艺术生高三文科数学复习讲义第5讲 函数与方程

艺术生高考数学专题讲义考点函数与方程函数是数学中非常重要的一个概念，也是高考数学中的一个重要考点。

掌握函数的概念，理解函数的性质和性质的应用，对于解决各类函数与方程问题起着关键作用。

一、函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，通常用字母f,g,h等表示。

若有两个非空集合A和B，对于A中的每一个元素x，有B中唯一确定的一个元素y与之对应，那么就称y是x的函数值，记作y=f(x)，其中f表示函数，x称为自变量，y称为因变量。

函数的定义域为A，值域为B。

函数可以用数图、函数表或函数解析式的形式表示。

函数图像是函数和平面直角坐标系上解析式中自变量和因变量的对应关系的几何图形。

二、函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域表示自变量的取值范围，值域表示因变量的取值范围。

2.奇偶性：若对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；若有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。

3.单调性：若对于函数f(x)，在定义域上，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数是增函数；若有f(x1)>f(x2)，则函数是减函数。

4.周期性：若对于函数f(x)，存在常数T>0，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。

三、函数的应用函数在数学中具有广泛的应用，常见的应用有以下几种：1.函数的图像问题：通过函数的图像，我们可以了解函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。

同时，可以通过图像求函数的解析式。

2.函数的复合问题：复合函数就是由两个函数组成的函数。

复合函数的求解要根据实际问题确定两个函数之间的关系，并运用函数的性质进行求解。

3.函数方程问题：函数方程就是与函数有关的方程。

通过解函数方程，可以确定函数的性质和未知数的值。

4.数列与数列极限问题：5.函数的应用问题：函数在各个学科中都有广泛的应用，如物理中的速度、加速度函数，化学中的反应速率函数等。

通过函数的应用，可以解决各类实际问题。

北师大版小学数学一年级（上册）知识点归纳本册教材的教学内容各单元的教学内容一生活中的数（一）本单元知识网络：错误!未指定书签。

（二）各课知识点：可爱的校园（数数）知识点：1、按一定顺序手口一致地数出每种物体的个数。

2、能用1-10各数正确地表述物体的数量。

快乐的家园（10以内数的认识）知识点：1、能形象理解数“1”既可以表示单个物体，也可以表示一个集合。

2、在数数过程中认识1-10数的符号表示方法。

3、理解1～10各数除了表示几个，还可以表示第几个，从而认识基数与序数的联系与区别：基数表示数量的多少，序数表示数量的顺序。

玩具（1～5的认识与书写）知识点：1、能正确数出5以内物体的个数。

2、会正确书写1-5的数字。

小猫钓鱼（0的认识）知识点：1、认识“0”的产生，理解“0”的含义，0即可以表示一个物体也没有，也可以表示起点和分界点。

2、学会读、写“0”。

文具（6～10的认识与书写）知识点：1、能正确数出数量是6-10的物体的个数。

2、会读写6—10的数字。

二比较（一）本单元知识网络：错误!未指定书签。

（二）各课知识点：动物乐园（比大小与比多少）知识点：1、比较动物谁多谁少有两种策略：一是基于“数数”，二是进行“配对”，从而体验“一一对应”的数学思想。

2、通过比较具体数量多少的数学活动，获得对“＞”、“＜”、“=”等符号意义的理解，学会写法，并会用这些符号表示10以内的数的大小。

3、体验“同样多”、“多”、“少”、“最多”、“最少”的含义。

高矮（比高矮、比长短）知识点：1、长短、高矮、厚薄都属于物体长度的比较的问题，只是在实际生活中，人们习惯把水平放的物体的长度比较叫比长短，把垂直摆放的物体达到长度的比较叫比高矮。

把扁平的物体上下距离的比较叫比厚薄。

它们的比较方法是相通的。

2、认识高矮的区别，知道比较高矮、长短、厚薄时要在起点相同的情况下才能正确比较。

3、知道高矮比较的相对性轻重（比轻重）知识点：1、经历比较轻重的过程，体验一些具体的比较方法及轻重的相对性。

专题五 函数与函数方程函数的零点【背一背基础知识】1．定义对于函数y ＝f(x)(x ∈D)，把使________成立的实数x 叫做函数y ＝f(x)(x ∈D)的零点． 2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y ＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y ＝f(x)在区间________内有零点，即存在c ∈(a ，b)，使得________，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．【答案】1．f(x)＝0.2.x 轴 零点.3．f(a)·f(b)<0 (a ，b) f(c)＝0.【讲一讲基本技能】 1.必备技能：1.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;(2)函数零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.2. 判断函数零点所在区间的方法2.典型例题：例1【2018届广东省汕头市高三上学期期末】设()()()ln 2ln 2f x x x =+--，则()f x 是（ ）A. 奇函数，且在()2,0-上是增函数B. 奇函数，且在()2,0-上是减函数C. 有零点，且在()2,0-上是减函数D. 没有零点，且是奇函数【答案】A例2【2018届浙江省嘉兴市高三上学期期末】若()2f x x bx c =++在()1,1m m -+内有两个不同的零点，则()1f m -和()1f m +（ ）A. 都大于1B. 都小于1C. 至少有一个大于1D. 至少有一个小于1 【答案】D【解析】()1f m -+ ()1f m +=()22f m +，因为()2f x x bx c =++在()1,1m m -+内有两个不同的零点，所以()0f m <∴ ()1f m -+ ()1f m +<2,即()1f m -和()1f m + 至少有一个小于1，选D 【练一练趁热打铁】1.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月】函数()4xf x e x=-的零点所在区间为（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. ()2,e 【答案】C【解析】函数()4x f x e x=-在x ＞0时是连续函数，f （1）=e-4＜0，f （2）=e 2-2＞0，由函数零点的存在性定理，函数()4x f x e x=-的零点所在的区间为（1，2）．故选C ．2.【2018届百校联盟TOP20一月联考】命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C函数零点个数的判断【背一背基础知识】二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点.【讲一讲基本技能】1.必备技能：判断函数y ＝f(x)零点个数的常用方法(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数).2.典型例题：例1.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x≤0，2x －6＋lnx ，x>0的零点个数是________．【答案】2. 【解析】(1)当x≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋1x >0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.例2.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x －3，则f(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】因为函数f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝e x＋x －3＝0. 则e x＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.【练一练趁热打铁】1.函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】B故选B.2.函数f(x)＝cosx －log 8x 的零点个数为________．【答案】3.【解析】由f(x)＝0得cosx ＝log 8x ，设y ＝cosx ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cosx ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.函数方程的应用【背一背基础知识】1.①如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数()f x 在区间[],a b 上是一个单调函数，那么当)(a f ·)(b f 0<时，函数()f x 在区间),(b a 内有唯一的零点，即存在唯一的(,)c a b ∈，使0)(=c f . ②如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且有)(a f ·)(b f 0>，那么，函数()f x 在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，那么当函数()f x 在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<，也可能有)(a f ·)(b f 0>.2．有关函数零点的重要结论(1)若连续不断的函数)(x f 是定义域上的单调函数，则)(x f 至多有一个零点． (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．【讲一讲基本技能】1.必备技能：1．解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组. 2．应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．3．与方程根有关的计算和大小比较问题的解法数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.4．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数()y f x =，()y g x =，即把方程写成()()f x g x =的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．2.典型例题例1【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B例2若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】02b <<【解析】由函数()|22|xf x b =--有两个零点，可得|22|xb -=有两个不等的根，从而可得函数|22|xy =-函数y b =的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b <<，故答案为：02b <<.【练一练趁热打铁】1.【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知1a >-，函数()()22,{log 1,x x a f x x x a≤=+>，若存在t 使得()()g x f x t =-有三个零点，则a 的取值范围是( )A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,+∞D. ()0,+∞【答案】C【解析】作出2y x =和()2log 1y x =+的图象，它们在第一象限交点为()1,1，考虑到()f x 的定义， ()()g x f x t =-有三个零点，说明()f x 的图象与直线y t =有三个交点，因此1a >，故选C ．2.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C 【解析】由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.（一） 选择题（12*5=60分）1.【2018届皖江名校高三12月份大联考】“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解得（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】作出函数x y e k =-的图象，可知方程1x e k -=有2个实数解时可得1k >.所以方程1x e k -=有2个实数解，一定有1k ≥，反之不成立，如11x e -=只有一个实数解.所以“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解的必要不充分条件. 故选B.2. 函数()2x f x e x =+-（e 为自然对数的底数）的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 【答案】B【解析】令()0f x =，即20x e x +-=，即2x e x =-，在同一直角坐标系中画出函数x y e =与函数2y x =-的图象如下图所示，由图象可知，函数x y e =与函数2y x =-的图象有一个公共点，故函数()2xf x e x =+-（e 为自然对数的底数）的零点个数是1，故选B.221Oxyy=2-xy=e x3.【2018届云南民族大学附属中学高三上学期期末】已知函数f(x)的定义域为R ，且()()21,0{1,0x x f x f x x --≤=->，若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()0,1D. (),-∞+∞ 【答案】A【解析】作图，由图知1a < ， a 的取值范围为(),1-∞，选A.4.【2018届安徽省亳州市高三第一学期期末】已知函数()224,{ 31,x x x af x x a--≤=->，若()()0f f x =存在四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A. )+∞B. )+∞C.))2⋃+∞D. [)3,⋃+∞【答案】D【解析】令()f x t =，则()0f t =，由题意， ()0f t =有两个不同的解， ()f x t =有两个不相等的实根，由图可知， ()0f t =得2t =或2t =-，所以()2f x =和()2f x =-各有两个解。

第5讲 函数、导数与方程[做真题](2019·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点．证明：设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 又g (0)＝0，g (π2)>0，g (π)＝－2，故g (x )在(0，π)存在唯一零点． 所以f ′(x )在(0，π)存在唯一零点．[明考情]函数、导数与方程的根(零点)考查的形式以解答题为主，主要考查利用导数确定某些高次式、指数式、对数式及绝对值式结构的函数的零点或方程根的个数，或者依据它们的零点或方程根的存在情况求参数的值(或取值范围)等问题，以解答题为主．判断、证明或讨论函数零点个数两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件——函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0.[典型例题](2019·广东省七校联考)已知函数f(x)＝ln x＋ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a<0时，求函数f(x)的零点个数．【解】(1)由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋a＝ax＋1x.①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－1a，故在⎝⎛⎭⎫0，－1a上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a，＋∞上，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－1a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)可知，当a<0时，f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－1a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a，＋∞上单调递减．故f(x)max＝f⎝⎛⎭⎫－1a＝ln⎝⎛⎭⎫－1a－1.①当ln ⎝⎛⎭⎫－1a <1，即a <－1e 时，f ⎝⎛⎭⎫－1a <0， 函数f (x )没有零点．②当ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝1时，即a ＝－1e 时，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝0， 函数f (x )有一个零点．③当ln ⎝⎛⎭⎫－1a >1，即－1e<a <0时，f ⎝⎛⎭⎫－1a >0， 令0<b <1且b <－1a ，则lnb <0，f (b )＝ln b ＋ab <ln b <0，故f (b )·f ⎝⎛⎭⎫－1a <0，f (x )在⎝⎛⎭⎫b ，－1a 上有一个零点． f ⎝⎛⎭⎫1a 2＝ln 1a 2＋1a ＝2ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＋1a ， 令t ＝－1a ，则t ∈(e ，＋∞)．令g (t )＝2ln t －t ，t >0，则在(e ，＋∞)上，g ′(t )＝2t－1<0，故g (t )在(e ，＋∞)上单调递减，故在(e ，＋∞)上，g (t )<g (e)＝2－e<0，则f ⎝⎛⎭⎫1a 2<0，故f ⎝⎛⎭⎫－1a ·f ⎝⎛⎭⎫1a 2<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，1a 2上有一个零点．故f (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当a <－1e 时，函数f (x )没有零点；当a ＝－1e 时，函数f (x )有一个零点；当－1e <a <0时，函数f (x )有两个零点．利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等； (2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置；(3)数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现．[对点训练](2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明： (1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 证明：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x.因为y ＝ln x 单调递增，y ＝1x 单调递减，所以f ′(x )单调递增．又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f ′(x 0)＝0.又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 因此，f (x )存在唯一的极值点．(2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0，所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α.由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝⎛⎭⎫1α＝⎝⎛⎭⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f （α）α＝0，故1α是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根．综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．根据零点个数确定参数范围已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x )中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．[典型例题](2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)＝e x(ln x－ax＋a＋b)(e为自然对数的底数)，a，b∈R，直线y＝e2x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线．(1)求a，b的值．(2)是否存在k∈Z，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)f′(x)＝e x(ln x－ax＋1x＋b)，f(x)的定义域为(0，＋∞)．由已知，得⎩⎨⎧f（1）＝e2，f′（1）＝e2即⎩⎨⎧e b＝e2e（b－a＋1）＝e2，解得a＝1，b＝12.(2)由(1)知，f(x)＝e x⎝⎛⎭⎫ln x－x＋32，则f′(x)＝ex⎝⎛⎭⎫ln x－x＋1x＋12，令g(x)＝ln x－x＋1x＋12，则g′(x)＝－x2－x＋1x2<0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝12>0，g(2)＝ln 2－1<0，所以存在唯一的x0∈(1，2)使得g(x0)＝0，且当x∈(0，x0)时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(x0，＋∞)时，g(x)<0，即f′(x)<0.所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．又当x→0时，f(x)<0，f(1)＝e2>0，f(2)＝e2(ln 2－12)>0，f(e)＝ee⎝⎛⎭⎫52－e<0，所以存在k ＝0或2，使得y ＝f (x )在(k ，k ＋1)上有唯一零点．利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的一般方法(1)分离参数(a ＝g (x ))后，将原问题转化为y ＝g (x )的值域(最值)问题或转化为直线y ＝a 与y ＝g (x )的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R .若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解：函数f (x )有两个零点，等价于方程a ＝ln x ＋xx 2有两解．令g (x )＝ln x ＋x x 2，x >0，则g ′(x )＝1－2ln x －xx 3，由g ′(x )＝1－2ln x －xx 3>0得2ln x ＋x <1，解得0<x <1，所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又当x ≥1时，g (x )>0， 当x →0时，g (x )→－∞，所以作出函数g (x )的简图，如图，结合函数值的变化趋势猜想：当a ∈(0，1)时符合题意．下面给出证明：当a ≥1时，a ≥g (x )max ，方程至多一解，不符合题意； 当a ≤0时，方程至多一解，不符合题意； 当a ∈(0，1)时，g (1e )<0，所以g (1e )－a <0，g (2a )＝a 24(ln 2a ＋2a )<a 24(2a ＋2a )＝a ，所以g (2a)－a <0.所以方程在(1e ，1)与(1，2a )上各有一个根，所以f (x )有两个零点．综上，a 的取值范围为(0，1)．1．设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．解：(1)f (x )的定义域为R ，由导数公式知f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x ＋1)2e x ，x ∈R . 因为对任意x ∈R ，都有f ′(x )≥0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：由(1)知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 且f (0)＝1－a <0，f (a －1)＝a ea －1－a ＝a (e a －1－1)．因为a >1，所以a －1>0，所以a －1>0，所以e a －1>1，所以ea －1－1>0，故f (a －1)>0，所以存在x 0∈(0，a －1)使得f (x 0)＝0.又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．2．(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝a e x －a e x －1，g (x )＝－x 3－32x 2＋6x ，其中a >0.(1)若曲线y ＝f (x )经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程； (2)若f (x )＝g (x )＋m 在[0，＋∞)上有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (0)＝a －1＝0，所以a ＝1，此时f (x )＝e x －e x －1. 所以f ′(x )＝e x －e ，f ′(0)＝1－e.所以曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝(1－e)x . (2)因为f (x )＝a e x －a e x －1，所以f ′(x )＝a e x －a e ＝a (e x －e)． 当x >1时，f ′(x )>0；当0<x <1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (1)＝－1.令h (x )＝g (x )＋m ＝－x 3－32x 2＋6x ＋m ，则h ′(x )＝－3x 2－3x ＋6＝－3(x ＋2)(x －1)． 当x >1时，h ′(x )<0；当0<x <1时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以当x ∈[0，＋∞)时，h (x )max ＝h (1)＝72＋m .要使f (x )＝g (x )＋m 在[0，＋∞)上有解， 则72＋m ≥－1，即m ≥－92. 所以实数m 的取值范围为[－92，＋∞)．3．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为－a .(1)求f (x )的单调区间； (2)讨论方程f (x )＝1根的个数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －b －a ln xx 2，由f ′(1)＝a －b ＝－a ，得b ＝2a ，所以f (x )＝a （ln x ＋2）x ，f ′(x )＝－a （ln x ＋1）x 2.当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1e ；由f ′(x )<0，得x >1e.当a <0时，由f ′(x )>0，得x >1e ；由f ′(x )<0，得0<x <1e.综上，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)f (x )＝1，即方程a ln x ＋2a x ＝1，即方程1a ＝ln x ＋2x ，构造函数h (x )＝ln x ＋2x，则h ′(x )＝－1＋ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1e，且在⎝⎛⎭⎫0，1e 上h ′(x )>0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上h ′(x )<0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递减，所以h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝e. 在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上，h (x )单调递减且h (x )＝ln x ＋2x >0，当x 无限增大时，h (x )无限接近0；在⎝⎛⎭⎫0，1e 上，h (x )单调递增且当x 无限接近0时，ln x ＋2负无限大，故h (x )负无限大． 故当0<1a <e ，即a >1e 时，方程f (x )＝1有两个不等实根，当a ＝1e 时，方程f (x )＝1只有一个实根，当a <0时，方程f (x )＝1只有一个实根．综上可知，当a >1e 时，方程f (x )＝1有两个实根；当a <0或a ＝1e 时，方程f (x )＝1有一个实根；当0<a <1e时，方程f (x )＝1无实根．4．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝mx －nx－ln x ，m ∈R .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，求实数n 的值； (2)若n ＝1时，函数f (x )恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求证：x 1＋x 2>2. 解：(1)由题意得f ′(x )＝n －x x 2，所以f ′(2)＝n －24.由于函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行， 所以n －24＝1，解得n ＝6.(2)证明：若n ＝1时，f (x )恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)， 则由f (x 1)＝mx 1－1x 1－ln x 1＝0，f (x 2)＝mx 2－1x 2－ln x 2＝0，得m ＝1x 1＋ln x 1＝1x 2＋ln x 2，所以x 2－x 1x 1x 2＝ln x 2x 1，设t ＝x 2x 1，则t >1，ln t ＝t －1tx 1，x 1＝t －1t ln t ，故x 1＋x 2＝x 1(t ＋1)＝t 2－1t ln t，所以x 1＋x 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－12t －ln t ln t，记函数h (t )＝t 2－12t －ln t (t >1)，则h ′(t )＝（t －1）22t 2>0，所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)>h(1)＝0，又t>1时，ln t>0，所以x1＋x2>2成立．。

§5函数的概念（1）【考点及要求】了解函数三要素，映射的概念，函数三种表示法，分段函数【基础知识】函数的概念：映射的概念：函数三要素：函数的表示法：【基本训练】1． 已知函数()f x ax b =+，且(1)4f -=-，(2)5,(0)_________f f ==则2． 设2:f x x →是集合A 到B （不含2）的映射，如果{}1,2A =，则________A B ⋂=3． 函数y =的定义域是4． 函数21log (32)x y x -=-的定义域是5． 函数234,[2,4)y x x x =-+∈的值域是6．xy 3=的值域为______________________ ； x y 2=的值域为______________________；x y 2log =的值域为_________________；x y sin =的值域为______________________； x y cos =的值域为_________________；x y tan =的值域为______________________。

【典型例题讲练】例1已知：2(1)21f x x +=+，则(1)__________f x -=练习1：已知2(31)965f x x x +=-+，求()f x练习2：已知()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-，求()f x 的解析式例2函数2log (2)y x =+的定义域是练习：设函数1()ln ,1x f x x +=-则函数1()()()2x g x f f x=+的定义域是【课堂小结】：函数解析式 定义域【课堂检测】1．下列四组函数中，两函数是同一函数的有 组（1）ƒ(x)=2x 与ƒ(x)=x; (2) ƒ(x)=2)x (与ƒ(x)=x(3) ƒ(x)=x 与ƒ(x)=33x ; (4) ƒ(x)= 2x 与ƒ(x)= 33x ;2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ，则f[f(1)]=3．函数y=f(x)的定义域为[-2，4]则函数，g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为 。

第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。

艺考生高三数学知识点讲义高三数学知识点讲义一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 定义域和值域- 奇偶性与周期性2. 一次函数- 一次函数的定义与性质- 直线的斜率与截距- 函数与方程的关系3. 二次函数- 二次函数的定义与性质- 抛物线的开口方向与顶点 - 二次函数的图像与性质4. 指数与对数函数- 指数函数的定义与性质 - 对数函数的定义与性质 - 对数与指数的互逆性质二、三角函数1. 三角函数的基本概念- 弧度与度的转换- 三角函数的定义与性质2. 三角函数的图像与性质- 正弦函数的图像与性质 - 余弦函数的图像与性质 - 正切函数的图像与性质3. 三角函数的性质与公式- 周期性与奇偶性- 三角函数的和差化积公式 - 三角函数的倍角与半角公式三、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义与表示- 数列的通项公式- 等差数列与等比数列2. 数列的求和公式- 等差数列的求和公式- 等比数列的求和公式3. 数学归纳法- 数学归纳法的原理- 数学归纳法的应用四、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件与样本空间 - 概率的定义与性质- 条件概率与独立性2. 排列与组合- 排列与组合的基本概念 - 排列数与组合数的计算 - 常见问题的应用3. 统计与概率分布- 数据的收集与整理- 频数与频率分布表- 离散型与连续型概率分布五、解析几何1. 平面与空间直角坐标系- 平面直角坐标系的引入 - 空间直角坐标系的引入 - 坐标变换与平移2. 点、线、面的位置关系- 点与直线的位置关系- 点与平面的位置关系- 直线与平面的位置关系3. 二次曲线与圆锥曲线- 椭圆与双曲线的定义- 椭圆的性质与方程- 双曲线的性质与方程六、数学建模1. 建模的基本概念- 建模的定义与步骤- 数学模型的构建与求解- 建模实例及应用2. 常见的数学建模方法- 线性规划模型与应用- 最优化模型与应用- 动力系统模型与应用以上是艺考生高三数学知识点的讲义，涵盖了高中数学的各个重要知识点与概念。