辽宁省实验中学分校高三数学上学期期中试卷文(含解析)

- 1 - 辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期 中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2﹣3x＜0}，则M∩N=（）

A． {0} B． {x|x＜0} C． {x|0＜x＜3} D． {1，2}

2．（5分）已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）

A． B． C． D．

3．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）

A． c＞b＞a B． c＞a＞b C． a＞b＞c D． b＞c＞a

4．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）

A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，3）

5．（5分）下列选项叙述错误的是（）

A． 命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”

B． 若p∨q为真命题，则p，q均为真命题

C． 若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0

D． “x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件

6．（5分）要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象（）

A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度

C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度

7．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）

A． 8 B． 2 C． 4 D． 7

8．（5分）已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（） - 2 - A． B． C． ﹣2 D． 2

9．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；

④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．

其中正确命题的个数是（）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）

A． [﹣6，﹣2] B． [﹣5，﹣1] C． [﹣4，5] D． [﹣3，6]

11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）

A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣1，0） C． （1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）

A． （16，21） B． （16，24） C． （17，21） D． （18，24）

- 3 - 第Ⅱ卷非选择题（共90分）注意事项：第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．

13．（5分）已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x）的定义域是．

14．（5分）如图水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，主视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为．

15．（5分）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．

16．（5分）已知函数f（x）=sin，x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题：

①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；

②函数y=f（x）•g（x）不是周期函数；

③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；

④函数y=f（x）•g（x）的最大值为．

其中真命题为．

三、解答题：本大题共6个小题，总分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，求a和c的值．

18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点．

（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；

（Ⅱ）求四面体F﹣BCN的体积． - 4 -

19．（12分）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；

（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．

20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；

（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】

22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：

（1）∠DEA=∠DFA；

（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC． - 5 -

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．

（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）．

（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；

（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2﹣3x＜0}，则M∩N=（）

A． {0} B． {x|x＜0} C． {x|0＜x＜3} D． {1，2}

考点： 交集及其运算．

专题： 计算题；集合．

分析： 求出N中不等式的解集确定出N，再找出两集合的交集即可．

解答： 解：由N中的不等式变形得：x（x﹣3）＜0，

解得：0＜x＜3，即N=（0，3），

∵M={0，1，2，3}，

∴M∩N=[1，2}．

故选：D．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

- 6 - 2．（5分）已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）

A． B． C． D．

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 根据复数的基本运算进行化简即可得到结论．

解答： 解：z=，

故z的虚部为，

故选：D

点评： 本题主要考查复数的基本运算，比较基础．

3．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）

A． c＞b＞a B． c＞a＞b C． a＞b＞c D． b＞c＞a

考点： 指数函数的图像与性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据指数函数，对数函数的性质分别判断a，b，c的大小即可得到结论．

解答： 解：a=＜0，b=∈（0，1），c=＞1，

∴c＞b＞a，

故选：A．

点评： 本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．

4．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）

A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，3）

考点： 函数零点的判定定理．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用根的存在定理分别判断端点值的符合关系．

解答： 解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，

∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．

故选：C．

点评： 本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反． - 7 -

5．（5分）下列选项叙述错误的是（）

A． 命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”

B． 若p∨q为真命题，则p，q均为真命题

C． 若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0

D． “x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 规律型．

分析： A“若p则q，“的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故A正确；B p∨q为真命题说明p和q中至少有一个为真；C是全称命题与存在性命题的转化；D从充要条件方面判断．

解答： 解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；

B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．

C正确．

D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2

显然x＞2⇒x＜1或x＞2

但x＜1或x＞2不能得到x＞2

故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．

故选B

点评： 本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．

6．（5分）要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象（）

A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度

C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：将函数g（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得有y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）的图象，

故选：C．

点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

7．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）