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人教版-空间向量及其运算ppt2

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1.1空间向量及其运算课件(人教版)

1.1空间向量及其运算课件(人教版)

空间向量数量积的直接计 算
空间向量的数量 积
A
8.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的 一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 （三垂线定理）
空间向量及其运算总结
加法
减法
线
性
加法运算律
运
算 数乘
数乘运算律
分配律 结合律
b+a a+(b+c)
相同 相反
空间向量及其运算总结
空
共线(平行)向量
间
表示空间向量的有向线段所
向 定义 在的直线互__相___平__行__或__重___合_，
量
则这些向量叫做共__线___向__量__或
共
平行向量
线
、 充要 共 条件 面
共面向量
平行于_同__一__个__平___面_的向 量叫做共面向量
空间向量及其运算总结
数乘向量与数量积的结合
共线(平行)向量
定义
充要 条件
互相平行或重合 共线向量
方向向量：
空间向量的共线与共面
共面向量 定义 平行于_同__一__个___平__面___的向
量叫做共面向量
充 要 条 件
此知识点可用来证明四 点共面，即通过证明三 个向量共面证明四点共 面
1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实 例. 一间教室的三面墙，每个平面取一个向
量
（1）根据向量加法的首尾相连法则，x=1 ；
共线与共面向量基本定 理
空间向量的共线定理与共 面
空间向量的夹角
定义：
夹角范围：
空间向量的数量积及运算律
定义：
运算律： 交换律 分配律
数量积的性 质

《空间向量及其运算》课件

《空间向量及其运算》课件

向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。

课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版

课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版

共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：

1.1空间向量及其加减、数乘运算课件(人教版)

1.1空间向量及其加减、数乘运算课件(人教版)
是存在唯一有序实数对(x, y),使 OP OA xAB yAC ③ 注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
空间向量基本定理
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,存
在一的有序实数组x, y, z使 p xa yb zc .
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP mAB nAC
∴OP OA m(OBOA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
∵OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA、OB 、OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
O
O
a a
b +c
A
CA
C
bBc
bBc
空间向量加法结合律
(a O b) c a (b c)O
a
a
b +c
A b
B
C c
A b
C Bc
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量a 平移到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，用 AB, AD, AA1 表示
称为向量的数乘运算.
同样可以定义空间向量的数乘运算,其运 算律是否也与平面向量完全相同呢?
与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然
是一个向量，称为向量的数乘运算.

数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt

数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt

ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.

人教A版选择性必修第一册1.1空间向量及其运算课件

人教A版选择性必修第一册1.1空间向量及其运算课件
当 λ＝0 时，λa＝0．
a
O
A
a
P
Q
M
λa(λ＞0)
λa(λ＜0)
N
？
想一想，向量线性运算的结
果，与向量起点的选择有关系吗？
一、知识讲解
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算满足以下运
算律（其中 λ，μ∈R）：
？
你能证明这些运算律吗？证
交换律：a＋b＝b＋a；
明结合律时，与证明平面向量的
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
如果表示若干空间向量的有向线段所在
b，以任意点 O 为起点，作向
的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
量＝a，＝b，我们就可
共 线 向 量 （ colliner vectors ） 或 平 行 向 量
以把它们平移到同一个平面 α
（parallel vectors）．我们规定：零向量与任
内．
意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a．
线上分别取点 E，F，G，H，使

＝k．求证：E，F，G，H

O

＝ ＝ ＝

D
四点共面．
A
C
B
H
分析：欲证 E，F，G，H 四点共面，只需证明
G
，， ， 共面的
表达式推得 ，， 共面的表达式．
a
α
A
l
一、知识讲解
3．空间向量的共线与共面
如果两个向量 a，b 不
探究
对平面内任意两个不共线向量 a，b，由
共线，那么向量 p 与向量 a， 平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一
b 共面的充要条件是存在唯
个向量 p 可以写成 p＝xa＋yb，其中 (x，y) 是

空间向量及其运算(共22张PPT)

向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS

空间向量及其运算 PPT课件


b
③ (a b) c a (b c)
典例
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜 线，AO 是 PA在平面 内的射影，l ，且 l OA.
求证： l PA.
P
OO A a
l
典例
例2 已知直线m, n是平面内的两条相交直线, 如果 l m, l n,求证 : l .
a b | a || b | cos a,b
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
特别地，a a a a cos a, a a 2 . 即：a a2 a b ab 0
ab a b
思考
a b 类似平面向量，你能说出 的几何意义吗？
数量积 a b 等于a 的长度 a 与b 在a
结论：空间任意两个向量都是共面的， 所以它们可用同一平面内的两条有向 线段表示
向量的加法和减法运算
C
B
a b
b
ab
O
a
A
OB OA AB a b,
CA OA OC a b.
空间向量的加法运算律
（1）交换律
a b b a,
（2）结合律
(a b) c a (b c).
练习
例.如图，已知平行四边 ABCD，过平面AC外一点O 作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、 G、H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：四点E、F、G、H
共面。
E
O
DC
A
B
H
G
F

人教版高中数学全套课件(第三章)空间向量与立体几何-空间向量及其运算-空间向量的数乘运算


• 思路点拨： 运用向量的运算法则表示出指定向量， 根据对应向量的系数相等就可求得相应的x，y，z的 值．
(1)方法一：取 AA′的中点 E， 1 → → 则2AA′＝EA′. 2 → → 取 F 为 D′C′的一个三等分点，使D′F＝3D′C′， 2→ → → → → → ∵AB＝D′C′，∴D′F＝3AB.又BC＝A′D′， 1 → → 2→ → → → → ∴2AA′＋BC＋3AB＝EA′＋A′D′＋D′F＝EF. → 向量EF如图所示．
• • • • • •
1．下列命题中正确的个数是(
)
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线； ②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面； ③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. A．1 C．3 D．0 B．2
•
解析：
①中，若b为0，则a与c不共线．②中，a，
b，c共面时，它们所在的直线不一定共面．③中，b＝0 时，不存在实数λ，使a＝λb. • 答案： D
第 三 章
空间向量与立体几何
•3.1
空间向量及其运算
•3.1.2 空间向量的数乘运算
自主学习 新知突破
• 1．掌握空间向量的数乘运算． • 2．理解共线向量定理、共面向量定理及推 论． • 3．体会向量共线、向量共面与直线位置关系 之间的转化．
• 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． • [问题1] 向量a与向量b共线的条件是什么？ • [提示1] b＝λa. • [问题2] 空间中任意两个向量一定共面吗？ 任意三个向量呢？ • [提示2] 空间中任意两个向量一定共 面．任意三个向量不一定共面．
• (1)判定向量共线就是充分利用已 知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用 空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化 简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b. • (2)a∥b表示a与b所在的直线平行或重合两 种情况．

空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
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2
C
＝ BM M G1(AB AC )
2
＝BMMGMB MG
人教版-空间向量及其运算ppt2
人教版-空间向量及其运算ppt2
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(A BBC CC ')
B
C
(2)AEAA' xAByAD
A B
人教版-空间向量及其运算ppt2
D1
C1
2(AD AB A1A )
A1
B1
2AC1
x2.
D
C
人教版-空间向量及其运算ppt2
A
B
人教版-空间向量及其运算ppt2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC ) 2
D
B
M
G C
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2A 3 A 3 A 4 A nA 1 0
F3
F1
F2
C
O
A
B
500kg
图3.11
A C
O
B
图3.12
如图3.1 1,一块均匀的正三角形的 面钢板质量 为500k g,在它的顶点处分别受F力1, F2, F3, 每个 力与同它相邻的三角的 形两边之间的夹角都是 600,且| F1 || F2 || F3 | 200k g. 这块钢板在这些 力的作用下将会怎样动 运?这些力至少为多大 时,才能提起这块钢板 ?
例2：已知平行六面体ABCD-A B C D ， 人教版-空间向量及其运算ppt2
1111
求满足下列各式的x的值。
(2) 2A1D B1D xA1C(3) A C A1B A1D xA1C
(2) 2AD 1BD 1 AD 1AD 1BD 1 A1 D (B1 CB1 D ) AD1 D1C1 AC1
空间向量及其运算
鳌中高二数学备课组
复习回顾：平面向量 1、定义：平面内，既有大小又有方向的量。 2、向量的例子：
2、平面向量的加法、减法运算
b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
人教版-空间向量及其运算ppt2
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
8
人教版-空间向量及其运算ppt2
推广
人教版-空间向量及其运算ppt2
探 究 如 图 3.1 6,
在 平 行 六 面 体 ABCD
D`
C`
M
C
解(1： )ABBC ＝AC ; A
B
( 2 ) A A B A D 1 A A C 1 A C C 1 A C 1 C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
人教版-空间向量及其运算ppt2
例2：已知平行六面体ABCD-A B C D ， 人教版-空间向量及其运算ppt2
D C
人教版-空间向量及其运算ppt2
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(A BBC CC ')
B
C
(2)AEAA' xAByAD
A B
人教版-空间向量及其运算ppt2
D C
人教版-空间向量及其运算ppt2
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
x1.
D1 A1
D
C1 B1
C
人教版-空间向量及其运算ppt2
A
B
人教版-空间向量及其运算ppt2
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) A C A1B A1D xA1C
(3) ACA1BAD 1
(A D A) B (A 1 A A) B (A 1 A A)D
人教版-空间向量及其运算ppt2
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1 ) AB BC
( 2 ) AB AD AA 1
1
( 3 ) ( AB 3
AD
AA 1 )
( 4 ) AB
AD
1 CC 2
1
D1 A1
G D
C1 B1
人教版-空间向量及其运算ppt2ห้องสมุดไป่ตู้
人教版-空间向量及其运算ppt2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC ) 2
D (1)原式 A B ＝ BM M G AG
B
M
(2)原式
G ＝ A BBM M G 1(A BA)C
A `B `C `D `中 , 分 别 标
A`
B`
出 A B A D A A `,
D
C
AB AA` AD表 示
A
的 向 量 .从 中 你 能 体
B
图3.16
会向量加法运算的
交 换 律 及 结 合 律 吗 ?一 般 地 ,三 个 不 共 面 的 向
量的和与这三个向量有什么关系?
人教版-空间向量及其运算ppt2
人教版-空间向量及其运算ppt2
D A
b
D A
人教版-空间向量及其运算ppt2
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
人教版-空间向量及其运算ppt2
D1 A1
C1 B1
D A
C B
起点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
人教版-空间向量及其运算ppt2
B
b
b
O
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
人教版-空间向量及其运算ppt2
b a
人教版-空间向量及其运算ppt2
C
a+ b
B
O
A
OB OA AB
CA OA OC
空间向量的加减法
1111
求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
解 (1) A1B A 1D 1C 1C
D1
AB 1 B 1C 1 C 1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2AD1 BD1 xAC1
C B
(3) ACAB1 AD1 xAC1
人教版-空间向量及其运算ppt2