江门市2015年普通高中高二调研测试(二)数学(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（A ）｛－1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝2.若a 为实数且（2+ai ）（a -2i ）=－4i ，则a =（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）845.设函数f (x )=⎩⎨⎧≥++-1,2,1),2(log 112x x x x ＜，则f (－2)+ f (log 212) =（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 7.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN=（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）108.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=（A ）0（B ）2（C ）4（D ）149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体 积的最大值为36，则球O 的表面积为（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与 DA 运动，∠BOP=x 。

广东省江门市棠下中学2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）某礼堂的座椅第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依此类推，那么第十五排的座位个数是（）A．27 B．33 C．45 D．512．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°3．（5分）在△ABC中，若，则B为（）A．B．C．或D．或4．（5分）在﹣1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则（）A．a=2，b=5 B．a=﹣2，b=5 C．a=2，b=﹣5 D．a=﹣2，b=﹣55．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．2976．（5分）等比数列{a n}中，前n项和满足S5=10，S10=50，则S15=（）A．210 B．250 C．310 D．3507．（5分）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，则该三角形的最大内角为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A：B：C=3：1：2，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．3：1：2 C．1：：2 D．2：1：9．（5分）在△ABC中，若bcosA=acosB，则该三角形是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形10．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.11．（5分）若数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+3n，则数列的项a5=_．12．（5分）cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则数列{a n}的通项公式为．14．（5分）观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第8行中间数是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共80分）.15．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n；（3）求使得S n取最小值的序号n．16．（12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．17．（14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．（14分）某地计划从2006年起，用10年的时间创建50所“标准化学校”，已知该地在2006年投入经费为a万元，为保证计划的顺利落实，计划每年投入的经费都比上一年增加50万元．（1）求该地第n年的经费投入y（万元）与n（年）的函数关系式；（2）若该地此项计划的总投入为7250万元，则该地在2006年投入的经费a等于多少？19．（14分）如图所示，某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A？20．（14分）设a1=2，a2=4，数列{b n}满足：b n=a n+1﹣a n，b n+1=2b n+2，（1）求证：数列{b n+2}是等比数列（要指出首项与公比）（2）求数列{a n}的通项公式．（3）求数列{na n+2n2}的前n项和．广东省江门市棠下中学2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）某礼堂的座椅第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依此类推，那么第十五排的座位个数是（）A．27 B．33 C．45 D．51考点：类比推理．专题：规律型．分析：观察座位数的特征：5，7，9．它们的后一项与前一项的差为同一个常数，是等差数列，从而依据等差数列的通项公式即可求出第15项即可．解答：解：由于第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，∴5，7，9，…构成一个等差数列，第十五排的座位个数是它的第15项，∴第十五排的座位个数是5+（15﹣1）×2=33．故选B．点评：本小题主要类比推理、等差数列的应用、等差数列通项公式等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．2．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．解答：解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又 0＜B＜π，∴B=或，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．3．（5分）在△ABC中，若，则B为（）A．B．C．或D．或考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过正弦定理求与题设的条件求出sinB的值，进而求出B．解答：解：∵∴∵根据正弦定理∴∴sinB=∴B=或故选C点评：本题主要考查正弦定理的运用．在三角形边、角问题中常与面积公式、余弦定理等一块考查，应注意灵活运用．4．（5分）在﹣1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则（）A．a=2，b=5 B．a=﹣2，b=5 C．a=2，b=﹣5 D．a=﹣2，b=﹣5考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：在﹣1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，即﹣1，a，b，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a与b的方程组，求出方程组的解集即可得到a与b的值．解答：解：根据题意得：﹣1，a，b，8成等差数列，∴2a=﹣1+b①，2b=a+8②，由①得：b=2a+1，将b=2a+1代入②得：2（2a+1）=a+8，即3a=6，解得：a=2，将a=2代入得：b=2a+1=5，则a=2，b=5．故选A点评：此题考查了等差数列的性质，利用了方程的思想，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．5．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．解答：解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．6．（5分）等比数列{a n}中，前n项和满足S5=10，S10=50，则S15=（）A．210 B．250 C．310 D．350考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：先根据{a n}为等比数列判断出S5，S10﹣S5，S15﹣S10，进而求得10，40，S15﹣50也为等比数列，利用等比中项的性质求得S15．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，也为等比数列，∵S5=10，S10=50，∴10，40，S15﹣50也为等比数列，∴S15=210，故选：A点评：本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用．7．（5分）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，则该三角形的最大内角为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：判断得到C为最大角，利用余弦定理表示出cosC，把三边长代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答：解：∵a＜b＜c，∴C为最大角，∵△ABC的三边长a=3，b=4，c=，∴由余弦定理得：cosC===﹣，则该三角形最大内角C为．故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A：B：C=3：1：2，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．3：1：2 C．1：：2 D．2：1：考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形三角之比求出各自的度数，进而求出sinA，sinB，sinC之比，利用正弦定理求出三边之比即可．解答：解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A：B：C=3：1：2，∴A=90°，B=30°，C=60°，即sinA：sinB：sinC=1：：=2：1：，利用正弦定理得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=2：1：，故选：D．点评：此题考查了正弦定理，以及内角和定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．（5分）在△ABC 中，若bcosA=acosB，则该三角形是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：应用正弦定理和已知条件，得到sin（A﹣B）=0，故有A﹣B=0，得到△ABC为等腰三角形．解答：解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B=0，则△ABC为等腰三角形，故选：A．点评：本题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，根据三角函数值求角的大小，推出sin（A﹣B）=0 是解题的关键．10．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：设{a n}的公比为q（q＞0且q≠1），由已知可解得q，而=，代入即可．解答：解：设{a n}的公比为q（q＞0且q≠1），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=，而===故选B点评：本题考查等比数列和等差数列的定义及性质，属基础题．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.11．（5分）若数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+3n，则数列的项a5=_94．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+3n，可得a2=2a1+3=5，同理可得a3，a4，a5．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+3n，∴a2=2a1+3=5，同理可得a3=16，a4=41，a5=94．故答案为：94．点评：本题考查了递推式的应用，属于基础题．12．（5分）cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由两角和与差的余弦函数公式化简后即可求值．解答：解：cos45°cos15°+sin15°sin45°=cos（45°﹣15°）=cos30°=．故答案为：．点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数，属于基本知识的考查．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则数列{a n}的通项公式为．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=1时，直接由前n项和求首项，当n大于等于2时，由a n=S n﹣S n﹣1求解．解答：解：由S n=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，．所以．故答案为．点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了由前n项和求通项，注意分类讨论，是基础题．14．（5分）观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第8行中间数是57．考点：等差数列的通项公式；进行简单的合情推理．专题：规律型；等差数列与等比数列．分析：从数阵可知：每一行成公差为1的等差数列，下一行的第一个数比上一行最后一个数大1，结合第n行最右边的数是n2，求第8行最右边的数，结合每行中数的个数求出第8行中间数是第几个，代入等差数列的通项公式求值．解答：解：从数阵可知：每一行成公差为1的等差数列，下一行的第一个数比上一行最后一个数大1，且第n行中数的个数是：2n﹣1，由已知可得第n行最右边的数是n2，故第7行最右边的数为：72=49，故第8行是从50开始的以1为公差的等差数列，因第8行共有2×8﹣1=15，所以第8行中间的数是第8个数，第8个数的数是50+（8﹣1）×1=57，故答案为：57．点评：本题考查归纳推理，以及等差数列的通项公式，属基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共80分）.15．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n；（3）求使得S n取最小值的序号n．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列方程求得首项和公差，则通项公式可求；（2）直接由等差数列的前n项和得答案；（3）把等差数列的前n项和配方，利用二次函数的性质求得使得S n取最小值的序号n．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差d，∵a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12；（2）由（1）得；（3）由（2）得，∵n∈N*，∴当n为5或6时，S n有最小值．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．16．（12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由2sin（A+B）﹣=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．解答：解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，C=60°．（4分）又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，（6分）∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，（10分）S△ABC=absinC=×2×=．（12分）点评：此题综合考查了韦达定理、余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键．17．（14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的性质求得函数的最小正周期．（2）根据x的范围，确定2x+的范围，最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最小值．解答：解：（1）===，∴函数的最小正周期为π．（2）∵在区间上为增函数，在上为减函数，又，∴函数在区间上的最大值为2，最小值为﹣1．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用．18．（14分）某地计划从2006年起，用10年的时间创建50所“标准化学校”，已知该地在2006年投入经费为a万元，为保证计划的顺利落实，计划每年投入的经费都比上一年增加50万元．（1）求该地第n年的经费投入y（万元）与n（年）的函数关系式；（2）若该地此项计划的总投入为7250万元，则该地在2006年投入的经费a等于多少？考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列的前n项和公式即可求出．解答：解：（1）根据题意，从2006年～～，该地每年投入的经费（单位：万元）依次可以构成一个等差数列{a n}，其中首项a1=a，d=50．∴y=a n=a1+（n﹣1）d=50n+a﹣50 （n∈N+，且n≤10）．（2）根据题意，此项计划的总投入为．又S10=7250，∴10a+2250=7250，解得a=500，因此，该地在2006年投入的经费a=500万元．点评：熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．19．（14分）如图所示，某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A？考点：正弦定理．专题：应用题．分析：先求出cos∠BDC，进而设∠ADC=α，则sinα，cosα可求，在△ACD中，由正弦定理求得得AD，答案可得．解答：解：由已知得CD=21，BC=31，BD=20，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC==﹣，设∠ADC=α，则 cosα=，sinα=，在△ACD中，由正弦定理得=，AD=sin（+α）（×+×）=15，即所求的距离为15公里．点评：本题主要考查了解三角新的实际应用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案．20．（14分）设a1=2，a2=4，数列{b n}满足：b n=a n+1﹣a n，b n+1=2b n+2，（1）求证：数列{b n+2}是等比数列（要指出首项与公比）（2）求数列{a n}的通项公式．（3）求数列{na n+2n2}的前n项和．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接利用已知条件推出，即可数列{b n+2}是等比数列，求出首项与公比．（2）利用（1）求出通项公式，然后求数列{a n}的通项公式．（3）直接利用错位相减法以及拆项法，求解数列{na n+2n2}的前n项和．解答：解：（1）b n+1=2b n+2⇒b n+1+2=2（b n+2），…．（2分）∵，又b1+2=a2﹣a1=4，…．（4分）∴数列{b n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．…．（5分）（2）由（1）得．…．（7分）∵b n﹣1=a n﹣a n﹣1∴．…．（8分）令n=1，2，…，（n﹣1），叠加得，…．（9分）∴=．…．（10分）（3）令，则，…．（11分）令前n项和为S n，∴，∴…．（12分）∴…．（13分）∴…．（14分）点评：本题考查数列求和的方法错位相减法，等比数列的判断，基本知识的考查．。

2021-2022学年广东省江门市高二上学期期末调研（一）数学试题一、单选题1．直线2210x y -+=的倾斜角是（ ）． A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】A【分析】先求斜率，再求倾斜角【详解】2210x y -+=，则斜率1k =，设倾斜角是α，0απ≤< ，即tan 1α=， 所以4πα=故选：A2．圆224240x y x y ++-+=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()2,1-，1r = B ．()2,1-，2r = C ．2,1，1r = D ．2,1，2r =【答案】A【分析】根据圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】由于圆224240x y x y ++-+=，所以其圆心坐标为42,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,1-；半径为1=. 故选：A.3．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-+，则这个数列的通项公式为（ ）A ．42n a nB ．32n a n =-+C ．1,1,4 2.2n n a n n -=⎧=⎨-+≥⎩D ．1,1,32,2n n a n n -=⎧=⎨+≥⎩【答案】C【分析】已知和求通项公式：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行计算.【详解】当1n =时，11211;a S ==-+=-当2n ≥时，()2212121142;n n n a S S n n n -=-=-++--=-+ 故选：C4．在直三棱柱111ABC A B C 中，1190,,BCA D F ∠=︒分別是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（ ） A ．3010B ．12C ．7010D ．3015【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===， 则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =-，()11,0,2AF =-， 设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒， 则11330cos 1056AF BD AF BD α⋅===⨯⋅， 所以270sin 1cos 10αα=-=，即1BD 与1AF 所成角的正弦值是7010. 故选：C.5．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+2，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.6．己知12,F F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．36B ．25C ．20D ．16【答案】B【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆22:1259x y C +=易知5a =，根据椭圆定义可知12210MF MF a +==， 所以21212252MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125MF MF ==时，等号成立，所以1225MF MF ⋅≤，即12MF MF ⋅的最大值为25. 故选：B.7．直线()()()222350R m x m y m ++-+=∈与圆22:(1)(2)16C x y -++=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．6 B ．4C．D．【答案】D【分析】先求出直线经过的定点P，再由弦长公式AB =AB PC ⊥时，AB 最小，从而可求得结果.【详解】因为()()222350m x m y ++-+=可化为()22350x y m x y ++-+=，令()202350x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线AB 恒过定点(1,1)P -，该点在圆内，因为AB =AB 的最小值，即求圆心C 到直线AB 的最大距离d ， 显然当AB PC ⊥时，d PC =最大，AB 最小，又因为圆22:(1)(2)16C x y -++=，所以圆心()1,2C -，216r =，则PC ==故此时2AB ==故选：D.8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ） A ．4x ＋2y ＋3＝0 B ．2x －4y ＋3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0【答案】B【分析】等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出AB 中点和AB 的斜率后可得． 【详解】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为1(,1)2，kAB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝1122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2x －4y ＋3＝0.故选：B ．二、多选题9．若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,,a b a a b -+ B ．,,b c b b c -+ C ．,,a b c a b -+ D ．,,a b a b c c +++【答案】ABD【分析】根据空间向量的共面定理判断即可.【详解】A ：()()12b a b a a ⎡⎤=+-⎦+⎣，A 是； B: ()()12b bc b c ⎡⎤=-++⎣⎦，B 是； C ：{,,}a b c 构成空间的一个基底，故c 无法用,a b 表示，C 不是； D ：()()c a b c a b =++-+，D 是； 故选：ABD10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）．A ．1d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质可求公差和9S ，从而可判断ABCD 的正误. 【详解】因为35a =，73a =，故35142d -==-，故A 错误，B 正确. 而()()91937999836222S a a a a =⨯+=⨯+=⨯=，故C 错误，D 正确.故选：BD.11．已知曲线C 的方程为221282x y m m+=+-，则（ ）A ．当2m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为7y x =± C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C 【答案】AD【分析】对于AB ，代入曲线C 的方程，结合圆的标准方程与双曲线的性质即可判断； 对于C ，结合选项B 的分析举反例即可排除；对于D ，先由曲线C 为双曲线求得m 的范围，22a b =，分类讨论2m <-与4m >两种况情，从而求得10m =，据此判断即可.【详解】对于A ，当2m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22144x y +=，即224x y +=，所以曲线C 是圆，故A 正确；对于B ，当5m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22172x y -=，所以曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =，故B 错误； 对于C ，当1m >时，不妨令5m =，由选项B 可知曲线C 为双曲线，故C 错误；对于D ，假设存在实数m 使得曲线C 因为曲线C 为双曲线，所以(2)(82)0m m +-<，解得2m <-或4m >，，即ca=222c a b =+，易得22a b =， 当2m <-时，曲线C ：()221822y x m m -=--+，则()822m m -=-+，解得10m =，舍去； 当4m >时，曲线C ：221228x y m m -=+-，则228m m +=-，解得10m =，满足题意；综上：存在10m =满足题意，故D 正确. 故选：AD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，EF 是棱AB 上的一条线段，且12EF =点Q 是棱11A D 的中点，点P 是棱11C D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．PQ 与EF 一定不垂直B ．二面角P EF Q --C ．点P 到平面QEF 的距离是定值D ．PEF 【答案】BCD【分析】对于A ，利用特殊位置法，当P 与点1D 重合时即可判断；对于B ，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法可求得二面角P EF Q --的余弦值的绝对值，从而即可判断；对于C ，由线面平行的判定定理判断得到11//C D 平面QEF ，即可判断；对于D ，利用线面垂直的性质定理可得1BC 是PEF 的高，再利用三角形的面积公式求解即可判断． 【详解】对于A ，当P 与点1D 重合时，由正方体的性质易得PQ ⊥面11AA B B ，而EF ⊂面11AA B B ，所以PQ EF ⊥，故A 错误；对于B ，由于点P 是棱11C D 上的动点，EF 是棱AB 上的一条线段，所以平面PEF 即平面11ABC D ， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()11,0,2,2,0,0,2,2,0,0,0,2Q A B D ， 所以()1(1,0,2),(0,2,0),2,0,2QA AB AD →→=-==-，因为平面QEF 即平面QAB ，设平面QAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n QA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x z y -=⎧⎨=⎩，令1z =，则(2,0,1)n →=，设平面11ABC D 的法向量为(),,m a b c =，则100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020a c b -+=⎧⎨=⎩，令1c =，则(1,0,1)m →=，设二面角P EF Q --为θ，0πθ≤≤，所以||21310|cos |cos ,1025||||m n m n m n θ→→→→→→⋅+====⨯， 故2231010sin 1cos 11010θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，由于11//C D EF ，且11C D ⊄平面QEF ，EF ⊂平面QEF ，所以11//C D 平面QEF ， 又点P 在11C D 上，所以点P 到平面QEF 的距离是定值，故C 正确； 对于D ，由于AB ⊥平面11BB CC ，又1BC ⊂平面11BB CC ，所以1AB BC ⊥，所以1BC EF ⊥，又11//C D EF ，所以1BC 是PEF 的高， 所以11112222222PEFSEF BC =⋅⋅=⨯⨯=，故D 正确. 故选：BCD ．.三、填空题13．已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点，则m =______．【答案】4【分析】求出椭圆的焦点，再解方程35m =+. 【详解】解：由题意得椭圆的焦点为()3,0-和()3,0， 所以35m =+4m =． 故答案为：414．已知点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，则OB =__________.【分析】按照点关于平面对称的规律求出B 的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即可. 【详解】因为点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点， 所以()2,1,3B ，所以22OB ==15．如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项和等于330，那么这个数列的首项等于__________. 【答案】1031【分析】利用等比数列前n 项和公式得到方程组，两式作商即可求出q ，进而可求得1a . 【详解】设该等比数列的首项为1a ，公比为()1q q ≠，则()()51510110110113301a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，所以()()10151113311a q q a q q --=--，即1051331q q -=-， 所以()()55511331q q q-+=-，则5133q+=，即532q =，所以2q ，将2q代入510S =得，()11321012a -=-，解得11031a =，所以这个数列的首项等于1031.故答案为：1031. 16．若两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=__________.【答案】14##0.25【分析】根据已知可得OC OA m n ⋅=+=，2221OA m n =+=，利用完全平方公式求得mn ，再根据cos ||||mn OA OBAOB OA OB ⋅∠==⋅即可求得答案.【详解】因为两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，π4AOC BOC ∴∠=∠=，||3OC =，||||1OA OB ==， π||||cos4OC OA OC OA ∴⋅=⋅⋅1==2221OA m n =+=， 又OC OA m n⋅=+，则m n +()()222221212mn m n m n ∴=+-+=-=⎝⎭，即14mn =， n OA OB m ⋅=，4cos ||||1OA OB AOB OA O mn B ⋅∴∠===⋅.故答案为：14.四、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）212n n a -=（2）21n nT n =+ 【分析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去）， ∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．在正四面体OABC 中，,,,E F G H 分别是,,,OA AB BC OC 的中点.设OA a =，,.OB b OC c ==(1)用,,a b c 表示,EF FG ； (2)用向量方法证明； ①EF FG ⊥； ②,,,E F G H 四点共面.【答案】(1)12EF b =，1122FG c a =-(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得12EF OB =，12FG AC =，再由向量的减法运算即可得到答案； （2）①利用空间向量数量积的运算律求得0EF FG ⋅=，从而可证；②用向量a ，b ，c 分别表示出EG ，EF ，EH ，从而得到EG EF EH =+，再利用空间向量的共面定理即可得证.【详解】（1）因为E ，F 分别是OA ，AB 的中点， 所以//EF OB 且12EF OB =，所以1122EF OB b ==，因为F ，G 分别是AB ，BC 的中点，所以//FG AC 且12FG AC =， 所以1111122222FG AC OC OA c a ==-=-．.（2）①不妨设正四面体的棱长为a ，则由题意知向量a ，b ，c 中，两两之间的夹角均为π3，且a b c a ===，所以2π1cos 322a a b a b a a ⋅=⋅=⨯⨯=，同理22a a c b c ⋅=⋅=，所以()()1110224EF FG b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，故EF FG ⊥；②因为()11112222EG OG OE OB OC OA b c a =-=+-=+-，()()1122EH OH OE OC OA c a =-=-=-，12EF b =，所以EG EF EH =+， 所以,,,E F G H 四点共面．19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上一点A 到F 的距离是4，求A 的坐标. 【答案】(1)28y x = (2)()2,4或()2,4-【分析】（1）由题意求得抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点线距离公式求得p 值，从而得到抛物线方程；（2）由抛物线的定义可求得A 点横坐标，再代入抛物线方程即可得解.【详解】（1）根据题意，抛物线的焦点F 为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为3y =，即30x ±=， 则焦点F 到双曲线2213xy -=()222113p =+±，解得4p =（负值舍去），故抛物线的方程为28y x =.（2）设()00,A x y ，由抛物线的定义可知042pAF x =+=，即0442x +=，解得02x =，将02x =代入抛物线方程28y x =，得04y =±， 所以A 的坐标为()2,4或()2,4-．20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈.(1)求证：{}3nn a -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析 (2)()135122n n ++--【分析】（1）由递推式变形得11313n n nn a a ++-=--，从而利用等比数列的定义即可得证； （2）由（1）求得()321nn n a =⨯-+，再利用分组求和法与等比数列的前n 项和公式即可得解.【详解】（1）因为数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈，所以()1133n nn n a a ++-=--，即11313n n nn a a ++-=--， 又1132a -=-，故数列{}3nn a -是以2-为首项，1-为公比的等比数列；（2）由（1）可得()()()132121n n n n a --=-⨯-=⨯-，则()321nn n a =⨯-+，所以()()()212321321321n n n S =+⨯-++⨯-+++⨯-()()()()2213331121n n⎡⎤+++++⎣⎦=-+-+-()313(1)1(1)2131(1)n n ⎡⎤⨯--⨯=--⎣⎦+⨯---()152231n n ++--=. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，三角形PAD 为等边三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且1,2AB AD AD AB CD ⊥==，E 为棱PC 上的动点.（1）若13PE PC =，AC 交BD 于H ，证明：//EH 平面PAD ；（2）若E 为棱PC 的中点，且过,,A B E 三点的平面被该四棱锥截得的截面的面积为23，求CD 的长，并求直线PC 与该截面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4，55. 【分析】（1）::1:2AH HC PE EC ==，结合12PE EC =，证得//EH PA ，从而证明//EH 平面PAD . （2）作出截面ABEF ，由其面积求得CD 的长，建立空间直角坐标系，求得PC 的方向向量及截面ABEF 的法向量，由向量间夹角关系求得线面夹角的正弦值. 【详解】（1）由题意得12PE EC =，又底面ABCD 为梯形，//AB CD ，12AB CD =，∴::1:2AH HC PE EC ==，∴//EH PA . 又EH ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴//EH 平面PAD .（2）如图，取PD 的中点F ，连接,EF AF ，则EF CD ∥且12EF CD =， 又由题意得//AB CD ，12AB CD =，所以,EF AB EF AB =∥，所以四边形ABEF 为平行四边形， 即四边形ABEF 为所截得的截面.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =， 所以AB ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以AB AF ⊥， 所以四边形ABEF 为矩形. 令==AB AD a ，则3AF =，2323ABEF S =四边形2a =，所以2,4AB CD ==， 取AD 的中点O ，连接OP . 由题意得OP ⊥底面ABCD .以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，平行于AB 的直线OG 为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,4,0)C -，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，13(,2,)22E -， 故33(1,4,3),(0,2,0),(,2,)22PC AB AE →→→=--==-. 设平面ABE 的法向量为(,,),n x y z →=则00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332022y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则平面ABE 的一个法向量为(1,0,3).n →=设直线PC 与截面ABEF 所成的角为θ，则(1,0,3)(1,4,3)5sin |cos ,|||.5225n PC θ→→⋅--===⨯ 所以直线PC 与截面ABEF 所成角的正弦值为55. 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，把线面夹角问题转化为向量间的夹角问题求解. 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线2212y x -=的焦距相同，且椭圆C 经过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆C 的上､下顶点分別为,A B ，点P 在椭圆C 上且异于点,A B ，直线,AP PB 与直线:2l y =-分别交于点,M N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过y 轴上的定点？请证明你的结论.【答案】(1)2214x y +=(2)是；证明见解析【分析】（1）根据椭圆与双曲线的几何性质及点在椭圆上列出方程，解之即可得解；（2）先利用点在椭圆上及斜率公式证得1214k k ⋅=-，再联立直线方程分别求得,M N 的坐标，从而写出以MN 为直径的圆的方程，令0x =，即证得该圆必经过y 轴上的定点. 【详解】（1）因为双曲线为2212y x -=，所以2213c =+=，又因为椭圆2222:1x y C a b +=和双曲线的焦距相同，所以2223c a b =-=，将12P ⎫⎪⎭代入椭圆方程222213x y a a +=-，可得42425360a a -+=， 解得24a =或294a =（舍去）， 故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是，证明如下：由（1）得椭圆C ：2214x y +=，所以()()0,1,0,1A B -，令()00,P x y ，则由题设可知00x ≠， 所以直线AP 的斜率0101,y k PB x -=的斜率为0201y k x +=，又点P 在椭圆上，所以()220001,04x y x +=≠，从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-， 又易得AP 的方程为()110y k x -=-，直线PB 的方程为()()210y k x --=-， 由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，解得13 2x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，解得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 所以，直线AP 与直线l 的交点13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线PB 与直线l 的交点21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设点(),Q x y 是以 MN 为直径的圆上的任意一点，则0MQ NQ ⋅=， 故有1231(2)(2)0x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1214k k =-，所以以 MN 为直径的圆的方程为22113(2)1240x y k x k ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭，令0x =，则2(2)120y +-=，解得2y =-+2y =-- 所以以 MN为直径的圆恒过定点(0,2-+或(0,2--.【点睛】关键点睛：本题解决问题的关键有两点，一是利用点在椭圆上证得1214k k ⋅=-，二是以()()1122,,,M x y N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。

广东省江门市普通高中2025届高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，21i z i =-则||z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．22 2．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭3．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则AB =（ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3) 4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 5．若复数1a i z i -=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞- C ．()1,+∞ D ．()0,∞+6．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．227．由曲线3,y x y x == ）A ．512B ．13C ．14D ．128．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则AB =( ) A ．()1,3 B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-9．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)π B ．(4,)π C ．(1,2)π- D ．(4,2)π10．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB AC C ．12+33AB AC D ．1233AB AC - 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8412．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江门市普通高中2015届高三（上）调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2} B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R[品题]：求出不等式2x﹣3＜3x的解集A，再由并集的运算求出A∪B．解答：解：由2x﹣3＜3x得，x＞﹣3，则A={x|x＞﹣3}，又B={x|x≥2}，则A∪B={x|x＞﹣3}，故选：B．点拨：本题考查并集及其运算，属于基础题．2．i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i [品题]：利用复数代数形式的乘除运算法则求解．解答：解：=﹣﹣=．故选：D．点拨：本题考查复数的乘除运算，是基础题，解题时要注意运算法则的合理运用．3．已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c[品题]：根据指数函数和对数函数的图象和性质，以0和1作为中间量，可比较出a，b，c的大小．解答：解：∵＞30=1、0＜=1、c=log3＜log31=0，∴a＞b＞c，故选：A点拨：本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键．4．已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件[品题]：根据“”成立，得到•（﹣）=0，结合是非零向量，，推出，根据充要条件的判定方法可得结论．解答：解：∵，∴•（﹣）=0，∵是非零向量，，∴，故选：D．点拨：题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．5．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8C．2πD．4π[品题]：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，求出几何体的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，∴该几何体的体积为V几何体=S底面h=××π××3=2π．故选：C．点拨：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么几何图形．6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．10[品题]：由A与B的度数求出C的度数，根据sinB，sinC，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：∵在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，c=10，∴∠C=45°，由正弦定理=得：b===5，故选：B．点拨：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离[品题]：求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．点拨：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）[品题]：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0） 0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点拨：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．[品题]：双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线9x2﹣16y2=144可化为，所以a=5，b=3，c=4，所以离心率e==．故答案为：．点拨：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为（3，3），z=2x﹣y的最大值是3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标，利用线性规划的知识即可得到结论．[品题]：解答：解：∵A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，∴|AB|=3﹣1=2，设C（x，y），则x＞0，y＞0，∵△ABC是等腰直角三角形，∴|BC|=|x﹣1|=2，解得x=3或x=﹣1（舍），即C（3，3），由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z=2x﹣y=2×3﹣3=3，故答案为：（3，3），3点拨：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．[品以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异题]：面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点拨：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是﹣1．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．[品根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可得到结论．题]：解答：解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0，f（x）=﹣x≥0，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故答案为：﹣1点拨：本题主要考查函数最值的求解，根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=5．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．[品确定数列{a n}是以3为周期的周期数列，即可得出结论．题]：解答：解：∵a1=﹣，a n=1﹣，∴a2=5，a3=，a4=﹣，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2015=a2=5，故答案为：5．点拨：本题考查归纳推理，确定数列{a n}是以3为周期的周期数列是解题的关键．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：2．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．[品题]：根据的导数为得到原函数是，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减得到结果．解答：解：=4﹣2=2故答案为：2点拨：本题考查定积分，关键是求出原函数，属于一道基础题．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，．考点：两角和与差的正弦函数．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．[品题]：根据求导公式和题意求出f′（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f′（x）＞0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：由题意得，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和．点拨：本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．[品题]：（1）化简可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依题意得，即，从而可求，．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+1﹣cos2x…（2分），=…（4分）∴最小正周期…（5分），最大值…（6分）（2）依题意，…（7分）即…（8分），∴…（10分）∴…（12分）点拨：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．[品题]：（1）根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1，公差d=2，所以可得到a n=2n ﹣1；（2）根据a n先求出b n并将它变成，看到该通项之后，可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消，并且通过求前几项的和会发现是可以的，并且是有规律的，根据这个规律即可求出{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）=；∴S n=b1+b2+b3+…+b n=；通过前几项的求和规律知：若n为奇数，则；若n为偶数，则．点拨：考查等差数列的通项公式，以及裂项的方法求数列前n项和，以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．[品题]：方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．解答：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a，则，在Rt△PDB中，在Rt△EFD中，，∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且∴，这表明PA∥EG而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．点拨：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生[品题]解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．[品题]：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值．解答：解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k×102，解得，设航速为xkm/h时，总费用为y元，则=．（方法一）令，解得x=25（负值舍去），当0＜x＜25时，y′＜0，x＞25时，y′＞0，∴x=25是极小值点，也是最小值点，此时（元）．（方法二）∵x＞0，∴=4000（元），等号成立当且仅当，解得x=25（负值舍去）．答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元．点拨：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．考点：轨迹方程；直线的一般式方程．专题：计算题．[品题]：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．解答：解：（1）设M（x，y），则：（x≠0）；∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；解得k=﹣2；∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．点拨：考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈[﹣1，5]，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．[品题]：（1）把a=﹣3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到导函数的零点，求出M的坐标，求出曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点Q，由Q 的坐标适合函数解析式说明结论成立；（2）把|f（x）|≤33恒成立转化为，然后构造两个函数，，由导数求其最值得答案．解答：（1）证明：当a=﹣3时，f（x）=x3﹣3x2﹣1，f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）=0，得x1=0，x2=2，∴=M（1，﹣3），曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点为，则，∴点Q在曲线y=f（x）上，∴曲线y=f（x）关于点M对称；（2）解：由|f（x）|≤33，即|x3+ax2﹣1|≤33，得﹣33≤x3+ax2﹣1≤33，x=0时，不等式恒成立；x≠0时，不等式等价于，作，，则，，解，得x1=4，解，得．列表：x [﹣1，0）（0，4）4 （4，5]﹣+ 0 ﹣g1（x）↘↗极大值↘+﹣﹣﹣g2（x）↗↘↘g1（﹣1）=﹣31，g1（4）=﹣6，在[﹣1，0）∪（0，5]的最大值为﹣6；g2（﹣1）=35，，在[﹣1，0）∪（0，5]的最小值为．综上所述，a的取值范围为．点拨：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是压轴题．。

江门市2023年普通高中高二调研测试（一）数 学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2． 做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3． 答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

4． 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

5． 考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列{}n a 满足11+12,2(2N n n a a a n n -==-≥∈且），则该数列的第5项为 A ．54B ．65C ．45D ．562.已知(4,9)A ,(6,3)B 两点,以线段AB 为直径的圆的标准方程是A.()()225610x y +++= B.()()225620x y +++=C.()()225620x y -+-= D.()()225610x y -+-=3.20y ++=的倾斜角及在y 轴上的截距分别是A.60,2︒ B.60,2︒- C.120,2︒- D.120,2︒4.若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A ．,,a c a a c +-B ．,,c c b c b +-C ．,,a b a b c +-D ．,,a b c a b c c +-++5.已知M 是抛物线216y x =上的一点且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=︒,则FM 等于A.16B.20C.4D.8内部资料·注意保存试卷类型：B6．直线0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列选项正确的是A.无论A ，B 取任何值，直线都存在斜率B.当0A =，且0B ≠时，直线只与x 轴相交C.当0A ≠，或0B ≠时，直线与两条坐标轴都相交D.当0A ≠，且0B =，且0C =时，直线是y 轴所在直线7.已知{}n a 为等差数列，13545a a a ++=，24633a a a ++=，则10S 等于A.250B.410C.50D.628.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，B ，C 两点在M上，若四边形OABC 为平行四边形，且30OAB ∠=︒，则椭圆M 的离心率为A.322B.322 D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江门市2017届普通高中高三调研测试数学（理科）试题2016.12第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．错误！未找到引用源。

是虚数单位，若错误！未找到引用源。

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A ．1B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

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中，错误！未找到引用源。

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4．若等差数列错误！未找到引用源。

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的前2016项之和错误！未找到引用源。

A ．1506B ．1508C ．1510D ．15125．若错误！未找到引用源。

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，则A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

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D ．错误！未找到引用源。

6．在平面直角坐标系中，“直线错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

平行”是“错误！未找到引用源。

”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是8．如图，空间四边形错误！未找到引用源。

中，点错误！未找到引用源。

分别错误！A B C D A B C D 1111E未找到引用源。

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表1 江门市2015年普通高一调研测试成绩单市(区)学校姓名学号语文数学英语市直江门市第一中学曹咏彤1701010101109113129.5市直江门市第一中学岑柱良1701010102102113125.5市直江门市第一中学常悦1701010103106118116.5市直江门市第一中学陈嘉然170101010485101110.5市直江门市第一中学陈剑飞170101010510311093.5市直江门市第一中学陈凯斌1701010106106123104市直江门市第一中学方赞炎170101010792109101市直江门市第一中学郭泽文170101010810083113.5市直江门市第一中学黄泳琳170101010986115117市直江门市第一中学蒋雨亭1701010110106101122市直江门市第一中学黎炜琳170101011197110128.5市直江门市第一中学李楚忻17010101129982109.5市直江门市第一中学李嘉颖1701010113918298.5市直江门市第一中学李俊杰170101011493134119市直江门市第一中学李立麒17010101158983105.5市直江门市第一中学李丽婵170101011696100113市直江门市第一中学李永康1701010117978994.5市直江门市第一中学李玉琳17010101189692130市直江门市第一中学李苑婷17010101191068199市直江门市第一中学李芷琳1701010120105114115.5市直江门市第一中学梁飞耀1701010121110102110.5市直江门市第一中学梁昊睿17010101221056386.5市直江门市第一中学梁靖川17010101237385103市直江门市第一中学廖嘉俊17010101249712683.5市直江门市第一中学廖嘉仪1701010125109103106.5市直江门市第一中学林锦强170101012685117101市直江门市第一中学林梦莹170101012710510098市直江门市第一中学林晓莹1701010128107104100市直江门市第一中学林颖1701010129959391.5市直江门市第一中学刘格溢17010101309597111.5市直江门市第一中学刘诗17010101319110491市直江门市第一中学卢文燊1701010132103120125市直江门市第一中学骆淏怀1701010133104118111.5市直江门市第一中学区钜添17010101349510196市直江门市第一中学舒瑞哲17010101359473105.5市直江门市第一中学苏珏华1701010136102101117.5市直江门市第一中学谭嘉茵170101013711111288.5市直江门市第一中学谭金霖17010101389211199.5市直江门市第一中学谭振杰170101013910899104.5市直江门市第一中学王杰斌1701010140927196市直江门市第一中学徐维凡170101014110011091.5市直江门市第一中学叶文君17010101429266106市直江门市第一中学余家驹17010101438410584市直江门市第一中学余俊杰170101014497117111市直江门市第一中学詹颖君170101014510794110市直江门市第一中学张会华170101014699112101.5市直江门市第一中学张宇晴170101014710699123.5市直江门市第一中学张志杰170101014894124122.5市直江门市第一中学张志毅170101014999121102市直江门市第一中学甄嘉颖170101015089103122市直江门市第一中学朱曦17010101511006588市直江门市第一中学岑宗健1701010201105111108.5市直江门市第一中学陈钢斌170101020298125118市直江门市第一中学陈惠敏170101020310168110市直江门市第一中学陈健17010102049811799.5市直江门市第一中学陈奕1701010205106101115市直江门市第一中学陈颖琛17010102061029897市直江门市第一中学陈哲锋17010102079798112市直江门市第一中学邓燕钰1701010208113102125.5市直江门市第一中学冯培阳1701010209828589.5市直江门市第一中学何琬潼17010102101119789市直江门市第一中学胡又丹170101021110186101市直江门市第一中学黄宝荣1701010212959689市直江门市第一中学黄聪颖1701010213106100110.5市直江门市第一中学黄颖欣17010102141077995市直江门市第一中学江晓盈1701010215102110120市直江门市第一中学赖政170101021699110103市直江门市第一中学李荷馨1701010217117139125.5市直江门市第一中学李科杰17010102181048080.5市直江门市第一中学李淑媛170101021911394110.5市直江门市第一中学李文170101022094122110市直江门市第一中学李卓盛17010102219286102.5市直江门市第一中学李子伟1701010222104106105市直江门市第一中学梁俊斌1701010223108126121.5市直江门市第一中学梁洽其170101022410789119市直江门市第一中学林惠菁170101022510292104.5市直江门市第一中学林倩滢17010102269995119市直江门市第一中学林逍旬1701010227107103115.5市直江门市第一中学林悦盈17010102289875101.5市直江门市第一中学刘筱莹17010102298810199市直江门市第一中学吕泳瑶170101023080116110.5市直江门市第一中学麦韵瑶170101023199108118市直江门市第一中学潘家祺17010102328899102市直江门市第一中学邱倩莹1701010233109134117.5市直江门市第一中学区伟钊1701010234101101114.5市直江门市第一中学区燮颖1701010235103127129市直江门市第一中学唐荣涵170101023610411391市直江门市第一中学温钊岚170101023711111077.5市直江门市第一中学吴家键170101023810310987市直江门市第一中学吴诗霭1701010239789894.5市直江门市第一中学许诗诺1701010240104111109市直江门市第一中学颜铭杰1701010241103122108.5市直江门市第一中学杨哲170101024210911198.5市直江门市第一中学余俊毅170101024310510691.5市直江门市第一中学余明睿170101024492102110市直江门市第一中学袁晨宇17010102459710691市直江门市第一中学张俊伟17010102468612491.5市直江门市第一中学张粤旸17010102479510679市直江门市第一中学赵翠茵1701010248102113124市直江门市第一中学赵善佑170101024995121103市直江门市第一中学钟玮170101025011298118.5市直江门市第一中学周晓晴170101025198114124市直江门市第一中学朱俊杰1701010252109114111市直江门市第一中学蔡卓沛1701010301116109122.5市直江门市第一中学高尚芳1701010302116136129.5市直江门市第一中学高叶琳1701010303111131126.5市直江门市第一中学何淇昌1701010304111130120市直江门市第一中学黄浩璟1701010305112113127市直江门市第一中学黄嘉豪1701010306114121124.5市直江门市第一中学黄诗婷1701010307112118131.5市直江门市第一中学黄悠1701010308117121115市直江门市第一中学黄宇胜1701010309112125127.5市直江门市第一中学黄煜1701010310114123131市直江门市第一中学黄展鸿1701010311113140127市直江门市第一中学黎雅诗1701010312113106121市直江门市第一中学李灿权1701010313115116130.5市直江门市第一中学李慧瑛1701010314114124129市直江门市第一中学李旻1701010315115118132市直江门市第一中学李佩琳1701010316缺考缺考缺考市直江门市第一中学李绮雪1701010317111128132市直江门市第一中学李汝祥1701010318102123120市直江门市第一中学李穗生1701010319102124110市直江门市第一中学李婉盈1701010320120128132.5市直江门市第一中学李依霖1701010321108147139.5市直江门市第一中学李展贤1701010322114139124.5市直江门市第一中学梁江慧1701010323108129119.5市直江门市第一中学林靖欣1701010324114127135.5市直江门市第一中学林雅瑶1701010325115138127.5市直江门市第一中学刘鸿辉1701010326108114124.5市直江门市第一中学刘天洪1701010327107108117市直江门市第一中学刘煜俊170101032893120119市直江门市第一中学毛锐1701010329107114103.5市直江门市第一中学莫侗桐1701010330105127122.5市直江门市第一中学戚霆轩1701010331105133126.5市直江门市第一中学区颖欣1701010332107108123.5市直江门市第一中学谭壮伦1701010333109102129.5市直江门市第一中学唐燕瑶1701010334104128119.5市直江门市第一中学吴铨恩1701010335128124118市直江门市第一中学吴毅麒1701010336101113126市直江门市第一中学吴韵怡1701010337113133125市直江门市第一中学伍慧清1701010338112122122.5市直江门市第一中学谢思蕾1701010339117121124.5市直江门市第一中学严韶璟1701010340103137119市直江门市第一中学杨子妍1701010341115117135.5市直江门市第一中学余明宇1701010342104110125.5市直江门市第一中学余文蕙1701010343119122133.5市直江门市第一中学袁泉170101034497100128市直江门市第一中学袁政1701010345102128117.5市直江门市第一中学张宜婷1701010346120132136市直江门市第一中学甄向荣170101034711198123.5市直江门市第一中学郑玉莹1701010348120116129市直江门市第一中学钟筱晴1701010349110117132.5市直江门市第一中学庄叶游1701010350120148113市直江门市第一中学邹林佟1701010351109124118市直江门市第一中学鲍颖琳17010104019880118.5市直江门市第一中学陈茵婷1701010402114109131市直江门市第一中学陈尊荣17010104039199118市直江门市第一中学高德恩170101040410193110市直江门市第一中学高伟欣1701010405108119120市直江门市第一中学关政国170101040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3106113122.5市直江门市第一中学梁丽娟17010110249587112市直江门市第一中学梁源芝1701011025缺考缺考缺考市直江门市第一中学林逸雅170101102690105113市直江门市第一中学马里敦170101102711411798市直江门市第一中学莫韵诗1701011028998590.5市直江门市第一中学潘光皓170101102996107102市直江门市第一中学区慧琳170101103091106103.5市直江门市第一中学施颖1701011031103109119市直江门市第一中学苏敏清17010110321037985.5市直江门市第一中学汤佩然1701011033102105125市直江门市第一中学温权17010110348995102市直江门市第一中学吴楚琪170101103510897119.5市直江门市第一中学吴玉娟170101103610082111.5市直江门市第一中学吴卓昊1701011037958386.5市直江门市第一中学谢森170101103811072125.5市直江门市第一中学叶依婷170101103996109110市直江门市第一中学易楚阳170101104010593115.5市直江门市第一中学曾一家1701011041949192.5市直江门市第一中学张恒170101104210611396.5市直江门市第一中学张洪霞1701011043112103129.5市直江门市第一中学张可翘1701011044102101122.5市直江门市第一中学张磊170101104592136117市直江门市第一中学张明瑞170101104610881103市直江门市第一中学张胤呈17010110479282117.5市直江门市第一中学赵昊翔17010110488510398市直江门市第一中学赵永健17010110499310587.5市直江门市第一中学郑子丰1701011050113109112市直江门市第一中学周洪伟170101105189111113.5市直江门市第一中学周健民170101105211199120市直江门市第一中学周振良17010110539510986市直江门市第一中学陈浩然170101110190110101市直江门市第一中学陈嘉欣17010111028898115市直江门市第一中学陈梦宜1701011103108120117市直江门市第一中学陈沃宁17010111048987104市直江门市第一中学程振浩1701011105112117109市直江门市第一中学冯启健170101110611411399.5市直江门市第一中学冯炜琪170101110710084125.5市直江门市第一中学甘国富170101110810693114.5市直江门市第一中学胡锦敏17010111099597102市直江门市第一中学黄沁怡170101111010499112市直江门市第一中学黄宇轩1701011111101105103.5市直江门市第一中学黄韵诗1701011112929892市直江门市第一中学雷欣荷170101111311292108.5市直江门市第一中学黎颖欣170101111497103115市直江门市第一中学李健颖17010111157311897市直江门市第一中学李经纬170101111611512594.5市直江门市第一中学李霖亮1701011117117101100.5市直江门市第一中学李子聪170101111898123132.5市直江门市第一中学梁彬1701011119987888.5市直江门市第一中学梁艺潇170101112094111110市直江门市第一中学梁英发17010111219812995.5市直江门市第一中学梁岳琳1701011122108122127.5市直江门市第一中学刘贱煌17010111231049975.5市直江门市第一中学刘美欣170101112479120114市直江门市第一中学刘阳阳170101112510997104.5市直江门市第一中学卢建晖1701011126919399市直江门市第一中学卢健聪170101112710595110市直江门市第一中学罗艺榆17010111289211087市直江门市第一中学欧湘泽170101112910110685市直江门市第一中学潘永婵1701011130105119111.5市直江门市第一中学彭靖童1701011131110139111市直江门市第一中学苏梓锋170101113297129104市直江门市第一中学孙哲170101113394116107市直江门市第一中学谭毅华17010111348589103.5市直江门市第一中学巫军英17010111359388107市直江门市第一中学吴慧妍1701011136103110109.5市直江门市第一中学吴烨扬170101113710264103市直江门市第一中学吴映娜1701011138101109119.5市直江门市第一中学伍津林170101113995100107市直江门市第一中学伍瑞盈1701011140878584.5市直江门市第一中学许立都1701011141101109107市直江门市第一中学杨万祺170101114210796119市直江门市第一中学叶泳童17010111431097692.5市直江门市第一中学游文辉1701011144100110102市直江门市第一中学余日天1701011145108115113.5市直江门市第一中学张智杰17010111469811270市直江门市第一中学赵宝茹1701011147106117118市直江门市第一中学赵伟浩1701011148105116100.5市直江门市第一中学赵芷君1701011149109106129市直江门市第一中学郑振豪1701011150106118105市直江门市第一中学朱铭170101115187115106.5市直江门市第一中学蔡诗玉1701011201112110123.5市直江门市第一中学陈健辉17010112028410757.5市直江门市第一中学陈泽森170101120310510775.5市直江门市第一中学陈梓杰170101120496111102.5市直江门市第一中学邓家明1701011205679066.5市直江门市第一中学丁毅1701011206789375市直江门市第一中学方闻韶17010112078912689市直江门市第一中学冯稷源1701011208988882.5市直江门市第一中学何晓欣1701011209102129116.5市直江门市第一中学何玉华17010112101059597.5市直江门市第一中学何钰婷170101121111088117市直江门市第一中学贺声文1701011212108129105市直江门市第一中学胡琨南170101121310097109.5市直江门市第一中学胡庆林170101121491110120市直江门市第一中学黄舒婷170101121697107113市直江门市第一中学黄小雅1701011217715796市直江门市第一中学黄选17010112189589109.5市直江门市第一中学黄梓明17010112191006989市直江门市第一中学雷景恒17010112209392102.5市直江门市第一中学黎亦飞1701011221102127114.5市直江门市第一中学李金始170101122210010696.5市直江门市第一中学李俊杰17010112238910580市直江门市第一中学李润森1701011224104120119市直江门市第一中学李文杰17010112259510598市直江门市第一中学梁绮诗1701011226102112112市直江门市第一中学梁银茵170101122710689107市直江门市第一中学林天棚17010112281099791.5市直江门市第一中学卢可妍1701011229112102119市直江门市第一中学卢永权1701011230103111109市直江门市第一中学罗健铭1701011231907385市直江门市第一中学莫晓婷1701011232101113111.5市直江门市第一中学潘翠慧170101123310488107.5市直江门市第一中学彭雨彤170101123410395115市直江门市第一中学区嘉盈170101123510611892.5市直江门市第一中学区梓聪1701011236886581.5市直江门市第一中学苏萱灵170101123712086101市直江门市第一中学谭颖心1701011238101111117.5市直江门市第一中学吴竞霖170101123997122120市直江门市第一中学吴俊峰170101124010412277市直江门市第一中学谢惠聪17010112419392115.5市直江门市第一中学晏振东1701011242100103102.5市直江门市第一中学叶丽敏17010112439794105市直江门市第一中学游琼170101124410481108市直江门市第一中学余锐壮1701011245879379.5市直江门市第一中学张嘉盈170101124697125108.5市直江门市第一中学张艺洁1701011247112104116.5市直江门市第一中学张昭东170101124811697110市直江门市第一中学张铸雪170101124910589114。

2024～2025学年度第一学期期中考试高二级数学试题班别： 学号： 姓名： 成绩：一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）A ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BC 12B P PC =AP =1AP BD π61113B P BC = 11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 2312．经过两点的直线的方向向量为,则 .13．如图，在平行六面体中，，，则 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.17．（本小题15分）(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA ===90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE m如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD 12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T高二级数学答案一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BCA ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.12．经过两点的直线的方向向量为,则 2 .13．如图，在平行六面体中， ，，则 7 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.12B P PC=AP =1AP BD π61113B P BC =11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 23(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA === 90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >16672000ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.解：（1）由题意得，，解得.........4分因为，............8分所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. (9)分（2）由题意得，因为，那么第70百分位数位于之间.m ()0.020.030.040.0651m ++++⨯=0.05m =()0.0227.50.0432.50.0637.50.0542.50.0347.5538.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=()0.0350.15,0.030.0550.4⨯=+⨯=40~45设第70百分位数为，则，解得.………………14分故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ……………15分17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．证明：（1）在四棱锥中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，…………1分，设平面的法向量为，则，令，得，…………3分则，而平面，所以平面.…………5分（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.…………9分（3）解：由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，…………11分x ()450.050.15x -⨯=42x =P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD P ABCD -D ,,DA DC DP ,,x y z 2DC =()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,1,1A B P E ()()()2,0,2,2,2,0,0,1,1PA DB DE =-==EDB ()111,,m x y z =11112200DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11y =-()1,1,1m =- 220PA m ⋅=-=PA ⊄EDB //PA EDB ()2,2,2PB =-0220PB DE ⋅=+-=PB ED ⊥EF PB ⊥,,EF DE E EF ED =⊂ EFD PB ⊥EFD ()0,2,0C ()()2,0,0,0,2,2CB PC ==-CPB ()222,,n x y z = 22220220CB n x PC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩21y =()0,1,1n =18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u 0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu 0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T的正方形，高为2的长方体，的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，|||2}z x +≤。

江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （ ）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,32. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（ ） A 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> ..4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（ ）A.83B.103C.72827D.730275. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x =D. cos y x =6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（ ）A.B.15C.D.1107. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（ ）1.41≈） A. 1.5B. 1.8C. 2.0D. 2.18. 已知各项都为正数的数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a <D. 201204a <二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（ ） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0− C 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=.10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（ ） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（ ） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______．13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 16. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列； （2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内的切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =； （3）求rR 的取值范围： 18 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程； （2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由；（3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()0f f x x=，证明：()00f x x =..江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （ ）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，集合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}{}2090,1,2,3A x x =∈≤≤=N∣， {}{}0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B x x =∈≤≤=N ∣，所以{}0,1,2,3A B ∩=. 故选：D .2. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断. 【详解】由()331m n +=⇒1m n +=⇒122m n +=，又122m m +<，所以22m n <，故“33(1)m n +=”是“22m n <”的充分条件； 又若22m n <，如0m =，2n =，此时33(1)m n +=不成立， 所以“33(1)m n +=”是“22m n <”的不必要条件. 综上：“33(1)m n +=”是“22m n <”充分不必要条件. 故选：A3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果. 【详解】对于A ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b cb bc b b c +−+−+−==+++， 因0a b c >>>，所以()0,0a b b b c −>+>，所以()()0c a b a a c b b c b b c −+−=>++，即a a cb b c+>+，故A 错误；对于B ，因为0a b >>，所以11a b<， 又0c <，所以c ca b>，故B 错误； 对于C ，当0c =时，220ac bc ==，故C 错误；对于D ，若a b >，则2,2a a b a b b >++>，的为所以2a ba b +>>，故D 正确. 故选：D.4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（ ）A.83B.103C.72827D.73027【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得答案. 【详解】因为21ln e ln 3ln e 2=<<=所以3ln27ln 33ln 33==>，又因为()e e ,2,23x x x f x x f x − +≤ =>， 所以()()1ln ln3ln33ln273ln3110ln27ln3e e 3e 33333f f f f − ====+=+=+=. 故选：B.5. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x = D. cos y x =【答案】D 【解析】【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断． 【详解】对于A ：由sin 1s 1π3π2in 2−−==−，，可知π不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误； 对于B ：()cos ,0cos ,0coscos cos ,0cos ,0x x x x yx x x x x x ≥≥ === −<< ，其最小正周期为2π，故错误； 对于C ：tan y x =满足()tan tan x x π+=，以π为周期，当π,π2x∈时，tan tan y x x ==−，由正切函数的单调性可知tan tan y x x ==−在区间π,π2 上单调递减，故错误；对于D ，cos y x =满足()cos πcos x x +=，以π为周期， 当π,π2x∈时，cos cos y x x ==−，由余弦函数的单调性可知，cos y x =−在区间π,π2 上单调递增，故正确； 故选:D6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（ ）A.B.15C.D.110【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 棱长为2，因为,2AE EB FC BF == ，则()0,1E ，()0,2A ，()2,2D ，2,03F， 所以2,23AF=−，()2,1DE =−−，所以cos cos ,EMFAF DE ∠== .故选：C的7. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（ ）1.41≈） A. 1.5 B. 1.8C. 2.0D. 2.1【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出a 的值，再根据两个等式相除可求得结果.【详解】由题可得()()ln 10.4ln 30.8m a m a +=+=，两式相除可得()()ln 32ln 1a a +=+， 则()()ln 32ln 1a a +=+，()231a a +=+，∵0a >，解得1a =，设t 天后金针菇失去的新鲜度为60%，则()ln 10.6m t +=，又()110.4mln +=， ∴()ln 13ln 22t +=，()2ln 13ln 2t +=，()23128t +==，12 1.41 2.82t +==×=， 则 2.821 1.82 1.8t =−=≈， 故选：B.8. 已知各项都为正数数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a < D. 201204a <【答案】B 【解析】【分析】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N 得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，由题意，12n n n a a a −−>+，根据递推公式可验证B ，通过对3a 赋值，可验证ACD.【详解】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，的得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ， 因为数列{aa nn }各项都为正数，所以10n n a a −>+，故()120n n n a a a −−−+>，即12n n n a a a −−>+，所以321213a a a >+=+=，对于A ，设34a =，则432426a a a >+=+=， 设47a =，则5437411a a a >+=+=， 设512a =，则65412719a a a >+=+=， 设620a =，则765201232a a a >+=+=， 设733a =，则876332053a a a >+=+=， 则8a 可以为54124<，故A 错误；对于B ，432325a a a >+>+>，543538a a a >+>+>，6548513a a a >+>+>，76513821a a a >+>+>， 876211334a a a >+>+>， 987342155a a a >+>+>， 1098553489a a a >+>+>，111098955144a a a >+>+>， 12111014489233a a a >+>+>，131211233144377a a a >+>+>， 141312377233610a a a >+>+>，151413610377987a a a >+>+>， 1615149876101597a a a >+>+>，17161515979872584a a a >+>+>， 181716258415974181a a a >+>+>，191817418125846765a a a >+>+>，20191867654184109461024a a a >+>+>>，故B 正确；对于C ，若3124a =， 由于12n n n a a a −−>+，则8124a >，故C 错误； 对于D ，若31024a =， 由于12n n n a a a −−>+，则201024a >，故D 错误； 故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（ ） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0−C. 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由题可得()10f ′=，据此得c 的可能值，验证后可判断选项正误；B 选项，由A 分析，可得()1xf x +表达式，解相应不等式可判断选项正误；C 选项，由A 分析结合cos x ，2cos x 大小关系可判断选项正误；D 选项，由A 分析，验证等式是否成立可判断选项正误.【详解】A 选项，由题()3222f x x cx c x =−+，则()2234f x x cx c =−+′， 因在1x =处取得极大值，则()214301f c c c +′=−=⇒=或3c =.当1c =时，()2341f x x x ′=−+，令()()10,1,3f x x ∞∞ >⇒∈−∪+ ′；()10,13f x x <⇒∈′.则()f x 在()1,1,3∞∞−+ ，上单调递增，在1,13上单调递减，则()f x 在1x =处取得极小值，不合题意；当3c =时，()23129f x x x =−+′，令()()()0,13,f x x ∞∞>⇒∈−∪+′；()()01,3f x x <⇒∈′.则()f x 在()(),13,∞∞−+，上单调递增，在()1,3上单调递减，则()f x 在1x =处取得极大值，满足题意；则3c =，故A 错误；B 选项，由A 可知，()()23f x x x =−，则()()()()()21120101,0xf x x x x x x x +=+−<⇒+<⇒∈−.故B 正确； C 选项，当π02x <<，则，则2cos cos x x <，由A 分析，()f x 在(0,1)上单调递增， 则()()2cos cos f x f x >，故C 正确；D 选项，令22x m x n +=−=，，由A 可知，()3269f x x x x =−+.则()()()()22f x f x f m f n ++−=+()()()()32322222696969m m m n n n m n m mn n m n m n =−++−+=+−+−+++，又4m n+=，则()()()()22242363624f m f n mn m n m n +=−−++=−+=，故D 正确. 故选：BCD10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（ ） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =【答案】ACD 【解析】【分析】根据余弦定理可得π3A ∠=，进而可得面积判断A ，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC ，根据三角形面积及角分线的性质可判断D.【详解】如图所示，由余弦定理可知222116131cos 22142AB AC BC BAC AB AC +−+−∠===⋅××， 而BAC ∠为三角形内角，故π3BAC ∠=，sin BAC ∠， 所以ABC面积11sin 1422S AB AC BAC =⋅⋅∠=××=A 选项正确； 1cos 1422BA CA AB AC AB AC BAC ⋅=⋅=⋅⋅∠=××= ，B 选项错误；由点E 为AC 中点，则12BE AE AB AC AB =−=− ， 所以222211412324BE AC AB AC AB AB AC =−=+−⋅=+−=，则BE = ，C 选项正确；由AD 为BAC ∠的角平分线，则π6BAD CAD ∠=∠=，所以1sin sin 2S AB AD BAD AC AD CAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠，111151422224AD AD AD =××+××=，则AD =D 选项正确； 故选：ACD.11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（ ） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 【答案】ACD 【解析】【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC 选项的正误；利用导数法可判断D 选项的正误.【详解】()2442222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+−=−11cos 43cos 41224x x −+=−×=，所以()f x 的最小正周期为2ππ=42T =，故A 正确； 令π4π2xk =+，可得ππ,Z 84k x k =+∈,所以()2f x 的图象关于点()ππ3,Z 484k k+∈对称，故B 错误； 对于C ： ()()()()()2222sin cos sin cos nnnnf x x x x x πππ −=−+−=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，C 对； 对于D: ，因为()()2222sin cos cos sin 222nnnnf x x x x x πππ+=+++=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以，函数()f x 为周期函数，且π2是函数()f x 的一个周期， 只需求出函数()f x 在0,2π上的值域，即为函数()f x 在R 上的值域， ()22sin cos n n f x x x =+ ，则()()212122222sin cos 2cos sin 2sin cos sin cos n n n n f x n x x n x x n x x x x −−−−−′−=，当,42x ππ∈时，0cos sin 1x x <<<<， 因为2n ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−>，此时ff ′(xx )>0，所以，函数()f x 在ππ,42上单调递增，当0,4x π∈时，0sin cos 1x x <<<<， 因为2k ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−<，此时ff ′(xx )<0，所以，函数()f x 在0,4π上单调递减，所以，当π0,2 ∈ x 时，()1min π112422n n f x f − ==×=， 又因为()π012f f ==，则()max 1f x =， 因此，函数()f x 的值域为11,12n −，D 对.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______． 【答案】10,e##(10,e − 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调递减区间.【详解】函数的定义域为()0,∞+，∵()ln 1f x x ′=+，令ln 10x +≤得10ex <≤， ∴函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间是10,e．故答案为：10,e13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.【答案】()sin 1cos x x −+ 【解析】【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.【详解】因为当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+， 所以当0x <时，则0x −>，所以()()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x −=−+−=−+ ， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()()sin 1cos f x f x x x =−=−+. 故答案为：()sin 1cos x x −+.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________.【答案】2+. 【解析】【分析】先将所求式子化简4848b b a b a b b ++=++，再根据基本不等式得到48a b+的最小值，则可判断当0b <，求得最小值.【详解】根据题意：4848b b a b a b b++=++， 若0b >，则1||b b =， 若0b >，则1||=−b b ， 因为0,0a b >≠，则||0b >，481482()()34b a a b a b a b a b +=++=++33≥++当且仅当2b aab=即1),4(2a b =−=−时取等号;则当0b <时，48481b a b a b++=+−的最小值是312+−=+当且仅当1),2)a b =−=−时取等号.故答案为：2+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 【答案】（1）2425−（2）3365或6365− 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；（2）利用角的变换()cos cos βαβα=+− ，再结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由题意可知，()4,3P −，则=5r ， 则3sin 5α=−，4cos 5α=， 24sin 22sin cos 25ααα==−；【小问2详解】()5sin 13αβ+=，所以()12cos 13αβ+=±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++ ，当()12cos 13αβ+=，所以1245333cos 13513565β =×+×−= ，当()12cos 13αβ+=−，所以1245363cos 13513565β=−×+×−=−， 综上可知，cos β的值为3365或6365− 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列； （2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 【答案】（1）证明见解析 （2）99 【解析】【分析】（1）利用退一相减法可得n a 及2log n a ，即可得证；（2）根据等差数列求和公式可得()1n T n n =+，则()111111n T n n n n ==−++，利用裂项相消法可得1231111111n T T T T n ++++=−+ ，解不等式即可. 【小问1详解】由已知1344n n S +=−，当1n =时，211334412a S ==−=，即14a =；当2n ≥时，1344nn S −=−， 则11333444434n n n n n n a S S +−=−=−−+=⋅，即4n n a =，又1n =时，14a =满足4nn a =，所以242n nna ==， 设222log log 22nn n b a n ===，()12122n n b b n n +−=+−=， 即数列{bb nn }为等差数列，即数列{}2log n a 为以2为首项2为公差的等差数列； 【小问2详解】 由等差数列可知()()()122122n nb b n n nT n n ++===+，则()111111n T n n n n ==−++， 所以1231111n T T T T ++++ 1111112231n n =−+−++−+ 11n 1=−+，即110011101n −<+，N n +∈， 解得100n <，即满足条件的最大整数99n =.17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =； （3）求rR 取值范围： 【答案】（1（2）证明见解析 （3）3,24【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos A ，进而求得sin A . （2）根据三角形的面积公式证得结论成立.（3）用b 表示rR ，然后利用导数求得rR 的取值范围. 【小问1详解】 ∵4a =,b =,c =,由余弦定理，得2221cos 23b c a A bc +−== ，∵0πA <<,sin A ∴.【小问2详解】∵ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ，的∴()11112222S a r b r c r a b c r =×+×+×=++, 又∵1()2pa b c =++,∴S pr =，∴S r p =.【小问3详解】 由正弦定理得2sin aR A=,得2sin 2sin 42sin R A A a A ===, 因为4a =,3c b =， 由（2）得1(43)(22)2S pr r b b b r ==++=+， 又因为213sin sin 22b S bc A A ==×，所以23sin 4(1)b A r b =+, 所以2321b Rr b =×+, 由3443b b b b +>+>,解得12b <<, 令23()(12)2(1)b f b b b =<<+，()()()232021b b f b b +=>+′， 则()f b 在(1,2)上单调递增, 所以()243f b <<, 故rR 的取值范围为3,24. 18. 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程； （2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，【答案】（1）10x y −−=（2）证明见解析 （3）(0,1)(1,)∪+∞ 【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（3）利用构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论来求得a 的取值范围. 【小问1详解】 1()f x x′=，则(1)1,(1)0k f f ===′.()f x ∴在1x =处的切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 【小问2详解】 令1()()()ln 1,(0,)h x f x g x x x x∞=−=+−∈+ 22111()x h x x x x −′=−=.令21()0x h x x ′−==，解得1x =. 01,()0x h x ′∴<<<；1,()0x h x ′>>.()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.()(1)0h x h ≥=，即()()f x g x ≥.【小问3详解】令1()()()ln 1,(0,)m x f x g x a x x x∞=−=+−∈+， 问题转化为()m x 在(0,)+∞上有两个零点.2211()a ax m x x x x−=−=′.①当0a ≤时，()0m x ′<，()m x 在(0,)+∞递减，()m x 至多只有一个零点，不符合要求.②当0a >时， 令()0m x ′=，解得1x a= 当10x a<<时，()0m x ′<，()m x 递减； 当1x a>时，()0m x ′>，()m x 递增. 所以11()ln 1ln 1m x m a a a a a a a≥=+−=−−.当1a =时，1(1)0m m a==，()m x 只有一个零点，不合题意. 令()ln 1,()ln a a a a a a ϕϕ′=−−=−， 当01a <<时，()ln 0ϕ′=−>a a ， 所以()a φ在(0,1)递增，()(1)0a ϕϕ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ ==< ，111111(e )ln e 10e e a a a am a =+−=>， 111,e a x a ∴∃∈，使得1()0m x =， 故01a <<满足条件.当1a >时，()ln 0a a ϕ′=−<， 所以()a φ在(1,)+∞递减，()(1)0a φφ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ==< ，21(e )ln e 1e 10ea a a a m a a −−−+−−−> 21e ,a x a − ∴∃∈，使得2()0m x =， 故1a >满足条件.综上所述：实数a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由； （3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，证明：()00f x x =.【答案】（1）()00f =（2）是，理由见解析.（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）结合条件，利用“赋值法”可求函数值. （2）根据给出的条件，逐一验证即可.（3）先判断函数的单调性，结合反证法进行证明.【小问1详解】由条件（1）可知：()00f ≥；结合条件（3），令120x x ==，则()()020f f ≥⇒()00f ≤. 所以：()00f =.【小问2详解】函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是“友谊函数”.理由如下： 对条件（1）：因为()00g =，()3ln 31xg x ′=−，当[]0,1x ∈时，()0g x ′>，所以()g x 在[0,1]上单调递增，所以()0g x ≥，[]0,1x ∈.对条件（2）：()13111g =−−=.对条件（3）：设120,0x x ≥≥，且121x x +≤，则： ()()()1212g x x g x g x +−+()()()12121212313131x x x x x x x x + −+−−−−−−− 12123331x x x x +=−−+()()123131x x =−−0≥. 所以：()()()1212g x x g x g x +≥+.综上可知：函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是“友谊函数”. 【小问3详解】设1201x x ≤<≤且121x x +≤，则210x x −>， 所以()()()()211211f x f x f x x x f x −=+−− ()()()1211f x f x x f x ≥+−−()21f x x −0≥所以函数()f x 在[0,1]上单调递增. 下面用反证法证明：()00f x x =. 假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <.若()00f x x >，则()()000f x f f x x <=，这与()00f x x >矛盾； 若()00f x x <，则()()000f x f f x x >=，这与()00f x x <矛盾. 故假设不成立，所以()00f x x =.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，“赋值法”是解决问题的突破口.合理赋值是解决问题的突破口.。