高考数学二轮复习专练二中档小题(三)

中档大题保分练(03)(满分：46分 时间：50分钟)说明：本大题共4小题，其中第1题可从A 、B 两题中任选一题； 第4题可从A 、B 两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋cos A cos B ＝2cos A sin B ．(1)求tan A ；(2)若b ＝25，AB 边上的中线CD ＝17，求△ABC 的面积． 解：(1)由已知得cos C ＋cos A cos B ＝cos[π－(A ＋B )]＋cos A cos B＝－cos(A ＋B )＋cos A cos B ＝sin A sin B ， 所以sin A sin B ＝2cos A sin B ．因为在△ABC 中，sin B ≠0，所以sin A ＝2cos A ，则tan A ＝2． (2)由(1)得，cos A ＝55，sin A ＝255， 在△ACD 中，CD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22－2·b ·c 2·cos A ，代入条件得c 2－8c ＋12＝0，解得c ＝2或6． 当c ＝2时，S △ABC ＝12bc sin A ＝4；当c ＝6时，S △ABC ＝12．1．(B)(12分)(2018·南充诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2． (1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1a n 的前n 项和T n ． (1)证明：当n ＝1时，a 1＝2.由S n ＝2a n －2，S n ＋1＝2a n ＋1－2得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，于是a n ＝2n ．(2)解：令b n ＝n ＋1a n ＝n ＋12n ，则T n ＝221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②得12T n ＝1＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1． 所以T n ＝3－n ＋32n．2．(12分)在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1．(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ⊥平面CDE ，并证明； (2)在(1)的条件下，求多面体ABCDF 的体积． 解：(1)F 为线段CE 的中点．证明如下：由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ， 设H 是线段CD 的中点，连接FH ， 则FH ∥12DE ，且FH ＝12DE ．∵AB ∥12DE ，且AB ＝12DE ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ． ∵AH ⊥CD ，AH ⊥DE ，CD ∩DE ＝D ，∴AH ⊥平面CDE ，∴BF ⊥平面CDE ． (2)∵V ABCDF ＝V A ­BCD ＋V F ­BCD ＝V B ­ACD ＋V B ­CDF＝13×S △ACD ×AB ＋13×S △CDF ×AH ＝33＋33＝233， ∴多面体ABCDF 的体积为233．3．(12分)近年，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1(1)记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A ，试估计A 的概率；(2)根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．图2由散点图看出，可采用y ＝e a ＋b 作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫表中Y i ＝ln y i ，Y －＝110∑i ＝I 10Y i ；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i v i －n u －v－∑i ＝1nu 2i －n u －2，α^＝v －－β^u －． ②参考数据：e 2.95≈19.1，e 1.75≈5.75，e 0.55≈1.73，e －0.65≈0.52，e －1.85≈0.16．解：(1)由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4＝0.28，在(12,16]的频率为0.03×4＝0.12，所以P (A )＝0.28＋0.12＝0.40．(2)①由y ＝e a ＋b 得ln y ＝a ＋b ，即Y 关于的线性回归方程为Y ^＝a ＋b ，因为b ^＝∑i ＝110x i Y i －10x －·Y－∑i ＝110x 2i －10x －2＝79.75－10×5.5×1.9385－10×5.52＝－0.3，a ^＝Y －－b ^x －＝1.9－(－0.3)×5.5＝3.55， 所以Y 关于的线性回归方程为Y ^＝3.55－0.3， 即y 关于的回归方程为y ^＝e 3.55－0.3．②根据①中的回归方程y ^＝e 3.55－0.3和图1，对成交的二手车可预测： 使用时间在(0,4]的平均成交价格为e 3.55－0.3×2＝e 2.95≈19.1，对应的频率为0.2； 使用时间在(4,8]的平均成交价格为e 3.55－0.3×6＝e 1.75≈5.75，对应的频率为0.36； 使用时间在(8,12]的平均成交价格为e 3.55－0.3×10＝e 0.55≈1.73，对应的频率为0.28； 使用时间在(12,16]的平均成交价格为e 3.55－0.3×14＝e －0.65≈0.52，对应的频率为0.12； 使用时间在(16,20]的平均成交价格为e 3.55－0.3×18＝e －1.85≈0.16，对应的频率为0.04； 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：(0.2×19.1＋0.36×5.75)×4%＋(0.28×1.73＋0.12×0.52＋0.04×0.16)×10%＝0.29 092≈0.29万元．4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数), 在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，32对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32及对应的参数φ＝π3 代入曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1，设圆C 2的半径R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(－R )2＋y 2＝R 2)，将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3代入得：∴R ＝1，∴圆C 2的方程为：ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程2＋y 2＝2，即(－1)2＋y 2＝1．(2)∵A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2均在曲线C 1上，∴ρ1cos θ24＋(ρ1sin θ)2＝1，ρ2sin θ24＋(ρ2cos θ)2＝1．所以1ρ21＋1ρ22＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋cos 2θ＝14＋1＝54． 4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f ()＝|－3|＋|＋4|． (1)求f ()≥f (4)的解集；(2)设函数g ()＝(－3)(∈R )，若f ()＞g ()对∀∈R 成立，求实数的取值范围． 解：(1)f ()＝|－3|＋|＋4|，∴f ()≥f (4)， 即|－3|＋|＋4|≥9，∴⎩⎨⎧ x ≤－4，3－x －x －4≥9 ①或⎩⎨⎧ －4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4≥9②或⎩⎨⎧x ≥3，x －3＋x ＋4≥9③解不等式①：≤－5；②：无解；③：≥4， 所以f ()≥f (4)的解集为{|≤－5或≥4}．(2)f ()＞g ()即f ()＝|－3|＋|＋4|的图象恒在g ()＝(－3)，∈R 图象的上方，可以作出f ()＝|－3|＋|＋4|＝⎩⎨⎧－2x －1，x ≤－4，7，－4＜x ＜3，2x ＋1，x ≥3的图象，而g ()＝(－3)，∈R 图象为恒过定点P (3,0)，且斜率变化的一条直线，作出函数y ＝f ()，y ＝g ()图象如图，其中PB＝2，可求：A(－4,7)，∴PA＝－1，由图可知，要使得f()的图象恒在g()图象的上方，实数的取值范围为－1＜≤2．。

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．若2211x x x y y y =--,则______x y +=（汇编年高考上海卷（理）） 2．已知X 是二阶矩阵，且满足满足23321211X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X =＿＿＿＿＿。

4511-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦132233223451112111211X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦评卷人得分 二、解答题3． （本小题14分）设矩阵0 0ab ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中0,0a b ><）. （1）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵-1M ；（2）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2/2:14x C y +=，求,a b 的值.4．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．5．已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值;(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求点p 的坐标. （汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换6．已知矩阵M ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1 对应的变换将点A (1，1)变为A' (0，2)，将曲线C ：xy ＝1变为曲线C'．（1）求实数a ，b 的值；（2）求曲线C' 的方程．7．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．8．已知曲线C ：1=xy（I ）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （II ）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程。

能力升级练(三) 不等式一、选择题1.不等式|x|(1-2x)>0的解集为())A.(-∞,0)∪(0,12)B.(-∞,12C.(1,+∞)2)D.(0,12x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x<1;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所以2).x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪(0,122.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.不能确定=1,故a=2.由f(x)的图象可知f(x) f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有a2在[-1,1]上为增函数.所以x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.3.若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是()A.a-b>0B.a3+b3>0C.a2-b2<0D.a+b<0a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,当b≥0时,a+b<0成立,当b<0时,a+b<0成立,所以a+b<0,故选D.4.(2018湖州质检)若实数m,n满足m>n>0,则()A.-1a <-1aB.√a−√a<√a-aC.(12)a>(12)aD.m2<mnm=2,n=1,代入各选择项验证A,C,D不成立.√2-1<√2-1,只有B项成立.5.(2019四川绵阳诊断)已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2002×2=lg x+lg y=lg(xy),所以xy=10000,则x+y ≥2√aa =200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y 有最小值200.6.设a>0,若关于x 的不等式x+aa -1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2(1,+∞)上,x+aa -1=(x-1)+aa -1+1≥2√(a -1)×a(a -1)+1=2√a +1(当且仅当x=1+√a 时取等号).由题意知2√a +1≥5.所以a ≥4.7.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为a8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批产品应生产( ) A.60件B.80件C.100件D.120件x 件,则每件产品的生产准备费用是800a 元,仓储费用是a8元,总的费用是(800a +a 8)元,由基本不等式得800a +a 8≥2√800a ·a 8=20,当且仅当800a =a8,即x=80时取等号.8.(2019湖北孝感调研)“a>b>0”是“ab<a 2+a 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a>b>0,可知a 2+b 2>2ab ,充分性成立,由ab<a 2+a 22,可知a ≠b ,a ,b ∈R ,故必要性不成立.9.已知0<a<1a,且M=11+a+11+a,N=a 1+a +a1+a,则M ,N 的大小关系是( )A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定0<a<1a ,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=1-a 1+a +1-a 1+a =2-2aa1+a +a +aa >0,即M>N.故选A .二、填空题10.已知不等式mx 2+nx-1a <0的解集为x x<-12或x>2,则m-n= .m<0且-12,2是方程mx 2+nx-1a =0的两根,∴{-12+2=-aa ,(-12)×2=-1a2,解得{a =-1,a =32或{a =1,a =-32(舍).∴m -n=-1-32=-52. -5211.设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数),则4a-2b=m (a-b )+n (a+b ), 即4a-2b=(m+n )a+(n-m )b.于是得{a +a =4,a -a =-2,解得{a =3,a =1.∴f (-2)=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.12.函数y=a 2+2a -1(x>1)的最小值为 .y=a 2+2a -1=(a 2-2a +1)+2a -2+3a -1=(a -1)2+2(a -1)+3a -1=(x-1)+3a -1+2≥2√3+2.当且仅当x-1=3a -1,即x=√3+1时,等号成立.√3+213.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y 的最小值为 .x>0,y>0,所以9-(x+3y )=xy=13x ·(3y )≤13·(a +3a 2)2,当且仅当x=3y ,即x=3,y=1时等号成立.设x+3y=t>0,则t 2+12t-108≥0,所以(t-6)(t+18)≥0,又因为t>0,所以t ≥6.故当x=3,y=1时,(x+3y )min =6.三、解答题14.(2019山东潍坊调研)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,且m,n为正数,求1a +1a的最小值.曲线y=a1-x恒过定点A,x=1时,y=1,∴A(1,1).将A点代入直线方程mx+ny-1=0(m>0,n>0), 可得m+n=1,∴1a +1a=(1a+1a)·(m+n)=2+aa+aa≥2+2√aa·aa=4,当且仅当aa =aa且m+n=1(m>0,n>0),即m=n=12时,取得等号.15.(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,故mx2-mx+m-6<0,则m(a-12)2+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.方法一令g(x)=m(a-12)2+34m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0.所以m<67,则0<m<67.当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数, 所以g (x )max =g (1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0.综上所述,m 的取值范围是m 0<m<67或m<0.方法二 因为x 2-x+1=(a -12)2+34>0,又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6a 2-a +1. 因为函数y=6a 2-a +1=6(a -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可. 因为m ≠0,所以m 的取值范围是m 0<m<67或m<0.。

小题分层练(五) 中档小题保分练(3)(建议用时：40分钟)一、选择题1．某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图23所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为( )图23A ．4B ．3C ．2D ．1B [由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是79－76＝3，故选B.]2．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35 C ．－3D ．3A [由条件可得sin α＝2cos α，则tan α＝sin αcos α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝35，故选A.] 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，上顶点为B ，若直线y ＝cb x 与FB 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.32D.63B [由题意，得b c ＝c b ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.]4．设随机变量X 服从正态分布N (4，σ2)，若P (X >m )＝0.3，则P (X >8－m )＝( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．与σ的值有关C [∵随机变量X 服从正态分布N (4，σ2)， ∴正态曲线的对称轴是x ＝4，∵P (X >m )＝0.3，且m 与8－m 关于x ＝4对称， 由正态曲线的对称性，得P (X >m )＝P (X <8－m )＝0.3， 故P (X >8－m )＝1－0.3＝0.7.]5．(2018·福州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形B [∵2b cosC －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ．又B ＝2C ，∴2tan C1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．] 6．设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为233，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程是( )A.y 23－x 2＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．y 2－x 23＝1D.x 212－y 24＝1A [根据题意，抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，又由双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则有m ＜0而n ＞0，且c ＝2.双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为233，则有e ＝c a ＝2n ＝233，解得n ＝3，又由c 2＝n ＋(－m )＝4，得m＝－1.故双曲线的方程为y 23－x 2＝1.]7．如图24，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图24A.1727B.59C.1027D.13C [由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×32×6－π×22×4－π×32×2＝20π(cm 3)， 原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)． 故所求比值为V 1V 2＝20π54π＝1027.]8．(2018·石家庄市一模)已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在 [－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1B [∵f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数， ∴(－2b )＋(1＋b )＝0，即－b ＋1＝0，b ＝1.则函数的定义域为[－2,2]，∵函数在[－2,0]上为增函数，f (x －1)≤f (2x )，故|x －1|≥|2x |，两边同时平方解得－1≤x ≤13，故选B.] 9．已知函数f (x )＝2sin x sin(x ＋3φ)是奇函数，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数g (x )＝cos(2x －φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于轴x ＝－5π12对称C ．可由函数f (x )的图象向右平移π6个单位得到 D ．可由函数f (x )的图象向左平移π3个单位得到B [∵y ＝2sin x sin(x ＋3φ)是奇函数，y ＝sin x 是奇函数，∴y ＝sin(x ＋3φ)是偶函数．∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴3φ＝π2，φ＝π6，则函数g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2x－π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，可得g (x )的对称轴为x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故A 项不正确，B 项正确．根据函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，故把函数f (x )的图象向左平移π6个单位，可得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 的图象，故C 、D 项均不正确．故选B.]10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( )A.34 B ．1 C.43D.32A [依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项，13为公差的等差数列，则1a n＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.]11.如图25，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )图25A B C DC [当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.] 12．设函数f (x )＝32x 2－2ax (a ＞0)的图象与g (x )＝a 2ln x ＋b 的图象有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为( )A.12e 2B.12e 2 C.1eD ．－32e 2A [f ′(x )＝3x －2a ，g ′(x )＝a 2x ，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有公共点且在公共点处的切线方程相同，所以3x －2a ＝a 2x ，故3x 2－2ax －a 2＝0在(0，＋∞)上有解，又a ＞0，所以x ＝a ，即切点的横坐标为a ，所以a 2ln a ＋b ＝－a 22，所以b ＝－a 2ln a －a 22(a ＞0)，b ′＝－2a (ln a ＋1)，由b ′＝0得a ＝1e ，所以0＜a＜1e 时，b ′＞0，a ＞1e 时，b ′＜0，所以当a ＝1e 时，b 取得最大值且最大值为12e 2，故选A.] 二、填空题13．一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________．35 [设“第1次摸出红球”为事件A ，“第二次摸出红球”为事件B ，则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB ，所求事件为B |A .P (A )＝C 14C 16＝23，P (AB )＝C 14C 13C 16C 15＝25，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35.] 14．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.332 [作出单位圆的内接正六边形， 如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1.S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332.] 15．设方程1x ＋1＝|lg x |的两个根为x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围为________． (0,1) [分别作出函数y ＝1x ＋1和y ＝|lg x |的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2， 则|lg x 1|>|lg x 2|，∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1.]16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.]。

专题3-2解三角形最值、范围与图形归类目录讲高考 ............................................................................................................................................................................... 1 题型全归纳 ...................................................................................................................................................................... 2 【题型一】最值与范围1：角与对边 .................................................................................................................... 2 【题型二】最值与范围2：角与邻边 .................................................................................................................... 2 【题型三】范围与最值3：有角无边型 ............................................................................................................... 3 【题型四】最值与范围4：边非对称型 ............................................................................................................... 4 【题型五】最值：均值型 .......................................................................................................................................... 4 【题型六】图形1：内切圆与外接圆 .................................................................................................................... 4 【题型七】图形2：“补角”三角形 .................................................................................................................... 6 【题型八】图形3：四边形与多边形 .................................................................................................................... 7 【题型九】三大线1：角平分线应用 .................................................................................................................... 8 【题型十】三大线2：中线应用 ............................................................................................................................. 8 【题型十一】三大线3：高的应用 ......................................................................................................................... 9 【题型十二】证明题 ................................................................................................................................................. 10 专题训练 (10)讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ．2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-． (1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．4．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．5．（2021·北京·统考高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ∠；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC题型全归纳【题型一】最值与范围1：角与对边【讲题型】例题1.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为()()22,,,sin sin sin sin sin a b c B C A B C -=- （1）求A ；（2）已知a =.例题2.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；1.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2sin 2cos )A ABC +sin 30A -. （1）求A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的周长L 的取值范围.2.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且()222πcos B b a c ac sinAcosA---=（1）求角A ；（2）若a =bc 的取值范围．【题型二】最值与范围2：角与邻边【讲题型】例题1..已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，ABC 满足：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤.（1）求角A 的取值范围；1.．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求角B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．2.在ABC 中，设A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+. （1）求A ；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围.【题型三】范围与最值3：有角无边型【讲题型】例题1.三角形ABC 中，已知222sin sin +sin sin sin A B A B C +=，其中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.（△）求角C 的大小； （△）求a b c+的取值范围.例题2.在锐角三角形ABC,若 (I)求角B(II)求的取值范围【练题型】1.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =． （△）若a =5c =，求b （△）求cos sin A C +的取值范围．ac c b a c b a 3))((=+++-A A cos sin 3+2.在锐角三角形ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a BB b A-=.（1）求A ；（2）求bc的取值范围.【题型四】最值与范围4：边非对称型【讲题型】例题1.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.【练题型】在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin 2sin sin A C B A C +=+． （△）求角B 的大小；（△）若ABC 为锐角三角形，2b =，求2a c -的取值范围．【题型五】最值：均值型【讲题型】例题1.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【练题型】1.在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD =BC BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则的取值范围是_．【题型六】图形1：内切圆与外接圆【讲题型】例题1.在①ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知4b =，2c =，且sin sin sin()C B A B =+-． (1)求角A 和边a 的大小； (2)求①ABC 的内切圆半径．例题2.ABC 中，已知1AB =，7BC =D 为AC 上一点，2AD DC =，AB BD ⊥. (1)求BD 的长度；(2)若点P 为ABD △外接圆上任意一点，求2+PB PD 的最大值.b cc b+【讲技巧】外接圆：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．若点P 在矩阵1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点'P (5,11)，则点P 的坐标是 .(1,2)
2．把实数a ，b ，c ，d 排成形如⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛d c b a 的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ·),(dy cx by ax y x ++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，该运算的几何意义为平面上的点（x ，y ）在矩阵⎪⎪⎭⎫
⎝⎛d c b a 的作用下变换成点),(dy cx by ax ++，若点A 在矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1112的作用下变换成点（2，4），则点A 的坐标为 . 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属。

高档小题(二)1．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，若存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素之和为28，则实数a 的取值范围是( )A ．[9，10)B ．[7，8)C ．(9，10)D ．[7，8]2．(2013·济南市高考模拟考试)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A.203B.403C ．20D ．403．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax 的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝－4xD ．y 2＝8x 或y 2＝－8x4．(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(2013·石家庄市高三模拟考试)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1) 个1之间有(2k －1)个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，则前2 012项中1的个数为( )A ．44B ．45C ．46D ．477．(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝28．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，(x －1)f ′(x )<0.若x 1<x 2，且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．不确定9．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合{π2，5π6，7π6}相对a 0的“正弦方差”为( ) A.12 B.13C.14 D ．与a 0有关的一个值10．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－1f （x ），且f (x )是偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．[14，13)B ．(0，12) C ．(0，14] D ．(13，12) 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m，如果目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．12．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．13．(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)观察下列等式：13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； …则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 14．(2013·高考福建卷)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}；③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 备选题1．如图所示，等边三角形ABC 的边长为2，D 为AC 的中点，且△ADE 也是等边三角形．在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD →·CE →的取值范围是( )A ．[12，32]B ．[13，12] C ．(12，43) D ．(14，53) 2．(2013·郑州市高中毕业年级第一次质量检测)设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－12)B ．(－12，0)C ．(－12，12)D ．(0，12) 3．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)已知△ABC 的内角A 、B 、C 成等差数列，且A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列命题中正确的有________(把所有正确的命题序号都填上)．①B ＝π3； ②若a 、b 、c 成等比数列，则△ABC 为等边三角形；③若a ＝2c ，则△ABC 为锐角三角形；④若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则3A ＝C ； ⑤若tan A ＋tan C ＋3>0，则△ABC 为钝角三角形．4．(2013·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1，x 2∈D 且x 1<x 2时都有f (x 1)≥f (x 2)，则称函数f (x )为区间D 上的“非增函数”．若f (x )为区间[0，1]上的“非增函数”且f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，又当x ∈[0，14]时，f (x )≤－2x ＋1恒成立．有下列命题：①∀x ∈[0，1]，f (x )≥0；②当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)；③f (18)＋f (511)＋f (713)＋f (78)＝2； ④当x ∈[0，14]时，f (f (x ))≤f (x )． 其中你认为正确的所有命题的序号为________．答案：高档小题(二)1．【解析】选B.注意到不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x ，即(x －a )(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素之和为28，必有a >1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×（7＋1）2＝28，因此由集合A 中所有整数元素之和为28得7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7，8)．2．【解析】选B.该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为13×12×(1＋4)×4×4＝403.3．【解析】选D.抛物线的焦点坐标是(a 4，0)，直线l 的方程是y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a 2，故A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12×|a 4|×|－a 2|＝a 216，由题意，得a 216＝4，解得a ＝±8.故抛物线方程是y 2＝8x 或y 2＝－8x .故选D.4．【解析】选D.连接PF 2、OT (图略)，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)，|MT |＝12|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－a 2＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝(12|PF 1|－3)－(12|PF 1|－4)＝1，故选D.5．【解析】选B.作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有2个不同的交点，故选B.6．【解析】选B.依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，故选B.7．【解析】选A.依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A.8．【解析】选C.由题可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，由x 1<x 2且x 1＋x 2>2，可知x 2>1，x 2>2－x 1.若2－x 1>1，则f (x 2)<f (2－x 1)＝f (x 1)；若2－x 1<1，即x 1>1，此时x 1<x 2可得f (x 1)>f (x 2)；若x 1＝1，根据函数性质x ＝1时函数取得最大值，也有f (x 1)>f (x 2)．9．【解析】选 A.集合{π2，5π6，7π6}相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2（π2－a 0）＋sin 2（5π6－a 0）＋sin 2（7π6－a 0）3＝cos 2a 0＋sin 2（π6＋a 0）＋sin 2（π6－a 0）3＝cos 2a 0＋（12cos a 0＋32sin a 0）2＋（12cos a 0－32sin a 0）23＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32（sin 2a 0＋cos 2a 0）3＝12. 10．【解析】选C.由f (x ＋1)＝－1f （x ）得，f (x ＋2)＝－1f （x ＋1）＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．令g (x )＝f (x )－k (x ＋1)＝0，得函数f (x )＝k (x ＋1)，令函数y ＝k (x ＋1)，显然此函数过定点(－1，0)，作出函数f (x )和函数y ＝k (x ＋1)的图象，如图，当直线y ＝k (x ＋1)过点C (3，1)时与函数f (x )的图象有4个交点，此时直线y ＝k (x ＋1)的斜率为k ＝1－03－（－1）＝14，所以要使函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)有4个零点，则直线的斜率k 满足0<k ≤14.11．【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，变换目标函数为y ＝x －z ，当z最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大时．当z ＝－1，即直线y ＝x ＋1时，点A 的坐标是(2，3)，此时m ＝2＋3＝5；当z ＝－2，即直线y ＝x ＋2时，点A 的坐标是(3，5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5，8]．因为目标函数的最大值在点B (m －1，1)处取得，所以z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3，6]．【答案】[3，6]12．【解析】如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2得HA ＝13·2R ＝23R ， ∴OH ＝R 3. ∵截面面积为π＝π·(HM )2，∴HM ＝1.在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2，∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1， ∴R ＝324. ∴S 球＝4πR 2＝4π·(324)2＝92π. 【答案】92π 13．【解析】由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1，1＝12－02； 由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4，12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8，39＝82－52. …依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2. 【答案】n 2－m 214．【解析】①取f (x )＝x ＋1，符合题意．②取f (x )＝92x －72，符合题意．③取f (x )＝tan π⎝⎛⎭⎫x －12，符合题意．【答案】①②③备选题1．【解析】选A.如图所示，在△ADE 转动的过程中，设∠BAD ＝θ，则∠CAE ＝θ，θ∈[0，π3]，所以BD →·CE →＝(BA →＋AD →)·(CA →＋AE →)＝|BA →|·|CA →|cos 60°＋|AD →|·|AE →|cos 60°＋BA →·AE →＋AD →·CA →＝－2cos θ＋52，又cos θ∈[12，1]，所以BD →·CE →的取值范围为[12，32]． 2．【解析】选A.对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m (x －1x)<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－（1＋4m 2）2mx<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m <0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m <－12或m >12(舍去)，故m <－12. 3．【解析】∵内角A 、B 、C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B .又A ＋B ＋C ＝π.∴B ＝π3，故①正确；对于②，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac .又b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形；对于③，∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4c 2＋c 2－2c 2＝3c 2，∴b ＝3c ，此时满足a 2＝b 2＋c 2，说明△ABC 是直角三角形；对于④，c 2＝bc cos A ＋ac cos B＋ab cos C ＝12ac ＋b (c cos A ＋a cos C )＝12ac ＋b 2＝12ac ＋a 2＋c 2－ac ，化简得c ＝2a ，又b 2＝a 2＋c 2－ac ＝3a 2，∴b ＝3a ，此时有a 2＋b 2＝c 2，∴C ＝π2，B ＝π3，A ＝π6，∴3A ＝C 成立；对于⑤，tan A ＋tan C ＝tan(A ＋C )·(1－tan A tan C )，∵A ＋C ＝2π3，∴tan A ＋tan C ＝－3＋3tan A tan C ，∵tan A ＋tan C ＋3＝3tan A tan C >0，又在△ABC 中，A 、C 不能同为钝角，∴A 、C 都是锐角，∴△ABC 为锐角三角形．【答案】①②④4．【解析】f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，令x ＝1得，f (1)＝0，即0＝f (1)≤f (x )≤f (0)＝1，①正确；令x ＝12得，f (12)＝12，令x ＝34，得f (34)＝1－f (14)≤f (14)，得f (14)≥12，又f (x )≤－2x ＋1在x ∈[0，14]上恒成立，所以f (14)≤－12＋1＝12，所以f (14)＝12，结合“非增函数”的定义可知，当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，即②错；对于③，显然f (18)＋f (78)＝1，又当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，所以f (511)＝f (613)＝12，又f (613)＋f (713)＝1，所以f (713)＝12，即③正确；对于④，令f (x )＝t ，不等式左边为f (t )，右边为f (x )，当x ∈[0，14]时，t ＝f (x )∈[12，1]，f (t )∈[0，12]，f (t )≤f (x )，即④正确． 【答案】①③④。

小题考法专训（三） 等差数列与等比数列A 级——保分小题落实练一、选择题1．(2019·福州质检)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63解析：选 B 法一：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B.法二：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，得a 4＝8，又a 3＝4，所以q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( ) A ．2 B ．32 C ．3D ．4解析：选C 依题意，5×12＋5×42d ＝90，解得d ＝3，故选C.3．在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：选C 因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C.5．(2020届高三·广东六校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．16B ．15C ．8D ．7解析：选B 设公比为q ，由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，又a 1＝1，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S 4＝1×(1－24)1－2＝15，故选B.6．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A.12 B ．54 C.45 D ．－45解析：选C 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45，故选C. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝－6，则S 5＝( ) A ．18 B ．10 C ．－14D ．－22解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2，所以S 5＝－2×[1－(－2)5]1－(－2)＝－22，故选D.8．(2019·长春质监)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5S 6＝( )A.13 B ．17 C.23D ．37解析：选 A 由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a 1(1－26)1－2＝63a 1，所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13，故选A. 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1解析：选B 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2，则a 2＝12.当n ≥2时，S n －1＝2a n ，则S n －S n －1＝a n＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1a n ＝32，所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＝1＋12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.10．(2019·广东七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D 设{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则数列{na n }的前n 项和为( ) A ．－3＋(n ＋1)×2nB ．3＋(n ＋1)×2nC ．1＋(n ＋1)×2nD ．1＋(n －1)×2n解析：选D 设{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝7，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝63，两式相除得1＋q 3＝9，解得q ＝2，进而可得a 1＝1， 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，所以na n ＝n ×2n －1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，2T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，两式作差得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ×2n＝1－2n －1×21－2－n ×2n ＝－1＋(1－n )×2n，故T n ＝1＋(n －1)×2n.12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1123的最小整数n 是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列．所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10，故选C. 二、填空题13．(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．解析：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， ∴a 1＝－4，d ＝1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ＜0，则n ＜5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正． ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案：0 －1014．(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×(－5)＋28×2＝16.答案：1615．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7.当n ∈N *时，a n ＋2是乘积a n ·a n ＋1的个位数，则a 2 019＝________.解析：a 1＝3，a 2＝7，a 1a 2＝21，a 3＝1，a 2a 3＝7，a 4＝7，a 3a 4＝7，a 5＝7，a 4a 5＝49，a 6＝9，a 5a 6＝63，a 7＝3，a 6a 7＝27，a 8＝7，a 7a 8＝21，a 9＝1，a 8a 9＝7，a 10＝7，所以数列{a n }是周期为6的数列，又2 019＝6×336＋3，所以a 2 019＝a 3＝1.答案：116．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0192 0192＝________.解析：由题意，因为数列{a n }满足a n ＝nn ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的通项公式为a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0192 0192＝1－12＋12－13＋…＋12 019－12 020＝1－12 020＝2 0192 020. 答案：2 0192 020B 级——拔高小题提能练1．(2019·福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a 2n2a 2n ＋4na n ＋n 2，则a 8＝( )A.8964－2 B ．8932－2 C.8916－2D ．897－2解析：选A 因为a n ＋1＝(n ＋1)a 2n2a 2n ＋4na n ＋n 2，a 1＝1，所以a n ＞0，所以1a n ＋1＝2a 2n ＋4na n ＋n2(n ＋1)a 2n， 所以n ＋1a n ＋1＝2a 2n ＋4na n ＋n 2a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n 2＋4·n a n ＋2， 所以n ＋1a n ＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ＋22.令b n ＝n a n＋2，则b n ＋1＝b 2n ，又因为b n ＞0，且b n ≠1，所以ln b n ＋1＝2ln b n ，又ln b 1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋2＝ln 3，所以数列{ln b n }是首项为ln 3，公比为2的等比数列． 所以ln b n ＝ln 3·2n －1＝ln 32n －1，所以b n ＝32n －1，即na n＋2＝32n －1，从而a n ＝n32n －1－2， 将n ＝8代入可得a 8＝8964－2，选A.2．[多选题]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1，令b n ＝a n ＋1－2a n ，设c n ＝a n2n ，则下列说法正确的是( )A ．数列{b n }是等比数列B ．数列{c n }是等比数列C ．数列{a n }的通项公式a n ＝(3n －1)2n －2D ．数列{a n }的前n 项和S n ＝(3n －4)2n －1＋2解析：选ACD 由题意，S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得，S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＋1＝2b n ，又由题设得1＋a 2＝4＋2＝6，即a 2＝5，所以b 1＝a 2－2a 1＝3，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故A 正确；由A 得b n ＝3·2n －1，所以b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n2n ＝34，即c n ＋1－c n ＝34.所以数列{c n }是首项为12，公差为34的等差数列．故B 错误；由B 得，c n ＝12＋34(n －1)＝34n －14，即a n 2n ＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)2n －2，则S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)2n －1＋2.故C 、D 正确．3．设数列{a n }满足a 1＝5，且对任意正整数n ，总有(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4成立，则数列{a n }的前2 019项的和为________．解析：由(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4，得a n ＋1＝4a n ＋4a n ＋3－3＝a n －5a n ＋3，因为a 1＝5，所以a 2＝0，a 3＝－53，a 4＝－5，a 5＝5，则数列{a n }是以4为周期的周期数列，因为2 019＝504×4＋3，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－53，即一个周期的和为－53，所以数列{a n }的前2 019项的和为－53×504＋5＋0－53＝－2 5103.答案：－2 51034．(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n (a n ＋3)，n ∈N *，且b n ＝13＋a n.记P n ＝b 1·b 2·…·b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________.解析：因为1a n ＋1＝3a n (a n ＋3)＝1a n －1a n ＋3，所以b n ＝13＋a n ＝1a n －1a n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1.因为1a n ＋1＝3a n (a n ＋3)，所以b n ＝13＋a n ＝a n3a n ＋1，所以P n ＝b 1·b 2·…·b n ＝a 13a 2·a 23a 3·…·a n 3a n ＋1＝a 13n a n ＋1. 又a 1＝13，故3n ＋1P n ＋S n ＝3a 1a n ＋1＋1a 1－1a n ＋1＝1a 1＝3.答案：35．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝2,3S n ＝(n ＋m )a n ，m ∈R ，且a n b n ＝n .则a 2＝________；若存在n ∈N *，使得λ＋T n ≥T 2n 成立，则实数λ的最小值为________．解析：∵3S n ＝(n ＋m )a n ，∴3S 1＝3a 1＝(1＋m )a 1， 解得m ＝2，∴3S n ＝(n ＋2)a n .① 当n ≥2时，3S n －1＝(n ＋1)a n －1.②由①－②可得3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， 即(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1. ∵a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n a n －1＝n ＋1n －1，∴a 2a 1＝31，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上各式累乘可得a n ＝n (n ＋1)，经检验a 1＝2符合上式．∴a n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. ∴a 2＝2×3＝6. ∵a n b n ＝n ，∴b n ＝1n ＋1. 令B n ＝T 2n －T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1， 则B n ＋1－B n ＝3n ＋4(2n ＋2)(2n ＋3)(n ＋2)＞0，∴数列{B n }为递增数列，∴B n ≥B 1＝13.∵存在n ∈N *，使得λ＋T n ≥T 2n 成立， ∴λ≥B 1＝13，故实数λ的最小值为13.答案：6 13以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2021年高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题二规范练5.2.3大题规范练三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24.(1)求角A ；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos 2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24， 得cos B －C 2－sin B ·sin C ＝－24，∴cos(B ＋C )＝－22， ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)．2．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，CD ＝EF ＝CF ＝2AB ＝2AD ＝2，∠DCF ＝60°，AD ⊥CD ，平面CDEF ⊥平面ABCD .(1)求异面直线BE 与CF 所成角的余弦值； (2)证明：直线CE ⊥平面ADF ；(3)已知P 为棱BC 上的点，且二面角P ­DF ­A 为60°，求PE 的长． 解：(1)∵CD ∥EF ，CD ＝EF ＝CF ＝2，∴四边形CDEF 为菱形．∵∠DCF ＝60°，∴△DEF 为正三角形．取EF 的中点G ，连接GD ，则GD ⊥EF ，∴GD ⊥CD . ∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，GD ⊂平面CDEF ，CD ＝平面CDEF ∩平面ABCD ，∴GD ⊥平面ABCD ，∴GD ⊥AD ，GD ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴DA ，DC ，DG 两两垂直．如图，以D 为原点，DA ，DC ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系．∵CD ＝EF ＝CF ＝2，AB ＝AD ＝1，∴A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，E (0，－1，3)，F (0,1，3)，∴BE →＝(－1，－2，3)，CF →＝(0，－1，3)． 设异面直线BE 与CF 所成的角为α，则cos α＝|cos 〈BE →，CF →〉|＝|BE →·CF →||BE →||CF →|＝58×4＝528.(2)证明：∵DA →＝(1,0,0)，DF →＝(0,1，3)，CE →＝(0，－3，3)，∴CE →·DA →＝0，CE →·DF →＝0，∴CE ⊥DA ，CE ⊥DF .∵DA ，DF 是平面ADF 内的两条相交直线，∴直线CE ⊥平面ADF .(3)依题意可设P (a,2－a,0)(0≤a ≤1)，平面PDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·DF →＝0，n ·DP →＝0，∴⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，ax ＋2－a y ＝0.令y ＝3a ，则x ＝3(a －2)，z ＝－a ，∴n ＝(3(a －2)，3a ，－a )．∵二面角P ­DF ­A 为60°，CE →＝(0，－33)是平面ADF 的一个法向量， ∴|cos〈n ，CE →〉|＝|n ·CE →||n ||CE →|＝43a12×3a －22＋3a 2＋a 2＝12. 解得a ＝23，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，0， ∴PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12＋0－32＝453.3．(本小题满分12分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：(1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P ＝C 14C 25·C 14·C 16C 210＋C 24C 25·C 24C 210＝410×2445＋610×645＝2275. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 26C 210＝610×1545＝15，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 26C 210＋C 24C 25·C 14·C 16C 210＝410×1545＋610×2425＝3475，P (ξ＝2)＝2275，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 24C 210＝410×645＝475，∴ξ的分布列是∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×5＋1×75＋2×75＋3×75＝5.4．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 为坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．解：(1)由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0.由题意Δ＝24(b 2－3)＝0，得b 2＝3，则直线l 与椭圆E 的交点坐标为(2,1)所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2,1)．(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋4m 2－12＝0.由Δ＝16(9－2m 2)＞0，解得－322＜m ＜322.则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12把y 1＝12x 1＋m 代入得|PA |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3x 1＋x 2＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2ln x －x 2， ∴f ′(x )＝2x－2x ，∴f ′(1)＝0，又f (1)＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1＝0.(2)∵f (x )＝2a 2ln x －x 2，∴f ′(x )＝2a 2x －2x ＝2a 2－2x 2x ＝－2x －ax ＋ax，∵x ＞0，a ＞0，∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，当x ＞a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数． (3)由(2)得f (x )max ＝f (a )＝a 2(2ln a －1)． 讨论函数f (x )的零点情况如下：①当a 2(2ln a －1)＜0，即0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点，在(1，e 2)上无零点； ②当a 2(2ln a －1)＝0，即a ＝e 时，函数f (x )在(0，＋∞)内有唯一零点a ，而1＜a ＝e ＜e 2，∴f (x )在(1，e 2)内有一个零点；③当a 2(2ln a －1)＞0，即a ＞e 时，由于f (1)＝－1＜0，f (a )＝a 2(2ln a －1)＞0，f (e 2)＝2a 2ln e 2－e 4＝4a 2－e 4＝(2a －e 2)(2a ＋e 2)，当2a －e 2＜0，即e ＜a ＜e 22时，1＜e ＜a ＜e 22＜e 2，f (e 2)＜0，由函数的单调性可知，函数f (x )在(1，a )内有唯一零点x 1，在(a ，e 2)内有唯一零点x 2，∴f (x )在(1，e 2)内有两个零点．当2a －e 2≥0，即a ≥e 22＞e 时，f (e 2)≥0，而且f (e)＝2a 2·12－e ＝a 2－e ＞0，f (1)＝－1＜0，由函数的单调性可知，无论a ≥e 2，还是a ＜e 2，f (x )在(1，e)内有唯一的一个零点，在(e ，e 2)内没有零点，从而f (x )在(1，e 2)内只有一个零点．综上所述，当0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点；当a ＝e 或a ≥e22时，函数f (x )有一个零点；当e ＜a ＜e22时，函数f (x )有两个零点．请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋3cos ty ＝5＋3sin t (其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求当AB 取最小值时△AOB 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋3cos ty ＝5＋3sin t 得C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝9，由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入上式得C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)如图，当A ，B ，C 1，C 2四点共线，且A ，B 在线段C 1C 2上时，|AB |取得最小值，由(1)得C 1(4,5)，C 2(0,1)，∴kC 1C 2＝5－14－0＝1，则直线C 1C 2的方程为x －y ＋1＝0，∴点O 到直线C 1C 2的距离d ＝12＝22， 又|AB |＝|C 1C 2|－1－3＝4－02＋5－12－4＝42－4，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12×22×(42－4)＝2－ 2.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立．(1)求实数k 的最大值；(2)若实数k 的最大值为n ，正数a ，b 满足85a ＋b ＋22a ＋3b＝n .求7a ＋4b 的最小值． 解：(1)因为|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立， 设g (x )＝|x ＋2|＋|6－x |，则g (x )min ≥k . 又|x ＋2|＋|6－x |≥|(x ＋2)＋(6－x )|＝8， 当且仅当－2≤x ≤6时，g (x )min ＝8， 所以k ≤8，即实数k 的最大值为8.(2)由(1)知，n ＝8，所以85a ＋b ＋22a ＋3b ＝8，即45a ＋b ＋12a ＋3b＝4，又a ，b 均为正数， 所以7a ＋4b ＝14(7a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b＝14[(5a ＋b )＋(2a ＋3b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋42a ＋3b 5a ＋b ＋5a ＋b 2a ＋3b≥14×(5＋4)＝94， 当且仅当42a ＋3b 5a ＋b ＝5a ＋b 2a ＋3b ，即a ＝5b ＝1552时，等号成立，所以7a ＋4b 的最小值是94.。