5、2 函数(一)

专题5. 2导数在研究函数中的应用（1）（A 卷基础篇）（新教材人教A 版,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()'f x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>． 故选：C ．2．（2020·河北张家口市·高三月考）下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A ．4y x = B ．2x y -=C ．cos y x x =+D ．12y x =-【答案】C 【解析】对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减； 对于B 选项，函数2xy -=在R 上递减；对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增； 对于D 选项，函数12y x =-在()0,∞+上递减. 故选：C ．3．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数21()ln 2f x x x =-，则其单调增区间是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+C ．(]0,1D ．[]0,1【答案】A 【解析】 由21()ln 2f x x x =-，函数定义域为()0,∞+， 求导211()x f x x x x='-=-，令()0f x '>，得1x >或1x <-（舍去）所以()f x 单调增区间是()1,+∞ 故选：A.4．（2020·张家界市民族中学高二月考）函数22y x x=+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．)+∞C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】3222222x y x x x-'=-=，由0y '>得3220x ->，即1x >， 所以函数22y x x=+的单调递增区间为(1,)+∞. 故选：C5．（2020·全国高三专题练习）如图所示为()y f x '=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+∞D ．()(),1,1,-∞-+∞【答案】C 【解析】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x '<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+∞． 故选：C ．6．（2019·江西九江市·高二期末（理））函数()22ln f x x x =-的递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为()22ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，1()4f x x x'=-， 由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1(,)2+∞. 故选：C.7．（2020·四川内江市·高三三模（文））函数xy x e =⋅的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】'(1)x y x e =+⋅，当1x >-时，'0y >，当1x <-时，'0y <，所以函数x y x e =⋅在(1,)-+∞上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减. 故选：C8．（2020·广东深圳市·高三开学考试）已知函数()f x 与f x 的图象如图所示，则不等式组()()03f x f x x '<⎧⎨<<⎩解集为（ ）A ．0,1B ．()1,3C ．1,2D ．()1,4【答案】B 【解析】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是()'f x 的图象，虚线是()f x 的图象，不等式组()()03f x f x x <⎧⎨<<'⎩解集是{|13}x x <<． 故选：B ．9．（2020·全国高三专题练习）已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 【答案】D 【解析】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数， 所以()()21F F >即()()221f f >， 故选：D.10．（2020·黄梅国际育才高级中学高二期中）已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,18 B ．[]2,18C ．(][),218,-∞+∞D ．[)2,18【答案】A 【解析】 ∵()'2a f x x x=-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数， 故20ax x-=在()1,3存在变号零点，即22a x =在()1,3存在零点， ∴218a <<. 故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·长顺县文博高级中学有限公司高三月考）函数322611y x x =-+的单调减区间是__________.【答案】()0,2 【解析】()261262y x x x x '=-=-，令0y '<，解得02x <<，所以函数的单调减区间为()0,2. 故答案为：()0,212．（2020·全国高三专题练习）函数()52ln f x x x =-的单调递减区间是______．【答案】20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()252'5x f x x x-=-=， 令()'0f x <，解得：205x <<，所以()f x 在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故答案为20,.5⎛⎫ ⎪⎝⎭13．（2019·全国高三月考（文））已知0a >，函数3()2f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是_______． 【答案】6 【解析】2()6f x x a '=-，令()0f x '>，得6a x >6a x <-16a≤，解得6a ． 故答案为：614．（2018·全国高二专题练习） 函数()32267f x x x =-+在区间______上是增函数，在区间______上是减函数．【答案】(),0-∞和()2,+∞ ()0,2 【解析】2'()612f x x x =-=6(2)x x -，令'()0f x <，解得：02x <<，令'()0f x >，解得：0x <或2x >.函数()32267f x x x =-+在区间(,0)-∞,(2,)+∞上是增函数，在区间(0,2)上是减函数．15．（2020·浙江高一期末）已知2()(3)f x x b x =+-是定义在R 上的偶函数，则实数b =_____，写出函数2()2g x x x=+-在(0,)+∞的单调递增区间是______ 【答案】3 )2,+∞【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()22(3)(3)x b x x b x ∴---=+-，解得3b =，()(2221x x g x x x+'=-+=， 令()0g x '>，解得x >()g x ∴的单调递增区间是)+∞.故答案为：3；)+∞.16．（2020·全国高三专题练习）已知()lg f x x x =，那么()f x 单调递增区间__________；()f x 单调递减区间__________.【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为()lg f x x x =,故11()lg lg lg lg lg ln10ln10f x x x x x e ex x '=+⋅=+=+=.令()0f x '=可得1ex =,即1x e=. 又()f x '为增函数,故当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0f x '>,()f x 单调递增.故答案为：(1) 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭17．（2019·山西运城市·高三期中（文））设函数()-=-x xf x e ae （a 为常数）.若()f x 为奇函数，则a =________；若()f x 是[2,2]-上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1 41≥-a e 【解析】 （1）若()-=-xx f x eae 为奇函数则()()xxx x f x e ae x e ae f --=-=-+-=-，则1a =（2）若()f x 是[2,2]-上的减函数，则()x xf x e ae -'=--在[2,2]-上小于或者等于零，即0x x e ae ---≤在[2,2]-上恒成立，2x e a --≤，可知2xy e-=-在[2,2]-上单调递增，所以41≥-a e .三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·甘肃省岷县第二中学高二期中（理））求函数()33f x x x =-的递减区间.【答案】()1,1- 【解析】 ∵233fxx ，∴令2330x ，解得11x -<<.∴函数()33f x x x =-的递减区间为()1,1-.19．（2019·甘肃省武威第一中学高二月考（理））求函数ln ()(0)xf x x x=>的单调区间． 【答案】增区间为(0e)，，减区间为(e )+∞，. 【解析】 由()f x 得()()2221·ln ln ''ln 1ln 'x xx x x x x x f x x x x ---===， 令()'0f x =，即21ln 0xx -=，得1ln 0x -=，从而e x =，令()'0f x >，即21ln 0xx ->，得e x <，此时()f x 为增函数，又0x >，得增区间为()0e ，，令()'0fx <，即21ln 0xx-<，得e x >，此时()f x 为减函数，减区间为()e +∞，.20．（2020·横峰中学月考（文））已知()1xf x e ax =--. （1）当2a =时，讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）0a ≤ 【解析】（1）当2a =时，()21xf x e x =--则()'2x f x e =-，令()'20x f x e =->，得ln 2x > 令()'20x fx e =-<，得ln 2x <所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞ 单调递减区间为(),ln 2-∞（2）由题可知：()f x 在定义域R 内单调递增 等价于()'0x f x e a =-≥由()'x fx e a =-在R 上单调递增，又0x e >则000a a -≥⇒≤21．（2020·西宁市海湖中学高二月考（文））已知函数()31f x x ax =--. （1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值. 【答案】（1）(],3-∞；（2）3. 【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立， 所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得33aa x -<<， 所以()f x 的单调递减区间为(,)33a a -， 又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(,)33a a -=(1,1)-， 所以13a=，即3a =. 22.已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）①当时，的单调递减区间为；单调递增区间为，．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．③当时，为常值函数，不存在单调区间．④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．【解析】（Ⅰ）解：当时，，．……2分由于，，所以曲线在点处的切线方程是． ……4分（Ⅱ）解：，． …………6分①当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．…8分当时，令，解得，或．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． ……10分③当时，为常值函数，不存在单调区间．……………11分④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． …………14分。

5.2.3简单复合函数的导数学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√)2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×)3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√)一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝12 (1－3x)5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2).(3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′＝3e u ＝3e 3x ＋2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)()12=12,y x -- 设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2.(3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3， 则y x ′＝(sin u )′⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝ln 3x e x ； (2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x， ∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x. (2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x 2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin 2x 3； (2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；。

二次函数2y axk =+的图象与性质教学设计一、学生学习水平状况分析知识储备分析：上一节课中学生已经学习了二次函数y=x ²与y=-x ²的图象及其，对二次函数的顶点、对称轴、开口方向，增减性等都有了基础的了解，但是对y=ax ²+k 中的a 和k 对二次函数图象的影响并不了解，所以，这节课重点研究形如2y ax k =+的二次隐函数的图像及其性质。

目的对二次函数有更高层次的理解与运用。

学习习惯分析：我班学生经过长时间的培育，已经具备了自主学习与小组合作学习的良好的学习风格。

他们通过自学课本、查找学习资料，制作学习课件（我已教会学生制作PPT ，几何画板课件），能自主（小组）设计要研究的问题，并寻找解决问题的途径；小组内已形成良好的竞争意识和小组认同感（对于小组内学习困难的学伴定时定量进行课内或课外辅导），使学习小组形成强有力的战斗的集体。

二、教学任务分析一、三维目标①、知识目标：1、能画出二次函数y=ax ²和y=ax ²+k 的图象，并能够比较他们与二次函数y=x ²的图象的异同，理解a 与k 对二次函数图象的影响.2、能说出二次函数y=ax ²与y=ax ²+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.②、能力目标：经历探索二次函数y=ax ²和y=ax ²+k 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，掌握研究一个函数图象的三个基本步骤.③、情感态度价值观：体验从特殊到一般的过程，在深入学习新知的过程中体验到科学的分析精神.二、教学重难点a 与k 对二次函数图象的影响，运用二次函数的知识解决实际问题。

三、教学过程分析一、创设问题情境，引入新知1．同学们，对于二次函数2y ax =的图像与性质，你们都知道些什么？给大家说说吧！（引导学生分别说出开口方向、顶点、对称轴、增减性）2．同学们：你知道二次函数221,2y x y x =+=-的图像与其性质又是如何？它们与2y x =的图像与其性质有什么关系？根据课前对它们的研究，请同学们讲讲吧！（学生独立发表自己的研究结果，并提出疑难问题）二、新知研究活动一：学生利用自己制作的课件给同学们讲221,2y x y x =+=-的图像的画法与其性质1、列表x -3-2-10123y=x^2+1105212510y=x^-272-1-2-127（学生自己制作Excel 计算函数值）师表扬学生计算机水平很高，但还要培养自己强大的计算能力。

第五章三角函数5.2.1三角函数的概念教学设计一、教学目标1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求具体弧度的三个三角函数值.2.从三角函数的定义认识其定义域、函数值在各个象限的符号.3.根据定义理解公式一，初步解决与三角函数值有关的一些简单问题.二、教学重难点1.教学重点三角函数的定义.三角函数值在各个象限内的符号，公式一.2.教学难点用角的终边上的点刻画三角函数.三角函数值的符号的应用.三、教学过程（一）探究一：三角函数的概念1.定义：设α是一个任意角，α∈R，它的終边OP与单位圆交于点P（x，y）.（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；（3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=（x ≠0）.2.记法：通常将三角函数记为：正弦函数：sin ,y x x =∈R ；余弦函数：cos ,y x x =∈R ； 正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 探究二：三角函数的定义域交流讨论完成下表：探究三：各象限角的三角函数值的符号各个象限角的三角函数值的符号求证：角θ为第三象限角的充要条件是sin 0,(1)tan 0.(2)θθ<⎧⎨>⎩.证明：先证充分性，即如果（1）（2）式都成立，那么θ为第三象限角.因为（1）式sin 0θ<成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为（2）式tan 0θ>成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为（1）（2）式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.再证必要性，即如果角θ为第三象限角，那么（1）（2）式都成立.因为角θ为第三象限角，所以sin 0θ<，同时tan 0θ>，即（1）（2）式都成立.综上，命题得证.探究四：公式一公式一：sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中 在运算中起到简化的作用，即利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π范围角的三角函数值.（二）课堂练习1.已知4sin 5α=，α在第二象限，则tan α=（ ） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 答案：B 解析：由4sin 5α=及α是第二象限角，得3cos 5α==-，所以sin tan s 43co ααα==-. 故选： B2.如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C3.已知点()2,0A -，()2,0B ，若圆()()22230x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是( )A.(1,5)B.[]1,5C.(]1,3D.[)3,5 答案：B解析：0PA PB ⋅=，∴点P 在以AB 为直径的圆224x y +=上. 圆222(3)(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，∴圆222(3)(0)x y r r -+=>与圆224x y +=有公共点，|2|32r r ∴-≤≤+，解得15r ≤≤，故选B.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.三角函数的定义.2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一.四、板书设计1.定义：正弦函数：sin ,y x x =∈R ； 余弦函数：cos ,y x x =∈R ；正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中。

5．2 任意角的三角函数5.2.1任意角三角函数的定义第1课时用比值定义三角函数教材要点要点一任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)的定义：sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，其中r＝√x2+y2.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切，y＝sinα，y＝cosα，y＝tanα分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．状元随笔角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．要点二三角函数的定义域正弦函数y＝sinα，定义域为________；余弦函数y ＝cos α，定义域为________； 正切函数y ＝tan α，定义域为________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．( )(3)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr ，且y 越大，sin α的值越大．( )(4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 2．已知角α的终边与单位圆交于点(−√32，−12)，则sin α的值为( )A ．－√32B ．－12C ．√32D ．12 3．若角θ的终边经过点P (−√22，√22)，则tan θ＝( )A ．√22B ．－√22C ．－1D ．－√324．如果角α的终边经过点P (－1，√3)，则cos α＝________．题型1 单位圆法求三角函数值例1 (1)角α终边与单位圆相交于点M (√32，12)，则cos α＋sin α的值为________． (2)利用定义求5π6的正弦、余弦和正切值．方法归纳1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．2．若已知角α终边上一点P (x ，y )(x ≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sinα＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(1213，513)和(−35，45)，那么sin αcos β＝( )A ．－3665B ．－313C ．413D ．4865(2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，求tan α.题型2 坐标法求三角函数值例2 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．方法归纳(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法，cosα在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝yr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．＝xr(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．，则m＝( ) 跟踪训练2 已知角α的终边上一点P(1，m)，且sinα＝√63A．±√2B．√2C．－√2D．√62题型3 三角函数概念的综合应用的值．例3 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα方法归纳在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝√a 2+b 2，cos α＝√a 2+b 2，tan α＝ba .跟踪训练3 已知角α的终边在直线y ＝√3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．易错辨析 忽略题目中的隐含条件致误例4 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－√32D ．±12解析：∵点P 到原点的距离r ＝√64m 2+9， ∴cos α＝√64m 2+9＝－45，即4m 264m 2+9＝125，且m ＞0，解得m ＝12. 故选A. 答案：A 易错警示课堂十分钟1．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(−35，45)，则tanα的值为( )A ．－43B ．－34 C ．－45D ．－352．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝( )A ．－35B ．45C ．－325D ．4253．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－√32D ．－√334．已知角α的终边在射线y ＝－x (x ≤0)上，则cos α＝________． 5．已知角θ的终边上一点P (－√3，m )，且sin θ＝√24m .求cos θ与tan θ.5．2 任意角的三角函数 5．2.1 任意角三角函数的定义第1课时 用比值定义三角函数新知初探·课前预习要点一y rx ryx要点二R R {α|α≠π2+kπ，k ∈Z}[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y ＝－12. 故选B. 答案：B3．解析：角θ的终边经过点P (－√22，√22)，则tan θ＝√22－√22＝－1，故选C. 答案：C4．解析：∵角α的终边经过点P (－1，√3)，∴|OP |＝√（−1）2+（√3）2＝2，∴cos α＝－12.答案：－12题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由三角函数的定义得sin α＝12，cos α＝32，所以cos α＋sin α＝32＋12＝3＋12.(2)如图所示，5π6的终边与单位圆的交点为P ，过P 作PB ⊥x 轴于点B ，在△OPB 中，|OP |＝1，∠POB ＝π6，则|PB |＝12，|OB |＝32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 所以sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32tan 5π6＝－33.答案：(1)3＋12(2)见解析 跟踪训练1 解析：(1)由三角函数的定义sin α＝513，cos β＝－35，所以sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.故选B.(2)由题意，设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，35，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，解得x ＝45或－45. 当x ＝45时，tan α＝3545＝34；当x ＝－45时，tan α＝35－45＝－34.答案：(1)B (2)见解析例2 解析：r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述：当a >0时，2sin α＋cos α＝1；当a <0时，2sin α＋cos α＝－1. 跟踪训练2 解析：角α的终边上一点P (1，m )， 所以r ＝|OP |＝1＋m 2， 所以sin α＝m1＋m2＝63>0， 解得m ＝ 2. 故选B. 答案：B例3 解析：由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任意一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |. (1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk＝10， 所以10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10kk＝－10， 所以10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练3 解析：因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋（3a ）2＝2|a |(a ≠0).若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3.若a <0时，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.[课堂十分钟]1．解析：由正切函数的定义可得，tan α＝45−35＝－43.故选A. 答案：A2．解析：∵角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合， 角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝√9+16＝－35， 故选A. 答案：A3．解析：∵x ＝2sin 30°＝1，y ＝－2cos 30°＝－√3，∴r ＝√12+(−√3)2＝2，∴sin α＝y r＝－√32.故选C. 答案：C4．解析：在角α的终边y ＝－x (x ≤0)上任取一点(－1，1)， 则cos α＝√1+1＝－√22.答案：－225．解析：由题意得sin θ＝mm2＋3＝24m，若m＝0，则cosθ＝－1，tan θ＝0. 若m≠0，则m＝± 5.当m＝5时，cosθ＝－64，tan θ＝－153；当m＝－5时，cosθ＝－64，tan θ＝153.11。

5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。

课后素养落实(四十一) 同角三角函数的基本关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－2B ． 2C ．－ 3D ． 3A 〖因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.〗 2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14B ．12C ．1D ．32C 〖原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α) ＝sin 2α＋cos 2α＝1.〗 3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C ．15D ．35B 〖sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.〗4．⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos xD ．1tan xD 〖原式＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.〗5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝( ) A ．23B ．－23C ．13D ．－13B 〖由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－23.〗二、填空题6．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，则tan α＝________.－2316 〖∵sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝tan α－23tan α＋5＝－5， ∴tan α－2＝－15tan α－25， ∴16tan α＝－23，即tan α＝－2316.〗7．化简：tan 2x ＋1tan x·sin 2x ＝________.tan x 〖原式＝sin 2xcos 2x＋1sin x cos x ·sin 2 x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·sin 2x＝sin xcos x＝tan x ．〗 8．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.2 〖由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.〗三、解答题9．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．〖解〗 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①两边平方，得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又∵sin A >0，cos A <0， ∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75.②由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin Acos A＝45－35＝－43. 10．若3π2<α<2π，求证：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝－2sin α.〖证明〗 ∵3π2<α<2π，∴sin α<0.左边＝(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＋(1＋cos α)2(1－cos α)(1＋cos α)＝(1－cos α)2sin 2α＋(1＋cos α)2sin 2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α＝右边．∴原等式成立．1．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43B ．cos α＝35C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15AB 〖∵sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，故B 正确，∴tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误，∴sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．故选AB.〗 2．(多选)化简cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3ABCD 〖原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|，①若α是第一象限角，则原式＝1＋2＝3. ②若α是第二象限角，则原式＝－1＋2＝1. ③若α是第三象限角，则原式＝－1－2＝－3.④若α是第四象限角，则原式＝1－2＝－1.故选ABCD.〗3．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为________，tan θ＝________.0或8 －34或－512 〖因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1. 整理得m 2－8m ＝0， 解得m ＝0或8.又tan θ＝sin θcos θ＝m －34－2m ，当m ＝0时，tan θ＝－34；当m ＝8时，tan θ＝－512.〗4．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝________.±2 〖sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±2.〗(1)分别计算cos 4π6－sin 4π6和cos 2π6－sin 2π6，cos π3的值，你有什么发现？(2)计算cos 4π4－sin 4π4，cos 2π4－sin 2π4，cos π2的值，你有什么发现．(3)证明：∀x ∈R ，cos 2x －sin 2x ＝cos 4x －sin 4x .(4)推测∀x ∈R ，cos 2x －sin 2x 与cos 2x 的关系，不需证明． 〖解〗 (1)cos 4π6－sin 4π6＝⎝⎛⎭⎫cos 2π6＋sin 2π6⎝⎛⎭⎫cos 2π6－sin 2π6 ＝cos 2π6－sin 2π6＝34－14＝12＝cos π3.(2)cos 4π4－sin 4π4＝⎝⎛⎭⎫cos 2π4＋sin 2π4⎝⎛⎭⎫cos 2π4－sin 2π4 ＝cos 2π4－sin 2π4＝12－12＝0＝cos π2.(3)证明：cos 4x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝cos 2x －sin 2x . (4)推测cos 2x －sin 2x ＝cos 2x .。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） -A 基础练一、 选择题1．（2021·全国高二课时练）如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f '（x ）的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在（﹣3，1）内f （x ）是增函数B ．在x ＝1时，f （x ）取得极大值C ．在（4，5）内f （x ）是增函数D ．在x ＝2时，f （x ）取得极小值【答案】C【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，在（﹣3，32-）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，A 错误；对于B ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，x ＝1不是f （x ）的极大值点，B 错误；对于C ，在（4，5）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，C 正确；对于D ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，在（2，4）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，则在x ＝2时f （x ）取得极大值，D 错误；故选：C ．2．（2021·全国高二课时练）若函数()y f x =可导，则“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的（ ）． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】()0f x '=，但()'f x 在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时()f x 在零点处无极值，但()f x 有极值则()'f x 在极值处一定等于0.所以“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的必要不充分条件.故选：A3．（2021·山东菏泽高二期末）当函数2x y x =⋅取极小值时，x 的值为（ ）A ．1ln 2B ．1ln 2-C ．ln 2D ．ln 2-【答案】B【解析】2?2212?20x x x y x ln xln '=+=+=：（）， 即1120.2xln x ln +==-，故选B ． 4．（2021·福州屏东中学高二期末）若函数2x y e mx =-有小于零的极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m <B ．102m <<C ．12m >D ．01m <<【答案】B【详解】由2x y e mx =-，得2x y e m '=-．因为函数2xy e mx =-有小于零的极值点， 所以20x e m -=有小于零的实根，即12x m e =有小于零的实根，∵0x <， ∴11022x e <<，∴102m <<．故选：B 5．（多选题）（2021·冷水江市第一中学高二期末）已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）A ．()()()f a f e f d >>B ．函数()f x 在[],a b 上递增，在[],b d 上递减C ．函数()f x 的极值点为c ，eD ．函数()f x 的极大值为f b【答案】ABD【详解】解：由题图知可，当(),x c ∈-∞时，()0f x '>，当(),x c e ∈时，()0f x '<，当(),x e ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),c -∞上递增，在(),c e 上递减，在(),e +∞上递增，对A ，()()f d f e >，故A 错误；对B ，函数()f x )在[],a b 上递增，在[],b c 上递增，在[],c d 上递减，故B 错误；对C ，函数()f x 的极值点为c ，e ，故C 正确；对D ，函数()f x 的极大值为()f c ，故D 错误.故选：ABD. 6．（多选题）（2021·广东东莞高二期末）已知函数2()sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 有且只有一个极值点B ．设()()()g x f x f x =⋅-，则()g x 与()f x 的单调性相同C ．()f x 有且只有两个零点D ．()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ACD【详解】解：由题知，()2cos f x x x '=+，()2sin 0f x x ''=->，所以()2cos f x x x '=+在R 上单调递增，当0x =时，()10f x '=>；当12x =-时，()1'1cos 02f x =-+<，所以存在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，所以函数2()sin f x x x =+在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以()f x 有且只有一个极值点，故A 正确；因为2()sin f x x x -=-，所以42()()()sin g x f x f x x x =⋅-=-，所以33()42sin cos 4sin 2g x x x x x x '=-=-所以()00g '=，故()g x 的一个极值点为0，所以()g x 与()f x 的单调性不相同，故B 错误；因为()f x 有且只有一个极值点0x ，01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()00f =，所以()f x 在0(,)x -∞和0(,)x +∞上各有一个零点，所以()f x 有且只有两个零点，故C 正确；因为2y x 与sin y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上都是单调递增，所以2()sin f x x x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确．故选：ACD ． 二、 填空题 7．（2021·全国高二课时练）若函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，则a =________. 【答案】3【详解】由题意，函数32()4f x x ax =-+-，可得2()32f x x ax '=-+，因为2x =是函数()f x 的极值点，可得()20f '=，所以34220a -⨯+⨯=，解得3a =.8．（2021·河北正定高二期末）已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数()f x 的极值为712-，则(2)f =__________． 【答案】10112 【解析】f′(x)=x 2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-712, 即12a a 0,17a a b ,312-+=⎧⎪⎨-+-+=-⎪⎩解得a 1,1b .4=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以f(x)=13x 3+x 2+x -14.所以f(2)=10112. 9．（2021·海林市高二期末）设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.【答案】【解析】()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a =-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞.10．（2021·全国高二课时练）已知函数()3233f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，则()f x 极大值与极小值之差为__________．【答案】4【详解】求导得2363f x x ax b '=++（）， 因为函数f x （）在2x =取得极值，所以22326230f a b '=⋅+⋅+=（），即440.......a b ++=① ， 又因为图象在1x = 处的切线与直线6250x y ++= 平行， 所以13633f a b （），'=++=- 即220.........a b ++=② ， 联立①②可得10a b =-=， ，23632f x x x x x '=-=-所以（）（）， 当0f x '（）＞ 时，0x ＜ 或2x ＞ ；当0f x '（）＜ 时，02x ＜＜， ∴函数的单调增区间是 0（，）-∞ 和2+∞（，） ，函数的单调减区间是02（，）， 因此求出函数的极大值为00f c =+（） ，极小值为24f c =-+（） ， 故函数的极大值与极小值的差为044--=（） ．三、 解答题11．（2021·全国高二课时练）求下列函数的极值．（1）32()395f x x x x =--+；（2）22()21x f x x =-+； （3）2()2ln f x x x =-．【详解】（1）因为32()395f x x x x =--+，所以2()369f x x x '=--， 令()0f x '=，即23690x x --=，解得1x =-或3x =，当x 变化时，()'f x 、()f x 的变化情况如下表：故当1x =-时，函数()f x 有极大值，(1)10f -=，当3x =时，函数()f x 有极小值，(3)22f =-．（2）因为22()21x f x x =-+，定义域为R ， 所以()()()2222222142(1)(1)()11x x x x f x x x +--+==-+'+，令()0f x '=，解得1x =-或1x =，当x 变化时，()'f x 、()f x 的变化情况如下表：故当1x =-时，函数有极小值，(1)3f -=-，当1x =时，函数有极大值，(1)1f =-．（3）因为2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 令()0f x '=，解得1x =或1x =-（舍去），当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 故当1x =时，函数有极小值，(1)1f =，无极大值. 12．（2221·安徽六安高二期末）设函数13()ln 122f x a x x x =+++，其中在a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴 （1）求a 的值；（2）求函数()f x 极值．【详解】（1）因13()ln 122f x a x x x =+++ ，故213()22a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴， 故该切线斜率为0，即()01f '= ，从而13022a -+= ，解得1a =- （2）由（1）知13()ln 1(0)22f x x x x x =-+++>，2113()22f x x x -'=-+ 222321(31)(1)22x x x x x x--+-== 令()0f x '=，解得1211,3x x ==-（因213x =- 不在定义域内，舍去） 当(0,1)x ∈ 时，()0f x '< 故()f x 在(0,1)上为减函数； 当(1,)x ∈+∞ 时，()0f x '> 故()f x 在(1,)+∞上为增函数， 故()f x 在1x = 处取得极小值(1)3f =。

《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明．预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？ 师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π； （3）tan (－672°)； （4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0；（3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角， 所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11． 解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 444=+==（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==． 师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书第182页练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）； （2）tan 25π6．设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α．设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1）本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。

函数的极值与最值是函数的一个重要性质。

在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。

课程目标学科素养A.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.B．初步掌握求函数极值的方法．C．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．1.数学抽象：求函数极值的方法2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系3.数学运算：运用导数求函数极值4.直观想象：导数与极值的关系重点：求函数极值难点：函数极值与导数的关系多媒体a附近函数ℎ(t)的图像,如图，可以看出，ℎ′(a)=0;在t=a的附近，当a时，函数ℎ(t)单调递增，ℎ′(t)>0;当t>a时，函数ℎ(t)单调递减，ℎ′(t)<0.这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t<a时，ℎ′(t)>后减（当t>a时，ℎ′(t)<0）这样，当ℎ′(t)先正后负，且ℎ′(t)连续变化，于是有（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，而且在x=a点附近的左侧f′(x)<0，右侧（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点附近其他点的函数值′A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点三、典例解析x3−4x2+4的极值.例5. 求函数f(x)=13x3−4x2+4的定义域为R，所以解：因为f(x)=13f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)令f′(x)=0,解得：x1=−2,x2=2当x变化时，f′(x)，f(x)，的变化情况如下表;因此，当x=−2时，f(x)有极大值，极大值为f(−2)= 283当x=2时，f(x)有极小值，极小值为f(2)=- 4.3x3−4x2+4的图像如图所示.函数f(x)=13问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？一般地，求函数y＝f x的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，f x在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′x在各个开区间内的符号，判断f x在f′x＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f x在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f x在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.问题2：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．跟踪训练1 求下列函数的极值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)A ．在(1，2)上函数f (x )为增函数B ．在(3，4)上函数f (x )为减函数C ．在(1，3)上函数f (x )有极大值D ．x ＝3是函数f (x )在区间[1，5]上的极小值点D [由题图可知，当1＜x ＜2时，f ′(x )＞0，当2＜x ＜4时，f ′(x )＜0，当4＜x ＜5时，f ′(x )＞0，∴x ＝2是函数f (x )的极大值点， x ＝4是函数f (x )的极小值点，故A ，B ，C 正确，D 错误．] 2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点D [令f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x ＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＜0；当x ＞－1时，f ′(x )＞0.故当x ＝－1时，f (x )取得极小值．]3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1.]4．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe ，则函数f (x )的极大值为______．2ln 2 [f ′(x )＝2e f ′ex－1e ，故f ′(e)＝2e f ′e e －1e，运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的极值定义及利用导数求极值的方法。