(决胜预测题)-2014中考数学压轴题全揭秘资料专题46 动态几何之其他问题(平面几何)

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上．（1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t2．（浙江省台州市）如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AM MK的值．3．（浙江省台州市）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP ＝AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，DB CAF EM K 图1DBC A(F ,K )EM 图2DBC A FEK图3 (M )DBCAF EM K图4P 为对称中心的对称点，HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？ 4．（浙江省温州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线BB l ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度； （2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；（3）以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′．①当t ＞53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ， 求S 关于t 的函数关系式；②当线段A ′C ′与射线BB 1有公共点时，求t 的取值范围 （写出答案即可）．5．（浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A ，D ），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ．（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量D B HAEGF CB 1关系；若不存在，请说明理由；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．A P DEB C6．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．。

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(2021年广西柳州12分 )二次函数图象的顶点坐标为 (0 ,1 ) ,且过点 (﹣1 ,54 ) ,直线y =kx +2与y 轴相交于点P ,与二次函数图象交于不同的两点A (x 1 ,y 1 ) ,B (x 2 ,y 2 )．(2 )对 (1 )中的二次函数 ,当自变量x 取值范围在﹣1＜x ＜3时 ,请写出其函数值y 的取值范围； (不必说明理由 )(3 )求证：在此二次函数图象下方的y 轴上 ,必存在定点G ,使△ABG 的内切圆的圆心落在y 轴上 ,并求△GAB 面积的最|小值．(注：在解题过程中 ,你也可以阅读后面的材料 )附：阅读材料任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数 ,两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：设一元二次方程ax 2 +bx +c =0的两根为x 1 ,x 2 ,那么：1212bc x x x x a a+=⋅=， 能灵活运用这种关系 ,有时可以使解题更为简单．例：不解方程 ,求方程x 2﹣3x =15两根的和与积．解：原方程变为：x 2﹣3x ﹣15 =0∵一元二次方程的根与系数有关系：1212b c x x x x a a+=⋅=， ∴原方程两根之和 =331--= ,两根之积 =15151-=-．3. (2021年广西玉林、防城港12分 )给定直线l ：y =kx ,抛物线C ：y =ax 2 +bx +1．(1 )当b =1时 ,l 与C 相交于A ,B 两点 ,其中A 为C 的顶点 ,B 与A 关于原点对称 ,求a 的值；(2 )假设把直线l 向上平移k 2 +1个单位长度得到直线r ,那么无论非零实数k 取何值 ,直线r 与抛物线C 都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②假设P 是此抛物线上任一点 ,过P 作PQ ∥y 轴且与直线y =2交于Q 点 ,O 为原点．求证：OP =PQ ．4. (2021年湖北鄂州12分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,一次函数5y x m 4=+的图象与x 轴交于A (﹣1 ,0 ) ,与y 轴交于点C ．以直线x =2为对称轴的抛物线C 1：y =ax 2 +bx +c (a≠0 )经过A 、C 两点 ,并与x 轴正半轴交于点B ．(1 )求m 的值及抛物线C 1：y =ax 2 +bx +c (a≠0 )的函数表达式．(2 )设点D (0 ,2512) ,假设F 是抛物线C 1：y =ax 2 +bx +c (a≠0 )对称轴上使得△ADF 的周长取得最|小值的点 ,过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1 (x 1 ,y 1 ) ,M 2 (x 2 ,y 2 )两点 ,试探究1211M F M F+是否为定值 ?请说明理由． (3 )将抛物线C 1作适当平移 ,得到抛物线C 2：()221y x h 4=-- ,h ＞1．假设当1＜x≤m 时 ,y 2≥﹣x 恒成立 ,求m 的最|大值．5. (2021年湖北咸宁12分 )如图 ,正方形OABC 的边OA ,OC 在坐标轴上 ,点B 的坐标为 (﹣4 ,4 )．点P 从点A 出发 ,以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发 ,以相同的速度沿x 轴的正方向运动 ,规定点P 到达点O 时 ,点Q 也停止运动．连接BP ,过P 点作BP 的垂线 ,与过点Q 平行于y 轴的直线l 相交于点D ．BD 与y 轴交于点E ,连接PE ．设点P 运动的时间为t (s )．(1 )∠PBD 的度数为 ▲ ,点D 的坐标为 ▲ (用t 表示 )；(2 )当t 为何值时 ,△PBE 为等腰三角形 ?(3 )探索△POE 周长是否随时间t 的变化而变化 ?假设变化 ,说明理由；假设不变 ,试求这个定值．6. (2021年湖北武汉12分 )如图 ,直线AB ：y kx 2k 4=++与抛物线21y x 2=交于A 、B 两点 , (1 )直线AB 总经过一个定点C ,请直接写出点C 坐标；(2 )当1k 2=-时 ,在直线AB 下方的抛物线上求点P ,使△ABP 的面积等于5；(3 )假设在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90° ,求点D 到直线AB 的最|大距离.7. (2021年湖北黄石10分 )如图 ,在矩形ABCD 中 ,把点D 沿AE 对折 ,使点D 落在OC 上的F 点 ,AO =8．AD =10．(1 )求F 点的坐标；(2 )如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点 ,我们把这条直线称为抛物线的切线 ,抛物线经过点O ,F ,且直线y =6x ﹣36是该抛物线的切线 ,求抛物线的解析式；(3 )直线()35y k x 34=--与 (2 )中的抛物线交于P 、Q 两点 ,点B 的坐标为 (3 ,354- ) ,求证：11PB QB +为定值． (参考公式：在平面直角坐标系中 ,假设M (x 1 ,y 1 ) ,N (x 2 ,y 2 ) ,那么M ,N 两点间的距离为|MN| =()()222121x x y y -+- )．8. (2021年湖南岳阳10分 )数学活动﹣求重叠局部的面积(1 )问题情境：如图① ,将顶角为120°的等腰三角形纸片 (纸片足够大 )的顶点P 与等边△ABC 的内心O 重合 ,OA =2 ,那么图中重叠局部△PAB 的面积为 ▲ ．(2 )探究1：在 (1 )的条件下 ,将纸片绕P 点旋转至|如图②所示位置 ,纸片两边分别与AC ,AB 交于点E ,F ,图②中重叠局部的面积与图①重叠局部的面积是否相等 ?如果相等 ,请给予证明；如果不相等 ,请说明理由．(3 )探究2：如图③ ,假设∠CAB =α (0°＜α＜90° ) ,AD 为∠CAB 的角平分线 ,点P 在射线AD 上 ,且AP =2 ,以P 为顶点的等腰三角形纸片 (纸片足够大 )与∠CAB 的两边AC ,AB 分别交于点E 、F ,∠EPF =180°﹣α ,求重叠局部的面积． (用α或2α的三角函数值表示 )9. (2021年湖南张家界12分 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,O 为坐标原点 ,抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点 ,B 、C 坐标分别为 (10 ,0 )和 (185 ,245- ) ,以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.(1 )求直线BC 的解析；(2 )求抛物线解析式及顶点坐标；(3 )点M 是⊙A 上一动点 (不同于O ,B ) ,过点M 作⊙A 的切线 ,交y 轴于点E ,交直线l 于点F ,设线段ME 长为m ,MF 长为n ,请猜测m n ⋅的值 ,并证明你的结论；(4 )点P 从O 出发 ,以每秒1个单位速度向点B 作直线运动 ,点Q 同时从B 出发 ,以相同速度向点C 作直线运动 ,经过t(0<t )秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形 ,请求出满足条件的t 值.10. (2021年江苏连云港14分 )某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究 ,AB =8.问题思考：如图1 ,点P 为线段AB 上的一个动点 ,分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE.(1 )在点P 运动时 ,这两个正方形面积之和是定值吗 ?如果时求出；假设不是 ,求出这两个正方形面积之和的最|小值.(2 )分别连接AD 、DF 、AF ,AF 交DP 于点A ,当点P 运动时 ,在△APK 、△ADK 、△DFK 中 ,是否存在两个面积始终相等的三角形 ?请说明理由.问题拓展：(3 )如图2 ,以AB 为边作正方形ABCD ,动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动 ,且PQ =8.假设点P 从点A 出发 ,沿A→B→C→D 的线路 ,向D 点运动 ,求点P 从A 到D 的运动过程中 ,PQ 的中点O 所经过的路径的长.(4 )如图 (3 ) ,在 "问题思考〞中 ,假设点M 、N 是线段AB 上的两点 ,且AM =BM =1 ,点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中 ,GH 的中点O 所经过的路径的长及OM +OB 的最|小值.11. (2021年江苏苏州10分 )如图 ,二次函数22y a x 2()mx 3m =-- (其中a ,m 是常数 ,且a>0 ,m>0 )的图象与x 轴分别交于点A ,B (点A 位于点B 的左侧 ) ,与y 轴交于点C(0 ,－3) ,点D 在二次函数的图象上 ,CD ∥AB ,连接AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ,AB 平分∠DAE ．(1 )用含m 的代数式表示a ；(2 ))求证：AD AE为定值； (3 )设该二次函数图象的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ,连接CF ,以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形 ?如果存在 ,只要找出一个满足要求的点G 即可 ,并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在 ,请说明理由．12. (2021年江苏宿迁附加10分)如图,抛物线y =ax2 +bx +c (a＞0 ,c＜0 )交x轴于点A ,B ,交y轴于点C ,设过点A ,B ,C三点的圆与y轴的另一个交点为D．(1 )如图1 ,点A ,B ,C的坐标分别为(﹣2 ,0 ) , (8 ,0 ) , (0 ,﹣4 )；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②假设点M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求△BDM面积的最|大值；(2 )如图2 ,假设a =1 ,求证：无论b ,c取何值,点D均为定点,求出该定点坐标．13. (2021年江苏扬州12分)矩形ABCD的一条边AD =8 ,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(1 )如图1 ,折痕与边BC交于点O ,连接AP ,OP ,OA.①求证：△OCP∽△PDA；②假设△OCP与△PDA的面积比为1:4 ,求边AB的长；(2 )假设图1中的点P恰巧是CD边的中点,求∠OAB的度数；(3 )如图2 ,在(1 )条件下,擦去折痕AO、线段OP ,连结BP. 动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合) ,动点N在线段AB的延长线上,且BN =PM ,连结MN交PB于点F ,作ME⊥BP于点E. 试问当点M ,N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?假设变化,说明理由；假设不变,求线段EF的长度.14. (2021年山东烟台10分)在正方形ABCD中,动点E ,F分别从D ,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC ,CB上移动．(1 )如图①,当点E自D向C ,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P ,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由；(2 )如图②,当E ,F分别移动到边DC ,CB的延长线上时,连接AE和DF , (1 )中的结论还成立吗? (请你直接答复"是〞或"否〞,不需证明)(3 )如图③,当E ,F分别在边CD ,BC的延长线上移动时,连接AE ,DF , (1 )中的结论还成立吗?请说明理由；(4 )如图④,当E ,F分别在边DC ,CB上移动时,连接AE和DF交于点P ,由于点E ,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图．假设AD =2 ,试求出线段CP的最|小值．15. (2021年四川攀枝花12分)如图,以点P (﹣1 ,0 )为圆心的圆,交x轴于B、C两点(B在C的左侧) ,交y轴于A、D两点(A在D的下方) ,AD =23,将△ABC绕点P旋转180° ,得到△MCB．(1 )求B、C两点的坐标；(2 )请在图中画出线段MB、MC ,并判断四边形ACMB的形状(不必证明) ,求出点M的坐标；(3 )动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转,到与BC重合时停止,设直线l与CM交点为E ,点Q为BE的中点,过点E作EG⊥BC于G ,连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?假设不变,求出∠MQG的度数；假设变化,请说明理由．16. (2021年湖南长沙10分 )如图 ,在平面坐标系中 ,直线y =﹣x +2与x 轴 ,y 轴分别交于点A ,点B ,动点P (a ,b )在第|一象限内 ,由点P 向x 轴 ,y 轴所作的垂线PM ,PN (垂足为M ,N )分别与直线AB 相交于点E ,点F ,当点P (a ,b )运动时 ,矩形PMON 的面积为定值2．(1 )求∠OAB 的度数；(2 )求证：△AOF ∽△BEO ；(3 )当点E ,F 都在线段AB 上时 ,由三条线段AE ,EF ,BF 组成一个三角形 ,记此三角形的外接圆面积为S 1 ,△OEF 的面积为S 2．试探究：S 1 +S 2是否存在最|小值 ?假设存在 ,请求出该最|小值；假设不存在 ,请说明理由．17. (2021年湖北孝感12分 )如图1 ,正方形ABCD 的边长为1 ,点E 在边BC 上 ,假设∠AEF =900 ,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．(1 )图1中假设点E 是边BC 的中点 ,我们可以构造两个三角形全等来证明AE =EF ,请表达你的一个构造方案 ,并指出是哪两个三角形全等 (不要求证明 )；(2 )如图2 ,假设点E 在线段BC 上滑动 (不与点B ,C 重合 )．①AE =EF 是否总成立 ?请给出证明；②在如图2的直角坐标系中 ,当点E 滑动到某处时 ,点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上 ,求此时点F 的坐标．18. (2021年浙江杭州12分 )如图 ,正方形ABCD 的边长为4 ,对称中|心为点P ,点F 为BC 边上一个动点 ,点E 在AB 边上 ,且满足条件∠EPF =45° ,图中两块阴影局部图形关于直线AC 成轴对称 ,设它们的面积和为S 1．(1 )求证：∠APE =∠CFP ；(2 )设四边形CMPF 的面积为S 2 ,CF =x ,12S y S =． ①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围 ,并求出y 的最|大值；②当图中两块阴影局部图形关于点P 成中|心对称时 ,求y 的值．19. (2021年浙江宁波14分 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,O 为坐标原点 ,点A 的坐标为 (0 ,4 ) ,点B 的坐标为 (4 ,0 ) ,点C 的坐标为 (﹣4 ,0 ) ,点P 在射线AB 上运动 ,连结CP 与y 轴交于点D ,连结BD ．过P ,D ,B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ,延长DQ 交⊙Q 于点F ,连结EF ,BF ．(1 )求直线AB 的函数解析式；①求证：∠BDE =∠ADP ；②设DE =x ,DF =y ．请求出y 关于x 的函数解析式；(3 )请你探究：点P 在运动过程中 ,是否存在以B ,D ,F 为顶点的直角三角形 ,满足两条直角边之比为2：1 ?如果存在 ,求出此时点P 的坐标：如果不存在 ,请说明理由．20. (2021年山东日照14分 ) ,如图(a) ,抛物线2y ax bx c =++经过点A(x 1 ,0) ,B(x 2 ,0) ,C(0 ,－2) ,其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ,过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N .∠ONE =30° ,12x x 8-= . (1 )求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2 )连结AD 、BD,在 (1 )中的抛物线上是否存在一点P ,使得△ABP 与△ADB 相似 ?假设存在 ,求出P 点的坐标；假设不存在 ,说明理由；(3 )如图(b ),点Q为EBF上的动点(Q不与E、F重合) ,连结AQ交y轴于点H ,问：AH·AQ是否为定值?假设是,请求出这个定值；假设不是,请说明理由.21. (2021年内蒙古包头12分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O ,点E是BC上的一个动点,连接DE ,交AC于点F．(1 )如图①,当CE1EB3=时,求CEFCDFSS∆∆的值；(2 )如图②当DE平分∠CDB时,求证：AF =2OA；(3 )如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G ,求证：CG =12 BG．22. (2021年广东珠海9分)如图,在Rt△ABC中,∠C =90° ,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′ ) ,当AP旋转至|AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC 于点E．(1 )求证：∠CBP =∠ABP；(3 )当CP3PE2=,BP′ =55时,求线段AB的长．23. (2021福建泉州14分)如图1 ,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A (﹣6 ,0 ) ,过点E (﹣2 ,0 )作EF∥AB ,交BO于F；(2 )过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；①根据上述语句,在图1上画出图形,并证明OH EO BG AE=；②过点G作直线GD∥AB ,交x轴于点D ,以圆O为圆心,OH长为半径在x轴上方作半圆(包括直径两端点) ,使它与GD有公共点P．如图2所示,当直线l绕点F旋转时,点P也随之运动,证明：OP1BG2=,并通过操作、观察,直接写出BG长度的取值范围(不必说理)；(3 )在(2 )中,假设点M (2 ,3) ,探索2PO +PM的最|小值．24. ( 2021年广西崇左12分)抛物线y =﹣x2平移后的位置如下图,点A ,B坐标分别为(﹣1 ,0 )、(3 ,0 ) ,设平移后的抛物线与y轴交于点C ,其顶点为D．(1 )求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；(2 )∠ACB和∠ABD是否相等?请证明你的结论；(3 )点P在平移后的抛物线的对称轴上,且△CDP与△ABC相似,求点P的坐标．25. (2021年湖北随州13分 )在平面直角坐标系xOy 中 ,矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴正半轴上 ,点P 在AB 上 ,PA =1 ,AO =2．经过原点的抛物线2y mx x n =-+的对称轴是直线x =2．(1 )求出该抛物线的解析式．(2 )如图1 ,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P 点处 ,两直角边恰好分别经过点O 和C ．现在利用图2进行如下探究：①将三角板从图1中的位置开始 ,绕点P 顺时针旋转 ,两直角边分别交OA 、OC 于点E 、F ,当点E 和点A 重合时停止旋转．请你观察、猜测 ,在这个过程中 ,PE PF 的值是否发生变化 ?假设发生变化 ,说明理由；假设不发生变化 ,求出PE PF的值． ②设 (1 )中的抛物线与x 轴的另一个交点为D ,顶点为M ,在①的旋转过程中 ,是否存在点F ,使△DMF 为等腰三角形 ?假设不存在 ,请说明理由．26. (2021年山东临沂11分 )如图 ,矩形ABCD 中 ,∠ACB =30° ,将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ,BD 的交点处 ,以点P 为旋转中|心转动三角板 ,并保证三角板的两直角边分别于边AB ,BC 所在的直线相交 ,交点分别为E ,F ．(1 )当PE ⊥AB ,PF ⊥BC 时 ,如图1 ,那么PE PF的值为 ▲ ； (2 )现将三角板绕点P 逆时针旋转α (0°＜α＜60° )角 ,如图2 ,求PE PF 的值；(3 )在(2 )的根底上继续旋转,当60°＜α＜90° ,且使AP：PC =1：2时,如图3 ,PEPF的值是否变化?证明你的结论．27. (2021年山东威海11分)操作发现将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF 的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30° ,点C落在BF上,AC与BD交于点O ,连接CD ,如图②．(1 )求证：△CDO是等腰三角形；(2 )假设DF =8 ,求AD的长．28. (2021年江苏南通13分)如图,在R t△ABC中,∠ACB =900 ,AC =3 ,BC =3 ,△DEF是边长为a (a 为小于3的常数)的等边三角形,将△DEF沿AC方向平移,使点D在线段AC上,D E∥AB ,设△DEF与△ABC 重叠局部的周长为T .(1 )求证：点E到AC的距离为一常数；(2 )假设AD =14,当a =2时,求T的值；(3 )假设点D运动到AC的中点处,请用含a的代数式表示T .29. (2021年江苏盐城12分)阅读材料：如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB =∠EDF =900 ,且点D 在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO ,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD ,那么BF =CD .解决问题：(1 )将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图② ,猜测此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论；(2 )如图③ ,假设△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1 )中结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由；如果不成立,请求出BF与CD之间的数量关系；(3 )如图④ ,假设△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB =∠EDF =α ,请直接写出BFCD的值(用含α的式子表示出来) .30. (2021年河南省10分)如图1 ,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C =900 ,∠B =∠E =300.(1 )操作发现如图2 ,固定△ABC ,使△DEC绕点C旋转 .当点D恰好落在BC边上时,填空：①线段DE与AC的位置关系是▲ ；②设△BDC的面积为S1 ,△AEC的面积为S2 .那么S1与S2的数量关系是▲ .(2 )猜测论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜测(1 )中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC ,CE边上的高,请你证明小明的猜测.(3 )拓展探究∠ABC =600 ,点D是其角平分线上一点,BD =CD =4 ,OE∥AB交BC于点E (如图4 ) ,假设在射线BA上存在点F ,使S△DCF=S△BDC,请直接写出．．．．相应的BF的长31. (2021年辽宁本溪12分)在△ABC中,∠ACB =90° ,∠A＜45° ,点O为AB中点,一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合,一边OE经过点C ,另一边OD与AC交于点M．(1 )如图1 ,当∠A =30°时,求证：MC2 =AM2 +BC2；(2 )如图2 ,当∠A≠30°时, (1 )中的结论是否成立?如果成立,请说明理由；如果不成立,请写出你认为正确的结论,并说明理由；(3 )将三角形ODE绕点O旋转,假设直线OD与直线AC相交于点M ,直线OE与直线BC相交于点N ,连接MN ,那么MN2 =AM2 +BN2成立吗?答：▲ (填"成立〞或"不成立〞)32. (2021年广西南宁10分)如图,抛物线y =ax2 +c (a≠0 )经过C (2 ,0 ) ,D (0 ,﹣1 )两点,并与直线y =kx交于A、B两点,直线l过点E (0 ,﹣2 )且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N．(1 )求此抛物线的解析式；(2 )求证：AO =AM；(3 )探究：①当k =0时,直线y =kx与x轴重合,求出此时11AN BN+的值；②试说明无论k取何值,11AN BN+的值都等于同一个常数．33. (2021上海市14分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB =90° ,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC ,OE⊥AC ,垂足分别为D、E．(1 )当BC =1时,求线段OD的长；(2 )在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由；(3 )设BD =x ,△DOE的面积为y ,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域．34. (2021海南省13分)如图,顶点为P (4 ,－4 )的二次函数图象经过原点(0 ,0 ) ,点A在该图象上,OA交其对称轴l于点M ,点M、N关于点P对称,连接AN、ON(1 )求该二次函数的关系式.(2 )假设点A的坐标是(6 ,－3 ) ,求△ANO的面积.(3 )当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动,请解答以下问题：①证明：∠ANM =∠ONM②△ANO 能否为直角三角形 ?如果能 ,请求出所有符合条件的点A 的坐标 ,如果不能 ,请说明理由.35. (2021浙江义乌12分 )如图1 ,直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A (3 ,6 )． (1 )求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；(2 )点P 为抛物线第|一象限内的动点 ,过点P 作直线PM ,交x 轴于点M (点M 、O 不重合 ) ,交直线OA 于点Q ,再过点Q 作直线PM 的垂线 ,交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值 ?如果是 ,求出这个定值；如果不是 ,说明理由；(3 )如图2 ,假设点B 为抛物线上对称轴右侧的点 ,点E 在线段OA 上 (与点O 、A 不重合 ) ,点D (m ,0 )是x 轴正半轴上的动点 ,且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时 ,符合条件的E 点的个数分别是1个、2个 ?36. (2021江苏常州10分 )在平面直角坐标系xOy 中 ,动点P 在正比例函数y =x 的图象上 ,点P 的横坐标为m (m ＞0 ) .以点P 为圆心 5m 为半径的圆交x 轴于A 、B 两点 (点A 在点B 的左侧 ) ,交y 轴于C 、D 两点 (D 点在点C 的上方 ) .点E 为平行四边形DOPE 的顶点 (如图 ) .(1 )写出点B 、E 的坐标 (用含m 的代数式表示 )；(2 )连接DB 、BE ,设△BDE 的外接圆交y 轴于点Q (点Q 异于点D ) ,连接EQ 、BQ .试问线段BQ 与线段EQ 的长是否相等 ?为什么 ?(3 )连接BC ,求∠DBC－∠DBE的度数.37. (2021江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG ,过点A作CG的平行线交线段GH于点P ,连接PD.正方形ABCD的边长为1cm ,矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x (s ) ,线段GP的长为y (cm ) ,其中.⑴试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1 ,△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.38. (2021江苏宿迁12分)(1)如图1 ,在△ABC中,BA =BC ,D ,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=12∠ABC(0°＜∠CBE＜12∠ABC) .以点B为旋转中|心,将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC ,得到△BE ,A(点C与点A重合,点E到点E ,处) ,连接DE , .求证：DE , =DE.(2 )如图2 ,在△ABC中,BA =BC ,∠ABC =90° ,D ,E是AC边上的两点,且满足∠DBE =12∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE2 =AD2 +EC2.39. (2021福建泉州12分)：A、B、C不在同一直线上.(1 )假设点A、B、C均在半径为R的⊙O上,i )如图一,当∠A =45°时,R =1 ,求∠BOC的度数和BC的长度；ii )如图二,当∠A为锐角时,求证sin∠A = BC2R；(2 ).假设定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN (B、C均与点A不重合)滑动,如图三,当∠MAN =60° ,BC =2时,分别作BP⊥AM ,CP⊥AN ,交点为点P ,试探索：在整个滑动过程中,P、A两点的距离是否保持不变?请说明理由.40. (2021湖南益阳12分)：如图1 ,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G ,且BE =1．(1 )求证：△ABE≌△BCF；(2 )求出△ABE和△BCF重叠局部(即△BEG )的面积；(3 )现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′ (如图2 ) ,使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠局部的面积是否发生了变化?请说明理由．41. (2021湖南岳阳8分) (1 )操作发现：如图① ,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合) ,连接DC ,以DC为边在BC上方作等边△DCF ,连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论．(2 )类比猜测：如图② ,当动点D运动至|等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1 )相同,猜测AF 与BD在(1 )中的结论是否仍然成立?(3 )深入探究：Ⅰ．如图③ ,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC ,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′ ,连接AF、BF′ ,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④ ,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?假设不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论．42. (2021湖南衡阳10分)如下图,抛物线的顶点为坐标原点O ,矩形ABCD的顶点A ,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F ,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2 ,1 ) ,点P (a ,b )在抛物线上运动．(点P异于点O )(1 )求此抛物线的解析式．(2 )过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R ,①求证：PF =PR；②是否存在点P ,使得△PFR为等边三角形?假设存在,求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由；③延长PF交抛物线于另一点Q ,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S ,试判断△RSF的形状．43. (2021湖南株洲8分)如图,在△ABC中,∠C =90° ,BC =5米,AC =12米．M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒；同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒．运动时间为t秒．(1 )当t为何值时,∠AMN =∠ANM ?(2 )当t 为何值时 ,△AMN 的面积最|大 ?并求出这个最|大值．44. (2021四川成都12分 ) 如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,一次函数5y=x+m 4 (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3- ,0) ,与y 轴交于点C ．以直线x =1为对称轴的抛物线2y=ax +bx+c (a ,b ,c 为常数 ,且a≠0)经过A ,C 两点 ,并与x 轴的正半轴交于点B ．(1 )求m 的值及抛物线的函数表达式；(2 )设E 是y 轴右侧抛物线上一点 ,过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ,使得以A ,C ,E ,F 为顶点的四边形是平行四边形 ?假设存在 ,求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；假设不存在 ,请说明理由；(3 )假设P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最|小值的点 ,过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于()()111222M x y M x y ，，，两点 ,试探究1212M P M P M M ⋅是否为定值 ,并写出探究过程．45. (2021四川自贡12分 )如下图 ,在菱形ABCD 中 ,AB =4 ,∠BAD =120° ,△AEF 为正三角形 ,点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动 ,且E 、F 不与B ．C ．D 重合．(1 )证明不管E 、F 在BC ．CD 上如何滑动 ,总有BE =CF ；(2 )当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时 ,分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化 ?如果不变 ,求出这个定值；如果变化 ,求出最|大 (或最|小 )值．46. (2021辽宁本溪12分 ) ,在△ABC 中 ,AB =AC .过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ ,直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B 、点C 重合 ) ,△BMN 的边MN 始终在直线a 上 (点M 在点N 的上方 ) ,且BM =BN ,连接CN .(1 )当∠BAC =∠MBN =90°时 ,①如图a ,当θ =45°时 ,∠ANC 的度数为_______；(2 )如图c ,当∠BAC =∠MBN≠90°时 ,请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系 ,不必证明 .47. (2021辽宁沈阳14分 ) ,如图 ,在平面直角坐标系中 ,点A 坐标为(－2 ,0) ,点B 坐标为 (0 ,2 ) ,点E 为线段AB 上的动点(点E 不与点A ,B 重合) ,以E 为顶点作∠OET =45° ,射线ET 交线段OB 于点F ,C 为y 轴正半轴上一点 ,且OC =AB ,抛物线y =2-x 2 +mx +n 的图象经过A ,C 两点.(1 ) 求此抛物线的函数表达式；(2 ) 求证：∠BEF =∠AOE ；(3 ) 当△EO F 为等腰三角形时 ,求此时点E 的坐标；(4 ) 在 (3 )的条件下 ,当直线EF 交x 轴于点D ,P 为 (1 ) 中抛物线上一动点 ,直线P E 交x 轴于点G ,在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ,使得△EPF 的面积是△EDG 面积的 (122+ ) 倍.假设存在 ,请直接．．写出点P 的坐标；假设不存在 ,请说明理由． 温馨提示：考生可以根据题意 ,在备用图中补充图形 ,以便作答.。

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

页眉内容(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编压轴题4127.（2011山东淄博24，分）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x 交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。

专题：计算题。

分析：（1）把C的坐标代入求出c的值，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可求出抛物线的解析式；（2）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，当M在OA上，N在OB 上时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，求出N的横坐标，求出ND、MD，根据勾股定理求出m即可．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），代入得：c=﹣2，∴y=ax2+bx﹣2，把A（﹣2，﹣2），B（2，2）代入得：2422 2422a ba b-=--⎧⎨=+-⎩，解得：121ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y=12x2+x﹣2，答：抛物线的解析式是y=12x2+x﹣2．（2）解：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形．理由如下：∵M、N在直线y=x上，∴OP=PM，OQ=QN，只有M在OA上，N在OB上时，ON=OM时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，过M作MC⊥y轴于C，交NQ的延长线于D ，∵M点的横坐标为m，∴N的横坐标是﹣m，MD=ND=|2m|，由勾股定理得：（2m）2+（2m）22=，∵m＜0，m=12 -．答：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，m的值是12 ．点评：本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能用待定系数法求二次函数的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此题的关键．128.（2011•山西）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11.4），动点P在线段OA上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C﹣B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t ＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为．（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．考点：二次函数综合题。

中考压轴题中函数之一次函数问题，选择、填空和解答三种题型都有，内容主要包括一次函数关系式的建立，一次函数图象的分析，一次函数的应用三方面的内容。

一. 一次函数关系式的建立：原创模拟预测题1.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y kx b(b0)=+>与y轴交于点B，∠BCA=60°，连接AB，∠α=105°，则直线y kx b=+的表达式为【】A．3y x53=+ B．y3x5=+ C．y3x5=- D．3y x53=-+原创模拟预测题2.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y x1=-，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，0）且与直线=-+垂直的直线l6的函数表达式。

y5x6（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，=-+垂直的直线l6的函数表达式为∴过点（1，0）且与直线y5x611=-。

y x55二. 一次函数图象的分析：原创模拟预测题3.小明、小亮从学校出发到体育场参加乒乓球训练，小明步行9分钟后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小亮出发时间t（分）之间的函数关系如图所示。

下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小明速度的2.5倍；③a=16；④b=480。

其中正确的是【】A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D。

中考数学专题复习——压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （2） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. （08浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．y x O B CA T yx O BC A T4.（08山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=xk(k>0)与直线y=k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ； （2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y=xk(k>0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A.P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. （2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. P图 3BD 图 2 B图 1A BCD ER P H Q7.(2008浙江义乌)如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值． 8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4． ①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.10.(2008山东烟台)如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.11.2008淅江宁波)2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时． （1）求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.(2008淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．的短边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B '处，铺平后得折痕AE ；第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ． 则:AD AB 的值是 ，AD AB ，的长分别是 ， ．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示．（4）已知梯形MNPQ 中，MN PQ ∥，90M =o∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．14．（2008山东威海）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xky =的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为．AB CD BC ADE GHF FE B '4开2开8开16图1图2图3a C D A BE F NM友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标； （3） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．图117.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60o后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1619.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB 5sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.y ODEC FA B21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根: (1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CM CN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由22.(2008年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. ACO BNDML`23.(天津市2008年)已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(2008年大庆市)如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △；（3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .25. （2008年上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=o，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．DCBAEFGGF EABCD ①②（1）设BE x ，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．26. （2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30o的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学．点B 在点M 的北偏西30o 的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60o 的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道建设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． B ADME C图13 B ADC 备用图28.（2008年江苏省南通市）已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线kyx=上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E，交BD 于点C.（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.DBC E NOAMyx29.（2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）P'图②A Q CPB图①A Q CPB图1压轴题答案1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，=====所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且AO BO BD BE ==所以AOB DBE ∆∆:.2. (1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)， ∴381032OAB tan =-=∠，∴︒=∠60OAB当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´， ∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥， ∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=︒-=，)t 10(21AT 21AP P A -==='， ∴2TPA )t 10(83TP P A 21S S -=⋅'=='∆， 当A ´与B 重合时，AT=AB=460sin 32=︒，所以此时10t 6<≤.(2)当点A ´在线段AB 的延长线，且点P 在线段AB(不与B 重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E 是TA ´与CB 的交点)， 当点P 与B 重合时，AT=2AB=8，点T 的坐标是(2，又由(1)中求得当A ´与B 重合时，T 的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t 2<<.(3)S 存在最大值 ○1当10t 6<≤时，2)t 10(83S -=， 在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小，∴当t=6时，S 的值最大是32.○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ， ∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----=34)2t (83)28t 4t (8322+--=++-=当t=2时，S 的值最大是34；○3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅=综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<. 3. 解：（1）Q Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．Q 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=o Q ，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=g ．（2）QR AB Q ∥，90QRC A ∴∠=∠=o．C C ∠=∠Q ，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =． A BCD ER P H QM 2 11290∠+∠=o Q ，290C ∠+∠=o ，1C ∴∠=∠． 84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==Q ， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．4. 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ． ∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ． ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ．HQA B CD E R PHQB图 1BD 图 2Q∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分 （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-． (10)分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-km）(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ 一定是平行四边形②可能是矩形，mn=k 即可不可能是正方形，因为Op 不能与OA 垂直.解：（1）作BE ⊥OA ， P图 4BP 图 3∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=∴B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得3k =-,的以直线AB 的解析式为4y x =+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA==6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得k =, 以直线AB的解析式为4y =+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=+,∴32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(2,72) (3)设OP=x,则由（2）可得D(,22x x +)若ΔOPD的面积为：1(2)224x x +=g解得：x =7. 解:(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分 ②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形 ∴ BC CD =，CG CE =， 090BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分∴BCG DCE ∆≅∆ （SAS ）………………………………………………………1分∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴BC CG bDC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆:………………………………………………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= ………………………………………………1分 ∴22654BE DG += ………………………………………………………………………1分 8. 解：（1）①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==，4OC =，S 梯形OABC=12 ……………………………………………2分②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积 2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分 （2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …（每个点对各得1分）……5分 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： ① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴Rt ODE ∆Q 在中，2OE OD =∴，设2OD b OE b ==，.1Rt ODE Rt PPD ∆≈∆，（图示阴影） 4b ∴=，28b =，在上面二图中分别可得到P 点的生标为P （－12，4）、P （－4，4）E 点在0点与A 点之间不可能；② 以点E 为直角顶点同理在②二图中分别可得P 点的生标为P （－83，4）、P （8，4）E 点在0点下方不可能.以点P 为直角顶点同理在③二图中分别可得P 点的生标为P （－4，4）（与①情形二重合舍去）、P （4，4）， E 点在A 点下方不可能.综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22b y b x -=-+，令4y =得3(8,4)2bP -．由已知可得2PE DE =222232(8)(42)42b b b b -+-=+2332640b b -+=解得121883b b P P ==∴=3b，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -； 第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即2222(48)(42)4b b b b -+-=+22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =2222844b b +=+12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）．综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak h-=，则P 点的情形如下直角分类情形 1k ≠1k =P ∠为直角1(,)P h h1(,)P h h -2(,)P h h -E ∠为直角3(,)1hkP h k -+ 2(,)2h P h -4(,)1hk P h k - D ∠为直角5((1),)P h k h -+3(0,)P h 6((1),)P h k h --4(2,)P h h -9.10.11. 解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米，由题意得1201023x x+=， ·················································································· 2分解得180x=．A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． ·········································· 4分 （2）1.8180282380⨯+⨯=（元），∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． ······················· 6分 （3）设这批货物有y 车，由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=， ··················································· 8分 整理得2604160y y -+=，解得18y =，252y =（不合题意，舍去）， ······················································· 9分∴这批货物有8车． ······················································································ 10分12. 解：（114a ，． ········································································· 3分（2 ·············· 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分） （3）设DG x =，在矩形ABCD 中，90B C D ∠=∠=∠=o，90HGF ∠=o Q ，90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠o ，HDG GCF ∴△∽△，12DG HG CF GF ∴==， 22CF DG x ∴==． ····················································································· 6分 同理BEF CFG ∠=∠． EF FG =Q ， FBE GCF ∴△≌△，14BF CG a x ∴==-． ·················································································· 7分CF BF BC +=Q ，1244x a x a ∴+-=， ················································································· 8分解得x =．即14DG a =． ······················································································· 9分 （4）2316a ， ······························································································· 10分2278a -． 12分13. 解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分 （2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DGME AG AE =． ∴ ME ＝x 34． …………………………………………………………6分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分 （3）能． ……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4．∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．14. 解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ． 解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，A B E FGH A B E F G H再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）． ∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1∴y =x 2-2x -3 ····················································································· 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ········································································ 4分解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ··································································· 3分自变量范围：-1≤x ≤3 ····················································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ， 在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ··········································· 6分∴切线CE 的解析式为3x3y +=·················································· 8分(3)设过点D (0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y =kx -3(k ≠0) ······················ 9分由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根，∴k =-2 ······································· 11分∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ·············································· 12分16.解：（1）6OP t =-，23OQ t =+．（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1， 则53DQ QO ==，43QC =，1CD ∴=，(13)D ∴，． （3）①PQ 能与AC 平行． 若PQ AC ∥，如图2，则OP OAOQ OC=， 即66233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤， 149t ∴=．②PE 不能与AC 垂直．若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，则233t QF OQ AC OC +==．23QF t ⎫∴=+⎪⎭．图1。

2012年各地中考数学压轴题精选61~70_解析版 61.【2012吉林】 26.问题情境如图，在x 轴上有两点(,0)A m ,(,0)B n （0n m >>）.分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线2y x =于点C 、点D .直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ,点E 、点F 的纵坐标分别记为.E y 、Fy .特例探究 填空： 当1m =,2n =时，.E y =____,F y =______.当3m =,5n =时，.E y =____,F y =______.归纳证明对任意m ,n （0n m >>）,猜想.E y 与Fy 的大小关系，并证明你的猜想拓展应用.若将“抛物线2y x =”改为“抛物线2(0)y ax a =>”,其它条件不变，请直接写出.E y 与Fy 的大小关系.连接EF ，AE ．当.3OFEOFEB S S =△四边形时，直接写出m 和n 的关系及四边形OFEA 的形状．[答案] 特例探究2,2；15,15.归纳证明 猜想E Fy y =.证明（略）拓展应用(1)E Fy y =.(2)四边形OFEA 是平行四边形．[考点] 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行四边形的判定.[解析] 特例探究当1m =,2n =时，(1,1)C ，(2,4)D ，所以直线OC 的解析式为：y x =；直线OD 的解析式为：2y x =；此时解2x y x =⎧⎨=⎩，得(2,2)2E E y ⇒=.解12x y x =⎧⎨=⎩，得(1,2)2F F y ⇒=. 所以，此时122E F y y ==⨯=当3m =,5n =时，(3,9)C ，(5,25)D ，所以直线OC 的解析式为：3y x =；直线OD 的解析式为：5y x =；此时解53x y x =⎧⎨=⎩，得(5,15)15E E y ⇒=.解35x y x =⎧⎨=⎩，得(3,15)15F F y ⇒=.所以，此时3515E F y y ==⨯=归纳证明 猜想：对任意m ,n （0n m >>）,都有：E Fy y =.证明：对任意m ,n （0n m >>）时，2(,)C m m ，2(,)D n n ，所以直线OC 的解析式为：y mx =；直线OD 的解析式为：y nx =；此时解x ny mx =⎧⎨=⎩，得(,)E E n mn y mn ⇒=.解x m y nx =⎧⎨=⎩，得(,)F F n mn y mn ⇒=. 所以，此时E F y y mn==.拓展应用(1)若将“抛物线2y x =”改为“抛物线2(0)y ax a =>”,其它条件不变，仍然有：E Fy y =.此时，2(,)C m am ，2(,)D n an ，所以直线OC 的解析式为：y amx =；直线OD 的解析式为：y anx =；此时解x n y amx =⎧⎨=⎩，得(,)E E n amn y amn ⇒=.解x my anx =⎧⎨=⎩，得(,)F F n amn y amn ⇒=.62.【2012济南】28．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），∴933030a ba b-+=⎧⎨-+=⎩，解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=2 2．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=221310 +=．如答图1所示，连接O1B、O1B，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=22BC=5．（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x= -2．又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（-4，3）．又∵点M为BD中点，B（-1，0），∴M（52-，32），∴BM=22533 [(1)]()2 222---+=；在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=2，BC=10，PC=25．∵△BMN∽△BPC，∴==BM BN MNBP BC PC，即32221025==BN MN，解得：3102=BN，MN35=．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：2222223(1)(10)253()()(35)22x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩， 解之得，117232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221292x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴点N 的坐标为（72，32-）或（12，92-）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N 有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N 的坐标．63.【2012达州】23．如图1，在直角坐标系中，已知点A （0，2）、点B （－2，0），过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D 的坐标为（ ），点E 的坐标为（ ）.（2）若抛物线2y ax bx c(a 0)=++≠经过A 、D 、E 三点，求该抛物线的解析式. （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围.②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.【答案】解：（1）D （－1，3），E （－3，2）。

2014年中考数学压轴题解题技巧（完整版）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得8=16a+4b0=64a+8b 解得a=-12,b=4∴抛物线的解析式为：y=-12x2+4x …………………3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=12AP=12t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+12t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-12（4+12t）2+4(4+12t）=-18t2+8. …………………5分∴EG=-18t2+8-(8-t) =-18t2+t.∵-18＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t1=163， t2=4013，t38525．…………………11分中考数学《三类押轴题》专题训练第一类：选择题押轴题1. 如果关于x 的一元二次方程2kx 2k 1x 10++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】 A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜12且k ≠0【题型】方程类代数计算。

2. （2008武汉市3分）下列命题： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 【题型】方程、等式、不等式类代数变形或计算。

预测2014年中考数学压轴题第一章在函数图象中，点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题例2 2012年苏州市中考第29题例3 2012年黄冈市中考第25题例4 2010年义乌市中考第24题例5 2009年临沂市中考第26题例6 2008年苏州市中考第29题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例2 2012年扬州市中考第27题例3 2012年临沂市中考第26题例4 2011年湖州市中考第24题例5 2011年盐城市中考第28题例6 2010年南通市中考第27题例7 2009年江西省中考第25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题例2 2012年广州市中考第24题例3 2012年杭州市中考第22题例4 2011年浙江省中考第23题例5 2010年北京市中考第24题例6 2009年嘉兴市中考第24题例7 2008年河南省中考第23题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题例2 2012年福州市中考第21题例3 2012年烟台市中考第26题例4 2011年上海市中考第24题例5 2011年江西省中考第24题例6 2010年山西省中考第26题例7 2009年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2011年义乌市中考第24题例5 2010年杭州市中考第24题例7 2009年广州市中考第25题1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题例2 2012年菏泽市中考第21题例3 2012年河南省中考第23题例4 2011年南通市中考第28题例5 2010年广州市中考第25题例6 2010年扬州市中考第28题例7 2009年兰州市中考第29题1.7 因动点产生的相切问题例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题例2 2012年河北省中考第25题例3 2012年无锡市中考第28题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 2013年天津市中考第25题例2 2012年滨州市中考第24题例3 2012年山西省中考第26题第二章图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2013年宁波市中考第26题例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2012年连云港市中考第26题例4 2010年上海市中考第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 2013年菏泽市中考第21题例2 2012年广东省中考第22题例3 2012年河北省中考第26题例4 2011年淮安市中考第28题例5 2011年山西省中考第26题例6 2011年重庆市中考第26题第三章图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例2 2013年南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 2013年江西省中考第24题第一章 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1动感体验请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．思路点拨1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方． 4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值．满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--． 整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）．所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+．所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+． 因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．例 2 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB ′A ′B 是等腰梯形时，四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB ′A ′B 是等腰梯形时，四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．思路点拨1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．2．联结PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．3．过点向x 轴作垂线，四边形PB ′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 3 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD 达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PC sin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x=+与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE=．所以sin AEO∠=．因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此sin ACP∠=将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得4230, 1643 3.a ba b--=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以221sin 4)1)2PD PC ACP PC m m m =∠==-++=-．所以PD （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而211cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 4 2011年南通市中考第28题如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线my x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，当直线MN 经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，MN ＝4MP 存在两种情况．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S △AMN ＝4S △AMP 转化为MN ＝4MP ，按照点M 与线段NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p = ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．思路点拨1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E 在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由12y x b=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b=-+．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E 在AB 上运动，从y 随x 变化的图象可以体验到，当F 在AC 上时，y 随x 的增大而增大；当F 在BC 上时，y 随x 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y 的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF 平分△ABC 的周长，拖动点E ，观察图象，可以体验到，“面积AEF ”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。