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第一章随机事件的概率第三节条件概率与乘法公式一、条件概率的概念在随机事件的概率问题中，不仅需要研究事件A发生的概率()P A，这是在一般的样本空间的条件下考查事件A发生的概率()P A；有时还能在进一步获取一定信息的基础上再考查事件A发生的概率，即还需要考查在另一个“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。
一般地说，这两种概率未必相同。
为了区别起见，我们把后者叫做条件概率，记为)AP，读作：在条件B下事(B|件A的概率。
条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念。
例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{,,,}S bb bg gb gg =，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 表示大的是男孩、小的是女孩。
其他样本点可类似说明。
在S 中4个样本点等可能情况下，我们来讨论如下一些事件的概率。
（1）设A =“家中至少有一个男孩”， 显然3()4P A =；（1） 若已知事件B =“家中至少有一个女孩”发生，再求事件A 发生的概率，2(|)3P A B = ； （3）3()4P B =，2()4P AB =，22()4(|)33()4P AB P A B P B === 。
为了合理地给出条件概率的定义，首先考察一个具体例子。
例1 设有某种产品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一级品，10件是二级品。
在50件产品中任意取1件（设每件产品以同等可能被取到）。
试求（1） 取得的是一级品的概率；（2） 已知取得的是合格品，它又是一级品的概率。
解：令=A “取得的产品是一级品”,=B “取得的产品是合格品”。
（1） 由于50件产品中有30件一级品，因此，按古典概率定义得 535030)(==A P ;（2） 因为40件合格品中，一级品恰好有30件，故434030)|(==B A P , 可见 )()|(A P B A P ≠ .一般地，条件概率应该怎样定义呢？我们从分析上面的例1着手，先计算)(B P 与)(AB P 。
2011-2012学年第2学期课程:《概率统计A》1——16周,学时:64,学分:4周一下午7-8节(15:30—17:20)，沙河校区J3-410 ；周五上午1-2节（8:10—10:00），沙河校区J3-310 。
100321，22，23，24，100325，26，27，28 。
240人。
主讲教师:邢家省办公地点:主楼主南311E-mail: xjsh@通信地址:北京航空航天大学数学与系统科学学院邮编100191同学们好！这学期由我给同学们讲授《概率统计A》《概率统计与随机过程A》这门课程,希望我和同学们共同努力, 完成这门课的讲授和学习任务。
通过课堂讲解,同学们听课学习,为同学们的知识掌握能力提高打下必要的数学基础;为专业知识的学习和运用,提供数学工具.先说一下要求和学习方法:(1)要求我自己每次上课提前十分钟到达教室,准备好上课;(2)要求同学们按时来上课、听课,遵守课堂纪律,保持安静,不影响大家听讲;(3)课前适当预习,上课时认真听课,课后及时复习,必要时,要经常复习用到的高等数学有关知识原理;(4)要及时完成作业,保证数量质量,按时交作业;作业要求独立完成,交作业的数量和质量算平时成绩,占总成绩的10%.(5)每周一上课时交作业,作业由各班课代表或学习委员收齐，交到讲台上，由我带回主校区交给助教批改。
(6)答疑方式周一下午下课后，教师留下四十分钟，解答同学们的提问。
(7)学习中遇到问题解决方法:善于提问题，自我思考，或者向教师提问，或者同学们之间互相交流。
向教师发邮件。
可搜索登录如下的网站：数学博士论坛，免费考研论坛。
这两个网站，对人们很有用，希望常去逛逛，看别人的贴子与回贴，回别人的贴子，发掘有用的东西，发自己的贴子，看别人给的解答，通过发贴回贴留下自己对社会有贡献的东西。
《概率统计与随机过程A》本课程分三个部分:一、概率论(第一章—第六章)二、数理统计(第七章—第九章)三、随机过程(第十一章—第十三章)本课程的研究对象和用处: 自然界的所有现象可分为两类:一、确定性现象:在一定条件下,某种结果是否发生,事先完全可以预言;二、不确定现象(随机现象):在一定条件下,某种结果是否发生,事先是不可能预言的.随机现象是大量客观存在的.举例:明天早上是否下雨;国庆节或春运期间去火车站买去上海的某一趟火车票能否买到;两支足球队比赛，那一个队将胜；某一河流是否暴发洪水,某一山区是否发生泥石流，某一地区是否发生地震，台风，海啸等。
第二章(第五,六节)第五节 连续型随机变量及其概率密度函数随机变量X ,简记为X v r .., 分布函数}{)(x X P x F ≤=.定义 4 设随机变量X 的分布函数为)(x F ,如果存在一个定义在()+∞∞-,上非负可积函数)(x f ，使得对任何实数x ，恒有⎰∞-=x dt t f x F )()(,则称X 为连续型随机变量,称函数)(x f 为随机变量X 的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.例 1 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(3x x x x x F ,取函数20,0()3,010,1x f x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，显然成立⎰∞-=x dt t f x F )()(，(),x ∈-∞+∞，所以这个X 是连续型随机变量。
例2 设随机变量X 的分布函数为x x F arctan 121)(π+=,+∞<<∞-x ;取函数211()1f x xπ=+，(),x ∈-∞+∞，显然成立⎰∞-=x dt t f x F )()(，(),x ∈-∞+∞，所以这个X 是连续型随机变量。
概率密度函数的性质：由定义可以知道，概率密度函数)(x f 具有下列基本性质：（1）0)(≥x f ，对一切()+∞∞-∈,x ； （2）1)()(=+∞=⎰+∞∞-F dx x f 。
反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数)(x f ，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数.连续型随机变量X 取区间值概率的计算.定理 设X 为连续型随机变量, 分布函数为)(x F ,概率密度为)(x f ,则有(1)⎰∞-=x dt t f x F )()(是连续函数;(2),0)()(}{=-==-x F x F x XP()+∞∞-∈∀,x ;(3)],(b a I =或],[b a ,或),[b a , 或),(b a ,或-∞=a ,或+∞=b⎰=-=∈b adx x f a F b F I X P )()()(}{;(4)若(x f 在0x 点连续，则)(x F 在0x 点可导,且)()(0x f x F ='; 如果)(x f 是分段连续函数,只有有限个不连续点,则)()(x F x f '= (除去有限个不连续点,在这些点上可任意给)(x f 的值).例3 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ,求(1)}21|{|≤X P ;(2) X 的分布函数 . 解(1) }2121{}21|{|≤≤-=≤X P X P⎰-=2121)(dx x f⎰-=021)(dx x f ⎰+21)(dx x f⎰-+=021)1(dx x ⎰-+21)1(dx x2120212|)21(|)21(x x x x -++=-75.0438383==+=;(2) ⎰∞-=xdt t f x F )()(,当1-<x 时,)(,0)(x t t f ≤<-∞=,0)(=x F ;当01<≤-x 时,⎰⎰--∞-+=xdtt f dt t f x F 11)()()(x xt t dt t 121|)21()1(0--+=++=⎰21212++=x x ;当10<≤x 时,⎰⎰⎰++=--∞-xdtt f dt t f dt t f x F 011)()()()( ⎰⎰-+++=-xdtt dt t 01)1()1(0x t t t t 0212|)21(|)21(-++=-21212++-=x x ,当1>x时，⎰⎰⎰⎰+++=--∞-xdt t f dt t f dt t f dt t f x F 1111)()()()()(10)1()1(011=+-+++=⎰⎰-dt t dt t ，于是，X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++-<≤-++-<=1,110,212101,21211,0)(22x x x x x x x x x F . 第六节常用的连续型随机变量分布具有代表性的连续型随机变量分布有以下几种:一、 均匀分布称ζ为区间（a ，b ）上均匀分布的随机变量，如果它是连续型随机变量，具有概率密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,1)(b x a a b x f记作),(~b a U ζ, 它的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤--=b x a x bx a a b ax x F ,1,0,)( .服从均匀分布的实例例1 设随机变量]4,4[~-U ζ，试求方程 06442=+++ζζt t 有实根的概率.解 ζ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,044,81)(x x f ,=A 方程 06442=+++ζζt t 有实根}0)6(44)4{(2≥+⨯⨯-=ζζ}06{2≥--=ζζ}2{}3{-≤+≥=ζζ,}2{}3{)(-≤+≥=ζζP P A P⎰⎰-∞-+∞+=23)()(dx x f dx x f⎰⎰--+=24438181dx dx375.0838281==+=.二、指数分布若随机变量ζ的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f xλλ, (其中0>λ为常数)则称ζ服从参数为λ的指数分布. 它的分布函数为⎩⎨⎧≥-=<=⎰∞--x xx edt t f x x F 0,1)(0,0)(λ.服从指数分布的实际例子:指数分布在实际中有重要应用,它可以作为各种“寿命”ζ的近似分布.例如,无线电元件的寿命;动物的寿命;电话的通话时间;随机服务系统中的服务时间等都可以近似地用指数分布来描述.它在可靠性理论与工程中占有特别重要的地位.例2 设某电子元件的寿命ξ(以小时计)服从参数001.0=λ的指数分布.试求该元件至少能使用1000小时的概率.解 根据题意,ξ的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,001.0)(001.0x x ex f x,记=A 该元件至少能使用1000小时, 则 }1000{)(≥=ξP A P⎰+∞=1000)(dx x f ⎰+∞-=1000001.0001.0dx e x3679.0|)(11000001.0≈=-=-+∞-e e x .例题：设某人打一次电话所用的时间ζ服从参数为1/10（单位：分）的指数分布，当你走近电话室需要打电话，某人恰好在你面前开始打电话。
