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专题8.2 立体几何（解答题）A 组 5年高考真题1．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．2．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．3．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥P ABCDAB AD AC===，AD BC，3-中，PA⊥底面ABCD，//==，M为线段AD上一点，24PA BC=，N为PC的中点．AM MD（1）证明：//MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．4．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．5．（2020全国Ⅰ理18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．6．（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且112,2DE ED BF FB ==．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）证明：若12,1,3AB AD AA ===时，求二面角1A EF A --的正弦值．7．（2019•新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．8．（2019•新课标Ⅱ，理17）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．1111ABCD A B C D -14AA =2AB =60BAD ∠=︒E M N BC 1BB 1A D //MN 1C DE 1A MA N --1111ABCD A B C D -ABCD E 1AA 1BE EC ⊥BE ⊥11EB C 1AE A E =1B EC C --9．（2018•新课标Ⅲ，理19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．10．（2017•新课标Ⅰ，理18）如图，在四棱锥中，，且．（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MABMCD P ABCD -//AB CD 90BAP CDP ∠=∠=︒PAB ⊥PAD PA PD AB DC ===90APD ∠=︒A PB C --11．（2017•新课标Ⅱ，理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点． （1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．12．（2017•新课标Ⅲ，理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．P ABCD -PAD ABCD 12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒E PD //CE PAB M PC BM ABCD 45︒M AB D --ABCD ABC ∆ACD ∆ABD CBD ∠=∠AB BD =ACD ⊥ABC AC BD E AEC ABCD D AE C --13．（2016•新课标Ⅰ，理18）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．A B C D E F ABEF 2AF FD =90AFD ∠=︒D AF E --C BE F --60︒ABEF ⊥EFDC E BC A --B 组 能力提升14．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值.15．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角--A PB E 的大小．16．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.17．（2020届江西师范大学附属中学高三一模）如图，ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，4AB =，EB =（1）求证：DE ⊥平面ACD ；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．18．（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 19．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ====.（1）证明：1BC 平面1ACD ； （2）求二面角1D AC E --的余弦值.20．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点.（1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角E DF B --的余弦值.21．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图，在直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .（1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；（2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.专题8.2 立体几何（解答题）A 组 5年高考真题1．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【解析】（Ⅰ）连接BD ，设BD A C G =，连接EG 、EF 、FG ，在菱形ABCD 中，不妨设1BG =，由120ABC ∠=︒，可得AG GC =BE ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，可知AE EC =，又AE EC ⊥，所以EG =EG AC ⊥，在直角EBG ∆中，可得BE =DF =，在直角三角形FDG 中，可得FG =，在直角梯形BDFE 中，由2BD =，BE FD =，可得EF从而222EG FG EF +=，则EG FG ⊥， （或由2tan tan 212EB FD EGB FGD BG DG ∠∠===，可得90EGB FGD ∠+∠=︒，则)EG FG ⊥AC FG G =，可得EG ⊥平面AFC ，由EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 为x 轴，y 轴，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0A ，0)，(1E ，0，(1F -，0，(0C 0)，即有(1AE =，(1CF =-，，故cos AE <，1||||6AECF CF AE CF ->===则有直线AE 与直线CF ．2．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：连接BO ， AB BC ==O是AC 的中点， BO AC ∴⊥，且2BO =，又4PA PC PB AC ====， PO AC ∴⊥，PO =，则222PB PO BO =+， 则PO OB ⊥，OB A C O =，PO ∴⊥平面ABC ；（2）建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： (0A，2-，0)，(0P ，0，，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(2BC =-，2，0)，设(2BM BC λλ==-，2λ，0)，01λ<<则(2AM BM BA λ=-=-，2λ，0)(2--，2-，0)(22λ=-，22λ+，0)， 则平面PAC 的法向量为(1m =，0，0)， 设平面MPA 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则(0PA =，2-，-，则20n PA y =--=，(22)(22)0n AM x y λλ=-++= 令1z =，则y =，x =，即(1)(1nλλ+=-，1)，二面角M PA C --为30︒，3cos30|||||2m nm n ∴︒==，213)131λ=++ 解得13λ=或3λ=（舍)，则平面MPA 的法向量(23n=，1)，(0PC =，2，-，PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin |cos PC θ=<，23234|||161616n -->===．3．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， N 为PC 的中点，//NG BC ∴，且12NG BC =， 又223AM AD ==，4BC =，且//AD BC ， //AM BC ∴，且12AM BC =， 则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，则//NM AG ，AG ⊂平面PAB ，NM ⊂/平面PAB ， //MN ∴平面PAB ；法二、在PAC ∆中，过N 作NE AC ⊥，垂足为E ，连接ME ，在ABC ∆中，由已知3AB AC ==，4BC =，得2224332cos 2433ACB +-∠==⨯⨯，//AD BC ，2cos 3EAM ∴∠=，则sin EAM ∠=，在EAM ∆中， 223AM AD ==，1322AE AC ==，由余弦定理得：3cos 2EM AE AM EAM ∠=， 2233()()4122cos 339222AEM +-∴∠==⨯⨯，而在ABC ∆中，2223341cos 2339BAC +-∠==⨯⨯，cos cos AEM BAC ∴∠=∠，即AEM BAC ∠=∠， //AB EM ∴，则//EM 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA AC ⊥，又NE AC ⊥， //NE PA ∴，则//NE 平面PAB ．NE EM E =，∴平面//NEM 平面PAB ，则//MN 平面PAB ；（2）解：在AMC∆中，由2AM =，3AC =，2cos 3MAC ∠=，得22222cos 9423253CM AC AM AC AM MAC =+-∠=+-⨯⨯⨯=． 222AM MC AC ∴+=，则AM MC ⊥，PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ⋂平面PAD AD =，CM ∴⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连接NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角． 在Rt PAC ∆中，由N 是PC的中点，得1522AN PC ==，在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =，得44PAAM AF PM ==，5sin 52AFANF AN ∴∠===．∴直线AN 与平面PMN ．4．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°．（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB=1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ∆是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ⋂=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1AC ； ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，有题设知A(1，0，0)，1A (00)，C(0，0，B(－1，0，0)，则BC =（1，01BB =1AA =(－1，0，1AC =(0， ……9分 设n =(,,)x y z 是平面11CBBC 的法向量，则100BC BB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n，即00x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取n =1，-1）， ∴1cos ,AC n =11|A CA C•n |n ||， ∴直线A 1C 与平面BB1C 1C……12分5．（2020全国Ⅰ理18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【思路导引】（1）要证明PA ⊥平面PBC ，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可；（2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的法向量为n ，平面PCE 的法向量为m ，利用公式cos ,||||n mm n n m ⋅<>=计算即可得到答案．【解析】（1）由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =，则DO =，1122CO BO AE ===，∴64PO DO ==，44PC PB ====又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA =，∴BA =，22234PA PB AB +==，则90APB ∠=，∴PA PB ⊥，同理PA PC ⊥，又PCPB P =，∴PA ⊥平面PBC ．（2）过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，∵PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(,0,0),((,244E P B C ---，1(,4PC =-，1(4PB =-，1(,0,2PE =-，设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111110x x ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令1x =111,0z y =-=，∴(2,0,1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =，由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222020x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得22z y ==，∴3(1,3m =，故2cos ,||||3n m mn n m ⋅<>===⋅⨯， 设二面角B PC E --的大小为θ，则cos θ=6．（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且112,2DE ED BF FB ==．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）证明：若12,1,3AB AD AA ===时，求二面角1A EF A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）二面角1A EF A --． 【思路导引】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值． 【解析】证明：（1）在1AA 上取一点M ，使得12A M AM =，分别连结EM ，1B M ，1EC ，1FC ．在长方体1111ABCD A B C D -中，有111DD AA BB ∥∥，且111DD AA BB ==， 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，∴1DE AM FB ==， ∴四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形． ∴1AF MB ∥且1AF MB =，AD ME ∥且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11AD B C ∥且11AD B C =， ∴11B C ME ∥且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， ∴11EC MB ∥且11EC MB =，又1AF MB ∥且1AF MB =，∴1AF EC ∥且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，∴点1C 在平面AEF 内．（2）解：在长方形1111ABCD A B C D -中，以1C 为原点，11C D 所在直线为y 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz -，∵2AB =，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，∴(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ， 则(2,1,1)EF =--，(0,1,1)AE =--，1(0,1,2)A E =-，设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111111102000n x y z y n EF AE z ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =-；设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2222222120200n x y z y n EF A E z ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，取法向量2(1,4,2)n =-，∴121212cos ,||||13n n n n n n⋅<>==⋅+ 设二面角1A EF A --为θ，则sin θ==，即二面角1A EF A --． 7．（2019•新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值．【解析】（1）证明：如图，过作，则，且， 又，，四边形为平行四边形，则， 由，为中点，得为中点，而为中点，，，则四边形为平行四边形，则， ，1111ABCD AB C D -14AA =2AB =60BAD ∠=︒E M N BC 1BB 1A D //MN 1C DE 1A MA N --N NH AD ⊥1//NH AA 112NH AA =1//MB AA 112MB AA =∴NMBH //NM BH 1//NH AA N 1A D H AD E BC //BE DH ∴BE DH =BEDH //BH DE //NM DE ∴平面，平面，平面；（2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，1，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，又平面的一个法向量为， ．二面角．8．（2019•新课标Ⅱ，理17）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．NM ⊂/1C DE DE ⊂1C DE //MN ∴1C DE D DC x DC y 1DD z N 12-2)M 2)1A 1-4)3(3,,0)2NM =11(3,,2)2NA =-1A MN (,,)m x y z =1330213202m NM x y m NA x y z ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩y =(3,2m =-1MAA (1,0,0)n =3cos ,||||133m n m n m n -∴<>===⨯∴1A MA N --1111ABCD A B C D -ABCD E 1AA 1BE EC ⊥BE ⊥11EB C 1AE A E =1B EC C --【解析】证明：（1）长方体中，平面， ，，平面．（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，平面，，，则，1，，，1，，，1，，，0，，，0，， ，面，故取平面的法向量为，0，， 设平面的法向量，，，由，得，取，得，，，，二面角1111ABCD A B C D -11B C ⊥11ABA B 11B C BE ∴⊥1BE EC ⊥BE ∴⊥11EB C C 11AE A E ==BE ⊥11EB C 1BE EB ∴⊥1AB ∴=(1E 1)(1A 0)1(0B 2)1(0C 2)(0C 0)1BC EB ⊥1EB ∴⊥EBC EBC 1(1m EB ==-1)1ECC (n x =y )z 100n CC n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩00z x y z =⎧⎨++=⎩1x =(1n =1-0)1cos ,||||2m n m n m n ∴<>==-∴1B EC C --9．（2018•新课标Ⅲ，理19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【解析】（1）证明：在半圆中，，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，，平面， 平面，平面平面．（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 正方形的边长为2，，，，，1，，，0，，则平面的法向量，0，，ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MABMCD DM MC⊥ABCD CD AD ∴⊥DCM AD MC ⊥ADDM D =MC ∴⊥ADM MC ⊂MBC ∴AMD ⊥BMC ABC ∆∴M ABC -MO ABCD (2A ∴1-0)(2B 0)(0M 1)MCD (1m =0)设平面的法向量为，， 则，2，，，1，， 由，， 令，则，，即，0，， 则，，则面与面所成二面角的正弦值． ．10．（2017•新课标Ⅰ，理18）如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：，，， ，，又，且平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：，，四边形为平行四边形，由（1）知平面，，则四边形为矩形， 在中，由，，可得为等腰直角三角形， 设，则．MAB (n x =y )z (0AB =0)(2AM =-1)20n AB y ==20n AM x y z =-++=1x =0y =2z =(1n =2)cos m<1||||11m n n m n>===⨯MAB MCD sin α=P ABCD -//AB CD 90BAP CDP ∠=∠=︒PAB ⊥PAD PA PD AB DC ===90APD ∠=︒A PB C --90BAP CDP ∠=∠=︒PA AB ∴⊥PD CD ⊥//AB CD AB PD ∴⊥PAPD P =PA ⊂PAD PD ⊂PAD AB ∴⊥PAD AB ⊂PAB ∴PAB ⊥PAD //AB CD AB CD =∴ABCD AB ⊥PADAB AD ∴⊥ABCD APD ∆PA PD =90APD ∠=︒PAD ∆2PA AB a ==AD =取中点，中点，连接、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则：，，，0，．，，．设平面的一个法向量为，由，得，取，得． 平面，平面，，又，，平面，则为平面的一个法向量，．由图可知，二面角为钝角， 二面角的余弦值为．11．（2017•新课标Ⅱ，理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点． （1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．AD O BC E PO OE O OA OE OP x yz (,0,0)D ,2,0)B a (0P )(,2,0)Ca (,0,)PD =-(2,2,)PB a =(,0,0)BC =-PBC (,,)n x y z =00n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩20ay +=-=⎪⎩1y =(0,1,2)n =AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB PD ∴⊥PD PA ⊥PAAB A =PD ∴⊥PAB PD PAB (,0,)PD =-2cos ,||||2PD n a PD n PD n a -∴<>===⨯A PB C --∴A PB C --P ABCD -PAD ABCD 12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒E PD //CE PAB M PC BM ABCD 45︒M AB D --【解析】（1）证明：取的中点，连接，，因为是的中点， 所以，，，， 是平行四边形，可得，平面，平面，直线平面；（2）解：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，， ，是的中点．取的中点，在底面上的射影在上，设，则，， ，直线与底面所成角为，可得：，，， 可得：，，作于，连接，，所以就是二面角的平面角，， 二面角．12．（2017•新课标Ⅲ，理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面平面；PA F EF BF E PD 1//2EF AD =12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒1//2BC AD ∴BCEF ∴//CE BF BF ⊂PAB CE ⊂/PAB ∴//CE PAB P ABCD -PAD ABCD 12AB BC AD ==90BAD ABC ∠=∠=︒E PD AD O M ABCD N OC 2AD =1AB BC ==OP =60PCO ∴∠=︒BM ABCD 45︒BN MN =CN =1BC =22113BN BN +=BN =MN =NQ AB ⊥Q MQ AB MN ⊥MQN ∠M AB D --MQ ==M AB D --=ABCD ABC ∆ACD ∆ABD CBD ∠=∠AB BD =ACD ⊥ABC（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，． 是等边三角形，．与中，，，，． 是直角三角形， 是斜边，．． ． ． ．又，平面．又平面， 平面平面．（2）解：设点，到平面的距离分别为，．则． 平面把四面体分成体积相等的两部分，． 点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取．则，0，，，0，，，0，，，0，，，． ，0，，，，0，． AC BD E AEC ABCD D AE C --AC O BO ODABC ∆OB AC ∴⊥ABD ∆CBD ∆AB BD BC ==ABD CBD ∠=∠ABD CBD ∴∆≅∆AD CD ∴=ACD ∆AC ∴90ADC ∴∠=︒12DO AC ∴=2222DO BO AB BD ∴+==90BOD ∴∠=︒OB OD ∴⊥DO A C O =OB ∴⊥ACD OB ⊂ABC ∴ACD ⊥ABC D B ACE D h E h D E h DE h BE=AEC ABCD ∴13113ACE DD E ACE E S h h DE h BE S h ∆∆===∴E BD 2AB =(0O 0)(1A 0)(1C -0)(0D 1)(0B 0)1)2E (1AD =-1)1()2AE =-(2AC =-0)设平面的法向量为，，，则，即，取． 同理可得：平面的法向量为，1，． ．二面角．13．（2016•新课标Ⅰ，理18）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）证明：为正方形，．，，，平面， 平面，平面平面；（Ⅱ）由，，可得为二面角的平面角； 由为正方形，平面，， 平面ADE (m x =y )z 00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩0102x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩(3,3,3)m =ACE (0n =2cos ,||||21m n m n m n -∴<>===⨯∴D AE C --A B C D E F ABEF 2AF FD =90AFD ∠=︒D AF E --C BE F --60︒ABEF ⊥EFDC E BC A --ABEF AF EF ∴⊥90AFD ∠=︒AF DF ∴⊥DF EF F =AF ∴⊥EFDC AF ⊂ABEF ∴ABEF ⊥EFDC AF DF ⊥AF EF ⊥DFE ∠D AF E --ABEF AF ⊥EFDC BE EF ⊥BE ∴⊥EFDC即有，可得为二面角的平面角． 可得．，平面，平面， 平面，平面平面，平面， ， ，四边形为等腰梯形．以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，0，，，，，，0，，，， ，，，，，，0， 设平面的法向量为，，，则，则，取，0，． 设平面的法向量为，，，则，则，取． 设二面角的大小为，则， 则二面角的余弦值为． CE BE ⊥CEF ∠C BE F --60DFE CEF ∠=∠=︒//AB EF AB ⊂/EFDC EF ⊂EFDC //AB ∴EFDC EFDC ⋂ABCD CD =AB ⊂ABCD //AB CD ∴//CD EF ∴∴EFDC E FD a =(0E 0)(0B 2a 0)(2a C )(2A a 2a 0)∴(0EB =2a 0)(2a BC =2a -)(2AB a =-0)BEC 1(m x =1y 1)z 00m EB m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩111120202ay a x ay =⎧⎪⎨-+=⎪⎩(3m =1)-ABC 2(n x =2y 2)z 00n BC n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩222220220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩(0n =4)E BC A --θcos ||||m nm n θ=41316-==+E BC A --B 组 能力提升14．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，.PO AC ∴⊥ OP 、BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）取AB 的中点M ，连接OM 、OE ， ABCD 是正方形，易知OM 、OE 、OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，以OM 、OE 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在Rt POE ∆中，2OE =，3PE =，PO ∴=()2,2,0B ∴、()2,2,0D --、(P 、()0,2,0E ，设平面PBE 的一个法向量()111,,m x y z =，()2,0,0BE =-，(0,2,PE =， 由00m BE m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =10x =，12z =，()0,5,2m ∴=. 设平面PDE 的一个法向量()222,,n x y z =，()2,4,0DE=，(0,2,PE =，由00n DE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222224020x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2y =，得22z =，2x =-()25,2n =-. 329cos ,29m nm n m n ⋅∴<>==⋅，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为.15．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角--A PB E 的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)60°.【解析】（1）连结PD ，PA=PB ，PD AB ．//DE BC ，BC AB ，DE AB ． 又PD DE D ⋂=，AB 平面PDE ，PE ⊂平面PDE ， ∴AB PE ． （2）法一：平面PAB平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD AB ，PD 平面ABC ． 则DE PD,又ED AB ，PD 平面AB=D ，DE 平面PAB,过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EFPB ，∠DFE 为所求二面角的平面角， 则：DE=32，DFDE tan DFE DF ∠==A PB E --大小为60︒ 法二：平面PAB 平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD AB ，PD 平面ABC ．如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，B (1，0，0)，P (0，0，)，E (0，32，0)， PB =(1，0，3-)，PE =(0，32，3-）． 设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =，30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n =． DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n =．设二面角的A PB E --大小为，由图知，1212121,2n n cos cos n n n n θ⋅===⋅， 所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒.16．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13 .【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以在Rt△PAH中，所以sin∠APH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PE n EC ⋅=⋅=得20,{0,x z x y -=+=设x=2，解得n=(2,-2,1). 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sinα=||n AP n AP ⋅⋅=13=. 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.17．（2020届江西师范大学附属中学高三一模）如图，ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC，4AB =，EB =（1）求证：DE ⊥平面ACD ；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．【答案】（1）见解析（2）()4)3V x x x =<<． 【解析】（1）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形，∴//CD BE ，//BC DE ．∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥．∵AB 是圆O 的直径，∴BC AC ⊥，且DC AC C =，,DC AC ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC ．∵//DEBC ，∴DE ⊥平面ADC ．（2）解∵DC ⊥平面ABC ，//DC BE ，∴BE ⊥平面ABC ．在Rt ABE △中，4AB =，EB =在Rt ABC △中，∵AC x =，∴4)BC x =<<，∴1122ABC S AC BC x =⋅=∴()4)ABC E V x V x x -==<<三棱锥． ∵()222221616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2216x x =-，即x =∴当x =． 18．（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)14. 【解析】 （Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC=, 易知：111,2AC AC D AD DC ⋂==；又2AE EB =，则DE ∥1BC ；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111AA AC ⊥， 1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π；111,ABC A BC ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点()10,0,1A ，()0,4,0,C())12,0,B B ； 设平面11A B BA 的法向量为()111,,m x y z =，则有：()111111001,3,000y m AB m m AB y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⋅=⎪++=⎩；设平面11C B BC 的法向量为()222,,n x y z =，则有：(221222001,3,030y m CB n m CB y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩；1cos ,4m n m n m n⋅==-， 故平面11A B BA 与平面11C BBC 所成的锐二面角的余弦值为14. 19．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ====.（1）证明：1BC 平面1ACD ；（2）求二面角1D AC E --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 3【解析】证明：证明：连接1AC 交1AC 于点F ，则F 为1AC 的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ．（2）由12AA AC CB AB ====，可得：2AB =，即222AC BC AB += 所以AC BC ⊥又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线1CA CB CC 、、为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则()10,0,0)C A D E ⎫⎛⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭、、、，()1222,0,2,,,0,0,2,222CA CD CE ⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则0n CD ⋅=且10n CA ⋅=，可解得y x z =-=，令1x =，得平面1ACD 的一个法向量为()1,1,1n =--， 同理可得平面1ACE 的一个法向量为()2,1,2m =-， 则3cos ,3n m <>=所以二面角1D AC E --的余弦值为3.20．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点.（1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角E DF B --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，由题意知，EO AB ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO BD ⊥，又因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为OF AC ∥，所以BD OF ⊥，所以BD ⊥平面EOF .又EF ⊂平面EOF ，所以BD EF ⊥.（2）连结DO ，由题意知EO AB ⊥，⊥DO AB .又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以DO ⊥平面ABE ， 又O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()0,0,0O，)E，30,2F ⎛ ⎝⎭，()0,1,0B，(D，30,,2DF ⎛= ⎝⎭，(3,0,DE =. 设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020y z ⎧-=⎪⎨-=， 令1x =，所以131,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.又由（1）可知EO⊥平面ABCD ，所以平面DFB 的一个法向量为()21,0,0n =，设二面角E DF B --的平面角为θ，则121221cos 7||||n n n n θ⋅==⋅.21．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图，在直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .（1）求证：AC ⊥平面11BB D D； （2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】（1）∵底面ABCD 为菱形， AC BD ∴⊥∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BDACDD BD DD D ⊥⊥⋂=.AC ∴⊥平面11BB D D ；（2）如图，取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF 分别为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系： 3,1AE BE ==，点111(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),,12B B D A O ⎫--⎪⎝⎭， 设平面11OB D 的法向量为(,,)n x y z =，1113(0,2,0),,122D B OB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 有1112033022D B n y OB nx y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2x =，0,y z == 得(2,0,3)n =又33,,1,23,||7,||222OB n OB n OB ⎛⎫=--⋅=-== ⎪⎝⎭， 设直线OB 与平面11OB D 所成的角为θ， 所以sin|cos ,|||7n OB θ=<>== 故直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值为7.。
卜人入州八九几市潮王学校信丰2021届高三数学上学期周练五〔理B层〕一．选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．1.假设|cosθ|=cosθ，|tanθ|=﹣tanθ，那么的终边在〔〕A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或者x轴上D．第二、四象限或者x轴上2．在直角坐标系中，假设角的终边经过点，那么〔〕A. B. C. D.3．函数那么的值是〔〕A．B．C．D．4.tan〔+α〕=2，那么sin2α=〔〕A．B．﹣C．﹣D．是上的增函数，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．，假设，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．7.函数f〔x〕=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，假设f〔1〕=0，f′〔x〕是f〔x〕的导函数，函数f′〔x〕在区间〔0，1〕内有两个零点，那么a的取值范围是〔〕A．〔e2﹣3，e2+1〕B．〔e2﹣3，+∞〕C．〔﹣∞，2e2+2〕 D．〔2e2﹣6，2e2+2〕8.f〔x〕定义域为〔0，+∞〕，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，且满足f〔x〕＞﹣〔x+1〕f′〔x〕，那么不等式f〔x+l〕＞〔x﹣2〕f〔x2﹣5〕的解集是〔〕A．〔﹣2，3〕 B．〔2，+∞〕 C．〔，3〕D．〔，+∞〕二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．9．f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，那么f(－2)＝________.10.f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，那么函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.11．f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，那么不等式f(x－1)≤2的解集是________．12.设曲线y=x n+1〔n∈N+〕在点〔1，1〕处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，那么log2021x1+log2021x2+…+log2021x2021的值是．三、解答题：(本大题一一共2小题，一共24分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕。
A组统一命题•课标卷题组1.（2017课标II ,3,5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算.由题意可知，由上到下灯的盏数知如偽,・・・,的构成以2为公比的等比数列,・・・S尸笛：）=381,・••妒1 —2 3.故选B.2.（2015课标II ,4,5分,0.834）已知等比数列｛如满足血=3,⑷+偽+血=21，则偽+偽+偽=（）A.21B.42C.63D.84答案B 设｛偽｝的公比为g,由/=3“+4+心=21得1 +q*g"=7,解得g—2（负值舍去）./. a^a^a^a ! q2+a3q1+a5q2=（a ｛+6/3+^5）^2=21 x2=42.思路分析用表示血,血,代入已知等式求出孑值，进而利用如+心+血=側+血+心）孑得结果.3.（2016课标I ,15,5分）设等比数列｛如满足如+妒10心+存5,则羽2・・・為的最大值为_ .答案64解析设㈣的公比为g,于是q（q + q ） = 5,解得G=&q=f,1 2 7 1 7 2 49••心=2二「•。
心…心=2""十…+"=2 2”十2”=2 2 n 2 +8 W2“=64・•：匕心…务的最大值为64.思路分析用⑷禺表示如曲4,列方程组解得G皿进而求出偽=2卜；从而表示出么心3…偽,由此即可求出最大值.解题关键1 7求出如并会求■新+無的最大值是解题关键.4.(2018 课标111,17,12 分)等比数列｛如中//,=1 ,a5=4a⑴求｛如的通项公式；(2)记S”为｛cin｝的前比项和・若S”产63，求加. 解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设｛偽｝的公比为q,由题设得如/ *.由己矢口得cf=4q2,解得可=0(舍去咸g=-2或g=2. 故偽=(・2)"一或偽=2"\(2)若偽=(・2尸，则S尸上yi.由時63得(・2)—188.此方程没有正整数解.若為=2心,则S»=2"-1.由S m=63得2"'=64,解得加=6.综上,"2=6.3・思路分析⑴很据己知建立关于g的方程H求得g并检驹-代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前斤项和公式与已知建立等量关系即可求解.易错警示解方程时，对根的检验求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略⑴求通项.求出等比数列的两个基本量⑦和g后，通项便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.⑶求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前料项和.直接将基本量代入等比数列的前刃项和公式求解或利用等比数列的性质求解.5.（2016课标III,17,12分）已知数列｛如的前n项和SR+N,其中砌0.⑴证明｛如是等比数列，并求其通项公式；（2）若&=冷，求久.解析⑴由题意得如=5\=1+肋1,故2工1“=亠“工0. （2分）由S n= 1 +/a H,S ll+l= 1 +久偽+［得偽+i=肋“+i J偽，即a ll+i（A-1 ）=久偽.由⑷#= 0,工0得⑦#= 0,所以色壬5 儿一1 因此｛如是首项为丄,公比为2 的等比数列，1-z A-1解得久=1. （12分）方法指导⑴利用如=弘£可得到如与/的关系式，要证数列｛如是等比数列,关键是得出如与“之比为常数，其中说明依工0是非常重要的.⑵利用第⑴问的结论列方程即可求出久.B组自主命题•省（区、市）卷题组考点一等比数列的概念及运算1.（2018北京,4,5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载墳最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于貶. 若第一个单音的频率为/；则第八个单音的频率为（）A.何B，VF/ C.躯f D.Q答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用.由题意知汁三个单音的频率构成首项为/；公比为貶的等比数列，设该等比数列为｛如,则仏F 乙即妒回,故选D.易错警示本题是以数学文化为背景的应用问题,有以下几点容易造成失分:①读不懂题意，不能正确转化为数学问题.②对要用到的公式记忆错误.③在求解过程中计算错误.2.（2014重氏2,5分）对任意等比数列｛如,下列说法一定正确的是（）賊等比数列B.6/2,6/3^6成等比数列C.dCs成等比数列D.03,06,09成等比数列答案D不妨设公比为g,则居="冷,":讥血心劣当q=^±l时,A、B均不正确;％:= G；q（\a2-a8=cii q,同理,C不正确;由〃:nf孑°,偽・偽=讶“：知D正确.3. ____________________________________________________________________ （201 7北京,10,5分）若等差数列｛切和等比数列｛如满足年也=1“也=&则严________________2答案1解析本题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查运算求解能力. 设等差数列｛如的公差为〃，等比数列&｝的公比为g.T Ui=bi=-1 “=伤=&-1 + 3〃 = & . Jd = 3, -\-q y = & q = -2. /.cb=2,b^=2. /. ^-=—=1.4.（2017江苏,9,5分）等比数列｛偽｝的各项均为实数，其前n项和为已知&=詁,斗，则妒答案32解析本题考查等比数列及等比数列的前n项和.设等比数列｛如的公比为彳当 1 时,S3=3«I ,S（i=6a i=2$3,不符合题意,勺（1 —於）_7・冷知,由题设可得44（1-『）_ 63i-q T解得円T•I= 土x2，=32.q = 2,5.（2015湖南,14,5分）设S”为等比数列｛偽｝的前刃项和•若⑦=1,且3$,2S2』3成等差数列侧為=答案3心解析设等比数列｛為｝的公比为q（qtO）,依题意得色=01?=恥3=。
德化一中2021年秋季高中数学周练5 理 新人教A 版必修5全卷满分是150分，考试时间是是120分钟.第一卷〔选择题 一共50分〕一. 选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1. 设,a b R ∈，假设||0a b ->，那么以下不等式中正确的选项是〔 〕 A. 0b a ->B. 220a b +< C. 220a b -< D. 0b a +>2. 数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，那么数列{}n a 的通项公式为〔 〕A. 23n a n =-B. 23n a n =+C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩D.1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩3. 等差数列}{n a 中，121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为〔 〕 A ．7B ．8C ．9D ．104. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，过点(,)n P n S 和1(1,)n Q n S ++ (*n N ∈)的直线的斜率为32n -，那么2459a a a a +++的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．205. 在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-．假设不等式()()1x a x a -+<对任意实数x 成立，那么( )A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 6. 假设221x y +=，那么x y +的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 7. 数列{}n a 中，对任意正整数n ，12321n n a a a a ++++=-，那么2222123n a a a a ++++等于〔 〕A.()221n - B.()1213n - C.()1413n- D.41n-8. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a ＜b)，其全程的平均时速为v ，那么( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b29. 正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。
专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ． （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l ，求a ．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．12．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB l 的斜率．15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sinx t t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得21,01,01y x x x y =-+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C 方程1,41630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =， ∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A ． 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【解析】（1）因为，且，所以C 的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．（2）由（1）可设C 的参数方程为（为参数，）．C 上的点到当时，取得最小值7，故C 上的点到5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ． （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解析】（1）因为在C上，当时， 由已知得． 设为l 上除P 的任意一点．在中， 经检验，点在曲线上． 2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=221111t t --<≤+()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+221(1)4y x x +=≠-l 2110x +=cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩αππα-<<l π4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=2π3α=-π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭l 000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ()00,M ρθ03θπ=04sin 3ρπ==||||cos23OP OA π==(,)Q ρθRt OPQ △cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭(2,)3P πcos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，l 的极坐标方程为． （2）设，在中，即．． 因为P 在线段OM 上，且，故的取值范围是．所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为． （2）设，由题设及（1）知若，则； 若，则或； 若，则． cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(,)P ρθRt OAP △||||cos 4cos ,OP OA θθ== 4cos ρθ=AP OM ⊥θ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP ,,AB BC CD 2cos ρθ=2sin ρθ=2cos ρθ=-1M π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭2M π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=⎪⎝⎭3M 3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(,)P ρθπ04θ2cos θ=π6θ=π3π44θ2sin θ=π3θ=2π3θ=3ππ4θ2cos θ-=5π6θ=综上，P 的极坐标为或或或． 7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．π6⎫⎪⎭π3⎫⎪⎭2π3⎫⎪⎭5π6⎫⎪⎭【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ； 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ． 又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ． 9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =l 与O 交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．(2)l 的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足2sin 10t α-+=． 于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a -≥时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>． 由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-2|sin(2)|3πα=-2≤ 当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为212．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212． 设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．（2）C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ． 【解析】(1)（均为参数），∴①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为． ∵，∴，即为的极坐标方程．(2)，两边同乘得，，即②：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，①—②得：，即为，∴，∴．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l 的斜率．【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+，整理得253k =，则k = 15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为31(,)22．。
高三数学(理科)周周练2012628班级___________ 姓名 ___________1 •已知集合M= {x|y lg(1 x)}，集合N {y|y e x, x R}，则M N= _____________________________2. _______________________________________________ 函数y . log o.5(4x23x)的定义域为f x 2 , x 1,3. 已知函数f x 2x 2 1 x 1，则f f 2008 __________2x4 x 1.4•若f (x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) x(1 x)，贝y f(x)的解析式为______________________________ 5. a=1 ”是函数f(x) |x a |在区间1, __ 上为增函数”的条件2 26. ______________________________________________________________________________________ 已知命题p：关于x的方程x ax 4 0有实根；命题q：关于x的函数y 2x ax 4在3, 上是增函数•若p或q”是真命题，p 且q”是假命题，则实数a的取值范围是 _____________________________________________________________2 一7. 已知f(x) lg a 是奇函数，则使f(x)>0的x的取值范围是_________________________1 x&已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(Q Q上是减函数，若f(a-1) > f(2则实数a的取值范围是________________ 9•函数f (x)对于任意实数x满足条件f(x 2) —，若f(1) 5，则f(f(5))= ___________f(x)10已知函数f (x)对一切实数x都有f (3+x) = f ( 3-x)，如果方程f (x) =0恰好有4个不同的实根，则这些实根之和为______________________________11•若不等式(a—2)x2+2(a —2)x—4<0对一切x€ R恒成立，则a的取值范围是 _______________________12 .关于x的方程|x 1|=kx+2有两个不同的实根，则k的取值范围为___________________13 .已知f (x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f (x) lg x .设a f (6)，b f (—)，c彳弓)，则a，b，c的大小关系为_____________________14 .对于函数f(X)定义域中任意的X1，x2 ( X1孜2)，有如下结论：①f(X1+ X2)=f(X1)K X2):② f(X1 X2)=f(X1)+f(X2)；③——>0 二④ f (也生)f "2).人x2 2 2当f(x)=l gx时，上述结论中正确结论的序号是_______________________ 15.设全集是实数集R，A= {x|2x2—7x + 3<0}, B={x|x2+ a v0}.(1)当a= —4时，求A AB和A U B; (2)若(C R A) AB= B，求实数a的取值范围222 216• f(x) 2 log 2 x,x [1,4],求 g(x) f (x) f(x)的值域217.已知二次函数 f(x) ax bx c 同时满足下列条件:①f( 1) 0 ②对任意实数x ,都有f (x) x 0 ③当x (0,2)时，f(x)(1)求 f (1)( 2)求 f(x)(3)当x 1,1时，函数g x f x mx 是单调函数，求 m 的取值范围2a 1sin x a sin x 的最大值为 2，求a 的值4 218 .已知定义域为 R 的函数f(x)(I)求a , b 的值；(H)若对任意的t R ，不等式2x 2x1 b是奇函数.f(t 22t) f (2t 2 k)0恒成立，求 k 的取值范围.19.已知函数y20.对于定义域为D的函数y f(x)，若同时满足下列条件：① f (x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间［a, b］D，使f (x)在［a，b］上的值域为［a，b］；那么把y f (x) ( x D)叫闭函数.(I)求闭函数y x3符合条件②的区间［a, b］;(H)判断函数f(x) ?x 1(x 0)是否为闭函数，并说明理由；4 x(川)若y k . x 2是闭函数，求实数k的取值范围.高二数学(理科)周周练2012.6.28班级1 已知集合M= {x|y lg(1 x)}，集合N { y| y2.函数y ,log0.5(4x23x)的定义域为姓名,x R}，贝U M N = _____ 0,13.已知函数f X f x 2 ,2x 2x 1,1 x 20084.若f (x)是定义在2x4 x 1.R上的奇函数，当x0 时，f(x) x(1 x)，则f(x)的解析式为—f (x) {：(1 x) x 05. a=1 ”是函数f(x) |x a |在区间1, 上为增函数”的充分不必要条件2 6.已知命题p：关于x的方程x ax 420有实根；命题q：关于x的函数y 2x ax 4在3, 上是增函数•若p或q”是真命题，p且q”是假命题，则实数a的取值范围是12 ( 4,4)7.已知f (x) a是奇函数，则使f(x)>0的x的取值范围是_____ 0,1 ______&已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在a 3或a 1-g ,Q上是减函数，若f(a-1) > f(2则实数a的取值范围是9.函数f (x)对于任意实数x满足条件f(x 2) ，若f⑴f(x)5，则f(f(5)) =10已知函数f (x)对一切实数x都有f (3+x) 这些实根之和为12=f ( 3-x)，如果方程f (x) =0恰好有4个不同的实根，则11•若不等式(a- 2)x2+2(a —2)x—4<0对一切x€ R恒成立，则a的取值范围是______ 2,2 ____________ 12 .关于x的方程|x 1|=kx+2有两个不同的实根，则k的取值范围为____ ( 1，) _____13.已知f (x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f(x) lgx .设a f (6)，b5 则a，b，c的大小关系为 ____ c a b ________14 .对于函数f(x)定义域中任意的x1，X2 ( X1孜2)，有如下结论：①f(X1+ x2)=f(X1)K X2):② f(X1 X2)=f(X1)+f(x2)；③——>0 二④ f (“ 生)f (为)f "2).x x2 2 2 当f(x)=l gx时，上述结论中正确结论的序号是______ ②___ ③____15.设全集是实数集R，A= {x|2x2—7x + 3<0}, B={x|x2+ a v0}.(1)当a= —4时，求A AB和A U B; (2)若(C R A) AB= B,求实数a的取值范围5 f (?)，因为是奇雨歌，所以/w = 0,即壬存 "，=人£ 十o又由/T1}—讣知芫「 ---------------- 、第得{ n>St I )»/(*>=*?T7'由上式易知只"直(-«» , 4"上为咸函:ft.又囲八“是奇砺St 从而不毎式乳尸-如)亠e 7) <0 w 于 形亠］-A) *「當 *V- 星鼠函數・由上式推辑- 2* > - 2F + h即对一切兀R fr从而判别武d = 4 + 瑶仇解需k 喘-注：(n)中单调性要有推导过程2 216• f(x) 2 log 2 x,x [1,4],求 g(x) f (x) f(x)的值域无217.已知二次函数 f(x) ax bx c 同时满足下列条件: ① f ( 1)0 ②对任意实数X ,都有f (x) x 0③当 x (0,2)时，f (x)(1)求 f (1)( 2)求 f (x)(3)当x 1,1时，函数g x x mx 是单调函数，求m 的取值范围苏大教师用书P5018 .已知定义域为 R 的函数f(x)(I)求a , b 的值；(H)若对任意的t R ，不等式21 b是奇函数.2 a f (t 22t) f (2t 2 k)0恒成立，求k 的取值范围.2 a 119 •已知函数y sinx心x 4 2的最大值为2，求a的值20.对于定义域为D的函数y f(x)，若同时满足下列条件：① f (x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间［a, b］D，使f (x)在［a，b］上的值域为［a，b］；那么把y f (x) ( x D)叫闭函数.(I)求闭函数y x3符合条件②的区间［a, b］;(H)判断函数f(x) 3x !(x 0)是否为闭函数，并说明理由；(川)若y k x 2是闭函数，求实数k的取值范围.(1｝由题倉在［斗』］上瓏减\则“2 二—1*故所求的区闾为［一I门工(2)取m = 1,卫=101JW /(X!)= #V鴿= ・卑只工)不是4* + *)上的减函數即/(x)^是W.+8〉上的増曲it・所臥畐敎在定文城內不单谄it席版羊调进减，从而宦盛救笳曼闭矗載・(3〉着，=由+ 好国是用亟數°刚存在区间在区间］I刃上，事數/X工〉的值理为C a t b］,即ja a=A+ %/据 + 2；,b=&+ */i+2.为才程工=*+ v^T2W两个实It牴■冲方莊"(2Jfc + l) J卡亭一2込0(工有两卒不等的宾机<2i>Ct煤上所述，Jt€〈-- >-21。
高三理科数学周考五试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每题只有一项是符合题目要求，共60分．）1.已知集合}12|{1>=-xxA，}02|{2≤-=xxxB，则=BA （）A.)2,1(B.]2,1[C.]3,0(D.]2,1(2.在复平面内，复数iiz+=1（i是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足FBCF2=，那么=EF（）A.ADAB3121- B.ADAB2131+ C.ADAB3221- D.ADAB2141+4.函数1||2+=xexy（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A. B. C. D.5.在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A.21B.2πC.12-πD.22π-6.5)11)(13(-+xx的展开式中的常数项为（）A.14B.14- C.16 D.16-7.已知α为锐角，且1)10tan31(cos=+︒α，则α的值为（）A.︒20 B.︒40 C.︒50 D.︒708.设椭圆C：)0(12222>>=+babyax的左、右焦点分别为1F，2F，点),0(tE（bt<<0）.已知动点P在椭圆上，且点P，E，2F不共线，若2PEF∆的周长的最小值为b3，则椭圆C的离心率为（）A.23B.22C.21D.359.设三棱柱111CBAABC-的侧棱垂直于底面，2==ACAB，︒=∠90BAC，231=AA，且三校柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.π24 B.π18 C.π26 D.π1610.设nS是数列}{na的前n项和，若nnnSa2=+，)(22*11Nnaannb n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nnb1的前99项和为（）A.9897B.9998C.10099D.10110011.已知函数21181,2,log2)(21≤≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧+=xxxxfx，若))(()(babfaf<=，则ab的最小值为（）A.22B.21C.42D.3512.已知双曲线C：)0,0(12222>>=-babyax，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间.已知O为原点，且aOA35||=，则=||||FCFA（）A.45B.34C.23D.25二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分共20分．把答案填在题中横线上）13.已知函数xaxxf x cos)12(log)(2++-=)(Ra∈为偶函数，则=a___________.14.已知nS是等比数列}{na的前n项和，且3S，9S，6S成等差数列，652=+aa，则=8a___________.15.若)2sin(2)(ϕ+=xxf)0(>ϕ的图像关于直线12π=x对称，且当ϕ取最小值时，)2,0(π∈∃x，使得axf=)(，则a的取值范围是___________.16. 在四面体ABC P -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6=PA ，8=PB ，10=PC ，则四面体ABC P -的体积为___________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13,21122n n a S n a n ==++≥， ，1）求{}n a 的通项公式；，2）设()()*211n n b n N a =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()*710n T n N <∈，18.（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)sin()sin(C B c C B A a +=-+. （1）求角C 的值；（2）若62=+b a ，且ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11是菱形，其对角线的交点为O ，且1AC AB =，C B AB 1⊥. （1）求证：⊥AO 平面C C BB 11；（2）设︒=∠601BC B ，若直线11B A 与平面C C BB 11所成的角为︒45，求二面角B C B A --111的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭图1C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右顶点与抛物线2C ：)0(22>=p px y 的焦点重合，椭圆1C 的离心率为21，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为24.（1）求椭图1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点)0,4(-A 的直线l 与椭图1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论. 21.（本小题满分12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为1:3.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过n （*N n ∈）次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望. 22.（本小题满分12分）已知函数)()1()(R a x a e ae x f x x ∈+--=-，)(x f 既存在极大值，又存在极小值. （1）求实数a 的取值范围；（2）当10<<a 时，1x ，2x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点.且0)()(21>+x kf x f ，求实数k 的取值范围.高三理科数学周考五答案 一：选择题二：选择题13.2114．3 15． ]2,3(- 16．118 三：简答题17.【详解】（1）当2n =时，22231S a =+，解得22a =， 当3n =时，33241S a =+，解得33a =，当3n ≥时，()211n n S n a =++，1121n n S na --=+， 以上两式相减，得()121n n n a n a na -=+-，，11n n a a n n -=-， ，1112n n na a a n n -====-， ，3,12,2n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩，2，()()224,125111,21n n n b a n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥+⎪⎩当2n ≥时，()()21111111n b n n n n n =<=-+++，，41111113317252334150110n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查利用放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意18．（本小题满分12分）19.。
