课标版文数2018版《5年高考3年模拟》§2.2 函数的基本性质 考纲解读及考题解析

三角函数考纲原文 （八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x ,y =t a n x 的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos xx x= （5）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（十）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.名师解读对于三角函数与三角恒等变换的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.样题展示考向一 三角恒等变换样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-样题2已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α= AB CD 【答案】B12cos()13αβ-=⇒ 5sin()13αβ-=，34sin()cos()55αβαβ+=-⇒+=-，则sin 2sin[()()]ααβαβ=-++ sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=-++-+5412356()()13513565=⨯-+⨯-=-，故选B. 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.考向二 三角函数的图象和性质样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D样题4（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.样题5 （2017年高考浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】（1）由2sin3π=21cos 32π=-，22211()()()322f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．考向三 利用正、余弦定理解三角形()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin u A y sin =样题6 （2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．综上可得，△BCD的面积为2，cos 4BDC ∠=．样题7 （2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b=，c =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--= .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.样题8（2017天津文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c --．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．考向四 解三角形的应用样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）求D 救援中心与着陆点A 间的距离．【解析】（1）由题意知,PA AC PA AB ⊥⊥，则,PAC PAB △△均为直角三角形，在Rt PAC △中，1,60PA PCA =∠= ，解得AC =；在Rt PAB △中，1,30PA PBA =∠= ，解得AB =又90CAB ∠= ，则3BC ==．即,B C 万米.。

§2.7函数与方程考纲解读分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题.五年高考考点函数零点与方程的根1.(2017课标全国Ⅲ,12,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12B.1 C.12D.1答案 C2.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=2-,2,-2 2, 2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5 答案 A3.(2014重庆,10,5分)已知函数f(x)=11- , -1, ,, ,1 ,且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )A.-,-2∪ ,12B.-11,-2∪ ,12C.-,-2∪ ,2D.-11,-2∪ ,2答案 A4.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D. ,+∞答案 C5.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=2, D,,,其中集合D=-1, ,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案86.(2016浙江,12,6分)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠ ,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2, R,则实数a= ,b= .答案-2;1教师用书专用(7—15)7.(2014湖北,9,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当 ≥ 时, f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-D.{-2-答案 D8.(2013安徽,10,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2.若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为( )A.3B.4C.5D.6答案 A9.(2013湖北,10,5分)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,B. ,12C.(0,1)D. ,+∞答案 B10.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.答案(0,2)11.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sin xsin2-x2的零点个数为.答案 212.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案-1213.(2014福建,15,4分)函数f(x)=2-2, ,2-,的零点个数是.答案 214.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=2 5 , ,2 -2 , .若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为.答案(1,2)15.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当 [ , 时, f(x)=2-2 12.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案 ,12三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点函数零点与方程的根1.(2018广东深圳高级中学月考,2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=x2+1B.y=|lg x|C.y=cos xD.y=e x-1答案 C2.(2018湖北荆州第一次检测,6)函数f(x)=-log2x的零点所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D. ,+∞答案 C3.(2017湖北武汉武昌调研,6)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0-1,1), f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,- ∪ 1,+∞B.(-∞,-3)C.(-3,1)D. 1,+∞答案 A4.(2017天津红桥期中,8)函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间( )A.1,1B.1,12C.12,1 D.(1,2)答案 C5.(人教A必1,三,1,A2,变式)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a · -b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a 和(a,b)内C.(b,c)和 c,+∞ 内D.(-∞,a 和 c,+∞ 内答案 A6.(2017广东10月百校联考,13)函数f(x)=2x-3的零点为.答案x=log237.(2017湖北华师一附中期中,16)已知函数f(x)=(2x-3)e x+有三个零点,则实数a的取值范围是.答案-9-<a<eB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018河南、河北重点高中联合考试,12)已知函数f(x)=,,, 1,-,1,若函数g(x)=x3+λf 恰有3个零点,则λ的取值范围为( )A.,∞B.(-∞, ∪C. ,D.(-∞, ∪,∞答案 A2.(2017河南焦作二模,12)已知函数f(x)=, ,2 a 1, ,F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,B.[1,+∞C.(-∞,1D. ,+∞答案 C3.(2017山西名校联考,10)函数f(x)=x3- +1 ≤1 的零点所在区间为( )A.-1,-1和12,1 B.-12,-1和1,12C.-12,-1和12,1 D.-1,-1和1,12答案 D4.(2016广东珠海摸底考试,12)若a满足a+lg a=4,b满足b+10b=4,函数f(x)=2 a2, ,2, ,则关于x的方程f(x)=x解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C二、填空题(共5分)5.(2017辽宁六校协作体期中,15)定义在R上的奇函数 f(x),当 ≥ 时, f(x)=11 , [ ,1 ,1-- ,[1,∞ ,则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为.答案1-2aC组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法1.(2018河南、河北重点高中第二次联合考试,8)定义在R上的奇函数f =a·2x-2-x-4sin x的一个零点所在区间为( )A.(-a,0)B.(0,a)C.(a,3)D.(3,a+3)答案 C2.(2016福建四地六校第一次联考,3)函数f(x)=e x+x-2的零点所在的区间是 ≈2.71 2 )A. ,12B.12,1 C.(1,2) D.(2,3)答案 A方法2 函数零点的应用3.(2018广东汕头金山中学期中考试,12)已知实数f(x)=, ,-,,若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则t的取值范围为( )A.(-∞,-2]B.[1,+∞C.[-2,1]D.(-∞,-2 ∪[1,+∞ 答案 A4.(2017江西金溪一中等期中联考,16)若函数f(x)=k--2有三个零点,则实数k的取值范围是.答案(-2, ∪ ,25.(2016安徽安庆摸底考试,14)若函数f(x)=4x-2x-a, [-1,1]有零点,则实数a的取值范围是. 答案-1,2。

2.2 函数的基本性质五年高考考点1 函数的单调性1．（2013安徽，4，5分）”“0≤a 是“函数|)1(|)(x ax x f -=在区间),0(+∞内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2013福建．10.5分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从．S 到T 的函数)(x f y =满足：)(};|)({)(ii s x x f T i ∈=对任意,,21S x x ∈当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是 ( )N B N A A =∈*,.}1008|{},31|{.≤<-==≤≤-=x x x B x x A B 或R B x x A C =<<=},10|{. Q B Z A D ==,.3．（2012陕西．2,5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 ( )1+=⋅x y A 3x y B -=⋅ xy C 1=⋅ ||x x y D =⋅ 4．（2011课标，2，5分）下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是 ( )3x y A =⋅ 1||+=⋅x y B 12+-=⋅x y C ||2x y D -=⋅5．（2011辽宁．11,5分）函数)(x f 的定义域为,2)1(,=-f R 对任意,2)(,>∈x f R x 则42)(+>x x f 的解集为 ( ))1,1.(-A ),1.(+∞-B )1,.(--∞c ),.(+∞-∞D6．（2012上海．7,4分）已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是7．( 2011江苏．2,5分)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是8．（2009山东．16，4分）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()4(x f x f -=-且在区间[0，2]上是增函数．若方程=)(x f )0(>m m 在区间[ -8，8]上有四个不同的根,,,,4321x x x x 则=+++4321x x x x考点2 函数的奇偶性1．（2013山东，3,5分）已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，,1)(2xx x f +=则=-)1(f ( ) 2.-A 0.B 1.C 2.D2．（2013广东，2，5分）定义域为R 的四个函数y y x y x ,2,3==x y x sin 2,12=+=中，奇函数的个数是 ( )4.A 3.B 2.C 1.D3．（2012福建．7，5分）设函数⎩⎨⎧=,,0,,1)(D 为无理数为有理数x x x 则下列结论错误的是 ( )A ．D （x ）的值域为10，1} B.D(x)是偶函数C.D （x ）不是周期函数D.D(x)不是单调函数4．（2011湖北，6，5分）已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)()(x g x f +xxaa --=⋅=/>+)1,0(2Ra a 若)2(g ,a =则=)2(f ( ) 2.A 415.B 417.C 2.a D 5．（2011广东．4，5分）设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( )|)lg()(x x f A +⋅是偶函数 |)lg()(x x f B -⋅是奇函数 )(|)(|.x g x f C +是偶函数 )(|)(|.x g x f D -是奇函数6．（2012上海，9，4分）已知2)(x x f y +=是奇函数，且.1)1(=f 若,2)()(+=x f x g 则=-)1(g7．（2011浙江．11,4分）若函数||)(2a x x x f +-=为偶函数，则实数a=智力背景习惯路线 有一户人家 ,父女二人在同一所学校工作 ．如图，这两个人从家走到学校，各有自己的习惯路线，父亲喜欢尽量少拐弯；女儿却 喜欢一路穿街走巷，不放弃每次拐弯的机会，如果国中每一条路都是沿着南北或东西的方向，那么父亲和女儿谁走的路短一些？答案是：两条路的长短相同.解读探究知识清单一、函数的单调性1．定义域为I 的函数f （x ）的增减性2．函数单调性与单调区间如果函数)(x f y =在区间D 上是⑥ ，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的⑦ 二、函数的奇偶性与周期性 1．偶函数和奇函数2．奇偶性3．周期性(1)周期函数：对于函数),(x f y =如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数)(x f y =为周期函数，T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数)(x f 的所有周期中存在一个 ，那么这个 就叫做它的最小正周期， 【知识拓展】1．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数=y )(x f 在给定区间上的单调性反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质，函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．2．对函数奇偶性定义的理解不能只停留在)()(x f x f =-和)()(x f x f -=-这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有),()(x f x f =-)()(x f x f -=-的实质是：函数的定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有)()(x a f a x f -=+成立．，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 3．熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数以及形如xx y 1+=的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律． 4．函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于)(x f 的方程，从而可得)(x f 的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用0)()(=-±x f x f 产生关于字母参数的恒等式，由系数的对等性可得字母参数的值．5．求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．知识清单答案智力背景“六一七四”问题 美国数学家马丁在上世纪80年代发表文章指出，任何不同的四位数字通过从大 到小和从小到大的排列，得到差后再重复上述运算，至多7次，得到的答案都是“6174”，国际数学界称之为“马丁猜想-6174问题”．如果战争爆发，一方得到敌方的某行动密码，要破译它就需要“6174”理论，它还具有巨大的民用价值，在通讯领域，它可以给加密和保密传输带来方便，还可以运用于电子产品、 工业设备等并能解决电压的稳定性问题.突破方法方法1 函数单调性、单调区间的判断方法判断函数单调性的方法很多，常见的有定义法、复合函数法、导数法及图象法等．例1 （2012山西太原一模．14,5分）函数-+=22(log x y )13+x 的递减区间为( )),1.(+∞A )43,.(-∞B ),21.(+∞C ),43[+∞⋅D解题思路解析 由,01322>+-x x 得函数的定义域为⋅+∞-∞),1()21,(令,1322+-=x x t 则,log t y +=,81)43(213222--=+-=x x x t1322+-=∴x x t 的单调增区间为⋅+∞),1(又 ),1(log +∞+=在t y 上是减函数，∴ 函数)132(log 2+-+=x x y 的单调减区间为⋅+∞),1( 答案 A【方法点拨】 求复合函数))((x g f y =的单调区间的步骤： (1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：).(),(x g u u f y == (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增同减，则))((x g f y =为增函数；若一增一减，则))((x g f y =为减函数，即“同增异减”．例2 （2012江西六校二模．16，12分）讨论函数=)(x f )0(12>-a x ax在)1,1(-∈x 上的单调性. 解题思路 可根据定义，先设,1121<<<-x x 然后作差、变形、定号、判断． 解析 设,1121<<<-x x 则 11)(.)(22221121---=-x ax x ax x f x f （4分）)1)(1(222122121221--+--=x x ax x ax ax x ax )1)(1()1)((22212112--+-=x x x x x x a （8分） -<->+>-∴<<<-2221211221)1(,01,0,11x x x x x x x x .0)1> （10分）又 ,0)()(,021>-∴>x f x f a∴ 函数)(x f 在)1,1(-上为减函数． （12分）【方法点拨】 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法（在解决选择题或填空题时有时可用图象法），利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：方法2函数单调性的应用函数单调性的应用非常广泛，它常与函数的其他性质如奇偶性、周期性、对称性等结合用于解不等式、求参数范围等．例3（2012云南大理二模．17,12分）已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有)()(y f x f +),(y x f += 且当0>x 时，<)(x f ⋅-=32)1(,0f (1)求证：)(x f 在R 上是减函数；(2)求)(x f 在[ -3，3]上的最大值和最小值， 解题思路解析 (1)证法一：∵ 函数)(x f 对于任意R y x ∈,总有),()()(y x f y f x f +=+ ∴ 令,0==y x 得.0)0(=f再令,x y -=得⋅-=-)()(x f x f （2分）智力背景数学史上的一场论战 公元1505年，意太利的费洛宣布自己找到了三次方程公式解，并把它传给得意门生佛罗雷都斯．塔塔里亚自学成才但受到一些习惯势力的歧视公元1530年，有人向塔塔里亚提出两道三次方程的问题，塔塔里亚赢得了挑战，从此名声大振！佛罗雷都斯无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！1535年2月22日，在意大剥的米兰，二人公开举行数学竞赛．塔塔里亚在不到两小时的时间内，解完了佛罗雷都斯的全部问题而佛罗雷都新望题兴叹，终于以0:30败下阵来！在R 上任取,21x x >则,021>-x x).()()()()(212121x x f x f x f x f x f -=-+=-又 ∵ x>0时，,0)(<x f 而,0)(,0212<-∴>-x x f x x l 即).()(21x f x f < （6分） 因此R x f 在)(上是减函数． （7分） 证法二：设,21x x > 则)()(21x f x f -)()(2221x f x x x f -+-= )()()(2221x f x f x x f -+-=⋅-=)(21x x f （3分）又 ∵ x>O 时，.0)(<x f 而,0)(,02121<-∴>-x x f x x 即),()(21x f x f < （6分）)(x f ∴在R 上为减函数． （7分）)()2(x f 在R 上是减函数，)(x f ∴在[ -3，3]上也是减函数，)(x f ∴在[ -3，3]上的最大值和最小值分别为)3(-f 与).3(f （9分）而.2)3()3(,2)1(3)3(=-=--==f f f f （11分）)(x f ∴在[ -3，3]上的最大值为2，最小值为-2． （12分）【方法点拨】 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意21,x x 在所给区间内比较)()(21x f x f -与0的大小，或)()(21x f x f 与1的大小，有时根据需要，需作适当的变形：如2121.x xx x =或121x x x +=2x -等.方法3 函数奇偶性的判一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．例4（2012山东日照三模，14,4分）函数+=x x f （2log )())(12R x x ∈+与|2|lg )(-=x x f 分别为 和 函数．（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）解题思路解析 (1)解法一：易知)(x f 的定义域为R 又11log ]1)([log )(2222++=+-+-=-⋅x x x x x f),()1(log 22x f x x -=++-=)(x f ∴是奇函数．解法二：易知)(x f 的定义域为R又+++-+-=<+-x x x x f x f (log ]1)([log ))(222 ,01log )122==+x 即),()(x f x f -=-)(x f ∴为奇函数．(2)由,0|2|>-x 得.2=/x)(x f ∴的定义域为}.2|{=/x x)(x f 的定义域关于原点不对称，)(x f ∴为非奇非偶函数，答案 奇；非奇非偶【方法点拨】 1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．-些重要类型的奇偶函数 (1)函数xxaa x f -+=)(为偶函数，函数xx aa x f --=)(为奇函数；(2)函数)10(11)(22=/>+-=+-=-a a a a a a a a x f x x x x 且为奇函数；(3)函数xxx f a+-=11log )(为奇函数);10(=/>a a 且 (4)函数)1(log )(++=x x x f a 为奇函数).10(=/>a a 且方法4 函数奇偶性的应用函数的奇偶性的应用之一是求值、参数的值和求函数解析式，有时也与函数的其他性质结合求解，解不等式等问题，例5 (1)（2012江苏徐州二模．10.5分）设=>)(,0x f a x x e aa e +是R 上的偶函数，则a=(2)（2012吉林长春一模，13.5分）已知)(x f y = 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，,2)(2x x x f -=则)(x f 在R 上的解析式=)(x f解题思路 (1)利用偶函数定义域特值法如=-)1(f )1(f 求a ．(2)令,0<x 求)(x f -的解析式，利用偶函数这一性质得)(x f 在)0,(-∞上的解析式．解析 (1)解法一：)(x f 是R 上的偶函数，)()(x f x f =-∴在R 上恒成立，即,x x x x eaa e e a a e +=+--01)1(222=-+-a e a x 对任意的x 恒成立，⎩⎨⎧>=-∴,0,012a a 解得.1=a 解法二：)(x f 是R 上的偶函数，),1()1(f f =-∴,1.1e a a e ae e a +=+∴ ,0)1(1)1(=-+-a a e e a a.01,0)1)(1(2=-∴=--∴aa e a a又.1,0=∴>a a经验证，当1=a 时，有.1.),()(=∴=-a x f x f (2)设,0<x 则,0>-x.2)(2)()(22x x x x x f +=---=-∴又)(x f y =是定义在R 上的偶函数，),0(2)(),()(2<+=∴=-∴x x x x f x f x f⎩⎨⎧<+≥-=∴.0,2,0,2)(22x x x x x x x f答案 1)1( ⎩⎨⎧<+≥-0,20,2)2(22x x x x x x智力背景检票问题（一） 旅客在车站候车室等候检票，并且排队的旅客按照一定的速度在增加，捡票速度一定，当车站开放一个检票口，需用半小时可将待检旅客全部捡票进站；同时开放两个检票口，只需十分钟便可让旅客全部进站．现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内使旅客全部检票进站，问此车站至少要同时开放几个检票口？分析：①本题是一个贴近实际的应用题，给出的数量关系具有一定的隐蔽性仔细阅读后发现涉及的量为：原排队人数，旅客按一定速度增加的人数，每个检票口检票的速度等.【方法点拨】 利用奇函数的图象关于原点对称，在原点两侧的单调性相同，偶函数的图象关于，，轴对称，在y 轴两侧的单调性相反，以及奇偶函数解析式的特点，解决与之有关的问题．方法5函数周期性的应用函数的周期性反映了函数在整个定义域上的规律性变化，解决与函数周期性有关的问题，其核心是充分利用已知条件探寻得到函数的周期，如结合式子的特点、奇偶性与对称性等．再利用周期解决求值、求零点个数、求函数解析式等相应问题．例6 (1)（2011全国．9,5分）设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，),1(2)(x x x f -=则=-)25(f ( )21.-A 41.-B 41.C 21.D(2)（2012山东济南，14,4分）设定义在R 上的函数)(x f 满足,13)2()(=+⋅x f x f 若,2)1(=f 则=)99(f解题思路解析 )()1(x f 是周期为2的奇函数，212)21()21()225()25(⨯-=-=-=+-=-∴f f ⋅-=-⨯21)211((2)由13)2()(=+⋅x f x f 得,)(13)2(x f x f =+ ),()2(13]2)2.()4(x f x f x x f =+=++=+∴)(x f ∴是以4为周期的周期函数，⋅==-=-⨯=∴213)1(13)1()1425()99(f f f f 答案 A )1( ⋅213)2( 【方法点拨】 1．求函数周期的方法2．对称性与周期函数的关系(1)若函数)(x f 关于直线a x =和直线b x =对称，则函数)(x f 必为周期函数，||2b a -是它的一个周期．(2)若函数)(x f 关于点（a ，O ）和点(b ，0)对称，则函数)(x f 必为周期函数，||2b a -是它的一个周期．(3)若函数)(x f 关于点（a ，0）和直线b x =对称，则函数)(x f 必为周期函数，4︱a –b ︱是它的一个周期．三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试一、选择题（每题5分，共30分）1．（2013天津河西一模．2）设a ，b 都是非零向量，若函数=)(x f ))(()(R x xb a b xa ∈-⋅+是偶函数，则必有 ( )b a A ⊥. b a B //. ||||.b a C = ||||.b a D =/2．（2013山东枣庄一模．9）若)(x f y =既是周期函数，又是奇函数，则其导函数)(x f y =( )A ．既是周期函数，又是奇函数B ．既是周期函数，又是偶函数C ．不是周期函数，但是奇函数D ．不是周期函数，但是偶函数3．（2013河北沧州二模，4）已知函数x a b x x f )4()(:22--+=b a -+2是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是( )4.-A 2.B 3.C 4.D4．（2012江西盟校二联．8）设)(x f 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有0)1()1(=++-x f x f恒成立，如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧<-++->,0)8()236(,322n n f m m f m 那么2m 2n +的取值范围是( ) )7,3.(A )25,9.(B )49,13.(C )49,9.(D5．（2012江西盟校二联，6）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是),,](,[z b a b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a ，b)共有( )A.2个B.5个C.6个 D ．无数个智力背景检票问题（二）②给分析出的量一个代表符号：设检票开始时等候检票的旅客人数为x 人，排队队伍 每分钟增加y 人，每个检票口每分钟捡票z 人，最少同时开放n 个检票口，就可在5分钟内使旅客全部进 站，把本质的的内容翻译成数学语言：开放一个检票口，需半小时检完，则;3030z y x =+开放2个检票口，需10分钟检完。

函数的基本性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.函数的单调性及最值理解函数单调性、最大值、最小值及其几何意义2024课标Ⅰ,5,5分函数的单调性、奇偶性解不等式★★★2024课标Ⅱ,15,5分函数的单调性解不等式2.函数的奇偶性与周期性①结合详细函数,了解函数奇偶性的含义;②了解函数周期性的含义2024课标Ⅱ,11,5分利用周期性与奇偶性求值函数的对称性★★☆2024课标Ⅰ,13,5分已知奇偶性求参数对数运算2024课标Ⅰ,3,5分推断函数奇偶性肯定值性质分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性;求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的推断及应用是高考的热点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,娴熟驾驭利用性质求最值等相关问题.4.本节内容在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,分值为5分左右,属于中低档题;与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,分值为12分左右,属于中档题.破考点【考点集训】考点一函数的单调性及最值1.(2024广东省际名校(茂名)联考(二),4)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论肯定正确的是( )A.y=1f(f)在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-1f(f)在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数答案 D2.(2024河南高三联考,4)已知函数f(x)=x+√2f -a (a>0)的最小值为2,则实数a=( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B3.(2024山东济宁3月模拟,15)若函数f(x)={(f -1)f -2f ,f <2,log f x,x ≥2(a>0且a≠1)在R 上单调递减,则实数a 的取值范围是 . 答案 [√22,1)考点二 函数的奇偶性1.(2024江西赣州十四县(市)下学期期中,4)设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x≥0时, f(x)=3x-7x+2b(b 为常数),则f(-2)=( ) A.6 B.-6 C.4 D.-4答案 A2.(2024河北石家庄一模,6)已知奇函数f(x)在x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围为( )A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<-1或x>1} 答案 A考点三 函数的周期性1.(2024安徽宣城其次次调研,11)定义在R 上的奇函数f(x)满意f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( )A. f (32)<f (-14)<f (14) B. f (14)<f (-14)<f (32)C. f (32)<f (14)<f (-14) D. f (-14)<f (32)<f (14) 答案 C2.(2024上海崇明二模,9)设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=log 2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是 . 答案 f(x)=log 2(3-x)炼技法【方法集训】方法1 推断函数单调性的方法1.(2024湖北荆州一模,3)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )A.y=e xB.y=tan xC.y=x3-xD.y=ln2+f2-f答案 D2.(2024辽宁部分重点中学协作体模拟,10)函数f(x)=e f+e-fe f-e-f ,若a=f(-12),b=f(ln2),c=f(ln13),则有( )A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a答案 D方法2 推断函数奇偶性的一般方法1.(2024广东深圳一模,8)已知f(x)=√4-f2,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( )A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)·g(x)是奇函数C.h(x)=f(f)·f(f)2-f是偶函数D.h(x)=f(f)2-f(f)是奇函数答案 D2.(2024河南郑州其次次质量预料,9)已知y=f(x)满意f(x+1)+f(-x+1)=2,则以下四个选项肯定正确的是( )A. f(x-1)+1是偶函数B. f(-x+1)-1是奇函数C. f(x+1)+1是偶函数D. f(x+1)-1是奇函数答案 D方法3 函数值域的求解方法1.(2024河北唐山二模,7)函数y=2-ff+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( ) A.(1,2) B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)2.(2024河南郑州一模,11)若函数y=|√|f|-1f2|在{x|1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=( )A.3116B.2 C.94D.114答案 A过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一函数的单调性及最值1.(2024课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满意-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案 D2.(2024课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x 的取值范围是.答案(-1,3)考点二函数的奇偶性与周期性1.(2024课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满意f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )A.-50B.0C.2D.50答案 C2.(2024课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C3.(2024课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+√f+f2)为偶函数,则a= .B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2024北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-(13)f,则f(x)( ) A.是奇函数,且在R 上是增函数 B.是偶函数,且在R 上是增函数 C.是奇函数,且在R 上是减函数 D.是偶函数,且在R 上是减函数 答案 A2.(2024天津,13,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满意f(2|a-1|)>f(-√2),则a 的取值范围是 .答案 (12,32)考点二 函数的奇偶性与周期性1.(2024天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 答案 C2.(2024山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (f +12)=f (f -12).则f(6)=( )A.-2B.-1C.0D.2答案 D3.(2024四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f (-52)+ f(1)= . 答案 -2C 组 老师专用题组考点一 函数的单调性及最值1.(2024北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=√f +1 B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log 0.5(x+1) 答案 A2.(2024安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( ) A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8答案 D考点二 函数的奇偶性与周期性1.(2024福建,2,5分)下列函数为奇函数的是( ) A.y=√f B.y=|sin x| C.y=cos x D.y=e x-e -x答案 D2.(2024安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满意f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f (23π6)=( )A.12 B.√32 C.0 D.-12 答案 A3.(2024湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3答案 C4.(2024江苏,11,5分)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={f +f ,-1≤f <0,|25-x |,0≤x <1,其中a∈R.若f (-52)=f (92),则f(5a)的值是 .答案 - 25【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2025届山东师范高校附中其次次模拟考试,10)函数f(x)是R 上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则函数f(x)在[3,5]上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数答案 D2.(2025届广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第一次联考,11)已知函数f(x)是R 上的奇函数,∀x∈(0,+∞)都有f(x+2)=-f(x)且当x∈(0,1]时, f(x)=2x+1,则f(2 017)+f(2 018)的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C3.(2024河南洛阳第一次统考,3)若函数同时满意下列两个条件,则称该函数为“美丽函数”:(1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0; (2)∀x 1,x 2∈R,且x 1≠x 2,都有f (f 1)-f(f 2)f 1-f 2<0.①f(x)=sin x;②f(x)=-2x 3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln(√f 2+1+x),以上四个函数中,“美丽函数”的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 B4.(2024福建福安一中测试,8)已知f(x)=f 2-3x +2f 2+2,若f(a)=13,则f(-a)=( )A.13B.-13C.53D.-53答案 C5.(2024广东佛山一模,7)已知f(x)=2x+f 2f为奇函数,g(x)=bx-log 2(4x+1)为偶函数,则f(ab)=( ) A.174 B.52 C.-154 D.-32答案 D6.(2024齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟,6)已知定义在R 上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x -1)对随意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.[-3,1]B.[-4,2]C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-4]∪[2,+∞) 答案 A7.(2024安徽安庆二模,10)定义在R 上的奇函数f(x)满意: f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时, f(x)=2x-1,则f(log 220)等于 ( ) A.14 B.-14 C.-15 D.15 答案 D8.(2024河南郑州一模,10)已知定义在R 上的奇函数f(x)满意f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 2…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=ln22,b=ln33,c=ln55,则f(a), f(b), f(c)的大小关系(用不等号连接)为( ) A.f(b)>f(a)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a) C.f(a)>f(b)>f(c) D.f(a)>f(c)>f(b)答案 A9.(2024山西山大附中等晋豫名校第四次调研,11)若∀x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-3,则函数g(x)=2ff 2+1+f(x)在[-2 017,2 017]上的最大值与最小值的和为( )A.4B.6C.9D.12 答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)10.(2025届天津和平期末,13)已知函数f(x)=√4-f 2|f +3|-3,若f(a)=-4,则f(-a)的值为 . 答案 411.(2025届北京师范高校附中期中考试,14)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, f(x)=x 2-2ax+a,其中a∈R. ①f (-12)= ;②若f(x)的值域是R,则a 的取值范围是 . 答案 ①-14 ②(-∞,0]∪[1,+∞)12.(2025届云南曲靖第一中学质量监测(三),15)已知函数f(x),∀x 1,x 2∈R,且x 1≠x 2,满意f (f 2)-f(f 1)f 1-f 2<0,并且f(x)的图象经过点A(3,7),点B(-1,1),则不等式|f(x)-4|<3的解集是.答案{x|-1<x<3}。

（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.（4））知道指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型..（4）了解指数函数与对数函数互为反函数（a>0，且a≠1 ).4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y xx=====，的图象，了解它们的变化情况.5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数. （2）根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 6．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.1．涉及本专题知识的考题，大多以选择题、填空题的形式出现，可易可难，预测2018年高考仍然会出小题.2．函数的概念及其表示：考查函数的概念、定义域和值域，函数的解析表示法，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.3．函数的性质：考查单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；对称性和周期性结合，用以考查函数值重复出现的特征以及求解析式.4．基本初等函数：比较大小，基本初等函数的图象和性质，基本初等函数的综合应用，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.考向一 函数的定义域、值域样题1 （2017年山东卷文）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．样题2（2016年新课标Ⅱ卷文）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是 A ．y =xB ．y =lg xC ．y =2xD ．y=【答案】D【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.考向二 函数的单调性、奇偶性的应用样题3 （2017新课标全国Ⅱ文科）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D样题4（2017北京文科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B样题 5 （2017天津文科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则错误！未找到引用源。

热点5 基本函数的性质及其应用【名师精讲指南篇】【热点深度剖析】1. 函数在15-17年均是以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，有时也会出现基础题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等结合考查，有时单独设置题目.2. 对于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意加强对函数与方程、数形结合数学和分类讨论思想的运用.函数知识属于重点知识，考查的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适当难题为辅，加强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练.3. 预计18年考查函数的基本性质、函数模型及其应用、分段函数和对数函数的图像与性质的可能性较大.函数与方程也有可能考查.【最新考纲解读】【重点知识整合】 一、 （1）函数奇偶性： 奇函数)()(x f x f -=-； 偶函数)()(x f x f =-。

（2）函数单调性： 单调递增0)()(2121>--x x x f x f 或0))()()((2121>--x f x f x x ；单调递增0)()(2121<--x x x f x f 或0))()()((2121<--x f x f x x 。

（3）函数周期性周期为T ：)()(x f T x f =+或)2()2(Tx f T x f -=+； （4）对称性关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1．【2015江苏高考】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 【答案】4例2．【2016江苏高考】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)1.55f a f f f ===-=-+=-【考点】分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值. 【结束】例3．【2016江苏高考】函数y的定义域是 ▲ .【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案应填：[]3,1-【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起. 【结束】例4．【2017江苏高考】设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【热点深度剖析】1. 函数在15-17年均是以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，有时也会出现基础题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等结合考查，有时单独设置题目.2. 对于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意加强对函数与方程、数形结合数学和分类讨论思想的运用.函数知识属于重点知识，考查的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适当难题为辅，加强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练.3. 预计18年考查函数的基本性质、函数模型及其应用、分段函数和对数函数的图像与性质的可能性较大.函数与方程也有可能考查.【最新考纲解读】【重点知识整合】 一、 （1）函数奇偶性： 奇函数)()(x f x f -=-； 偶函数)()(x f x f =-。

考点5 函数的基本性质一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数（2）奇偶函数的性质：①定义域关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称；③ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．④ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．⑤若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性.1.2函数的单调性（1）单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．（2）函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论②运算法则法：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；③导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数. ⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.(3)单调性应用：已知含参数的可导函数()f x 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上()f x '＞0（＜0）恒成立问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上.1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．（2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． ⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b +； ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.1.4.函数图像及其应用（1）函数)(x f y =的图象变换①将函数()y f x ω=图像0)((0))||a a a ><向左(向右单位(())y f x a ω=+的图象；②将函数)(x f y =图像0)((0))||b b b ><向上(向右单位()y f x b =+的图象；③将函数)(x f y =图像x x x 轴下方部分沿轴对折到轴上方|()|y f x =的图象；④将函数)(x f y =图像y 擦除轴左侧部分将y 轴部分沿y 轴对折(||)y f x =的图象； ⑤将函数)(x f y =图上1ω所有点的横坐标变为原来的倍()y f x ω=的图象;⑥将函数)(x f y =图上A 所有点的纵坐标变为原来的倍()y Af x =的图象.（2）函数图象的识别策略：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.二、题型与相关高考题解读1.函数单调性的判定与性质应用1.1考题展示与解读例 1【2017北京，理5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【命题意图探究】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定，是基础题.【答案】A【解析】()()113333x x xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】给定函数①12y x =，②1y x =，③1y x =-，④cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中既是奇函数又在区间()0,1上是增函数的是A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】 D 【变式2：改编结论】若函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001{01a a a -<<<⇒<<且()log 21222a a a a ≤-⨯-⇒≥，综合可得实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭. 【变式3：改编问法】已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得()()212f ax x f a --<-对于任[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是( )A. (),1-∞B. []2,0-C. (22---+D. []0,1【答案】A【解析】由条件得1−ax −x 2<2−a 对于x ∈[0,1]恒成立令g (x )=x 2+ax −a +1,只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可。