八年级数学旋转在几何大题中的妙用专题练习(含答案)

专题36 一次函数中的旋转1．一次函数2y kx =+的图象绕着原点逆时针旋转90°后，经过点()1,3--，则k 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．1-D ．12．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）A ．y ＝﹣12x ﹣1B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣13．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B （0,4），则直线l的表达式是（）A．y=2x+2B．y=2x-2C．y=-2x+2D．y=-2x-2【答案】B【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．【详解】解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．∵A（−2，0），B（0，4），∴204m nn-+ìí=î＝204m nn-ìíî＋＝＝，解得24mn=ìí=î，∴直线AB的解析式为y＝2x＋4．将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋4，即y＝2x＋2，再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，所以直线l的表达式是y＝2x−2．故选B．【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，3），将OA顺时针旋转90°得到OB，则直线AB的解析式为_____．5．如图，点A （﹣1，m ）在直线y =2x +3上，连结OA ，∠AOB =90°，点B 在直线y =﹣x +b 上，OA =OB ，则b =________．【答案】2【分析】先把点A 坐标代入直线y =2x +3，得出m 的值，然后得出点B 的坐标，再代入直线y =-x +b 解答即可．【详解】解：把A （-1，m ）代入直线y =2x +3，可得：m =-2+3=1，因为∠AOB =90°，OA =OB ，所以线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，得线段OB ，所以点B 的坐标为（1，1），把点B 代入直线y =-x +b ，可得：1=-1+b ，∴b =2，故答案为：2．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，旋转中的坐标变换.关键是根据题意，利用旋转中的坐标变换规律求点的坐标．6．直线22y x =+绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的直线解析式为____________________．7．如图，在平面直角坐标系中，()30A ，，()01B ，，线段AC 由线段AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是______．【答案】39y x =-##93y x=-+【分析】过点C 作CD x ^轴于点D ，易知()AAS ACD BAO ≌△△，从而求得点C 坐标，待定系数法即可求得直线AC 的解析式．【详解】解：∵()30A ，，()01B ，，∴31OA OB ==，，过点C 作CD x ^轴于点D ，则90AOB CDA Ð=Ð=°，∵90BAC Ð=°，∴90BAO ACD CAD Ð=Ð=°-Ð，∵BA AC =，∴()AAS ACD BAO ≌△△，∴1AD OB ==，3CD OA ==，∴()43C ，，设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，点C 坐标代入得：0334k b k b=+ìí=+î，解得：39k b =ìí=-î，∴直线AC 的解析式为39y x =-，故答案为：39y x =-．【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C 的坐标是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式为_______．【答案】34y x =+##y =4+3x【分析】先求出点A 、B 的坐标，过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F 的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．【详解】解：∵一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，∴令0x =，则4y =；令0y =，则2x =，∴点A 为（2，0），点B 为（0，4），∴2OA =，4OB =；过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，如图，∴90AEF AOB Ð=Ð=°，∴90FAE BAE ABO BAE Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴FAE ABO Ð=Ð，∵=45ABE а，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =AB ，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AO =FE ，BO =AE ，∴2FE =，4AE =，∴422OE =-=，∴点F 的坐标为（2-，2-）；设直线BC 为y ax b =+，则224a b b -+=-ìí=î，解得：34a b =ìí=î，∴直线BC 的函数表达式为34y x =+；故答案为：34y x =+；【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数22y x =-的图像分别交,x y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式为____________．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为______．∵∠CAD =45°，∴△CAD 是等腰直角三角形，∴AD =CD ，设OC m =在Rt △AOC 中，AO =∴2224AC AO OC =+=在等腰直角三角形ADC 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图像分别交x ，y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是_______．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数22y x =--的图像分别交x ，y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是______．【答案】y =3x -2【分析】根据已知条件得到A （-1，0），B （0，-2），求得OA =1，OB =2，过A 作AF ⊥AB 交BC 于F ，过F 作FE ⊥x 轴于E ，得到AB =AF ，根据全等三角形的性质得到AE =OB =2，EF =OA =1，求得F （1，1），设直线BC 的函数表达式为：y =kx +b ，解方程组于是得到结论．【详解】解：∵一次函数y =-2x -2的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，∴令x =0，得y =-2，令y =0，则x =-1，∴A （-1，0），B （0，-2），∴OA =1，OB =2，过A 作AF ⊥AB 交BC 于F ，过F 作FE ⊥x 轴于E ，∵∠ABC =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AB =AF ，∵∠OAB +∠ABO =∠OAB +∠EAF =90°，∴∠ABO =∠EAF ，在△ABO 和△FAE 中，ABO EAF AOB AEF AB AF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AE =OB =2，EF =OA =1，∴F （1，1），设直线BC 的函数表达式为：y =kx +b ，∴12k b b +=ìí=-î，解得32k b =ìí=-î，∴直线BC 的函数表达式为：y =3x -2，故答案为：y =3x -2．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，一次函数y x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为______．由旋转的性质得：30ABC Ð=°122AD AB \==，2BD AB =设(0)OC m m =>，则AC OC =14．将直线y x =绕原点旋转90°，得直线l(1)画出直线l ；(2)求l 的解析式．【答案】(1)见解析(2)y x=-【分析】（1）如图，在y x =上取点()1,1,A 把A 绕原点顺时针旋转90°可得()1,1,B - 则直线OB 即为直线l ；（2）先确定直线l 是正比例函数，把()1,1B -代入直线l 的解析式，然后根据待定系数法求解即可．【详解】（1）解：如图，在y x =上取点()1,1,A 把A 绕原点顺时针旋转90°可得()1,1,B -再作直线OB ，则直线OB 为将直线y x =绕原点旋转90°的直线l ．（2）解：点O 绕原点O 顺时针旋转90°得到的点是它的本身，把()1,1B -代入解析式：∴1,k =-所以直线解析式是y x =-．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换的知识，难度适中，掌握“点(),a b 绕原点顺时针旋转90°以后的点的坐标是(),b a -”是解本题的关键．15．（1）写出点(2,4)A -绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是 ；（2）写出直线2y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式是 ；（3）求直线22y x =--绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式．【答案】（1）(4,2)--；（2）0.5y x =；（3）0.51y x =-【分析】（1）根据旋转的性质可直接得到旋转后的坐标；（2）根据点(2,4)A -是直线2y x =-上的一点，求出点(2,4)A -旋转后的点坐标，再根据待定系数法即可求得答案；（3）根据22y x =--过两点(1,0)-，(0,2)-，计算出点(1,0)-，(0,2)-旋转后的点坐标，再根据待定系数法求出函数的解析式．【详解】解：（1）如图所示，根据旋转的性质可得1B O BO =，1A O AO =，11AB A B =，∴点(2,4)A -绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是(4,2)--；（2）∵点(2,4)A -是直线2y x =-上的一点，绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是(4,2)--，设直线2y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式为y kx =，将点(4,2)--代入，得()24k -=´-，得0.5k =，（3）∵直线22y x =--上过两点(1,0)-，(0,2)-，将其绕坐标原点逆时针旋转90°，得到对应点的坐标为(0,1)-，(2,0)，设过这两点的直线解析式为y kx b =+，则120b k b =-ìí+=î，解得0.51k b =ìí=-î ，∴旋转后的直线解析式为：0.51y x =-．【点睛】本题考查一次函数的解析式，解题的关键是根据题意得到直线上的点，再通过待定系数法求出解析式．16．规定：在平面直角坐标系内，某直线1l 绕原点O 顺时针旋转90°，得到的直线2l 称为1l 的“旋转垂线”．(1)求出直线2y x =-+的“旋转垂线”的解析式；(2)若直线1110()y k x k =+¹的“旋转垂线”为直线2y k x b =+．求证：121k k ×=-．17．（1）点(1,2)绕坐标原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是 （2）直线22y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°得到的直线解析式是 （3）求直线2y x =+关于原点对称的直线的解析式．由AOC OBD D @D 可得，DO =\点B 的坐标为(2,1)-，故答案为：(2,1)-；（2）如图，当0x =时，=2y -；当0y =时，2x =∴直线22y x =-与坐标轴交于绕坐标原点逆时针旋转90°后分别得到设CD 解析式为y kx b =+，则当0x =时，2y =；当0y =时，2x =-∴直线2y x =+与坐标轴交于(0,2)A ，(2,0)B -，关于原点对称的点分别为(0,2)C -，(2,0)D ，设CD 解析式为y kx b =+，则202b k b-=ìí=+î，解得12k b =ìí=-î，\直线CD 解析式为2y x =-．【点睛】本题考查了坐标系中点的旋转，直线的旋转问题，解题的关键是需要结合图形，根据点的旋转规律找直线旋转的解析式．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2）．(1)求直线AB 的表达式；(2)将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°后，点A 落到点C 处，点B 落到点D 处，线段AB 上横坐标为34的点E 在线段CD 上对应点为点F ，求点F 的坐标．19．在平面直角坐标系中，直线l ：443y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到A OB ¢¢△ ．(1)求直线A B ¢¢的解析式；(2)若直线A B ¢¢与直线l 相交于点C ，求A BC ¢△的面积．20．（1）如图1，等腰直角三角形ABC 的直角顶点在直线l 上． 过点A 作AD l ^交于点D ， 过点B 作BE l ^交于点E ， 求证：ADC CEB @V V ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线124l y x =+：分别与y 轴，x 轴交于点A ，B ， 将直线1l 绕点A 顺时针旋转45°得到2l ， 求2l 的函数表达式；（3）如图3，在平面直角坐标系，点()6,4B ， 过点B 作AB y ^交于点A ， 过点B 作BC x ^交于点C ， P 为线段BC 上的一个动点，点(),24Q a a -位于第一象限． 问点,,A P Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a 的值； 若不能， 请说明理由．【详解】解：（1）由题意可知AC CB =， 90ADC CEB Ð=Ð=°ABC Q V 为等腰直角三角形90ACB \Ð=°∴90ACD BCE Ð+Ð=°90ACD CAD Ð+Ð=°Q ，CAD BCE \Ð=Ð在ADC CEB 和V V 中90CAD BCE ADC CEB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=îADCCEB \@V V ()AAS ．（2）由题意意可知点A 坐标为()04，，点B 坐标为()20-， 过点B 作1BC l ^交2l 于点C ， 过点C 作CE x ^轴交x 轴于点E ，由（1）的证明可知BEC AOB @V V24CE BO BE AO \====，\点C 坐标为()62-，设2l y kx b=+：2l Q 过点()()0462A C -，，，\ 426b k b =ìí=-+î，解得 134k b ì=ïíï=î，2143l y x \=+：．（3）如图：作线段AP 的中垂线记为3l ，由等腰三角形的性质可知，若点Q 存在，则一定在3l 上．①当点Q 在AB 下方时过点Q 作EF y ^轴交于点E ， 则EF BC ^交于点F ，由（2）的证明不难得出，AEQ QFPV V ≌AE QF \=， 即()4246a a --=-解得2a =， 则点()20Q ，与点Q 位于第一象限相矛盾，故2a =舍去②当点Q 在AB 上方时过点Q 分别作MN y ^轴交于点M ， 则MN CB ^的延长线交于点N ，由（2）的证明不难得出，QMA PNQV V ≌MA NQ \=， 即()2446a a --=- 解得143a =， 则点141633Q æöç÷èø，符合题意．综上，143a =．【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于a 的方程是解题关键．21．在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC 的函数表达式．∵=45ABC а，90BAD Ð=°【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．22．如图，一次函数2y x b =+的图像经过点(1,3)M ，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点．（1）填空：b = ；（2）将该直线绕点A 顺时针旋转45o 至直线l ，过点B 作BC AB ^交直线l 于点C ，求点C 的坐标及直线l 的函数表达式．∵∠BDC=90°，∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°∴∠BCD=∠ABD，同理，∠CBD=∠BAO，23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．(1)点A坐标是（ ， ）、点B坐标是（ ， ）；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．∵=45ABC а，∴ABF △是等腰直角三角形，∴AB AF =．∵OAB ABO OAB EAF Ð+Ð=Ð+Ð∴BM CN ∥，BC CN =．∵直线BM 为21y x =-，∴设直线CN 的函数表达式为2y x =∵直线BC 的函数表达式为：13y x =∴30C （，），∴60c +=，解得6c =-，∴BC CM =，设21M m m -（，）．∵BC CM =，01B -（，），∴22BC CM =，∴222213321m m +=-+-（）（），解得2m =或0（不合题意，舍去）24．如图，一次函数y x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）A B ．C ．2D【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．。

初中旋转试题及答案在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何概念。

它涉及到图形的平移、旋转和缩放等变换。

以下是一份初中旋转试题及答案，旨在帮助学生掌握旋转的基本概念和计算方法。

试题一：一个点A(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后，点A的新坐标是什么？答案：当一个点绕原点顺时针旋转90度时，它的坐标会互换并改变符号。

因此，点A(3,4)旋转后的新坐标为(4,-3)。

试题二：一个矩形ABCD，其中A(1,2)，B(5,2)，C(5,6)，D(1,6)，绕点A顺时针旋转90度后，矩形的新位置是什么？答案：矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度后，点B(5,2)变为(2,5)，点C(5,6)变为(6,5)，点D(1,6)变为(6,1)。

因此，旋转后的矩形顶点坐标为A(1,2)，B(2,5)，C(6,5)，D(6,1)。

试题三：一个等边三角形，顶点分别为E(0,0)，F(3,0)，G(1.5,3)，绕点E逆时针旋转120度后，三角形的新位置是什么？答案：等边三角形EFG绕点E逆时针旋转120度后，点F(3,0)变为(0,3)，点G(1.5,3)变为(-1.5,1.5)。

因此，旋转后的等边三角形顶点坐标为E(0,0)，F(0,3)，G(-1.5,1.5)。

试题四：一个圆心在H(4,4)的圆，半径为5，绕点H逆时针旋转45度后，圆的位置会如何变化？答案：圆心H(4,4)的圆绕圆心逆时针旋转45度后，圆的位置不会改变，因为旋转是围绕圆心进行的。

圆心坐标仍然是H(4,4)，半径仍然是5。

试题五：一个正方形IJKL，其中I(2,1)，J(3,1)，K(3,2)，L(2,2)，绕点I逆时针旋转45度后，正方形的新位置是什么？答案：正方形IJKL绕点I逆时针旋转45度后，点J(3,1)变为(2.707,0.707)，点K(3,2)变为(2,2.414)，点L(2,2)变为(1.293,1.707)。

因此，旋转后的正方形顶点坐标为I(2,1)，J(2.707,0.707)，K(2,2.414)，L(1.293,1.707)。

八年级数学平移旋转在几何证明中的应用(图形的平移与旋转)拔高练习试卷简介:本试卷共5道选择题，全面考察学生对旋转和平移这一部分知识的掌握学习建议:北师版八年级上册第三章图形的平移与旋转，平移和旋转的定义和性质要熟练掌握。

一、单选题(共5道，每道20分)1.(呼和浩特）把∠A是直角的△ABC绕A点沿顺时针方向旋转85°，点B转到点E得△AEF，则以下列结论错误的是（）A.∠BAE=85°B.AC=AFC.EF=BCD.∠EAF=85°答案：D解题思路：旋转前后的两个图形是全等的，所以∠EAF=∠BAC=90°易错点：旋转的定义，性质试题难度：一颗星知识点：旋转的性质2.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′ 的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________A.70°B.35°C.45°D.40°答案：D解题思路：解：∵△ABC旋转得到△AB′C′，∴△ABC≌△AB′C′，∴∠B ′AC′=∠BAC=70°，从而∠1+∠2=70°，∠2+∠3=70°，∴∠1=∠3.∵C′C∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=70°。

而AC=AC′，∴∠AC′C=70°，∴∠C′AC=40°，从而∠3=40°。

易错点：利用平行进行角度的转移，利用全等找到线段的等量关系。

旋转前后的两个图形是全等图形试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质3.如图，△ABC中，AC=5，中线AD=7，△EDC是由△ADB绕D点旋转所得到的，则AB边的取值范围是( )A.1<AB<29B.4<AB<24C.5<AB<19D.9<AB<19答案：D解题思路：解：旋转不改变图形的形状和大小，△EDC≌△ADB ∴AB=CE，DE=AD=7 在△ACE中，三角形三边关系定理得：AE-AC易错点：旋转前后对应线段试题难度：二颗星知识点：旋转的性质4.已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB 与EF交于点G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小（）度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形．A.120°B.90°C.60°D.30°答案：D解题思路：解：要使四边形ACDE为以ED为底得梯形，则AC∥DE ∵BC⊥AC ∴BC⊥DE ∵∠E=30°∴∠EDF=60°从而∠BFD=30°即转过的最小角度为30°易错点：旋转角度试题难度：二颗星知识点：旋转的性质5.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE 于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2 ；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋；⑤S正方形ABCD＝4＋．其中正确结论的序号是（）A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤答案：D解题思路：过B做BF⊥AE的延长线于点F①AE=AP，AB=AD，∠EAB+∠BAP=∠BAP+∠PAD=90°，∴∠BAE=∠DAP，△AEB≌△APD(SAS)，①正确；②∠AEB=∠APD=135°，∴∠BEF=45°，AF⊥BF，∴△BEF为等腰直角三角形；△BEP为直角三角形，,BE=，BF=∴②错③∵∠ABE=∠ADE，∠ADE+∠AGD=90°，∠AGD=∠BGE∴∠BGE+∠ABE=90°，DE⊥BE，∴③正确，④错。

第三章图形的平移与旋转3.2图形的旋转一、单选题1．（2023秋·广东珠海·七年级统考期末）下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成如图这种花瓶形状的几何体的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解．【详解】解：A．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；B．旋转后是圆柱体，不是所需立体图形，故不符合题意；C ．旋转后是所需立体图形，符合题意；D ．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查平面图形与立体图形，理解并掌握平面图形旋转的性质，立体图形的形状特点是解题的关键．2．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，图形绕点O 旋转后可得到下列哪个图形（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可求解．【详解】解：将图形绕点O 顺时针旋转90 得到而其他选项的图形不能由原图形旋转得出，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2023秋·四川绵阳·九年级校联考期末）如图，在ABC 中，AB AC ，70ACB ，若将AC 绕点A 逆时针旋转60 后得到AD ，连接BD 和CD ，则BDC （）A ．19B ．20C ．21D ．22 【答案】B 【分析】由已知条件可求出CAB 的度数，根据旋转的性质可得ACD 为等边三角形，可求出BAD 、ADC 的度数以及得到AB AD ，进而求出ADB 的度数，由角的和差关系可得BDC 的度数．【详解】由旋转得：AC AD ，60CAD ，∴ACD 为等边三角形，∴60ADC ，∵AB AC ，70ACB ，∴AB AD ，ACB ABC Ð=Ð，∴180240CAB ACB ，604020BAD CAD CAB ，∵AB AD ，∴(18020)280ABD ADB ，∴806020BDC ADB ADC ．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，依据性质求角度是解题的关键．4．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，将三角形AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到三角形COD ，若10AOB ＝，则AOD 的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．65°【答案】B 【分析】根据旋转的性质确定旋转角，再由AOD AOB BOD 求解即可．【详解】根据旋转的性质可知：40BOD ，又10AOB＝104050AOD AOB BOD ，故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，根据题意确定旋转角是解题关键．5．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB 可以看作是将DCE △绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是（）A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(2,1)D ．(2,2)【答案】D 【分析】根据旋转中心到对应点距离相等，可知旋转中心是OC 、BE 的垂直平分线的交点．【详解】解：如图，旋转中心是OC 、BE 的垂直平分线的交点，旋转中心的坐标为(2,2)，故选D ．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，明确旋转中心到对应点距离相等是解题的关键．6．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）AOB 绕点O 逆时针旋转65 后得到COD △，若30AOB ，则BOC 的度数是（）A ．25B ．30C ．35D ．65 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得65AOC BOD ，结合30AOB ，即可求BOC 的度数．【详解】解：∵AOB 绕点O 逆时针旋转65°得到COD △，∴65AOC BOD ，∵30AOB ，∴35BOC AOC AOB ，故选C ．【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键．二、填空题7．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）如图，如果三角形BCD 旋转后能与等边三角形ABC 重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有_______个．【答案】3【分析】根据三角形BCD 旋转后能与等边三角形ABC 重合，确定旋转中心，即可得到答案．【详解】解：以点B 为旋转中心，BCD △顺时针旋转60 ，能与等边三角形ABC 重合；以C 为旋转中心，BCD △逆时针旋转60 ，能与等边三角形ABC 重合；以BC 的中点为旋转中心，BCD △旋转180 ，能与等边三角形ABC 重合；则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个．故答案为：3【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键．8．（2023秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，点A ，B 的坐标分别为 1,1、 3,2，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90 ，得到A B C ，则B 点的坐标为________．【答案】0,3【分析】根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B 的坐标．【详解】解：如图，根据图形可得：点B 坐标为 0,3，故答案为： 0,3．【点睛】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答．9．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，将等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转 得到CB A ⅱV ，使得B ，C ，A 三点在同一直线上，则 ___________________．【答案】120 ##120度【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质，利用180ACB ，求出ACA 的度数，即为 的度数．【详解】解：∵将等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转 得到CB A ⅱV ，∴ACA ，60ACB ，∵B ，C ，A 三点在同一直线上，∴180120ACA ACB ；故答案为：120 ．【点睛】本题考查求旋转角，等边三角形性质．熟练掌握对应点与旋转中心形成的夹角即为旋转角，是解题的关键．10．（2023秋·广西南宁·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ，4AC ，3BC ，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到AB C △，使点B 在AC 的延长线上，则B C 的长为________.三、解答题11．（2022秋·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，下列的图案是由什么基本图案经怎样的旋转得到的，把它画出来？【答案】见解析【分析】根据旋转的性质进行求解即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）；以上基本图案绕着对称轴旋转一周得到．【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质正确作图是解本题的关键．12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1.(1)画出将ABC 绕点O 顺时针方向旋转90 后得到的A B C ；(2)请直接写出A ，B ，C 三点的坐标．【答案】(1)见解析(2) 4,0A ， 0,1B ，2,2C【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A ，B ，C 即可；（2）根据点的位置写出坐标即可．【详解】（1）解：如图，A B C 即为所求；（2）解：由坐标系中图形的位置可知： 4,0A ， 0,1B ， 2,2C ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．提升篇一、填空题1．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 0,6，点B 的坐标为 8,0，连接AB ，若将Rt ABO △绕点B 顺时针旋转90 ，得到Rt A BO △，则点A 的坐标为___________．【答案】14,8【分析】根据旋转的性质，得到8,6O B OB O A OA ，90,90OBO BO A BOA ，得到 8,8O ，O A x ∥，进而求出A 的坐标即可．【详解】解：∵点A 的坐标为 0,6，点B 的坐标为 8,0，∴6,08OA B ，∵将Rt ABO △绕点B 顺时针旋转90 ，得到Rt A BO △，∴8,6O B OB O A OA ，90,90OBO BO A BOA ，∴90OBO BO A ， 8,8O ，∴O A x ∥轴，∴ 86,8A ，即： 14,8A ；故答案为： 14,8．【点睛】本题考查坐标轴下的旋转．熟练掌握旋转的性质，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．2．（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）如图，在ABC 中，108BAC ，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C △．若点B 恰好落在BC 边上，且AB CB ，则C 的度数为________．【答案】24【分析】设C x ，根据题意可得AB AB B C ，根据等边对等角可得，C CAB ，B AB B ，利用三角形外角的性质可得2AB B C ，根据题意，列方程求解即可．【详解】解：设C x ，根据旋转的性质可得AB AB B C则C CAB ，B AB B ，∴22B AB B C x ，由180BAC B C 可得1082180x x ，解得24x ，即24C 故答案为：24【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．3．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）如图，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB ，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90 ，得到CBE △(点A 的对应点为点)C ，连接DE ，延长AE 交CE 于点F ，则四边形BE FE 为正方形，若15AB ，3CF ，则DE 的长为____________．则90DGA AEB ，20cm BC ．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60 ，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是______．由题意得，EDF 20cm BC DF ，根据O 是边()BC DF 的中点，可得：∵ABC 绕点O 顺时针旋转∴60BOD NOF旋转180 ，得到11O AB △，再将11O AB △绕点1O 旋转180 ，得到112O A B △，再将112O A B △绕点1A 旋转180 ，得到213O A B △，……，按此规律进行下去，若点(2,0)B ，则点6B 的坐标为___________．【答案】(8,63)【分析】根据中心对称的性质，可得1(0,23)B ，1(2,23)O ，再根据1B 、2B 、3B ……的坐标，根据规律即可得出答案．【详解】解：∵ABO 是等边三角形，(2,0)B ，∴2OB OA AB ，60AOB ．过点A 作AM OB ，交OB 于点M ，交11O B 于点N ，∴30OAM ，∴112OM OA ，∴22213AM ，∴(1,3)A ，∵将等边OAB 绕点A 旋转180 ，得到11O AB △，∴11AO B AOB ≌，∴111,2AN AM O B OB ，∴1(0,23)B ，1(2,23)O ，同理2(4,23)B ，3(2,43)B ，4(6,43)B ，5(4,63)B ，6(8,63)B ，故答案为：(8,63)．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，以及直角三角形的性质，规律问题，根据题意，找到图形变化的规律是解题的关键．二、解答题6．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 1,0A ， 3,4B ， 2,4C ， 6,6D ．(1)沿水平方向移动线段AB ，使点A 和点C 的横坐标相同，画出平移后所得的线段11A B ，并写出点1B 的坐标；(2)将线段11A B 绕某一点旋转一定的角度，使其与线段CD 重合（点1A 与点C 重合，点1B 与点D 重合），请作出旋转中心点P ．【答案】(1)图见解析，点1B 的坐标为(0,4)(2)见解析【分析】（1）利用C 点的横坐标为2，把AB 向右平移2个单位即可；（2）作1CA 与1DB 的垂直平分线，它们的交点为P ．【详解】（1）如图，线段11A B 为所作，点1B 的坐标为(0,4)；（2）如图，点P 为所作．【点睛】本题考查了平移作图，以及旋转中心的确定方法：把旋转前后重合的点看成是两图的对应点；找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点就是旋转中心．7．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB ，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ，连接EF ，EF 与AC 交于点G．(1)求证：EF BC ；(2)若65ABC ，28ACB ，求FGC 的度数．【答案】(1)见解析(2)78【分析】（1）由旋转的性质可得AC AF ，利用SAS 证明ABC AEF ≌△△，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF BC ；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出18065250BAE ，那么50FAG ．由ABC AEF ≌△△，得出28AFE ACB ，再根据三角形外角的性质即可求出78FGC FAG AFG ．【详解】（1）证明：∵CAF BAE ，∴BAC EAF ．∵将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，∴AC AF ．在ABC 与AEF △中，AB AE BAC EAF AC AF，∴ABC AEF ≌△△（SAS ），∴EF BC ；（2）解：∵AB AE ，65ABC ，∴AEB ABC ，∴18065250BAE ，∴50FAG BAE ．∵ABC AEF ≌△△，∴28AFE ACB ，∴502878FGC FAG AFG ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明ABC AEF ≌△△是解题的关键．8．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂长AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD ，10DM ．(1)在旋转过程中：①当A 、D 、M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A 、D 、M 三点是同一直角三角形的顶点时，求AM 的长．(2)若摆动臂AD 顺时针旋转90 ，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D 处，连接12D D ，如图2，此时2BD 260CD ，求2 AD C 的度数．【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形及其逆定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．。

八年级数学下册《旋转的应用》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：_____________一、填空题1．若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则第三边的长为______．2．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E 与DC 的距离EF 为4米，且弧DC 所在圆的半径为10米，则路面AB 的宽度为_____米．3．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，,30AE AF EAF =∠=︒，则AEB ∠=___________︒；若AEF 的面积等于1，则AB 的值是___________．4．如图，数学兴趣小组的同学在利用等边三角形画出美丽的“三角玫瑰”图案，已知等边△ABC 的边长是24，D ，E ，F 分别在三边上，且DE △BC ，EF △AC ，FD △AB ，则BE 的长是________．5__．6．如图，在ABC 中，90,BAC AD ∠=︒是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是____________．△ABE △的面积等于BCE 的面积；△AFG AGF ∠=∠；△2FAG ACF ∠=∠；△CG 是ACD △的角平分线二、单选题7．如图，O 是等边△ABC 内一点，OA =3，OB =4，OC =5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：△△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；△线段OO′=4；△△AOB =150°；△'AOBO S 四边形 ）个A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，ABC EFD ≌，那么下列结论正确的是（ ）A ．EC BD =B ．EF AB ∥C ．DE BD = D ．AC ED ∥9．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A．110°B．90°C．70°D．20°10．如图，将△ABC旋转得到△ADE，DE经过点C，若AD△BC，40∠=︒，则△ACB的度数为（）BA．65︒B．55︒C．45︒D．40︒11．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC BD、交于原点O，DF AB⊥交AC于点G，BD=，则AG的长为()反比例函数0)y x=>的图象经过线段DC的中点E，若8A．B C．D12．如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．(﹣1，0)B．(20)C．3，0)D．(30)三、解答题13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且△CDF=△BDC、△DCF=△ACD．(1)求证：DF =CF ；(2)若△CDF =60°，DF =6，求矩形ABCD 的面积．14．如图1，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()0,1，30BAO ∠=︒，以AB 为边在第一象限作等边ABC ，MN 垂直平分OA ，AM AB ⊥．(1)求AB 的长．(2)求证：MB OC =．(3)如图2，连接MC 交AB 于点P ，CP 与MP 相等吗？请说明理由．15．已知：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC AC =，点D 在直线AB 上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =．(1)如图1，△点D 在AB 边上，线段BE 和线段AD 数量关系是______，位置关系是______；△直接写出线段AD ，BD ，DE 之间的数量关系______．(2)如图2，点D 在B 右侧．AD ，BD ，DE 之间的数量关系是______，若AC BC ==1BD =．直接写出DE 的长______．(3)拓展延伸如图3，90DCE DBE ∠=∠=︒，CD CE =，BC =1BE =，求出线段EC 的长．参考答案与解析：1．7【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式进行判断即可．【详解】解：设第三边边长为x ，由题意可得：7272x -<<+，即59x <<，△第三边的长为奇数，△7x =即第三边的长为7．故答案为：7．【点睛】本题考查三角形的三边关系，根据三边关系列出不等式是解题的关键．2．16【分析】先根据勾股定理CF 8=米，根据垂径定理求出DF =CF =8米，然后根据四边形ABCD 为矩形，得出AB =DC =16米即可．【详解】解：△EF =4米，OC =OE =10米，△OF =OE -EF =6米，在Rt △OEC 中，CF 8=米，△OF △DC ，DC 为弦，△DF =CF =8米，△DC =2×8=16米，△四边形ABCD 为矩形，△AB =DC =16米，故答案为：16．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键． 3． 60【分析】由正方形的性质证明ABE ADF ≅，即可得到BAE DAF ∠=∠，再由30EAF ∠=︒可得30BAE DA F F EA ∠=∠=∠=︒，即可求出AEB ∠．设BE x =，表示出AEF 的面积，解方程即可．【详解】△正方形ABCD△90B D BAD ∠=∠=∠=︒，AB AD DC CB ===△AE AF =△Rt ABE Rt ADF ≅（HL ）△BAE DAF ∠=∠，BE DF =△30EAF ∠=︒，90BAE DA F F EA ∠+∠+∠=︒△30BAE DA F F EA ∠=∠=∠=︒△60AEB ∠=︒设BE x =△),,1AB DF BE x CE CF x ====△AEF ABE ADF CEF ABCD S S S S S =---正方形211222AB AB BE CE CF =-⋅⨯-⋅21)1)1)2x x x =⋅-⋅ 2x =△AEF 的面积等于1△21x =，解得1x =，1x =-（舍去）△AB ==故答案为：60【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30°直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4．8【分析】根据等边三角形的性质和判定，△DEF 是等边三角形，从而证明△BED △△CFE △△ADF ，AD =BE =CF ，结合直角三角形的性质，BD =2BE =2AD ，得到BD +AD =AB 即3BE =24计算即可．【详解】△△ABC是等边三角形，△△A=△B=△C=60°，△ DE△BC，EF△AC，FD△AB，△△BDE=△FEC=△AFD=30°，△△FDE=△DEF=△EFD=60°，△△DEF是等边三角形，△DE=EF=FD，△△BED△△CFE△△ADF，△AD=BE=CF，△BD=2BE=2AD，△BD+AD=AB，△3BE=24，解得BE=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定性质，直角三角形的性质是解题的关键．5．2【分析】如图，连接OB、OC，过点O作OH BC⊥于点H．由正六边形的性质可证明△BOC是等边三角形，即得出△OBC＝60°．再由OH30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出OB的长，即为这个正六边形的半径．【详解】解：如图，连接OB、OC，过点O作OH BC⊥于点H．△此六边形是正六边形，△△BOC ＝3606︒＝60°． △OB ＝OC ，△△BOC 是等边三角形，△△OBC ＝60°，由题意可知OH设BH ＝x ，则OB =2x ，△在Rt △OBH 中，222BH OH OB +=，△222(2)x x +=，解得：1x =或1x =-（舍），△OB ＝OC ＝BC ＝2，即这个正六边形的半径为2．故答案为：2．【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．正确的画出图形并连接辅助线是解题关键．6．△△△△【分析】根据等底同高的三角形的面积相等即可判断△；根据直角三角形两锐角互余求出△ABC ＝△CAD ，根据三角形的外角性质即可推出△；根据直角三角形两锐角互余求出△BAD ＝△ACD ，根据角平分线定义即可判断△；根据三角形的角平分线的定义判断△即可．【详解】解：△BE 是中线，△AE ＝CE ，△△ABE 的面积＝△BCE 的面积（等底同高的三角形的面积相等），△正确；△CF 是角平分线，△△ACF ＝△BCF ，△AD 为高，△△ADC ＝90°，△△BAC ＝90°，△△ABC ＋△ACB ＝90°，△ACB ＋△CAD ＝90°，△△ABC ＝△CAD ，△△AFG ＝△ABC ＋△BCF ，△AGF ＝△CAD ＋△ACF ，△△AFG ＝△AGF ，△正确；△AD 为高，△△ADB ＝90°，△△BAC ＝90°，△△ABC ＋△ACB ＝90°，△ABC ＋△BAD ＝90°，△△ACB ＝△BAD ，△CF 是△ACB 的平分线，△△ACB ＝2△ACF ，△△BAD ＝2△ACF ，即△F AG ＝2△ACF ，△正确；△CF 是△ACB 的平分线，CF 交AD 于点G ，△CG 是△ACD 的角平分线，△正确；故答案为：△△△△．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．7．D【分析】连接OO '，证明△ΔBO A BOC '≅，又60OBO ∠'=︒，所以△BO A 可以由BOC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到，故结论△正确；由OBO ∆'是等边三角形，可知结论△正确；在AOO ∆'中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故AOO ∆'是直角三角形；进而求得150AOB ∠=︒，故结论△正确；2ΔΔ134462AOO OBO AOBO S S S '''=+=⨯⨯=+四边形△正确． 【详解】解：如图，由题意可知，123260∠+∠=∠+∠=︒，13∠∠∴=，又OB O B ='，AB BC =，∴△()ΔBO A BOC SAS ≅'，又60OBO ∠'=︒，∴△BO A 可以由BOC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到，故结论△正确；如图，连接OO '，OB O B ='，且60OBO ∠'=︒，OBO ∴∆'是等边三角形，4OO OB ∴'==．故结论△正确；△ΔBO A BOC '≅，5O A ∴'=．在AOO ∆'中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， AOO 是直角三角形，90AOO ，9060150AOB AOO BOO ∴∠=∠'+∠'=︒+︒=︒，故结论△正确；2ΔΔ134462AOO OBO AOBO S S S '''=+=⨯⨯=+四边形△正确． 故选：D【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．8．B【分析】根据全等三角形的性质得出ED =AC ，△E =△A ，据此即可一一判定，得出答案．【详解】解：△△ABC △△EFD ，△ED =AC ，△E =△A ，故C 错误，△ED -CD =AC -CD ，EF AB ∥，故B 正确，△EC =AD ，故A 错误，AC 与ED 在一条直线上，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．9．B【分析】根据正方形的性质得到AB =AD ，△BAD =90︒，由旋转的性质推出ADE △ABF ，求出△F AE =△BAD =90︒，即可得到答案．【详解】△四边形ABCD 是正方形，△AB =AD ，△BAD =90︒，由旋转得ADE △ABF ，△△F AB =△EAD ，△△F AB +△BAE =△EAD +△BAE ，△△F AE =△BAD =90︒，△旋转角的度数是90︒，故选：B ．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．10．A【分析】先根据旋转的性质可得,,40AE AC ACB E D B =∠=∠∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得E ACE ∠=∠，从而可得ACB ACE ∠=∠，再根据直角三角形的两个锐角互余可得50BCD ∠=︒，然后根据平角的定义即可得．【详解】解：△将ABC 旋转得到ADE ，40B ∠=︒，△,,40AE AC ACB E D B =∠=∠∠=∠=︒，E ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，△AD BC ⊥，△90904050BCD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒，又180ACB ACE BCD ∠+∠+∠=︒，()118050652ACB ∴∠=⨯︒-︒=︒， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．11．B【分析】过E 作y 轴和x 的垂线EM ，EN ，证明四边形MENO 是矩形，设E （b ，a ），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab =进而可计算出CO 长，利用等边三角形的性质可得1230∠=∠=︒，然后利用勾股定理计算出DG 长，进而可得AG 长．【详解】解：过E 作y 轴和x 的垂线EM ，EN ，垂足分别为M ，N ， 设E （b ，a ），△反比例函数y =x ＞0）经过点E ，△ab =△四边形ABCD 是菱形，△BD △AC ，DO =12BD =4，△EN △x ，EM △y ，△四边形MENO 是矩形，△ME x ∥，EN y ∥，△E 为CD 的中点， EM x ∥轴，,AC BD ⊥ 连接OE ，,OEDE CE ,,DM OM ON CN△4163DO CO ab ，△CO = 224438,CD△四边形ABCD 是菱形，8,AB AD BD ∴===ABD ∴为等边三角形，而,,DFAB AC BD△1230,△DG =AG ， 设DG =r ，则AG =r ，,r在Rt △DOG 中，DG 2=GO 2+DO 2，△222434r r ， 解得：833r，△AG = ． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的运算，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k ．12．D【分析】根据勾股定理求得AB =AC ＝AB ，则OC ＝AC ﹣OA ，所以由点C 位于x 轴的负半轴来求点C 的坐标．【详解】解：如图，△A （3，0）、B （0，2），△OA ＝3，OB ＝2，△在直角△AOB 中，由勾股定理得AB=又△以点A 为圆心，AB 为半径的弧交x 轴负半轴于点C ，△AC ＝AB△OC ＝AC ﹣OA =3．又△点C 在x 轴的负半轴上，△C （30）．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质．解题时，注意点C 位于x 轴的负半轴，所以点C 的横坐标为负数．13．(1)见解析(2)【分析】（1）先证明△DCF △△DCO 得到DF =DO ，CF =CO ，再由矩形的性质证明OC =OD ，即可证明DF =CF =OC =OD ；（2）由全等三角形的性质得到△CDO =△CDF =60°，OD =DF =6，即可证明△OCD 是等边三角形，得到CD =OD =6，然后解直角三角形BCD 求出BC 的长即可得到答案．(1)解：在△DCF 和△DCO 中，==DCF DCO CD CDCDF CDO ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， △△DCF △△DCO （ASA ），△DF =DO ，CF =CO ，△四边形ABCD 是矩形， △1122OC OD AC BD ===， △DF =CF =OC =OD ；(2)解：△△DCF △△DCO ，△△CDO =△CDF =60°，OD =DF =6，又△OD =OC ，△△OCD 是等边三角形，△CD =OD =6，△四边形ABCD 是矩形，△△BCD =90°，△tan BC CD BDC =⋅∠△ABCD S BC CD =⋅=矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．14．(1)2(2)见解析(3)MP CP =，理由见解析【分析】（1）先利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半直接求出AB ；（2）因为根据条件可得△OAC =△MAB =90°，再证2MA AN OA ==，由ABC 是等边三角形，得出,460AC AB =∠=︒，从而证明()SAS MAB OAC ≌，即可解答；（3）作CH AB ⊥于H ，根据条件可得：()AAS ABO CBH ≌，所以OA HC =，由(2)AM =AO 可得AM HC =，可求得()AAS MPA CPH ≌，从而求解．（1）解△(),0,1B1OB =∴．在Rt AOB 中，130∠=︒．△22AB OB ==．（2）证明△如图1，⊥MA AB,∠=︒130,260∴∠=︒，OAMN垂直平分,330∴∠=︒，∴==．MA AN OA2ABC是等边三角形，∴=∠=︒．,460AC AB∴∠=∠=︒．MAB OAC90()MAB OAC∴≌．SAS∴=MB OC（3）=理由如下△解△MP CP⊥于H．如图2，作CH AB由已知，,60AB CB CBH ABO =∠=∠=︒．又90AOB CHB ∠=∠=︒()AAS ABO CBH ∴≌．OA HC ∴=．由(2) 可得AM =AO ，则AM HC =．又MPA CPH ∠=∠，90CHP MPA ∠=∠=︒()AAS MPA CPH ∴≌．MP CP ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握并运用等边三角形的性质．15．(1)△BE ＝AD ，BE △AD ；△222=AD BD DE +(2)222=AD BD DE +【分析】（1）△证△ACD △△BCE （SAS ），得AD ＝BE ，△A ＝△CBE ＝45°，则△ABE ＝△ABC +△CBE ＝90°，即可得出BE △AD ；△由△得AD ＝BE ，△ABE ＝90°，在Rt △BDE 中，由勾股定理得BE 2+BD 2＝DE 2，即可得出结论； （2）连接BE ，证△ACD △△BCE （SAS ），得△A ＝△CBE ＝45°，则△DBE ＝90°，再由勾股定理得222=BE BD DE +，则222=AD BD DE +，进而求解即可；（3）过C作CA△CB交DB于A，证△ACD△△BCE（ASA），得AD＝BE＝1，AC＝BC，则AB＝2，再由勾股定理求出DE的长，即可求解．（1）解：△△△ACB＝90°，BC＝AC，△△A＝△ABC＝45°，△CE△CD，△△DCE＝90°＝△ACB，△△ACB﹣△BCD＝△DCE﹣△BCD，即△ACD＝△BCE，△AC＝BC，CD＝CE，△△ACD△△BCE（SAS），△AD＝BE，△A＝△CBE＝45°，△△ABE＝△ABC+△CBE＝90°，△BE△AD，故答案为：BE＝AD，BE△AD；△由△得：AD＝BE，△ABE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得：222+，=BE BD DE△222+，AD BD DE=故答案为：AD2+BD2＝DE2；（2）解：如图2，连接BE，△△ACB＝△DCE＝90°，△△ACB+△BCD＝△DCE+△BCD，即△ACD＝△BCE，△AC＝BC，CD＝CE，△△ACD△△BCE（SAS），△AD＝BE，△A＝△CBE＝45°，△△A+△ABC＝90°，△△ABE＝△ABC+△CBE＝90°，△△DBE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得：222+，=BE BD DE△222=+，AD BD DE△△ACB＝90°，AC＝BC＝△AB AC＝4，△AD＝AB+BD＝4+1＝5，△DE故答案为：222+＝AD BD DE（3）解：过C作CA△CB交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示：则△ACB＝90°＝△DCE，△△DCE﹣△ACE＝△ACB﹣△ACE，即△ACD＝△BCE，△△DCO＝△EBO＝90°，△DOC＝△EOB，△△CDA＝△CEB，又△CD＝CE，△△ACD△△BCE（ASA），△AD＝BE＝1，AC＝BC△△ABC是等腰直角三角形，∵BC，△AB＝2，△BD＝AB+AD＝3，△△DBE＝90°，△DE，△EC【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，运用类比方法解答是解题的关键．。

旋转练习题及答案旋转是几何学中的一个重要概念，它描述了物体在空间中绕着一个固定点或轴线进行的转动。

以下是一些关于旋转的练习题及相应的答案。

练习题1：在平面直角坐标系中，点P(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后，求新的位置坐标。

答案1：点P绕原点顺时针旋转90度后，其新位置坐标为(-4,3)。

练习题2：已知一个矩形ABCD，其中A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)。

求矩形绕点A顺时针旋转30度后，各顶点的新坐标。

答案2：旋转后，各顶点的新坐标为A'(0,0)，B'(2,2√3)，C'(2,-2√3)，D'(-2,-3)。

练习题3：一个圆心在原点，半径为5的圆，绕原点顺时针旋转45度后，求圆上任意一点P(x,y)的新坐标。

答案3：设点P的极坐标为(r,θ)，其中r=5，θ为点P与x轴正方向的夹角。

旋转45度后，新的角度为θ' = θ + 45°。

使用极坐标到直角坐标的转换公式，新坐标为：\[ x' = r \cdot \cos(\theta') \]\[ y' = r \cdot \sin(\theta') \]练习题4：在三维空间中，一个立方体的顶点A(1,1,1)绕通过原点O(0,0,0)且与x轴平行的直线旋转60度后，求新的位置坐标。

答案4：由于旋转轴与x轴平行，所以A点在x轴上的坐标不变，即x'=1。

y 和z坐标将根据旋转矩阵进行变换：\[ y' = y \cdot \cos(60°) - z \cdot \sin(60°) \]\[ z' = y \cdot \sin(60°) + z \cdot \cos(60°) \]代入数值计算得：\[ y' = 1 \cdot \cos(60°) - 1 \cdot \sin(60°) \]\[ z' = 1 \cdot \sin(60°) + 1 \cdot \cos(60°) \]\[ y' = -1/2, z' = 3/2 \]所以新坐标为A'(1, -1/2, 3/2)。

解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.52(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，现将△ADE绕点A自由旋转，如图2，设直线BD与CE相交于点P，当AE⊥EC时，线段PC 的长为．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD的中心与正方形EFGH的顶点E重合，且与边AB、BC相交于M、N，图中阴影部分的面积记为S，两条线段MB、BN的长度之和记为l，将正方形EFGH绕点E逆时针旋转适当角度，则有()A.S变化，l不变B.S不变，l变化C.S变化，l变化D.S与l均不变3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A B C O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A B C O绕点O旋转的过程中，OA 与AB相交于点M，OC 与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD =∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，求四边形ABCD的面积．请你帮小颖解答这道题．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD中，AB⊥DB．将△ABD绕点B逆时针旋转至△FBE，记旋转角∠ABF=α0°<α≤180°，当线段FB与DB不共线时，记△ABE的面积为S1，△FBD的面积为S2．【特例分析】如图2，当EF恰好过点A，且点F，B，C在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD=43，则S1=，S2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S1与S2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E作EH⊥AB于点H，过点D作DG⊥FB，交FB的延长线于点G，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S1与S2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S1+S2为▱ABCD面积的12时，α的值为解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】A【分析】根据旋转的性质可得∠A=∠D，由对顶角相等可得∠BFD=∠EFA，根据三角形的外角性质可得∠DBF=∠AEF，即可求解．【详解】解：∵将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，∴∠A=∠D，∵∠BFD=∠EFA，∴∠BFE=∠A+∠AEF=∠D+∠DBF∵∠FEA=40°，∴∠DBF=∠AEF=40°，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°【答案】B【分析】由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=42°，就可以算出旋转角．【详解】由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=42°，∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=96°，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键．2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°【答案】C【分析】由旋转的性质可得∠BAD=94°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB=43°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，∴∠BAD=94°，AB=AD，∴∠B=∠ADB=43°，∵∠BAC=104°，∴∠C=180°-104°-43°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°【答案】C【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．【详解】解：由旋转的性质可知，∠CAE=∠BAC=50°，AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，在△ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∴50°+2∠ACE=180°，解得：∠ACE=65°，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°【答案】B【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：∵CC ∥AB，∠CAB=70°，∴∠C CA=∠CAB=70°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，∴∠C AB =∠CAB=70°，AC =AC，∴∠AC C=∠C CA=70°，∴∠C AC=180°-70°-70°=40°，∵∠BAB =∠CAB-CAB ，∠CAC =∠C AB -CAB ，∴∠BAB =∠C AC=40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°【答案】D【分析】根据旋转的性质得出∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，根据三角形内角和定理可得∠CAF=20°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设AD,BC交于点F，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，∵AD⊥BC，∴∠AFC=90°，∴∠CAF=90°-∠C=90°-70°=20°，∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，∴∠BAC=∠DAE=85°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.【答案】40°/40度【分析】根据旋转的性质得到AO=A O，根据等边对等角得到∠A=70°=∠OA A，再利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A 在AB上，∴AO=A O，∵∠B=20°，∠AOB=90°，∴∠A=70°=∠OA A，∴∠AOA =180°-2×70°=40°，即旋转角α的度数是40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，关键是得出∠A=70°=∠OA A，题目比较典型，难度不大．7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【答案】36°或180°7【分析】如图，设∠B=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠A=180°-2x，再利用旋转的性质得CB=CD，∠2=∠B=x，则∠1=∠B=x，利用平角定理得∠5=180°-2x，利用三角形外角性质∠3=360°-4x得，讨论：当CD=CF时，∠2=∠3=x，则x=360°-4x；当CD=DF时，∠4=∠3，利用∠2+∠3+∠4=180°得到x+2360°-4x=180°；当CF=DF时，∠2=∠4=x，利用∠2+∠3+∠4= 180°得到x+x+360°-2x=180°，然后分别解关于x的方程，然后计算180°-2x即可得到∠A的度数．【详解】解：如图，设∠B=x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x∴∠A=180°-2x，∵△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，∴CB=CD，∠2=∠B=x，∴∠1=∠B=x，∴∠5=180°-2x，∠3=∠A+∠5=360°-4x，当CD=CF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠3=x，则x=360°-4x，解得x=72°，此时∠A=180°-2x =36°；当CD=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠4=∠3，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+2360°-4x=180°，解得x=540°7，此时∠A=180°-2x=180°7，当CF=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠4=x，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+x+360°-2x=180°，无解，故舍去，综上所述，△CDF为等腰三角形时∠A的度数为36°或180°7，故答案为36°或180°7．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【分析】根据图形旋转的性质可得CB =CB=5，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，∴CB =CB=5，∴AB =CB -CA=5-3=2．故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【分析】利用勾股定理求得BC=6，再根据旋转的性质可得CD=CB=6，即可求解．【详解】解；∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC=102-82=6，∵把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，∴CD=CB=6，∴AD=AC-CD=8-6=2，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理和旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．【答案】32【分析】先由旋转的性质得到AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，然后由∠ACB= 90°计算出AB的长度，最后由勾股定理算出线段BD的长．【详解】解：由旋转得，AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，∵∠ACB=90°,∴AB=AC2+BC2=222+12=3，∴AD=AB=3，∵∠DAB=90°，∴BD=AB2+AD2=32+32=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟练应用“旋转过程中对应线段相等”是解题的关键．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．【答案】25【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质可得AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，从而求出的长，然后在Rt△A C A中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，由旋转得：AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，∴AC =AB-BC =5-3=2，∠AC A =180°-∠BC A =90°，∴AA =C A2+A C 2=22+42=25，故答案为：25．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性质可求AD=DH，由旋转的性质可得DE=DF，∠EDF=90°=∠ADH，由“SAS”可证△ADF≌△HDE，可得AF=HE=2．【详解】解：如图，取AB的中点H，连接CH，DH，∵∠C=90°，AC=BC=6，H是AB的中点，∴AB=62，AH=BH=32=CH，CH⊥AB，又∵点D是AC的中点，∴AD =CD =DH ，AD ⊥DH ，∵BE =22，∴EH =2，∵将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°，∴DE =DF ，∠EDF =90°=∠ADH ，∴∠ADF =∠EDH ，∴△ADF ≌△HDE SAS ，∴AF =HE =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，现将△ADE 绕点A 自由旋转，如图2，设直线BD 与CE 相交于点P ，当AE ⊥EC 时，线段PC 的长为．【答案】3-1或3+1【分析】由△ADE 绕点A 自由旋转可知有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，先证△ABD 和△ACE 全等，进而可证四边形AEPD 为正方形，然后求出PE =1，CE =3，进而可得PC 的长；②当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，同理①证△ABD 和△ACE 全等，四边形AEPD 为正方形，进而得PE =1，CE =3，据此可求出PC 的长，综上所述即可得出答案．【详解】解：∵△ADE 绕点A 自由旋转，∴有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，如图：由旋转的性质得：∠DAE =∠BAC =90°，∴∠BAD +∠DAC =∠DAC +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，∴AD =AE =1，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ADB =∠AEC =90°，∴∠ADP =∠DAE =∠AEC =90°，∴四边形AEPD 为矩形，又AD =AE =1，∴矩形AEPD 为正方形，∴PE =AE =1，在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∠AEC=90°，由勾股定理得：CE=AC2-AE2=3，∴PC=CE-PE=3-1；②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：同理可证：△ABD≌△ACE(SAS)，四边形AEPD为正方形，∴BD=CE，PE=AE=1，在Rt△ABD中，AD=1，AB=2，∠ADB=90°，由勾股定理的：BD=AB2-AD2=3，∴CE=BD=3，∴PC=CE+PE=3+1．综上所述：当AE⊥EC时，线段PC的长为3-1或3+1．答案为：3-1或3+1．【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，全等三角形的判定、正方形的判定方法，灵活运用勾股定理进行计算，难点是根据题意进行分类讨论并画出示意图，漏解是易错点之一．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【答案】3【分析】根据旋转的性质得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】∵∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，∴AB=AD，∠B=60°，AB=3，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定是解题的关键．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【答案】A【分析】根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌△OCM，即可求出两个正方形重叠部分的面积．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON+∠BOM=∠MOC+∠BOM=90°∴∠BON=∠MOC．在△OBN与△OCM中，∠OBN=∠OCM OB=OC∠BON=∠COM，∴△OBN≌△OCM ASA，∴S△OBN=S△OCM，∴S四边形OMBN =S△OBC=14S正方形ABCD=14×1×1=14．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形OMBN 的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定【答案】B【分析】设AB 与B C 交于D 点，根据旋转角∠CAC =15°，等腰直角△ABC 的一锐角∠CAB =45°，可求∠C AD ，旋转前后对应边相等，对应角相等，AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，解直角△AC D ，可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C 交于D 点，根据旋转性质得∠CAC =15°，而∠CAB =45°，∴∠C AD =∠CAB -∠CAC =30°，又∵AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，∴设C D =x ，则AD =2x ，∴AD 2=AC 2+C D 2，即2x 2=52+x 2，∴解得x =533，∴C D =533cm ，∴阴影部分面积为：12×5×533=2536cm 2 .故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD 的中心与正方形EFGH 的顶点E 重合，且与边AB 、BC 相交于M 、N ，图中阴影部分的面积记为S ，两条线段MB 、BN 的长度之和记为l ，将正方形EFGH 绕点E 逆时针旋转适当角度，则有()A.S 变化，l 不变B.S 不变，l 变化C.S 变化，l 变化D.S 与l 均不变【答案】D 【分析】如图，连接EB ，EC ．证明△EBM ≌△ECN ASA ，可得结论．【详解】解：如图，连接EB ，EC ．∵四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，∴EB =EC ，∠EBM =∠ECN =45°，∠MEN =∠BEC =90°，∴∠BEN +∠BEM =∠BEN +∠CEN =90°，∴∠BEM =∠CEN ，在△EBM 和△ECN 中，∠EBM =∠ECNEB =EC ∠BEM =∠CEN，∴△EBM ≌△ECN ASA ，∴BM =CN ，∴S 阴=S 四边形EMBN =S △EBC =14S 正方形ABCD=定值，l =MB +BN =CN +BN =BC =定值，故选：D ．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．【答案】3【分析】过点B 作B D ⊥AB 于点D ，根据旋转的性质可得到△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C ，进而得到阴影部分的面积等于S △ABB ，再由勾股定理求出AB ，继而得到S △ABB，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，∴AB =AB ,∠BAB =60°，△ABC ≌△AB C ，∴△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C，∴AB =BB ，阴影部分的面积等于S △ABB，∵AC =BC =2，∠C =90°，∴AB =AC 2+BC 2=2，∴BB =2,BD =1，∴B D =BB 2-BD 2=3，∴S △ABB=12AB ×B D =12×2×3=3，即阴影部分的面积是3．故答案为：3【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A B C O 与正方形ABCD 的边长相等．在正方形A B C O 绕点O 旋转的过程中，OA 与AB 相交于点M ，OC 与BC 相交于点N ，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD 的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°，连接AC ．若AC =6，求四边形ABCD 的面积．请你帮小颖解答这道题．【答案】(1)14，见解析(2)18，见解析【分析】(1)只需要证明△MOB ≌△NOC 得到S △MOB =S △NOC ，即可求解．(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，证明△EAD ≌△CAB 得到S △ABC =S △ADE ，AE =AC =6，则S △AEC =12×6×6=18S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △ADE =S △EAC =12AE ⋅AC =18．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，四边形OA B C 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB =OC ，∠OBM =∠OCN =45°，∠A OC =90°，∴∠BOC =∠A OC =90°，∴∠BOM =∠CON ，∴△BOM ≌△CON ASA ，∴S △BOM =S △CON ，∴S 四边形OMBN =S △OBC =14S 正方形ABCD ．答案为：14；(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC =90°，∵∠DAB =90°，∴∠DAE =∠BAC ，∵∠BAD =∠BCD =90°，∴∠ADC +∠B =180°，∵∠EDA+∠ADC =180°，∴∠EDA =∠B ，∵AD =AB ，在△ABC 与△ADE 中，∠EAD =∠CABAD =AB ∠EDA =∠B，∴△ABC ≌△ADE ASA ，∴AC =AE ，∵AC =6，∴AE =6，∴S △AEC =12×6×6=18，∴S 四边形ABCD =18．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD 中，AB ⊥DB ．将△ABD 绕点B 逆时针旋转至△FBE ，记旋转角∠ABF =α0°<α≤180° ，当线段FB 与DB 不共线时，记△ABE 的面积为S 1，△FBD 的面积为S 2．【特例分析】如图2，当EF 恰好过点A ，且点F ，B ，C 在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD =43，则S 1=，S 2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S 1与S 2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A ，E 分别作直线平行于BE ，AB ，两直线交于点M ，连接BM ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，过点D 作DG ⊥FB ，交FB 的延长线于点G ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S 1与S 2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，α的值为【答案】(1)60；(2)33；33；(3)S 1=S 2，理由见解析；拓展应用：60°或120°【分析】(1)由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得△ABF 是等边三角形，即可求解；(2)过点F 作FM ⊥BD 交DB 延长线于点M ，设AD ,BE 交于点N ，通过证明△ABN ≌△FBM AAS ，进而得出s 1=s 2，再证明AE =AF ，可得S △ABE =12S △EFB ，仅为求解即可；(3)分别根据思路1和2进行推理证明即可；拓展应用：先根据面积之间的关系得出BD=2DG，继而得出∠DBG=30°=∠ABE，分别在图3和图2中进行求解即可．【详解】(1)由旋转可得，∠F=∠BAD,BA=BF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABF=∠BAD，∴∠ABF=∠F，∴BA=AF，∴BA=AF=BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF=α=60°，故答案为：60；(2)如图，过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD,BE交于点N，∵AD∥BC，∴∠ANE=∠ANB=∠EBF=90°=∠ABM，∠EAN=∠AFB，∴∠MBF=∠ABN，∵BF=BA，∴△ABN≌△FBM AAS，∴AN=FM，∵BD=BE，∴S1=S2，∵△ABF是等边三角形，∴∠AFB=60°=∠EAN,AB=AF，∴∠E=30°=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=AF，S△EFB，∴S△ABE=12∵AD=43，∴AB=23=BF,BD=6=BE，×6×23=63，∴S△EFB=12∴S△ABE=33，∴s1=s2=33，故答案为：33,33；(3)解：S1=S2，理由如下：思路1：如图，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，∵AM∥BE,ME∥AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴AM=BE，∠MAB+∠ABE=180°，∵旋转，∴AB=BF，BD=BE，∠ABD=∠EBF=90°，∴BD =AM ，∵∠ABD +∠ABE +∠EBF +∠FBD =360°，∴∠ABE +∠DBF =180°，∴∠MAB =∠DBF ，在△MAB 和△DBF 中，AM =BD∠MAB =∠DBF AB =BF，∴△MAB ≌△DBF ，∴S △MAB =S 2，∵ME ∥AB ，∴S △MAB =S 1，∴S 1=S 2.思路2：如图，过点E 作EH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，过点D 作DG ⊥BF 交BF 延长线于点G ，∵EH ⊥AB ，DG ⊥BF ，∴∠H =∠G =90°，∵旋转，∴BD =BE ，AB =BF ，∠DBA =∠EBF =90°，∴∠EBG =90°，∴∠EBG =∠ABD ，∴∠EBG -∠ABG =∠ABD -∠ABG ，即∠EBH =∠GBD ，在△EBH 和△DBG 中，∠H =∠G∠EBH =∠GBD BD =BE，∴△EBH ≌△DBG ，∴EH =DG ，∴S 1=12AB ⋅EH =12BF ⋅DG =S 2；拓展应用：∵S 1=S 2，∴当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，S 1=S 2=14S 平行四边形ABCD ，由(3)思路2得，S 1=12⋅AB ⋅EH ,S 平行四边形ABCD =AB ⋅BD ,EH =DG ，∴12⋅AB ⋅EH =14AB ⋅BD ，∴BD =2EH ，即BD =2DG ，∴∠DBG =30°=∠ABE ，如图3，∠ABF =120°；如图2,∠DBE =∠ABF=90°-30°=60°，综上，α的值为60°或120°，故答案为：60°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。

旋转综合应用（北师版）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则，由勾股定理，得OA=2，∴∠AOC=30°①当点A绕点O逆时针旋转150°时，如图，此时，；②当点A绕点O顺时针旋转150°时，如图，过点A′作A′D⊥y轴于点D，此时∠A′OD=30°，∴A′D=1，OD=∴综上，的坐标为故选C试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：由旋转可知，CA=CD，∴，∴．∵∠AFD是△AFC的一个外角，∴．△ADF是等腰三角形，需分三种情况讨论:①当AF=DF时，，无解；②当AD=AF时，，解得；③当DF=DA时，，解得．综上所述，当旋转角的度数为20°或40°时，△ADF是等腰三角形．故选B试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是( )A.4B.9C.6D.3答案：C解题思路：1．思路分析：①读题标注，如图所示，②根据题意调整图形，使点D落在边BC上，如图所示，根据题意可证得△OCD≌△PAO，可得AP=OC=6．2．解题过程：如图，调整图形，使点D落在边BC上，根据题意可得，∠A=∠DOP=∠C=60°，则∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°，∴∠1=∠3又∵OD=OP，∴△OCD≌△PAO（AAS），∴AP=OC=6故选C试题难度：三颗星知识点：略4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，当点落在直线AB上时，旋转角为（其中），那么之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：根据题意画出符合题意图形，如图所示，由旋转的性质可得，，∴，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，∴∠CAB=90°-α，∴整理得，.故选D试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若，则四边形ABCD的面积为( )A.6B.12C.16D.20答案：A解题思路：如图，延长CB到点E，使BE=CD，连接AE，在四边形ABCD中，易得∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠D又∵AB=AD∴△ABE≌△ADC（SAS），∴，∠BAE=∠DAC，∵∠DAC+∠BAC=90°,∴∠BAE+∠BAC=90°，即∠CAE=90°∵∴ 6.故选A．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②∠AED=45°；③BE+CD=DE；④，其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③答案：B解题思路：在Rt△ABC中，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°由旋转可知，△ACD≌△ABF∴CD=BF，AD=AF，∠ACB=∠ABF，∠CAD=∠BAF∴∠EBF=90°，∠FAD=90°∵∠DAE=45°∴∠FAE=∠DAE在△AED和△AEF中∴△AED≌△AEF，①正确；∵△BEF是直角三角形，CD=BF，∴，④正确．∵∠DAE=45°若∠AED=45°，则∠ADE=90°，与题干不符，故②错误；在Rt△BEF中，BE+BF>EF，即BE+CD>DE，故③错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转（）得到．设AC的中点为F，的中点为E，连接EF. （1）EF的最小值为( )A.1B.2C. D.3答案：A解题思路：如图，连接CE，∵点F为AC的中点，AC=2，∴CF=1，在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，∴AB=4，由旋转的性质知，，，∠=∠A=60°，∵点E为的中点，∴，∴，∵∠=60°，∴是等边三角形，∴在△CEF中，CE-CF≤EF，即EF≥1，如图，当点C，E，F共线时，可以取到“=”，∴EF的最小值为1，故选A.试题难度：三颗星知识点：略8.（上接第7题）（2）当EF最小时，旋转角为( )A.60°B.120°C.180°D.300°答案：D解题思路：由上题的解析知，旋转角为300°，故选D.试题难度：三颗星知识点：略9.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高AD所在直线上的一个动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接DN．则在点M运动过程中，线段DN的最小值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，取AC的中点E，连接ME，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=2a，∠ACB=60°，∵AD是等边△ABC的高，∴CD=BC=a，∠CAD=30°，∵E是AC的中点，∴CE=AE=AC=a，∴CD=CE=a，由旋转的性质，得CM=CN，∠MCN=60°，∴∠ECM=∠DCN，∴△ECM≌△DCN，∴DN=EM，当EM⊥AD时，EM最小，此时，在.故选D.试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在长方形ABCD中，AB=1，BC=2，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到长方形的位置，则在旋转过程中的最小值是( )A. B.1C. D.答案：C解题思路：如图，连接CD1，AC，由旋转的性质，得AD1=AD，在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，由勾股定理，得，在△ACD1中，AC-AD1≤CD1，即CD1≥，当A，C，D1共线时，可以取到“=”，如图，故选C.试题难度：三颗星知识点：略。

初中数学旋转专题要点感知1将一个平面图形F上的每一个点,绕这个平面内一定点旋转同一个角.,得到图形 F',图形的这种变换叫做旋转.这个定点叫,角.叫.预习练习1-1以下运动属于旋转的是〔〕A.滚动过程中的篮球的滚动B.钟表的钟摆的摆动C.气球升空的运动D. 一个图形沿某直线对折的过程要点感知2 一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中央的距离,两组对应点分别与旋转中央的连线所成的角.预习练习2-1如图,把三角形ABC绕着点C顺时针旋转,得到三角形A'B' C,那么图中一定与NACA'相等的角是.要点感知3旋转不改变图形的和.预习练习3-1如图,点D是三角形ABC内一点,将三角形DBC绕点B旋转到三角形EBA的位置, 假设三角形BDC的周长为22 cm, AC=9 cm,那么三角形AEB的周长是〔〕A.31 cmB.13 cmC.22 cmD.15 cmZ?C知识点1旋转1.如图,将左边的长方形绕点P旋转一定角度后,得到位置如右边的长方形,那么旋转的角度是〔〕A.30°B.60°C.90°D.180°P2.如图,将三角形ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到三角形人'8, C,那么图中一定等于50°的角的个数有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个3.能由左图旋转得到的图形是〔〕4.如图,知识点2旋转的性质5.如图,将三角形人08绕点0按逆时针方向旋转60°后得到三角形〔30口,假设NAOB=15°,那么NAOD 的度数是〔〕A.15°B.60°C.45°D.75°6.如图,三角形ABC由三角形人'8, C'绕O点旋转180°而得到,那么以下结论不成立的是〔〕A.点A与点A'是对应点B.BO=B Z 0C.NACB=NC' A’ B‘D.AB=A‘ B’7.如图,绕点O旋转得到的两个图形的对应点M与N到旋转中央O的距离.〔填“相等〞或“不相等〞〕8 .如图,将三角形0人8绕点0按逆时针方向旋转至三角形0八'8',使点B 恰好落在边A'B'上. AB=4 cm,BB Z =1 cm,那么 A,B 长是 cm.知识点3旋转的作图9 .如图,三角形ABC 以0为旋转中央顺时针旋转90°,请作出旋转后的图形.A /v.月C将三角形ABC 绕点A 旋转后得到三角形八口£,那么以下旋转方式中,符 B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45°D.逆时针旋转45°11 .以下四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中央,顺时针旋转120°后能与原图形 完全重合的是〔〕10.如图,在正方形网格中, 合题意的是〔〕A.顺时针旋转90°12 .如图,将直角三角形AOB 绕点O 旋转得到直角三角形COD,假设NAOB=90°,NBOC=130°,那么 NAOD 的度数为〔〕A. 40°B. 50°C. 60°D. 30°A.点MB.格点NC.格点PD.格点Q15.有两个完全重合的长方形,将其中一个始终保持不动,另一个长方形绕其对称中央.按逆时 针方向进行旋转,每次均旋转45°,第1次旋转后得到图1,第2次旋转后得到图2,…,那么第 10次旋转后得到的图形与图1〜4中相同的是〔〕16.如图,将一副三角尺叠放在一起,使直角顶点重合于点O,绕着O 任意转动其中一个三角尺,那么 与NAOD 始终相等的角是.13 .将如下图的图案绕其中央旋转 A.60 B.9014 .如图,在6X4方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙,那么其旋转中央是〔〕图1图3C.图3图4D.图4 ,那么n 的最小值是〔〕D.18017.怎样将图中的甲图案变成乙图案?18.在图中作出“三角旗〞绕0点按逆时针旋转90°后的图案.1——— 心一■=：: B 二* , ■ i • -■ ! °L■■■■—_-r, ! ■L™J19.如图,如果正方形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合,那么图形所在的平面上可以作为旋转中央的点共有多少个？是哪几个？AE参考答案要点感知1旋转中央旋转角预习练习1-1 B要点感知2相等相等预习练习2-1 NBCB,要点感知3形状大小预习练习3-1 C1.C2.B3.B4.B5.C6. C7.相等8.39.图略.10. B 11. A 12. B 13. C 14. B 15. B 16. ZBOC17.步骤：(1)将图甲绕某点逆时针旋转一定角度,使树干与地面垂直；(2)接着将旋转后的图形向右平移至与图乙重合即可.18.图略.19. 3个.绕点D顺时针旋转90°；绕点C逆时针旋转90°；绕CD中点旋转180。