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1.(2011·江西文，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49[答案] B[解析]75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.2．设a、b、c↔R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.3．将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……则在表中数字2010出现在()A．第44行第75列B．第45行第75列C．第44行第74列D．第45行第74列[答案] D[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.4．(文)(2011·绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1024 C．1225 D．1378[答案] C[解析]将三角形数记作a n，正方形数记作b n，则a n＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2，b n＝n2，由于1225＝352＝49×(49＋1)2，故选C.(理)(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④B．②⑤C．③⑤D．②③[答案] C[解析]这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．5．(文)(2010·曲师大附中)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4[答案] C[解析]设三棱锥的内切球球心为O，那么由V S－ABC＝V O－ABC＋V O－SAB＋V O－SAC＋V O－SBC，即V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r，可得r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.(理)(2010·辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝a x－a－x2，C(x)＝a x＋a－x2，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)；④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．A．①③B．②④C．①④D．①②③④[答案] D[解析]实际代入逐个验证即可．如S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝14(a x ＋y －a y －x ＋a x －y －a －x －y ＋a x ＋y ＋a y －x －a x －y －a －x －y )＝14(2a x ＋y －2a －x －y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝S (x ＋y )， 故①成立．同理可验证②③④均成立．6．(文)定义某种新运算“⊗”：S ＝a ⊗b 的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4[答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.(理)(2010·寿光现代中学)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．3 B.23C ．3 3 D. 3 [答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.7．设f (x )定义如表，数列{x n }满足x 1＝5，x n ＋1＝f (x n )，则x 2012的值为________.[答案] [解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，∴x 2012＝x 2＝6.8．(文)(2011·陕西文，13)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析] 第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.[点评]观察各等式特点可得出一般结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.(理)(2011·台州模拟)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于n↔N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n，则a2＝________.[答案]12n(n＋1)[解析]由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，…，∴a2＝12n(n＋1).1.(文)(2010·山东文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) [答案] D[解析]观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D.(理)(2011·清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[答案] B[解析]观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.2．(文)(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i↔{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是() A．11010 B．01100C．10111 D．00011[答案] C[解析]对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是()A．[－12,24]B．(－12,24)C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)[答案] D[解析]因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a 1＋36，a 1＋18，a 1＋36，14a 1＋18出现的机会是均等的，由于当a 3>a 1时甲胜，且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a 1，∵a 1＋18>a 1，a 1＋36>a 1，故在其余二数中有且仅有一个大于a 1，由4a 1＋36>a 1得a 1>－12，由14a 1＋18>a 1得，a 1<24，故当－12<a 1<24时，四个数全大于a 1，当a 1≤－12或a 1≥24时，有且仅有3个大于a 1，故选D.3．(文)如图数表满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第n (n >1)行第2个数为f (n )，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f (n )＝__________，并可解得通项f (n )＝________.[答案] f (n )＝f (n －1)＋n －1；f (n )＝n 2－n ＋22[解析] 观察图表知f (n )等于f (n －1)与其相邻数n －1的和． ∴递推关系为f (n )＝f (n －1)＋n －1，∴f (n )－f (n －1)＝n －1，即f (2)－f (1)＝1，f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3，…f (n )－f (n －1)＝n －1，相加得f (n )＝n 2－n ＋22. (理)(2010·福建文)观察下列等式：①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.[答案] 962[解析] 由题易知：m ＝29＝512，p ＝5×10＝50m －1280＋1120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162.∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962.4．(2011·蚌埠市质检)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t ＝7at ，(a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________.[答案] 55[解析] 类比所给等式可知a ＝7，且7t ＋a ＝72·a ，即7t ＋7＝73，∴t ＝48.∴a ＋t ＝55.5．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n)≥n ＋22(n ↔N *) [解析] f (2)＝f (21)＝1＋22，f (4)＝f (22)>2＝2＋22，f (8)＝f (23)>52＝3＋22，f (16)＝f (24)>3＝4＋22，…，f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)． 6．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .[证明] 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0，所以(a －b )(a －c )>0，显然成立，故原不等式成立．7．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .[解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . 你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即x i ∈R ，|x i |<1(i ＝1,2，…，n )时，有________．8．(文)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34. (理)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12a n ，n 为偶数a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14， a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38.∴a 5＝12a 4＝14a ＋316.∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14. 猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1＋14－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．1．如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合{θ|0<θ<3π2}中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )A.13B.12C.23D.34[答案] A[解析] 该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sin θ，需sin θ>tan θ，且sin θ>cos θ，∵当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，总有tan θ>sin θ，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin θ>0，tan θ<0，cos θ<0，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，tan θ>0，sin θ<0，故输出的结果是sin θ时，θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，结合几何概型公式得，输出sin θ的概率为π－π232π－0＝13，故选A.2．n 个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为( )A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓[答案] A[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与012相同，故选A.3.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14 (ih i )＝2A k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则∑i =14 (iH i )的值为()A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[答案] B[解析] 在平面四边形中，连接P 点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k 2∑i =14 (ih i )． 所以∑i =14(ih i )＝2S k .类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4) ＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4) ＝k 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝k 3∑i =14 (iH i )， ∴∑i =14(iH i )＝3V k .[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确．4．(2011·江苏苏州测试)已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM ＝________.”[答案] 3[解析]如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33， AM ＝12－(33)2＝63， R ＝(63－R )2＋(33)2，解得R ＝64. 于是，AO OM ＝6463－64＝3. 5．(2011·盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式： ①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________．[答案] 当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1[解析] 所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.6．(2010·哈师大附中)(1)由“若a ，b ，c ↔R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比得到“若a ，b ，c 为三个平面向量，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，通过归纳得到猜想a n ＝2n －2(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”(4)若f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2＋1 上述四个推理中，得出的结论正确的是________．[答案] (2)(3)[解析] (1)不正确，(a ·b )·c 与c 共线，a ·(b ·c )与a 共线，而a 与c 不一定共线；(2)正确，由a n ＋1＝2a n ＋2得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，∴{a n ＋2}是首项为a 1＋2＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋2＝2n ，∴a n ＝2n －2；(3)正确，由四面体ABCD 的任意一个顶点如A ，向对面作垂线垂足为O ，则△BOC ，△COD ，△BOD 分别为△ABC ，△ACD ，△ABD 在平面BCD 内的射影，而S △ABC ＋S △ACD ＋S △ABD >S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD ≥S △BCD ；(4)错误，f (x )＝cos2x ＋sin2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π2＋sin π2＋1＝2≠2＋1. 7.如图(1)，过四面体V －ABC 的底面内任一点O 分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面交点．求证：OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值．分析：考虑平面上的类似命题：“过△ABC底边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，求证OA1 AC＋OB1BC为定值”．这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其为定值1.另外，过A，O分别作BC垂线，过B，O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1.[证明]如图(2)，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCN.得OA1 VA＋OB1VB＋OC1VC＝OMAM＋ONBN＋OLCL.在底面△ABC中，由于AM，BN，CL交于一点O，∴OMAM＋ONBN＋OLCL＝S△OBCS△ABC＋S△OACS△ABC＋S△OABS△ABC＝S△ABCS△ABC＝1.∴OA1VA＋OB1VB＋OC1VC为定值1.[点评](1)用现代的眼光看，类比就是两个同构关系的模型间的推理，模型间的同构关系，即它们结构或功能上存在的某种对应性(相似性)，它是进行类比推理的依据．(2)本例中的三角形与四面体就是平面与空间中的两个常见具有同构关系的模型，因而四面体中的很多性质及证明方法都可以通过三角形中的性质及证明方法类比得到．(3)数学中其它一些常见的具有同构关系的模型有：等式与不等式、分数与分式、椭圆与双曲线、等差数列与等比数列、长方形与长方体、圆与球等．。
第7章第三节一、选择题1．以下说法中，正确的是 ( )A ．采用伏安法测电阻时，只要仪器选得正确，可保证没有系统误差B ．用伏安法测电阻，不论是用电流表外接法，还是电流表内接法，都存在系统误差C ．用欧姆表测电阻，既准确又方便D ．伏安法测电阻，存在系统误差的原因是由于电流表的分压[答案] B[解析] 对A 、B 选项，伏安法测电阻不可能没有系统误差，只能减小，故B 选项正确，A 选项错误．对C 选项，欧姆表测电阻方便但由于刻度不均匀读数误差较大，电池用久了误差更大．因而C 选项错误．对D 选项，不同的测量电路引起误差的原因不同，故D 选项错误．2．如下图所示，用伏安法测电阻，若电流表内阻1Ω，电压表内阻5000Ω，R x 约为10Ω，则下图中哪个测量结果较为准确？测量值比真实值偏大还是偏小 ( )A ．甲电路，偏大B ．甲电路，偏小C ．乙电路，偏大D ．乙电路，偏小[答案] B[解析] R V R x ＝500，R x R A ＝10，∴R V R x >R x R A，应采用电流表外接法，由于电压表分流，使I A >I x ，R x 的测量值比真实值偏小．3．分别用图(a)、(b)两种电路测量同一未知电阻的阻值．图(a)中两表的示数分别为3V 、4mA ，图(b)中两表的示数分别为4V 、3.9mA ，则待测电阻R x 的真实值为 ( )A ．略小于1kΩB ．略小于750ΩC ．略大于1kΩD ．略大于750Ω[答案] D [解析] 先判断采用的测量方法，由于在两种不同的接法中电压表的示数变化大，说明测量的是小电阻，这样电流表分压较大，应该采用(a)图进行测量比较准确．(a)图中测量值较真实值偏小．4．如右图所示电路，用伏安法测量电阻的大小．电阻R ＝320Ω时，电流表的示数是15mA ，电压表的示数是4.5V .如果用这个电路测量未知电阻R ′，电流表的示数是13mA ，电压表的示数是5.2V ，则电阻R ′的大小是( )A ．R >420ΩB ．400Ω<R ′<420ΩC ．R ′＝420ΩD ．无法确定[答案] A[解析] R ＝320Ω时，两端电压U ＝4.5V ，则通过R 的电流I R ＝U R ＝4.5320A ＝0.014A ＝14mA通过电压表的电流I V ＝I －I R ＝(15－14)mA ＝1mA电压表内阻R V ＝U I V ＝ 4.51×10－3Ω＝4500Ω 当电阻为R ′时，电压U ′＝5.2V通过电压表的电流I V ′＝U ′R V ＝5.24500A ＝1.15mA 通过R ′的电流I R ′＝I ′－I V ′＝(13－1.15)mA ＝11.85mA电阻R ′＝U ′I R ′＝ 5.211.85×10－3Ω＝439Ω. 5．如图所示，将一个改装的电流表接入电路进行校准，发现待测表的读数比标准表的读数偏大，如表头G 的I g 是准确的，出现的误差可能是下述哪种原因引起的 ( )A ．R g 的测量值比真实值偏大B ．R g 的测量值比真实值偏小C ．所并联的R 并比公式R 并′＝I g R g I －I g计算出的R 并′偏小 D ．所并联的R 并比公式R 并′＝I g R g I －I g计算出的R 并′偏大 [答案] AD[解析] 待测表的读数偏大，表明通过待测表G 的电流比标准表A 的电流大，使G 的指针偏转较大，反映了R 并支路分去的电流太小，即R 并太大．由并联电路U g ＝U 并，有I g R g＝(I －I g )·R 并，所以R 并＝I g R g I －I g，在I g 与I 准确时，R 并的阻值偏大，直接反映了R g 的测量值比真实值偏大，所以选项A 、D 正确，B 、C 错误．二、非选择题6．一个量程为0～100μA 的电流表，内阻为100Ω，再给它串联一个9900Ω的电阻，将它改装成电压表，改装后电压表的量程为________V ，用它来测量一段电路两端的电压时，表盘指针如右图所示，这段电路两端的电压是________．[答案] 0～1 0.83[解析] (1)电流表的量程I g ＝100μA ，内阻R g ＝100Ω，改装时串联的分压电阻R ＝9900Ω，由串联电路的分压原理可得：U g R g ＝U R g ＋R ＝I g， 所以改装后电压表的两端能承受的最大电压为：U ＝I g (R g ＋R )＝100×10－6×(100＋9900)V ＝1.00V ，也即改装后电压表的量程是0～1V .(2)改装后电压表的量程是0～1V ，原电流表的表盘上的100μA 刻线应改为1V ,50μA 的刻度线应改为0.5V ，表盘上每个分度表示0.1V ，所以用它测电压时，表针指示的电压是0.83V .7．有一规格为1μA/格的电流表，共有N ＝100格，内阻r g ＝50Ω.若将其改为最大测量电压为U ＝1V 的电压表，则应________联一个阻值为________的电阻，电压表每格对应________V .[答案] 串 9950Ω 0.01[解析] I g ＝100×1μA ＝100μA ＝1×10－4A ，r g ＝50Ω设需串联电阻为R 0，则I g (R 0＋r g )＝1V∴R 0＝1I g－r g ＝104Ω－50Ω＝9950Ω 每一格对应电压为1100V ＝0.01V . 8．如图所示是测定电流表内阻的实验电路图，电流表的内阻约为100Ω，满偏电流为500μA ，用电池作为电源．(1)实验室配有的可变电阻为：A ．电阻箱，阻值范围为0～10ΩB ．电阻箱，阻值范围为0～9999ΩC ．滑动变阻器，阻值范围为0～200ΩD ．滑动变阻器，阻值范围为0～20kΩ在上述配有的可变电阻中，电路中R 应选用______，R 1应选用________．(填字母代号)(2)某学生进行的实验步骤如下：①先将R 的阻值调到最大，合上S 1，调节R 的阻值，使电流表的指针转到满偏刻度 ②合上S 2，调节R 1和R 的阻值，使电流表的指针指到满偏刻度的一半③记下R 1的阻值指出上述实验步骤中的错误：________________________________________________.[答案] (1)D B(2)合上S 2后，不应再调节R 的阻值[解析] (1)由实验原理可知电路中R 应选用D ，R 1应选用B.(2)如果闭合开关S 2时再调节滑动变阻器，将会使电路中的总电流发生变化．9．按右图所示的电路进行实验时，如果R 调为9900Ω时，电表指在满刻度300μA 处．当R ′调为90Ω时电流表指在半偏，则：(1)电流表的内阻R g ＝________Ω.(2)若将此电表改为3V 的电压表，则应将电流表与电阻________联，电阻箱的取值应为________Ω.(3)用此改装表去测电压时，如果指针在150μA 的位置，则所测电压读数为________V .[答案] (1)90 (2)串 9910 (3)1.5[解析] (1)由半偏法测电阻原理可知R g ＝R ′＝90Ω.(2)由U 满＝I g (R g ＋R 串)得R 串＝U 满I g －R g ＝3300×10－6Ω－90Ω＝9910Ω. (3)∵U 满U ＝I g I ，∴U ＝故U ＝1.5V10．(2009·浙江信息)实验室有如下器材：电流表A 1(满偏电流约500μA ，有刻度无刻度值，内阻r g 约500Ω)；电流表A 2(量程0～300μA ，内阻r A 2＝1000Ω)；电流表A 3(量程0～1mA ，内阻r A 3＝100Ω)；定值电阻R 0(阻值1kΩ)；滑动变阻器R (0～5Ω，额定电流2A)；电池(电动势2V ，内阻不计)；开关、导线若干．要求较精确地测出A 1表的内阻和满偏电流．(1)在方框内画出测量电路；(2)应读取的物理量是________；(3)用这些量表示的A 1表的满偏电流I g ＝__________，A 1表的内阻r g ＝________.[答案] (1)电路如图所示(2)A 1表满偏时A 2表的读数I 2、A 3表的读数I 3(3)I 3－I 2 I 2r A 2I 3－I 2[解析] (1)要测量A 1表的内阻，需测出通过A 1表的电流和它两端的电压U 1.A 1表没有刻度值，所以不能直接读出满偏电流，要通过A 2、A 3才能间接测得．U 1m ＝I g r g ≈(5×10－4×500)V ＝0.25V ，因A 2、A 3表的内阻是确定值，故可以把它们当做电压表．A 3表的电压量程U 3＝I g3·r A 3＝0.1V<U 1m ，A 2表的电压量程U 2＝I g2·r A 2＝0.3V>U 1m ，所以应选择A 2与A 1并联，这样A 2表两端的电压就是U 1.若A 3直接与A 1、A 2串联接在滑动变阻器的分压端，电压小于(U 1m ＋U 3)＝0.35V ，滑动变阻器调节不方便，所以可再串联一个定值电阻R 0.(2)见答案．(3)当A 1表满偏时，读出A 2、A 3表的读数I 2、I 3，有I g ＝I 3－I 2.A 1表的内阻r g ＝U 1I g ＝I 2r A 2I 3－I 2. 11．从下列器材中选出适当的实验器材，设计一个电路来测量电流表的内阻r 1，要求方法简捷，有尽可能高的精确度，并能测得多组数据． 电流表，量程10mA ，内阻待测(约40Ω) 电流表，量程500μA ，内阻r 2＝750Ω 电压表，量程10V ，内阻r 3＝10kΩ电阻R 1，阻值约为100Ω滑动变阻器R 2，总阻值约50Ω电源E ，电动势1.5V ，内阻很小开关S ，导线若干(1)画出实验电路图，标明所用器材的代号．(2)若选取测量中的一组数据来计算r 1，则所用的表达式r 1＝________，式中各符号的意义是________．[答案] (1)电路如图所示(2)I 2r 2I 1，式中I 1、I 2分别是电流表、的读数，r 1、r 2分别是电流表、的内阻[解析] 必选的器材有电源E 、开关S 、导线若干．的满偏电压约为U A 1＝I g 1·r 1＝0.4V ，为满足尽可能高的精度的要求，量程10V 的电压表不能选用，而电流表的内阻确定，且满偏电压U A 2＝I g 2·r 2＝0.375V ，可当电压表用来测的电压．由于并联的、端电压只有零点几伏，而电源电动势有1.5V ，可串联R 1作保护电阻，为满足多测几组数据，滑动变阻器R 2采用分压式供电方式．12．(2009·江苏四市4月)有一个两用电表的电路如图所示，电流计G 的量程I g ＝1mA ，内阻R g ＝100Ω，定值电阻R 1＝9900Ω，R 2＝1.01Ω.(1)若要当做电流表使用，双刀双掷开关应与________连接(填“ab ”或“cd ”)，其量程为________A ；(2)若要当做电压表使用，双刀双掷开关应与________连接(填“ab ”或“cd ”)，其量程为________V .(3)为了防止电流从“负接线柱”流入表头而损伤表头，可以在表头两端并联一个理想的二极管，在虚线框内画出二极管的连接方法，并说明它是怎样保护表头的．[答案] (1)cd 0.1 (2)ab 10 (3)二极管左负右正，当电流从“负接线柱”流入表头时，二极管单向导通，电流不通过G 表因而能保护表头．[解析] (1)双刀双掷开关与cd 连接，R 2与G 表并联，R 1不起作用，扩大后的电流表量程为I ＝⎝⎛⎭⎫1＋R g R 2I g ＝⎝⎛⎭⎫1＋1001.01×0.001A ≈0.1A.(2)双刀双掷开关与ab 连接，G 表与R 1串联，R 2不起作用，扩大后的电压表量程U ＝I g (R g ＋R 1)＝(1×10－3×10000)V ＝10V .(3)见答案．13．某电压表的内阻在20～50kΩ之间，现要测量其内阻，实验室提供下列可选用的器材；待测电压表V(量程3V)电流表A 1(量程200μA)电流表A 2(量程5μA)电流表A 3(量程0.6A)滑动变阻器R (最大阻值1kΩ)电源E (电动势4V)电键S(1)所提供的电流表中，应选用______．(填写字母代号)(2)为了尽量减小误差，要求测多组数据，试在图中的方框中画出符合要求的实验电路图．(其中电源和电键及其连线已画出)[答案] (1)A 1 (2)如下图所示[解析] 图为安培表和伏特表串联在一起．若滑动变阻器作为限流使用，电压表的电压超过其量程．故应采用分压式连接．通过估算发现，电流表A 3量程过大，测量误差大，不宜用．14．(2009·广东韶关4月)用伏安法测量一个阻值约为20Ω的未知电阻R x 的阻值，有下列器材：电源E (电动势3V ，内阻可忽略不计)；电流表A 1(量程0～50mA ，内阻约12Ω)；电流表A 2(量程0～3A ，内阻约0.12Ω)；电压表V 1(量程0～3V ，内阻约3kΩ)；电压表V 2(量程0～15V ，内阻约15kΩ)；滑动变阻器R 1(0～10Ω，允许最大电流2.0A)；滑动变阻器R 2(0～1000Ω，允许最大电流0.5A)；定值电阻R (30Ω，允许最大电流1.0A)；开关、导线若干．(1)在以上备选器材中，电流表应选用________，电压表应选用________，滑动变阻器应选用________(填写器材的字母代号)；(2)请在虚线框中画出测量电阻R x 的实验电路图(要求所测量的值的变化范围尽可能大一些，所用器材用对应的符号标出)．(3)某次测量中，电压表读数为U 时，电流表读数为I ，则计算待测电阻阻值的表达式R x ＝________.[答案] (1)A 1 V 1 R 1 (2)电路图如图所示 (3)U I－R[解析] (1)电源电动势为3V ，选用电压表V 2，量程太大，故应选表V 1.电流表A 2的量程太大，应选A 1.若直接用V 1测量R x 两端的电压U <I m R x ≈(0.05×20)V ＝1V ，V 1的指针偏转不到1/3，为减少读数误差，R x 应与定值电阻R 串联．滑动变阻器接成分压式，选择R 1控制电路较方便．(2)因(R ＋R x )<R A R V ，电流表应接成外接进行测量．(3)用伏安法测得数据U 、I ，有U I ＝R ＋R x ，故R x ＝U I－R .。
Unit 3Under the seaⅠ.单词拼写1．They have appealed for________(目击者)to come forward.2．Black and white are________(相反的事物)．3．A new-born baby was found________(被抛弃的)on the steps of a hospital yesterday.4．________(关系)between people of different cultures are often extremely difficult.5．We are fully________(意识到的)of the gravity of the situation.6．How much is his a________salary?7．Hotel a________was scarce during the Olympic Games.8．We waited while Graham p________to light a cigarette.9．When police arrived, the two men f________.10．The drawers have a d________of 16 inches.答案：1.witnesses 2.opposites 3.abandoned4．Relationships 5.aware 6.annual7.accommodation8．paused9.fled10.depthⅡ.完成句子1．________ ________ ________(在此期间), an economic crisis took place in the USA.2．I don't think people________ ________ ________(意识到)how serious pollution is nowadays.3．________ ________(即使)I have to sell my house, I'll keep my cause going.4．Nobody________me________(帮助……摆脱困境)when I lost my job.5．The girl________ ________ ________ ________(吓死了)at the sight of the snake.6．Don't hold the box________ ________(颠倒地)．7．He is________ ________(走在前面)time in his ideas.答案：1.In the meantime 2.are/become aware of 3.Even if/though 4.helped; out 5.was scared to death 6.upside down 7．ahead ofⅢ.单项填空1．—Recent years have________rapid changes of my hometown.—Yes, I could hardly recognize it when I arrived yesterday.A．watched B．contributedC．witnessed D．made答案：C考查动词。
