十堰高级职业学校导学案·数学·第七章平面向量班级：姓名：
平面向量的数量积
1.作出下列向量的夹角：
2、在正三角形ABC中，<,ABAC>=<,ABBC>=<,ACAC>=.
3、已知|a|=3，|b|=5,a∥b，求a·b。
4、已知|a|=4，|b|=5,a⊥b，求a·b。
5、已知|a|=6，|b|=5,a与b的夹角为60°，求a·b。
6、已知|a|=4，|b|=8,a与b的夹角为30°，求,(2a-3b)·(2a+b)。
6、已知|a|=4，|b|=5,a与b的夹角为120°，求,(a-b)·(a+b)。
6、已知|a|=2，|b|=6,a与b的夹角为45°，求,(a+2b)2
7、怎样判断两个垂直？
8. 若a·b=0，那么一定有a=0或b=0吗？
9、求向量的夹角：(l)|a|=2，|b|=1，a·b=22；(2)|a|=3，|b|=4，a·b=-6.
10、求值：(l)a·a=16，求|a|； (2)|a|=3，求a2.
11.在△ABC中，若|AB|=4，|AC|=2，且AB·AC=4，判断△ABC的形状。
b a
b
a
a b
a b b
a 十堰高级职业学校导学案·数学·第七章平面向量班级：姓名：
1.已知|a|=6，|b|=4,向量a,b的夹角为60°，求 (a+2b)·(a-3b).
2.设向量a和b的长度分别为4和3，夹角是30°，求（1）|a+b|，（2）|a-b|的值.
3.已知a、b为非零向量，且(a+3b)⊥(7a5b)，(a 4b)⊥(7a2b)，求a与b的夹角。
4、已知|a|=4，|b|=3,a·b=-62. 求（1），（2）(a+2b)·(a-3b).
5、在△ABC中,若|AB|=3,|AC|=4,角∠BAC=60°,求BAAC
6、已知|a|=3,|b|=2,且a与b的夹角为60°,求|a-4b|。
第02讲空间向量的4种数量积运算第1页（共16页）2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）
2023.08【知识梳理】
一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两
个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符
号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要
将它们区别开来，不可混淆．
2.空间向量数量积的性质
设,ab
是非零向量，e
是单位向量，则
①||cos,aeeaaae
；②0abab
；
③2||aaa
或||aaa
；
④cos,
||||ab
ab
ab
；
⑤||||||abab
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（
a）·b=
（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．要点诠释：
（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，若abac
不能得出bc，即向量不能约分．
（2）若a·b=k，不能得出k
a
b
（或k
b
a
），就是说，向量不能进行除法运算．
（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，有()()abcabc
，
向量的数量积不满足结合律．
二、空间两个向量的夹角．
1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OAa
向量的数量积定义与性质
向量是线性代数中的重要概念之一，用于描述方向和大小。在向量运算中，数量积是一种常见的运算，也被称为点积或内积。数量积不仅有其定义，还具有一系列重要的性质和应用。
一、数量积的定义
给定两个n维向量A = [a1, a2, ..., an]和B = [b1, b2, ..., bn]，它们的数量积（点积）记作A·B，表示为：
A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
二、数量积的性质
1. 交换律：A·B = B·A
2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C
3. 结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k是一个标量
三、数量积的几何意义
数量积在几何中有重要的几何意义。对于两个向量A和B，它们的数量积A·B等于向量A在向量B方向上的投影乘以向量B的模长，即：
A·B = |A||B|cosθ
其中θ为向量A与向量B之间的夹角。
四、数量积的应用 1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。
2. 计算向量的模长：向量A的模长|A|可以由数量积求解，即|A| =
√(A·A)。
3. 判断两个向量的夹角：通过数量积的几何意义，可以利用数量积求解夹角的余弦值，再通过反余弦函数得到夹角的度数。
4. 判断线性相关性：如果两个向量的数量积为0，它们是线性无关的；反之，它们是线性相关的。
5. 计算向量的投影：根据数量积的几何意义，可以利用向量的投影公式求解向量在另一向量上的投影。
五、例题演示
假设向量A = [3, -1, 2]，向量B = [2, 4, 1]。我们来计算A·B并应用数量积进行判断：
A·B = 3*2 + (-1)*4 + 2*1 = 6 - 4 + 2 = 4
根据数量积的性质和应用：
1. 由于A·B不为0，所以向量A和向量B不是垂直的。
2. 可以计算向量A的模长|A| = √(3^2 + (-1)^2 + 2^2) = √14。
课题：2.3.1向量数量积的物理背景与定义2． 向量数量积的运算律
编者：张晓燕 审稿人： 邢桂明 （ ）月（ ）日 授课类型：新授课
学习目标：1．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义．
2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．
1．平面向量的数量积．(重点)
2．平面向量的数量积的几何意义．(难点)
3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
课堂内容展示
自学指导：结合下列问题，请你用10分钟的时间独立阅读课本P107-P109完。
1．两个非零向量夹角的概念
两个非零向量a和b，作 ，则 称作向量a和b的夹角。记作 ，并规定角的范围为 。
说明：（1）当θ＝0时，a与b的方向关系是 ；
（2）当θ＝π时，a与b方向关系是 ；
（3）当θ＝2时，a与b方向关系是 ，记a b；
2．向量在轴上的正射影
定义：已知向量a和轴l，作OA=a，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 叫做向量a在轴l上的正射影。该射影在轴l上的坐标，称作向量a在轴l上的 。
思考：由上述三个图形中，可知向量a在轴l上的射影为 ，其数量应该怎样计算
3.平面向量数量积（内积）的定义
叫做a和b的数量积（或内积）
探究：两个向量的数量积的特征
（1）两个向量的数量积是一个 ，正负号由 的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a·b，书写时要严格区分，符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
