数量积公式

等积变形问题数量关系公式

变形前的体积等于变形后的体积

1、当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件解题；

2、当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积*高这一隐含条件解题；

3、要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积*高。

等积形是面积相等的平面图形，两个图形等积，形状不一定相同。例如，一个正方形长为6cm，它的面积是36cm2；一个梯形上底为4cm，下底为8cm，高为6cm，它的面积也是36cm2，那么这个正方形与这个梯形是等积形。又例如，同底等高的两个三角形即为等积形，这一结论常用于直线图形的等积变形。

数学

篇平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量||||||a→||||||b→cosθ称为a和b的数量积，

即

a



⋅b=||||||a→||||||b→cosθ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a→、||||||b→及两个向量a→和b→的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a和b的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC中，D,E是边BC的两个三等分点（D靠近点B），求AD⋅AE.解：因为D,E是边BC的两个三等分点，所以BD=DE=CE=13，在△ABD中，AD2=BD2+AB2-2BD∙AB∙cos60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD=73.同理可得AE=73，在△ADE中，由余弦定理可得cos∠DAE=AD2+AE2-DE22AD⋅AE=79+79-æèöø1322×73×73=1314，所以AD⋅AE=||AD|AEcos∠DAE=73×73×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，则DE⋅CB的值为_____；DE⋅DC的最大值为_______.解：因为DE=AE-AD，所以DE⋅CB=(AE-AD)⋅CB=AE⋅CB-AD⋅CB=1；DE⋅DC=(AE-AD)⋅DC=AE⋅DC-AD⋅DC=||AE⋅||DC≤||DC2，所以()DE⋅DCmax=||DCmax=1.解答本题，需以AD、AE为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，AB=2，AC=4，求AD⋅AB.解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得AD=(2,1)，AB=(0,2)，所以AD⋅AB=(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）施冰洁图1

平面向量数量积公式

介绍

平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。

数量积公式

平面向量数量积公式表示为：

A · B = |A| * |B| * cos(θ)

其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。

公式解释

平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。

公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。

公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。

综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。

数量积应用

平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：

1. 计算向量的模： 通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。向量的模用于衡量向量的长度和大小。

2. 计算向量之间的夹角： 通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。

3. 判断向量的正交性： 如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。 4. 判断向量的平行性： 如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =

0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。

数

学

篇方法集锦

向量的数量积问题的常见命题形式有：（1）根据

向量及其夹角求两个向量的数量积或其范围；（2）由

两个向量的数量积求向量或夹角.此类问题侧重于考

查向量的数量积公式、向量的模的公式、向量的数乘

运算法则的应用.下面结合几道例题介绍一下求解向

量数量积问题的几种方法.

一、定义法

向量a、b的数量积为：a∙b=|a|∙|b|cosθ，其中θ

为向量a、b的夹角.根据向量数量积的定义可知，只

需要知道两个向量的模的大小以及两个向量之间的

夹角的余弦值，即可求得两个向量的数量积.在利用定

义法求向量的数量积时，要注意两个向量之间的夹角

θ为两个向量共起点时所形成的夹角.

例1.如图1所示，在ΔABC中，M是BC的中点，

AM=1，点P在AM上，且

AP=2

PM，则

PA∙(

PB+

PC)

=______.

解：∵M是BC的中点，

AM=1，且

AP=2

PM，

∴

PB+

PC=2

PM，||

AP=2

3，

∴||

PM=1

2||

AP=1

3，

∴

PA∙(

PB+

PC)=

PA∙2

PM=

PA∙

AP

=||

PA2∙cos180°=-4

9.

解答本题，需根据题意和图形，通过向量运算求

得

PB+

PC，将求

PA∙(

PB+

PC)转化为求

PA∙

AP.而

PA、

AP的大小相等、方向相反，其夹角为180°，根据

AM=1求得向量

AP的模长，即可根据向量数量积的

定义求得问题的答案.

例2.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D

在边BC上，且BD=2DC，则

AB·

AD的值为().

A.1-3

3B.2

3C.4

3D.1+3

3

解：∵ΔABC是边长为1的等边三角形，且BD=

2DC，∴