三角形面积向量公式与应用

４．８　中学数学教学　２００９年第３期　

三角形一个面积公式的应用　

安徽省萧县师范学校杜文勇　（邮编：２３５２００）　

高中数学课本（必修５，北师大版）第４８页的　例３证明了三角形的如下面积公式：　公式　在ＡＡＢＣ中，　一（ｚ　，Ｙ　），　一（ｚ２，Ｙ２），则　ＡＡＢＣ的面积Ｓ一÷ｌ　Ｙ２一Ｉｚ２Ｙ】ｌ（＊）　该公式不仅给求三角形面积开辟了一条新　途径，而且还能使与三角形面积有关的解析几何　问题的求解过程变得简捷．下面举出几例说明．　例１　（２００８年湖北卷文２０题）已知双曲线　ｃ：　一　一１（＆＞Ｑ，ｂ＞０）的两个焦点为Ｆ　（一　

２，０），Ｆ２（２，０），点Ｐ（３，√７）在双曲线Ｃ上．　（Ｉ）求双曲线Ｃ的方程；　（Ⅱ）记０为坐标原点，过点Ｑ（０，２）的直线ｚ　与双曲线Ｃ相交于不同的两点Ｅ、Ｆ，若△ＯＥＦ的　面积为２，／ｇ，求直线ｚ的方程．　解　（Ｉ）双曲线Ｃ的方程是　。一　一２．　（ＩＩ）依题意，可设直线ｚ的方程为　—ｋｘ＋　２，代人双曲线Ｃ的方程并整理，得　（１一ｋ　）Ｉ　ｒ　一４ｋｘ一６＝＝＝０　①　因为直线ｚ与双曲线Ｃ相交于不同的两点　『］一　≠０．　Ｅ、Ｆ，所以｛　＋　×６（１４ｋ　４　６　一是）＞０，解得　Ｉ（一　）　＋×　一是　）＞，　

忌∈（一√３，一１）Ｕ（一１，１）Ｕ（１，√３）　②　设Ｅ（ｘ。，．ｙ　）、Ｆ（ｘ。，　。），则由①式得ｚ　＋　

一　，。一一　，由公式（　）得　一丁　’　。一一Ｔ　’田公瓦　＊　１导　

２√２一　｝．２７】．ｙ２一　２　ｌ　ｆ—ｆ　ｌ—　２　ｆ一　

一Ｔ２￣　，，ｑ－ｋ２，　一是。　

一２—０，解得ｋ一±√２，满足②．故满足条件的直　线有两条，它们的方程分别为　＝＝＝√２ｚ十２和　一一　＋２．　评注　标准答案按传统的求解方法，先求出　边Ｅ：Ｆ的长，再求出边　上的高，然后用三角形的　面积等于底乘以高除以２求解，这里运用公式（＊），　省略了以上两步，使解题过程变得简捷明快．　例２　（２Ｏ０８年北京卷文１９题）已知△ＡＢＣ　的顶点Ａ、Ｂ在椭圆　。＋３ｙ。一４上，Ｃ在直线Ｚ：　ｙ—ｚ＋２上，且ＡＢ／／／ｚ．　（Ｉ）求ＡＢ边经过坐标原点０时，ＡＢ的长　及△ＡＢＣ的面积；　（１１）当　ＡＢＣ一９０。，且斜边ＡＣ的长最大　时，求ＡＢ所在的直线方程．　解　（Ｉ）因为ＡＢ／／ｚ，且ＡＢ边通过点（０，　０），所以ＡＢ边所在的直线方程为Ｙ—　，将其代　入　－Ｉ－３ｙ。＝＝＝４，得Ａ（一１，一１），Ｂ（１，１），Ｉ　ＡＢ　Ｉ　一２　；在直线ｚ上取点Ｃ（０，２），则　一（一１，　一３），Ｃ百＝＝＝（１，一１），由公式（＊），得△ＡＢＣ的　１　面积Ｓ一去ｌ　１＋３　ｌ一２．　厶　（Ⅱ）略．　２　例３　（２００８年福建卷文２２题）椭圆Ｃ：　＋　ａ　．２　告一１（ａ＞ｂ＞０）的一个焦点为Ｆ（１，０），且过点　

三角形面积公式的向量形式

一、三角形面积公式向量形式的推导。

1. 已知向量求三角形面积公式。

- 设→a和→b是三角形的两条邻边向量（有共同的起点），则三角形的面积S = (1)/(2)|→a×→b|。

- 在平面直角坐标系中，若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a×→b=x_1y_2

- x_2y_1。

- 所以三角形面积S=(1)/(2)| x_1y_2 - x_2y_1|。

- 从向量的角度理解，|→a×→b|=|→a||→b|sinθ（其中θ为→a与→b的夹角）。

2. 用向量的坐标运算推导。

- 设ABC中，→AB=→a=(x_1,y_1)，→AC=→b=(x_2,y_2)。

- 首先计算→a×→b，根据行列式的计算方法（在二维向量中可类比）→a×→b=begin{vmatrix}x_1y_1 x_2y_2end{vmatrix}=x_1y_2 - x_2y_1。

- 由S=(1)/(2)|→a×→b|，可得S=(1)/(2)| x_1y_2 - x_2y_1|。

3. 示例。

- 已知→a=(2,3)，→b=(4, - 1)，求以→a和→b为邻边的三角形面积。

- 解：根据公式S=(1)/(2)| x_1y_2 - x_2y_1|，这里x_1 = 2，y_1=3，x_2 = 4，y_2=-1。

- 则S=(1)/(2)|2×(- 1)-4×3|=(1)/(2)| - 2 - 12|=(1)/(2)×14 = 7。

二、三角形面积公式向量形式在解题中的应用。 1. 判断三角形形状。

- 例：在ABC中，→AB=(1,2)，→AC=(3, - 1)，求ABC的面积并判断其形状。

- 首先求面积，根据公式S=(1)/(2)| x_1y_2 - x_2y_1|，x_1 = 1，y_1 = 2，x_2=3，y_2=-1。

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三角形面积公式的向量形式

杨元军(江苏省姜堰市蒋垛中学,225503) 大家知道,三角形的面积公式有:S=12底@高;S=12absinC=12acsinB=12bcsinA.在向量的问题中,有时也涉及到有关三角形面积的计算.可是运用上面两个公式,计算比较繁,那么有没有向量形式的面积计算公式呢?答案是肯定的.运用此公式不但可以简化运算,也可以提高思维能力、知识的应用能力和探究能力.一、三角形面积公式的向量形式在直角坐标平面内,O、A、B(O为坐标原点)为不共线三点,向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2),则&OAB面积S&OAB=12|x1y2-x2y1|.证明 设向量OA,OB的夹角为A,则OA#OB=|OA||OB|cosA,_cos2A=(OA#OB)2OA2#OB2,_sinA=1-cos2A=1-(OA#OB)2OA2#OB)2=OA2#OB2-(OA#OB2|OA||OB|,_S&OAB=12|OA|#|OB|sinA=12OA2#OB2-(OA#OB)2=12(x21+

y21)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2=12|x1y2-x2y1|.推广1 在平面直角坐标系中,A、B、C为不共线三点,向量AB=(x1,y1),向量AC=(x2,y2),则&ABC面积为S&ABC=12|x1y2-x2y1|.推广2 在平面直角坐标系中,A、B、C为不共线三点,A(x1,y1),B=(x2,y2),C=(x3,y3),则&ABC面积为S&ABC=12|(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)|.二、面积公式的应用例1 对于平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义f(a#b)=|x1y2-x2y1|,那么对于直角坐标平面内不共线三点O、A、B(O为坐标原点),f(OA#OB)的值恰好表示( )(A)点O到直线AB的距离(B)向量OA、OB夹角的正切值(C)&OAB面积的2倍(D)向量OA、OB的数量积解 根据面积公式直接得到f(OA#OB)=|x1y2-x2y1|=2S&ABC,从而选C.例2 设i、j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量且AB=4i+2j,AC=3i+4j,则&ABC的面积等于( )(A)15 (B)10 (C)7.5 (D)5解 因为AB=4i+2j=(4,2),AC=3i+4j=(3,4),所以,根据面积公式得S&ABC=12|x1y2-x2y1|=12|4@4-2@3|=5,从而选D.#41#第1期 高中数学教与学一道高考题的推广

由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用

高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上BAO,,三点不共线，设bOBaOA,，则OAB的面积等于( )

A.222)(baba B.222)(baba C.222)(21baba D.222)(21baba

答案：C.

这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：

定理1 若三点BAO,,不共线，则222)(21OBOAOBOASOAB.

证明 2222)(21cos121OBOAOBOAAOBOBOASOAB.

由此结论，还可证得

定理2 若三点BAO,,不共线，且点O是坐标原点，点BA,的坐标分别是),(),,(2211yxyx，则122121yxyxSOAB.

证法1 由定理1，得

1221221212222212121)())((21yxyxyyxxyxyxSOAB

证法2 可得直线AB的方程是

0)()()(12212121yxyxyxxxyy

所以坐标原点O到直线AB的距离是AByxyx1221，进而可得AOB的面积是

122112212121yxyxAByxyxABSOAB.

下面用定理2来简解10道高考题.

高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

A．2 B．3 C.1728 D.10

解 B.得0,41F，可不妨设)0)(,(),,(212211yyyxByxA.

由22122212121yyyyyyxxOBOA，可得221yy，所以由定理2，得

212121211222211221212121yyyyyyyyyyyyyxyxSABO