第一积分中值定理中值点ξ的分析性质

积分中值定理与推广积分中值定理区间问题一、积分中值定理的基本概念1.1 积分中值定理的定义积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是对函数在闭区间上的平均值与极限值之间的关系进行了精确的描述。

积分中值定理的内容主要包括了两个部分：第一部分是零点定理，即如果函数在闭区间上连续，并且在该闭区间上取得了最大值和最小值，那么在该闭区间上一定存在至少一个点使得函数的导数等于零；第二部分是平均值定理，即如果一个函数在一个闭区间上连续，那么一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均增量。

积分中值定理的内容简单而深刻，它为我们理解函数在闭区间上的性质提供了重要的依据。

1.2 积分中值定理的应用积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供在实际问题中对函数的特定取值进行估计的依据。

比如在物理学中，积分中值定理可以用来描述物体在某一时刻的速度与位移之间的关系；在经济学中，积分中值定理可以用来解释市场上产品的供求关系；在生物学中，积分中值定理可以用来分析生物体在生长过程中的变化规律等等。

积分中值定理是微积分中的基础定理之一，它在我们的日常生活和各个学科领域中都有着重要的地位。

二、推广积分中值定理区间问题2.1 区间问题的提出在积分中值定理的基础上，我们可以进一步进行推广，即考虑函数在开区间上的性质。

具体来说，我们可以考虑以下问题：如果一个函数在一个开区间上连续，那么它在该开区间上是否一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量呢？这个问题就是推广积分中值定理区间问题。

2.2 区间问题的解决针对区间问题，我们可以通过微积分中的基本原理进行研究。

我们可以利用函数的连续性和导数的存在性来证明函数在开区间上的平均增量一定存在，然后利用积分中值定理的零点定理和平均值定理来证明在该开区间上一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量。

积分形式的中值定理积分形式的中值定理引言：积分形式的中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了积分和导数之间的联系，并在许多数学和科学领域中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将深入探讨积分形式的中值定理以及它的应用，帮助读者更好地理解这一概念。

我们将按照从简到繁、由浅入深的方式介绍该定理，并结合实例进行说明。

一、中值定理的基本概念1. 定义：积分形式的中值定理是指对于任意函数f(x)，存在某个c∈[a,b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(c)(b-a)。

2. 中值定理与导数关系：中值定理的关键在于导数。

通过导数的定义和积分的反函数关系，我们可以推导出中值定理的积分形式。

二、中值定理的几何意义1. 几何解释：中值定理可以解释为在曲线上存在某个点，该点的斜率等于曲线上所有点的平均斜率。

2. 图像说明：通过绘制函数图像，我们可以很直观地理解中值定理的几何意义，并且可以通过观察图像来预测可能的c值。

三、中值定理的应用1. 求积分：中值定理在求积分中有广泛应用。

通过将积分形式的中值定理转化为导数形式的中值定理，我们可以更方便地计算各种积分。

2. 估计函数值：中值定理的一个重要应用是用于估计函数在某一区间内的取值。

通过找到合适的区间和对应的c值，我们可以推断出函数在该区间内的性质。

四、个人观点和理解中值定理在数学和科学研究中具有重要的作用。

它不仅为我们提供了一种求积分和估计函数值的方法，还帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律。

我个人认为，掌握中值定理可以使我们在解决实际问题时更加灵活和准确。

总结：积分形式的中值定理是微积分中的重要定理，它建立了积分和导数之间的联系。

通过中值定理，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，同时也为我们提供了一种求积分和估计函数值的方法。

掌握中值定理可以使我们在数学和科学研究中更加灵活、准确地应用它的原理和方法。

致谢：感谢您阅读本文，我希望您能通过本文对积分形式的中值定理有更深入的理解。

毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。

首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。

其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。

而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。

最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。

关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。

第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。