数学史上的三次数学危机的成因分析

一 、数学史上的三次危机分别是什么？

第一次危机：毕达哥拉斯悖论——无理数的出现。

第二次危机：微积分工具的使用——无穷小是零吗？

第三次危机：悖论的产生。

1、 三次危机是如何产生的：

（1） 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

（2） 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。

第三次数学危机及三大数学流派

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丁星环096110008卢倩倩096110009

创造的神秘,有如夜的黑暗---它是伟大的,而知识的幻影却如清晨之雾。在严谨的数学之河里，总是有淙淙悖论掺杂其中，造就了神秘而矛盾的数学。当淙淙悖论积少成多，危机便随之而来······

一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。整个数学发展的历史贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

一 危机的缘由

对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

第三次数学危机是伴随着康托尔的朴素集合论的产生而出现的。集合论在数学中占有一个特殊的地位，它的基本概念已经渗透到数学的所有领域，可以说集合论是整个现代数学的基础。1874年康托尔越过“数集”的限制，开始一般的提出“集合”的概念。他给集合下了这样一个定义：把若干确定的有区别的事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合。如果两个集合之间存在一个一一映射，那么他们就具有相同的基数，通俗的说就认为“它们拥有同样多的元素”。一个无穷集可以与他的真子集等势，这与传统的观念“整体大于部分”相矛盾，但是康托尔认为这也恰恰是无穷集区别于有限集的特征。

1 浅谈数学发展史中的三次危机

摘要：在数学发展的历史长河中，危机与发展是并存的。在数学发展史中出现了三次危机，人们通过对危机的探索，最终消除了它，并促进了数学的不断发展和进步。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现进而度过了把第一次数学危机。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，而微积分的出现产生了一种新的方法——分析法，分析法是算和证的结合，是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。归根结底，导致三次危机的原因，是由于人的认识。

关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合

一、前言

历史上，数学的发展又顺利也有曲折。打的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。

二、无理数的发现---第一次数学危机

大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！

数学史上的三次危机

（文章转载自数学进展简史）

从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学进展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与运算等等。

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。

数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。

一、第一次数学危机

从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也确实是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴盛的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观看、直觉和日常体会。

整数是在关于对象的有限整合进行运算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要运算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时刻。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，因此关于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何说明。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家认为，如此能把直线上所有的点用完。然而，毕氏学派大约在公元前400年发觉：直线上存在不对应任何有理数的点。专门是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，那个地点距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。因此就必须发明新的数对应如此的点，同时因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发觉，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。