【最新】江苏省中考数学压轴试题(含答案)

最新江苏省中考数学压轴试题

（含答案）

一．（10分）（中考压轴题）已知BC是⊙O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，连接FC．

（1）如图1，若OE=2，求CF；

（2）如图2，连接DE，并延长交FC的延长线于G，连接AG，请你判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．

二．（中考压轴题）（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x（元/千克） 50 60 70

销售量y（千克） 100 80 60

（1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．

三．（中考压轴题）（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）

（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）

四．（中考压轴题）（12分）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．

（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD= BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则“旋补中线”AD长为 ．

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．

五．（中考压轴题）（14分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

六．（中考压轴题）（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是α，然后在水平地面上向建筑物前进了m米，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是β．已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物的高度．

七．（中考压轴题）（13分）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．

八．（中考压轴题）（14分）已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

九．（中考压轴题）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

答 案

一．解：（1）∵BC是⊙O的直径，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，

∴∠AEO=∠BDO=90°，OA=OB，

在△AEO和△BDO中，

，

∴△AEO≌△BDO（AAS），

∴OE=OD=2，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CFB=90°，即CF⊥BF，

∴OD∥CF，

∵O为BC的中点，

∴OD为△BFC的中位线，

∴CF=2OD=4；

（2）直线AG与⊙O相切，理由如下：

连接AB，如图所示：

∵OA=OB，OE=OD，

∴△OAB与△ODE为等腰三角形，

∵∠AOB=∠DOE，

∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO，

∵∠GDF+∠ADG=90°=∠BAD+∠ABD，

∴∠GDF=∠ABD，

∵OD为△BFC的中位线，[来源:Z。xx。] ∴BD=DF，

在△ABD和△GDF中，

，

∴△ABD≌△GDF（ASA），

∴AD=GF，

∵AD⊥BF，GF⊥BF，

∴AD∥GF，

∴四边形ADFG为矩形，

∴AG⊥OA，

∴直线AG与⊙O相切．

二．【解答】解：（1）设y=kx+b，

将（50，100）、（60，80）代入，得：

，

解得：，

∴y=﹣2x+200 （40≤x≤80）；

（2）W=（x﹣40）（﹣2x+200）

=﹣2x2+280x﹣8000 =﹣2（x﹣70）2+1800，

∴当x=70时，W取得最大值为1800，

答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．

（3）当W=1350时，得：﹣2x2+280x﹣8000=1350，

解得：x=55或x=85，

∵该抛物线的开口向上，

所以当55≤x≤85时，W≥1350，

又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x≤80，

∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x≤80．

三．解：过点B作BD⊥AC于点D，

∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，

∴∠ABD=67°，

∴AD=AB•sin67°=520×0.92=478.4km，

BD=AB•cos67°=520×0.38=197.6km．

∵C地位于B地南偏东30°方向，

∴∠CBD=30°， ∴CD=BD•tan30°=197.6×≈113.9km，

∴AC=AD+CD=478.4+113.9≈592（km）．

答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．

四．【解答】解：（1）①如图2中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，

∵DB′=DC′，

∴AD⊥B′C′，

∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=120°，

∴∠B′=∠C′=30°，

∴AD=AB′=BC，

故答案为．

②如图3中，

∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=∠BAC=90°， ∵AB=AB′，AC=AC′，

∴△BAC≌△B′AC′，

∴BC=B′C′，

∵B′D=DC′，

∴AD=B′C′=BC=4，

故答案为4．

（2）结论：AD=BC．

理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M

∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四边形AC′MB′是平行四边形，

∴AC′=B′M=AC，

∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，

∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，

∴△BAC≌△AB′M，

∴BC=AM，

∴AD=BC．

五．解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c， ，解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，

∴点C的坐标为（0，3）．

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，DE=ME，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

∴点P的坐标为（2，3），

∴点E的坐标为（1，3），

∴点M的坐标为（1，6）．

故在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为（1，6）．

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），

∴点F的坐标为（t，﹣t+3），