解直角三角形(定稿)

5.（3分）（2014•苏州）如图，港口A在观测站O 的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿 北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时 从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向， 则该船航行的距离（即AB的长）为（ C ） 6. 已知Rt△ABC中,D 为斜边AB中点， AC=4， BC=3，则tan∠CDB=（ 4 ）.


• 9.（2015•四川凉山州,第20题8分）如图， 在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A 处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且 俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处 经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰 角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高 度．（结果保留根号）
六．定位提升，反思评价：
解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE， ∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°， CE=BD=6， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE=AD=5， 过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则 CH=4﹣x， 在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2， 在Rt△DHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2 ∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x= ， ∴EH= = ，
练习：
• (2015· 河南，第20题9分)如图所示，某数学活动小 组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡 上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向 下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的 仰角是45°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. (有改动)
B
F D
30° 45°
三．探究交流：
• 小组长检查知识点复习情况，组员提 出在知识梳理中没掌握的或困难的知 识点，组内帮助解决。
解决引例：
• (2015•江苏南昌,第13题3分)如图1是小志同学书桌 上的一面镜子，将其侧面抽象为如图2所示的几何 图形，已知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°,则点B到CD 的距离为 14.1 cm(参考数据：sin20°≈ 0.342, cos20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, cos40°≈ 0.766.精 确到0.1cm,可用科学计算器).
利用三角函数测量物体的高度（复杂型）
例2. （2015•四川广安，第23题8分）数学活动课上， 老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高 度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为 iFC=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离 升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测 得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=3/7，升旗台 高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗 杆AB的高度．
• （1）求∠CAO＇的度数.（2）显示屏的顶部B＇比原来升 高了多少？ • （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线 的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时 针方向旋转多少度？
五．专项达标，提高能力
• 1.（2015湖南邵阳第17题3分）如图，某登山运动 员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如 果AB=2000米，则他实际上升了 1000 米． • 2．（2015•广东广州,第15题3分）如图，△ABC中， DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若 2 BE=9，BC=12，则cosC= ．
3
• 7.（2015湖北荆州第15题3分）如图，小明在一块平地上 测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚 直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么 山高AD为 137 米（结果保留整数，测角仪忽略不 计， 2 1.414, 3 1.732 ）
• 8. （2015•浙江宁波，第16题4分）如图，在数学活动课 中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的 C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰 角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高 度是 m（结果保留根号） 3 3 3

B
• 解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于 N． • 由题意 = ，即 = ，CM= ， • 在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4， A ∠AMN=72°， • ∴tan72°= ， • ∴AN≈12.3， • ∵MN∥BC，AB∥CM， • ∴四边形MNBC是平行四边形， • ∴BN=CM= ， • ∴AB=AN+BN=13.8米．
• 练习：（2015•浙江嘉兴，第22题12分）小红将笔记
本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平 线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图 为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇ 后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4. 已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm.
E
A
C
复习点二：几何图形中的三角函数
• 例3. （2015•绵阳第18 题，3分）如图，在等 边△ABC内有一点D， AD=5，BD=6，CD=4， 将△ABD绕A点逆时针 旋转，使AB与AC重合， 点D旋转至点E，则 ∠CDE的正切值 为 3 7 ．
H
• • • •
• • •
• • • • • • 在Rt△EDH中，tan∠HDE= • 即∠CDE的正切值为3 ． • 故答案为：3 ．
3
3.（2015山东济宁，9，3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD
的比）为1:2，AC= 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点 与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为 (A) A.5米 B.6米 C. 8米 D. 米
4.（2015•山东东营,第14题3分）4月26日，2015黄河口（东 营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直 升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测 马拉松景观大道A处的俯角为30度，B处的俯角为45度．如 果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同 一直线上，则AB两点的距离是 200 3 1 米．
• 说一说自己这节课收获与体会，回忆还有 哪些不足之处。
• 作业：完成枣庄资料P89——P92内容
A B
C
图1
E
图2
D
解：如右图，作BE⊥CD于点E. ∵BC=BD, BE⊥CD, ∴∠CBE=∠DBE=20°, 在Rt△BCD中， BE=15cos20° ≈15×0.940 =14.1(cm)
A B
C
E
D
四．教师点拨，中考链接
复习点一：利用三角函数测量物体的高度（简单型）：
• 例1．（2015· 湖南省衡阳市，第12题3分）如图， 为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测 角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向 电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶 端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单 B．51 位：米）为（ C ）．A
．
C D．101
练习：
• （2015•山东潍坊第16 题3 分）观光塔是潍坊市区的标 志性建筑，为测量其高度， 如图，一人先在附近一楼房 的底端A点处观测观光塔顶 端C处的仰角是60°，然后 爬到该楼房顶端B点处观测 观光塔底部D处的俯角是 30°．已知楼房高AB约是 45m，根据以上观测数据 求观光塔的高CD是 135 m．
• 解：作DG⊥AE于G，则 ∠BDG=α， • 易知四边形DCEG为矩形． • ∴DG=CE=35m，EG=DC=1.6m • 在直角三角形BDG中， BG=DG•tanα=35× =15m， • ∴BE=15+1.6=16.6m． • ∵斜坡FC的坡比为1：10， CE=35m， • ∴EF=35× =3.5， • ∵AF=1， • ∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5， • ∴AB=BE﹣AE • =16.6﹣4.5 • =12.1m． • 答：旗杆AB的高度为12.1m．
= =3 ，
练习：
• （2015•山东日照 ，第10题4分）如图，在 直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使 DC=BD，连接AC，若tanB= 5 ，则 3 tan∠CAD的值（ D ）
A
3 3 1 1 A. , B. , C. D 3 5 3, 5
B D E
C
• 解答： 解：如图，延 长AD，过点C作CE⊥AD， 垂足为E， • ∵tanB= ，即 = ， • ∴设AD=5x，则AB=3x， • ∵∠CDE=∠BDA， ∠CED=∠BAD， • ∴△CDE∽△BDA， • ∴ ， • • • • ∴CE= x，DE= ， ∴AE= ， ∴tan∠CAD= = ． 故选D．
解：∵爬到该楼房顶端B点处观测 观光塔底部D处的俯角是30°， ∴∠ADB=30°， 在Rt△ABD中， tan30°= ， ∴ = ， ∴AD= 45 3 ， ∵在一楼房的底端A点处观测观光 塔顶端C处的仰角是60°， ∴在Rt△ACD中， CD=AD•tan60°=45 3 3 =135米． 故答案为135米．
引例：
某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角 • 三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高 度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分 落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在 平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD 为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的 夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长 QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1 米）．（参考数据：sin72°≈0.95， cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
解直角三角形
吕庆永
一．考试要求：
• 1.熟记特殊角的三角函数值，在理解三角函 数定义的基础上进行有关的计算和解答( 基 础点，重点) • 2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测 量，航行，工程技术等生活中的实际问题 （难点）