6、函数的微分及练习

1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。

条件。

2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。

7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

的偏导数。

10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。

微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。

在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。

在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。

通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。

微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

第五节 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆. 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将y ∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.分布图示★ 引言★ 问题的提出 ★ 微分的定义 ★ 可微的条件 ★ 例1-2 ★ 基本微分公式 ★ 微分四则运算法则 ★ 例3★ 例4 ★ 微分的几何意义★ 复合函数的微分法★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 例10★ 微分近似计算公式 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 常用函数的近似计算公式★ 例15 ★ 例16★ 误差计算 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 6内容要点：一、 微分的定义：定义1 设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x ∆+0在这区间内, 如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ (5.1)其中A 是与x ∆无关的常数, 则称函数)(x f y =在点0x 可微, 并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =在点0x 处相应于自变量改变量x ∆的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= (5.2)二、函数可微的条件dx x f dy )('= (5.8))(x f dxdy '= (5.9)即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”.三、 微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 五、 微分形式不变性：无论u 是自变量还是复合函数的中间变量, 函数)(u f y =的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有du u f dy )('=这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算. 六、利用微分进行近似计算： 近似值的计算 误差计算dy y ≈∆. (5.10)例题选讲：微分的定义例1（E01）求函数2x y =当x 由1改变到1.01的微分.解 因为,2xdx dy =由题设条件知 ,1=x 01.0101.1=-=∆=x dx 所以 .02.001.012=⨯⨯=dy例2（E02）求函数3x y =在2=x 处的微分. 解 函数3x y =在2=x 处的微分为 dx x dy x 2'3)(==.12dx =基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例3（E03）求函数x e x y 23=的微分. 解 因为'23')(xex y =xxex ex 232223+=)23(22x ex x+=所以 dx x e x dx y dy x )23(22'+== 或利用微分形式不变性)()(2332xxed x x d edy +=dx ex dx x e xx232223⋅+⋅=.)23(22dx x ex x+=例4（E04）求函数xx y sin =的微分.解因为''sin ⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 2sin cos x x x x -=所以 dx y dy '=.s i n c o s 2dx xxx x -=微分形式的不变性例5（E05）设),12sin(+=x y 求dy . 解 设,sin u y =,12+=x u 则)(sin u d dy =udu cos =)12()12cos(++=x d x dx x 2)12cos(⋅+=.)12cos(2dx x +=注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便.例6 设),1ln(2x e y += 求.dy解 )1l n (2xe d dy +=)1(1122xxed e++=)(11222x d eexx+=x d x eexx2122+=.1222dx exe xx+=例7（E06）设,2sinxe y =求.dy解 应用微分形式不变性, 有 .2sin cos sin 2sin sin 2sin2222sin sinsin2sindx xexdxx ex xd ex d edy xxxx=⋅=⋅==例8（E07）已知,22xey x = 求dy .解 222222)()()(x x d eed x dy xx-=422222xxdxedx ex xx⋅-⋅=.)1(232dx xx ex-=例9（E08）在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) ;cos )(tdt d ω= (2) ).()()(sin 2x d x d = 解 ,cos )(sin tdt t d ωωω= ∴)(s i n 1c o s td t d t ωωω=);sin 1(t d ωω=一般地，有.cos sin 1tdt C t d ωωω=⎪⎭⎫⎝⎛+例10（E09）求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分dy . 利用微分进行近似计算解 对方程两边求微分, 得 ),2()(3y x d e d xy +=),()2()(3y d x d xy d exy+= ,32)(2dy y dx xdy ydx e xy +=+于是 .322dx yxeye dy xyxy --=例11(E09) 求x )x (f +=1在0=x 与3=x 处的线性化.解 首先不难求得xx f +='121)( ，则413(21)0(23(1)0(='='==），，），f f f f ，于是，根据上面线性化定义知)(x f 在0=x 处的线性化121)0)(0()0()(+=-'+=x x f f x L ，在3=x 处的线性化为4541)3)(3()3()(+=-'+=x x f f x L))(()()(000x x x f x f x L -'+=示意图见右,故x x 2111+≈+（在x=0处）， 45411+≈+x x （在x=3处）．例12(E11) 求)x ln()x (f +=1在0=x 的线性化． 解 首先求得)(x f 'x+=11，得1)0(='f ，又0)0(=f ，于是)(x f 在x=0处的线性化x x f f x L =-'+=)0)(0()0()(例13（E12）半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少?解 设,2r A π=10=r (厘米), 05.0=∆r (厘米).∴dA A ≈∆r r ∆⋅=π205.0102⨯⨯=ππ=（厘米2）.例14（E13）计算0360cos ' 的近似值.解 设x x f cos )(=⇒,sin )('x x f -=x (为弧度),取,30π=x 360π=∆x⇒,21)3(=πf .23)3('-=πf所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3603cos 3060cos 'ππ 3603s i n 3c o s πππ⋅-=3602321π⋅-=.4924.0≈例15计算下列各数的近似值.(1) (E14)35.998的近似值. (2) .03.0-e解 (1)335.110005.998-=310005.111000⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30015.0110-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=0015.031110.995.9=(2) 03.0103.0-≈-e .97.0=例16(E15) 最后我们来看一个线性近似在质能转换关系中的应用. 我们知道，牛顿的第二运动定律αm F =（α为加速度）中的质量m 是被假定为常数的，但严格说来这是不对的，因为物体的质量随其速度的增长而增长. 在爱因斯坦修正后的公式中，质量为2201c/v m m -=,当v 和c 相比很小时，22c /v 接近于零，从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈-=22002202201212111c v m m c v m c/v m m 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈2200121c v m m m , 注意到上式中K v m =2021是物体的动能，整理得)K (m v m v m c )m m (∆=-=≈-202020200212121,或 )K (c )m (∆∆≈2. （1）换言之，物体从速度0到速度v 的动能的变化)K (∆近似等于2c )m (∆. 因为8103⨯=c 米/秒，代入式（1）中，得≈)K (∆90 000 000 000 000 000m ∆焦耳,由此可知，小的质量变化可以创造出大的能量变化．例如，1克质量转换成的能量就相当于爆炸一颗2万吨级的原子弹释放的能量．例17 正方形边长为005.041.2±米, 求出它的面积, 并估计绝对误差与相对误差. 解 设正方形的边长为x ,面积为y ,则.2x y = 当41.2=x 时,).(8081.5)41.2(22m y ==.82.4241.241.2'====x x xy边长的绝对误差为,005.0=x δ ∴面积的绝对误差为).(0241.0005.082.42m x =⨯=δ ∴面积的相对误差为%.4.08081.50241.0≈=yy δ课堂练习1.求函数x x y -=的微分dy .2.因为一元函数)(x f y =在0x 的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”，判断这种说法对吗?3.设,0>A 且n A B <||, 证明1-+≈+n n n nAB A B A (A , B 为常数), 并计算101000的近似值.。

积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号, f(x)叫做被积函数, x叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

第三节 微分1、 微分的概念定义 设函数)(x f y =在点x 的的某个邻域内有定义，对于自变量在点x 处的改变量x ∆，如果函数的改变量Δy 可表示为)()(x o x x f y ∆+∆'=∆，则称函数)(x f y =在点x 处可微，并称f '(x )Δx 为函数)(x f y = 在点x 处的微分，记作dy 或)(x df ，即dy ＝f '(x )Δx 或 )(x df = f '(x )Δx . (2.10)注意 通常把自变量x 的改变量Δx 称为自变量的微分，记作dx ，即x dx ∆=，于是微分又可记作dx x f dy )('= 或 )(x df = f '(x ) dx (2.11)注意 微分dy 是函数改变量y ∆的近似值，即y ∆≈dy ，这就是引入dy 的原因。

2.可微与可导的关系函数y ＝ f ( x )在点x 处可微⇔函数y ＝ f ( x )在点x 处可导 3．函数的和、差、积、商的微分法则由函数的和、差、积、商的导数运算法则，可以得到相应的微分运算法则.对照列表如下(表中u ＝u (x )，v ＝v (x )).例1求微分（1）（0803） 设x y 2=，则=dy _______ (2)设 x x y sin 2=，则=dy _______ (3) （0722）设 32+=x e y ，则=dy _______解 （1）因为 2ln 2x y ='，所以 =dy dx dx y x 2ln 2='（2）因为 x x x x y cos sin 22+='，所以 =dy dx x x x x )cos sin 2(2+ （3）因为='+='+)32(32x e y x 322+x e ，所以=dy dx e x 322+4、基本初等函数的微分公式从微分定义 d y ＝f '( x ) d x 可以看出，计算函数的微分，只需先计算函数的导数，然后再乘以自变量的微分即可.由此得到基本初等函数的微分公式.例2 求函数33x y π=在x 由10变为10.001时的改变量△y 与dy分析 函数在一点处的微分与函数这点处的改变量是两个不同但有密切联系的概念，当|△x |充分小时，△y 与dy 在数值上很接近，即△y ≈dy 。

第六章 微分中值定理及其应用总练习题1、证明：若f(x)在(a,b)内可导，且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.证：定义f(a)=+→a x lim f(x)，f(b)=-→b x lim f(x)，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，由罗尔中值定理知 至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.2、证明：若x>0，则 (1)1x +-x =θ(x)x 21+，其中41<θ(x)<21；(2)0x lim →θ(x)=41，+∞→x lim θ(x)=21. 证：(1)由拉格朗日中值定理得：1x +-x =θ(x)x 21+, (0<θ(x)<1)，∴θ(x)x 2+=x1x 1-+=1x ++x ，∴θ(x)=41+21[1)x(x +-x].∵1)x(x +-x>2x -x=0，∴41+21[1)x(x +-x]>41； 又1)x(x +-x=x1)x(x x ++<xx x 2+=21，∴41+21[1)x(x +-x] <21.∴41<θ(x)<21.(2)(1)中已证θ(x)=41+21[1)x(x +-x]，∴0x lim →θ(x)=0x lim →{41+21[1)x(x +-x]}=41； +∞→x lim θ(x)=+∞→x lim {41+21[1)x(x +-x]}=41+21+∞→x lim 1x111++=21.3、设函数f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0. 证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).证：记F(x)=xf (x)，G(x)=x 1，根据柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得)(G )(F ξξ''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)，又)(G )(F ξξ''=f(ξ)- ξf ’(ξ)，∴f(ξ)- ξf ’(ξ)=G(a)-G(b)F(a)-F(b).又f(b)f(a)b a b -a 1=b -a bf (a)-af (b)=a1-b 1a f(a)-bf(b)=G(a)-G(b)F(a)-F(b)， ∴f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).4、设函数f 在[a,b]上三阶可导，证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ). 证：记F(x)=f(x)-f(a)-21(x-a)[f ’(x)+f ’(a)]，G(x)=(x-a)3，则 F,G 在[a,b]上二阶可导，F ’(x)=f ’(x)-21[f ’(x)+f ’(a)]-21(x-a)f ”(x)，G ’(x)=3(x-a)2，F ”(x)=f ”(x)-21f ”(x)-21f ”(x)-21(x-a)f ’”(x)=-21(x-a)f ’”(x)；G ”(x)=6(x-a).且F(a)=F ’(a)=0，G(a)=G ’(a)=0.根据柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得)(G )(F ηη''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)=G(b)F(b)=3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'， 又根据柯西中值定理，存在ξ∈(a, η)，使得)(G )(F ξξ''''=(a)G -)(G (a)F -)(F ''''ηη=)(G )(F ηη''，又)(G )(F ξξ''''=a)-6()(f )a (21-ξξξ'''-=-121f ”’(ξ).∴3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'=-121f ”’(ξ). ∴f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ).5、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明： 对x>0，有0<x)ln(11+-x1<1.证：f ’(x)=x11+. 对f 在区间[0,x]应用拉格朗日中值定理得： f ’(ξ)=0-x f (0)-f (x)=x ln1-x)ln(1+= x x)ln(1+，∴ln(1+x)=xf ’(ξ)=ξ1x+. ∴x)ln(11+=x ξ1+=x 1+x ξ；即x)ln(11+-x 1=xξ.又0<xξ<1，∴0<x)ln(11+-x1<1.6、设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数，且f(x)=(na a a x n x 2x 1+⋯++)x1. 证明：(1)0x lim →f(x)=nx n x 2x 1a ··a ·a ⋯；(2)∞→x lim f(x)=max{a 1,a 2,…,a n }. 证：(1)0x lim →f(x)=e na a a ln x 1lim x n x 2x 10+⋯++→x = exn x 2x 1nx n 2x 21x 10a a a a ln a a ln a a ln a lim+⋯+++⋯++→x= ena ln a ln a ln n21+⋯++=n xn x 2x 1a ··a ·a ⋯. (2)记A=max{a 1,a 2,…,a n }，则0<Aa k≤1, (k=1,2,…,n)∵f(x)=A[n)A a()A a ()Aa (x n x 2x 1+⋯++]x 1，∴A(n 1)x 1<f(x)≤A ， 又∞→x lim A(n1)x1=A ，∴∞→x lim f(x)=A=max{a 1,a 2,…,a n }.7、求下列极根： (1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11；(2)2xx x x)ln(1-xe lim+→；(3)sinxx 1sinx lim20x →.解：(1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11=e)x 1ln()x 1ln(lim21x --=→= e21x x1)x 1(x 2lim--=→=ex 1x 2lim1x +=→=e.(2)2x 0x x x)ln(1-xe lim +→=2xx 11-xe e lim xx0x ++→=2x)(11xe 2e lim 2x x 0x +++→=23. (3)sinxx 1sinx lim20x →=)sinx x ·x 1sin x (lim 0x →=)x 1sin x (lim 0x →·sinx x lim 0x →=0·1=0.8、设h>0，函数f 在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且f (n+2)(a)≠0, f 在U(a,h)内的泰勒公式为：f(a+h)=f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )θh a (f 1)(n +++h n+1, 0<θ<1.证明：θlimh →=2n 1+. 证：f 在U(a,h)内带皮亚诺型余项的n+2阶泰勒公式为：f(a+h)= f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )a (f 1)(n ++h n+1+2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o(h n+2),与题中所给泰勒公式相减得：1)!(n )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n +-+++h n+1=2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o (h n+2).∴1)!(n θ+·θh )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n ++-+=2)!(n )a (f 2)(n +++2n 2n h )h (++o .令h →0两端取极限得：1)!(n )a (f 2)(n ++θlim 0h →=2)!(n )a (f 2)(n ++，∴θlim 0h →=2n 1+.9、设k>0，试问k 为何值时，方程arctanx-kx=0存在正根.解：若方程arctanx-kx=0有正根x 0，∵f(x)=arctanx-kx 在[0,x 0]上可导， 且f(0)=f(x 0)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0,x 0)，使得 f ’(ξ)=2ξ11+-k=0. 可见0<k<1. 反之，当0<k<1时，由f ’(x)=2x11+-k 连续，f ’(0)=1-k>0， ∴存在某邻域U(0,δ)，使得在U(0,δ)内，f ’(x)>0，f(x)严格递增， 从而存在a>0，使f(a)>f(0)=0. 又+∞→x lim f(x)=-∞，∴存在b>a ，使f(b)<0， 由根的存在定理知，arctanx-kx=0在(a,b)内有正根. ∴当且仅当0<k<1时，原方程存在正根.10、证明：对任一多项式p(x)来说，一定存在点x 1与x 2，使p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上分别严格单调.证：设p(x)=a 0x n +a 1x n-1+…+ a n-1x+a n ，其中a 0≠0，不妨设a 0>0. 当n=1时，p(x)=a 0x+a 1，p ’(x)=a 0>0，∴p(x)在R 上严格增，结论成立. 当n ≥2时，p ’(x)=na 0x n-1+(n-1)a 1x n-2+…+ a n-1，若n 为奇数，则∞→x lim p ’(x)=+∞，∴对任给的G>0，存在M>0，使 当|x|>M 时，有p ’(x)>G>0，取x 1=M ，x 2=-M ，则 p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上均严格增.若n 为偶数，则+∞→x lim p ’(x)=+∞，-∞→x lim p ’(x)=-∞， ∴对任给的G>0，存在M>0，使当x>M 时，有p ’(x)>G>0，当x<-M 时，p ’(x)<-G<0，取x 1=M ，x 2=-M ， 则p(x)在(x 1,+∞)上严格增，在(-∞,x 2)上严格减. 综上原命题得证。

高考数学微积分练习题及答案1. 题目：求函数f(x)=x^2+2x+1的导函数f'(x)。

解析：首先，根据导函数的定义，我们需要对函数f(x)进行求导。

根据求导法则，对于幂函数f(x)=x^n (n为常数)，其导函数为f'(x)=n*x^(n-1)。

因此，将函数f(x)=x^2+2x+1进行求导，得到f'(x)=2x+2。

答案：f'(x)=2x+2。

2. 题目：计算函数g(x)=∫(0 to x) (2t+1) dt。

解析：根据积分的定义，我们需要对被积函数进行积分，并将积分上限减去积分下限。

对于多项式函数的积分，我们可以按照常规的积分法则进行计算。

首先，对被积函数2t+1进行积分，得到∫(2t+1) dt = t^2 + t。

然后，将积分上限x代入积分结果，得到g(x) = x^2 + x - (0^2 + 0) = x^2 + x。

答案：g(x) = x^2 + x。

3. 题目：对函数h(x)=sin(x)进行求导。

解析：根据导函数的定义，我们需要对函数h(x)=sin(x)进行求导。

根据求导法则，对于三角函数sin(x)，其导函数为cos(x)。

因此，函数h(x)=sin(x)的导函数为h'(x)=cos(x)。

答案：h'(x)=cos(x)。

4. 题目：求函数f(x)=e^x的不定积分。

解析：函数f(x)=e^x是指数函数，其不定积分可以根据指数函数积分的常规法则进行计算。

根据指数函数积分的法则，不定积分∫e^x dx = e^x。

答案：∫e^x dx = e^x。

5. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=2x，且f(0)=1，求f(x)的表达式。

解析：根据导数的定义，我们可以将f'(x)=2x积分得到函数f(x)。

根据积分的法则，函数f(x)的表达式为∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。

由已知条件f(0)=1，将x=0代入函数表达式得到1=0^2 + C，解得C=1。

一元函数微分学练习题一元函数微分学是微积分学中最重要的一个分支，它研究了一元函数的变化率，即函数在某一点处的斜率，以及函数的极大值和极小值等性质。

通过学习一元函数微分学，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。

下面是一些关于一元函数的微分学练习题，希望通过这些练习题的训练，提高大家对一元函数微分学的理解和运用能力。

1. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的导数。

2. 求函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5的极值点。

3. 已知函数f(x) = e^x，求f'(1)。

4. 求函数f(x) = ln(x)在点x = 3处的导数。

5. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。

6. 求函数f(x) = cos^2(x)在点x = π/4处的导数。

7. 求函数f(x) = e^x * sin(x)在点x = 0处的导数。

8. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点。

9. 求函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x的极值点。

10. 求函数f(x) = sqrt(x)在点x = 4处的导数。

以上是一些关于一元函数微分学的练习题，希望大家通过自己的思考和计算，能够熟练掌握一元函数微分学的相关概念和计算方法。

在解答这些问题时，可以利用微分的定义和相关公式，同时也要注意使用函数的基本性质及其图像来推导和解决问题。

在解答题目时，可以采用以下步骤：1. 根据题目中给出的函数形式，求出函数的导数。

2. 使用导数的定义和性质，计算得到题目所要求的导数或导数的值。

3. 对于求函数的极值点，求导后令导数等于零，解得函数极值点的x坐标，再代入函数中求出对应的y坐标。

4. 对于函数的图像和性质，可以根据求导的结果，观察函数的增减性、凸凹性等。

通过不断的练习和掌握一元函数微分学的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]2、（）．A、9B、4C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]3、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．[单选题]4、设则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设，=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】对x求导，将y看做常数，．[单选题]6、设，则= （）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、函数的定义域为（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，综上满足：.[单选题]9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导，，.[单选题]12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】故，故取得极小值[单选题]13、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2)，则=( )A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数，则＝（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178～179。

一、极限题１、求.)(cos lim 21x x x → ２、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。

3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim ６、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ ８、 xx x x xx ln 1lim 1+--→９、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x12、)cot 1(lim 220x x x -→ １3、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→１4、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =＿＿_________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 ３、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐,体积为V ，问底半径r 和高ｈ等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？５、)()2)(1()(n x x x x f ---= ．求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导。

9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f 。

多元函数微分法及其应用一、 选择题（每小题3分，共30分）1、函数z =的定义域是（ ）．A 2{(,)|0}x y y x ≤≤B 2{(,)|0}x y y x <≤ C 2{(,)|0,0}x y x y x ≥≤≤ D 2{(,)|0,0}x y x y x ><≤2、二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，则(,)f x y 在该点（ ）．A 连续B 不连续C 可微D 不一定可微3、已知曲面224z x y =−−上点P 的切平面平行于平面2210x y z ++−=，则点P 的坐标是（ ）．A (1,1,2)−B (1,1,2)C (1,1,2)−D (1,1,2)−−4、已知2()()x ay dx ydy x y +++为某函数的全微分，则a 为（ ）． A －1 B 0 C 1 D 2 5、已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内连续，且222(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →−=+，则（ ）．A 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 C 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点C 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点D 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点6、函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处0000(,),(,)x y f x y f x y ′′存在，则(,)z f x y =在该点（ ）． A 连续 B 不连续 C 可微 D 不一定可微7、函数(,)f x y 在驻点00(,)x y 处取得极大值．设00(,)xxf x y A ′′=， 00(,)xyf x y B ′′=，00(,)yy f x y C ′′=，则有（ ）． A 20,0B AC A −>> B 20,0B AC A −><C 20,0B AC A −<>D 20,0B AC A −<< 8、二元函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0) （ ）．A 连续，偏导数存在B 连续，偏导数不存在C 不连续，偏导数存在D 不连续，偏导数不存在9、设函数 (,)()()()x yx y u x y x y x y t dt ϕϕψ+−=++−+∫，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（ ）． A 2222u u x y ∂∂=−∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ D 222u u x y x∂∂=∂∂∂ 10、设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是[ ]),()(00y x f A 在0y y =处导数等于零．),()(0y x f B 在0y y =处的导数大于零．),()(0y x f C 在0y y =处的导数小于零．),()(0y x f D 在0y y =处的导数不存在．二、填空题（每小题3分，共30分）1、已知函数22(,)tan x f x y x y xy y=+−，则(,)f tx ty ＝__________． 2、222222(,)(0,0)1cos()lim ______()x y x y x y x y e→−+=+． 3、设22(,)f x y xy x y xy +=++，则求(,)_____df x y =． 4、设sin xx u e y −=，则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为________． 5、函数22ln(1)z x y =++当1,2x y ==时的全微分12|x y dz ===___________． 6、设函数(,)z f x y =，222u y∂=∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为_________． 7、函数22ln(u x y z =++在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B −方向的方向导数为_____． 8、由曲线2232120x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面在点3,2)P 处的指向外侧的单位法向量为___________．9、设1()()z f xy y x y xϕ=++，,f ϕ具有二阶连续导数，则2z x y ∂=∂∂ 10、设f 和g 为连续可微函数，(,),(),u f x xy v g x xy ==+则u v x x∂∂=∂∂i 三、简答题（每小题8分，共40分）1、证明下列极限不存在： （1）(,)(0,0)lim x y x y x y →+−； （2）22222(,)(0,0)lim ()x y x y x y x y →−． 2、证明22(,)lim 0x y x y→=+． 3、求下列函数的二阶偏导数：（1）44224z x y x y =+−； （2）xz y =． 4、设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，讨论在(0,0)处：（1）(,)f x y 的偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）(,)f x y 是否可微？5、设(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ−−=所确定的函数(,)z f x y =满足z z a b c xy ∂∂+=∂∂．。