2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第七章 第3节圆的方程

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

14.2　圆的方程挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度2015江苏,10圆的标准方程直线与圆相切圆的方程1.圆的标准方程2.圆的一般方程2016江苏,18圆的标准方程、圆的一般方程直线方程、直线与圆的位置关系★★★分析解读 圆的方程是江苏高考的必考内容之一,最近几年很少有单独的试题考查圆的方程,通常和向量、直线、椭圆相结合,综合性比较强,以中档题的形式出现,不拘泥于填空题,有时候会出现在第17、18题,在复习中,也要注意以圆为背景的实际应用题.破考点【考点集训】考点　圆的方程1.(2018江苏天一中学月考)已知圆C 与直线y=x 及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x 上,则圆C 的方程为　__________.答案　(x-1)2+(y+1)2=22.(2018江苏金陵中学周考)圆C 的圆心在x 轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C 内,则m 6的取值范围为 . 答案　(0,4)3.(2018江苏金沙高级中学期中)设圆的方程是x 2+y 2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,则原点与圆的位置关系是　____________. 答案　原点在圆外炼技法【方法集训】方法一　求圆的方程的方法1.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C 的5455方程为 . 答案　(x-2)2+y 2=92.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2及其内部所覆盖,则圆C 的方程{x ≥0,y ≥0,x +2y -4≤0为　.答案　(x-2)2+(y-1)2=5方法二　与圆有关的最值问题的求解方法1.已知圆O:x 2+y 2=8,点A(2,0),动点M 在圆上,则∠OMA 的最大值为 . 答案　π42.已知M(m,n)为圆C:x 2+y 2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n 的最大值;(2)求的最大值和最小值.n -3m +2解析　(1)由题意可知x 2+y 2-4x-14y+45=0的圆心C 的坐标为(2,7),半径r=2.2设m+2n=t,将m+2n=t 看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,|2+2×7-t |12+222解得16-2≤t ≤16+2,1010所以所求的最大值为16+2.10(2)记点Q(-2,3).因为表示直线MQ 的斜率k,n -3m +2所以直线MQ 的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点,得≤2.|2k -7+2k +3|1+k22解得2-≤k ≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.33n -3m +233过专题【五年高考】A 组　自主命题·江苏卷题组1.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案　(x-1)2+y 2=22.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得+=,求实数t 的取值范围.TA TP TQ解析　圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0).因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0,从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为=2.4-02-0设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M 到直线l 的距离d==.|2×6-7+m |5|m +5|5因为BC=OA==2,而MC 2=d 2+,22+425(BC 2)2所以25=+5,解得m=5或m=-15.(m +5)25故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)解法一:+=,即=-=,即||=||,TA TP TQ TA TQ TP PQ TA PQ 因为||=,又0<||≤10,TA (t -2)2+42PQ 所以0<≤10,解得t ∈[2-2,2+2].(t -2)2+422121对于任意t ∈[2-2,2+2],欲使=,此时0<||≤10,只需要作直线TA 的平行线,使圆心到直线2121TA PQ TA 的距离为,必然与圆交于P,Q 两点,此时||=||,25-|TA |24TA PQ 即=,TA PQ 因此对于任意t ∈[2-2,2+2],均满足题意.2121故t ∈[2-2,2+2].2121解法二:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).因为A(2,4),T(t,0),+=,TA TP TQ 所以①{x 2=x 1+2-t,y 2=y 1+4.因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤≤5+5,[(t +4)-6]2+(3-7)2解得2-2≤t ≤2+2.2121因此,实数t 的取值范围是[2-2,2+2].2121解后反思　1.根据已知条件求圆的方程,一般地,可采用两种不同的方法:一是待定系数法,即先根据条件用圆的标准式或一般式设出方程,再根据条件来确定参数的值;二是通过几何图形的性质来确定圆心的位置或坐标及半径,进而求得圆的方程.2.已知直线与圆相交来确定弦长的问题,通常要利用圆心到直线的距离d,圆的半径r 以及弦长l 之间的关系l=2来进行求解.r 2-d 2B 组　统一命题、省(区、市)卷题组考点　圆的方程1.(2018北京理改编,7,5分)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为 . 答案　32.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 答案　x 2+y 2-2x=03.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方x 216y24程为 .答案　+y 2=(x -32)22544.(2016北京改编,5,5分)圆(x+1)2+y 2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 . 答案　25.(2016课标全国Ⅱ改编,6,5分)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= . 答案　-436.(2015课标Ⅱ改编,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y 轴于M,N 两点,则|MN|= . 答案　467.(2014课标全国Ⅱ,16,5分)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是 . 答案　[-1,1]8.(2018课标全国Ⅱ理,19,12分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解析　(1)由题意得F(1,0),l 的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.{y =k (x -1),y 2=4x Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=.2k 2+4k2所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=.4k 2+4k2由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,4k 2+4k2因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则解得或{y 0=-x 0+5,(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16.{x 0=3,y 0=2{x 0=11,y 0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.9.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x,过点(2,0)的直线l 交C 于A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P(4,-2),求直线l 与圆M 的方程.解析　(1)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2.由可得y 2-2my-4=0,则y 1y 2=-4.{x =my +2,y 2=2x 又x 1=,x 2=,y 212y 222故x 1x 2==4.(y 1y 2)24因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为·==-1,所以OA ⊥OB.y 1x 1y 2x 2-44故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m,x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=2m 2+4.故圆心M 的坐标为(m 2+2,m),圆M 的半径r=.(m 2+2)2+m 2由于圆M 过点P(4,-2),因此 ·=0,AP BP 故(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0,即x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0.由(1)可得y 1y 2=-4,x 1x 2=4.所以2m 2-m-1=0,解得m=1或m=-.12当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为,圆M 的方程为(x-3)2+(y-101)2=10.当m=-时,直线l 的方程为2x+y-4=0,圆心M 的坐标为,圆M 的半径为,圆M 的方程为+12(94,-12)854(x -94)2=.(y +12)28516解后反思　直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x 1,y 1)、(x 2,y 2)表示:(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.C 组　教师专用题组1.(2010课标理,15,5分)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 . 答案　(x-3)2+y 2=22.(2014陕西,12,5分)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 . 答案　x 2+(y-1)2=13.(2015课标Ⅱ改编,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离33为 . 答案　2134.(2014湖北文,17,5分)已知圆O:x 2+y 2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b ≠-2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b= ; (2)λ= . 答案　(1)-　(2)12125.(2009江苏,18,14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l 过点A(4,0),且被圆C 1截得的弦长为2,求直线l 的方程;3(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.解析　(1)设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂径定理,得圆心C 1到直线l 的距离d==1,22-(232)2由点到直线的距离公式,得=1,|-3k -1-4k |k 2+(-1)2化简得24k 2+7k=0,解得k=0或k=-,724故直线l 的方程为y=0或y=-(x-4),724即y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P 坐标为(m,n),直线l 1、l 2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),1k 即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0.1k 1k 因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等.故有=,|-3k -1+n -km |k 2+(-1)2|-4k -5+n +1k m |1k2+1化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,由题意得或{2-m -n =0,m -n -3=0{m -n +8=0,m +n -5=0,解得或{m =52,n =-12{m =-32,n =132,故点P 的坐标为或.(-32,132)(52,-12)【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2019届江苏启东中学月考)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程为 . 答案　(x-2)2+(y-1)2=12.(2019届江苏淮阴中学期初)已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点,且圆C 与直线x+y+3=0相切,则圆C 的方程是 . 答案　(x+1)2+y 2=23.(2019届江苏清江中学质检)设P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q 是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为 . 答案　44.(2018江苏南京期中)过点P(1,1)的直线,将区域{(x,y)|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 . 答案　x+y-2=05.(2018江苏苏州中学月考)设A(-3,0),B(3,0)为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为1∶2,则点P 的轨迹所围成的面积是 . 答案　16π6.(2019届江苏常州五中周考)直线l 1:y=x+a,l 2:y=x+b 将单位圆C:x 2+y 2=1分成长度相等的四段弧,则a 2+b 2= . 答案　27.(2018江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C 上的点都在不等式组表示的平面区域内,则面积最大的圆C 的标准方程为 . {x ≤3,x -3y +3≥0,x +3y +3≥0答案　(x-1)2+y 2=48.(2019届江苏南通中学质检)在△ABC 中,|BC|=6,|AB|=2|AC|,则△ABC 面积的最大值为 . 答案　12二、解答题(共30分)9.(2019届江苏平潮中学月考)已知方程x 2+y 2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆,求实数m 的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N 两点,且OM ⊥ON(O 为坐标原点),求m 的值;(3)在(2)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程.解析　(1)由D 2+E 2-4F>0得(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由x+2y-4=0得x=4-2y.将x=4-2y 代入x 2+y 2-2x-4y+m=0得5y 2-16y+8+m=0,所以y 1+y 2=,y 1y 2=.1658+m5因为OM ⊥ON,所以·=-1,y 1x 1y 2x 2即x 1x 2+y 1y 2=0.因为x 1x 2=(4-2y 1)(4-2y 2)=16-8(y 1+y 2)+4y 1y 2,所以x 1x 2+y 1y 2=16-8(y 1+y 2)+5y 1y 2=0,即(8+m)-8×+16=0,解得m=.16585(3)设圆心C 的坐标为(a,b),则a=(x 1+x 2)=,b=(y 1+y 2)=,半径r=|OC|=,所以所求圆的方程为12451285455(x -45)2+=.(y -85)216510.(2019届江苏白蒲中学期中)如图,已知圆O 的直径AB=4,定直线l 到圆心的距离为4,且直线l 垂直于直线AB.点P 是圆O 上异于A,B 的任意一点,直线PA,PB 分别交l 于M,N 两点.(1)若∠PAB=30°,求以MN 为直径的圆的方程;(2)当点P 变化时,求证:以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点.解析　易得A(-2,0),B(2,0),☉O 的方程为x 2+y 2=4,直线l 的方程为x=4.(1)当点P 在x 轴上方时,因为∠PAB=30°,所以点P 的坐标为(1,),3所以l AP :y=(x+2),33l BP :y=-(x-2).3将x=4分别代入得M(4,2),N(4,-2),33所以线段MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4.3所以以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12.同理,当点P 在x 轴下方时,所求圆的方程仍是(x-4)2+y 2=12.综上,以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12.(2)证明:设点P 的坐标为(x 0,y 0),则y 0≠0,所以+=4(y 0≠0),x 20y 20所以=4-.y 20x 20易知l PA :y=(x+2),y 0x 0+2l PB :y=(x-2),y 0x 0-2将x=4分别代入得y M =,y N =,6y 0x 0+22y 0x 0-2所以M ,N ,(4,6y 0x 0+2)(4,2y 0x 0-2)所以|MN|==,|6y 0x 0+2-2y 0x 0-2|4|x 0-4||y 0|线段MN 的中点坐标为.(4,-4(x 0-1)y 0)以MN 为直径的圆O'截x 轴所得的线段长为24(x 0-4)2y 20-16(x 0-1)2y 2=4|y 0|12-3x 2==4.43|y 0|4-x 203则圆O'与x 轴的两交点坐标分别为(4-2,0),(4+2,0).33又(4-2)2=28-16<4,33)2=28+16>4,33所以圆O'必过圆O 内定点(4-2,0).3。

《圆的方程》专题练专题1 求圆的方程1.1 求圆的方程1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是3．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝254．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为5．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为6．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．7．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．8．已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为9．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是10．圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为11．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是12．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是13．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．14．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是15．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为16．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为17．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为18．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是19．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．20．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是21．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．22．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝23．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1.2 圆的一般式判断1．已知圆C∶x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝3．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是4．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是5．若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是6．若方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0的图形表示一个圆，则实数m 等于7．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．9．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.1.3 点与圆的位置关系1．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是2．若原点在圆(x －2m )2＋(y －m )2＝5的内部，则实数m 的取值范围是________．3．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是4．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．5．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是专题2 与圆有关的最值问题2.1 建立函数关系求最值1．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．2．设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB →的最大值为________．3．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．2.1 借助几何性质求最值(多维探究)1．已知实数x, y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．(1求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．2．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值．3．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为4．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．5．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x ＋y 的最大值和最小值分别为 、 ．6．一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长是7．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是_______8．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为9．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是10．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________．11．已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，则|3x ＋4y －26|的最小值为________．专题3 与圆有关的轨迹问题1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．3．动点P 与定点A (－1,0)，B (1,0)的连线的斜率之积为－1，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．y ＝1－x 24．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是5．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，则Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C的方程为__________．。

第3节　圆的方程最新考纲核心素养考情聚焦掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程1.确定圆的方程，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养．2.与圆有关的最值，增强数学建模和数学运算的素养．3.与圆有关的轨迹问题，提升逻辑推理和数学抽象的素养圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考中的热点．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．题型以选择题、填空题，有时以解答题第一题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，要合理转化，必要时借助几何意义，三角换元求解1．圆的定义和圆的方程定义平面内到　定点　的距离等于　定长　的点的轨迹叫做圆标准方程一般方程方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心坐标(a ，b )(－D 2，－F2)半径r12D 2＋E 2－4F 充要条件　D 2＋E 2－4F ＞0　2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：(1)d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在　圆外　；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在　圆上　；(3)d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在　圆内　.1.圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．(1)同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中a ，b 为定值，r 是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中r 为定值，a ，b是参数．[思考辨析]　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )(3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(5)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )解析：(3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜或m ＞1时才表示圆．14答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√[小题查验]1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：C [要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．]2．(2019·西城区模拟)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－，)33C ．(－，) D.22(－22，22)解析：C [∵(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－<m <，选C.]223．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1 B ．2 C. D ．222解析：C [由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y ＝x ＋3化成一般形式为x －y ＋3＝0，故圆心到直线的距离d ＝＝.故选C. ]|－1－0＋3|12＋(－1)224．[人教A 版教材P124A 组T4改编]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________________．解析：设圆心坐标为C (a,0)，∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即＝，(a ＋1)2＋1(a －1)2＋9解得a ＝2，∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝＝，(2＋1)2＋110∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝105．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋＝0，配方得2＋(y ＋1)2＝－<0，不52(x ＋12)54表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4)　5考点一　确定圆的方程(自主练透)[题组集训]1．(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：Error!，解得Error!，则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.答案：x 2＋y 2－2x ＝02．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝05的距离为，则圆C 的方程为______________．455解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，由题意可得Error!解得Error!所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为_____________________________________________________________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F >0)则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为.(k ＋22，2k ＋12)∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝，∴k ＝－3.2k ＋12－k ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝01．求圆的方程，一般采用待定系数法(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择设圆的一般方程．2．在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的垂直平分线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．考点二　与圆有关的最值、范围问题(多维探究)[命题角度1]　与圆的几何性质有关的最值1．点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1.∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1.易知点P (1,2)在圆外．∴点P 到圆心C 的距离为：|PC |＝＝≥3.(k ＋1)2＋32(k ＋1)2＋9∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2.答案：21．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函数求最值．2．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．[命题角度2]　截距型最值问题2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则求y －x的最大值和最小值．直观想象、数学运算——直线与圆位置关系应用中的核心素养以直线与圆位置关系的相关知识为基础，借助直线和方程、圆与方程，来解决最值问题，提升了直观想象、数学运算的核心素养．具体见下表：信息提取信息解读直观想象、数学运算已知圆的方程x 2＋y 2－4x ＋1＝圆心(2,0)，半径3求y －x 的最大值和最小值设b ＝y －x ，则y ＝x ＋b ，因此y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距直观想象：数形结合，发现当直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0相切时，纵截距b 取得最大值或最小值．数学运算：利用点到直线的距离公式得＝|2－0＋b |23解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时＝，解得b ＝－2±.|2－0＋b |236所以y －x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.66形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，利用圆心到直线的距离列不等式即可，也可用三角代换求解．[命题角度3]　斜率型最值问题3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则的最大值为________，最小值为yx ________．解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是3yx 圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k ，即y＝kx .yx 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值(如图)，此时＝，解得|2k －0|k 2＋13k ＝±.3所以的最大值为，最小值为－.yx 33答案：　－33形如μ＝形式的最值问题，最后都转化为动直线斜率的最值问题．y －bx －a [命题角度4]　距离型最值问题4．在[命题角度2]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，(2－0)2＋(0－0)2所以x 2＋y 2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x 2＋y 2的最小值是2＝7－4.33(2－3)3 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上 B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析：B [将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即>a ，所以原点在圆外．故选B.](0＋a )2＋(0＋1)222．(2019·南开区模拟)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：B [圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，设圆的圆心(0，r )，半径为r ，则＝r .解得r ＝5，所求圆的方程为x 2＋(y －5)2＝25，即x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.](3－0)2＋(1－r )23．(2019·揭阳市模拟)设点P 是函数y ＝－的图象上的任意一点，点4－(x －1)2Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.－2B.8555C.－2D.－25755解析：C [如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1,0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为A ，则|CA |＝，|PQ |min ＝|CA |－2＝－2.故选C.]554．圆心在曲线y ＝(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )2x A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析：A [由圆心在曲线y ＝(x >0)上，设圆心坐标为，a >0.又圆与直线2x (a ，2a )2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝≥＝，当且仅当2a ＝，即2a ＋2a＋154＋1552a a ＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x －1)52＋(y －2)2＝5.故选A.]5．(2019·温州市一模)已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，B ，C 是圆上的两点，H 是点B 在AC 上的射影，当点C 运动，点H 运动的轨迹( )A ．是圆B ．是椭圆C ．是抛物线D ．不是平面图形解析：A [设定圆圆心为O ，半径为r ，连接OH ，设直径BD ，连接AD ，CD ，由AB ⊥平面BCD ，可得AB ⊥CD ，由直径所对圆周角为直角，可得CD ⊥BC ，即有CD ⊥平面ABC ，可得CD ⊥BH ，BH ⊥AC，即有BH ⊥平面ACD ，则BH ⊥DH ，在直角三角形BDH 中，可得OH ＝OB ＝OD ＝r ，即有H 的轨迹为以O 为圆心，r 为半径的圆．故选A.]6．已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为________．解析：方法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又因为k AC ＝，k BC ＝且k AC ·k BC ＝－1，yx ＋1yx －3所以·＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.yx ＋1yx －3因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)．由直角三角形的性质知，AD ＝DB ＝DC .由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．答案：x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)7．(2019·南充市模拟)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．解析：∵直线2ax －by ＋2＝0(a 、b ∈R )始终平分x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，可得－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a .∴a ·b ＝a (1－a )＝－2＋≤，当且仅当a ＝时等号成立，因此a ·b 的取值范围为.(a －12)141412(－∞，14]答案：(－∞，14]8．(2019·贵阳市一模)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝＝.|PM |2－|MQ |2|PM |2－1要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离．设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝＝2.所以|PM |的最小值为2.所|3－0＋1|12＋(－1)222以|PQ |＝≥＝.|PM |2－1(22)2－17答案：79．(2019·唐山市调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则＝2.(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝ ＝，|CQ |2－|CM |2|CQ |2－16当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝＝4，|5＋3|22则|QM |的最小值为＝4.32－1610．已知点(x ，y )满足(x －3)2＋(y －4)2＝9，求：(1)3x ＋4y 的最大值与最小值；(2)(x ＋1)2＋y 2的最小值．解：(1)设3x ＋4y ＝t ，直线与圆有公共点，∴≤3⇔|t －25|≤15⇔10≤t ≤40.|9＋16－t |5∴t min ＝10，t max ＝40.(2)解法一：(x ＋1)2＋y 2＝(4＋3cos θ)2＋(4＋3sin θ)2＝41＋24(sin θ＋cos θ)＝41＋24sin2，(θ＋π4)∴其最小值为41－24.2解法二：设M (x ，y )是圆上的点，圆外一点M 0(－1,0)，则(x ＋1)2＋y 2的几何意义是|MM 0|2，而|MM 0|最小值是|M 0C |－r ，即(－3)2＝41－24.42＋422。

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[答案] B[解析] 考查两平行直线的距离公式、直线与圆相切的性质及圆的标准方程．解：直线y ＝x 与y ＝x －4均与圆相切，设两直线间距离为d ，则圆的半径r ＝d 2＝41＋1·12＝2，设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝2⇒a ＝±1， ∵当a ＝－1时，圆不与直线y ＝x －4相切，∴a ＝1. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，选B.3．(教材改编题)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1[答案] D[解析] 原方程表示圆⇔(4m )2＋(－2)2－4×5m >0， 解得m <14或m >1.4．已知x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r ＝3的圆， 令d ＝x 2＋y 2，则d 为点(x ，y )到(0,0)的距离， ∴d max ＝－2－2＋－2＋r ＝5＋3，∴x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5.5．圆x 2＋(y ＋1)2＝1的圆心坐标是________，如果直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (0，－1)，1－2≤a ≤1＋ 2[解析] 可知圆心坐标为(0，－1)．直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，则|0－1＋a |12＋12≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 6．已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦，且|BC |＝6，则BC 的中点的轨迹方程是________． [答案] x 2＋y 2＝16[解析] 设BC 中点为P (x ，y )，则OP ⊥BC ，∵|OC |＝5，|PC |＝3，∴|OP |＝4，∴x 2＋y 2＝16. 7．根据下列条件求圆的方程：(1)经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.[解析] (1)解法1：∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3，∴圆心为C (7，－3)，又|CB |＝65.故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. 解法2：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r2－a 2＋－b2＝r23a ＋10b ＋9＝0，解得⎩⎨⎧a＝7，b ＝－3，r ＝65.所以所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0③设x 1，x 2是方程③的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36④由①②④得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.（四）典型例题1.命题方向：求圆的方程[例1] 根据下列条件，求圆的方程．(1)圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成12两部分的圆的方程； (2)求经过两已知圆C 1x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与C 2x 2＋y 2－2y －4＝0的交点，且圆心在直线l 2x ＋4y ＝1上的圆的方程．[分析] 用直接法或待定系数法．[解析] (1)如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成12两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.(2)由题意可设圆的方程为λ(x 2＋y 2－4x ＋2y )＋(x 2＋y 2－2y －4)＝0，(λ≠－1)即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－4λx ＋(2λ－2)y －4＝0，圆心坐标为(2λ1＋λ，1－λ1＋λ)，代入lx ＋4y ＝1，得λ＝3.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.[点评] 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式．另外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．所以的最大值为3，最小值为－ 3.x＝3，解得＝－2± 6.此时2＋6，最小值为－－ 6.又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，∴k max ＝3＋34，k min ＝3－34.3.命题方向：与圆有关的轨迹问题[例3] 如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[解析] 设动点P (x ，y )，由题意可知点P 是△ABD 的重心，∵A (－1,0)、B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，∴由重心坐标公式得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋1＋x 0－3y ＝2y 03，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12y 0＝3y2y，代入x 2＋y 2＝1得，所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49 (y ≠0)．[点评] 本题求轨迹方程的方法叫相关点法．用相关点法求轨迹方程的基本步骤：(1)设所求点的坐标为P (x ，y )(若x ，y 与题中已知的字母有冲突，则将这些已知字母全部替换成其他字母)，与P 相应的符合某已知曲线的点的坐标设为Q (x 0，y 0)；(2)建立二者之间的等量关系，从而求得x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )；(3)将Q (x 0，y 0)的坐标代入点Q 满足的方程进行求解，等价化简得所求轨迹方程．注意：求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形 ．跟踪练习3点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 [答案] A[解析] 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，又设P 、Q 连线中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.4.命题方向：圆方程的综合问题[例4] 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．[分析] 求圆M 的半径→求圆M 的方程→求圆N 的半径→求圆N 的方程→求弦长[解析] (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3， 则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度， 此弦的方程是y ＝33(x －3)， 即x －3y －3＝0， 圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.[点评] 1.解决有关圆的问题，常利用数形结合的方法，结合圆的有关性质可简化运算，解题时注意转化与化归的数学思想的应用．2．直线与圆相交所截得的弧，以及弧所对的圆周角或圆心角的有关问题，可转化为由弦心距、半弦长和半径所构成的直角三角形的三边之间的关系求解． 跟踪练习4已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心)，求圆的方程．[解析] 解法1：设A 、B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2. 由题设知⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1222＋y 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2222＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122－y 2222＋y 1－y 22.－2k2)＝2，－2k2)×2＝2＝－12，±3.为圆心，以5为半径的圆的方程8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为12，则圆C的方程为()－4)2＝4.4，但应除去两点：⎝⎛y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离d >r 1＋r 2 无解 相外切d ＝r 1＋r 2 一解 相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两解 相内切(r 1≠r 2) 一解 内含(r 1≠r 2)无解 3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝＋k 2x A ＋x B 2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上，则以P 为切点的切线方程为.（三）基础自测1．(2010·江西理)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范是 （ ）A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 [答案] A[解析] 如图，取MN 中点为H ，连CH 、CN ，则△CHN 为Rt △，又HN ＝ 3.R ＝2，故CH ＝1.由HN ≥ 3知圆心到直线的距离等于CH |3k ＋1|k 2＋1≤1. ∴－34≤k ≤0，故斜率范围是[－34，0]，选A.2．直线ax －y ＋2a ＝0 (a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定[答案] B[解析] 依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为两圆方程相减得，2ay ∴|OC |＝1a. 又公共弦长为23，∴于是，由Rt △AOC 可得即1a2＝22－(3)2， 整理得a 2＝1，又a >0，∴7．直线l 经过点P (5,5)[解析] 若直线l 的斜率不存在，直线则l ：y －5＝k (x －5)．则不论m 为何值，圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 1的距离为d ＝|3m －m －＋b |10＝|3＋b |10. ∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d <r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．跟踪练习1(2011·启东调研)已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝6，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．[解析] (1)证明：l ：mx －y ＋1－m ＝0的方程可化为y －1＝m (x －1)，其恒过定点P (1,1)．∵|PC |＝＋2＋－2＝5<r ＝6，∴点P 恒在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒交于两点．(2)由(1)及平面几何知识知，当l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，又k PC ＝2－1－1－1＝－12， ∴k l ＝－1k PC ＝2，∴所求直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.2.命题方向：弦长问题[例2] 已知点P (0,5)及圆C x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[分析] (1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系．[解析] (1)方法1 如图所示，AB ＝43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD ＝23，AC ＝4，在Rt △ACD 中，可得CD ＝2.设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34.k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.方法2 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5，联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k )x －11＝0，①设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，x 1x 2＝－111＋k 2，② 由弦长公式得1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝43，将②式代入，解得k ＝34， 此时直线方程为3x －4y ＋20＝0. 又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0.∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.v(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.[点评] 在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB 两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)若OA ⊥OB (O 为原点)，则可转化为x 1x 2＋y 1y 2＝0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB 的中点为(x 0，y 0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 12＋y 12＝r 2，x 22＋y 22＝r 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 0y 0.该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点，直线的斜率有关的问题．跟踪练习2已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] 假设存在且令l 为y ＝x ＋m圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点即N (－m ＋12，m －12) 以AB 为直径的圆过原点，∴|AN |＝|ON |又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |2∴|AN |＝CA 2－CN 2＝9－＋m 22 又|ON |＝－m ＋122＋m －122由|AN |＝|ON |得m ＝1或m ＝－4∴存在直线l 方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0.[点评] 设l ：y ＝x ＋m 与圆方程联立，其根为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标，由条件OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，可求m ＝1或－4.3.命题方向：圆与圆的位置关系[例3] 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋(m 2－5)＝0与C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋(m 2－3)＝0，当m 为何值时：(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含．[解析] 欲求m 的值，只要列出关于m 的一个等式或不等式就可以了. 因两圆的方程已给定，那么两圆的圆心和半径就可以求出，进而获得含m 的式子，问题变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系.把圆C 1与圆C 2的方程变形(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4.故两圆的半径分别为3和2，圆心距为|C 1C 2|＝m ＋2＋－2－m 2＝2m 2＋6m ＋5. (1)若两圆外离，则|C 1C 2|>3＋2，即2m 2＋6m ＋5>5.两边平方整理得m 2＋3m －10>0，解之得 m >2或m <－5.∴当m >2或m <－5时，两圆外离.(2)若两圆外切，则|C 1C 2|＝3＋2，即 m 2＋3m －10＝0.解之得 m ＝2或m ＝－5.∴当m ＝2或m ＝－5时，两圆外切.(3)若两圆相交，则3－2<|C 1C 2|<3＋2，即⎩⎨⎧ 2m 2＋6m ＋5<5，2m 2＋6m ＋5>1.解之得，当－5<m <－2或－1<m <2时，两圆相交.(4)若两圆内切，则|C 1C 2|＝3－2，即2m 2＋6m ＋5＝1. 解之得 m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，两圆内切. (5)若两圆内含，则0<|C 1C 2|<3－2，即⎩⎨⎧2m 2＋6m ＋5<1，2m 2＋6m ＋5≥0，解之得 －2<m <－1.∴当－2<m <－1时，两圆内含．跟踪练习3已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，求动圆圆心的轨迹方程．[解析] 设动圆的圆心坐标为(a ，b )，当两圆外切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝1＋4，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝25； 当两圆内切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝4－1，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 所以动圆圆心的轨迹方程为(a －5)2＋(b ＋7)2＝25或(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 4.命题方向：圆系方程的简单应用[例4] 已知两个圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，直线l ：x ＋2y ＝0，求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程．[解析] 所求的圆经过C 1，C 2的交点，故可用圆系方程求解． 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＋λ(x 2＋y 2－4)＝0 (λ≠－1) 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0所以圆心为(11＋λ，21＋λ)，半径为：12－21＋λ2＋－41＋λ2－1－λ1＋λ依题意有|11＋λ＋41＋λ|5＝4＋16－－λ2＋λ22解之，得λ＝±1，舍去λ＝－1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0.[点评] 由于圆系方程中不包括圆x 2＋y 2－4＝0，故应检验圆x 2＋y 2－4＝0是否满足条件．而直线l ：x ＋2y ＝0显然通过该圆的圆心，故不满足条件． 跟踪练习4圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的点的圆的方程为________． [答案] x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即x 2＋y 2＋λ－λ＋1x ＋＋λλ＋1y －λ＋λ＋1＝0(λ≠－1)，圆心⎝⎛⎭⎪⎫1－λλ＋1，－5＋λλ＋1，∴1－λλ＋1－5＋λλ＋1＝0，解得λ＝－2.．相离D．以上情况都有可能M，连接MO和PF2，则两圆半径分别为＋2a，＝12|PF ＝12|PF ＝(2＋1)2＋(－1＋1)2＝9<2若直线y ＝bx ＋c 过圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心，则△ABC 面积的最大值为( ) A.3B.32 3 D. 3由m ⊥n 得b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b ＋c －a 2bc ＝12⇒A ＝π3，sin A ＝32.由于圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心为由点到直线的距离公式，得k 2＋1＝5，＝－12，∴切线方程为－12x ＋52＝＝52，令＝12×52×＝254.11．(2010·山东文)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，本题考查了圆的标准方程及圆的弦长问题，圆的弦长问题合理应用特殊直角三角形是关键，设圆心为。

2019-2020年高三数学第一轮复习 第七章直线与圆方程（小结）教案一．基础训练：1．点在直线上，为原点，则的最小值是 （ ） 22．过点，且横纵截距的绝对值相等的直线共有 （ ） 1条 2条 3条 4条 3．圆与轴交于两点，圆心为，若，则（ ） 84．若圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且只有两个点到直线距离等于，则半径取值范围是 （ ）5．直线与直线的交点为，则过点的直线方程是___________________。

6．已知满足38150536025100x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则的最大值为________，最小值为________。

二．例题分析：例1．过点作直线交轴，轴的正向于两点；（为坐标原点） (1)当面积为个平方单位时，求直线的方程；(2)当面积最小时，求直线的方程； (3)当最小时，求直线的方程。

例2．设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。

例3．设正方形（顺时针排列）的外接圆方程为，点所在直线的斜率为；（1）求外接圆圆心点的坐标及正方形对角线的斜率；（2）如果在轴上方的两点在一条以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程；（3）如果的外接圆半径为，在轴上方的两点在一条以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程。

三．课后作业： 班级 学号 姓名1．若方程22(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于轴的直线，则（ ） 或 1 不存在2．将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是（ ）3．是任意的实数，若在曲线上，则点也在曲线上，那么曲线的几何特征是 （ ）关于轴对称 关于轴对称 关于原点对称 关于对称4．过点任意的作一直线与已知直线相交于点，设点是有向线段的内分点，且，则点的轨迹方程是 （ ）5．如果实数满足不等式，那么的最大值是 （ ）6．过点作直线交圆于两点，则 。