高中数学核心考点：解析几何压轴大题四大策略

高考数学解析几何高分秘籍在高考数学中，解析几何一直是让众多考生头疼的难题之一。

它不仅需要扎实的数学基础知识，还要求具备较强的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。

那么，如何在高考数学中拿下解析几何的高分呢？下面就为大家分享一些实用的秘籍。

一、扎实掌握基础知识要想在解析几何中取得高分，首先要对相关的基础知识有深入的理解和掌握。

这包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、性质、参数方程等。

对于直线，要熟练掌握其点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程形式，以及直线的斜率、倾斜角、平行与垂直的判定等知识。

圆的标准方程和一般方程要能熟练转换，并且要清楚圆心坐标和半径的求解方法。

椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、离心率、焦点坐标等是重点中的重点。

例如，椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹；双曲线则是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹。

只有把这些基础知识牢记于心，才能在解题时迅速准确地运用。

二、注重图形结合解析几何的题目往往都与图形密切相关，因此要养成图形结合的解题习惯。

在解题过程中，先根据题目条件画出图形，这样可以直观地看出问题的关键所在，有助于寻找解题思路。

例如，对于直线与圆的位置关系问题，可以通过画出图形，观察圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断。

对于椭圆、双曲线和抛物线的问题，画出图形可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质，从而更有效地进行计算和推理。

同时，在图形中标记出已知条件和所求问题，能够让我们更加清晰地把握解题的方向。

三、熟练运用公式和定理解析几何中有很多重要的公式和定理，如两点间距离公式、点到直线距离公式、弦长公式等，要熟练掌握并能灵活运用。

两点间距离公式：＄d ＝＼sqrt{（x_2 x_1)＾2 ＋（y_2 y_1)＾2}＄点到直线距离公式：＄d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＄弦长公式：对于直线$y ＝ kx ＋ b$与曲线$f(x,y) ＝ 0$相交于两点$A(x_1,y_1)＄，＄B(x_2,y_2)＄，弦长$｜AB| ＝＼sqrt{1 ＋ k^2}＼cdot\sqrt{（x_1 ＋ x_2)＾2 4x_1x_2}＄在解题时，准确运用这些公式可以大大提高解题的效率和准确性。

解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。

2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。

选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。

3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。

可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。

4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。

可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。

5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。

可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。

6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。

最后，回答问题，给出相应的解释和结论。

在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。

同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。

根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。

目录解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1)一、设点或直线 (1)二、转化条件 (1)（1）求弦长 (2)（2）求面积 (2)（3）分式取值判断 (2)（4）点差法的使用 (4)四、能力要求 (6)五、补充知识 (6)关于直线 (6)关于椭圆： (7)例题 (7)解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线———————————————一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。

直线与曲线的两个交点一般可以设为等。

对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。

在抛物线上的点，也可以设为。

◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。

对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。

如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。

一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。

如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。

（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。

二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。

对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。

下面列出了一些转化工具所能转化的条件。

向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。

解析几何压轴大题突破策略——“破题式”三式第一式——定点、定值问题一.定点问题[例1]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由(y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，)消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为(0，－35).[解题技法]圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[过关训练]1.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k ＞0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．解：(1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)，直线l 与直线l 1的交点为(0,1)，∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0，由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②由①②得(y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，)∴k ·k 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1xx 0＝(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1xx 0＝1.(2)由(y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1)得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，∴x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2.k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)＝－k 2＋13k ，直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k (x －－8k 4k 2＋1)，即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.∴当k 变化时，直线MN 过定点(0，－53).二.定值问题[例2](2019·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM ―→·ON ―→＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．[解](1)当点P 位于短轴的端点时，△PF 1F 2的面积最大，即12×2c ×b ＝3，则有(c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，)解得(a ＝2，b ＝3，)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1，联立(3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，)消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0,由Δ＞0得4k 2－n 2＋3＞0，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n 2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ＞0.当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立(3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，)消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上可知，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.[解题技法]圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为[过关训练]2．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P (2，55)是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，因为点P (2，55)在椭圆C 上，所以4a 2＋15(a 2－4)＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，得D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，由(x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，)得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－15，所以k AB ·k OD ＝－15.故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.第二式——最值、范围问题一.最值问题[例1](2018·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．[解](1)依题意知F (p 2，0)，当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2.当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k (x －p 2)(k ≠0)，由(y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，)消去x 并整理，得y 2－2p k y －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4，得p 2＝4，解得p ＝2.综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0，y 0)，B (t 24，t )，则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A (4t 2，－4t ).因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2t，则直线l AD 的方程为y ＋4t ＝2t (x －4t 2)，化简得2x －ty －4－8t2＝0.由(2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，)消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16t 2＝0，Δ＝(－2t )2－4(－8－16t 2)＝4t 2＋64t2＋32＞0恒成立，所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t2.于是|AD |＝1＋t 24|y 1－y 0|＝1＋t 24(y 1＋y 0)2－4y 1y 0＝4＋t 2t 2＋16t2＋8，设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝(t 22－t 2－4－8t 2)4＋t 2＝(t 2＋16t 2＋8)24＋t 2.所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14(t 2＋16t 2＋8)3≥16，当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 面积的最小值为16.当t ＝2时，直线AD 的方程为x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．[过关训练]1．(2018·安康质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值．解：(1)由已知条件，得b ＝3，且2a ＋2c 2×3＝33，∴a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得(x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，)消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.∵直线过椭圆内的点，∴无论m 为何值，直线和椭圆总相交．∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.∴＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1(m 2＋1＋13)2＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1)，令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t，易知t ∈(0，13)时，函数f (t )单调递减，t ∈(13，＋∞)时，函数f (t )单调递增，∴当t＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )取得最小值，f (t )min ＝109，此时，取得最大值3.二.范围问题[例2](2019·合肥模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ－1＝0相切(θ为常数)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求F 1M ―→·F 1N―→的取值范围．[解](1)由题意，得(c a ＝22，1sin 2θ＋cos 2θ＝c ，a 2＝b 2＋c 2)解得(c ＝1，a 2＝2，b 2＝1，)故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝1，不妨记M (1，22)，N (1，－22)，∴F 1M ―→＝(2，22)，F 1N ―→＝(2，－22)，故F 1M ―→·F 1N ―→＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由(y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1)消去y 得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.①F 1M ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 1N ―→＝(x 2＋1，y 2)，则F 1M ―→·F 1N ―→＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2，结合①可得F 1M ―→·F 1N ―→＝2(k 4－1)2k 2＋1＋4k 2－4k 42k 2＋1＋1＋k 2＝7k 2－12k 2＋1＝72－922k 2＋1，由k 2≥0可得F 1M ―→·F 1N ―→∈(－1，72).综上可知，F 1M ―→·F 1N ―→的取值范围是(－1，72).[解题技法]解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[过关训练]2．(2019·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |＞|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B (－c ，－b 2a )，所以(a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2)解得(a ＝2，b ＝3，c ＝1，)所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin ∠APM 12|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ＞2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→.由(1)可知P (0，－1)，设直线MN 的方程为y ＝kx －1(k ＞12)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得(y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，)化简得，(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.得(x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3.)(*)又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)，PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k ＞12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1＜(2－λ)2λ＜4且λ＞2，解得4＜λ＜4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．第三式——证明、探索性问题一.证明问题[例1](2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .[解](1)由已知得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝1.则点A 的坐标为(1，22)或(1，－22).又M (2,0)，所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x －2，即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k (x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB 成立．[解题技法]圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ―→＋FA ―→＋FB ―→＝0.证明：|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列，并求该数列的公差．证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP ―→|＝32，于是|FA ―→|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3(1－x 214)＝2－x 12.同理|FB ―→|＝2－x 22.所以|FA ―→|＋|FB ―→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP ―→|＝|FA ―→|＋|FB ―→|，即|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB ―→|－|FA ―→||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.二.探索性问题[例2](2019·合肥质检)如图，在平面直角坐标系中，点F (－1，0)，过直线l ：x ＝－2右侧的动点P 作PA ⊥l 于点A ，∠APF 的平分线交x 轴于点B ，|PA |＝2|BF |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线q 交曲线C 于M ，N ，试问：x 轴正半轴上是否存在点E ，直线EM ，EN 分别交直线l 于R ，S 两点，使∠RFS 为直角？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．[解](1)设P (x ，y )，由平面几何知识得|PF ||PA |＝22，即(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得x 22＋y 2＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠2)．(2)假设满足条件的点E (n,0)(n ＞0)存在，设直线q 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，R (－2，y 3)，S (－2，y 4)．联立(x 2＋2y 2＝2，x ＝my －1，)消去x ，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2m 2＋2－2m 2m 2＋2＋1＝2－2m 2m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，由条件知y 1x 1－n ＝y 3－2－n ，y 3＝－(2＋n )y 1x 1－n，同理y 4＝－(2＋n )y 2x 2－n ，k RF ＝y 3－2＋1＝－y 3，k SF ＝－y 4.因为∠RFS 为直角，所以y 3y 4＝－1，所以(2＋n )2y 1y 2＝－[x 1x 2－n (x 1＋x 2)＋n 2]，(2＋n )21m 2＋2＝2－2m 2m 2＋2＋4n m 2＋2＋n 2，所以(n 2－2)(m 2＋1)＝0，n ＝2，故满足条件的点E 存在，其坐标为(2，0)．[解题技法]存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．[过关训练]2．(2019·福州四校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为b3，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由内切圆的性质，得12×2c×b＝12×(2a＋2c)×b3，得ca＝12.将x＝c代入x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，所以2b2a＝3.又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝3，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称．当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．联立(y＝k(x－1)，3x2＋4y2－12＝0，)得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，由根与系数的关系得(x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，)①其中Δ＞0恒成立，由TS与TR所在直线关于x轴对称，得k TS＋k TR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，即y1x1－t＋y2x2－t＝0.②因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得k(x1－1)(x2－t)＋k(x2－1)(x1－t)(x1－t)(x2－t)＝k[2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t](x1－t)(x2－t)＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③将①代入③得8k2－24－(t＋1)8k2＋2t(3＋4k2)3＋4k2＝6t－243＋4k2＝0，④则t ＝4，综上所述，存在T (4,0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．【牛刀小试】1.(2018·郑州一检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△P Q F 2的周长为42，求F 2P ―→·F 2Q ―→的最大值．解：(1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)．化简得a 2＝2b 2，所以e ＝1－b 2a 2＝22.(2)因为△P Q F 2的周长为42，所以4a ＝42，得a ＝2，由(1)知b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线方程为x ＝－1，P (－1，22)，Q (－1，－22)，F 2P ―→＝(－2，22)，F 2Q ―→＝(－2，－22)，故F 2P ―→·F 2Q―→＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由(y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2，)消去y 并整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，F 2P ―→·F 2Q ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)(－4k 22k 2＋1)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92(2k 2＋1)，由k 2＞0可得F 2P ―→·F 2Q ―→∈(－1，72).综上所述，F 2P ―→·F 2Q ―→∈(－1，72)，所以F 2P ―→·F 2Q ―→的最大值是72.2．(2019·沈阳教学质量监测)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝2NM ―→.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)设P (x ，y )，易知N (x,0)，NP ―→＝(0，y )，又NM ―→＝12NP ―→＝(0，y 2)，∴M (x ，y 2)，又点M 在椭圆上，∴x 29＋(y 2)24＝1，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝163，∴1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝163，|CD |＝6，∴1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程，得(y ＝k (x －1)，x 29＋y 28＝1，)得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得(Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＞0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，)∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48(1＋k 2)8＋9k 2，同理可得x 3＋x 4＝188k 2＋9，x 1x 2＝9－72k 28k 2＋9.则|CD |＝1＋1k 2·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝48(1＋k 2)9＋8k 2.∴1|AB |＋1|CD |＝8＋9k 248(k 2＋1)＋9＋8k 248(k 2＋1)＝1748.综上可得1|AB |＋1|CD |为定值．3．(2019·惠州调研)已知点C 为圆(x ＋1)2＋y ＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足M Q ―→·AP ―→＝0，AP ―→＝2AM ―→.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF ―→·OH ―→≤45时，求k 的取值范围．解：(1)由题意知M Q 是线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|Q C |＋|Q P |＝|Q C |＋|Q A |＝22＞|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆，所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1，故点Q 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|t |k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1.联立(x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t)⇒(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以OF ―→·OH ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝(1＋k 2)(2t 2－2)1＋2k 2＋kt －4kt 1＋2k 2＋t 2＝(1＋k 2)2k 21＋2k 2－4k 2(k 2＋1)1＋2k 2＋k 2＋1＝1＋k 21＋2k 2，所以34≤1＋k 21＋2k 2≤45⇒13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22，所以－22≤k ≤－33或33≤k ≤22.故k 的取值范围是(－22，－33)∪(33，22).4．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点P 1，P 2和点P 3，P 4，线段P 1P 2，P 3P 4的中点分别为M 1，M 2.(1)求线段P 1P 2的中点M 1的轨迹方程．(2)求△FM 1M 2面积的最小值．(3)过M 1，M 2的直线l 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由题设条件得焦点F (1,0)，设直线P 1P 2的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.联立(y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，)得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，则Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 2·k 2＝16(1＋k 2)＞0.设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设M 1(xM 1，yM 1)，(3)当k ≠±1时，由(2)知直线l 的斜率为k ′＝k 1－k 2，∴直线l 的方程为y ＋2k ＝k 1－k 2(x －2k 2－1)，即yk 2＋(x －3)k －y ＝0，(*)当x ＝3，y ＝0时，方程(*)对任意k (k ≠±1)均成立，即直线l 过定点(3,0)．当k ＝±1时，直线l 的方程为x ＝3，也过定点(3,0)．综上可知，直线l 恒过定点(3,0)．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的初、高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。

解析几何压轴大题策略指导——四大策略解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．策略一 利用向量转化几何条件[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0， 即直线l 与圆C 有两个交点．所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [题后悟通]以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．[针对训练]1．已知椭圆M ：x 24＋y 23＝1，点F 1，C 分别是椭圆M 的左焦点，左顶点，过点F 1的直线l (不与x 轴重合)交椭圆M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的离心率及短轴长．(2)问：是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，椭圆M 的离心率e ＝c a ＝12，短轴长2b ＝2 3.(2)设点B (x 0，y 0)，由题意知BC ⊥BF 1，点F 1(－1,0)，C (－2，0)， 由BC ·BF 1＝0，得(－2－x 0，－y 0)·(－1－x 0，－y 0)＝0， 即(x 0＋2)(x 0＋1)＋y 20＝0.①又知点B (x 0，y 0)满足x 204＋y 203＝1.②联立①②，解得x 0＝－2或x 0＝－10.由椭圆方程知，x 0＝－2或x 0＝－10均不满足题意，故舍去． 因此，不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上．策略二 角平分线条件的转化[典例] 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2.因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2b x 1＋1x 2＋1＝8k ＋bx 1＋1x 2＋1k 2＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′， 设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q(x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2， 因而直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1－y 2(x －x 1)． 又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)， 故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在， 则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .由条件可知k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝my 1＋a y 2＋my 2＋a y 1＋y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝2my 1y 2＋a ＋1y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)． 法四：设P ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2， 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线， 所以k PB ＋k Q B ＝y 1y 218＋1＋y 2y 228＋1＝0， 整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴， 所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8.因为k P Q ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2， 所以直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y 218， 即y ＝8y 1＋y 2(x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)． [题后悟通]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．[针对训练]2．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q(2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线P Q 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠AP Q ＝∠BP Q ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2.又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝4，c ＝2 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠AP Q ＝∠BP Q ，则直线P A ，PB 的斜率互为相反数， 设直线P A 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ， 直线P A 的方程为y －3＝k (x －2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x －2，x 216＋y 24＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0，∴x 1＋2＝8k 2k －31＋4k 2.同理可得x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k 2＝8k 2k ＋31＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 策略三 弦长条件的转化[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 22＋y 2＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)， 又直线l 的斜率为1， 故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0， 则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，因此中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. 故直线OM 的斜率为13－23＝－12.(2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立． 由题意，直线l 不与x 轴重合， 设直线l 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫2m m 2＋22＋4m 2＋2＝22m 2＋1m 2＋2， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，所以弦AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线CD 的方程为y ＝－m2x .联立⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22＋y 2＝1，消去y 并整理得⎝⎛⎭⎫1＋m22x 2＝2， 解得x 2＝21＋m 22＝4m 2＋2.由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则x 20＝4m 2＋2， 可得|CD |＝1＋m 24·|2x 0|＝m 2＋4·4m 2＋2＝2 m 2＋4m 2＋2. 因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |， 所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2， 故|AB |24＝|CD |24－|OM |2，即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，代入|AB |，|CD |和|OM |， 得8m 2＋12m 2＋22＝4m 2＋4m 2＋2－4⎣⎡⎦⎤4m 2＋22＋m 2m 2＋22，解得m 2＝2，故m ＝± 2.所以直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1. [题后悟通]本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM ||DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，则|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝12|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．[针对训练]3．已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)若存在直线l ：y ＝kx ，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG |＝|BH |，求圆M 的半径r 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，因为a ＝2，c a ＝22，所以c ＝1，因此b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2－2＝0得(1＋2k 2)x 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－21＋2k 2，则|AB |＝1＋k 2·81＋2k 2＝ 81＋k 21＋2k 2.因为点M (2，0)到直线l 的距离d ＝|2k |1＋k 2， 所以|GH |＝2r 2－2k 21＋k 2. 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，与已知矛盾． 要使|AG |＝|BH |，只需|AB |＝|GH |， 即81＋k 21＋2k 2＝4⎝⎛⎭⎫r 2－2k 21＋k 2， 所以r 2＝2k 21＋k 2＋21＋k 21＋2k 2＝23k 4＋3k 2＋12k 4＋3k 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋k 42k 4＋3k 2＋1. 当k ＝0时，得r ＝ 2.当k ≠0时，r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＜2⎝⎛⎭⎫1＋12＝3. 又显然r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＞2，所以2＜r ＜ 3.综上所述，圆M 的半径r 的取值范围是[2，3)．策略四 面积条件的转化[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝21＋2k ＋1＋4k 251＋4k 2，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝21＋2k －1＋4k 251＋4k 2.又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝12·5·41＋2k 51＋4k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22， 当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. 法二：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消去y ，(1＋4k 2)x 2＝4.故x 1＝－21＋4k 2，x 2＝21＋4k 2， |EF |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 21＋4k 2. 根据点到直线的距离公式，得点A ，B 到直线EF 的距离分别为d 1＝|2k |1＋k 2＝2k1＋k 2，d 2＝11＋k 2. 因此四边形AEBF 的面积为S ＝12|EF |·(d 1＋d 2)＝12·41＋k 21＋4k 2·1＋2k 1＋k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝24k 2＋4k ＋11＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22， 当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [题后悟通]如果利用常规方法理解为S 四边形AEBF ＝S △AEF ＋S △BEF ＝12|EF |·(d 1＋d 2)(其中d 1，d 2分别表示点A ，B 到直线EF 的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出|EF |的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形——△ABE 和△ABF 的面积之和，则更为简单．因为直线AB 的方程及其长度易求出，故只需表示出点E 与点F 到直线AB 的距离即可．[针对训练]4．已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P (n,0)(n ＞4)满足条件|F A ||P A |＝e .(1)求n 的值；(2)设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1S 2＝|PM ||PN |.解：(1)依题意，|F A ||P A |＝e ＝12，|F A |＝2，|P A |＝n －4(n ＞4)，得2n －4＝12，解得n ＝8.(2)证明：由S 1＝12|PF ||PM |sin ∠MPF ，S 2＝12|PF ||PN |sin ∠NPF ，则S 1S 2＝12|PF ||PM |sin ∠MPF12|PF ||PN |sin ∠NPF ＝|PM |sin ∠MPF |PN |sin ∠NPF. 设直线l 的方程为x ＝my ＋2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，又P (8，0)， 则k PM ＋k PN ＝y 1x 1－8＋y 2x 2－8＝y 1x 2－8＋y 2x 1－8x 1－8x 2－8＝x 2y 1＋x 1y 2－8y 1＋y 2x 1x 2－8x 1＋x 2＋64 ＝my 2＋2y 1＋my 1＋2y 2－8y 1＋y 2my 1＋2my 2＋2－8[m y 1＋y 2＋4]＋64＝2my 1y 2－6y 1＋y 2m 2y 1y 2－6m y 1＋y 2＋36.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，3x 2＋4y 2＝48，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋12my －36＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－12m3m 2＋4，y 1y 2＝－363m 2＋4，所以k PM ＋k PN ＝－72m 3m 2＋4＋72m3m 2＋4－36m 23m 2＋4＋72m 23m 2＋4＋36＝0，则∠MPF ＝∠NPF ，因此S 1S 2＝|PM ||PN |.[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考：1．平行四边形条件的转化2．直角三角形条件的转化3．等腰三角形条件的转化4．菱形条件的转化5．圆条件的转化6．角条件的转化。

高考数学如何应对解析几何的难题解析几何是高考数学中一个相对较为复杂和困难的知识点，无论是平面解析几何还是空间解析几何，都需要同学们具备较高的数学思维和分析能力，才能够顺利解决问题。

在高考中，解析几何常常是一道能够考察学生综合运用多种数学知识与技巧的题目，因此，如何应对解析几何的难题成为学生备战高考的重要环节。

本文将从几个方面为同学们介绍高考数学解析几何题目的解题技巧与策略。

一、充分理解题意在解析几何的难题中，题目通常会给出一定的几何条件或图形描述，并要求求解一些未知的几何性质或者计算一些几何量。

因此，同学们首先要做的就是充分理解题目中给出的条件和要求，举一反三，将所学知识与题目相结合，形成自己的解题思路。

二、熟练掌握基本几何定理与公式解析几何的难题往往需要建立几何模型，运用几何定理和公式来求解。

因此，同学们需要熟练掌握基本的几何定理与公式，例如平面解析几何中的点与直线的关系、直线与直线的关系、平面与平面的关系等，还有空间解析几何中的点与直线的关系、直线与平面的关系、平面与平面的关系等。

只有当我们熟练掌握了这些基本的几何定理与公式，才能在解析几何的题目中游刃有余。

三、灵活应用坐标系在解析几何的题目中，坐标系是一种非常重要的工具。

通过建立适当的坐标系，可以把几何问题转化为代数问题，更加方便理解和计算。

同学们需要熟练掌握直角坐标系和参数方程两种坐标系的应用，能够根据题目的要求选择适当的坐标系，简化问题的求解过程。

四、细心分析图形性质在解析几何的题目中，图形性质的分析是非常重要的一步。

同学们需要根据题目给出的条件和要求，利用已知信息推导出更多的图形性质，从而为问题的解决提供更多线索。

同时，同学们还需要判断出哪些性质是关键性质，哪些是次要性质，避免陷入无用的计算中。

五、多做题，总结经验解析几何需要一定的练习积累，通过多做题目，可以更加熟悉各种典型的解题方法和技巧。

在解题过程中，同学们要注意总结分析，归纳各种解题的模式，形成自己的解题经验。

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。