2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（五）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，则A B ⋂的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个【答案】C 【解析】【分析】先通过集合的交集运算得出A B ⋂，即可根据集合内元素的个数得出子集个数.【详解】 集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，{}1,3A B ∴= ，则A B ⋂的子集共有224=个，故选：C.2.已知复数52i2iz =-，则z =（）A.1B.35C.355D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法、除法运算，以及模的定义求解.【详解】因为()()()542i 2i 2i 2i 2i 24i 24i 2i 2i i 2i 2i 2i 555z +-+======-+--⋅--+，所以255z ==，故选:D.3.在ABC 中，记AB m = ，AC n =u u ur r ，则()CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r （）A.m n- B.22m n+u r r C.22n m-r u r D.22m n-u r r 【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算和向量数量积的运算律可直接求得结果.【详解】()()()2222CB AB AC AB AC AB AC AB AC m n ⋅+=-⋅+=-=- .故选：D.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3.故选：A.5.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A.B.3311C.6D.66【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后用向量方法即可求解【详解】连接,AC BD 交于O ，由题意，以O 为原点，分别以OB →,OC →，OP →的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1可得AC BD ==，所以()()()()10,0,1,0,,0,,,,0,,22P A C D E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,1,22PA CE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线PA 与CE 所成的角为θ，所以12332cos 11PA CE PA CEθ-⋅===⋅故选：B6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48【答案】A 【解析】【分析】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【详解】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶12351010()0.2,()0.4,()0.4252525P A P A P A ======，123(10.10.9,(10.20.8,()10.30|)|).7|P B A P B A P B A =-==-==-=，由全概率公式可得∶112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.90.40.80.40.70.78=⨯+⨯+⨯=.故选：A7.已知()1sinsin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭.若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,3 B.(][),03,-∞+∞ C.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.【详解】()1sin sin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭1cos sin sin22222x x x x =-+()1cos 1sin 222x x -=-+1sin cos 22x x =+ππcos sin sin cos 66x x=+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则问题转化为在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()20min132m m f x --≥⎡⎤⎣⎦因为0ππ6x ≤≤，所以0ππ7π366x ≤+≤，所以()0112f x -≤≤，所以221133022m m m m --≥-⇒-≥，解得：3m ≥或0m ≤即实数m 的取值范围为：(][),03,-∞+∞ ，故选：B.8.已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()e x f x x -=+，利用导函数可得ln ln ln a a b b c c -<-<-，再令()ln g x x x =-，利用导函数求()g x 单调性即可求解.【详解】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()exf x x -=+，则()e 1x f x -'=-+，因为当0x >时()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()124f f f <<，即ln ln ln a a b b c c -<-<-，令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，因为当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，又因为(),,1,a b c ∈+∞且()()()g a g b g c <<，所以a b c <<，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围[)0,50，[)50,100，[)100,200，[)200,300，[]300,500分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量的中位数是196.5D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】ABC 【解析】【分析】根据趋势图可判断出空气质量指数位于[)100,200的天数，知A 正确；由2日到5日空气质量指数依次下降知B 正确；由中位数的定义可计算知C 正确；根据方差与数据波动幅度之间的关系可知D 错误.【详解】对于A ，由空气质量指数趋势图可知：这14天中，空气质量指数位于[)100,200的天数有4,6,9,10,11日，则有5天空气质量指数为“轻度污染”，A 正确；对于B ，从2日到5日空气质量指数依次下降，则空气质量越来越好，B 正确；对于C ，将14天空气质量指数按照从小到大顺序排序，中位数为第7和第8个数的平均数，即179214196.52+=，C 正确；对于D ，若连续三天空气质量指数方差最小，则连续三天数据波动幅度最小，显然5日到7日数据波动幅度最大，则方差应为最大，D 错误.故选：ABC .10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若()2sin cos sin 2ααα-=，则角α可取的值用密位制表示可能是（）A.10—50B.2—50C.13—50D.42—50【答案】BD 【解析】【分析】通过三角恒等变换化简()2sin cos sin 2ααα-=，得出,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，再通过题意对选项一一化为弧度制，即可判断是否符合题意.【详解】()2sin cos sin 2ααα-=Q ，22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα∴-+=，22sin cos 1αα+= ，4sin cos 1αα∴=，即1sin 22α=，,12k k Z παπ∴=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，对于选项A ：密位制10—50对应的角的弧度制为105072600020ππ⨯=，不符合题意，故选项A 错误；对于选项B ：密位制2—50对应的角的弧度制为2502600012ππ⨯=，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：密位制13—50对应的角的弧度制为135092600020ππ⨯=，不符合题意，故选项C 错误；对于选项D ：密位制42—50对应的角的弧度制为4250172600012ππ⨯=，符合题意，故选项D 正确；综上所述，选项BD 正确，故选：BD.11.已知点A ，B 分别是双曲线22:14x C y -=的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线CB.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得1212k k +=【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出c =，得到离心率；B 选项，求出焦点坐标和渐近线方程，得到焦点到渐近线的距离；C 选项，设(),P m n ，表达出12,22n n k k m m ==+-，结合2214m n -=求出1214k k =；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，由渐近线方程得到2mn >，结合2214m n -=得到1212m k k n +>=.【详解】A 选项，由题意得：2a =，1b =，故c ===故离心率为52c a =，A 正确；B 选项，双曲线C 的焦点为()，渐近线的方程为20y x ±=，故焦点到渐近线的距离为1d ==，B 正确；C 选项，由题意得：()()2,0,2,0A B -，设(),P m n ，则2214m n -=，2214m n -=，故12,22n n k k m m ==+-，21222224241414n n n k k m m m m m =⋅=-=--=+-，C 正确；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，2214m n -=，2244m n -=，因为渐近线的方程为20y x ±=，故2m n >，即2mn >，使得2122221222222444n n mn n mn n mn mn m m k m m mnn k -++=+====--+->+，D 错误；故选：ABC12.已知()221f x x =+，()4g x x =-，若方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（）A.1-B.15C.35D.1【答案】BC 【解析】【分析】通过分类讨论去绝对值，得出()()24601a x a x ++-=>，()()24601a x a x -+-=<-，与()20441ax x x a ++=≤-，再根据根的数量确定a 的取值范围，即可对选项一一验证.【详解】当()()f x g x ≤时，即2214x x +≤-，解得1x ≤，当()()f x g x >时，即2214x x +>-，解得1x >，则当1x >时，()()()()f x g x f x g x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420g x ax a -+++=，即2460x ax a ++-=，此时若1x >则()()24601a x a x ++-=> ①，此时若1x <-则()()24601a x a x -+-=<- ②，当1x ≤时，()()()()f x g x g x f x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420f x ax a -+++=，即()24041ax a x x +=-+≤ ③，其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，原方程有四个不同的实数根，∴方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，对于方程()20441ax x x a ++=≤-有两个不同的实数根，可以等价为：2Δ640118540340a a a a a ⎧=+>⎪⎪-<<⎪⎨⎪-≤⎪-≤⎪⎩解得405a <≤，对于选项A ：405a <≤取不到1-，故选项A 错误；对于选项B ：当15a =时，方程①的根为26111>，方程②的根为2619-<-，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：当35a =时，方程①的根为18113>，方程②的根为1817-<-，符合题意，故选项C 正确；对于选项D ：405a <≤取不到1，故选项D 错误；综上所述，选项BC 正确，故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含4x 的项的系数为______.【答案】1458-【解析】【分析】利用赋值法，令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含4x 项的系数.【详解】令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =,其中通项()()66621661C 3C 31rrr rr rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令624r -=，则1r =，则()1154426C 311458T x x =⋅⋅-=-，故含4x 的项的系数为1458-.故答案为：1458-.14.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，则12V V 的值是______.【答案】23##2:3【解析】【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.【详解】设甲的高为1h ，乙的高为2h ，由题意可得122π22π3h h ⨯⨯=⨯⨯，所以1232h h =，所以()()211222π223π3h V V h ⨯⨯==⨯⨯，故答案为：2315.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30n S n+的最小值为__________．【答案】612【解析】【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得n S ，再应用基本不等式求得30n S n+的最小值.【详解】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列{}n a ，则2(1)151815222n n n S n n n -=+⨯=+∴30153011612222n S n n n +=++≥+=当且仅当1530=2n n，即2n =时，等号成立，∴30n S n +的最小值为612．故答案为：612.16.抛物线()2:20C y px p =>的焦点到直线10x y -+=的距离为528，点M 是C 上任意一点，点N 是圆()22:31D x y -+=上任意一点，则MN 的最小值是______.【答案】1112-【解析】【分析】根据焦点到直线的距离可构造方程求得p ，得到抛物线方程；由圆的方程可得圆心和半径；设()2,M t t ，利用两点间距离公式可表示出DM ，根据二次函数性质求得minDM；由圆的几何性质可知所求最小值为minDMr -.【详解】由抛物线方程得：焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，8=，解得：12p =，∴抛物线2:C y x =，设()2,M t t ；由圆的方程可知：圆心()3,0D ，半径1r =，DM ∴=则当252t =时，min112DM ==，min1111122MN r ∴=-=.故答案为：12-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin sin sin A B A B +-=)sin sin A C C -.（1）求角B 的大小；（2）若BC 边上的高为2b c -，求sin C .【答案】（1）π6B =（2）1sin 5C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；（2）利用面积公式可得52b c =，再利用正弦定理边角互化即可求解.【小问1详解】由题意可得222sin sin sin sin A B A C C -=-，根据正弦定理可得222a b c -=-，所以222c a b ac+-=又根据余弦定理可得2223cos 22c a b B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π6B =.【小问2详解】因为11(2)sin 22ABC S a b c ac B =-= ，即52b c =，由正弦定理可得5sin sin 2B C =，所以21sin sin 55C B ==.18.设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5nn a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.【答案】（1）21n a n =-（2）16【解析】【分析】(1)根据,n n a S 的关系求出数列的首项公差即可求解；(2)根据定义分别写出数列{}n b 的前10项，求和即可.【小问1详解】设等差数列公差为d ，因为()*141n n n a S a n +=+∈N，所以当2n ≥时，1141n n n Sa a --=+，所以1114411n n n n n n a a S S a a -+--=+--，所以114n n n n n a a a a a +-=-，因为0n a >，所以1124n n a a d +--==，所以2d =，令1n =得1121141(2)1a a a a a =+=++整理得211210a a -+=解得11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得215n n b -⎡⎤=⎢⎣⎦，所以215n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的前10项和等于1357111315195555557559155⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦001112233316=+++++++++=.19.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频率0.080.240.360.200.12（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中竞赛成绩在[)50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[)50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）75.4（2）分布列见解析；期望()34E X =【解析】【分析】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在[)50,60的总人数，进而确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.【小问1详解】平均数为550.08650.24750.36850.20950.1275.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由题意知：样本中竞赛成绩在[)50,60的共有1000.088⨯=人，其中有男生2人，则X 所有可能的取值为0,1,2，()3638C 2050C 5614P X ∴====；()216238C C 30151C 5628P X ====；()126238C C 632C 5628P X ====；X ∴的分布列为X12P5141528328∴数学期望()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=.20.如图所示的几何体中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，四边形PDCE 为矩形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，F 为PA 的中点，N 为PC 与DE 的交点，PD =112AB AD CD ===.（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）若G 是线段CD 上一点，平面PBC 与平面EFG 所成角的余弦值为6，求DG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）49-.【解析】【分析】（1）连接AC ，证明//FN AC ，利用线面平行的判定定理即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为四边形PDCE 为矩形，则N 为PC 的中点，连接AC，在PAC △中，F ，N 分别为PA ，PC 的中点，则有//FN AC ，而直线FN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以//FN 平面ABCD ；【小问2详解】因为平面PDCE ⊥平面ABCD ，DP DC ⊥，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，DP ⊂平面PDCE ，所以DP ⊥平面ABCD ，又//AB CD ，AB AD ⊥，故DC AD ⊥，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则12(00(100),(110),(020),(02(0),,22,,,,,,,,P A B C E F ，设()0,,0G t ，[]0,2t ∈，所以(11,,,,(110)PB BC ==-，1222,,FE ⎛=- ⎪⎝⎭，(0,2GE t =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则0m PB x y m BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,m =，设平面EFG 的法向量为(),,n a b c =r ，则()12202220n FE a b nGE t b ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令b =，得)2n t =+-r，所以cos ,6m n n n m m ⋅==⋅，整理可得298110t t +-=，解得11549t -=或11549t =(舍去)，即DG 的长为49.21.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P，离心率为22，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，结合离心率及椭圆,,ab c 的关系列出方程即可得到结果；（2）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可.【小问1详解】设椭圆C 的焦距为2c ，则22c a =，所以a =因为222a b c =+，所以b c =，又OP FP ⋅=，,OP b FP a ==，所以ab =，即1c =所以1a b ==所以2212x y +=【小问2详解】当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，设直线1l 的方程为=1x -，此时直线2l 与x 轴重合，即AB MN ==，所以122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--由22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=此时()224420k k ∆=++>，∴12222k y y k +=+，12212y y k -⋅=+则AB ==)()222122k k k k+=++.把上式中的k 换成1k -得：MN =则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=)())22221112122k k k k k k ++⋅⋅=++()()()222241212k k k +++令21k t +=，则1t >，且221k t +=+，22121k t +=-()()()22222241421212kt S t t kk +===+-++2411924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，()1t >，∴1629S ≤<，所以四边形AMBN 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()()()ln 21f x x m x m m =+-+-∈R .（1）当4m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在正整数m ，使得()0f x ≤恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）存在正整数3m =【解析】【分析】（1）当4m =时，对函数()f x 求导，令()0f x ¢>和()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调区间；（2）要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤恒成立，讨论2m ≤和m>2，求出()f x 的单调性，即可知要使()max 1ln02f x m m =-≤-，令()()()ln 22g m m m m =-+>，对()g m 求导，得出()g m 的单调性，即可得解.【小问1详解】当4m =时，函数()ln 23f x x x =--的定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，解得：102x <<；令()0f x '<，解得：12x >，所以函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】()()ln 21f x x m x m =+-+-的定义域为()0,∞+，()()2112m x f x m x x-+=+'-=，若20m -≥，即2m ≤，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值；若20m -<，即m>2，函数()f x 在10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,2m ∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭上单调递减.当12x m =-时，函数()f x 取得最大值，且()max 11ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤，所以1ln02m m -≤-，即()ln 20m m -+≥，令()()()ln 22g m m m m =-+>，()()1110222m g m m m m -=+=>>--'所以()g m 在()2,+∞上单调递增，当m 趋近于2时，()0g m <，()3ln130g =+>，所以存在最小正整数3m =，使得()()ln 20g m m m =-+>，即是使得()0f x ≤恒成立.。
