专题23.1 图形的旋转（知识讲解）【学习目标】1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.【要点梳理】把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A ′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.要点二、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA ′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC ≌△A B C ''').特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．特别说明：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.【典型例题】类型一、旋转中心、旋转角、对应点1．在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是()2,2A -，()3,2B --，()1,0C -．(1)按要求画出图形：①将ABC 向右平移6个单位得到111A B C △；①再将111A B C △绕点1A 顺时针旋转90°得到22A B C 1△；(2)如果将（1）中得到的22A B C 1△看成是由ABC 经过以某一点M 为旋转中心旋转一次得到的，请写出M 的坐标．【答案】(1)①见分析；①见分析；(2)M （1，-1）【分析】（1）①根据平移的性质得出1A 、1B 、1C 的位置，顺次连接即可；①根据旋转的性质得出2B 、2C 的位置，顺次连接即可；（2）连接CC 2，AA 1，线段CC 2，AA 1的垂直平分线的交点即为M 点的位置，作出M 点写出坐标即可．(1)解：①如图，111A B C △即为所求；①如图，22A B C 1△即为所求；(2)解：连接CC 2，AA 1，线段CC 2，AA 1的垂直平分线的交点即为M 点的位置，由图可知，M 的坐标为（1，-1）．【点拨】本题考查了作图—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质找出对应点的位置是解题的关键．举一反三：【变式1】在如图的网格中建立平面直角坐标系，ABC的顶点坐标分别为A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），D是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给顶点的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：(1)直接写出ABC的形状；(2)画出点D关于AC的对称点E；(3)在AB上画点F，使①BCF12=①BAC．(4)线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写出这个旋转中心的坐标．【答案】(1)ABC是等腰三角形，理由见分析；(2)见分析(3)见分析(4)1316,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，AC ，可得结论．（2）取格点Q ，使得ACQ ACB ≌△△，线段AQ 与格线的交点E ，即为所求作． （3）取格点W ，连接CW 交AB 于点F ，点F 即为所求作．（4）线段AC ，AB 的中垂线的交点J ，即为所求作，构建一次函数，利用方程组确定交点解：（1）①=AB =AC①AB AC =，①ABC 是等腰三角形．（2）如图所示，取格点Q ，则AQ ==CQ ==BC ==①AQ =AC =AB ，CQ =CB ，①AQC ABC SSS ≌（），①线段AQ 与格线的交点E ，即为所求作；（3）如图所示，如图，点F 即为所求作．（4）如图所示，取格点H （11，7）①()1,7A ， ()6,2C ，①AC 中点的坐标为79,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AC 的解析式为：y =-x +8，AH 的中点坐标为（6，7）设线段AC 的中垂线为b y kx =+，①792267k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，①11k b =⎧⎨=⎩①线段AC 的中垂线为1y x =+，同理可得：线段AB 的中垂线y =7x -25，由1725y x y x =+⎧⎨=-⎩， 解得133163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①旋转中心J 的坐标为1316,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【点拨】本题考查了两点距离公式，找旋转中心，一次函数与几何综合，等腰三角形的判定，全等三角形的判定，轴对称作图等等，熟知相关知识是解题的关键．【变式2】如图，ABC ∆和ADC ∆都是等边三角形.（1）ABC ∆沿着______所在的直线翻折能与ADC ∆重合；（2）如果ABC ∆旋转后能与ADC ∆重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.【答案】（1）AC ；（2）.点A 、点C 或者线段AC 的中点；（3）60︒【分析】(1) 因为ABC ∆和ADC ∆有公共边AC ，翻折后重合，所以沿着直线AC 翻折即可；（2）将①ABC 旋转后与ADC ∆重合，可以以点A 、点C 或AC 的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C 为旋转中心时都旋转60︒，以AC 中点旋转时旋转180︒.解：(1)①ABC ∆和ADC ∆都是等边三角形，①ABC ∆和ADC ∆是全等三角形，①①ABC 沿着AC 所在的直线翻折能与①ADC 重合.故填AC;(2)将①ABC 旋转后与ADC ∆重合，则可以以点A 为旋转中心逆时针旋转60︒或以点C 为旋转中心顺时针旋转60︒，或以AC 的中点为旋转中心旋转180︒即可；（3）以点A 、点C 为旋转中心时都旋转60︒，以AC 中点旋转时旋转180︒.【点拨】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.类型二、根据旋转的性质求解3、P 为正方形ABCD 内一点，且2AP =，将APB △绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到'AP D ．(1)作出旋转后的图形；(2)试求'APP 的周长和面积．【答案】(1)见分析(2)周长为：4+2【分析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）利用等腰直角三角形的性质求出周长和面积即可．(1)解：如图所示：'AP D 即为所求；(2)解：①2AP =，将APB △绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到'AP D ，①'2AP AP ==，'90PAP ∠=︒，①'PP =，故'APP 的周长为：224+++'APP 的面积为：12222⨯⨯=． 【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出对应点位置是解题关键．举一反三：【变式1】在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度α得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D 、E ．(1)当点E 恰好在AC 上时，如图1，求ADE ∠的大小；(2)若60α=︒时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形（请用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）【答案】(1)15ADE ∠=︒(2)见分析【分析】（1）根据旋转的性质可得CA ＝CD ，①ECD ＝①BCA ＝30°，①DEC ＝①ABC ＝90°，根据等边对等角即可求出①CAD ＝①CDA ＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF ＝12AC ，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB ＝12AC ，从而得出 BF ＝AB ，然后证出①ACD 和①BCE 为等边三角形，再利用HL 证出①CFD ①①ABC ，证出DF ＝BE ，即可证出结论．(1)解：①①ABC 绕点C 顺时针旋转α得到①DEC ，点E 恰好在AC 上，①CA ＝CD ，①ECD ＝①BCA ＝30°，①DEC ＝①ABC ＝90°，①①CAD ＝①CDA ＝12（180°﹣30°）＝75°， ①①ADE ＝90°﹣①CAD ＝15°．(2) 证明：如图2，连接AD ，①点F 是边AC 中点，①BF ＝AF =CF ＝12AC ， ①①ACB ＝30°，①AB ＝12AC ， ①BF =CF ＝AB ，①①ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到①DEC ，①①BCE ＝①ACD ＝60°，CB ＝CE ，DE ＝AB ，DC=AC ，①DE ＝BF ，①ACD 和①BCE 为等边三角形，①BE ＝CB ，①点F 为①ACD 的边AC 的中点，①DF ①AC ，在Rt①CFD 和Rt①ABC 中 DC CA CF AB =⎧⎨⎩＝，①Rt①CFD ①Rt①ABC ，①DF ＝BC ，①DF ＝BE ，而BF ＝DE ，①四边形BEDF 是平行四边形．【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．【变式2】如图点O 是等边ABC 内一点，110,AOB BOC α︒∠=∠=，①ACD=①BCO ，OC=CD ，（1）试说明：COD 是等边三角形；（2）当150α︒=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）当BOC ∠为多少度时，AOD △是等腰三角形【答案】(1)见分析；(2)①AOD 是直角三角形，理由见分析；(3) 110°或125°或140°时，①AOD 是等腰三角形.【分析】（1）根据CO=CD ，①OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到①COD 是等边三角形；（2）先求得①ADC=①BOC=α=150°，再利用①COD 是等边三角形得①CDO=60°，于是可计算出①ADO=90°，由此可判断①AOD 是直角三角形；（3）先利用α表示出①ADO=α-60°，①AOD=190°-α，再进行分类讨论：当①AOD=①ADO时，①AOD 是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当①AOD=①DAO 时，①AOD 是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当①ADO=①DAO 时，①AOD 是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．解：(1)①①ACD=①BCO①①ACD+①ACO=①BCO+①ACO=60°又①CO=CD①①COD是等边三角形；(2)①①COD是等边三角形①CO=CD又①①ACD=①BCO，AC=BC①①ACD①①BCO（SAS）①①ADC=①BOC=α=150°，①①COD是等边三角形，①①ADC=①BOC=α=150°，①①COD是等边三角形，①①CDO=60°，①①ADO=①ADC−①CDO=90°，①①AOD是直角三角形；(3)①①COD是等边三角形，①①CDO=①COD=60°，①①ADO=α−60°,①AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，当①AOD=①ADO时,①AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；当①AOD=①DAO时,①AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；当①ADO=①DAO时,①AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，综上所述,①BOC的度数为110°或125°或140°时，①AOD是等腰三角形.【点拨】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等3、如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如图1，求a，b的值；(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB①BD，且①COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，若P 为x 轴正半轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中哪一条线段长为定值，并求出该定值．【答案】(1)2(2)CD =BD +AC ．理由见分析(3)BQ 是定值，4BQ =【分析】（1）根据非负数的性质得到a -2=0，4b -8=0，求得a =2，b =2，得到OA =2，OB =2，于是得到结果；（2）证明：将①AOC 绕点O 逆时针旋转90°得到①OBF 根据已知条件得到①DBF =180°，由①DOC =45°，①AOB =90°，同时代的①BOD +①AOC =45°，求出①FOD =①BOF +①BOD =①BOD +①AOC =45°，推出①ODF ①①ODC ，根据全等三角形的性质得到DC =DF =DB +BF =DB +DC ；（3）BQ 是定值，作EF ①OA 于F ，在FE 上截取PF =FD ，由①BAO =①PDF =45°，得到①P AB =①PDE =135°，根据余角的性质得到①BP A =①PED ，推出①PBA ①EPD ，根据全等三角形的性质得到AP =ED ，于是得到FD +ED =PF +AP ．即：FE =F A ，根据等腰直角三角形的性质得到结论．(1)解：①（a ﹣2）2+|4b ﹣8|＝0，①a -2=0，4b -8=0，①a =2，b =2，①A （2，0）、B （0，2），①OA =2，OB =2，①①AOB 的面积=122=22⨯⨯； (2)证明：如图2，将①AOC 绕点O 逆时针旋转90°得到①OBF ，而2,OA OB ==①①OAC=①OBF=①OBA=45°，①DBA=90°，①①DBF=180°，①①DOC=45°，①AOB=90°，①①BOD+①AOC=45°，①①FOD=①BOF+①BOD=①BOD+①AOC=45°，在①ODF与①ODC中，OF OCFOD COD OD OD，①：①ODF①①ODC，①DC=DF，DF=BD+BF，①CD=BD+AC．(3)BQ是定值，BE明显不是定值，理由如下：作EF①OA于F，在FE上截取FD=PF，①①BAO=①PDF=45°，①①P AB=①PDE=135°，①①BP A+①EPF=90°，①EPF+①PED=90°，①①BP A=①PED，在①PBA与①EPD中，BPAPED PABPDE PB PE ，①①PBA ①EPD （AAS ），①AP =ED ，①FD +ED =PF +AP ， 即：FE =F A ，①①FEA =①F AE =45°，①①QAO =①EAF =①OQA =45°，①OA =OQ =2，①BQ =4．BQ ∴为定值．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形面积的计算，非负数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ∠=︒，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE △．（1）求证：AEM △①ANM ．（2）若3BM =，2DN =，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）证明见分析；（2）正方形ABCD 的边长为6．【分析】（1）先根据旋转的性质可得,AE AN BAE DAN =∠=∠，再根据正方形的性质、角的和差可得45∠=︒MAE ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，从而可得3,2CM x CN x =-=-，再根据旋转的性质可得2BE DN ==，从而可得5ME =，然后根据三角形全等的性质可得5MN ME ==，最后在Rt CMN 中，利用勾股定理即可得．解：（1）由旋转的性质得：,AE AN BAE DAN =∠=∠四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，即90BAN DAN ∠+∠=︒90BAN BAE ∴∠+∠=︒，即90EAN ∠=︒45MAN ∠=︒904545MAE EAN MAN ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在AEM △和ANM 中，45AE AN MAE MAN AM AM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ANM A S S EM A ≅∴；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，则BC CD x ==3,2BM DN ==3,2CM BC BM x CN CD DN x ∴=-=-=-=-由旋转的性质得：2BE DN ==235ME BE BM ∴=+=+=由（1）已证：AEM ANM ≅5MN ME ∴== 又四边形ABCD 是正方形90C ∴∠=︒则在Rt CMN 中，222CM CN MN +=，即222(3)(2)5x x -+-=解得6x =或1x =-（不符题意，舍去）故正方形ABCD 的边长为6．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．【变式2】如图，等腰三角形ABC 中，BA BC =，ABC α∠=．作AD BC ⊥于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE ．（1）求证：BE CE ⊥；（2）延长线段AD ，交线段CE 于点F ．求CFA ∠的度数（用含有α的式子表示） ．【答案】（1）见分析；（2）CFA α∠=【分析】（1）根据“边角边”证ADB CEB ∆∆≌，得到90ADB CEB ∠=∠=︒即可；（2）由（1）得，DAB ECB ∠=∠，再根据三角形内角和证明CFA α∠=即可． 解：证明： 线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ，,.BD BE DBE α∴=∠=ABC α∠=，ABC DBE ∴∠=∠．AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒．在ABD ∆与CBE ∆中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB CEB ∴∆∆≌90.ADB CEB ∴∠=∠=︒BE CE ∴⊥．（2）解：ADB CEB ∆∆≌ ，DAB ECB ∴∠=∠，又ADB CDF ∠=∠，CFA CBA α∴∠=∠=，【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．类型四、旋转图形中的旋转角4、已知：如图，ABC ∆绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ∆，点A ，B ，C 分别对应点A 1，B 1，C 1 .(1)根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点______________．(2)请在图中画出111A B C ∆;(3)请具体描述一下这个旋转：________________________________．【答案】(1)1O ；(2)详见分析.(3)解析解析. 【分析】（1）连接1AA 和1BB ,分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心;(2) 通过（1）作图发现旋转规律，然后点C 旋转后的对应点；（3）①ABC 绕1O 顺（逆）旋转多少°得到111A B C ∆即可.解：()1 如图：可以发现旋转中心为1O ；()2如图：由（1）作图发现是将①ABC 顺时针旋转90°，连接CO 1，绕O 1旋转90°，确定C 1，最后顺次连接A 1，B 1，C 1即可.()3ABC 绕点1O 按顺时针方向旋转后得到111A B C △【点拨】本题考查了图形的旋转，确定旋转中心和旋转方式是解答本题的关键. 举一反三：【变式1】如图，把一副三角板如图甲放置，其中904530ACB DEC A D ︒︒︒∠=∠=∠=∠=，，，斜边67AB cm DC cm ==，，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15︒得到D CE ''∆（如图乙）.这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ，则OFE '∠的度数为________________.【答案】120【分析】根据题意①3=15°，①E′=90°，①1=①2=75°，所以可得①OFE′=①B+①1=45°+75°=120°.解：如图,由题意可知①3=15°,①E′=90°，因为①1=①2，所以①1=75°.又因为①B=45°，所以①OFE′=①B+①1=45°+75°=120°.【点拨】本题考查图形的旋转，解题的关键是知道旋转的性质.【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt①ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知①A1AC1是由①ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以(1)中的旋转中心为中心，分别画出①A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt①ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．【答案】（1）O(0，0)；90度（2）见分析（3）见分析解：（1）图象的旋转可以利用某点的旋转来找到旋转的角度和旋转中心；（2）根据旋转角度为依次90°、180°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O，从而可分、找出各点的对应点，然后顺次连接即可分别得出旋转后的三角形．（3）利用正方形的面积的不同计算方法进行验证勾股定理．解：(1)旋转中心坐标是O(0，0)，旋转角是90度；…2分(2)画出的图形如图所示；…6分(3)有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．①S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，①(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，①a2＋b2＝c2．类型五、旋转图形中的坐标5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）．(1)求直线AB的表达式；(2)将①OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，线段AB上横坐标为34的点E在线段CD上对应点为点F，求点F的坐标．【答案】(1)y＝﹣2x＋2(2)（﹣12，34）【分析】（1）把点A和点B点坐标代入y＝kx＋b得关于k、b的方程组，然后解方程组求出k 和b的值，从而得到直线AB的解析式；（2）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出E点坐标，作EH①x轴于H，如图，然后旋转变换求E点的对应点F的坐标．(1)解：把点A（1，0）和点B（0，2）代入y＝kx＋b得2k bb+=⎧⎨=⎩，解得22kb=-⎧⎨=⎩，所以直线AB的解析式为y＝﹣2x＋2；(2)解：当x＝34时，y＝﹣2•34＋2＝12，则E点坐标为（34，12），作EH①x轴于H，如图，①①OAB绕点O逆时针旋转90°后得到①OCD，①把①OEH绕点O逆时针旋转90°后得到①OFQ，①①OHE＝①OQF＝90°，①QOH＝90°，OQ＝OH＝34，FQ＝EH＝12，①F点的坐标为（﹣12，34）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y ＝kx ＋b ；再将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了旋转的性质．举一反三：【变式1】如图，344y x =-+直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把①ABC 绕点A 顺时针旋转90º后得到AO B ''△，求点B '的坐标？【答案】2816(,)33【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A 点和B 点坐标，得到163OA =，3OB =，再利用旋转的性质得90O AO ∠'=︒，AO B AOB ∠''=∠，16'3AO AO ==，4O B OB ''==，则可判断//O B x ''轴，然后根据点的坐标的表示方法写出点B ′的坐标．解：当0y =时，344y x =-+，解得163x =，则16(,0)3A ， 当0x =时，4443y x =-+=，则(0,4)B ， 所以163OA =，4OB =， 因为把△0A B 绕点A 顺时针旋转90︒后得到△AO B ''，所以90O AO ∠'=︒，AO B AOB ∠''=∠，163AO AO '==，4O B OB ''==，则//O B x ''轴，所以B ′点的横坐标为16284=33，纵坐标为163． 所以B ′点的坐标为2816(,)33． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30，45︒，60︒，90︒，180︒．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．【变式2】如图，已知线段OA 在平面直角坐标系中，O 是原点．(1)将OA 绕点O 顺时针旋转60°得到OA '，过点A '作A B x '⊥轴，垂足为B ．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出OA '、A B '；(2)若()2,6A -，则OA B '的面积是______．【答案】(1)见详解 (2)3【分析】（1）利用等边三角形的性质的性质作OA ′，利用垂直平分线的作法求B 点；（2）设A ′（a ，b ），如图过A 作AC 垂直x 轴于C ，过A ′作A ′①AC 于D ，连接AA ′；在Rt ①ADA ′和Rt ①OBA ′中利用勾股定理建立方程组，解方程即可解答；(1)解：分别以O 、A 为圆心，以AO 为半径作弧，两弧交于点A ′，连接OA ′即为所求线段；以A ′为圆心，适当长度为半径作弧交x 轴于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，以EA ′、F A ′为圆心作弧，两弧交于点C ，连接CA ′交x 轴于点B ，A ′B 即为所求线段；(2)解：设A′（a，b），如图过A作AC垂直x轴于C，过A′作A′D①AC于D，连接AA′，则四边形DCBA′是矩形；由（1）作图可得，OA=OA′=AA①A（-2，6），A′（a，b），①Rt①ADA′中，AD=6-b，DA′=a+2，AA′2=（6-b）2+（a+2）2=40，①Rt①OBA′中，OB=a，BA′=b，OA′2=a2+b2=40，①①（6-b）2+（a+2）2= a2+b2，解得：a=3b-10，代入①，（3b-10）2+b2=40，b2-6b+6=0解得：b=3，b=3a=1，符合题意；b=3a=1-，不符合题意；①A′（1，3，×（1）×（3=3；OA B'的面积=12【点拨】本题考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的作法，勾股定理，矩形的判定和性质，一元二次方程的解法；利用勾股定理构建方程是解题关键．类型六、旋转综合题6、阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且①EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且①EAF ＝45°，AG①EF于点G，求①EFC的周长．【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见分析【分析】对于（1），先将①DAF绕点A顺时针旋转90°，得到①BAH，可得①ADF①①ABH，再根据全等三角形的性质得AF=AH，①EAF=①EAH，然后根据“SAS”证明①F AE①①HAE，根据全等三角形的对应边相等得出答案；对于（2），先根据（1），得①F AE①①HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明Rt①AEG①Rt①ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．解：(1)EF=BE+DF．理由如下：如图，将①DAF绕点A顺时针旋转90°，得到①BAH，①①ADF①①ABH，①①DAF=①BAH，AF=AH，①①EAF=①EAH=45°．①AE=AE ，①①F AE ①①HAE ，①EF=HE=BE+HB ，①EF=BE+DF ；(2)由（1），得①F AE ①①HAE ，AG ，AB 分别是①F AE 和①HAE 的高，①AG=AB=AD=8．在Rt ①AEG 和Rt ①ABE 中，AE AE AG AB =⎧⎨=⎩， ①Rt ①AEG ①Rt ①ABE （HL ），①EG=BE ，同理GF=DF ，①①EFG 的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【点拨】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD 是正方形，①ECF 为等腰直角三角形，①ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt①ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为 ；(2)如图2，当α＝90°时①求证：①AGD①①FGM；①（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DG＝PG(2)①见分析；①成立，理由见分析【分析】（1）先判断出①ABE①①ADF，得出AE＝AF，再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理，即可得出结论；（2）①先判断出①DAG＝①MFG，再判断出AG＝FG，即可得出结论；①由①知，①AGD①①FGM，得出DG＝MG，AD＝FM＝BC，进而得出CM＝CF，由（1）知，DE＝CF，得出CM＝DE，进而判断出①ADE①①DCM，得出AE＝DM，最后同①的方法即可得出结论．(1)解：①四边形ABCD是正方形，①①B＝①ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝CD，①①ECF为等腰直角三角形，①CE＝CF，①BE＝DF，①①ABE①①ADF（SAS），①AE＝AF，①点G是AF的中点，①12DG AF=，①12DG AE=，①P为EF中点，G为AF中点，①PG是①AEF的中位线，①12PG AE =， ①DG ＝PG ，故答案为：DG ＝PG ；(2)①证明：①四边形ABCD 是正方形，①AD ①BC ，①①DAG ＝①MFG ，①点G 是AF 的中点，①AG ＝FG ，在①AGD 和①FGM 中，DAG MFG AG FG AGD FGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①AGD ①①FGM （ASA ）；解：①（1）中的结论DG ＝PG 成立，证明：由①知，①AGD ①①FGM ，①DG ＝MG ，AD ＝FM ＝BC ， ①12BM CF BC ==, ①CM ＝CF ，由（1）知，DE ＝CF ，①CM ＝DE ，①AD ＝CD ，①ADE ＝①DCM ＝90°，①①ADE ①①DCM （SAS ），①AE ＝DM ，①点G 是DM 的中点， ①1122MG DM AE ==， ①P 为EF 中点，G 为AF 中点，①PG 是①AEF 的中位线， ①12PG AE =， ①DG ＝PG ．【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，判断出AE ＝DM 是解（2）①的关键．【变式2】如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1)旋转角为_____度；(2)求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC ∠的度数；(4)求ABC 的面积ABC S ．【答案】(1) 60 ( 2) 4 (3)150° (4)9． 【分析】 （1）根据①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到，可知①ABC 为旋转角即可得出答案， （2）连接PQ ，根据等边三角形得性质得①ABC ＝60°，BA ＝BC ，由旋转的性质得BP ＝BQ ，①PBQ ＝①ABC ＝60°，CQ ＝AP ＝5，BP ＝BQ ＝4，①PBQ ＝60°，于是可判断①PBQ 是等边三角形，所以PQ ＝PB ＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理证明①PCQ 是直角三角形，且①QPC ＝90°，再加上①BPQ ＝60°，然后计算①BPQ +①QPC 即可．（4）由直角三角形的性质可求CH ，PH 的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．解：(1)①①ABC 是等边三角形，①①ABC ＝60°，①①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到的，①旋转角为60°故答案为：60；(2)连接PQ ，如图1，①①ABC 是等边三角形，①①ABC ＝60°，BA ＝BC ，①①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到的，①①QCB ①①P AB ，①BP ＝BQ ，①PBQ ＝①ABC ＝60°，CQ ＝AP ＝5，①BP ＝BQ ＝4，①PBQ ＝60°，①①PBQ 是等边三角形，①PQ ＝PB ＝4；(3)①QC ＝5，PC ＝3，PQ ＝4，而32+42＝52，①PC 2+PQ 2＝CQ 2，①①PCQ 是直角三角形，且①QPC ＝90°，①①PBQ 是等边三角形，①①BPQ ＝60°，①①BPC ＝①BPQ +①QPC ＝60°+90°＝150°；(4)如图2，过点C 作CH ①BP ，交BP 的延长线于H ，①①BPC ＝150°，①①CPH ＝30°，①CH 12=PC 32=，PH=， ①BH ＝4 ①BC 2＝BH 2+CH 2232⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2425⎛+ ⎝⎭＝①S△ABC=2，①S△ABC25=+=9．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．。
