[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷9.doc

考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（二次型）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知实二次型／=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则( )A．A是正定矩阵。

B．A是可逆矩阵。

C．A是不可逆矩阵。

D．以上结论都不对。

正确答案：B解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATA x=(Ax)T(Ax)。

因为实二次型f正定，所以对任意x≠0,f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。

所以选B。

知识模块：二次型2．设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )A．xT(A+B)x。

B．xTA一1x。

C．xTB一1x。

D．xTABx。

正确答案：D解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。

设APj=λjPj，则，A一1的n个特征值必都大于零，这说明A一1为正定阵，xTA一1x为正定二定型。

同理，xTB一1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT(A+B)x 为正定二次型。

由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。

知识模块：二次型3．设A，B均为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( ) A．A一1+B一1。

B．AB。

C．A*+B*。

D．2A+3B。

正确答案：B解析：A，B为正定矩阵，则A一1，B一1仍是正定矩阵，故A一1+B一1也是正定矩阵。

类似地，选项C、D中的矩阵均为正定矩阵。

故应选B。

事实上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩阵。

考研数学二（选择题）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价无穷小正确答案：D解析：先改写其中，则。

故选D。

知识模块：函数、极限、连续2．设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( ) A．ln3—1。

B．一ln3—1。

C．一ln2—1。

D．ln2—1。

正确答案：C解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。

在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。

故选C。

知识模块：一元函数微分学3．设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )A．C=P—1APB．C=PAP—1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。

这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。

考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。

知识模块：矩阵4．设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A．2．B．一1．C．．D．一2正确答案：D解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选D．知识模块：一元函数微分学5．对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( ) A．0。

B．1。

C．2。

D．以上都不正确。

正确答案：C解析：由f’(0)=1可知f(x)在x=0处连续。

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．正确答案：因为x2+x3+o(x3)，cosx=x2+o(x3)，从而x2-x2+x3-x3+o(x3)=1+x2-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用2．求e-x2带皮亚诺余项的麦克劳林公式．正确答案：把t=-x2代入et=1+t++o(tn)(t→0)即得e-x2=1-x2+o(x2n)(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用3．求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．正确答案：由于(arctanx)’==1-x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得arctanx=∫0x=∫0x(1-t2+t4)dt+o(x6)=x-x3+x5+o(x6)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．求极限正确答案：因x4+o(x4)，cosx-ex2=-(1+x2)+o(x2)=x2+o(x2)．又sinx2～x2(x →0)，所以涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．正确答案：利用ex2=1+x2++o(x5)，sinx=x-+o(x6)，可得f(x)=x-[a+b+bx2+x4+o(x5)]+o(x6)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)．不难看出当1-a-b=0与-b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=，并且得到f(x)=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设0＜x＜正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式cosx=1-x4cos(θx)，0＜θ＜1，可得1-cosx=x2(x2cosθx)．注意当0＜x＜，故涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b.正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈[0，1]，∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+f’’(ξ)(x-c)2，(*)其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(-c)+f’’(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+f’’(ξ2)(1-c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)-f(0)=f’(c)+[f’’(ξ2)(1-c)2-f’’(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)-f(0)+[f’’(ξ1)c2-f’’(ξ2)(1-c)2]，两端取绝对值并放大即得｜f’(c)｜≤2a+b[(1-c)2+c2]≤2a+b(1-c+c)=2a+b．其中利用了对任何c∈(0，1)有(1-c)2≤1-c，c2≤c，于是(1-c)2+c2≤1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用9．设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ)．正确答案：将f(x)在x0=展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得其中ξ1，ξ2∈(a，b)．上面两式相减得f(b)-f(a)=[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)](b-a)3．注意：[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)]介于f’’’(ξ1)与f’’’(ξ2)之间，由导函数取中间值定理，可得∈(a，b)，使得因此得证．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(x)=tanx(x3)；(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．正确答案：(Ⅰ)设tanx=A+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx为奇函数，A0=0，A2=0)，又tanx=，则[A1x+A3x3+o(x3)][1-x2+o(x3)]=x-x3+o(x3)，即A1x+(A3-A1)x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．比较系数可得A1=1，A3-A1=A1=1，A3=因此tanx=x+x3+o(x3)．(Ⅱ)已知sinu=u-a3+o(u3)(u→0)，令u=sinxsin(sinx)=sinx-sin3x+(sin3x)．再将sinx=x-x3+o(x3)，代入得sin(sinx)=x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用11．求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(x)=(Ⅱ)f(x)=exsinx．正确答案：通过求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)及f(n+1)(x)而得．(Ⅰ)由f(x)=，可得对m=1，2，3，…有f(m)(x)=2(-1)mm!f(m)(0)=2(-1)mm!．故f(x)=1-2x+2x2-…+2(-1)nxn+2(-1)n+1(Ⅱ)用归纳法求出f(n)(x)的统一公式．可归纳证明f(n)(x)=，n=1，2，…，因此涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用12．用泰勒公式求下列极限：正确答案：(Ⅰ)用et，ln(1+t)，cost，sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0展开．由于xcosx=x[1-x2+o(x2)]=x-x3+o(x3)，sinx=x-x3+o(x3)，因此，xcosxsinx=x3+o(x3)=x3+o(x3)．再求分子的泰勒公式．由x2e2x=x2[1+(2x)+o(x)]=x2+2x3+o(x3)，ln(1-x2)=-x2+o(x3)，x2e2x+ln(1-x2)=2x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由ln(1+x)=x-x2+o(x2)(x→0)，令x=，即得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用13．用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：(Ⅰ)(Ⅱ)∫0x(et-1-t)2dt．正确答案：(Ⅰ)=x2+o(x2)，因此当x→0时是x的二阶无穷小量．(Ⅱ)因et-1-t=t2+o(t2)，从而(et-1-t)2=[ t2+o(t2)]2=t4+o(t4)，代入得∫0x)(et-1-t)2dt=x5+o(x5)．因此x→0时∫0x(et-1-t)2dt是x的五阶无穷小量．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用14．设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0，｜f’’’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．正确答案：分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形．1)当x＞1时考察二阶泰勒公式f(x+1)=f(x)+f’(x)+(x＜ξ＜x+1)，f(x-1)=f(x)-f’(x)+f’’’(η)(x-1＜η＜x)，两式相加并移项即得f’’(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+[f’’’(η)-2f’’’(ξ)]，则当x＞1时有｜f’’(x)｜≤4M0+M3．2)当0＜x≤1时对f’’(x)用拉格朗日中值定理，有f’’(x)=f’’(x)-f’’(1)+f’’(1)=f’’’(ξ)(x-1)+f’’(1)，其中ξ∈(x，1)．｜f’’(x)｜≤｜f’’’(ξ)｜｜x-1｜+｜f’’(1)｜≤M3+｜f’’(1)｜(x∈(0，1]).综合即知f’’(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用15．设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)，f(x)=f(1)+f’(1)(x-1)+f’’(ξ2)(x-1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取x=并利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得f’’(ξ1)-f’’(ξ2)=8｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ2)｜≥8．故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f’’(ξ)｜≥4．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用16．设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：正确答案：这里m=1，求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得f’(x0+θh)=f’(x0)+f’’(x0)θh+f(3)(x0)(θh)2+…+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)=f’(x0)+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0)，代入原式得(x0+h)-f(x0)=hf’(x0)+f(n)(x0)θn-1hn+o(hn) ①再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)h+…+f(n)(x0)hb+o(hn)=f’(x0)h+f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)，②将②代入①后两边除以hn得令h→0，得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用17．求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=(x3)；(Ⅲ)f(x)=，其中a＜0 (x2)．正确答案：(Ⅰ)ex=1+x+x3+o(x3)，cosx=1-x2+o(x3)，相乘得excosx=1+x+x3+o(x3)=1+x-x3+o(x3)．(Ⅱ)f(x)=[1-x+x2-x3-(1+2x+(2x)2+(2x)3)+o( x3)]=(-3x-3x2-9x3)+o(x3)=-x-x2-3x3+o(x3)．(Ⅲ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用18．求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=sin3x；(Ⅱ)f(x)=xln(1-x2)．正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用19．确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=ex-1-x-xsinx；(Ⅱ)f(x)=cosx-1．正确答案：(Ⅰ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1+x++o(x3)-1-x-x3+o(x3)，所以x→0时ex-1-x-xsinx是x的3阶无穷小．(Ⅱ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1-x4+o(x4)，所以x→0时cosx+cosx-1是x的4阶无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用20．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)(用泰勒公式)由于当x→0时分母是x3阶的无穷小量，而当x →0时ex=1+x++o(x3)，sinx=x-+o(x3)，从而当x→0时，exsinx=x+x2+x3+o(x3)，exsinx-x(1+x)=x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由于f(x)=arctanx在点x=0有如下导数因此当x →0时f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’’(0)x3+o(x3)，arctanx=x-x3+o(x3)arctanx-sinx=x3+o(x3)，ex2-1=1+x2++o(x4)-1=x2+o(x3)，ln(1+x)=x-+o(x2)，[ln(1+x)]2==x2-x3+2xo(x2)-x2o(x2)++[o(x2)]2=x2-x3+o(x3)，[ln(1+x)]2-ex2+1=-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用21．确定常数a和b的值，使得正确答案：(用泰勒公式)因为ln(1-2x+3x2)=-2x+3x2-(-2x+3x2)2+o((-2x+3x2)2)=-2x+3x2-2x2+o(x2)=-2x+x2+o(x 2)，于是可以改写为由此即得a-2=0，b+1=6，故a=2，b=5．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用22．设f(x)=x2sinx，求f(n)(0)正确答案：f(x)=x2+o(x2n+2)，f(2n+1)(0)=(-1)n-1.(2n+1)!=(-1)n-1(2n+1)2n，n=1，2，…f(2n)(0)=0，n=1，2，…，f(1)(0)=0．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用23．设f(x)在x=0处二阶可导，又I==1，求f(0)，f’(0)，f’’(0)．正确答案：由题设易知，[ef(x)-1]=0，且＞0，0＜｜x｜＜δ时f(x)≠0．进一步有=f(0)=0．由ef(x)-1～f(x)，cosx-1～x2(x→0)．用等价无穷小因子替换．原条件改写成=1．由极限与无穷小关系得，x→0时=1+o(1)，(o(1)为无穷小)，即xf(x)=x2+o(x2) (x→0)．由泰勒公式唯一性得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=.2!=-1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用24．设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．正确答案：f(x)在x=a可展开成f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+…+f(n)(a)(x-a)n+o((x-a)n)(x→a)．由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小(a)=f’(a)=…=f(n-1)(a)=0，f(n)(a)≠0．又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导，f(n-1)(x)在x=a可导．由g(x)=f’(x)在x=a处n-1阶可导g(x)=g(a)+g’(a)(x-a)+…+g(n-1)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)，即f’(x)=f’(a)+f’’(a)(x-a)+…+f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)=f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)．因此f’(x)是x-a的n-1阶无穷小(x→a)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用25．设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．正确答案：f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+f’’’(a)(x-a)3+f(4)(a)(x-a)4+o((x-a)4)=f(4)(a)(x-a)4+o ((x-a)4)=(x-a)4[ f(4)(a)+o(1)]其中o(1)为无穷小量(x→a时)，因此，＞0，当0＜｜z-a｜＜δ时因此f(4)(a)＞0(＜0)时f(a)为极小(大)值．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用26．设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．正确答案：相交与相切即f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)．若又有曲率相同，即亦即｜f’’(x0)｜=｜g’’(x0)｜．由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)=g’’(x0)=0或f’’(x0)与g’’(x0)同号，于是f’’(x0)=g’’(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率f(x0)-g(x0)=0，f’(x0)-g’(x0)=0，f’’(x0)-g’’(x0)=0．f(x)-g(x)=f(x0)-g(x0)+[f(x)-g(x)]’｜x=x0(x-x0)+[f(x)-g(x)]’’｜x=x0(x-x0)2+o(x-x0)2=o((x-x0)2) (x→x0)．即当x→x0时f(x)-g(x)是比(x-x0)2高阶的无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷2一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

0 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1/2，0)．1 试求曲线L的方程；2 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．2 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．3 求曲线y=f(x)的方程；4 已知曲线y=sinx在上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．5 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线Y=x相切于原点．记a为曲线f在点(x,y，)处切线的倾角，若da/dx=dy/dx,求y(x)的表达式．6 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．7 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．8 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?9 某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少? 注：kg 表示千克，km／h表示千米／小时．10 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为κ(κ>0)．试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(ν)．11 某湖泊的水量为V1，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排人湖泊中含A 污水的浓度不超过m0／V．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中A的浓度是均匀的．)11 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕，，轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分．)12 根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；13 求曲线x=φ(y)的方程.。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程与差分方程）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

12 设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )（A）C1y1+C2y2+y3．（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．（C）C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．（D）C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．3 如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设C1与C2是任意常数，则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是( )的解．（A）)y”+y’+y2=0．（B）y”+y’+2y=1．（C）（D）x+y+∫0x y(t)dt=1．4 设是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( )5 设y1(x)和y2(x)是微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由y1(x)，y2(x)能构成该方程的通解的充分条件为( )．（A）y1(x)y’2(x)一y’1(x)y2(x)=0．（B）y1(x)y’2(x)-y2(x)y’1(x)≠0．（C）y1(x)y’2(x)+y’1(x)y2(x)=0．（D）y1(x)y'2(x)+y2(x)y’1(x)≠0．6 微分方程y"-y=e x+x的特解形式为y*=( )（A）Ae x+Bx．（B）Axe x+Bx+C．（C）Ae x+Bx+C（D）Axe x+Bx2+C．7 微分方程y”+4y=cos 2x的特解可设为y*=( )（A）Acos 2x．（B）Axcos 2x．（C）x(Acos 2x+Bsin 2x)．（D）Acos 2x+Bsin 2x．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8 解下列一阶微分方程．9 求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)(y+x3)dx一2xdy=0，且(2)x2y’+xy=y2，且y|x=1=1；(3)xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)，且y|x=1=0；(4)10 设y=e x是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解．11 求满足方程f’(x)+xf’(一x)=x的f(x)．12 已知f(x)连续，且满足∫01f(ux)du=，求f(x)．13 如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数，且F(x)G(x)=一1,f(0)=1，求f(x)．14 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知求L的方程．15 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1)求曲线L的方程；(2)求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L及两坐标轴所围图形的面积最小16 求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．17 求解下列微分方程：(1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0；(4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．18 设可微函数f(x)满足方程求f(x)的表达式．19 按要求求下列一阶差分方程的通解或特解． (1)求y x+1-2y x=2x的通解； (2)求y x+1一2y x=3x2满足条件y x(0)=0的解； (3)求2y x+1+10y x一5x=0的通解．20 求下列可降阶的高阶微分方程的通解． (1)x2y”=(y’)2+2xy’；(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)；(3)1+yy”+(y’)2=0；(4)y”=1+(y’)2．21 求下列微分方程的初值问题．22 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．23 已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2一2x)y”一(x2一2)y’+(2x一2)y=6x一6的解，求此方程的通解．24 求微分方程y"+4y’+4y=e ax的通解，其中a是常数．25 求微分方程y"+2y’+y=xe x的通解．26 设有方程y”+(4x+e2y)(y’)3=0． (1)将方程转化为x为因变量，y作为自变量的方程； (2)求上述方程的通解．27 求微分方程y”+a2y=sin x的通解，其中常数a＞0．28 求方程y"+4y=3|sinx|满足初始条件．一π≤x≤π的特解．29 求微分方程y”+y=x+cosx的通解．30 设函数y=y(x)满足微分方程 y"-3y’+2y=2e x，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．31 设f(x)为连续函数，且f(x)=sinx一∫0x(x一t)ft)dt，求f(x)．32 利用代换将y"cos x-2y’sin x+3ycos x=e x化简，并求原方程的通解．33 设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．34 设函数f(x)连续，且满足f(x)=e x+∫0x tf(t)dt一x∫0x f(t)dt，求f(x)的表达式·35 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f'(x)]cos ydy 与积分路径无关，求f(x)．36 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)-Ax)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)．37 设y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x是某三阶常系数齐次线性微分方程的解，试确定该微分方程的形式.38 已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x，y3=xe x+e2x—e-x是某二阶线性非齐次方程三个解，求此微分方程．39 求解欧拉方程x3y"'+x2y”一4xy’=3x2．。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于32 (03年)已知是微分方程的表达式为3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．（B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．（C）y*=(ax2+bx+c+Asinx．（D）y*=ax2+bx+c+Acosx．4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是（A）y"一y’一2y=3xe x．（B）y"-y’一2y=3e x．（C）y”+y’一2y=3xe x．（D）y"+y'-2y=3e x．5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（A）y"'+y"-4y’-4y=0．（B）y"'+y"+4y’+4y=0．（C）y"'一y”一4y’+4y=0．（D）y"'-y"+4y’一4y=0．6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为（A）a(eλx+e-λx)．（B）ax(eλx+e-λx)．（C）x(aeλx+be-λx)．（D）x2(aeλx+be-λx)．8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’=（A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（B）Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（C）Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．（D）Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．二、填空题9 (04年)微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1=的特解为_______．10 (05年)微分方程xy’+2y=3xlnx满足y(1)=的解为______．11 (06年)微分方程的通解是_______．12 (07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y"一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．13 (08年)微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=______．14 (10年)3阶常系数线性齐次微分方程y"'一2y"+y’一2y=0的通解为y=_______．15 (11年)微分方程y’+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=________．16 (12年)微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=______．17 (13年)已知y1=e3x一xe3x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y'|x=0=1的解为y=______．18 (15年)设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则y(x)=______．19 (16年)以y=x2一e x和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为__________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（填空题）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1.1．若f(x)=是(-∞，+∞)上的连续函数，则a=_______．正确答案：1解析：知识模块：函数、极限、连续2．[x]表示不超过x的最大整数，则=______。

正确答案：2解析：因为，所以当x＞0时，；当x＜0时，。

又由，利用夹逼准则可知，。

知识模块：函数、极限、连续3．设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(5)+∫05f(t)dt=______．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学4．求由方程2χ2＋2y2＋z2＋8χz－z＋8＝0所确定的函数z＝f(χ，y)的极值点_______．正确答案：(－2，0)为极小点，(，0)为极大点涉及知识点：多元函数微积分5．设y=sinx2．则=________．正确答案：解析：用微分的商来求．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△的线性部分为0．15，则f’(1)=_________．正确答案：解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y 的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)= 知识模块：一元函数微分学7．=__________.正确答案：2解析：运用洛必达法则，知识模块：一元函数微分学8．设y=则y’=___________．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学9．=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分概念、计算及应用10．=_______正确答案：ln︳2x+3︳+5ln︳x-3︳+C解析：因为知识模块：一元函数积分学11．设f(x)连续，且f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|x|)，则f’(1)=________．正确答案：2 涉及知识点：高等数学12．设=___________．正确答案：a解析：f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理．然后再计算极限．∫xx+af(t)dt=f(ξx)．a，ξx介于x，x+a之间，所以．知识模块：一元函数积分学13．设f(x)在[0，+∞)上非负连续，且f(x)｜f(x-t)dt=2x3，则f(x)=_______．正确答案：2x解析：∫0xf(x—t)dt∫x0f(u)(-du)=∫0xf(u)du，令F(x)=∫0xf(u)du，由f(x)∫0xf(x-t)dt=2x3，得f(x)∫0xf(u)du=2x3，即=2x3，则F2(x)=x4+C0．因为F(0)=0，所以C0=0，又由F(x)≥0，得F(x)=x2，故f(x)=2x．知识模块：高等数学部分14．满足f’(x)+xf’(一x)=x的函数f(x)=____________．正确答案：ln(1+x2)+x—arctanx+C，其中C为任意常数解析：在原方程中以(一x)代替x得f’(一x)一xf’(x)=一x，与原方程联立消去f’(一x)项得f’(x)+x2f’(x)=x+x2，所以f’(x)=，积分得f(x)=ln(1+x2)+x一arctan x+C，其中C为任意常数．知识模块：微分方程15．微分方程y’tanx=ylny的通解是___________．正确答案：y=eCsinx，其中C为任意常数解析：原方程分离变量，有积分得ln|lny|=ln|sinx|+lnC1．故通解为lny=Csinx(C=±C1)，即y=eCsinx，其中C为任意常数．知识模块：微分方程16．设A=，则(A-2E)-1=_______．正确答案：解析：A-2E= 知识模块：线性代数部分17．设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为______．正确答案：(1，0，0)T解析：设A=(α1，α2，α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T. 知识模块：向量组的线性关系与秩18．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝0，Aki≠0，则AX＝0的通解为_______．正确答案：C(Ak1Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．解析：因为｜A｜＝0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而r(A)＝n－1，AX＝0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*＝｜A｜E ＝O，所以A*的列向量为方程组AX＝0的解向量，故AX＝0的通解为C(Ak1Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．知识模块：线性方程组19．设n阶矩阵则|A|=_______．正确答案：(一1)n-1(n一1)解析：知识模块：线性代数20．正确答案：1解析：知识模块：高等数学部分21．设z＝f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学22．＝_______．正确答案：解析：知识模块：重积分23．微分方程xy’=(x＞0)的通解为________正确答案：lnx+C解析：知识模块：常微分方程24．设，则f’(x)=____________。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷8(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为( )．A．ae2x+bx+cB．ax2e2x+bx+cC．axe2x+bx2+cxD．axe2x+bx+c正确答案：D解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2．y’’-4y=e2x 的特解形式为y=axe2x，y’’-4y=x的特解形式为y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)．知识模块：常微分方程2．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为( )．A．y’’’-y’’-y’+y=0B．y’’’+y’’-y’-y=0C．y’’’+2y’’-y’-2y=0D．y’’’-2y”-y’+2y=0正确答案：A解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)．知识模块：常微分方程3．设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．A．C[φ1(x)+φ2(x)]B．C[φ1(x)-φ2(x)]C．C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)D．[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)正确答案：C解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．知识模块：常微分方程填空题4．yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的解为______正确答案：±x解析：令y’=p，则，解得In(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=+C2=±x，由y(0)=1得C2=0，所以特解为知识模块：常微分方程5．微分方程y’’+4y=4x-8的通解为_______正确答案：C1cosx+C2sin2x+x-2．解析：微分方程两个特征值为λ1=-2i，λ2=2i，则微分方程的通解为y=C1cosx+C2sin2x+x-2．知识模块：常微分方程6．设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y’’-6y’+9y=e3x，则y(x)=________正确答案：解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’-6y’+9y=e3x的特征方程为λ2-6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y’’-6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代人得a=故通解为y=(C1+C2x)e3x+由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+ 知识模块：常微分方程7．微分方程2y’’=3y2满足初始条件y(-2)=1，y’(-2)=1的特解为_________正确答案：解析：令y’=p，则y’’=，解得p2=y3+C1，由y(-2)=1，y’(-2)=1，得C1=0，所以y’=，再由y(-2)=1，得C2=0，所求特解为= 知识模块：常微分方程8．微分方程xy’=的通解为________正确答案：ln｜x｜+C解析：由xy’= 知识模块：常微分方程9．设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=______，该微分方程的通解为_______正确答案：-12x2-34x-19，C1e-4x+C2e2+x2+3x+2解析：显然λ=-4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2+λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x2+3x+2为特征方程y’’+y’-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19，且通解为y=C1e-4x+C2e2+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．知识模块：常微分方程10．以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为______正确答案：-sinx-3cosx，y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y’’+y’-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．知识模块：常微分方程11．设y’’-3y’+ay=-5e-x的特解形式为Axe-x，则其通解为______正确答案：y=C1e-x+C2e4x+xe-x解析：因为方程有特解Axe-x，所以-1为特征值，即(-1)2-3×(-1)+a=0a=-4，所以特征方程为λ2-3λ-4=0λ1=-1，λ2=4，齐次方程y’’-3y’+ay=0的通解为y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e-x+C2e4x+xe-x 知识模块：常微分方程12．设f(x)可导，且[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=________正确答案：e-x解析：由整理得f(x)+f(u)du=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x 知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则( )A．a=1，b=1，c=1．B．a=1，b=1，c=一2．C．a=一3，b=一3，c=0．D．a=一3，b=1，c=1．正确答案：B解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，则a=1；x为非齐次方程的解，将y=x 代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选B．知识模块：常微分方程2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )A．y’’’+y’’一4y’一4y=0．B．y’’’+y’’+4y’+4y=0．C．y’’’一y’’一4y’+4y=0．D．y’’’一y’’+4y’一4y=0．正确答案：D解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程有根r=1，r=±2i，所以特征方程为(r一1)(r一2i)(r+2i)=0，即r3一r2+4r一4=0．因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分程为y’’’一y’’+4y’一4y=0．知识模块：常微分方程3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)g(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1’一μy2’)+p(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)g(x)，那么λ一μ=0．综上所述．知识模块：常微分方程4．方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为( )A．y=axex+b+Aexeos2x．B．y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．C．y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)．D．y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．正确答案：C解析：齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为r2一3r+2=0．r2—3r+2=0．特征根为r1=1，r2=2，则方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+exx(Acos2x+Bsin2x)，故选C．知识模块：常微分方程5．设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为知识模块：常微分方程6．微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Beosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0．特征根为λ=±i，对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1=ax2+bx+c，对于方程y’’+y=sinx-Im(eik)，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．知识模块：常微分方程7．微分方程y’’一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )A．a(eλx+e-λx)．B．ax(eλx+e-λx)．C．x(aeλx+be-λx)．D．x2(aeλx+be-λx)．正确答案：C解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0，其特征根为r1,2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1’’=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe-λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(aeλx+be-λx)，因此选C．知识模块：常微分方程8．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )A．C[y1(x)一y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B解析：由于y1(x)一y2(x)是对应齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=C[y1(x)一y2(x)]，故原方程的通解为y=y1(x)+Y=y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]，故应选B．知识模块：常微分方程9．设f(x)具有一阶连续导数f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+[sinx一f(x)]dy，则f(x)等于( )A．cosx+sinx一1．B．．C．cosx一sinx+xex．D．cosx一sinx+xe-x．正确答案：B解析：由du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]dy知知识模块：常微分方程填空题10．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_____________．正确答案：解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即知识模块：常微分方程11．微分方程xy’+2y=sinx满足条件的特解为____________．正确答案：解析：将已知方程变形整理得，知识模块：常微分方程12．微分方程y’’一4y=e2x的通解为y=_____________．正确答案：解析：对应齐次微分方程的特征方程为r2一4=0，解得r1=2，r2=一2．故y’’一4y=0的通解为y1=C1e-2x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数．由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解为知识模块：常微分方程13．微分方程y’+y=e-xcosx；满足条件y(0)=0的解为_________________.正确答案：y=e-xsinx解析：原方程的通解为=e-x(∫cosxdx+C)=e-x(sinx+C)?由y(0)=0得C=0，故所求解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程14．微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为_________．正确答案：y=e-x(C1cosx+C2sin2x)解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0．解得则原方程的通解为y=e-x(C1cosx+C2sin2x)．知识模块：常微分方程15．若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________.正确答案：ex解析：由已知，特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，该齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x．再由f’’(x)+f(x)=2ex，解得2C1ex一3C2e-2x=2ex，可知C1=1，C2=0．故f(x)=ex．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为____________．正确答案：解析：原方程可等价为知识模块：常微分方程17．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y｜x=1=1的解为___________．正确答案：x=y2解析：对原微分方程变形可得此方程为一阶线性微分方程，所以又y=1时x=1，解得C=0，因此x=y2．知识模块：常微分方程18．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：解析：由，两边积分，得ln｜y｜=一In｜x｜+C，代入条件y(1)=1，得C=0．所以知识模块：常微分方程19．三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=___________．正确答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0．解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x,cosx，sinx．因此通解为y=C1e2c+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．知识模块：常微分方程20．微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0的通解是y=___________．正确答案：x(一e-x+C)解析：微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0，可变形为所以其通解为知识模块：常微分方程21．微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足的通解为____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。