期中试卷答案

2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，字形、字音完全正确的一项是（）A. 纷至沓来（dá）B. 恣意妄为（zì）C. 畸形发展（jī）D. 奋发图强（tuó）2. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 这个花园里种满了各种各样的花草，有玫瑰、月季、牡丹等。

B. 通过这次活动，使我明白了团结协作的重要性。

C. 他的学习成绩一直名列前茅，这是他勤奋努力的结果。

D. 这本书的内容很丰富，深受广大读者的喜爱。

3. 下列词语中，不属于成语的一项是（）A. 画龙点睛B. 举世闻名C. 雕梁画栋D. 惊天动地4. 下列句子中，运用了比喻修辞手法的一项是（）A. 他的笑声像春天的阳光一样温暖。

B. 那座山像一条巨龙卧在平原上。

C. 小明聪明伶俐，学习成绩优异。

D. 她的歌声如泉水般清脆。

5. 下列诗句中，表达了作者对大自然的热爱之情的一项是（）A. 白日依山尽，黄河入海流。

B. 春风又绿江南岸，明月何时照我还？C. 会当凌绝顶，一览众山小。

D. 桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情。

6. 下列句子中，使用了夸张修辞手法的一项是（）A. 这本书的内容非常丰富，让人爱不释手。

B. 他的歌声高亢激昂，仿佛能穿透云霄。

C. 这条河的水清澈见底，犹如一面明镜。

D. 她的笑声清脆悦耳，仿佛能让人陶醉。

7. 下列句子中，运用了拟人修辞手法的一项是（）A. 那朵花在阳光下绽放出美丽的笑容。

B. 这座山像一位慈祥的老人，静静地屹立在那里。

C. 小鸟在树枝上欢快地唱着歌。

D. 那条小河在夕阳的照耀下波光粼粼。

8. 下列词语中，不属于同义词的一项是（）A. 欢快B. 快乐C. 高兴D. 欣喜9. 下列句子中，使用了排比修辞手法的一项是（）A. 春天来了，万物复苏，大地一片生机勃勃。

B. 他努力学习，成绩优异，品行端正。

C. 那片湖水碧绿，清澈见底，如同一块巨大的翡翠。

D. 那只小鸟在枝头欢快地跳跃，仿佛在跳舞。

四年级第一学期语文期中考试试卷（含答案）班级：______ 姓名：______ 成绩：______一、基础知识。

（40 分）1. 看拼音，写词语。

（10 分）kuān kuò dùn shí pàn wàng gǔn dòng zhú jiàn （）（）（）（）（）zhuāng jia pú tao fēng sú tiào yuè yóu rú （）（）（）（）（）2. 给下列加点字选择正确的读音，打“√”。

（6 分）闷．雷（mēn mèn）运载．（zǎi zài）踮．脚（diǎn diàn）投降．（xiáng jiàng）弯曲．（qū qǔ）家雀．儿（qiǎo què）3. 把下列词语补充完整，并选择合适的词语填空。

（8 分）若（）若（）人（）人（）风平（）（）山（）地（）齐头（）（）（）（）鼎沸（1）元宵节到了，广场上（），热闹极了。

（2）海面上（），没有一丝波纹。

4. 按要求写句子。

（8 分）（1）浪潮越来越近，犹如千万匹白色战马齐头并进，浩浩荡荡地飞奔而来。

（仿写比喻句）______________________________________________________（2）沟水汩汩，很满意地响着。

（仿写拟人句）______________________________________________________（3）是谁来呼风唤雨呢？当然是人类。

（仿写设问句）______________________________________________________（4）他的话没有完全错。

（改为肯定句）______________________________________________________5. 积累与运用。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，哪个是质数？A. 15B. 23C. 28D. 492. 已知 a + b = 10，a - b = 2，那么 a 的值是多少？A. 6B. 8C. 5D. 73. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形4. 在直角三角形中，若直角边分别为3和4，则斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 下列哪个数不是有理数？A. √9B. -√16C. 0.25D. √-16. 下列哪个函数是单调递增函数？A. y = x^2B. y = 2x - 1C. y = -xD. y = x^37. 下列哪个方程的解是 x = 3？A. 2x + 1 = 7B. x - 3 = 5C. 3x - 2 = 7D. x + 2 = 58. 下列哪个数是负数？A. -2B. 0C. 2D. -1/29. 下列哪个图形是平行四边形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形10. 下列哪个数是偶数？A. 7B. 9C. 10D. 12二、填空题（每题2分，共20分）11. 2的平方根是__________，3的立方根是__________。

12. 如果 a = 5，那么 a^2 - a + 1 的值是__________。

13. 在数轴上，点 A 表示的数是 -3，点 B 表示的数是 2，那么线段 AB 的长度是__________。

14. 如果一个等腰三角形的底边长是 8，那么腰的长度是__________。

15. 下列哪个数是正数？__________，__________，__________。

16. 下列哪个数是有理数？__________，__________，__________。

17. 下列哪个数是实数？__________，__________，__________。

18. 下列哪个数是整数？__________，__________，__________。

2023-2024学年山西省大同市浑源县三年级（上）期中数学试卷一、认真思考，细心填写。

（每空1分，共21分）1．（2分）18的6倍是 　，　　是6的12倍。

2．（2分）最小的三位数乘最大的一位数得 ，最大的三位数乘2得 　。

3．（3分）在横线上填上合适的数。

1500克＝ 千克 克5千克﹣3000克＝　　克4．（1分）一根绳子长6米，正好绕一张长方形的桌子边缘一圈，这张桌子面的周长是 米．5．（2分）84是4的 　倍；从66里面连续减去 　个6，正好减完。

6．（8分）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。

2时 200分732×3 3×732250×4 240×50×234 0+2344时 240分101×4 4001千克 500克8千克 8000克7．（1分）一块正方形菜地，边长是80米，沿它的四周有一条小路，小明沿小路跑了3圈，一共跑了 米。

8．（1分）一根铁丝正好围成一个边长是4厘米的正方形，如果把它改围成一个长是6厘米的长方形，这个长方形的宽是 厘米．9．（1分）去年在北京举办的冬奥会，中国共获得9枚金牌，4枚银牌，获得的银牌数是铜牌数的2倍，中国一共获得了 　枚奖牌。

二、反复比较，慎重选择。

（将正确答案的序号填在括号里）（每题2分，共12分）10．（2分）在如图的竖式中，8和3相乘表示（ ）A ．8×3B ．80×3C ．800×311．（2分）一瓶洗衣液净含量是5000克，如果把这瓶洗衣液放在盘秤上称一称，盘秤上会显示（ ）A ．5千克B ．比5千克重C ．比5千克轻12．（2分）这张图甲、乙两部分的周长（ ）A．一样长B．甲长C．乙长13．（2分）在“6千克、6600克、6060克”中，最大的是（ ）A．6千克B．6060克C．6600克14．（2分）下面说法正确的是（ ）A．三位数乘一位数，积可能是四位数。

2023-2024学年上海市浦东新区高二数学上学期期中试卷2023.11（考试时间90分钟，满分100分）一、填空题（每小题3分，共36分）1．公理2：不在同一直线上的点确定一个平面.2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.3．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在垂直.4．已知球的半径为3，则该球的体积为.5．一个圆柱的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为2cm .6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为.7．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是.8．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成60︒角.9．若空间三条直线a c ⊥，b c ⊥，则a ，b 的位置关系是.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小是.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，其所在的直线与直线1BA 成异面直线的共有条.12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑()bienao ．已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面,2ABC MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为．二、选择题（每小题3分，共12分）13．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．设m ，n 是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,m n αα⊂，则//m nC ．若//,//m n n α，则//m αD ．若//,,m n m n αα⊄⊂，则//m α15．如图，A 、B 、C 、D 是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．异面D ．垂直16．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A ．B ．C D 三、解答题17．正四棱柱1111ABCD A B C D -，的底面边长2AB =，若异面直线1A A 与1B C 所成角的大小为1arctan2，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积和体积.18．如图，正三棱锥-P ABC 的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥-P ABC 的表面积；（2）求正三棱锥-P ABC 的体积.19．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形//AD BC ，AB BC ⊥，1AB AD ==，2BC =，PB ⊥平面ABCD ，1PB =.（Ⅰ）求证：CD PD ⊥；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的表面积.20．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为2．(1)求该圆锥的侧面积；(2)设OA OB 、为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为AB 的中点，求二面角P AB O --的大小（用反三角表示）21．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：平面MND ⊥平面PCD ．1．三##3【分析】根据公理2判断可得；【详解】解：公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面故答案为：三2．两条相交【分析】根据直线与平面垂直的判定定理得解；【详解】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.故答案为：两条相交3．平面上的射影【分析】由三垂直线定理及其逆定理可得答案.【详解】解：由三垂线定理得：平面上的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也与这条斜线垂直；由三垂线定理的逆定理得：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它与这条斜线在平面上的射影垂直；所以平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直，故答案为：平面上的射影.4．36π【分析】根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为球的半径3R =，所以球的体积334433633V R πππ==⨯=；故答案为：36π5．24π【分析】由圆柱的侧面积公式计算可得答案.【详解】解：圆柱的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为23424ππ⨯⨯=2cm ，故答案为：24π.6．3π##60︒【分析】根据线面角的定义计算可得；【详解】解：因为斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，记这条斜线和这个平面所成的角为θ，则1cos 2θ=，因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=故答案为：3π7．10【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可【详解】因为正四棱柱底面边长为1，高为2，所以它的表面积为21141210⨯⨯+⨯⨯=，故答案为：108．（3）（4）##(4)(3)【分析】还原正方体ABCD EFGH -，结合图形即可判断（1）（2）（3），再连接AH ，AC ，则AHC ∠为异面直线CH 与直线BG 所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角；【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD EFGH -，可得AF 与ED 为异面直线，故（1）错误；CH 与DE 为异面直线，故（2）错误；直线BG 与直线DE 是异面直线，故（3）正确；连接AH ，AC ，由正方体的性质可得//AH BG ，所以AHC ∠为异面直线CH 与直线BG 所成的角，因为AHC为等边三角形，所以60AHC ∠=︒，即直线CH 与直线BG 所成角为60︒，故（4）正确；故答案为：（3）（4）．9．平行，相交或异面【分析】根据空间直线的位置关系判断可得；【详解】解：因为空间三条直线a c ⊥，b c ⊥，所以a 与b 的位置关系是平行，相交或异面；故答案为：平行，相交或异面10．4π##45︒【分析】利用正方体的几何性质以及二面角的定义找到对应的平面角，在三角形中求解即可．【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥，又AB BC ⊥，所以1A BA ∠是平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在直角1ABA △中，14ABA π∠=，所以平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小是4π．故答案为：4π．11．6【解析】根据几何体依次写出与直线1BA 成异面的直线即可得解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，其所在的直线与直线1BA 成异面直线如下：111111,,,,,AD DC DD B C C D C C ，一共6条.故答案为：6【点睛】此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线1BA 成异面的直线.12．12π．【分析】证明BC BM ⊥，可得MC 是外接球的直径，求得长度后可球表面积．【详解】因为MA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以MA BC ⊥，同理MA AC ⊥，又AB BC ⊥，AB MA A = ，,AB MA ⊂平面MAB ，所以BC ⊥平面MAB ，又MB ⊂平面MAB ，所以BC MB ⊥，所以MC 的中点O 到,,,M A B C 四点距离相等，为四面体M ABC -外接球球心，又由已知得AC ==MC =所以外接球表面积为2412S ππ=⨯=．故答案为：12π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径．三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．13．B【分析】找出“两条直线没有公共点”的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】“两条直线没有公共点”⇔“两条直线平行或异面”，所以，“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要非充分条件.故选：B.14．D【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若//,//m n αα，则m 与n 相交，平行或异面，故A 错误；对于B 中，若//,m n αα⊂，则m 与n 平行或异面，故B 错误；对于C 中，若//,//m n n α，则m 有可能在平面α内，故C 错误；对于D 中，若//,,m n m n αα⊄⊂，由直线与平面平行的判定定理，可得//m α，所以D 是正确的．故选：D 15．A【分析】如图，延长GM 到N,使12MN GM=,连接AN,DN.由AB 和DC 分别平行于正方体的两条相交的对角线，从而得AB 与DC 相交．【详解】如图，延长GM 到N,使12MN GM=,连接AN,DN.//AB FM ，AN ∥FM,∴A,B,N 三点共线，同理D,C,N 三点共线，AB ∴与DC 相交，故选：A ．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．A【分析】将正四面体放入正方体中，可得正方体的棱长为，求出正方体外接球的体积即为正四面体外接球的体积.【详解】如图将棱长为1的正四面体11B ACD -放入正方体1111ABCD A B C D -中，且正方体的棱长为1cos 452⨯=，所以正方体的体对角线162AC =，所以正方体外接球的直径12R AC =，所以正方体外接球的体积为3344πππ3348R ⎛=⨯= ⎝⎭，因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为π8，故选：A.17．3216S V ==，.【分析】首先根据异面直线所成的角，求1BB ，再求正四棱柱的侧面积和体积.【详解】11//AA BB ，∴面直线1A A 与1B C 所成角是1CB B ∠，111tan 2BC CB B BB ∴∠==，2BC AB == ，14BB ∴=，∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积42432S =⨯⨯=，体积22416V =创=.18．（1）；（2）3.【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥-P ABC 的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥-P ABC 的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =⋅=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥-P ABC 的侧面积是3PBC S =△∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△.则正三棱锥-P ABC 的表面积为（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .且1333OD AD ==.在Rt POD 中，PO .∴正三棱锥-P ABC 的体积为133ABC S PO ⋅=△.【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）62+.【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，易求得CD BD ⊥，又由PB ⊥平面ABCD ，得PB CD ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到CD ⊥平面PBD ，即可得到CD PD ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得PCD S ∆=，进而根据PB ⊥平面ABCD ，得到,,PAD PBA PCD ∆∆∆，PCD ∆都为直角三角形，分别求得,,,PAD PAB PBC ABCD S S S S ∆∆∆梯形的面积，即可求解．【详解】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，易求CD BD PD PA ====2,BC CD BD =∴⊥ .PB ⊥ 平面，,ABCD PB CD ∴⊥，又,PB BD B CD ⋂=∴⊥平面PBD ，又PD ⊂平面,PBD CD PD ∴⊥，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1622PCD S ∆=.又//,,DA BC BC AB PB ⊥⊥ 平面ABCD ，,,PAD PBA PCD ∴∆∆∆都为直角三角形.1,,122PAD PAB PBC S S S ∆∆∆∴===，所以32ABCD S ∴=梯形.∴四棱锥P ABCD -的表面积为6213626122222++++=.【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及准确计算几何体中每个面的面积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．20．(1)8π(2)arc 【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出圆锥的母线，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解；（2）如图，由题意可得PM AB ⊥、OM AB ⊥，则PMO ∠为二面角P AB O --所成角.在Rt POM 中，解三角形即可求解.【详解】（1）由题意知，OP ⊥平面OAB ，OB ⊂平面OAB ，所以OP ⊥OB ，所以圆锥的母线4l =，所以圆锥的侧面积π8πS lr ==；（2）如图，连接PM ，M 为AB 的中点，PA PB =，则PM AB ⊥，又OAB 为等腰三角形，OA OB =，所以OM AB ⊥，所以PMO ∠为二面角P AB O --所成角.在等腰直角OAB 中，2OA OB ==，所以OM =在Rt POM 中，OP OM =tan OP PMO OM ∠=所以arctan PMO ∠==.21．（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，可证//NE PD ，//EM DA ，从而面//NEM 面PDA ，即可证明//MN 平面PAD ；（2）证明MN CD ⊥，由PM MC =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，可证MN PC ⊥，CD PC C = ，可知MN ⊥平面PCD ，从而得证．【详解】证明：（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，//NE PD ∴，//EM DA又NE ⊄面PDA ，PD ⊂面PDA ，所以//NE 面PDA又ME ⊄面PDA ，AD ⊂面PDA ，所以//ME 面PDA因为NE ME E = ，,NE ME ⊂面NEM∴平面//NEM 平面PDA ，因为MN ⊂面NEM//MN ∴平面PAD ；（2） 底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，CD PA ∴⊥，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PADCD \^平面PAD ，PD ⊂ 平面PADCD PD ∴⊥，//EN PDEN CD∴⊥又CD EM ⊥ ，EM EN E = CD \^平面ENMMN CD∴⊥,,PA AD BC AD AM MB===PM MC ∴=，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，MN PC ∴⊥，CD PC C = ，,CD PC ⊂面PCD MN ∴⊥平面PCD ,又MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD .。

2024-2025学年湖北省武汉市武昌区拼搏联盟七年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.实数−3的相反数是( )A. 3B. −3C. 13D. −132.我国古代的《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的文献，若高于海平面120米可记作+120米，则低于海平面75米可记作( )A. −75米B. +25米C. −25米D. +75米3.港珠澳大桥主体工程及三地口岸、连接线共投资约1200亿元，用科学记数法表示1200亿为( )A. 1.2×1011B. 12×1011C. 1.2×108D. 1.2×1034.今年某市参加中考的考生人数约为7.03×104( )A. 精确到个位B. 精确到十位C. 精确到百位D. 精确到千位5.对于多项式x 2y−3xy−4，下列说法正确的是( )A. 二次项系数是3B. 常数项是4C. 次数是3D. 项数是26.按如图所示的程序进行运算.如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求(结果大于10)为止.当输出的数为11时，输入的数字不可能是( )A. −1B. 3C. −5D. 47.当|a−3|=|a|+|−3|，则a 的值是( )A. 任意有理数B. 任意一个非负数C. 任意一个非正数D. 任意一个负数8.某商店出售两件衣服，每件售价a 元，其中一件赚了20%，而另一件赔了20%，那么这家商店销售这两件衣服的总体收益情况是( )A. 赚了a 12元B. 赔了a 12元C. 赚了a 6元D. 赔了a 6元9.根据以下图形变化的规律，计算第101个图形中黑色正方形的数量是( )A. 149B. 150C. 151D. 15210.发现规律解决问题是常见解题策略之一，已知数a =15+25+35+45+55+…+295，这个数a 的个位数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

一、选择题（每小题3分，共33分）1、在-212、+710、-3、2、0、4、5、-1中，负数有( )A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列说法不正确的是( )A、到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数B、所有的有理数都有相反数C、正数和负数互为相反数D、在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数3、| -2 | 的相反数是（）A、-12B、-2 C、12D、24、如果ab<0且a>b，那么一定有（）A、a>0，b>0B、a>0，b<0C、a<0，b>0D、a<0，b<05、如果a2=(-3)2，那么a等于（）A、3B、-3C、9D、±36、23表示（）A、2×2×2B、2×3C、3×3D、2+2+27、近似数4.50所表示的真值a的取值范围是（）A、4.495≤a＜4.505B、4040≤a＜4.60C、4.495≤a≤4.505D、4.500≤a＜4.50568、如果| a + 2 | + ( b-1)2 = 0，那么（a + b）2009的值是（）A、- 2009B、2009C、- 1D、19、下列说法正确的是（）A、- 2不是单项式B、- a表示负数C、3ab5的系数是3 D、x +ax+ 1 不是多项式10、已知一个数的平方等于它的绝对值，这样的数共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个11、下面用数学语言叙述代数式1a- b ,其中表达不正确的是（）A、比a的倒数小b的数B、1除以a的商与b的相反数的差C、1除以a 的商与b的相反数的和D、b与a的倒数的差的相反数二、填空题（每小题3分，共30分） 12、若x<0，则x| x | = 。

13、水位上升30cm 记作+30cm ，那么-16cm 表示 。

14、在月球表面，白天，阳光垂直照射的地方温度高达+127℃；夜间，温度可降至-183℃，则月球表面昼夜的温度差是 ℃。

2024年六年级语文下册期中试卷及完整答案班级：姓名：满分：100分考试时间：90分钟题序一二三四五六七八九总分得分一、看拼音，写词语。

pù bùdǒu peng tái xiǎn yī xiùɡān zhe jiànɡ yóu chǎo rǎnɡbènɡ tiào二、选择加点字的正确读音，并画“ ”。

燕．山（yān yàn）娱．乐（wú yú）暂．时（zàn zhàn）坚劲．（jìn jìng）鸿．毛（hóng gōng）抽噎．（yē yè）红锈．（jiù xiù）瞻．仰（shān zhān）三、分清这些字，分别组词。

焰（______）键（______）澄（______）陡（______）综（______）陷（______）健（______）橙（______）徒（______）棕（______）四、补充词语，并选择恰当的词语填空。

全神（____）（____）横（____）竖（____）斩（____）截（____）居高（____）（____）粉（____）碎（____）排（____）倒（____）自（____）自（____）震（____）动（____）千钧（____）（____）1．战士们向班长发誓，为了完成任务即使（________）也在所不惜。

2．如果我们能像玩游戏那样（________）地学习，那我们的学习成绩该有多好呀。

3．阵地上（________）地躺着敌人的尸体。

4．就在这（________）的时刻，一位青年拦住受惊的马，救出了吓呆了的孩了。

五、选择正确的词语填空。

建议提议意见1．班会课上，小虎（_______）星期天去自然博物馆参观。

2．我向学校提一条（_______），希望学校能重新开放图书馆。

2024-2025学年第一学期育才教育集团期中测试九年级英语第一卷选择题(50分)I.完形填空(10分阅读下面短文，从短文后所给的A、B、C、D四个选项中选出能填入相应空白处的最佳选项。

（共10小题，每小题1分）Shanbei storytelling is an important __1__ of storytelling and folk art in the northwest of China. It is mainly popular in areas like Yanan and Yulin in northern Shanxi Province. It originated as a way for blind artists to __2__ by singing traditional stories. Over time, it absorbed(吸收) the tunes of Qingqiang Opera and Xintianyou, and __3__ became a form of storytelling that could be performed with long stories and singing. The performance is done by one person who sings and plays an instrument at the same time. The instrument can be sanxian (a three-stringed Chinese instrument) or pipa. Besides, there is also a clapper(快板) made of two wooden boards tied to the performer's legs __4__the rhythm(节奏).One person who has made Shanbei Storytelling __5__ is Xiong Zhuying. He has cleverly __6__ this traditional art with modern technology and games. In the video game "Black Myth: Wukong," game developers invited Xiong to introduce elements(元素) of Shanbei Storytelling, making it interesting and enjoyable to younger audiences who might not experience this traditional art form before.In the second chapter of the game, players will meet a headless monk(僧侣) who performs a heartfelt piece of Shanbei music. This brief but __7__performance, lasting less than two minutes, has gained over 10 million views on social media. Its lyrics(歌词),“Success and failure, life and death, all are beyond reason,"__8__deep emotions and make listeners think a lot. Xiong and the game developers' __9__brings Shanbei Storytelling back to life, making its future __10__than ever before.1. A. research B. form C. page D. mark2. A. make progress B. make a living C. get rich D. become famous3. A. luckily B. suddenly C. gradually D. immediately4. A. to break B. to keep C. for checking D. for dancing5.A. more different B. more popular C. more useful D. more exciting6. A. served B. mixed C. combined D. prepared7.A. lively B. alive C. living D. live8.A. bring back B. bring out C. bring up D. bring away9. A. secret B. creativity C. imagination D. expectation10. A. brighter B. further C. louder D. fasterII.阅读理解(40分)第一节阅读下列短文，从下面每题的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。