2020年高考数学课时53简单的线性规划单元滚动精准测试卷文

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝?C ．M ?ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a <=""A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝?－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－40，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝ x (1－x )，0≤x≤1，sin πx ，1<=""> 则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝?3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和?R B ；(2)若A ?B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A ·tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为( )A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0164．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．96．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163 D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1637．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23D.348．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( ) A ．[0,1－2lg 2] B ．[1，52] C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.10．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．11．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)12．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．13．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.14．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．16.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.17．(13分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．18．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．19．(14分)如图，P－AD－C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD＝120°的菱形，AB＝2，P A⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：平面P AE⊥平面PCD；(2)试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A－PF－D的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．20．(14分)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA→＋μCB →，且λμ＝14. (1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k的值，若不存在，说明理由．答案解析1.C2.A3.C4.B5.A6.C7．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →. 又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)， ∴|A G →|＝13 A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4. ∵|A G →|＝13AB→2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]8．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域． 因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]． 而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 9．60解析 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°， 又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°， 从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°， 解得MC ＝40 3 m.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 10．[213，1]解析 t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)， 故a 的取值范围是[213，1.] 11．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．12．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE→＝(3，x ，－b )， DE→＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE→＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根，∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6.13．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11xd x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 14．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4z y ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)．15．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．16．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.17．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3.18．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．19.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)， 因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.20．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。

课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3. 10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数， ∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ， ∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ， 即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0， 又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22， 可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0，所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2， ∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2， ∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12， ∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2， ∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk 1＋2k 2＝0， ∴－16k ＋4mk 1＋2k 2＝0，即4k (－4＋m )1＋2k 2＝0， ∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4. ∴存在定点M (0,4)，使得∠AMO ＝∠BMO .。

滚动检测五(1～8章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2>x ，x ∈R }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2，x ∈R ，则∁R (A ∩B )等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2C.{}x |x ≤1或x ≥2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1答案 C解析 ∵A ＝{}x |x 2>x ，x ∈R ＝{}x |x <0或x >1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，x ∈R ，∴A ∩B ＝{x |1<x <2，x ∈R }， 则∁R (A ∩B )＝{x |x ≤1或x ≥2}．2．若z 1＝(1－i)2，z 2＝1＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 D解析 ∵z 1＝(1－i)2＝－2i ，z 2＝1＋i ，∴(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－2－2i2＝－1－i. 3．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ⊥b ⇏x ＝2， 由x ＝2⇒a ⊥b ，故选B.4．实数x ，y ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤k ，z ＝x 2＋y 2，若z 的最大值为13，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示，z ＝x 2＋y 2的最大值为13，即|OA |2＝13，而A (k ，k ＋1)，所以k 2＋(k ＋1)2＝13，解得k ＝2或k ＝－3(舍去)．5．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm ，它的体积是( )A.2732cm 3B.92cm 3C.932cm 3D.272cm 3答案 C解析 如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，V ＝13Sh ＝13×12×(2＋4)×3×323＝923(cm 3)． 6．设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a答案 A解析 a ＝20.1>20＝1，b ＝ln 52<lne ＝1，即0<b <1，c ＝log 3910<log 31＝0，∴c <b <a .7．若a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．32＋3 B ．32－3 C ．3＋13 D ．7 答案 D解析 当b ＝1时，代入等式a ＝a ＋2不成立，因而b ≠1， 所以ab －a ＝b ＋1.a ＝b ＋1b －1＝1＋2b －1，所以a ＋2b ＝1＋2b －1＋2b ＝3＋2b －1＋2(b －1)≥3＋22b －1×2(b －1)＝3＋2×2＝7，当且仅当b ＝2时，取等号， 即最小值为7.8．设D 为△ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( ) A.BO →＝－56AB →＋16AC →B.BO →＝16AB →－12AC →C.BO →＝56AB →－16AC →D.BO →＝－16AB →＋12AC →答案 A解析 由平面向量基本定理可得，BO →＝AO →－AB →＝13AD →－AB →＝16(AB →＋AC →)－AB → ＝－56AB →＋16AC →，故选A.9.如图，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，点E 为棱AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.36B.32C.336D.12答案 A解析 方法一 取AB 中点G ，连接EG ，CG .∵E 为AD 的中点，∴EG ∥BD .∴∠GEC 为CE 与BD 所成的角．设AB ＝1， 则EG ＝12BD ＝12，CE ＝CG ＝32，∴cos∠GEC ＝EG 2＋EC 2－GC 22×EG ×EC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×12×32＝36. 方法二 设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AC →·(AD →－AB →)＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB →＝12－12cos60°－cos60°＋cos60°＝14. ∴cos〈CE →，BD →〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|＝1432＝36，故选A.10．已知函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增，则正数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π12，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 答案 B解析 f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增，⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π3，5π6≤2a <4π3，解得5π12≤a <2π3.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题错误的是( )A ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值 B ．直线CD 和平面BPC 1平行 C ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 D ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值 答案 D解析 选项A ：∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，易得CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故A 正确；选项B ：直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故B 正确；选项C ：三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而平面DBC 1为固定平面且大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1∥平面BDC 1，∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离，∴三棱锥的体积为定值，故C 正确；选项D ：由线面夹角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时这个角是变化的，故D 错误．12．若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P ()s ，t 处具有公共切线，则实数a 等于( )A ．1B.12C ．－1D ．2答案 A解析 曲线y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在P (s ，t )处的切线斜率为k 1＝se .曲线y ＝a ln x 的导数为y ′＝ax ，在P (s ，t )处的切线斜率为k 2＝a s.由曲线y ＝12ex 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，可得s e ＝a s ，并且t ＝12es 2，t ＝a ln s ，即⎩⎪⎨⎪⎧s e ＝a s，12e s 2＝a ln s ，∴ln s ＝12，∴s 2＝e.可得a ＝s 2e ＝ee＝1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝__________________.答案π4解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即33 2＝6sin B，所以sin B ＝22， 又因为b <a ，所以B <A ，所以∠B ＝π4.14．完成下面的三段论：大前提：两个共轭复数的乘积是实数．小前提：x ＋y i 与x －y i(x ，y ∈R )互为共轭复数．结论：________________________________________________________________________. 答案 (x ＋y i)·(x －y i)(x ，y ∈R )是实数解析 “三段论”可表示为①大前提：M 是P ；②小前提：S 是M ；③结论：所以S 是P ，故该题结论可表示为(x ＋y i)·(x －y i)(x ，y ∈R )是实数．15．甲乙两地相距500km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h.已知汽车每小时运输成本为⎝⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360元，则全程运输成本与速度的函数关系是y ＝__________________，当汽车的行驶速度为________km/h 时，全程运输成本最小． 答案 18v ＋180000v(0<v ≤120) 100解析 ∵甲乙两地相距500 km ，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v小时，又由汽车每小时运输成本为⎝⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360元，则全程运输成本与速度的函数关系是y ＝500v ·⎝ ⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360＝18v ＋180 000v (0<v ≤120)，由基本不等式得18v ＋180 000v≥218v ·180 000v＝3 600,当且仅当18v ＝180 000v，即v ＝100时等号成立．16．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a ∥b ；②a ⊥b ；③|a |＝|b |；④a ＋b ＝a －b . 答案 ②解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b . 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝－x ＋1；当x >1时，f (x )＝log 2x .(1)在平面直角坐标系中直接画出函数y ＝f (x )在R 上的草图； (2)当x ∈(－∞，－1)时，求满足方程f (x )＋log4(－x )＝6的x 的值； (3)求y ＝f (x )在[0，t ](t >0)上的值域．解 (1)(2)当x ∈(－∞，－1)时，f (x )＝log 2(－x )，∴f (x )＋log 4(－x )＝log 2(－x )＋log 2(－x )log24＝32log 2(－x )＝6，即log 2(－x )＝4，即－x ＝24，得x ＝－16. (3)当0<t ≤1时，值域为[－t ＋1,1]； 当1<t ≤2时，值域为[0,1]， 当t >2时，值域为[0，log 2t ]．18．(12分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β.(1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．解 (1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3，故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝BDsin∠BAD ，故AB ＝sin βsin α·BD ＝4373314×1＝83，故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.19．(12分)已知数列{an }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝1＋S n 对一切正整数n 恒成立． (1)试求当a 1为何值时，数列{a n }是等比数列，并求出它的通项公式；(2)在(1)的条件下，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 400an 的前n 项和T n 取得最大值？解 (1)由a n ＋1＝1＋S n 得，当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ，因为数列{a n }是等比数列，所以a 2＝2a 1， 又因为a 2＝1＋S 1＝1＋a 1，所以a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(2)由于y ＝2n －1在R 上是一个增函数，可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 4002n －1是一个递减数列，所以lg 40020>lg 40021>lg 40022>…>lg 40028>0>lg 40029>…，由此可知当n ＝9时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 400an 的前n 项和Tn 取最大值．20．(12分)设函数f (x )＝x 2－3x .(1)若不等式f (x )≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数m 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当m 取最大值时，设x >0，y >0且2x ＋4y ＋m ＝0，求1x ＋1y的最小值．解 (1)因为函数f (x )＝x 2－3x 的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以f (x )＝x 2－3x 在x ∈[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－3＝－2， 所以m ≤－2.(2)根据题意，由(1)可得m ＝－2， 即2x ＋4y －2＝0.所以x ＋2y ＝1. 因为x >0，y >0，则1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y≥3＋2x y ·2yx＝3＋22， 当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立．所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝23，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心．(1)求证：GF ∥平面PDC ； (2)求三棱锥G —PCD 的体积．(1)证明 方法一 连接AG 并延长交PD 于点H ，连接CH .由梯形ABCD 中AB ∥CD 且AB ＝2DC 知，AF FC ＝21.又E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，∴AG GH ＝21.在△AHC 中，AG GH ＝AF FC ＝21，故GF ∥HC .又HC ⊂平面PCD ，GF ⊄平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .方法二 过G 作GN ∥AD 交PD 于N ，过F 作FM ∥AD 交CD 于M ，连接MN ，∵G 为△PAD 的重心，∴GN ED ＝PG PE ＝23， ∴GN ＝23ED ＝233.又ABCD 为梯形，AB ∥CD ，CD AB ＝12，∴CF AF ＝12， ∴MF AD ＝13，∴MF ＝233，∴GN ＝FM . 又由所作GN ∥AD ，FM ∥AD ，得GN ∥FM ， ∴四边形GNMF 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又∵GF ⊄平面PCD ，MN ⊂平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .方法三 过G 作GK ∥PD 交AD 于K ，连接KF ，由△PAD 为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，得DK ＝23DE ，∴DK ＝13AD ，又由梯形ABCD 中AB ∥CD ，且AB ＝2DC ，知AF FC ＝21，即FC ＝13AC ， ∴在△ADC 中，KF ∥CD ， 又∵GK ∩KF ＝K ，PD ∩CD ＝D ， ∴平面GKF ∥平面PDC ，又GF ⊂平面GKF ，∴GF ∥平面PDC .(2)解 方法一 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3， 由(1)知GF ∥平面PDC ，∴—G PCD V 三棱锥＝—F PCD V 三棱锥＝—P CDF V 三棱锥 ＝13×PE ×CDF S V . 又由梯形ABCD 中AB ∥CD ，且AB ＝2DC ＝23， 知DF ＝13BD ＝233，又△ABD 为正三角形，得∠CDF ＝∠ABD ＝60°， ∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin∠CDF ＝32，得—P CDF V 三棱锥＝13×PE ×S △CDF ＝32，∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 方法二 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3， 连接CE ，∵PG ＝23PE ，∴V 三棱锥G —PCD ＝23V 三棱锥E —PC D ＝23V 三棱锥P —CDE＝23×13×PE ×S △CDE ， 又△ABD 为正三角形，得∠EDC ＝120°， 得S △CDE ＝12×CD ×DE ×sin∠EDC ＝334.∴V 三棱锥G —PCD ＝23×13×PE ×S △CDE＝23×13×3×334＝32， ∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 22．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1－x ln x 的图象在x ＝1处的切线与直线x －y ＝0平行． (1)求函数f (x )的极值； (2)若∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>m (x 1＋x 2)，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝ax ＋1－x ln x 的导数为f ′(x )＝a －1－ln x ， 可得f (x )的图象在A (1，f (1))处的切线斜率为a －1， 由切线与直线x －y ＝0平行，可得a －1＝1， 即a ＝2，f (x )＝2x ＋1－x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ，由f ′(x )>0，可得0<x <e ，由f ′(x )<0，可得x >e ， 则f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 可得f (x )在x ＝e 处取得极大值，且为e ＋1，无极小值． (2)可设x 1>x 2，若∀x 1，x 2∈(0，＋∞)， 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>m (x 1＋x 2)，可得f (x 1)－f (x 2)>mx 21－mx 22， 即有f (x 1)－mx 21>f (x 2)－mx 22恒成立， 设g (x )＝f (x )－mx 2在(0，＋∞)为增函数，即有g ′(x )＝1－ln x －2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 可得2m ≤1－ln xx 在(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝1－ln x x，则h ′(x )＝ln x －2x2， 令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2，h (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，即有h (x )在x ＝e 2处取得极小值－1e 2，且为最小值，可得2m ≤－1e 2，解得m ≤－12e2. 则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12e 2.。

课时标准练 53用样本估计总体根底稳固组1.(2021福建龙岩 4 月模拟 ,4)党的十八大以来,脱贫攻坚取得显著成绩.2021 年至 2021 年 4 年间 ,累计脱贫 5 564 万人 ,2021 年各地根据实际进行创新,精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地 3 000户家庭的2021 年所有的年收入情况调查统计,年收入的频率分布直方图如下图,数据 (单位 :千元 )的分组依次为 [20,40),[40,60),[60,80),[80,100], 那么年收入不超过 6 万的家庭大约为()A.900 户B.600 户C.300 户D.150 户2.(2021湖南长郡中学一模,7)某赛季甲、乙两名篮球运发动各13 场比赛得分情况用茎叶图表示如图.根据上图 ,对这两名运发动的成绩进行比拟,以下四个结论中,不正确的选项是 ()A. 甲运发动得分的极差大于乙运发动得分的极差B.甲运发动得分的中位数大于乙运发动得分的中位数C.甲运发动的得分平均值大于乙运发动的得分平均值D.甲运发动的成绩比乙运发动的成绩稳定3.(2021四川成都考前模拟,3)某教育局为了解“跑团〞每月跑步的平均里程,收集并整理了至 2021 年 11 月期间“跑团〞每月跑步的平均里程(单位 :公里 )的数据 ,绘制了下面的折线图2021 年.1 月根据折线图 ,以下结论正确的选项是()A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程顶峰期大致在8、9 月D.1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月 ,波动性更小 ,变化比拟平稳4.(2021山东、湖北冲刺二,3)当 5 个正整数从小到大排列时,其中位数为4,假设这6,那么这 5 个数的均值不可能为 ()5 个数的唯一众数为A.3 .65.(2021内蒙古呼和浩特一模,8)如图为某班35 名学生的投篮成绩面局部数据破损导致数据不完全.该班学生投篮成绩的中位数是哪一选项中的数值()(每人投一次 )的条形统计图,其中上5,那么根据统计图,无法确定以下A.3 球以下 (含 3 球 )的人数B.4 球以下 (含 4 球 )的人数C.5 球以下 (含 5 球 )的人数D.6 球以下 (含 6 球 )的人数6.(2021四省名校大三,6)某校李老本学期任高一 A 班、 B 班两个班数学教学,两个班都有50 名学生 ,下反映的是两个班在本学期 5 次数学中的班平均分比,根据表信息,以下不正确的是()A. A 班的数学成平均水平好于 B 班B.B班的数学成没有 A 班定C.下次 B 班的数学平均分高于 A 班D.在第一次考中 ,A、 B 两个班平均分78 分7.(2021四川达州四模,10)数据x1,x2,⋯,x10,2的平均2,方差1,数据x1,x2,⋯,x10相于原数据() A. 一定 B. 得比定C.得比不定D.定性不可以判断8.(2021江西景德盟校考二,4)某7个数的平均数4,方差 2,参加一个新数据4,此8 个数的平均数2,方差 s , ()A. = 4,s2= 2B. = 4,s2> 2C. = 4,s2 <2D. > 4,s2< 29.(2021山春季高考,24)在一批棉花中随机抽了500 根棉花的度并制了如所示的率分布直方,由可知 ,本中棉花的度大于是.(精确到 1 mm) 作本225 mm 的数,10.(2021广莞考前冲刺,13)本x1,x2,x3,⋯ ,x n的方差 s2= 2,本2x1 + 1,2x2+ 1,2x3+ 1,⋯ ,2x n+ 1 的方差.11.(2021河南天一大考三,15)一本数据按从小到大的序排列: -1,0,4,x,y,14,数据的平均数与中位数均 5,其方差.12.(2021北大附中五模,18)春市局某公司月收入在1 000~4000 元内的工行一次,并根据所得数据画出本的率分布直方 (每个分包括左端点 ,不包括右端点 ,如第一表示工月收入在区[1 000,1 500) 内 ,位 : 元 ).(1)估公司的工月收入在[1 000,2 000) 内的概率 ;(2)根据率分布直方估本数据的中位数和平均数.综合提升组13.(2021宁夏川一中三模,4)甲、乙两数据如茎叶所示,假设它的中位数相同,平均数也相同 ,中的 m,n 的比 =()A. B.14.(2021湖南衡阳二模,4)本x1,x2,⋯,x n的平均数x;本 y1,y2,⋯ ,y m的平均数 y(x≠y),假设本x1,x2,⋯ ,x n,y1,y2,⋯ ,y m的平均数 z=ax+ (1-a)y,其中 0<a<, n,m(n,m∈N* )的大小关系()A. n=mB. n≥ mC.n<mD.n>m15.(2021安徽太和中学一模,16)本数据a1,a2,a3,a4,a5的方差 s2=-20),本数据2a1+ 1,2a2+ 1,2a3+ 1,2a4+ 1,2a5+ 1 的平均数.16.(2021新疆吾自治区二模,19)某市有甲、乙两位航模运参加了国家集,分从他在集期参加的假设干次成中随机抽取8 次 ,如下 :甲:8281797895889384乙:9295807583809085(1)画出甲、乙两位学生成的茎叶,指出学生乙成的中位数;(2)要从中派一人参加国比,从平均成和方差的角度考,你派哪位学生参加适宜?明理由 .创新应用组17.(2021云南昆明二模,4)“搜索指数〞是网民通搜索引擎,以每天搜索关的次数基所得到的指 .“搜索指数〞越大 ,表示网民关的搜索次数越多,关相关的信息关注度也越高 .下是 2021 年 9 月到 2021 年 2 月半年中 ,某个关的搜索指数化的走.根据走 ,以下正确的选项是()A. 半年中 ,网民关相关的信息关注度呈周期性化B.半年中 ,网民关相关的信息关注度不断减弱C.从网民关的搜索指数来看,去年 10 月份的方差小于11 月份的方差D.从网民关的搜索指数来看,去年 12 月份的平均大于今年 1 月份的平均18.(2021河北衡水模三,19)“日行一万步 ,健康你一生〞的养生念已深入人心,由于研究性学的需要 ,某大学生收集了“微信运〞中特定甲、乙两个班n 名成一天行走的步数,然后采用分抽的方法按照[20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 分抽取了20 名成的步数,并制了如下尚不完整的茎叶(位 :千步 ):甲、乙两班行走步数的平均都是44千步 .(1) 求 x,y 的 ;(2) ①假设 n= 100,求甲、乙两个班②假设估中一天行走步数少于100 名成中行走步数在40 千步的人数比于[20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各的人数[40,50) 千步的人数少12 人 ,求 n 的 .;课时标准练 53 用样本估计总体1.A 由 率分布直方 可得年收入不超 6 万的家庭的概率 (0.005+ 0.01)×20= 0.3,所以年收入不 超 6 万的家庭数大 3 000×0.3= 900( ),故 A .2.D 由茎叶 知甲的极差 47-18=29,乙的极差是33-17=16,A 正确 ;甲中位数是 30,乙中位数是26,B 正确 ;甲均 29 ,乙均 25,C 正确 ;只有 D 不正确 ,甲的方差大于乙的方差 , 是乙成定 ,故 D.3.D 由折 知 ,月跑步平均里程的中位数 5 月份 的里程数 ;月跑步平均里程不是逐月增加的;月跑步平均里程顶峰期大致在9、 10 月份 ,故 A,B,C ,故 D. 4.A 五个数从小到大 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ,依 意得 a 3= 4,a 4=a 5= 6,a 1 ,a 2 是 1,2,3 中两个不同的数 ,符合 意的五个数可能有三种情形:“1,2,4,6,6〞,“1,3,4,6,6〞,“2,3,4,6,6〞,其平均数分 3.8,4,4.2.均 不可 能 3.6,故 A . 5.C 因 共有 35 人,而中位数 是第 18 个数 ,所以第 18 个数是 5,从 中看出第四个柱状 的 范 在 6 以上 ,所以投 4 个球的有 7 人.可得 3 球以下 (含 3 球 )的人数 10 人 ,4 球以下 (含 4 球 )的人数10+ 7= 17(人 ),6 球以下 (含 6 球 )的人数 35-1= 34(人 ).故只有 5 球以下 (含 5 球 )的人数无法确定 ,故 C.6.C A 班的 5 次数学 平均分分 81,78,81,80,85,5 次的平均分(81+78+ 81+ 80+ 85)= 81,B班的 5 次数学 平均分分 75,80,76,85,80,5 次的平均分(75+ 80+ 76+ 85+ 80)= 79.2,A 班的数学平均分好于 B 班 ,A 正确 ;由于 A 班的成 都在 80 分附近 ,而 B 班的平均分 化很大 ,所以A 班成 定些 ,B 正确 ; 下次考 A,B 班的平均分不能 料 ,所以 C;在第一次考 中 ,平均分=78分,D 正确 .故 C.7.C由 可得 :⋯ = 2,所以 x 1+x 2 + ⋯ +x 10= 20,所以平均2,由- - ⋯---- ⋯ -= 1 得= 1.1>1,所以 得不 定 ,故 C.8.C根据 意有2-< 2,故 C.= 4,而 s =9.235 因 度大于225 mm 的 率 (0.004 4+ 0.005 0)×50= 0.47,所以 度大于 225 mm 的 数是 ×500= 235.10.82由 意 , 本数据 x 1,x 2,x 3,⋯,x n 的方差 s 2= 2, 本 2x 1+ 1,2x 2 +1,2x 3+ 1,⋯,2x n + 1 的方差 , = 2 22×s = 2 ×2= 8. -11∵-1,0,4,x,y,14 的中位数 5, = 5, ∴ ∴ = 5,即 y= 7,x= 6, 数据的平均数是 可得 数据的方差是 (36+ 25+ 1+ 1+ 4+ 81)= ,故答案12.解 (1) 工月收入在 [1 000,2 000) 内的概率 (0.000 2+ 0.000 4)×500= 0.3.(2)根据条件可知 ,从左至右小矩形的面 分 是 0.1,0.2,0.25,0.25,0.15,0.05,因此 ,中位数的估2 000+ = 2 400;平均数的估 1 250×0.1+ 1 750×0.2+ 2 250×0.25+2 750×0.25+3250×0.15+ 3 750×0.05= 2 400.上可知 ,中位数和平均数的估 都是2 400.13.A由 意得 ,甲 数据 :24,29,30 +m,42;乙 数据 :25,20+n ,31,33,42,∴甲、乙两 数据的中位数分、 31,且甲、乙两 数的平均数分甲乙由 意得解得,故 A.14.C由 意得z=(nx+my )=x+1-y,∴a=∵0<a< ,∴0< ,∴n<m.故 C.15.5 或 -3 本数据的平均数a, 方差s2=--2aa i+a 2)=- 2a a i+ 5a2) =-2a×5a+ 5a2)=-5a2).结合 s2=-20)可得 5a2= 20,∴a= ±2,即样本数据2 或 -2,那么样本数据2a1+ 1,2a2+ 1,2a3+ 1,2a4+ 1,2a5+1 的平均数为2×2+ 1= 5 或16.解(1)茎叶图如下:a1,a2 ,a3,a4,a5的平均数为2×(- 2)+1=- 3.∴学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲参加比拟适宜,理由如下 :甲(70×2+ 80×4+ 90×2+ 9+ 8+ 8+ 4+ 2+ 1+ 5+ 3)= 85,乙(70×1+ 80×4+ 90×3+ 5+ 3+ 5+ 2+ 5)=85,甲[(78 -85)2+ (79- 85)2+ (81-85)2+ (82-85)2+ (84-85)2+ (88-85)2+ (95-85)2 + (93-85) 2]= 35.5,乙[(75 -85)2+ (80- 85)2+ (80-85)2+ (83-85)2+ (85-85)2+ (90-85)2+ (92-85)2 + (95-85) 2]= 41,因为甲乙甲乙 ,∴甲的成绩比拟稳定 ,派甲参加比拟适宜 .17.D根据走势图可知,这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化,A 错;这半年中 ,网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定,B 错 ;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年 10 月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性,所以去年 10 月份的方差大于11 月份的方差,C 错 ;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 ,D 正确 .应选 D.18.解(1)因为甲班的平均值为44,所以甲(26+ 32+ 42+ 40+x+ 45+ 46+ 48+ 50+ 52+ 53)= 44,解得 x=6.同理 ,因为乙班平均值为44,所以乙(26+ 34+ 30+y+ 41+ 42+ 46+ 50+ 52+ 57+ 58)= 44,解得 y=4.(2)①因为抽样比为,且抽取的20 名成员中行走步数在 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各层的人数依次为2,3,8,7,所以甲、乙两个班级100 名成员中行走步数在 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各层的人数依次为10,15,40,35.②该团队中一天行走步数少于40 千步的频率为,处于 [40,50) 千步的频率为,那么估计该团队中一天行走步数少于40 千步的人数与处于 [40,50) 千步的人数的频率之差为又因为该团队中一天行走步数少于40 千步的人数比处于 [40,50) 千步的人数少 12 人 ,所以 n= 12,解得 n= 80.。

考点12 线性规划一、考纲要求1. 能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决二、近五年江苏高考一般地，二元一次不等式Ax +By+ C >0 在平面直角坐标系中表示Ax +By+ C =0 某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式Ax +By+ C ≥0 所表示的平面区域时，此区域的边界直线画成实线。

线性规划问题的考查，通常以求最优解、最值等问题出现，一般情况下，可通过作出图像，用数形结合的方法解题，题目多为填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法求解。

高考对此内容的考查主要有三种：一是与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的距离、面积等问题；二是求目标函数的最值(取值范围)或已知目标函数的最值，求约束条件或目标。

三、考点总结：`函数中的参数的取值范围；三是求实际生活中效益最大，耗费的人力、物力资源最少等问题。

1. 用二元一次不等式表示平面区域，是简单线性规划问题的基础。

2. 掌握二元一次不等式表示平面区域的方法：(1 )直线定界，特殊点定域。

(2 )讨论B >0 时，不等式的方向。

(3 )也可根据斜截式判断：y < kx + b 表示直线的下方；y >kx + b 表示直线的上方。

3. 解决线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的一环，故要重视正确画图；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上。

4. 目标函数所对应的直线束的斜率，如果与约束条件组中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，那么最优解可能有无数个。

最后一定要注意检验，考虑最优解是否符合实际意义。

解题中，要特别注意目标函数所对应的直线束的斜率与边界的斜率的大小关系而导致的错误。

四、近几年江苏高考题1、(2017江苏卷)．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ．2、（2016江苏卷） 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是 .3、（2013江苏卷） 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．五、近三年模拟题题型一、目标函数的最值问题1、(2019无锡期末） 已知 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥02x －y≤0x≥0，则z ＝ x ＋y 的取值范围是________．2、(2019南京三模）．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋y ≥0，x ≤1，则x ＋3y 的最小值为 ．3、(2019南通、泰州、扬州一调） 若实数x ，y 满足x≤y≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为________．4、(2018南通、泰州一调） 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≤3，x －y －1≤0，则2x －y 的最大值为________．5、(2018南京学情调研） 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x≤4，y≥3，x ＋y≤8，则z ＝3x －2y 的最大值为________．6、(2018苏州期末）已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≥0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．7、(2018常州期末） 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤0，2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，则x ＋y 的取值范围是________．8、(2018扬州期末）若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤4，y≤3，3x ＋4y≥12，则x 2＋y 2的取值范围是________．9、(2017苏北四市一模） 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．10、(2017南通一调） 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．11、(2017南京、盐城一模） 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋y ≤7，x ＋2≤2y ，)则yx的最小值是________．题型二 线性规划中的参数问题1、(2018无锡期末） 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x ＋y≤4，2x －y≤c ，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则c 的值为________．2、(2017无锡期末）设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________．3、(2017苏州暑假测试） 已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．。

45分钟滚动基础训练卷(一)(考查范围：第1讲～第3讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·惠州调研] 集合M ＝{4，5，－3m }，N ＝{－9，3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．3或－1B ．3C ．3或－3D ．－12．[2013·哈尔滨三中月考] 已知集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b ，1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )A ．{0，1，3}B ．{1，2，4}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2，3，4}3．[2012·开封二模] 下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋1 C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0 D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x4．[2012·东北四校一模] 集合⎩⎨⎧x ∈N *⎪⎪⎪⎭⎬⎫12x∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．125．[2012·银川一中一模] 有下列命题：①设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分不必要条件； ②命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是：“若b ∈M ，则a ∉M ”； ③若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；④命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”． 则上述命题中为真命题的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．②④ D ．②③④6．[2012·河北名校俱乐部模拟] “k ＝1”是“函数y ＝sin 2kx －cos 2kx ＋1的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2012·鹰潭一模] 关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <08．[2012·豫南九校四联] 在下列四个命题中，其中为真命题的是( )A ．命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的逆否命题是“若x ≠2或x ≠－2，则x 2≠4” B ．若命题p ：所有幂函数的图象不过第四象限，命题q ：所有抛物线的离心率为1，则命题p 且q 为真C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋3>0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3<0D ．若a >b ，则a n >b n (n ∈N *)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是________．10．设全集U ＝R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |x 2＋3≤4x }，则图中阴影部分所表示的集合是________．11．[2012·泉州四校二联] 下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分不必要条件的有________个．①若x ∈E 或x ∈F ，则x ∈E ∪F ；②若关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ，则a >0； ③若2x 是有理数，则x 是无理数．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·荆州中学月考] 已知集合A ＝x ∈R ⎪⎪⎪3x ＋1≥1，集合B ＝{x ∈R |y ＝－x 2＋x －m ＋m 2}．若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．13．命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．14．已知集合A ＝{x ∈R |log 2(6x ＋12)≥log 2(x 2＋3x ＋2)}，B ＝{x |2x 2－3<4x，x ∈R }．求A ∩(∁R B )．45分钟滚动基础训练卷(二)(考查范围：第4讲～第7讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·吉林质检] 下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是( )A ．y ＝log 12xB ．y ＝1xC ．y ＝sinxD ．y ＝x 2－x2．函数y ＝x ＋1－x －1的最大值为( ) A ．2 2 B. 2 C ．1 D ．43．[2012·吉林一中二模] 已知定义在R 上的函数f (x )关于直线x ＝1对称，若f (x )＝x (1－x )(x ≥1)，则f (－2)＝( )A ．0B ．－2C ．－6D ．－124．[2012·银川一中月考] 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)5．函数y ＝2x －5x －3的值域是{y |y ≤0或y ≥4}，则此函数的定义域为( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫52<x ≤72B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫52≤x ≤72C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤52或x ≥72D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫52≤x <3或3<x ≤726．[2012·昆明二模] 已知函数f (x )＝x 2－|x |，则{x |f (x －1)>0}等于( ) A ．{x |x >1或x <－1} B ．{x |x >0或x <－2} C ．{x |x >2或x <0} D ．{x |x >2或x <－2}7．[2012·武昌调研] 函数y ＝f (x 所示，给出以下说法：①函数y ＝f (x )的定义域是[－1，5]；②函数y ＝f (x )的值域是(－∞，0]∪[2，4]； ③函数y ＝f (x )在定义域内是增函数；④函数y ＝f (x )在定义域内的导数f ′(x )>0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④8．[2012·信阳二调] 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·哈尔滨三中月考] 函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．10．已知函数f (x )为R 上的偶函数，当x >0时，f (x )＝1x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212，c ＝f (32)，则a ，b ，c 的大小关系为________．11．[2012·天津卷] 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式．13．[2013·珠海模拟] 对于函数f (x )＝a －2b x ＋1(a ∈R ，b >0且b ≠1)．(1)判断函数f (x )的单调性并证明；(2)是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？并说明理由．14．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1，3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式．45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)2．log 318＋log 132＝( )A ．1B ．2C ．4D ．53．[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．[2012·正定中学月考] 函数f(x)＝log a |x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )5．某商店按每件80元的成本购进某种商品，根据市场预测，销售价为每件100元时可售出1 000件，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A ．100元B ．110元C ．150元D ．190元6．有以下程序，若函数g(x)＝f(x)－m 在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是( )if x<＝－1 f(x)＝x ＋2 elseif x>－1 and x<＝1f(x)＝x ∧2else f(x)＝－x ＋2 end endprint (%io(2)，f(x)) A ．m >1 B ．0<m <1C ．m <0或m ＝1D ．m <07．[2012·哈尔滨师大附中期中] 函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(1，2]D ．[2，＋∞)8．[2012·山东卷] 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·江苏卷] 函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．10．[2012·银川一中月考] 函数f (x )在R 上是奇函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝2x (x －1)，则f (x )＝__________________．11．已知函数f (x )＝4cos πx（4x 2＋4x ＋5）（4x 2－4x ＋5），对于下列命题：①函数f (x )不是周期函数；②函数f (x )是偶函数；③对任意x ∈R ，f (x )满足|f (x )|<14.其中真命题是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．13．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．14．[2012·上海闵行区三模] 某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m 的药剂后，经过x h 该药剂在动物体内释放的浓度y (mg/L)满足函数y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋2x ＋5（0<x ≤4），－x －lg x ＋10（x >4）.当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4(mg/L)时，称为该药剂达到有效．(1)若m ＝2，试问该药达到有效时，一共可持续多长时间(取整数小时)?(2)为了使在8 h 之内(从投放药剂算起包括8 h)达到有效，求应该投放的药剂量m 的最小值(取整数)．45分钟滚动基础训练卷(四)(考查范围：第4讲～第15讲，以第13讲～第15讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝ax 2＋c ，且f′(1)＝2，则a 的值为( ) A. 2 B ．1 C ．－1 D ．02．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋23．[2012·哈尔滨附中月考] 若函数f(x)的定义域为[a ，b]，且b>－a>0，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为( )A ．[a ，b]B ．[－b ，－a]C ．[－b ，b]D ．[a ，－a]4．[2012·银川一中月考] 过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x －2y ＋2＝05．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)6．[2012·乌鲁木齐押题卷] 设f(x)为可导函数，且满足 f （1）－f （1－2x ）2x＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．设f(x)＝x(ax 2＋bx ＋c)(a≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b)B ．(a ，c)C ．(b ，c)D ．(a ＋b ，c)8．[2012·山西四校联考] 设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ，则log 2 012x 1＋log 2 012x 2＋…＋log 2 012x 2011的值为( )A ．－log 2 0122 011B ．－1C ．－1＋log 2 0122 011D ．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·福州质检] 函数f (x )＝x 3＋ax (x ∈R )在x ＝1处有极值，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程是________．10．[2012·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·双鸭山一中期中] 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50＜x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105（x －40）2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？13．已知函数f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)． (1)设a >0，讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝－1，证明：对∀x 1，x 2∈[0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2.14．已知函数f (x )＝e x＋1x －a.(1)当a ＝12时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)当a >1时，判断方程f (x )＝0实根的个数．45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第16讲～第19讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos －20π3的值等于( )A.12B.32 C ．－12 D ．－322．[2012·昆明一中一模] 设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 3．[2012·济南三模] 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin x ＋π4；③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin2x ＋1.其中“同簇函数”的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4．将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π4个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是( )A ．y ＝2sin2x －2B ．y ＝2cos2x －2C ．y ＝2cos2x ＋2D ．y ＝2sin2x ＋25．[2012·吉林模拟] 为了得到函数y ＝3sin x cos x ＋12cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π12个长度单位B ．向右平移π12个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移π6个长度单位6．函数f (x )＝|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为( )A.34B ．1C ．2 D.127．[2012·商丘三模] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的最小正周期为4π，则对该函数的图象与性质判断错误的是( )A ．关于点－π3，0对称B ．在0，2π3上递增C ．关于直线x ＝5π3对称D ．在－4π3，0上递增8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图G5－1，则( )A ．f (x )＝－4sin π8x ＋π4B ．f (x )＝4sin π8x －π4C ．f (x )＝－4sin π8x －π4D ．f (x )＝4sin π8x ＋π4二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·沈阳二模] 已知tan α＝2，则sin （π＋α）－sin π2＋αcos 3π2＋α＋cos （π－α）的值为________．10．若g (x )＝2sin2x ＋π6＋a 在0，π3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________．11．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A sin ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的部分图象如图G5－2所示，则当t ＝150s 时，电流强度是________A.三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值；(2)若x ∈－π6，π3，求f (x )的值域．13．[2012·沈阳四校联考] 已知函数f (x )＝2cos x ·cos x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)把f (x )的图象向右平移m 个单位后，在0，π2上是增函数，当|m |最小时，求m 的值．14．已知函数f (x )＝2sin 2π4－x －23cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若f (x )<m ＋2在x ∈0，π6上恒成立，求实数m 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第16讲～第23讲，以第20讲～第23讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·河北五校联盟调研] 已知sin(α＋45°)＝45，45°<α<135°，则sinα＝( )A.25B．－25C.7210D．－72102．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.5π63．[2012·银川一中月考] 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长是( )A ．18B ．21C ．24D ．154．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D.3＋3945．[2012·汕头测评] 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°6．[2012·江西师大附中模拟] 下列函数中，周期为π，且在0，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π27．为了得到函数y ＝sin2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos x3的图象( )A ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移π3个单位B ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移2π3个单位C ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π个单位D ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π3个单位8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sinB sinC ＝0，则tan A 的值是( )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知tan α＝2，计算1cos2α＋tan2α的值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的值；(2)若cos A 2＝255，求sin C 的值．13．[2013·抚顺期中] 已知x ＝π6是函数f (x )＝(a sin x ＋cos x )cos x －12图象的一条对称轴．(1)求a 的值；(2)作出函数f (x )在[0，π]上的图象简图(不要求书写作图过程)．14．在锐角△ABC 中，A ，B ，C 三内角所对的边分别为a ，b ，c .设m ＝(cos A ，sin A )，n＝(cos A ，－sin A )，a ＝7，且m·n ＝－12.(1)b ＝3，求△ABC 的面积； (2)求b ＋c 的最大值．45分钟滚动基础训练卷(七)(考查范围：第24讲～第27讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－832．已知向量a ＝(n ，4)，b ＝(n ，－1)，则n ＝2是a ⊥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知e 1，e 2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，则|a |等于( ) A ．4 B.11 C ．3 D.74．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则|a ||b |等于( )A.14 B ．4 C.12D ．2 5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－16．已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．－67．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，若|b|＝2|a |，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±48．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，下列结论中正确的是________．①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.10．若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．11．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)． (1)试计算a·b 及|a ＋b |的值． (2)求向量a 与b 的夹角的正弦值．13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－k a ＋1tb ，m ∈R ，k ，t 为正实数．(1)若a∥b ，求m 的值； (2)若a⊥b ，求m 的值；(3)当m ＝1时，若x⊥y ，求k 的最小值．14．[2012·沈阳二模] 已知向量m ＝sin 2x ＋1＋cos2x 2，sin x ，n ＝12cos2x －32sin2x ，2sin x ，设函数f (x )＝m ·n ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈0，π2，求函数f (x )的值域．45分钟滚动基础训练卷(八)(考查范围：第28讲～第30讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }共有10项，公差为2，奇数项的和为80，则偶数项的和为( ) A ．90 B ．95 C ．98 D ．1002．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 7＝( ) A ．9 B ．1 C ．2 D ．33．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝2π，则cos(a 2＋a 8)＝( )A ．－12B ．－32C.12D.324．[2012·黄冈中学二联] 已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( )A ．8(2n－1) B.83(4n －1)C.163(2n －1)D.23(4n－1) 5．[2012·唐山三模] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7＝21，S 11＝121，则该数列的公差d ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．26．[2012·衡阳八中月考] 已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝52，则a 7a 8a 9＝( )A ．10B ．2 2C ．8 D. 27．[2012·合肥一中质检] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n 8．[2012·珠海一中模拟] 设正项等比数列{a n }，若等差数列{lga n }的公差d ＝lg3，且{lga n }的前三项和为6lg3，则{a n }的通项为( )A ．a n ＝nlg3B ．a n ＝3nC ．a n ＝3nD ．a n ＝3n －1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________．10．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若S 2∶S 5＝1∶4，则a 5∶a 9＝________．11．[2012·包头一模] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n≥2)，则该数列前2 013项和等于________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2013·铁岭期中] 已知向量a ，b 满足a ＝(－2sin x ，3cos x ＋3sin x )，b ＝(cos x ，cos x －sin x )，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的形式；(2)已知数列a n ＝n 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2－11π24(n ∈N *)，求{a n }的前2n 项和S 2n .13．[2012·河北名校俱乐部模拟] 已知等差数列{a n }满足a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设公比大于1的等比数列{b n }的各项均为正数，其前n 项和为T n ，若a 3＝b 2＋2，T 3＝7，求T n .14．[2012·长春二调] 在等差数列{a n }中，2a 1＋3a 2＝11，2a 3＝a 2＋a 6－4，其前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝1S n ＋n，求数列{b n }的前n 项和T n .45分钟滚动基础训练卷(九)(考查范围：第28讲～第32讲，以第31讲～第32讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11＝8，则a 2a 8＝( ) A ．4 B ．6 C ．12 D ．162．[2012·朝阳一模] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．323．[2012·豫东、豫北十校联考] 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2012·惠州三调] 公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝9，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 012OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 2 012＝( )A ．1 000B ．2 001C ．2 010D ．1 006 6．[2012·东北三校一模] 等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20C ．40D ．2＋log 257．[2012·陕西师大附中三联] 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.6（66－1）6－1只 B ．66只C ．63只D ．62只8．[2012·南阳联考] 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为( )A.43(49－1)B.43(410－1) C.13(49－1) D.13(410－1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．{a n }为等比数列，公比q ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11－29，则a 1＝________． 10．{a n }是首项a 1＝－3，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 013，则n ＝________． 11．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么ac ＝________，b ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2013·唐山模拟] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝27(8n－1)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 2a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.13．[2012·济南模拟] 在数列{a n }中，a 1＝1，并且对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＝a n2a n ＋1. (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设数列{a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，求使得T n >1 0002 011的最小正整数n .14．[2012·黄冈模拟] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n 且S n ＋1＝32S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求满足不等式T n <12S n ＋2的n 值．45分钟滚动基础训练卷(十)(考查范围：第33讲～第36讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0，1)2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y≥x，3x ＋2y≤5，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知命题p ：m<0，命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0成立．若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <04．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定5．[2012·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．[2012·金山一中考前测试] 若“p ：x －32－x≥0”，“p 成立”是“q 成立”的充要条件，则满足条件的q 是( )A ．q ：(x －3)(x －2)≤0B ．q ：x －2x －3≤0C ．q ：lg(x －2)≤0D ．q ：|5－2x |≤17．[2012·合肥质检] 已知函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图象过点A (3，7)，则此函数的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．[2012·东北师大附中月考] 已知O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的任意一点，且使OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞B ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，0)∪[3，＋∞) D ．(－∞，0]∪[3，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·湖南卷] 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．10．[2012·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．11．[2012·长春三调] 如果直线2ax －by ＋14＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，当3∈M 且5∉M 时，求实数a 的取值范围．13．某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百吨需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米．如果利用这些资金和场地用来生产A ，B 两种产品，那么分别生产A ，B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？14．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0.求证：(1)a >0且－2<b a<－1；(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．45分钟滚动基础训练卷(十一)(考查范围：第37讲～第41讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)11．[2012·呼和浩特二模] 如图G11－1，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )A.π4B.24πC.22π D.π22．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③α内无数条直线平行于β；④α内任何直线都平行于β.其中可以判定α与β平行的条件有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．[2012·潍坊模拟] 在空间中，l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A ．若α∥β，α∥γ，则β∥γB ．若l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l ，则l ⊥αD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l m ⊥nG11－25．[2012·郑州质检] 一个几何体的三视图及其尺寸如图G11－2所示，其中主视图是直角三角形，左视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位：cm 3)( )A.π2B.π3C.π4D ．π 6．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面(过棱台的高的中点且与底面平行的截面)分棱台成两部分的体积之比是( )A ．1∶7B ．2∶7C ．7∶19D ．5∶167．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3＋34a 2 B.34a 2C.3＋32a 2 D.6＋34a 28．一个空间几何体的三视图如图G11－3所示，该几何体的体积为12π＋853，则主视图中x 的值为( )－3A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．一个几何体的三视图如图G11－4所示，则这个几何体的表面积为________．－410．直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的体积等于________．11．[2012·郑州质检] 在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·沈阳、大连联考] 如图G11－5，在底面为长方形的四棱锥P－ABCD中，PA ⊥底面ABCD，AP＝AD＝2AB，其中E，F分别是PD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAB；(2)在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC？若存在，请指出点O的位置并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．13．[2012·郑州测试] 如图G11－6，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB ＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．14．[2012·江西师大附中联考] 如图G11－7(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图G11－7(2)．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．图G11－745分钟滚动基础训练卷(十二)(考查范围：第42讲～第45讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 的倾斜角的余弦值为－35，则与l 垂直的直线l ′的斜率为( )A ．－34B ．－43C.34D.432．[2012·湖北八市联考] 已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或23．[2012·枣庄模拟] 已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝04．[2012·北京朝阳区二模] 直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则实数k 的值是( )A ．0B ．－34C ．－34或0 D ．25．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能6．过点P (4，2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝207．圆心在函数y ＝2x的图象上，半径等于5的圆经过原点，这样的圆的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．[2012·成都诊断] 直线l ：mx ＋(m －1)y －1＝0(m 为常数)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，则( )A ．当m 变化时，直线l 恒过定点(－1，1)B ．直线l 与圆C 有可能无公共点C ．对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M ，N ，则线段MN 的长的最小值为2 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·东北三校二联] 直线l ：y ＝k (x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，|AB |＝22，则实数k ＝________．10．[2012·南京、盐城三模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，直线l ：x ＋y －4＝0.点B (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0上的动点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，则线段DE 的最大值是________．11．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．13．如图G12－1，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点A 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．14．已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；(2)求恒与圆相切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程．45分钟滚动基础训练卷(十三)(考查范围：第42讲～第49讲，以第46讲～第49讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·北京东城区二模] 已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2012·南平测试] 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为20，离心率为35，则椭圆方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 29＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1 4．若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，335．过点(0，1)与抛物线y 2＝2px (p >0)只有一个公共点的直线条数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.233 C.932 D.23277．若点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 225－y 29＝1上的一点，且|PF 1|＝12，则|PF 2|＝( )A ．2B ．22C ．2或22D ．4或228．已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·黄冈中学模拟] 已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．10．双曲线C 的焦点在x 轴上，离心率为e ＝2，且经过点P (2，3)，则双曲线C 的标准方程是________．11．[2012·成都二诊] 已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，C (0，b )，直线l ：x ＝2a 与x 轴交于点D ，与直线AC 交于点P ，若∠DBP ＝π3，则此椭圆的离心率为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点与椭圆C 1的上顶点重合．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1，0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．13．已知椭圆C 的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，并且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，证明当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．14．[2012·咸阳三模] 已知抛物线x 2＝4y ，过点A (0，1)任意作一条直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点．(1)求OM →·ON →的值；(2)过M ，N 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，试探求l 1与l 2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．45分钟滚动基础训练卷(十四)(考查范围：第50讲～第55讲 分值：100分)。

同步精选测试 简单线性规划(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10， 2x ＋y ≤10， x ＋y ≤6， x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥10， 2x ＋y ≥10， x ＋y ≤6， x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10， 2x ＋y ≤10， x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10， 2x ＋y ≤10， x ＋y ≤6， x ，y ∈N ，z ＝40x ＋20y【解析】 由题意易知选A. 【答案】 A2.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，则yx的取值范围是 ( )【导学号：18082125】A.(0,1)B.(0,1]C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0的可行域如图阴影部分所示.yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率.过点O 与直线AB 平行的直线l 的斜率为1，l 绕点O 逆时针转动必与AB 相交，直线OB 的倾斜角为90°，因此y x的取值范围为(1，＋∞).【答案】 C3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32【解析】 作出可行域如图所示.目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.【答案】 A4.已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0， y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )【导学号：18082126】A.1B.12C.－12D.－1【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.【答案】 A5.若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x 2＋y 2的几何意义是区域内的点P (x ，y )与原点O (0,0)的距离的平方.结合图形可知，|OB |＞|OA |＞|OC |，|OP |max ＝|OB |.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴B (3，－1)，∴|OB |＝32＋－2＝10.∴x 2＋y 2的最大值为10. 【答案】 C 二、填空题6.满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________.【解析】 首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M (0,5)时截距最大，此时z 最大.【答案】 (0,5)7.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________.【导学号：18082127】【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0.z ＝3x ＋2y 的最小值为1.【答案】 18.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.【解析】 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N ＋， y ≥0，y ∈N ＋.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0).当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).【答案】 216 000 三、解答题9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于多少？【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72， x ≤8，y ≤7， x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900. 10.变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0， y ≤1，x ＞－1，求(x －2)2＋y 2的最小值.【解】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0， y ≤1，x ＞－1在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则(x －2)2＋y 2的几何意义是点P (x ，y )与点M (2,0)距离的平方.由图可知，当点P 的坐标为(0,1)时，|PM |最小，所以|PM |≥22＋1＝5，所以|PM |2≥5，即(x －2)2＋y 2的最小值为5.[能力提升]1.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5【解析】 根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B. 【答案】 B2.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A.5B.4C. 5D.2【解析】 法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值， 故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2， 所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B. 【答案】 B3.当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32，所以a 的取值范围是1≤a ≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，324.设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值.【解】 可将此题看成关于a 1和d 的线性规划问题，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1≤13，4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，化简为⎩⎪⎨⎪⎧a 1≤13，2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求a 4＝a 1＋3d 的最大值，将其转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13，2x ＋3y ≥5，x ＋2y ≤3，求z＝x ＋3y 的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示.由z ＝x ＋3y ，得y ＝－13x ＋z 3，平移直线y ＝－13x ，由图可知，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，z 有最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝5，x ＋2y ＝3，得A (1,1)，所以z max ＝1＋1×3＝4， 即a 4的最大值为4.。

课时53 简单的线性规划模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．(2018·浙江衢州质量检测,5分)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示 的区域(用阴影部分表示)应是( )【答案】C2．（2018·北京崇文一模,5分）6．(2010年山东潍坊一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )A ．1吨B ．2吨C ．3吨 D.113吨 【答案】A【解析】设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥1，y ≥2.所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域：作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点A (1，163)时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．3．（2018·宁波二模,5分）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )A ．a <5B ．a ≥8C ．5≤a ＜8D ．a ＜5或a ≥8【答案】C4．（2018·金华模拟,5分）2．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，2x ＋3y －5≤0，4x ＋3y －1≥0，点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2【答案】B【解析】可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，4x ＋3y －1＝0，得A (－2,3)．∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2. 5．（2018·泸州二诊,5分）在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]【答案】D6. （2018·深圳调研,5分）知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为__________．【答案】a ＞12【解析】由约束条件画出可行域如图所示．要使仅在点(3,0)处取最大值，则－a ＜－12，∴a ＞12.7. (2018·浙江宁波 “十校联考” ,5分)已知点(x ，y )在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z ＝kx －y .当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－3108．（2018·上海徐汇月考诊断,5分) 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝【答案】1【解析】由x ＋y 有最大值可知m >0，画出可行域如图． 目标函数z ＝x ＋y ，即y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，平移得A (3m ＋12m －1，52m －1)为最优解，所以当x ＝3m ＋12m －1，y ＝52m －1时，x ＋y 取最大值9，即3m ＋12m －1＋52m －1＝9，解得m ＝1.9．(2018·上海黄浦区二模,10分) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：110试问：如何安10．(2018·吉林模拟,5分)若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，求以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积．【解析】作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1，对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax ＋by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可．[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）11．（5分）对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界．若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A.92 B ．－92 C.14 D ．－4 【答案】B【解析】－12a －2b ＝－(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋b 2a ＋2a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋2＝－92.12．（5分）已知x ，y ∈Z ，n ∈N *，设f (n )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，0≤y ≤－x ＋n表示的平面区域内可行解的个数，由此可推出f (1)＝1，f (2)＝3，…，则f (10)＝( )A ．45B ．55C ．60D ．100 【答案】B【解析】 由可行域解的个数罗列可知f (1)＝1，f (2) ＝1＋2，f (3)＝1＋2＋3，…，f (10)＝1＋2＋3＋…＋10＝55.。

7.3简单的线性规划挖命题【考情探究】分析解读 1.线性规划是高考命题的热点.2.考查求目标函数的最值,可行域的面积,已知目标函数值求相应的参数值等(例如2018浙江,12).3.预计2020年高考试题中,线性规划的考查必不可少,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点简单的线性规划1.(2018浙江高考模拟卷,4)设实数x,y满足则3x+y的最大值为()A.1B.C.3D.答案C2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,14)设实数x,y满足不等式组且目标函数z=3x+y的最大值为15,则实数m=;设min{a,b}=则z=min{x+y+2,2x+y}的取值范围是.答案-1;[4,9]炼技法【方法集训】方法1 目标函数最值问题的求解方法1.(2018浙江嵊州高三期末质检,4)若实数x,y满足约束条件则z=2x-y的取值范围是()A.[-4,4]B.[-2,4]C.[-4,+∞)D.[-2,+∞)答案D2.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),14)若实数x,y满足则(x,y)构成的区域面积是;2x+y的取值范围是.答案2;[1,7]方法2线性规划中参变量问题的求解方法1.(2018浙江名校协作体,4)若不等式组表示的平面区域经过四个象限,则实数λ的取值范围是()A.(-∞,2)B.[-1,1]C.[-1,2)D.(1,+∞)答案D2.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),4)已知不等式组表示的平面区域为D,若D中的任意一点P(x,y)的坐标均不满足不等式x-2y≥3,则实数t的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-1,0)D.(-1,1)答案B过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点简单的线性规划1.(2017浙江,4,4分)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)答案D2.(2016浙江文,4,5分)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B. C. D.答案B3.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.2B.4C.3D.6答案C4.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是,最大值是.答案-2;85.(2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 36.(2014浙江文,12,4分)若实数x,y满足则x+y的取值范围是.答案[1,3]B组统一命题、省(区、市)卷题组考点简单的线性规划1.(2018天津文,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为()A.6B.19C.21D.45答案C2.(2018课标全国Ⅰ文,14,5分)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.答案 63.(2018北京理,12,5分)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是.答案 34.(2017课标全国Ⅲ理,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x-4y的最小值为.答案-15.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 000C组教师专用题组考点简单的线性规划1.(2017课标全国Ⅰ文,7,5分)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案D2.(2017天津理,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为()A. B.1 C. D.3答案D3.(2017山东理,4,5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是()A.0B.2C.5D.6答案C4.(2017北京文,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9答案D5.(2017山东文,3,5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是()A.-3B.-1C.1D.3答案D6.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C7.(2015北京,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为()A.0B.1C.D.2答案D8.(2015广东,6,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为()A.4B.C.6D.答案B9.(2015湖南,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.2答案A10.(2015山东,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案B11.(2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案D12.(2015天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为()A.3B.4C.18D.40答案C13.(2015福建,5,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于()A.-B.-2C.-D.2答案A14.(2014广东,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=()A.5B.6C.7D.8答案B15.(2014北京,6,5分)若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()A.2B.-2C.D.-答案D16.(2014安徽,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为()A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1答案D17.(2014天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案B18.(2014山东,9,5分)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5B.4C.D.2答案B19.(2018课标全国Ⅱ理,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为. 答案920.(2018课标全国Ⅲ文,15,5分)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是.答案 321.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案22.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 323.(2014湖南,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=. 答案-224.(2014福建,11,4分)若变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为.答案 125.(2014大纲全国,14,5分)设x、y满足约束条件则z=x+4y的最大值为.答案 526.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.答案27.(2017天津文,16,13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解析本小题主要考查用二元线性规划的基础知识和基本方法解决简单实际问题的能力,以及抽象概括能力和运算求解能力.(1)由已知,x,y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整点:图1(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.方法技巧解线性规划应用题的步骤:(1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题;(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题;(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.28.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴= (++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.评析本题考查了向量线性坐标运算,简单的线性规划等知识;考查运算求解,数形结合、转化与化归的思想;意识到利用线性规划求解问题是解题的关键.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共40分)1.(2019届浙江名校协作体高三联考,7)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y()A.有最小值-3,无最大值B.有最大值-1,无最小值C.有最小值-3,最大值-1D.无最小值,也无最大值答案A2.(2019届镇海中学期中考试,4)若变量x,y满足线性约束条件则z=x+y的最大值是()A.1B.C.2D.3答案C3.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),4)在平面直角坐标系中,不等式组(m>0)表示的区域为Ω,P(x,y)为Ω内(含边界)的点,当2x+y的最大值为8时,Ω的面积为()A.12B.8C.4D.6答案D4.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),5)已知实数x,y满足不等式组若y-3x的最大值为12,则实数a=()A. B.1 C. D.答案C5.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),4)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组表示的平面区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.-D.-答案C6.(2018浙江宁波模拟(5月),6)已知实数x,y满足不等式组则|x-y|的最大值为()A.0B.2C.4D.8答案C7.(2018浙江台州高三期末质检,7)已知实数x,y满足不等式组则(x-1)2+(y+2)2的取值范围是() A.[1,5] B.[,5]C.[5,25]D.[5,26]答案D8.(2018浙江温州一模,5)设实数x,y满足条件若z=2x2-y-2,则()A.z的最小值为-B.z的最小值为-3C.z的最大值为33D.z的最大值为6答案A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共10分)9.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,14)若实数x,y满足则的最大值为,若方程2x+y+a=0有解,则实数a的取值范围为.答案3;-≤a≤010.(2019届浙江温州九校联考,12)已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域D上运动,若区域D表示一个三角形,则a的取值范围是,若a=2,则z=x-2y的最大值是.答案a<10;-3。

姓名，年级：时间：§7。

2 简单的线性规划【考点集训】考点一 平面区域问题1.（2018湖北华师一附中期中，6）已知P(x,y)为区域{y 2-x 2≤0,0≤x ≤a内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x —y 的最大值是（ )A.6B.0 C 。

2 D.2√2 答案 A2.不等式组{(x -y +3)(x +y)≥0,0≤x ≤4表示的平面区域是( ）A.矩形及其内部 B 。

三角形及其内部 C 。

直角梯形及其内部 D 。

等腰梯形及其内部 答案 D3。

(2015重庆，10,5分)若不等式组{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ）A.-3 B 。

1 C.43 D 。

3答案 B考点二 线性规划问题1.(2017北京，4,5分)若x,y满足{x ≤3,x +y ≥2,y ≤x,则x+2y 的最大值为( ）A 。

1B 。

3 C.5 D.9 答案 D2。

(2015陕西，11，5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料。

已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A （吨) 3 2 12 B （吨） 1 2 8A.12万元B.16万元 C 。

17万元 D 。

18万元答案 D3。

（2014福建,11，5分）已知圆C:(x —a ）2+(y —b ）2=1，平面区域Ω：{x +y -7≤0,x -y +3≥0,y ≥0.若圆心C∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2+b 2的最大值为( ） A 。

5 B 。

29 C 。

37D 。

49 答案 C炼技法【方法集训】方法1 目标函数的最值（取值范围）问题的求解方法1。

（2018广东茂名二模,7)实数x,y 满足条件{x +y -4≤0,x -2y +2≥0,x ≥0,y ≥0,则(12)x -y 的最大值为( )A 。