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“非稳态导热”例题例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉内被加热。
已知圆钢的导热系数为35 W/(m ∙K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460J/(kg ∙K)，加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2∙K)。
现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。
解 特征尺寸A V /为m 0136.0)1060(14.3413.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为05.0211.01.0039.0350136.0100)/(v =⨯=<=⨯==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。
θθρτ0ln hA cV= 即s548.14 1250850125020ln 100)10460.0(78003=--⨯⨯=τ则该圆钢在加热炉内的通过速度为m /s 0109.014.5486===τL v例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。
平板两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。
已知铜和钢的热扩散率分别为610103-⨯m 2/s 和6109.12-⨯m 2/s 。
(125.0==铜钢钢铜a a ττ)例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。
试说明该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ∙K)，导热系数为53.5W/(m ∙K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间的表面传热系数为407 W/(m 2∙K)。
公用设备工程师-专业基础（暖通空调、动力）-传热学-2.3非稳态导热[单选题]1.在非稳态导热过程中，瞬态导热过程根据温度的变化特性可以分为三个不同的阶段，下列说法中不正确的是()（江南博哥）。
[2014年真题]A.在0.2＜Fo＜∞的时间区域内，过余温度的对数值随时间线性变化B.Fo＜0.2的时间区域内，温度变化受初始条件影响最大C.最初的瞬态过程是无规则的，无法用非稳态导热微分方程描述D.如果变化过程中物体的Bi数很小，则可以将物体温度当作空间分布均匀计算正确答案：C参考解析：非稳态的三个阶段中，初始阶段和正规状态阶段是以傅里叶数Fo＝0.2为界限。
A项，在正规状态阶段（0.2＜Fo＜∞），过余温度的对数值随时间按线性规律变化；B项，Fo＜0.2为初始阶段，该阶段内受初始条件影响较大，且各个部分的变化规律不相同；C项，非稳态的导热微分方程在描述非稳态问题时并未有条件限制，即便是最初阶段也是可描述的；D项，毕渥准则数Bi 为导热热阻与对流热阻的比值，当Bi较小时，说明物体的导热热阻接近为零，因此可以将物体温度当作空间分布均匀计算。
[单选题]2.当固体导热过程Bi数趋于无限大时，描述该物体导热性质的正确说法是()。
[2016年真题]A.物体温度可以近似等于流体温度B.物体内部导热能力远大于物体换热能力C.物体内部温度变化速度相对较快D.边界壁面温度等于流体温度正确答案：D参考解析：毕渥准则（Bi＝hδ/λ）表示物体内部导热热阻（δ/λ）与物体表面对流换热热阻（1/h）的比值，固体导热过程Bi数趋于无限大时，导热热阻远远大于对流换热热阻，这意味着表面传热系数趋于无限大，即对流换热的热阻趋于零，但内部导热热阻的大小无法确定，这时物体的表面温度几乎从冷却过程一开始便立即降低到流体的温度，即边界壁面温度等于流体温度，而物体内部的温度变化未可知。
D.对于普通圆柱体L＝R，R为半径正确答案：D参考解析：毕渥准则的公式为：Bi＝hL/λ。
非稳态导热问题例：一厚46.2mm温度278K的奶油，由冷藏室移至298K环境中，奶油盛于容器中，顶面与环境接触，各侧面及底面均绝热，试计算5小时后，奶油顶面、中心面及底面的温度。
k=0.197w/m.k,C=2300J/kg.K,ρ=998kg/m3, h=8.52w/m2.K例：一直径较大的火箭发动机喷管，壁厚8mm，密度8600kg/m3，k=26w/m.K，C=545J/kg.K，在静态实验中初始温度27°C的管壁与此1800°C的高温燃汽接触，h=2050w/m2.K，若壁面能承受最高温度为1010°C，假设外侧完全绝热，试求火箭发动机能允许运行的时间。
例：直径50mm长1.2m的轴，在炉内加热达到均匀温度427°C，将其一端面投入38°C的冷却剂中淬火，轴表面与冷却剂之间的h为340w/m2K, 若轴的k=26w/m.K，α=0.031m2/h，求出1.25分钟后轴距表面0.01m处的温度（以及端面的中心温度）例：钢锭尺寸长0.5m, 宽0.7m, 高1m，k=40.5w/m.K, α=0.722×10-5m2/s, 求钢锭置入炉温1200°C的加热炉中4小时后最低温度和最高温度之差，其初始温度为20°C，h=348w/m2.K。
例：某材料用热处理法进行改性，如果该材料加工成5mm半径的球体，在炉内加热到400o C，将其从炉内移出进行两步冷却。
第一步移出后在20o C的空气中冷却经历一段时间ta, 使球体的中心温度达到335o C，如果对流换热系数为10w/m2k ；第二步是将第一步冷却后球体放到20o C的水浴中进行冷却，若对流换热系数为6000/m2k。
试计算（1）第一步需要的时间；（2）第二步将中心温度从335o C降至50o C所需要的时间。
,3/30006−1000,/==ρ20==α×10kkgKWmKsmJc.6,66kg/2m/。
第三章 非稳态导热习题例3.1一腾空置于室地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室。
电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。
电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，部温度均布。
通电时其温度为t 0。
试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
[解] 根据题意，电热器部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
电热器以辐射换热方式散失的热量为：44r f ()A T T σΦ=- （1）以对流换热方式的热量为：c f ()hA T T Φ=- （2）电热器断电后无热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。
若只考虑电热器的热力学能r c d d TcVρτ-Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为：44f f d ()()d TA T T hA T T cVσρτ-+-=- （4） 初始条件为：τ=0， t =t 0 （5）上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
例3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的热源。
如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。
试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。
[解] 根据题意，保险丝部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：c f ()hA T T Φ=- （1）保险丝的热源为：Q 0=IR 2 （2）式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。
根据能量守恒，散失的热量与热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。
若只考虑保险丝的热力学能c 0d d TQ cVρτ-Φ+= （3）因此，相应的微分方程式为：2f d ()d ThA T T I R cVρτ--=- （4） 初始条件为：τ=0， t =t f （5）上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。
令2f I Rt t hAθ=--，则上述微分方程改写为d d ρθθτ=-cV hA （6）该微分方程的解为θθτθρ=-=-00exp()exp(BiFo)hAcV（7） 以温度t 表示该解τρ--=---22f 0f (）exp()I R I R hAt t t t hA hA cV（8）由初始条件τ=0， t 0= t f ，该式可写为τρ-=--2f [1exp()]I R hAt t hA cV（9）上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出热源对保险丝的温度变化的作用。
例3.3 一块厚10 mm 的纯铝板置于温度为10 ℃的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h =10 W/(m 2·K)，且为常数。
求该铝板从100 ℃降到20 ℃所需时间及当时的热流密度。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 的数值，确定是否能采用简单的集总参数法。
查取铝的物性参数，密度ρ=2702 kg/m 3，比热容c =903 J/kg ，导热系数λ=237 W/(m·K)。
λ-⨯⨯===⨯⨯4100.01'Bi 2.11102372'hV A A A （1） Bi<0.1, 可用集总参数法计算。
0exp()hAcVθθτρ=-（2） 102'2010(10010)exp()27029030.01'A A τ⨯-=--⨯⨯⨯ （3）τ=2680 s （4）铝板从100 ℃降到20 ℃时，铝板的表面温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流换热系数h 均为已知，因此热流密度可用牛顿冷却公式计算。
q =h ( t- t f )=10×(20-10)=100 W/m 2（5）例 3.4 用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。
现要求一个初温为t 0的球形热电偶与温度为t f 的被测流体接触后，在1 s 所指示的过余温度比f 00f95%t t t t θθ-==-。
现有一铜-康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的对流换热表面传热系数h =50 W/(m 2·K)，且为常数。
试求该球形热电偶接点的最大允许半径r 0。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 。
查取铜的物性参数，密度ρ=8954 kg/m 3，比热容c =384 J/kg ，导热系数λ=398 W/(m·K)；查取康铜的物性参数，密度ρ=8922kg/m 3，比热容c =410 J/kg ，导热系数λ=22 W/(m·K)。
球形热电偶接点是这两种材料的熔化物，因此取平均值，密度ρ=8938 kg/m 3，比热容c =397 J/kg ，导热系数λ=210 W/(m·K)。
λ==0050Bi 210hr r （1）因半径r 0未知，比渥准则Bi 的数值无法计算。
但可假定Bi<0.1，先用集总参数法计算， 然后进行较核。
0exp()hAcVθθτρ=-（2）ππ-⨯-⨯=-=⨯⨯25030504 4.206100.95exp(1)exp()489383973r r r （3）r 0=8.2×10-4 m (4)校核r 0，λ===0050Bi 0.1210hr r （5）因为比渥准则Bi<<0.1，上述分析计算合理。
讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi ，一旦Bi<0.1，就可以用简单的集总参数法计算，但是Bi 数值的确定需要先知道定型尺寸的数值。
本题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只能先假定Bi<0.1，能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸校核集总参数法的应用条件Bi<0.1是满足的。
例3.5某种电路中所用的保险丝的直径为0.5 mm,长20 mm ，导热系数λ=20 W/(m·K)，热扩散率a =5×10-5 m 2/s,电阻为0.8Ω,熔点为900 ℃。
如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为20 ℃的周围空气之间的平均对流换热系数为10 W/(m 2·K)，且为常数。
试确定该保险丝通过2 A 的电流后多少时间会熔断。
[解] 该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的热源。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ⨯=≈<⨯210/4Bi 0.120hV d l A dl(1)根据解析题3.2,2f [1exp()]I R hA t t hA cVτρ-=-- (2)代入具体数值22520.81090020[1exp()]2010/4510dldld l πτππ-⨯⨯-≈--⨯⨯ (3)880=1.019×104[1-exp(-0.2τ)] (4) τ=0.4516 s (5)例3.6 将直径为30 mm 、初温为20 ℃的生红肠放入温度为180 ℃的烘箱中烤熟。
假定生红肠的密度ρ=960 kg/m 3，比热容c =5000 J/kg ，导热系数λ=0.9 W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，红肠和烘箱中空气之间的平均对流换热系数为30 W/(m 2·K)，且为常数。
试求生红肠放入烘箱中10 min 时红肠的中心温度。
[解] 红肠可视为细长圆柱体。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯2300.03/4Bi 0.10.90.03hV l A l(1)因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ⨯===300.015Bi 0.50.9hR (2) λτρ⨯===⨯⨯220.9600Fo 0.596050000.015cR (3) 查计算线图（海斯勒图）得m m 01800.5620180t θθ-=≈- (4) 解得生红肠放入烘箱中10 min 时的中心温度 t m =90.4 ℃ (5)例3.7 直径为400 mm 、初温为20 ℃的钢棒放入温度为600 ℃的炉中加热。
钢棒的密度ρ=7833 kg/m 3，比热容c =465 J/kg ，导热系数λ=54 W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，钢棒与炉中气体之间的平均对流换热系数为130 W/(m 2·K)，且为常数。
试求钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间，并确定此时钢棒的表面温度。
[解] 钢棒可视为细长圆柱体。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯21300.4/40.1540.4hV l Bi A l(1)因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ⨯===1300.2Bi 0.481454hR (2) 钢棒中心温度达到400 ℃时，m 04006000.344820600θθ-=≈- (3) 查计算线图（海斯勒图）得Fo 准则的数值为λτττρ-⨯====⨯⨯⨯42254Fo 1.3 3.7061078334650.2cR (4) 解得钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间 τ=3508 s (5)R R m 6000.79400600t θθ-=≈- (6) 解得此时钢棒的表面温度 t R =442 ℃例3.8 截面为1 m×1 m 的耐火砖方形长柱体，初温为20 ℃，与600 ℃的高温烟气接触，仅考虑由于对流换热的加热量，柱体与燃气之间的平均对流换热系数为20 W/(m 2·K)，且为常数。
耐火砖的密度ρ=2000 kg/m 3，比热容c =960 J/kg ，导热系数λ=1.07 W/(m·K)， 试求耐火砖柱体与烟气接触120小时时方柱体的中心温度。
[解] 瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
λ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯2011Bi 0.11.0741hV lA l(1) 因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
方形长柱体的导热是二维导热问题，可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得。
δλ⨯===200.5Bi 9.3461.07h (2) λτρδ⨯===⨯⨯221.07432000Fo 0.96320009600.5c (3) 再查计算线图（海斯勒图）得m0.18θθ≈ (4) 因此，方形长柱体中心的过余温度比m f m m m 0f 006000.180.1820600t t t t t θθθθ--==•=⨯-- (5)最后解得120小时时方形长柱体的中心温度t m =581.2 ℃。
