山东省潍坊2014届高三上学期期中考试文科数学

乙组甲组322109881.已知集合{|12},{|21}x A x x B x =∈-<<=≥N ,则A B =()A.∅B.{0}C.{1}D.{0,1}2.复数i 1i +在复平面中所对应的点到原点的距离为( )A.12 C.13.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,1232,12a a a =+=.则该数列的前4项和为(A.30 B.32C.36D.404.已知a ∈R ,设2:320p a a ++≤,:q 关于x 的方程222log 0x x a ++=有实数根.则p 是q 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图,若输出i 的值为2,则输入x 的最大值是( )A.6 B.12 C.22D.246. 已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有)2014()()(11+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小正值为（ ）A. 20141B. 2014πC. 40281D. 4028π7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.32B.1283C.48D.648.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点,若双曲线右支上存在一点M ,使22()0F M OF OM ⋅+=,O 为坐标原点,且12||3||FM FM =,则该双曲线的离心率为( )19. 设函数()f x 的导函数为()'fx ，若对任意x R ∈，都有)()('x f x f >成立，则（ ） A ．()()ln 201420140f f < B ．()()ln 201420140f f = C ．()()ln 201420140f f > D ．()()ln 201420140f f 与的大小关系不确定10.定义在R 上的函数()f x 的图象既关于点(1,1)对称,又关于点(3,2)对称,则(0)(2)(4)(18)f f f f ++++=( )A.24B.32C.46D.5011.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示,如果分别从甲乙两组中各随机挑选一名同学,则这两名同学成绩相同的概率是 .12. 若直线l 上不同的三个点,,A B C 与直线l 外一点O ，使得x OA xOB BC 2+=2成立，则满足条件的实数x 的集合为 .13.若实数,x y 满足10220x y x y x -+⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥1,且z ax y =+的最小值为2,则实数a 的值为 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上,其中ABC ∆是正三角形,PA ⊥平面ABC ,且6PA =,若球的表面积为48π,则该三棱锥的体积为 . 15、设函数f 0(x)＝1－x 2，f 1(x)＝012f x（）－，f n (x)＝112n nf x -（）－，(n≥1，n≥N)，则方程f 1(x)＝13有______个实数根，方程f n (x)＝13n⎛⎫⎪⎝⎭有______个实数根．16、已知函数)0(43)6sin(sin )(>-+=ωπωωx x x f ，且其图象的相邻对称轴间的距离为4π.（I ）求)(x f 在区间]89,1211[ππ上的值域；（II ）在锐角ABC ∆中，若,21)8(=-πA f ,2,1=+=c b a 求ABC ∆的面积. 17. 在某次体检中,有6位同学的平均体重为65公斤.n x 表示编号为(1,2,,6)n n =的同学的体重,且前5位同学的体重如下:(1) 求第6位同学的体重x 6及这6位同学体重的标准差s ;从前5位同学中随机抽取2名同学，求恰有1位同学的体重在区间（58,65）中的概率.18. 在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ， AB=AC=BE=2，CD=1。

试卷类型：A高三数学(文）2014. 01本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟，第I 卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号，一、选择题：本大墨共12小题．每小恿5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1.{}21|4,|2,4x A x x B x ⎧⎫=≥==⎨⎬⎩⎭则A B =(A){}2 (B) (],2-∞- (C)[)2,+∞ (D){}2-2．下列命题中的假命题是(A),0x x R e ∀∈> (B)2,0x N x ∀∈>(C),ln 1x R x ∃∈< (D),sin 12xx N π*∃∈=3．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．函数21log ()2xy x =-的零点个数是(A)0 (B)l (C)2 (D)45．某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y 的值为(A)6 (B)7(C)8 (D)96．函数sin cos y x x x =+的图象大致是7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A) (B) 83(C) (D)438．函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π， 若其图象向右平移3π个单位后关于y 轴对称，则 (A) 2,3πωϕ== (B) 2,6πωϕ== (C)4,6πωϕ== (D)2,6πωϕ==- 9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点恰好是椭圆22195x y +=的两个顶点，且焦距是(A) 12y x =±(B)y x =(C)y = (D) 2y x =± 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38713,35a a S +==，则8a =(A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 1111．已知不等式201x x +<+的解集为{}|x a x b <<，点(,)A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为(A) (B)8 (C)9 (D) 1212．已知函数2()4,0f x x x x =-+≤⎪⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是(A)(],6-∞- (B)[]6,0-(C)(],1-∞- (D)[]1,0-第Ⅱ卷 （非选择题共90分）注意事项1．将第Ⅱ卷答案用0. 5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知2sin ,,32a a ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则sin()2a π-=____________. 14．在边长为1的正方形ABCD 中,E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则AE AF =__________.15．已知实数x ，y 满足约束条件1001x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z=2x+y 的最小值是__________．16．过抛物线24y x =的焦点且倾斜角为60的直线被圆2240x y x +-+=截得的 弦长是__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量3(cos ,1),(sin ,),()()2m x n x f x m n m =-=-=-．(I)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．其面积S =，()3,84f A a π-=-=求b+c 的值． 18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n S n n =+，数列{}n b 满足3n n n b a =． (I)求数列{}n a 的通项公式，(Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和．19．（本小题满分12分）如图，在几何体111ABC A B C -中，点111,,A B C 在平面ABC内的正投影分别为A ，B ，C ，且AB BC ⊥，E 为1AB 中点，1112AB AA BB CC ===．(I)求证；CE ∥平面111A B C ，(Ⅱ)求证：平面11AB C ⊥平面1A BC ．20．（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T ∈[0，2）畅通;T ∈[2，4)基本畅通; T ∈[4，6）轻度拥堵; T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段(T ≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．(I)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？(Ⅱ)用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(Ⅲ)从(Ⅱ)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1x f x x a=-+（a 为常数）在x=1处的切线的斜率为1． (I)求实数a 的值，并求函数()f x 的单调区间，(Ⅱ)若不等式()f x ≥k 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，P 是椭圆上一点，且12PF F ∆面积的最大值等于2．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点M(0，2)作直线l 与直线2MF 垂直，试判断直线l 与椭圆的位置关系5(Ⅲ)直线y=2上是否存在点Q ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由。

山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试2013.11 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I卷l至10页，第Ⅱ卷11至12页。

满分为150分。

考试用时为120分钟。

第I卷（共100分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

第一部分英语知识运用（共两节，满分50分）第一节单项填空（共20小题，每小题1分，满分20分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

1. Someone knocked on the door and Jimmy hurried to see who _ was.A oneB .itC .he D. that2. I _______a cup of coffee when a new idea occurred to me.A. drankB. was drinkingC. had drunkD. would drink3. Some teenagers tend to quit when they get into a mess ______ they can't escape.A. of whichB. for whichC. from whichD. in which4. -- You'd better fill your tank. There is no gas station along the road.--_________. The supermarket sells gas , too.A. Sounds goodB. A1l rightC. No problemD. Take care5. They hope to turn our society into one ______ those in need can get help.A. thatB. whichC. whenD. where6. I didn't understand _______it meant to him until I was in his place.A.whatB. thatC.howD. which7. The player won our respect ______ he was far behind the others.A. ever sinceB. so thatC. even thoughD. as though8. We can imagine ______city like Beijing in_______ year 2030 will be more crowded thanit is now.A. the;不填B.不填; theC. the; aD. a; the9. - Remember the first time you _____ her?- Sure. She was singing on the stage.A. metB. were meetingC. had metD. would meet10. Luck always favours those ________are well prepared.A. whoB. whichC. whomD. when11. My friend Jack was the. first person I knew ______an iPhone 5S.A. usingB. to useC. usedD. having used12. Volunteering,______ as a way of building character,is popular among young people.A. seeingB. to seeC. seenD. being seen13. Scientists are convinced of the positive effect of laughter_____physical and mentalhealth.A. ofB. inC. onD. at14. Think it over and tell me your opinion , as____ you agree or not is important.A. howB. whetherC. whatD. that15. Rarely ______ his voice to anyone ; he seldom argued with his friends, either.A. he had raisedB. had he raisedC. he raisedD. did he raise16. ______he wants to write back,we have sent a stamped addressed envelope.A. UnlessB. Even ifC. In caseD. As long as17. She wrote a letter,________ her thanks for his kindness.A. to expressB. expressingC. expressedD. having expressed18. We can hardly believe such a young boy ______ travel around the world all by himself.A. mayB. needC. shouldD. must19. It is attitude ______matters much in daily work.A. thatB. whichC. whatD. where20.-- You hate Lee , don't you?-- ______I just think he is a bit annoying.A. That's rightB. Not exactlyC. By all meansD. Never mind第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

山东省潍坊市2014届高数学三第三次模拟考试 文本试卷共4页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．第I 卷(选择题共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。

附参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++P(K 2>k 0)0.10 0.05 0.025 0.0l0 0.005 0.001k 0 2.706 3.841 3.004 6.615 7.789 10.828一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．若复数2()x x x iz i+-=(x ∈R)为纯虚数，则x 等于A ．1B ．0C ．-lD ．0或12．集合A={-1，0，1，2)，B={2|20x x x --<}，则A B=A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{-1，0，1，2}3．函数2y ax bx =+与函数(0)a y x b a =+≠，在同一坐标系中的图象可能为4．圆2240x y +-=与圆2268160x y x y +--+=的位置关系为A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离 5．给出下列四个结论，其中正确的是 A ．若11a b>，则a <b B ．“a =3"是“直线l 1：2310a x y +-=与直线l 2:320x y -+=垂直”的充要条件 C ．对于命题P ：x ∃∈R 使得21x x ++<0，则P ⌝：x ∀∈R 均有21x x ++>0 D ．在区间[0，1]上随机取一个数x ，sin2x π的值介于0到12之间的概率是136．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下图的2×2则至少有 的把握认为喜爱打篮球与性别有关． A ．95％ B ．99％ C ．99．5％ D ．99．9％7．将函数sin 22y x x =+（x ∈R）的图象向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值为 A ．12π B ．6π C ．3πD ．56π 8．在正四面体ABCD 中，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，下面四个结论中不正确的 是 A ．BC//平面AGF B ．EG ⊥平面ABFC ．平面AEF ⊥平面BCD D ．平面ABF ⊥平面BCD9．已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的两条渐近线分别交于A ，B两点，O 点坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB 的面积S△AOB =A B C ．10．已知函数()f x 定义域为D ，若,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 都是某一三角形的三边 长，则称()f x 为定义在D 上的“保三角形函数”，以下说法正确的个数有①()f x =1(x ∈R )不是R 上的“保三角形函数”②若定义在R 上的函数()f x 的值域为，2]，则()f x 一定是R 上的“保三角形函 数”③()f x =211x +是其定义域上的“保三角形函数” ④当t >1时，函数()f x =xe t +一定是[0，1]上的“保三角形函数” A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第Ⅱ卷 (非选择题共100分)注意事项：将第Ⅱ卷答案用0．5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．执行如图所示程序框图，那么输出S 的值是12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB AD OA λ+=，则λ= ． 13．函数()lg sin f x x x =-在定义域(0，+∞)上的零点有 个．14．设实数x ，y 满足60102x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x μ=的取值范围 ．15．如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为CA=lkm ，DB=2km ，A ，B 间的距离为3km ．某公交公司要在AB 之间的某点N 处建造一个公交站台，使得N 对C 、D 两个小区的视角∠CND 最大，则N 处与A 处的距离为 km ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明。

2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2B．﹣C．2D．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜5}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[2，5）B．（1，5）C．（2，5]D．[1，5）3．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆命题是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”B．若命题P：∀x∈R，x2+1＞0，则￢P：∃x∈R，x2+1＞0C．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．设x，y∈R，则“（x﹣y）•x2＜0”是“x＜y”的必要而不充分条件4．（5分）定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（）A．y=x2+1B．y=|x|+1C．y=D．y=5．（5分）若过点的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．πC．9πD．π7．（5分）如图，向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆，若圆C的方程为（x ﹣2）2+（y﹣2）2=，则黄豆落入阴影部分的概率为（）A．B．1﹣C．1﹣D．8．（5分）运行如图所示程序框，若输入n=2015，则输出的a=（）A．B．C．D．9．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）A．1600B．2100C．2800D．480010．（5分）设方程x4+ax﹣4=0的各实根为x1，x2，…x k（k≤4）若点（x i，）（i=1，2，…k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|=．12．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为．14．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在[﹣，]上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos（﹣）的值．17．（12分）某中学举行了一次“社会主义核心价值观知识竞赛”活动，为了解本次竞赛中学生成绩情况，从全体学生中随机抽取了部分学生的分数（得分取整数且不低于50分，满分100分），作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出茎叶图（图2）（图中仅列出了[50，60），（90，100]这两组的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y；（Ⅱ）在选取的样本中，从样本中竞赛成绩80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加社会主义核心价值观知识宣传志愿者活动．求所抽取的2名同学来自不同组的概率．18．（12分）如图，四边形ACDF为正方形，且平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF ⊥平面ABC，BC=2DE，DE∥BC，M为AB的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥AD；（Ⅱ）证明EM∥平面ACDF．19．（12分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n ∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，（Ⅱ）在a n与a n+1求数列{}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点和抛物线y2=4x的焦点相同，过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若与直线l1：x﹣2y+t=0相垂直的直线l与椭圆C交于B、D两点，求△OBD 的最大值．21．（14分）设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，），g（x）＞0恒成立，求实数a的最小值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明k＞f′（x0）2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2B．﹣C．2D．【解答】解：∵复数==为纯虚数，∴2a﹣1=0，2+a≠0，解得a=．故选：D．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜5}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[2，5）B．（1，5）C．（2，5]D．[1，5）【解答】解：N={x|y=}={x|x≥2}，∵M={x|1＜x＜5}，∴M∩N={x|2≤x＜5}，故选：A．3．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆命题是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”B．若命题P：∀x∈R，x2+1＞0，则￢P：∃x∈R，x2+1＞0C．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．设x，y∈R，则“（x﹣y）•x2＜0”是“x＜y”的必要而不充分条件【解答】解：对于A．命题“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆命题是“若﹣x＜﹣y，则x ＞y”，则A错误；对于B．若命题P：∀x∈R，x2+1＞0，则￢P：∃x∈R，x2+1≤0，则B错误；对于C．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，由线面垂直的性质定理，垂直于同一直线的两平面平行，则有α∥β，则C正确；对于D．设x，y∈R，“（x﹣y）•x2＜0”可推出“x＜y”，但反之，不成立，比如x=0，则为充分不必要条件，则D错误．故选：C．4．（5分）定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（）A．y=x2+1B．y=|x|+1C．y=D．y=【解答】解：利用偶函数的对称性知f（x）在（﹣2，0）上为减函数．又y=x2+1在（﹣2，0）上为减函数；y=|x|+1在（﹣2，0）上为减函数；y=在（﹣2，0）上为增函数．∴y=在（﹣2，0）上为减函数．故选：C．5．（5分）若过点的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k，则此直线方程为y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0．由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=0或k=，故直线的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．πC．9πD．π【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，PA，AB，AC两两垂直．∴该几何体的外接球的直径2R==3．其表面积为=4πR2=9π．故选：C．7．（5分）如图，向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆，若圆C的方程为（x ﹣2）2+（y﹣2）2=，则黄豆落入阴影部分的概率为（）A．B．1﹣C．1﹣D．【解答】解：由题意，正方形面积为2×2=4，阴影部分的面积为：4﹣=4﹣，所以由几何概型的概率公式得黄豆落入阴影部分的概率为；故选：B．8．（5分）运行如图所示程序框，若输入n=2015，则输出的a=（）A．B．C．D．【解答】解：执行程序框图，有n=2015a=0，i=1，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=3，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=5，a=+，…不满足条件i≥2n﹣1，i=4029，a=++…+，满足条件i≥2n﹣1，退出循环，输出a的值为++…+．∵a=++…+=（）=．故选：D．9．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）A．1600B．2100C．2800D．4800【解答】解：设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，则，目标函数为：z=400x+300y作出可行域：把直线l：z=400x+300y向右上方平移，直线经过可行域上的点A，且与原点距离最大，此时z=400x+300y取最大值，解方程，解得得A的坐标为（3，3）．此时z=400×3+300×3=2100元．故选：B．10．（5分）设方程x4+ax﹣4=0的各实根为x1，x2，…x k（k≤4）若点（x i，）（i=1，2，…k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程可化为x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得或；解得，a＞6或a＜﹣6．故选B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|=2．【解答】解：|2+|====2．故答案为：212．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为．【解答】解：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2﹣b2=bc，可得a2=3b2，所以cosA==，∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．14．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为2．【解答】解：P为双曲线右支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=4a，|PF2|=2a，由△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|，即有4a=2c或2c=2a，即有e==2（1舍去）．故答案为：2．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为①④．【解答】解：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数．①y=x，f（x1）+f（x2）=4得x1+x2=4，解得x2=4﹣x1，满足唯一性，故成立．②y=x2，由f（x1）+f（x2）=4得x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．③y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使成立．故不满足条件④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使成立．故成立．⑤y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使成立，则f（x2）=﹣4，不成立．故答案为：①④．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在[﹣，]上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos（﹣）的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+=sin2x﹣+cos2x+=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=﹣，即x=﹣时，f（x）的最小值为2×（）=．当2x+=，即x=时，f（x）的最大值为2×1=2．（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）=2sin（x﹣），由g（α）=2sinx（α﹣）=﹣，得sinx（α﹣）=﹣，∵α∈（，），∴π﹣α∈（π，），是cos（α﹣）=﹣，∵＜﹣，∴cos（﹣）==﹣．17．（12分）某中学举行了一次“社会主义核心价值观知识竞赛”活动，为了解本次竞赛中学生成绩情况，从全体学生中随机抽取了部分学生的分数（得分取整数且不低于50分，满分100分），作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出茎叶图（图2）（图中仅列出了[50，60），（90，100]这两组的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y；（Ⅱ）在选取的样本中，从样本中竞赛成绩80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加社会主义核心价值观知识宣传志愿者活动．求所抽取的2名同学来自不同组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G．从竞赛成绩是80（分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有21个基本事件；其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F），（a，G），（b，F），（b，G），（c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），共10个，所以抽取的2名同学来自不同组的概率P=18．（12分）如图，四边形ACDF为正方形，且平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF ⊥平面ABC，BC=2DE，DE∥BC，M为AB的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥AD；（Ⅱ）证明EM∥平面ACDF．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ACDF为正方形，且平面ACDF⊥平面BCDE，所以：AC⊥CD，AC⊥平面CBDE所以：AC⊥BC又平面ACDF⊥平面ABC，CD⊥ACCD⊥平面ABCCD⊥BC所以：BC⊥平面ACDF则：BC⊥AD（Ⅱ）取AC的中点N，连接MN和DN，BC=2DE，DE∥BC，M为AB的中点．所以：NM∥DE，MN=DE所以：四边形MEDN是平行四边形．则：ME∥DNME⊄平面ACDFDN⊂平面ACDF所以：EM∥平面ACDF19．（12分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n ∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，（Ⅱ）在a n与a n+1求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵点（a n，a n）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，+1=3a n，∴a n+1∵各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S3=26，∴=26，解得a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2•3n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2×3n﹣1，a n+1=2×3n，=a n+（n+1）d n，∵a n+1∴d n=，∴T n=++…+=，①=，②①﹣②，得：=+…+=﹣=，∴T n=．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点和抛物线y2=4x的焦点相同，过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若与直线l1：x﹣2y+t=0相垂直的直线l与椭圆C交于B、D两点，求△OBD 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=4x的焦点为（，0），∴a2﹣b2=6，即（，0）为椭圆C的右焦点，又∵过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2，∴点（，1）在椭圆C上，即，∴a2=9，b2=3，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）∵直线l与直线l1：x﹣2y+t=0相垂直，∴可设直线l方程为：2x+y+m=0，则点O到直线l的距离d==•|m|，联立，消去y可得：13x2+12mx+3m2﹣9=0，∵△=144m2﹣4×13×（3m2﹣9）=12×（117﹣m2）＞0，∴m2＜117，即﹣3＜m＜3，设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=﹣m，x1•x2=，∴|BD|==•=•=•，∴S==•=•，△OBD∵m2＜117，∴当m2=117时，S△OBD最大，最大值为：=．21．（14分）设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，），g（x）＞0恒成立，求实数a的最小值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明k＞f′（x0）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx，则g′（x）=1﹣，由g′（x）＞0，x＞2；g′（x）＜0，得0＜x＜2．故g（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；（Ⅱ）对任意的x∈（0，），g（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）x=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=21nx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=﹣+=＜0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而，l′（x）＞0，于是l （x）在（0，）上为增函数，所以l （x ）＜l （）=2﹣41n2， 故要使a ＞2﹣恒成立，只需a ≥2﹣41n2．∴a 的最小值为2﹣4ln2； （Ⅲ）证明：不妨设x 1＞x 2＞0，则k===，f′（x 0）=f′（）=，证明k ＞f′（x 0）转化为证明＞，即证明ln ﹣＞0，令x=，（x ＞1），得：lnx ﹣＞0令h （x ）=lnx ﹣（x ＞1），则h′（x ）=．∴h （x ）在（1，+∞）上为增函数， ∴h （x ）＞h （1）=0． ∴k ＞f′（x 0）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域Rxa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试数学（文科）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．若复数2满足z(1+i )=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) (A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l) 【答案】A 【解析】 试题分析：()12z i i +=()()()2122211112i i i i z i i i i -+∴====+++- 所以在复平面内z 对应的点是()1,1,故选A. 考点：1、复数的运算；2、复平面.2. 设全集U=R ，集合A={|21xx >}，B={|15x x -≤≤}，则U ()A B ð等于( )(A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]3. 已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为p ⌝为真，所以p 为假，那么p q ∧为假，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分条件；反过来，若“p q ∧为假”，则，“p 真q 假”或“p 假q 真”或“p 假q 假”，所以由“p q ∧为假”不能推出p ⌝为真；综上可知，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件. 考点：命题与充要条件.4. 若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3x y -+=(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(4x y -+=5. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( ) (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014【答案】A 【解析】试题分析：1n =，条件2014n <成立，第一次运行， ()011,k 2,n 2s =-⨯==；条件2014n <成立，第二次运行， ()()011112,k 3,n 3s =-⨯+-⨯==6.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21 【答案】C 【解析】试题分析：从56名学生中抽取4人，用系统抽样法，则分段间隔为14，若第一段抽出的号码为5，则其它段抽取的号应为：19，33，47；所以答案应选C. 考点：系统抽样. 7. 函数||x y a=与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是8. 三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为( )(A)2 (B) 32π (C) 3π (D) 12π 【答案】C【解析】试题分析：因为AB BC ⊥，所以AC 是ABC ∆所在截面圆的直径， 又因为SA ⊥平面ABC ，所以SAC ∆所在的截面圆是球的大圆9. 对任意实数a，b定义运算“⊗”：,1,, 1.b a ba ba a b-≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x=-⊗+，若函数()y f x k=+的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( ) (A)(-2，1) (B)[0，1](C)[-2，0) (D)[-2，1)考点：1、新定义；2、分段函数；3、数形结合的思想.10. 如图，已知直线l ：y =k(x +1)(k>0)与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是( )(A)13(B) 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos2α= ．【答案】7 25 -【解析】试题分析：根据三角函数的定义知：4sin 5y r α=== 所以，224327cos 212sin 12152525αα⎛⎫=-=-⨯=-=- ⎪⎝⎭所以，答案应填725-. 考点：1、三角函数的定义；2、二倍角公式.12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【答案】12 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，高为4，底面两直角边长分别为2和3，所以，该三棱柱的体积为：1234122⨯⨯⨯= 所以答案应填：12考点：1、三视图；2、棱柱的体积.13．若x 、y 满足条件2102101x y x y y x --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤+⎩，则z =x +3y 的最大值是 .【答案】11 【解析】试题分析：不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：14．已知a>b>0,ab=1，则22a b a b+-的最小值为 ．【答案】【解析】 试题分析：0,0a b a b >>∴->()()22222a b ab a b a b a ba b a b-++∴==-+≥---≥当且仅当()2a b a b-=-即：a b =时等号成立.所以答案应填考点：基本不等式.15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称；②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数；③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--；④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增．其一中所有正确结论的序号为由图象可知①②正确，④不正确；另外，当()1,0x ∈-时，()22,3x -∈所以，()()()222log 21log 1f x x x -=--=-又因为()f x 是以2这周期的奇函数所以，()()()2f x f x f x -=-=-所以，()()2log 1f x x -=-所以，()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-，所以③也正确故答案应填：①②③考点： 函数的图象与性质的综合应用三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本小题满分l2分)已知函数()sin cos f x x x =+．(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m =(a ，b)，n =(f (C),1)且m //n ，求B ．(Ⅱ)由题意()sin cos ,f C C C =+//m n ，()10a f C b ∴⨯-⋅=，即()sinC cosC a b =+……………………………………7分由正弦定理：sin sin a b A B=， 得：()sinA sin sin cos sinBsinC sinBcosC B C C =+=+，………………………………8分在ABC ∆中，()sin sin sinBcosC cosBsinC,A B C =+=+sinBsinC cosBsinC,∴=………………………………………………………………………10分又sin 0,sinB cosB C ≠∴=，…………………………………………………………………11分tan 1B ∴=，又0,4B B ππ<<∴=.……………………………………………………12分考点：1、三角函数的性质；2、正弦定理；3、向量共线的条件.17．(本小题满分12分)如图，底面是等腰梯形的四棱锥E —ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB=2CD ，∠ABC=3π． (I)设F 为EA 的中点，证明：DF//平面EBC ；(II)若AE=AB=2，求三棱锥B —CDE 的体积．【答案】(II) 6又//FG CD所以四边形CDFG 为平行四边形，……………………………………4分//DF CG ,………………………………………………………………5分又DF ⊂/平面EBCCG ⊂平面EBC//DF ∴平面EBC ………………………………………………………………6分(II)等腰梯形ABC 中, 作CH AB ⊥于H ,则12BH =, 在Rt BHC ∆中,60ABC ∠=,则13tan 6022CH ==…………………………9分 又EA ⊥平面ACD , 所以,三棱锥B CDE -的体积13B CDE E BDC BCD V V S EA --∆==⋅⋅……………………10分=11123226⨯⨯⨯=………………………………………………………………12分 考点：1、直线与平面平行的判定；2、棱锥的体积.18. (本小题满分l2分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?19．(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n n n n b n a na ++=+-，且13b =．(I)求n a ，n b ；(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ．【答案】(I) 21n a n =+;1413n n n b --=；(Ⅱ)11545223n n n T -+=-⋅ 【解析】试题分析：(I) 由21n n S a n =+-构造另一个等式211(1)1,n n S a n --=+-- 两式相减,根据n S 与n a 的关系可求数列{}n a 的通项公式n a ,再将所得n a 的表达式代入到113(1)n n n n b n a na ++⋅=+- 中即可求数列{n b }的通项公式;20．(本小题满分13分)已知函数3()f x x x =-(I)判断()f x x的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；(III)令2()lng x x =，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围； 【答案】(I)()f x x在()0,+∞单调递增；(Ⅱ) 2 (III) 【解析】 试题分析：(I) ()()21f x x xx ϕ==-()0,+∞，在其定义域上由()x ϕ导数符号判断的的单调性.设()2(2)1h x x a x =-++，则()0h x =有两个不同的根12,x x ，且一根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内, 不妨设110x e<<，由于121x x ⋅=，所以,2x e >………………………………………………11分 由于()01h =,则只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()211210,a e e -++<………………………………12分 解得:12a e e>+-……………………………………………………………………………13分 考点：1、求导法则；2、函数的零点；3、导数在研究函数性质中的应用.21．(本小题满分14分)已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为0x -=．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．(I)求椭圆E 的方程；(II)若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO =，求22||||GA GB +的取值范围；(Ⅲ)若椭圆上点P 满足|PA|=|PB|，求证222112||||||OA OB OP ++为定值.()11,B x y --,由22112133x y +=,将22GA GB +表示成1x 的函数,从而求出它的取值范围.(Ⅲ) ①若,A B 在椭圆的短轴顶点上，则点P 在椭圆的长轴顶点上,,OA OB b OP a ===可得 2221122OA OB OP ++=;②若,A B 在椭圆的长轴顶点时，则点P 在椭圆的短轴顶点上,,OA OB a OP b ===,可得2221122OA OB OP ++=③当点,,A B P 不是椭圆顶点时，设直线l 的方程为()0y kx k =≠,由22,2133y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：222112233,1212k x y k k ==++于是写出222112OA OB OP ++的表达式并化简可得定值.=21113x +…………………………………………………………………………………8分又[]22111111120,0,3,333x x x ⎡∈-∴∈∴≤+≤⎣ ∴22GA GB+的取值范围是1120,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………………………9分 222112OA OB OP ∴++=()()()()2222222212122313131k k k k k k +++++=+++综上222112OA OB OP ++为定值2.………………………………………………………………14分 考点：1、双曲线、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.。

高三数学（文）2014.11第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合1{|21,},{|0}3x A x x k k Z B x x +==-∈=≤-，则 ( )A ．B ．C ．D ．2、若为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则3、“直线”是“函数图象的对称轴”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设等差数列的前n 项和为，已知，当取得最小值是，（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85、若函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的大致图象如右图所示，则函数的大致图象为（）6、中，90,2C CA CB ∠===，点M 在边AB 上，且满足，则（ ）A ．B ．1C ．2D ．7、若实数满足不等式2010230x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，且目标函数的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、已知函数()222020x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()21f a f a f --≤，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．9、已知函数()2cos2f x x x m =+-在上有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

.11、已知数列的前n 项和，则的通项公式12、已知向量满足1,32,|2|10a b a b ==+=，则与的夹角为13、已知函数()sin 58(1)5x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，则 14、某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为的看台桑，从正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为或，第一排和最后一排的距离，则旗杆CD 的高度为15、已知定义在R 上的偶函数()()()()21f x f x f x f +=+，且当时，单调递减，给出以下四个命题：①②直线为函数的一条对称轴；③函数在上单调递增；④若方程在上两根，则。

2014-2015学年山东省潍坊市重点中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．42．（5分）已知函数f（x）=ax5﹣bx3+cx，f（﹣3）=2，则f（3）的值为（）A．.2 B．﹣2 C．6 D．﹣63．（5分）设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则sinα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．（5分）已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若与共线，则m的值为（）A．B．2 C．D．﹣25．（5分）定义在R上的函数y=f（x）满足，（x﹣）f′（x）＞0，任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜5的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=，则f（log27）=（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2 D．48．（5分）已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则t的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]9．（5分）已知f（x）=x2+cosx，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a为常数）有且仅有3个不等的实根，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案纸的相应位置上．11．（5分）如果过曲线y=x4﹣x上点P处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P 的坐标为．12．（5分）将函数y=3sin（3x+）的图象向右平移个单位后得到函数的图象．13．（5分）已知向量=（λ，2），=（﹣3，5），且向量与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．14．（5分）已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．15．（5分）下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交与点N（n，0），则m 的象就是n，记作f（m）=n下列说法中正确的命题的序号是（填出所有正确命题的序号）．①；②f（x）是奇函数；③f（x）在定义域上单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣），f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数F（x）=[f′（x）]2﹣f（x）f′（x）的最小值和相应的x值．（2）若f（x）=2f′（x），求的值．18．（12分）已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式为f（x）=﹣（b∈R）．（1）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式．（2）求f（x）在[﹣1，1]上的值域．19．（12分）设函数f（x）=sin（ωx+）﹣2sin2x+1（ω＞0），直线y=﹣与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．（1）求ω的值．（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（B，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC面积的最大值．20．（13分）5A级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y=f（x）=ax2+x﹣bln，a、b为常数，当x=10万元，y=19.2万元；当x=50万元，y=74.4万元．（参考数据：In2=0.7，In3=1.1，In5=1.6）（1）求f（x）的解析式．（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润=旅游增加值﹣投入）21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e ≈2.71828）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年山东省潍坊市重点中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=ax5﹣bx3+cx，f（﹣3）=2，则f（3）的值为（）A．.2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【解答】解：∵函数f（x）=ax5﹣bx3+cx，∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣3）=2，∴f（3）=﹣2，故选：B．3．（5分）设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则sinα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由题意|PO|=，所以cosα==x，因为α是第二象限角，解得：x=﹣3，∴sinα=．故选：A．4．（5分）已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若与共线，则m的值为（）A．B．2 C．D．﹣2【解答】解：由题意可知=m（2，3）+4（﹣1，2）=（2m﹣4，3m+8）=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）∵与共线∴（2m﹣4）×（﹣1）=（3m+8）×4∴m=﹣2故选：D．5．（5分）定义在R上的函数y=f（x）满足，（x﹣）f′（x）＞0，任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜5的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵，∴f（x）=f（5﹣x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．又因，故函数y=f（x）在（，+∞）上是增函数．再由对称性可得，函数y=f（x）在（﹣∞，）上是减函数．∵任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），故x1和x2在区间（﹣∞，）上，∴x1+x2＜5．反之，若x1+x2＜5，则有x2 ﹣＜﹣x1，故x1离对称轴较远，x2 离对称轴较近，由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x1）＞f（x2）．综上可得，“任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＜5”的充要条件，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=，则f（log27）=（）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以=．而，所以．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°﹣A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．8．（5分）已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则t的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：法一：排除法．当t=0时，结论成立，排除C；当t=﹣1时，f（0）不是最小值，排除A、B，选D．法二：直接法．由于当x＞0时，f（x）=x++t在x=1时取得最小值为2+t，由题意当x≤0时，f（x）=（x﹣t）2，若t≥0，此时最小值为f（0）=t2，故t2≤t+2，即t2﹣t﹣2≤0，解得﹣1≤t≤2，此时0≤t≤2，若t＜0，则f（t）＜f（0），条件不成立，选D．9．（5分）已知f（x）=x2+cosx，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，设g（x）=f′（x）=x﹣sinx，则g（x）=0，得x=sinx，由图象可知方程有三个根，在图象A正确，故选：A．10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a为常数）有且仅有3个不等的实根，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=﹣a=0得=a，①若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使f（x）=﹣a有且仅有三个零点，即函数g（x）=a有且仅有三个零点，则由图象可知＜a≤，②若x＜0，设g（x）=，则当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此时g（x）=﹣，此时g（x）≥1，当﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜2，当﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使f（x）=﹣a有且仅有三个零点，即函数g（x）=a有且仅有三个零点，则由图象可知≤a＜，综上：＜a≤或≤a＜，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案纸的相应位置上．11．（5分）如果过曲线y=x4﹣x上点P处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P 的坐标为（1，0）．【解答】解：由y=x4﹣x，得到y′=4x3﹣1，又直线y=3x+2的斜率为3，则4x3﹣1=3，解得x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，所以点P的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．12．（5分）将函数y=3sin（3x+）的图象向右平移个单位后得到函数y=3sin3x 的图象．【解答】解：将函数y=3sin（3x+）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=3sin[3（x﹣）+]=3sin3x．故答案为：y=3sin3x．13．（5分）已知向量=（λ，2），=（﹣3，5），且向量与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．【解答】解：由题意可得＞0，且不共线，即﹣3λ+10＞0，且，解得λ∈，故答案为：．14．（5分）已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．【解答】解：∵f1（x）==，f2（x）==，f3（x）==，…，由此归纳可得：f n（x）=，故答案为：15．（5分）下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交与点N（n，0），则m 的象就是n，记作f（m）=n下列说法中正确的命题的序号是③④（填出所有正确命题的序号）．①；②f（x）是奇函数；③f（x）在定义域上单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．【解答】解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当=时．的坐标为（﹣，1﹣），直线AM的方程为所以点N的坐标为（﹣1，0），故f（）=﹣1，即①错对于②，因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，所以f（x）不存在奇偶性．故②错．对于③，当实数m越来越大时，如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即③对．对于④当实数m=时，对应的点在点A的正下方，此时点N（0，0），所以f（）=0，再由图形可知f（x）的图象关于点（，0）对称，即④对．故答案为③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1∴A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a﹣1}，C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a﹣1＞2∴a＞3（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C．∴解可得0≤a≤317．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣），f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数F（x）=[f′（x）]2﹣f（x）f′（x）的最小值和相应的x值．（2）若f（x）=2f′（x），求的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x﹣）=sinx﹣cosx∴f′（x）=cosx+sinx∵F（x）=[f′（x）]2﹣f（x）f′（x），∴F（x）=（cosx+sinx）2﹣（cosx+sinx）（sinx﹣cosx）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，其最小值为1﹣，此时x=kπ﹣，k∈Z，（2）∵f（x）=2f′（x），∴sinx﹣cosx=2（cosx+sinx），∴tanx=﹣3∴===18．（12分）已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式为f（x）=﹣（b∈R）．（1）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式．（2）求f（x）在[﹣1，1]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，∴f（0）=0，即f（0）=1﹣b，∴b=1．设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]∴f（﹣x）=，f（x）=2x﹣4x，．所以f（x）=2x﹣4x在[0，1]上的解析式为f（x）=2x﹣4x，（2）当x∈[0，1]，f（x）=2x﹣4x=2x﹣（2x）2，∴设t=2x（t＞0），则g（t）=﹣t2+t，∵x∈[0，1]，t∈[1，2]当t=1时，最大值为1﹣1=0，当t=0时，取最小值﹣2，∴函数在[0，1]上取最小值﹣2，最大值为0，∵f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴函数在[﹣1，0]上取最小值0，最大值为2，所以f（x）在[﹣1，1]上的值域[﹣2，2]19．（12分）设函数f（x）=sin（ωx+）﹣2sin2x+1（ω＞0），直线y=﹣与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．（1）求ω的值．（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（B，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin（ωx+）﹣2sin2x+1（ω＞0）=sinωxcos+cosωxsin+cosωx=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数的最大值为，最小值为﹣，直线y=﹣与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π，可得函数的最小正周期为=π，求得ω=2．（2）由于f（x）=sin（2x+），故有f（B）=sin（2B+）=0，∴B=，或B=．若B=，则cosB==，化简可得ac=a2+c2﹣9≥2ac﹣9，∴ac≤9，故△ABC面积ac•sinB的最大值为×=．若B=，则cosB=﹣=，化简可得﹣ac=a2+c2﹣9≥2ac﹣9，∴ac≤9（2﹣），故△ABC面积ac•sinB的最大值为×（2﹣）×=．20．（13分）5A级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y=f（x）=ax2+x﹣bln，a、b为常数，当x=10万元，y=19.2万元；当x=50万元，y=74.4万元．（参考数据：In2=0.7，In3=1.1，In5=1.6）（1）求f（x）的解析式．（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润=旅游增加值﹣投入）【解答】解：（1）由条件可得，解得a=﹣，b=1．则f（x）=﹣+x﹣ln（x≥10）．（2）由T（x）=f（x）﹣x=﹣+x﹣ln（x≥10），则T′（x）=﹣+﹣=﹣，令T'（x）=0，则x=1（舍）或x=50，当x∈（10，50）时，T'（x）＞0，因此T（x）在（10，50）上是增函数；当x＞50时，T'（x）＜0，因此T（x）在（50，+∞）上是减函数，故x=50为T（x）的极大值点，也是最大值点，且最大值为24.4万元．即该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值为T（50）=24.4万元．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e ≈2.71828）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x﹣x2+a，f'（x）=e x﹣2x．由已知，f（x）=e x﹣x2﹣1．…（4分）（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，φ'（x）=e x﹣1，由φ'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x．…（8分）（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令，∴．由（Ⅱ）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，…（10分）令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．∴k＜g（x）min=g（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2）．…（14分）。

2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=[﹣1，3），∵A为奇数集合，∴A∩B={﹣1，1}，故选：C．2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞【解答】解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x 轴上方．故选：B．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在[0，]上两个交点．由于x∈[0，]，故2x+∈[，]，故g（x）∈[﹣1，2]．令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[，]上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选：B．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣3x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣3（3分）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x3﹣mx2﹣3＜0在区间（﹣1，2）上恒成立，当x=0时，f″（0）=﹣3＜0，恒成立，当x≠0时，mx2＞x3﹣3，即m＞x﹣，设g（x）=x﹣，则g′（x）=1+=当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，当x=2时，函数g（2）=2﹣=当x∈（﹣1，0），g（x）＜0，故函数g（x）在（﹣1，2）的最大值为g（2）=，故m≥，故实数m的取值范围为[，+∞]故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，即4﹣4×1×3×cosθ+18=10，求得cosθ=，再结合θ∈[0，π），可得θ=，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为30m．【解答】解：如图所示，依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知BP=•sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB•sin∠PBO=20×=30米即旗杆的高度为30米故答案为：30．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵AC=AD，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，∴2A+=，即A=，=，∵a=，S△ABC∴由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，即（b+c）2=9，解得：b+c=3．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；a≠2时，则a需满足：，解得﹣2＜a＜2；∴命题p：﹣2＜a≤2；根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：，解得；∴命题q：；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：p真q假时，，∴；p假q真时，，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？【解答】解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x ﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f[g（x）]＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0xe x﹣e x+1＞0；令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f[g（x）]＜f（x）．。

山东省潍坊一中2014届高三数学10月阶段性检测试题文（含解析）新人教A版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|23},{|1,},M x x N y y x x=-<<==+∈R则集合M N=（）A．（-2，+∞）B．（-2，3）C．[)1,3D．R2.已知函数e,0,()ln,0,x xf xx x⎧<=⎨>⎩则1[()]ef f=( )A．-1eB．e-C．e D．1e3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．2sin1C．2sin1D．sin2【答案】C 【解析】4.下列命题中，真命题是（ ） A ．存在,e 0x x ∈≤RB ．1,1a b >>是1ab >的充分条件C ．任意2,2x x x ∈>RD ．0a b +=的充要条件是1ab=-5.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，则3πsin()cos(π-)2πsin()sin(π-)2θθθθ++=--（ ） A ．-2B ．2C ．0D ．236.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a c b c +≥- B ．2()0a b c -≥C ．ac bc >D ．20c a b>-7.若命题“0,x ∃∈R 使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2，6]B ．[-6，-2]C ．（2，6）D ．（-6，-2）8.已知函数()sin ,f x x x =则π()11f ，(1)f -，π()3f -的大小关系为( )A ．ππ()(1)()311f f f ->->B ．ππ(1)()()311f f f ->->C ．ππ()(1)()113f f f >->-D ．ππ()()(-1)311f f f ->>9.已知函数()f x 满足：4x ≥，则1()()2x f x =；当4x <时，()(1),f x f x =+则2(2log 3)f +=( )A ．38B ．18C ．112D ．12410.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x xωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么(1)f-=( )A．-1 B．3- C．3D．111.如果函数()y f x=图像上任意一点的坐标(,)x y都满足方程lg()lg lgx y x y+=+，那么正确的选项是（）A．()y f x=是区间(1,)+∞上的减函数，且4xy≥B．()y f x=是区间(1,)+∞上的增函数，且4xy≤C．()y f x=是区间(1,)+∞上的减函数，且4xy≤D．()y f x=是区间(1,)+∞上的增函数，且4xy≥12.设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，'()()f x f x 是的导函数，当[]0,πx ∈时，0()1f x <<；当(0,π)x ∈且π2x ≠时，π()'()02x f x -<，则方程()cos f x x =在[]2π,2π-上的根的个数为( )A ． 2B ．5C ．8D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.已知[]732log log (log )0x =，那么12x = .14.已知3 sin5α=，且α为第二象限角，则tanα的值为 .15.若函数()logaf x x=(其中a为常数且0,1a a>≠)，满足23()()f fa a>，则1(1)1fx->的解集是 .16.设,x y满足约束条件.32020,0,0x yx yx y--≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为1，则a bab+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设命题p ：函数2()lg()16af x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：39x x a -<对一切的实数x 恒成立，如果命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）设函数()sin 3cos fa αα=+，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(,)P x y ，且0απ≤≤. （1）若P 点的坐标为（-3,1），求()f α的值；（2）若点(,)P x y 为平面区域11x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数()f α的值域.19.(本小题满分12分）已知函数4()log (41)()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）若方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围.20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C()(010)35kx x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.21. （本小题满分12分）若()sin(2)6f x x πω=-的图象关于直线3x π=对称，其中15(,).22ω∈-（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象向左平移3π个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到()y g x =的图象；若函数π()(,3π)2y g x x =∈的图象与y a =的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值.22.（本小题满分14分） 已知()ln ,f x ax x a =-∈R .（1）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =处有极值，求()f x 的单调递增区间；（3）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]0,e 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.。