连接OA，则132sin3OA π==，OD =以点O 为坐标原点，CB 、AO 、OD uuu r分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则30,3A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、13,026B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、13,26C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、360,66E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,6F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设点(),,0P x y ，则3636EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，6,,3DP x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，223133cos 2223y DP EFDP EFx y θ+⋅==⋅++整理可得2222121231cos 23399x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程2222121231cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2122313999x y ++，可得23326y x =，则()22222423335331344242AP x y x x x x ⎛⎫=++++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当0x =时，等号成立，故AP 323228．（2021·全国高三开学考试（理））设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.【答案】2【详解】设1||(0)F B k k =>，则1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k ∴=-，2||2BF a k =-.23cos 5AF B ∠= ，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k ∴=-+----，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =，21||||3AF AF k ∴==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB ∴=+，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △是等腰直角三角形，2c a ∴=，∴椭圆的离心率c e a ==，故答案为：2.29．（2021·黑龙江大庆中学高三模拟预测（理））已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C上存在两点,A B 满足2MA AB = ，则实数t 的取值范围___________【答案】⎡⎣【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB = 知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∴22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点，∴两圆的圆心距离为243t d +=，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意，∴2021t ≤≤，即t ∈[21,21]-.故答案为：[21,21].30．（2021·全国高三专题练习（理））焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆()()2222:10C x y R R -+=>交于A 、B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程()22224,1,A A y x x x x y R x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，C 是圆2C 与x 轴的交点，O 是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角()0,απ∈，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠>；②对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<；③对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ；④当2021R >时，存在面积大于2021的内接正△O P Q .【答案】①②③【详解】联立抛物线与圆的方程，消去y 得22(1)4x x R -+=，即22(1)x R +=，而0R >且0x ≥，∴11R x =+≥，即A 、B 横坐标与半径R 的关系，∵抛物线与圆有两个交点，即11R x =+>，∴当2,1R x ==时，AFB πα∠=>，①正确；∵由题意知：,A B 关于x 轴对称，则对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R 使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，即只需存在R 使)3AFB π∠∈(0,即可.∴令||2210sin 212A y AFB x x R R x ∠<==<，则10x x ->23x >+23x <，1、当0743x <<-AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，23x >+x →+∞时0AFB ∠→︒，故AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，∴7x >+07x <<-10sin 22AFB ∠<<即)3AFB π∠∈(0,，所以对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，故②正确；由OP OQ =，于是PQ x ⊥轴，直线：:OP y x =，同理:OQ y =，∴,OP OQ 与Γ分别都只有一个交点，即对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ，③正确；当1R =时，如下图示，抛物线1C 与圆2C 只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴当113R <≤时，,OP OQ 与Γ的交点在圆2C 上，OPQ S 会一直增大，如下图示，直到13R =，即,P Q 与A 、B 重合分别为(12,、(12,-，此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴OPQ S ∈ (4.当13R >时，,OP OQ 与Γ的交点在抛物线1C 上，R 的变化对OPQ S 没有影响，如下图示，OPQ S =∴④错误.。

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ）ABC D 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为()3,1,M -、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个3．如图，60POQ ∠=︒，等边ABC 的边长为2，M 为BC 中点，G 为ABC 的重心，B ，C 分别在射线OP ，OQ 上运动，记M 的轨迹为1C ，G 的轨迹为2C ，则（ ）A ．1C 为部分圆，2C 为部分椭圆B ．1C 为部分圆，2C 为线段 C ．1C 为部分椭圆，2C 为线段D ．1C 为部分椭圆，2C 也为部分椭圆4． 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y kx =交于A ，B 两点，点P 为C 上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，C 的左､右焦点分别为1F ，2F .若14P PA B k k ⋅=，且C 的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）A ．4a =B ．C 的离心率为2C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D ．若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形5． 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =⋅，且2PQF 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．6． 已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F 、A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P 、Q 两点，且23PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为（ ）AB C D 7． 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．43y x =±B ．34yx C ．y = D ．y = 8． 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2.59． 有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆22221x y a b+=和双曲线22221(0)x y a m m n -=>>的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M 、N ；A 、B 分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:A ．2()a m -B ．()a m -C ．2()b n -D ．2()a m +二．多选题12． 已知点F 为椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（ ）A ．e =B ．e =C ．12916k k =-D ．12916k k =13． 已知曲线C 上的点(),P x y 满足方程110x x y y -+-=，则下列结论中正确的是（ ）A ．当[]1,2x ∈-时，曲线C 的长度为B ．当[]1,2x ∈-时，12y x -+的最大值为1，最小值为12-C ．曲线C 与x 轴、y 轴所围成的封闭图形的面积和为142π- D ．若平行于x 轴的直线与曲线C 交于A ，B ，C 三个不同的点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是32,22⎛+ ⎝⎭14． 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点()C a ，()2D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的可能取值为（ ）A ．-3B ．-2C ．0D ．115． 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值16． 已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（ ）A ．双曲线CB ．点1FC ．21PF F 的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2 三、双空题18． 已知正四面体A BCD -O 中，在平面BCD 内有一动点P ，且满足AP =||BP 的最小值是___________；直线AP 与直线BC 所成角的取值范围为___________.19． Cassini 卵形线是由法国天文家Jean -DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点1S ，2S 的距离的乘积等于常数2b .b 是正常数，设1S ，2S 的距离为2a ，如果a b <，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a b =，就得到一个双纽线；如果a b >，就得到两个卵形线.若()11,0S -，()21,0S .动点P 满足121PS PS ⋅=.则动点P 的轨迹C 的方程为___________；若'A 和A 是轨迹C 与x 轴交点中距离最远的两点，则'APA △面积的最大值为___________.四、填空题22． 2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O ，探测器在()A 处以12km /s 的速度匀速直线飞向距月心2000km 的圆形轨道上的某一点P ，在点P 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km /s 的速度匀速直线飞至()0,3000B ，这一过程最少用时_______________s.23.点M 是ABC ∆内部或边界上的点，若M 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC ∆的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若()0,2A ，()1,0B -，()1,0C 时，点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，则000AM BM CM ++的大小等于______.28.已知点P （0，2），圆O ∶x 2 +y 2=16上两点11(,)M x y ，22(,)N x y 满足 (R)MP PN λλ→→=∈，则1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为___________.30.（2021·江苏·盐城市伍佑中学高二月考）已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C 上存在两点,A B 满足2MA AB =，则实数t 的取值范围___________31． 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∶APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．32． 设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.33已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率大于0的直线l 经过点2F 与C 的右支交于A ，B 两点，若12AF F △与12BF F △的内切圆面积之比为9，则直线l 的斜率为______．34． 已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线22:1169x y C -=左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于__________．35． 双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与Γ的左、右两支分别交于A ，B 两点，点M 在x 轴上，213AF BM =，2BF 平分1F BM ∠，则Γ的渐近线方程为______．36． 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为 F ，离心率为e .若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合，满足BFAe BAF∠∠=恒成立，则双曲线C 的渐近线的方程为_________.37． 过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．38． 已知过抛物线2y x =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过坐标原点O 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于M ，N 两点，点P 是双曲线上一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，若不等式()124(||||)||||k k AF BF AF BF +⋅≥+恒成立，则双曲线的离心率为________.答案及解析1．C 【分析】设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值，由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即 【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ 由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以=PQ 因为||||MQ MP λ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB ，因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为=BQ .故选：C 【点睛】本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短. 2．D 【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个． 【详解】解：如图所示，任取圆2C 上一点Q ，以AQ 为直径画圆，交圆1C 与,M N 两点，设(),Q m n ，则AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭， 有2214m n +=，以AQ 为直径的圆的方程为()(3)()(1)0x m x y n y --+-+=， 即22(3)(1)3x m x y n y n m -++--=-，用1C 的方程减去以AQ 为直径的圆的方程，可得公共弦MN 所在的直线方程， 即(3)(1)123m x n y n m ++-=-+，将AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得： 左边=22316921(3)(1)222m n m m n n m n +-+++-+⎛⎫++-⋅= ⎪⎝⎭62243122m n m n -+==-+=右边，所以公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径， 则MN AQ =，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形AMQN 是矩形， 由Q 的任意性知，四边形AMQN 能构成无数个矩形，故选D ． 【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题 3．C 【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点M 的轨迹方程，由此得1C 为部分椭圆；过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，得等边OEF ，由平面几何可得G 是等边OEF 的外心，由此可得点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段. 【详解】以O 为原点，以POQ ∠的角平分线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示. 依题意得直线OQ的方程为y =，直线OP的方程为y =.设点(),B b，()C c ，由2BC =得()()2234b c b c -++=（*），设点(),M x y ，因为M 是BC的中点，所以)2b c x y b c +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即2b c x b c +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 将其代入（*）得2241243y x +=，即221313y x +=，故M 的轨迹1C 为椭圆在POQ ∠内部的部分.过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，则OEF 显然也是等边三角形.下面证明等边ABC 的重心G 即等边OEF 的外心.设OCB θ∠=，则120OBC ACF θ∠=-=∠，又60BOC CFA ∠=∠=，且BC AC =，所以OBC FCA ≅，因此OC AF =.在OGC 和FGA 中，30OCG FAG θ∠=+=∠，又GA GC =，所以OGC FGA ≅，则OG FG =，同理可证OG EG =，即点G 是等边OEF 的外心，所以，点G 在y 轴上移动，故点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段. 故选：C.【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键. 4．D 【分析】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a 、b 关系， 通过点到直线的距离求解c ，求出a ，b ，即可推出离心率，判断A ，B 的正误；设P 在双曲线的右支上，记 2,PF t = 则 14PF t =+，利用12PF PF ⊥，转化求解三角形的面积，判断C ；设P (x 0，y 0)，通过三角形的面积求解P 的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D. 【详解】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)则2211221x y a b -=，且2200221x y a b -=，两式相减得2222101022x x y y a b --=，所以2220122201y y b x x a -=-，因为01010101()()1()()4PA PB y y y y k k x x x x -+⋅=⋅=-+，所以2214b a =，12b a = 故双曲线C 的渐近线方程1=2y x ±因为焦点(c ，0)到渐近线1=2y x 的距离为1，1=，c =2a =，1b =，故A ，B 错误． 对于C ，不妨设P 在右支上, 记 2,PF t = 则 14PF t =+ 因为 12PF PF ⊥, 所以 22(4)20t t ++=解得2t = 或2t = (舍去）, 所以 12PF F △的面积为12112)2)22PF PF =⨯1=，故C 不正确； 对于D ，设P (x 0，y 0)，因为1200122PF F S c y ∆=⋅==，所以02y =，将02y =带入C ：2214x y -=，得2020x =，即0x =由于对称性，不妨取P 得坐标为(2)，则23PF ==，17PF =因为222212121212cos 02PF F F PF PF F PF F F +-∠==<所以∶PF 2F 1为钝角，所以PF 1F 2为钝角三角形，故D 正确 故选：D 5．A 【分析】根据条件求得23PF a =，∶1PF a =，在12Rt PF F △中，由勾股定理可得关于,a c 的等式，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线定义知21212PF PF QF QF a -=-=，则122PF PF a =-，122QF QF a =-，所以11224a P PF QF PF Q QF ==-++， ∶2PQF 的周长为()22222412PF QF PQ PF QF a a ++=+-=， ∶228PF QF a +=，4PQ a =，由()22222222200PF PF QF PF PF QF PF PQ PF PQ =⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥， 所以290F PQ ∠=︒，故2222216PF a QF +=，∶222QF PF a -=， ∶23PF a =，25QF a =，∶1PF a =，在12Rt PF F △中，()()22232a a c +=，故c e a =. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由2222PF PF QF =⋅得到290F PQ ∠=︒. 6．C 【分析】先由题意，得到以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a =，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，求出点P ，Q 的坐标，得出AP ，AQ ，根据23PAQ π∠=，再利用余弦定理求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a=． 设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∶(),P a b ，(),Q a b --．又A 为双曲线的左顶点，则(),0A a -， ∶AP =AQ b =，2PQ c =，在PAQ △中，23PAQ π∠=，由余弦定理得22222cos 3PQ AP AQ AP AQ π+-=，即22224()c a a b b b =+++， 即222442c a bb =+，则2b =()22244b a b =+，则2234b a =，即()22234c a a -=，所以2273c a =∶c e a ==． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：∶直接求出,a c ，从而求出e ；∶构造,a c 的齐次式，求出e ；∶采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；∶根据圆锥曲线的统一定义求解． 7．A 【分析】由1212()0F F F A F A +⋅=得121F F F A =，由此求得A 的坐标，将A 的坐标代入双曲线方程，化简求得ba，从而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意221212121112112()()()0F F F A F A F F F A F A F F F A F F +⋅=+⋅-=-=， 所以1212F F F A c ==， 1247AF k =-，设直线1F A 的倾斜角为α，则α为钝角，sin 24tan cos 7ααα==-， 结合22sin cos 1αα+=解得247sin ,cos 2525αα==-， 设()00,A x y ，则()07392cos 22525x c c c c c α⎛⎫=⋅+-=⨯--=- ⎪⎝⎭，024482sin 22525y c c c α=⋅=⋅=，将A 点坐标代入双曲线方程得2222394825251c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而222c a b =+，所以()()222222152123046256251a b a b a b ++-=，化简得22221521*********b a a b ⋅--⋅=，42241521140823040b a b a ⋅--⋅=，()()22229161691440ba b a -+=，229160b a -=，434,3b b a a ==， 所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：A 【点睛】本题主要解题的两个关键点，一个是根据向量的数量积为零判断出121F F F A =，另一个是将A 坐标代入双曲线方程后的运算. 8．A 【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于y 的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解. 【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示， 圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交， 设半径为r ，圆心为(0,1)r +，圆方程为：222(1)x y r r +--=代入双曲线方程221y x -=， 得2(1)0,1,y r y r y y r -++=∴==， 要使清洁球到达底部，1r ≤. 故选:A【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题. 9．A 【详解】由题得：设周长为l22BM BN a l AB BN AN AM AN m+=⇒=++-=22AB a BM AM m =+-+-22AB AM BM l a m +≥⇒≥-当且仅当M 、A 、B 共线时，周长的最小点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB 、BN 、AM 、AN 的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案 12．AC 【分析】设出右焦点F '，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得,a c 的关系，则离心率可求；设出,P M 的坐标，根据对称性写出Q 的坐标，利用点差法可求得12k k 的表示，结合,a c 的关系可求解出12k k 的值. 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形， 则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒， 所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =． 由余弦定理可得()22222931122cos 60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e == 设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--． 因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC ． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形. 13．ACD 【分析】先作出方程110x x y y -+-=表示的曲线C ，然后对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于方程110x x y y -+-=，∶ 当1x ≤，1y ≤时，方程变为220x x y y -+-=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示半圆弧EOF ；∶ 当1x >，1y <时，方程变为222211022x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1x y +=，表示射线FN ；∶ 当1x >，1y >时，方程变为22221110222x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该圆不在1x >，1y >范围内，故舍去；∶当1x <，1y >时，方程变为222211022x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1x y +=，表示射线EM .综上可知，曲线C 由三段构成：射线EM ，半圆弧EOF 和射线FN .对于选项A ，当[]1,2x ∈-时，曲线C 由三段构成：线段EM ，半圆弧EOF 和线段FN . 其A 正确； 对于选项B ，令12y k x -=+，其表示曲线C 上的动点(,)x y 与定点(2,1)P -连线的斜率，由图可知，max 211(1)(2)PM k k -===---，但是其最小值是过点(2,1)P -且与半圆弧EOF 相切的切线斜率，显然，min (1)112(2)2PN k k --<==---，故B 错误；对于选项C ，由图可知，曲线C 与x 轴、y 轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为211112142242ππ⎡⎤⎢⎥⨯⋅⋅-⋅⋅=-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确； 对于选项D ，设平行于x 轴的直线为y m =，要使y m =与曲线C 有三个交点，则12m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，不妨设y m =与半圆弧EOF 的交点为A ，B ，显然，A ，B 两点横坐标之和121x x =+，y m =与射线FN 的交点为C ，则点C 的横坐标3111,2x m ⎛=-∈ ⎝⎭，所以12332,2x x x ⎛++∈ ⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于：准确地作出方程110x x y y -+-=表示的曲线C . 14．AD 【分析】先求得M 点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系求得a 的取值范围，进而求得正确选项. 【详解】圆O 的圆心为()0,0M 为AB 的中点，2AB =，所以2OM =，设(),M x y 2=，所以点M 的轨迹方程为224x y +=. 即M 在圆心为()0,0，半径为12r =的圆上.()C a，()2D a +都在直线x =2CD =，设线段CD 的中点为N ，则()1N a +，以N 为圆心，半径为21r =的圆与圆224x y +=外离时，始终有CMD ∠为锐角，所以123ON r r =+=，即()211a +>，11a +>，所以11a +<-或11a +>， 即2a <-或0a >. 所以AD 选项正确. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系. 15．ABD 【分析】首先画图找到平面1//A MN 平面1D AE ，根据面面平行的性质定理得到点F 的轨迹，接着依次判断选项即可. 【详解】如图，分别找线段1BB ,11B C 中点为M ,N ,连接11,,A M MN A N , 因为正方体1AC ，易得1//,MN ADMN ⊄面1D AE ，1AD ⊂面1D AE ，所以//MN 面1D AE ，11//A M D E ，1A M面1D AE ，1D E ⊂面1D AE ，所以1//A M 面1D AE ，又1MN A M M ⋂=所以平面1//A MN 平面1D AE ，因为1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，又1⊄A F 平面1D AE ， 所以直线1A F 与平面1D AE 平行，所以1A F ⊂面1A MN ，又点F 是侧面11BCC B 内的动点，且面1A MN ⋂面11BCC B MN =， 所以点F 的轨迹为线段MN ，故选项A 正确； 由图可知，1A F 与BE 是异面直线，故选项B 正确；当点F 与点M 重合时，直线1A F 与直线1D E 平行，故选项C 错误； 因为1//MN AD ，MN ⊄面1ABD ，1AD ⊂面1ABD ， 所以//MN 面1ABD ，则点F 到平面1ABD 的距离是定值，又三角形1ABD 的面积是定值，所以三棱锥1F ABD -的体积为定值，故选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查立体几何中的动点轨迹问题，解决该类题目一般是通过线线，线面，面面之间的平行垂直关系，根据判定定理或者性质定理得到动点的轨迹，接着再求题目的相关问题，考查体积是定值的问题时，一般就是研究距离和面积是不是定值，关键在于选择合适的顶点和底面，在做题时要多总结. 16．ABD 【分析】由双曲线及圆的方程知圆O 的半径为c ，所以122F PF π∠=，又21tan 3PF F ∠=，根据双曲线的定义、勾股定理、双曲线中,,a b c 的关系得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，从而可判断选项A 正确；求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可判断选项B 、D 正确；由面积公式可判断选项C 错误. 【详解】解：∶双曲线222:105()x y C a a -=＞， ∶225c a =+，又圆222:5O x y a +=+， ∶圆O 的半径为c ，∶12||F F 为圆O 的直径，∶122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∶21tan 3PF F ∠=，∶1212tan 3PF PF F PF ∠==， ∶123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∶()22221231||0F F m m m =+=，∶12||2F F c =，又12||22m PF PF a -==，∶双曲线C的离心率22c e a ===A 正确； 对于B ，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ==B 正确；对于C，由离心率e ==得2103a =，21025533c =+=，∶122||F F c ===，∶2||m PF ==，1||3PF m = ∶21PF F的面积为152=，故C 错误； 对于D ，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y x =0=， 设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=∶，(),M p q 到两条渐近线的距离1d ，2d =∶22123210255p q d d -====，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，根据双曲线及圆的方程知圆O 的半径为c ，所以得122F PF π∠=，又21tan 3PF F ∠=，由双曲线的定义、勾股定理、双曲线中,,a b c 的关系求出双曲线C 的方程.18． ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先由正四面体A BCD -的球O 中，求出四面体的棱长和高，由高和AP =P 的轨迹，从而确定||BP 的最小值.（2）建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，求出直线AP 与直线BC 所成角的余弦值，求出余弦值取值范围，从而出所成角取值范围.【详解】设A 在面BCD 内的投影为E ，故E 为三角形BCD 的中心，设正四面体A BCD -的棱长为x ，球O 的半径为R .则23BE x =⨯=AE ， 依题可得，球心O 在AE 上，()222R BE AE R =+-，代入数据可得6x =，则BE =AE =又AP =PE ==故P 的轨迹为平面BCD 内以E 为圆心，BE = ,,B P E三点共线时，且P 在BE 之间时，||BP 的最小值是以E 为圆心，BE 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系，(A ，()B ，()C ，()3,0D -，设(),0P θθ，[)0,2θ∈π，故(2,AP θθ=-，()BC =-，设直线AP 与直线BC 所成角为α， ∶61π11cos sin ,2322AP BCBC AP αθ-⎛⎫⎡⋅⎤===-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∶11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故,32ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了立体几何中两条直线所成角的问题，解答的关键在于能利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系进行转化.同时对于立体几何中的角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量，利用向量的夹角公式求解.19．22222()2()0x y x y +--=；【分析】设(,)P x y ，代入12||||1PS PS ⋅=，化简即可得到动点P 的轨迹C 的方程；进而求出A ，A '的坐标，然后将问题转化为求点P 的纵坐标的最大值，再利用面积公式求解即可．解：设(,)P x y ，12||||1PS PS ⋅=，2222[(1)][(1)]1x y x y ∴-+++=，即22222()2()0x y x y +--=，∴动点P 的轨迹C 的方程为：22222()2()0x y x y +--=；令0y =，可得4220x x -=，解得0x =或x =(A A '，由对称性，只考虑第一象限的部分，||AA '为定值，APA '∴面积最大时，即点P 的纵坐标最大，又422222(1)(2)0y x y x x +++-=，221y x ∴=--+令t 2214t x -=，因为x ∈，所以[1t ∈，3]， 令22111()1(2)444t f t t t -=--+=--+， ∴当2t =时，()f t 取得最大值14，即214max y =， ∴12max y =，()1122APA max S '∴=⨯∴APA '故答案为：22222()2()0x y x y +--=；2． 【点睛】 关键点点睛：第二空解题的关键是利用第一空求出的动点P 的轨迹方程，求出点P 的纵坐标的平方的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求出点P 的纵坐标的最大值，从而面积的最大值可求．22．80009【分析】设,PA a PB b ==，飞行过程所用时间12()123t a b =+，再令23PC b =，则问题转化为求两条线段PA PC +最小即可作答.设,PA a PB b ==，飞行过程所用时间12()1218123PA PB t a b =+=+，令23PC b =，即23PC PB =， 设点C (0，m )在圆形轨道内，取点P 坐标(0，2000)，而()0,3000B ，由23PC PB =得22000(30002000)3m -=-，40003m = ，即4000(0,)3C ，设动点(,)M x y ，当23MC MB =时， 化简整理得2222000x y +=，即满足23MC MB =的动点M 的轨迹就是给定的圆形轨道， 所以距月心2000km 的圆形轨道上的任意点P 均有23PC PB =成立，如图，连PC ，于是有320003PA PC AC +≥=，当且仅当P 为线段AC 与圆形轨道交点时取“=”， 即有111320008000()121812121239PA PB t PA PC AC =+=+≥⋅=⋅=， 所以这一过程最少用时80009s. 故答案为：8000923．2【分析】 先证明费马点结论：若P 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则120APBAPC BPC ，再根据角度求解三条线段长度即可得解.【详解】先证明：若P 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则120APB APC BPC如图将ABP ∆绕点B 逆时针旋转60°得到BDE ∆，则BDE ∆∶ABP ∆，,60BD BP PBD ，所以BDP ∆是等边三角形，BP DP =，PA PBPC ED DP PC ，当,,,E D P C 四点共线时取得最小值， 此时120APB EDB ，同理可得120BPC APC 所以命题得证.点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，000120AM BAM C BM C ，0060AM O OM C ， 所以000233,233BM CM OM ，所以000AM BM CM ++=2故答案为：2【点睛】此题考查求平面内点到三定点距离之和的最值问题，涉及平面几何的证明问题，根据三角形边角关系求解线段长度.28．43【分析】 由111OC OA OB λλλ=+++，可得A ，B ，C 共线，再由向量的数量积的几何意义可得PC 为APB ∠的平分线，可得PAACPB BC λ==，可得P 的轨迹为圆，求得圆的直径与AB 的关系，即可得到所求最值．【详解】 由111OC OA OB λλλ=+++， 可得A ，B ，C 共线，当点P 不在直线AB 上时， 由PA PC PB PC PA PB⋅⋅=， 可得cos cos PC APC PC BPC ∠=∠，即有APC BPC ∠=∠，则PC 为APB ∠的平分线， 根据正弦定理易得PAACPB BC λ==，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面坐标系，设()20AB a a =>，(),P x y ，(),0A a -，(),0B a则()()222222x a y PA PB x a y λ++⎛⎫== ⎪⎝⎭-+， 整理得：()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭， ∶P 的轨迹是圆心为()221,01a λλ⎛⎫ ⎪ -⎝⎭+⎪，半径为221a λλ-的圆， 因为点P 不在直线AB 上，所以不包括x 轴上的点．∶12241a PP λλ≤-，∶2421a ma λλ≤-， 即22211m λλλλ≥=--恒成立， 设()()221f λλλλ=≥-，则()f λ在[)2,∞上单调递减，∶()f λ的最大值为()423f =． ∶43m ≥． 故m 的最小值为43． 故答案为：43． 29．48【分析】 将原式化为1122|3425||3425|555x y x y ++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而1122|3425||3425|,55x y x y ++++分别表示,M N 到直线:34250l x y ++=的距离，取MN 的中点T ，设T 在直线:34250l x y ++=的射影为1T ，则原式=110||TT ，根据圆的性质可以知道T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C ，进一步即可得到答案.【详解】由题意，,,M P N 三点共线，设T 为MN 的中点，,,M T N 在直线:34250l x y ++=的射影分别为111,,M T N ，点O 到直线:34250l x y ++=的距离|304025|545d ⨯+⨯+==>， ∶:34250l x y ++=与圆22:16O x y +=相离 ，如图： 而11221122|3425||3425||3425||3425|555x y x y x y x y ++++⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭()1115||||10||MM MM TT =+=，易得OT MN ⊥，即OT PT ⊥，∶T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C . ∶11|304125|24||||1155TT CT ⨯+⨯+≥-=-=，当1,,C T T 共线，且T 在1,C T 之间时取“=”. ∶1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为2410485⨯=. 故答案为：48.【点睛】 本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取MN 的中点T ，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.30．⎡⎣【分析】令(,)A x y ，根据2MA AB =得332(,)22x t y B --，由,A B 在圆C 上代入坐标，整理可将问题转化为两个圆有公共点，则两圆的圆心距离在15[,]33内，进而求t 的范围. 【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB =知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∶22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点， ∶两圆的圆心距离为d =，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意， ∶2021t ≤≤，即t∈[.故答案为：[.【点睛】关键点点睛：设(,)A x y ，利用向量共线的坐标表示求B 坐标，将点代入圆的方程将问题转化为两圆有公共点，求参数范围.31【分析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x 2+（y -2）2=1相外切．且∶APB 的大小恒为定值，即可求出线段OP 的长．【详解】设()2,0O a ，圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则tan ,tan a r a r OPA OPB t t-+∠=∠=， 2222222tan 1a r a r rt t t APB a r t a r t +--∴∠==-+-+， 241a r +=+22(1)4a r ∴=+-，2222tan 3232rt t APB t t r r∴∠==-+-+，∶∶APB 的大小恒为定值，∶t【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．32【分析】设点D在底面ABC的射影点为O，连接OA，以点O为坐标原点，CB、AO、OD分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y，由已知条件可得出关于x、y所满足的等式，利用二次函数的基本性质可求得AP的最小值.【详解】设点D在底面ABC的射影点为O，连接OA，则12sin3OAπ==OD==以点O为坐标原点，CB、AO、OD分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,A⎛⎫⎪⎪⎝⎭、12B⎛⎫⎪⎪⎝⎭、12C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭、D⎛⎝⎭、0,E⎛⎝⎭、F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，设点(),,0P x y，则EF⎛=⎝⎭，,,DP x y⎛=⎝⎭，cos2DP EFDP EFθ⋅==⋅，整理可得22221211cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程22221211cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2121399x y +=+，可得2y x =，则AP ==，当且仅当0x =时，等号成立，故AP【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.33【分析】设12AF F △与12BF F △的内切圆圆心分别为G ，H ， 12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ， 利用内切圆的性质得12HG F F ⊥．设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2πtan2θ-=FG FF ，在2Rt F FH 中，2tan 2θ=FH FF ，由题得3FG FH =得tan 2θ，再由二倍角公式可得答案． 【详解】设12AF F △与12BF F △的内切圆圆心分别为G ，H ，连接HG ，2HF ，2GF ，12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，如图，则()12121212AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-， 所以()2G G a c x c x =+--，即G x a =， 同理H x a =，所以12HG F F ⊥，设直线AB 的倾斜角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在2Rt F FG △中，()2ππtan tan 222FG FF c a θθ-⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 在2Rt F FH 中，()2tantan22FH FF c a θθ==-，由题得3FG FH =，所以()()πtan 3tan 222c a c a θθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan2θ=22tan2tan 1tan 2==-θθθ34．45【分析】由题意得8PB PA -=,10AB =，再利用正弦定理进行求解即可. 【详解】解：由题意得8PB PA -=,10AB ==，∴sin si 45n sin A B P PB PA AB --==.故答案为：45.【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，结合了正弦定理的应用，属于中档题. 35．y =． 【分析】设2AF m =，根据题意结合双曲线的定义可得4ma ，进一步判断2ABF 是等边三角形，在2F BM △中利用余弦定理可得22716m c =，即可得出,a c 关系，继而得出,a b 关系，求出渐近线方程. 【详解】根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，122F F c =，由213AF BM =，∶12F AF ∶1F BM △，∶24F M c =，设2AF m =，则3=BM m ， ∶2BF 平分1F BM ∠，∶12122142F F BF c MF BM c === ， ∶132mBF =，11132m AF BF ==，123AB BF m ==，由双曲线的定义知，212AF AF a -=， ∶122m m a -=，即4ma ∶，122BF BF a -=， ∶2322BF m a m =-=，∶22BF AB AF m ===，即2ABF 是等边三角形， ∶2260F BM ABF ∠=∠=︒，。

1. 已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若21k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为_______23 解析：设),(),,(),,(222211y x N y x M y x P --，2121221211,x x y y k x x y y k ++=--=，把M,N 代入方程作差得222122122212122121010))(())((ab k k b k k a b y y y y a x x x x -=⇒=+⇒=-++-+ 1212222121=⇒=≥+ab k k k k 2. M 是以B A ,为焦点的双曲线222=-y x 右支上任一点，若点M 到点)1,3(C 与到点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是_______),2226[+∞- 解析：222622-=-≥+-=+a AC MC a MA MC MB3. 设B A ,为双曲线)0(2222≠=-λλby a x 同一条渐近线上的两不同点，)0,1(=m ,6||,=AB 3||=m m AB ，则双曲线的离心率为_______________2或332 3||=m m AB 21,cos >=<⇒m AB ，故3=a b 或3=b a 4. 有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且 它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是 ______⎪⎭⎫ ⎝⎛52,31 解析：画图后，521103310252210221,22<<⇒<<⇒<-<1⇒<<=c c c c a c c PF)52,31(1512102∈+=+=cc c e 5. 已知曲线22:x y C =，点A (0,-2)及点B (3,a )，从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a 的取值范围是 ．（－∞,10）解析：关键是用什么模型，设切点),(00y x ，则切线为)(4000x x x y y -=-，过点A (0,-2)，得切于点)2,1(，切线为)1(42-=-x y ，切线与直线x =3的交点为(3,10)，故a ＜10。

高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆一、选择题1．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线所在直线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上．又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以半径最小的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.2．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，因此2＋a －1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(2＋4)2＋(1＋1)2－4＝6.3．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 解析：选C 注意到y ≥1，曲线y ＝1＋4－x 2是圆x 2＋(y －1)2＝4在直线y ＝1的上方部分的半圆．又直线kx －y －2k ＋4＝0⇒y －4＝k (x －2)知恒过定点A (2,4)．如图，由B (－2,1)，知k AB ＝4－12－(－2)＝34，当直线与圆相切时，|－1－2k ＋4|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝512，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.4．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，所以|AB |min ＝214－10＝4.5．已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选B 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0， 即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.所以S(8,0)，T(0，－6)．而圆心(4，－3)在直线ST上，所以PS⊥PT.即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.所以|PS|·|PT|≤12(|PS|2＋|PT|2)＝50.所以(|PS|·|PT|)max＝50.6．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.7．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB ＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为23，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为23，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝|3k＋1|k2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0. 8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2.当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|.又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6)．10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 法一：(排除法)由圆心在x 轴上，可排除A 、B ，又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴|PO |min ＝|MO |－1，|PO |max ＝|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，又|PQ |＝29－d 2，所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：法一：由题意，设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，则N (2＋cos θ，－2－sin θ)，将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1.因为sin θ－k cos θ＝k 2＋1sin(θ－φ)，其中tan φ＝k ，所以|2k ＋1|≤k 2＋1，即3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43. 法二：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 问题转化为直线kx ＋y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝1有公共点N . 所以|2k －2＋3|k 2＋1≤1，即|2k ＋1|≤k 2＋1，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.答案：－4314．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：415．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 216．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝5， 圆心(－1,0)，r ＝5，两直线分别与圆相切时对应的a 的边界值为：|－2＋a 2＋1|5＝5时，a ＝±6； |a －2|5＝5时，a ＝－3或a ＝7， 所以a 的边界值分别为－3,7，±6.由题意可知，两平行直线中必有一条与圆相切，另一条与圆相离，相切，相交三种情况都满足题意，故a ∈[]－3，－6∪[]6，7.答案：[]－3，－6∪[]6，7。

几何综合-填空选择压轴题21、矩形ABCD中，AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC±,满足△PBE s^DBC,若AAPD是等腰三角形，则PE的长为.2、如图，CE是q ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点0,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:四边形ACBE是菱形;①②ZACD=ZBAE；③AF：BE=2：3；④S四边形AFOE：S a C0D=2： 3.其中正确的结论有..（填写所有正确结论的序号）3、如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A-B-C—D路径匀速运动到点D,设APAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数)图象大致为（4、如图，在菱形ABCD中，AC=6很，BD=6,E是BC边的中点，P,M分别是AC, AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是（）A.6B.3V3C.2V6D. 4.55、如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=4,BC=2,将AABC绕点B顺时针方向旋转到AA，BJ的位置，此时点A，恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为.（结果保留丸）.6、如图，ZA0B=60°,OA=OB,动点C从点0出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边AACD,连接BD,则BD所在直线与0A所在直线的位置关系是()A.平行B,相交C,垂直 D.平行、相交或垂直7、如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4扼，点0”0?分别是^ABF,ACDE的内心，贝I0i02=.8、已知。

0的直径CD=10cm,AB是。

0的弦，AB±CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为()A.2V5cmB.4V5cmC.2-\/5cm或4扼cmD.2-\/3cm或4V3cm9、正方形AiBCO,A2B2C2G,A3B3C3C2,…按如图的方式放置,点A”A2,A3…和点G，C2,C3…分别在直线y=x+l和x轴上，则点辟的坐标为10、如图,C为半圆内一点,0为圆心,直径AB长为2cm,ZB0C=60°,NBC0=90°,将△BOC绕圆心0逆时针旋转至AB，0C'，点C'在0A上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2.A C O B11、如图，已知在AABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且/ BAC=45°,BD=6,CD=4,则AABC的面积为.12、如图，四边形ABCD中,AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）C.3V5A.5B.4 D.2V513、如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.14、如图，已知口AOBC的顶点0(0,0), A (-1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点0为圆心，适当长度为半径作孤，分别交边0A,0B于点D, E；②分别以点D,E为圆心，大于fDE的长为半径作弧，两孤在ZA0B内交于点F；③作射线0F,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(V5-1,2)B.(V5,2)C.(3-扃2)D,(扼-2,2)15、如图，ZMAN=90°,点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,AA Z BC与AABC关于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交A'B所在直线于点F,连接A' E.当△▲'EF为直角三角形时, AB的长为.16、如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,将AABC绕AC的中点D逆时针旋转90。

2:4C x y =,F P C CP PM F M y Q P F PN N y T FQ FP =FT 解析几何填空压轴题1．（山东临沂模拟）如图，抛物线 的焦点为 为抛物线 在第一象限内的一点，抛物线在点 处的切线 与圆 相切(切点为 )且交 轴于点 ，过点 作圆 的另一条切线 (切点为 )交 轴于 点．若已知 ，则 的最小值为_____________．2．（湖北武汉高三月考）已知过抛物线22yx =−的焦点F的直线与抛物线交于,A B 两点，则AF BF AB⋅=____________．3．（内蒙古赤峰高三月考（文））过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A 交另一条渐近线于点B ，若FB AF λ=，34λ≤≤，求C 的离心率的取值范围为___________4．（山东烟台高三一模）已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________．5．（2021中学生标准学术能力3月测试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=．若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________．6．（山东日照高三一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：221412x y−=的左、右焦点，E 为双曲线C 的右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B ，两点（其中点A 在第一象限），设M ，N分别为12AF F △，12BF F △的内心，则ME NE −的取值范围是______．7．（辽宁沈阳高三一模）已知抛物线24x y =，点()(),2,1,1M t t −∈−，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中,A B 为切点，直线AB 与y 轴交于点,P 则PA PB的取值范围是_________．8．（湖南长沙雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b −=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________．9．（湖北B4新高考的研）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左顶点为A ，右焦点为 F ，离心率为e ．若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合，满足e BAF∠恒成立，则双曲线C 的渐近线的方程为_________．10．（江苏徐州徐州一中高三期末）已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)y xE a b a b−=>>的两个焦点，E上的点P 到原点的距离为b ，且2112sin 3sin PF F PF F ??，则双曲线E 的渐近线方程为__________．11．（沙坪坝区·重庆一中高三月考）抛物线2:8C x y =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点D 为抛物线C 上的动点，且点D 在l 的右下方，则DAB 面积的最大值为______ 12．（江苏三校联考）平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:11C x y −+=，点P 为直线2y x =+上的动点，以PC 为直径的圆交圆C 于A 、B 两点，点Q 在PC 上且满足AQ PB ⊥，则点Q 的轨迹方程是________．13．（浙江宁波模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的右顶点为A ，且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．14．（广西南宁南宁三中（理））已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上的任意一点，点Q 是圆()2221x y −+=上任意一点，则2PAPQ最小值是_____15．（三省三校诊断性测试（理））已知双曲线22221x y a b−=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2，且满足2R ，则直线l 的斜率为___________．16．（内蒙古赤峰高三月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左､右焦点分别为12F F 、，M 是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，10MF OM =(O 为坐标原点)，若线段1MF 交双曲线于点P ，且213PF PF a +=，则双曲线的离心率为___________．17．（陕西下学期质检）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点P ，若,33b a G ⎛⎫⎪⎝⎭为12F PF △的重心，则该双曲线的离心率为______．18．（华大新高考联盟3月质检（文））已知点M 在抛物线C ：24y x =上运动，圆C '过点()5,0，(，()3,2−，过点M 引直线1l ，2l 与圆C '相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________．19．（江苏徐州高三二模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为P ，右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，2C 的顶点与1C 的中心O 重合．若1C 与2C 相交于点A ，B ，且四边形OAPB 为菱形，则1C 的离心率为___________．20．（山西高三一模（文））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点,02p M ⎛⎫−⎪⎝⎭，过点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点，若||24AB =，且tan AMB ∠=，则p =___________．21．（河南高三一模（理））已知直线l ：0x −=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b−=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______． 22．（内蒙古呼和浩特高三一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．23．（江西九校联考（理））已知离心率为2的双曲线1C ：()2210,0x ya b a b−=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，则1C 的标准方程为______．24．（中学生标准学术能力3月测试（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上一点()0P y ≠，在线段1PF 上取“12PF F △的周长中点”M ，满足2112||MP PF MF F F +=+，同理可在线段2PF 上也取“12PF F △的周长中点”N ．若PMN 的面积最大值为1，则b =__________．25．（广东广州高三一模）已知圆22(1)4x y −+=与双曲线2222:1x y C a b−=的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为,,,M N P Q ，且||2||MN PQ =，则C 的离心率为_______．26．（安徽江南十校联考（文））如图，,A F 分别为双曲线()2221016x ya a −=>的右顶点和右焦点，过F 作x 轴的垂线交双曲线于H ，且H 在第一象限，,,A F H 到同一条渐近线的距离分别为123,,d d d ，且1d 是2d 和3d 的等差中项，则C 的离心率为___________·27．（吉林吉林高三三模（理））己知圆()22:116,C x y P ++=是圆C 上任意点，若()1,0A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是_______﹔若A 是圆C 所在平面内的一定点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是：①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有__________．28．（浙江省宁海中学高三月考）如图，已知1F ，2F 为椭圆C ：221x y a+=(1a >)的两焦点，O 为坐标原点，1H ，2H 分别1F ，2F 在C 的切线l 上的射影，则点1H 的轨迹方程是___________；若有且仅有2条l 使得12OH H 的面积最大，则C 离心率的最大值是___________．29．（安徽黄山高三一模（理））在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>，12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虛轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =，PAB △面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是______________；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M ､N 分别为12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是____________．30．（浙江温州高三二模）已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，若121::2:3:1PF PF QF =，则12cos F PF ∠=________，椭圆的离心率为_________．31．（江苏盐城高三一模）罗默､伯努利家族､莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线22331:x C y +=的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S _____2（选填“>”､“<”或“=”），曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是________．31．（江苏连云港高三开学考试）焦点为F 的抛物线2ypx p直径的圆过点(0,2)A ，则圆心坐标为________，抛物线的方程为________．32．（江苏南通高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b−=>>及其渐近线在第一象限的交点分别为P ，A ，抛物线的焦点F 恰与双曲线的右顶点重合，AF x ⊥轴，则b a =________；若PF =p =________． 33．（江苏启东模拟）已知椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线MO （O 为原点）的斜率为2，则b a =____________；又OA OB ⊥，则2a b +=____________．34．（山东青岛高三期末）如图所示，在平面直角坐标系中，0,5Q ⎛−⎝⎭，()3,0L −，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切．则（1）圆L 的半径等于__________；（2）已知过点L 和抛物线()220x py p =>焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且3OA OB ⋅=−，则p =______．35．（浙江温州高三期末）已知点1、2分别为双曲线21(0)y a a−=>的左、右焦点，点P 是双曲线与以12F F 为直径的圆在第一象限内的交点，直线1F P 与直线0x ay +=交于点H ，且点H 是线段1F P 的中点，则1F H =______，双曲线的离心率为______．。

第6讲 解析几何选择压轴题1．（2021·北京海淀区·高三期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2C ．这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G ·Dandelin ）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30，1C ， 2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．D ．【答案】A【分析】在椭圆上任取一点P ，可证明111O PF O PQ ≅，可得 1=PF PQ ，设点P 沿圆锥表面到达M 的路线长为PM d ，则1PM PM PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+=，当且仅当 P 为直线VM 与椭圆交点时取等号，QR VR VQ =-即可求解．【解析】在椭圆上任取一点P ，连接VP 交球1O 于点 Q ，交球2O 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，在11O PF 与1O PQ 中有： 1111O Q O F r ==，（1r 为球1O 的半径），11190O QP O F P ∠=∠=， 1O P 为公共边，∴111O PF O PQ ≅，∴1=PF PQ ，设点P 沿圆锥表面到达M 的路线长为PM d ， 则1PM PM PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+=，当且仅当P 为直线VM 与椭圆交点时取等号，124161sin 302r r QR VR VQ --=-===，∴最小值为A ． 【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明111O PF O PQ ≅得出 1=PF PQ ，从而1PM PM PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+=，转化为 ,,V P M 三点共线时求QR ．2．（2021北京高三二模）点P 在函数y ＝e x 的图象上．若满足到直线y ＝x +a的点P 有且仅有3个，则实数a的值为（ ） A ．B ．C．3 D ．4【答案】C【分析】要满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，则需要直线与函数y ＝e x 的图象相交，而且点P 在函数y ＝e x ，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．【解析】过函数y ＝e x 的图象上点P （x 0，y 0）作切线，使得此切线与直线y ＝x +a 平行， y ′＝e x ，于是01x e =，则x 0＝0，y 0＝1，∴P （0，1），于是当点P 到直线y ＝x +a 时，则满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，∴d ==，解得a ＝﹣1或a ＝3，又当a ＝﹣1时，函数y ＝e x 的图象与直线y ＝x ﹣1相切，从而，∴不满足，故a ＝3，故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大． 3．（2021·北京延庆区·高三模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ）A ．2B ．C ．4D ．8【答案】B【分析】由直线方程得直线横过定点(1,3)-，再将求半径最值转化为求点到直线距离的最值问题． 【解析】由直线方程(1)3y k x =++可得该直线横过定点(1,3)-，又由相切可得该圆的半径r 等于圆心到直线的距离d ，最大值为r d ===，故选B ．【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．（2021·北京延庆区·高三模拟）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】设出,A B 坐标，根据AB 长度以及抛物线的焦半径公式求解出12x x +的值，则M 的横坐标可求． 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，∵12,22p pAF x BF x =+=+，∴121228AB x x p x x =++=++=， ∴126322M x x x +===，故选B ． 【名师点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+．5．（2021·北京西城区·高三一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线24y x =的焦点F 发出的两条光线a ，b 分别经抛物线上的A ，B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60︒，则两条反射光线a '和b '之间的距离为（ ）A B ．83C D 【答案】C 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线AF 的方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，求出A y ，同理求出B y ，再根据A B y y -计算可得；由24y x =得()1,0F ，60OFA ∠=︒，∴):01AF l y x -=-，即y =+24y y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去x 得2163y ⎛= ⎝，∴13y =，或2y =-，即3A y =；同理):01BF l y x -=-即y =24y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩x 得2163y ⎛= ⎝，∴3y =或43y =-（舍去），即B y =；∴3A B y y -==，即两条反射光线a '和b ' 故选C6．（2021·北京海淀区·高三期中）已知点()211,A x x ，()222,B x x ，10,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则“ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据三个点的坐标可知，点,A B 在抛物线2x y =上，C 为抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果． 【解析】由()211,A x x ，()222,B x x ，10,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭可知，点,A B 在抛物线2x y =上，C 为抛物线的焦点，若ABC 是等边三角形，则||||AC BC =，根据抛物线的定义可知，,A B 两点到准线的距离相等，∴直线AB 与x 轴平行，其斜率为0，若直线AB 的斜率为0，则,A B 两点到准线的距离相等，则||||AC BC =，只能得到ABC 是等腰三角形，不能推出ABC 是等边三角形，∴“ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的充分不必要条件．【名师点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义以及充分不必要条件的定义求解是解题关键．7．（2021·北京东城区·高三一模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点重合，P 为椭圆1C 与抛物线2C 的公共点，且PF x ⊥轴，那么椭圆1C 的离心率为（ ） A1 B．3C．2D1【答案】A 【分析】利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到(,2)P c c ，将其代入椭圆方程得到2222241c c a a c+=-，根据离心率公式得到2210e e +-=，解方程可得结果． 【解析】 由22y px =得(,0)2pF ， 不妨设P 在第一象限，∵PF x ⊥轴，(,0)2p F ，∴(,)2pP p ，又在椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>中，(c,0)F ，∴2pc =，即2p c =，∴(,2)P c c ， ∴222241c c a b +=，∴2222241c c a a c+=-， ∴2222411c a a c +=-，∴224111e e +=-， 整理得2210e e +-=，解得1e =或1e =（舍）， 故选A 【名师点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到(,2)P c c ，将其代入椭圆方程得到2222241c c a a c+=-，根据离心率公式可得关于,,a b c 的等量关系．8．（2021·北京石景山区·高三一模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切．则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质可得BC 边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得BC 边上的垂直平分线方程，再由点到直线的距离公式结合圆的对称性得出答案． 【解析】∵在ABC 中，4AB AC ==∴BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线AD∵点()1,3B -，点()4,2C -，∴31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭∵直线BC 的斜率为32114+=---，∴BC 的垂直平分线的斜率为1 ∴BC 的垂直平分线方程为1322y x -=-，即10x y --=∵“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切∴可得圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+==由圆的对称性可知，圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为-=故选A.【名师点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用距离公式得出圆心到直线30x y -+=的距离，再由对称性得出最小值．9．（2021·北京朝阳区·高三一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||5AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（ ）A ．8B ．CD ．6【答案】B 【分析】依题意得点A 坐标，作点O 关于l 的对称点B ，则||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，求AB 即为最小值． 【解析】如图所示：作点O 关于l 的对称点B ，连接,PB AB ，设点(),A x y ，不妨设0y > ，由题意知()1,0F ，直线l 方程为1x =-，则||15AF x =+=，得4x =，∴24416y =⨯=，得4y = ，由||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，当,,A B P 三点共线时取等号，又AB ==== ，∴||||PA PO +的最小值为B 。