平面向量的数量积、平移·典型例题精析

平面向量的数量积及向量的应用习题及详解（理）（2010 •四川广元市质检）已知向量a= （2,1）,b= ( —1, 2)，且m= ta+ b, n= a —kb(t、k€ R)，则、选择题1.（文）（2010 •东北师大附中）已知|a| = 6,b|= 3,a・b=—12,则向量a在向量b方向上的投影是（A. —4B. 4［答案］Aa -b —12［解析］a在b方向上的投影为仃厂=—厂=—4.1 b| 3（理）（2010 •浙江绍兴调研）设a • b= 4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1, 与b的夹角等于（）2n 或"a［答案］B［解析］由条件知, …=2心=1 a・b= 4| b| , |a| ,,|b| = 2,••• cos 〈a,b>= a• b=丄=1|a| •I b| 4x2 2'2 .（文）（2010 •云南省统考）设e1, e2是相互垂直的单位向量，并且向量a= 3&+ 2e2, b = xe1 + 3e2, 如果a L b,那么实数x等于（）9A.— 2 D. 2［答案］C［解析］由条件知| = | e2| = 1, e1 • e2= 0,•- a • b= 3x + 6= 0,二x=—2.m L n的充要条件是（）A. t + k = 1.t • k= 1［答案］D［解析］ m= ta+ b= (2 t —1, t + 2) , n= a—kb= (2 + k, 1 —2k),•/ rnL n,「. m- n= (2t —1)(2 + k) + (t + 2)(1 —2k) = 5t —5k= 0,「. t —k= 0.3.(文)(2010 •湖南理)在Rt△ ABC中，/ C= 90,AC= 4,^UAC等于( )A. —16D . 16［答案］D［解析］因为/ C= 90°,所以A C- CB= 0，所以AB- A C=(心C B • AC= | AC|2+ A C- CB= AC= 16.A . 2 3 ［答案］D［解析］•/Xo= XB+ BC= XB+3BD,-> -> -> -------- > -> -> -> ------- > -> ••• AC - AD= (AB+ 3BD ) - AD= AB- AM 3BD- AD 又••• AB! AD • A B- AD= 0 ,•- AC- AD= i /3BD- AD=-」'3| BD •丨 AD | - cos / ADB= J 3| BD ■ cos / ADB=—；3 ・| AD = J 3.4. (2010 •湖南省湘潭市)设非零向量a 、b 、c 满足| a | = | b | = | c | , a + b = 6则〈a , b 〉=( )A . 150° B. 120° C . 60° D. 30°［答案］B［解析］ T a + b = c , | a | = | b | = | c | 丰0,2 2 2 2• |a + b | = |c | = | a | , • |b | + 2a - b = 0,2• | b | + 2| a | -| b | - cos < a , b >= 0, •- cos < a , b >=— q ,•/ < a , b 〉€ ［0 ° , 180° ］ ,•••〈 a , b >= 120°.5. （2010 •四川双流县质检）已知点P 在直线AB 上，点O 不在直线 AB 上，且存在实数t 满足O P= 2tPA +2t tT p 在直线 AB 上，• 2t + 1 + 2t + 1 = 1,A t = 1,S 2S 1 S• OP= ; OA^ - OB3 3-S -S -S 1 -S 1 -S••• PA= OA - OP= ;OA- Z OB33_S _S _S 2_S 2_S _SP B = OB- OP= 3OB- Z OA=— 2P A• L PA.=1 i PB 21 2S 2S 2SD. 3［答案］［解析］ •/ S P = 2t (d A — S P +tOB,|PB［答案］D［解析］•/ MA- MB= 0 ,••• MAL 尬B 又•/ | M A 2 + | ME B 2= 4, ••• | AB = 2,且M 在以AB 为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系,y ），则 x 2+ y 2= 1,M A = ( - 1 -x ,- y ),(1 -x ,- y ),T — 2T1••• MC= 3MA- §MB= 3-x , - y ,T 212 210 2•-1 M C = 3- x + y =百-g x ,_T16•.• - 1 < x w 1 ,• x =- 1时，| M©取得最大值为 —, • I MC 的最大值是|.(理)(2010 •山东日照)点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，贝U A N- AM 勺最大值为（ )A . 8 B. 6C . 5 D. 4［答案］ B［解析］建立直角坐标系如图，•••正方形ABCD 边长为2,• A (0,0) ,N2 , - 1) , AN= (2 , - 1),设M 坐标为（x , y ）, AM = （x , y ）由坐标系可知0wx W2①-2w y w 0 ②•/ X N- AM= 2x - y ，设 2x - y = z ,易知，当x = 2, y =-2时，z 取最大值6, • X N- AM 勺最大值为6,故选B . 7.如图，△ ABC 的外接圆的圆心为O AB= 2, AC= 3, BC= .7,则A O- BC 等于( )C. 2D. 3［答案］B［解析］A O- B C = AO ・(AC — Ab = A O- AC - Ab- AB 因为 OA= OB 所以 At 在ABh 的投影为 1| XB ，所以XO- X B=扌| AB •)A B = 2,同理 AO- AC= #| AC -| A C = 2 故 AO > B C = 9-2=|.值是（）B. 1则点 A ( - 1,0)，点 B (1,0),设点 Mx ,8. （文）已知向量a、b满足|a| = 2, | b| = 3, a・（b—a）= - 1，则向量a与向量b的夹角为（）［答案］C［答案］A［解析］ 设〈A B EBO = a ,^ AB- EBC= |AB •) B C Jcos a , S = 7|AB • BCC • sin( n — a ) = 7| X B •)E3C3 3由条件知cot a <8 8—X —XnnT AB- BO 。

向量的数量积经典例题（含详细答案）向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o .求（1）a b r r g ，()()22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r2．已知向量a r 、b r 的夹⾓为2,||1,||23a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值（2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值.3．已知平⾯向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹⾓的余弦值.4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ，（1）求()a b c ?+r r r；（2）若()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r .（1）求a b ?r r 的值；（2）求a r 与b r 所成⾓的⼤⼩.6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r（1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ；（2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k .7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹⾓为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r ,(1)当c d v P v 时，求实数k 的值；(2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.参考答案1．（1）6-，32-；（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进⾏求解；（2）根据23a b +=r r 先求数量积，再求模长．【详解】解：（1）∵3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o ，∴cos120a b a b ?=r r r r g 134()2=??-=6-， ()()22a b a b +?-=r r r r 22223a b a b -+r r r r g 292163(6)=?-?+?-=32-；（2）23a b +=r r== 【点睛】本题主要考查平⾯向量的数量积的定义及平⾯向量的模长，考查计算能⼒，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2.【解析】【分析】（1）利⽤数量积的定义直接计算即可．（2）利⽤()()20t b a b a +=-r r r r g 可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π==??-=-r r r r ．（2）因为2a b -r r 和ta b +r r 垂直，故()()20t b a b a +=-r r r r g ，整理得到：()22220ta t a b b +--=r r r r g 即()12212402t t ??+---=，解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个⾮零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ?=v v，本题属于基础题．3．（1）25a b +=r r （2）65【解析】【分析】（1）由题可得0a b ?=r r ，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=r r ，进⽽得出答案。

考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例一、选择题1.（2013·上海高考理科·T18）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.A.0,0m M =>B.0,0m M <>C. 0,0m M <=D. 0,0m M <<【解析】选D.，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r ，其余均有0i r a d ⋅≤u r u u r，故选D ．2.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ3）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ3）相同已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-u r r u r r u r rm n m n m n λλλ若则（ ）A.4-B.-3C.2-D.-1【解题指南】利用(m n)+u r r (m n)⊥-u r r 得(m n)+u r r (m n)0⋅-=u r r化简求解.【解析】选B.因为(m n)+u r r (m n)⊥-u r r ，所以(m +n)u r r 22(m n)|m ||n |0⋅-=-=u r r u r r ，即-++1)1(2λ2(λ+2)-4=0，解得3-=λ.3. （2013·湖南高考理科·Ｔ6）已知,r ra b 是单位向量，r r ga b =0.若向量r c 满足1,--=r r r rc a b c 则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【解题指南】本题首先弄懂向量,是一组正交基底，且2||=+，构造)(+-=，当1||=d 时，利用圆的知识可求得结果。

平面向量的数量积及应用举例考纲解读 1.利用向量数量积的定义或坐标求数量积；2.利用向量数量积的运算求向量夹角及模；3.利用数量积的运算研究垂直关系及图形特征．[基础梳理]1．向量的夹角3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 ①e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. ②cos θ＝a ·b|a ||b |.③a ·b ≤|a ||b |. 4．数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 5．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则1．设a ＝(3，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，－33，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案：B2．已知a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( ) A. 5 B ．5 C ．± 5 D ．±55答案：D3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )·a 等于( ) A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－78 答案：A4．(必修4·习题2.4A 组改编)已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 答案：π35．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝__________.答案：7[考点例题]考点一 平面向量数量积的运算|方法突破[例1] (1)(2017·邢台模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94B.94C.274D ．－274(2)在菱形ABCD 中，对角线AC ＝4，E 为CD 的中点，则AE →·AC →＝( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14(3)如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________.[解析] (1)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则有CD ＝AC ·sin 30°＝32.∴CD →·CB →＝|CD →|·|CB →|·cos ∠BCD ＝|CD →|2＝94.故选B.(2) (坐标法)特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A (0,0)，C (22，22)，E (2，22)，所以AC →＝(22，22)，AE →＝(2，22)，所以AC →·AE →＝22×2＋22×22＝12，故选C.(3)法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则M (－2,0)，N (2,0)，C (－3,33)，D (3，33)，所以MC →＝(－1,33)，ND →＝(1,33)，MC →·ND →＝－1＋27＝26.[答案] (1)B (2)C (3)26 [方法提升]解决平面向量数量积问题的常用方法技巧 技巧解读适合题型定义法利用定义式a ·b ＝|a |·|b |cos θ求解．定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解一般通过具体的图形可确定.适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法利用坐标式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题．坐标式的特点是具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解，即向量问题“坐标化”. 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题转化法求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算.适用于直接求解不易，而转化为其他向量的数量积的有关计算问题[母题变式]1．将本例(2)改为： 在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF →＝________.解析：法一：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝12AB 2→＋12AD 2→＝1. 法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立坐标系(图略)， 则E ⎝⎛⎭⎫1，12，F ⎝⎛⎭⎫12，1. ∴AE →·AF →＝1×12＋12×1＝1.答案：12．在本例(1)中条件不变，求CA →·AD →. 解析：在Rt △ADC 中，AD ＝3 cos 30°＝332， 而〈CA →，AD →〉＝150°，∴CA →·AD →＝|CA →|·|AD →|·cos 150°＝3×332×⎝⎛⎭⎫－32＝－274.考点二 向量的模、夹角、垂直问题|方法突破命题点1 向量的模的计算[例2] (1)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A.3 B ．23 C ．4D ．12 (2)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] (1)由已知|a |＝2，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB →＝(a －2，b )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(a －6，b )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12a ＋37， 所以当a ＝－1时，此式有最大值49＝7. [答案] (1)B (2)B [方法提升]求向量模的常用方法[跟踪训练]1．(2017·洛阳统考)若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ<0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.答案：A2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32，得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b ＝25＋9－10×⎝⎛⎭⎫－32＝7. 答案：7命题点2 向量的夹角计算[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π[解析] 设a 与b 的夹角为θ， |a |＝223|b |，因为(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. [答案] A(2)(2017·沈阳教学质量监测)已知两个非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，且2|a |＝|b |，则〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 法一：由题知a 2＝a ·b ，而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝|a |22|a |2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°，故选B.(定义法)法二：作OA →＝a ，∵a ⊥(a －b )， 作AC →⊥OA →，则CA →＝a －b ，∴OC →＝b ，又∵|b |＝2|a |，即|OC →|＝2|OA →|，在Rt △OAC 中，∴∠AOC ＝60°，即〈a ，b 〉＝60°.(数形结合法) [答案] B [方法提升] 求向量夹角的方法方法 解读适合题型 定义法 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |适用于向量的代数运算 数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算[跟踪训练]3．在典例(1)中，将条件“|a |＝223|b |”换成“(2b －3a )⊥b ”，其他不变，则两个向量的夹角θ为__________．解析：由(2b －3a )⊥b 得(2b －3a )·b ＝0， 所以2b 2－3a ·b ＝0，① 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.② 由①②联立得|a |＝223|b |，代入①得 cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 答案：π44．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案：90°命题点3 向量的垂直问题[例4] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 (2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λ AB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为__________．[解析] (1)设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73.(2)由AP →⊥BC →，知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λ AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λ AB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)D (2)712[方法提升][跟踪训练]5．(2018·西安质检)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b, 则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a·b ＝2×2cos 60°＝2，所以a·b ＝－1，故B ，C 错误．故应选D.答案：D6．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．3 5 B ．32 C ．2 5D.10解析：由题意得a －2b ＝(－2－2k,7)， ∵(a －2b )⊥c . ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0，解得k ＝6， 所以|b |＝62＋(－3)2＝35，选A. 答案：A考点三 向量与三角函数、三角形的综合|模型突破角度1 向量与三角函数的综合[例5] 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )． (1)求函数f (x )的最小正周期和函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝a ·b ，a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.因为0≤x ≤π， 所以π6≤2x ＋π6≤13π6，由π6≤2x ＋π6≤π2或3π2≤2x ＋π6≤13π6， 可得0≤x ≤π6或2π3≤x ≤π.所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)因为0≤x ≤π6，所以π6≤2x ＋π6≤π2，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以m ＋2≤f (x )≤m ＋3. 因为－4<f (x )<4恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4，m ＋2>－4，解得－6<m <1.所以实数m 的取值范围为(－6,1)． [模型解法]角度2 向量与三角形的综合[例6] (1)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)(2)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3[解析] (1)由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0知，N 为△ABC 的重心，因为P A →·PB →＝PB →·PC →，所以(P A →－PC →)·PB →＝0，所以CA →·PB →＝0，所以CA →⊥PB →，即CA ⊥PB ，同理AP ⊥BC ，CP ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．(2)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0， 即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， 因为π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.[答案] (1)C (2)C [模型解法]向量的运算本身就涉及到三角形，解决其交汇问题的关键点： (1)转化，向量的模与三角形边长的转化， 向量的夹角与三角形内角的转化(2)结合，结合向量的运算法则，化为边角关系，结合三角形的正、余弦定理，求解边，角．(3)检验，结论是否符合向量的概念，是否符合三角形的知识．[高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析： 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B. 答案：B[真题感悟]1.[考点一](2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A.答案：A2.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：73.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.答案：24.[考点三](2017·高考北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为__________．解析：法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2，cos θ＝AQ AP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.法二：因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤a <2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．答案：65.[考点一、三](2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2 DC →，AE →＝λ AC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为__________．解析：由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC → ＝AB →＋23(AC →－AB →) ＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λ AC →－AB →) ＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311. 答案：311。

）））））））第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。

2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。

【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a= 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =2 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ．（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ向量b 与非零向量a共线⇔有两个均不是零的实数λ、μ，使得0a b λμ+=．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0=（0,0），(1,0)i =，(0,1)j =． （2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±． （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--，1(AB x =（3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅． 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积叫做a 与b 的数量积（或内积），即a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ，规定00a ⋅=2 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==4 乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+．5 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅．②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈．③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±； 特别注意：①结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅．②消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =．③a b ⋅=0不能得到a =0或b =06 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 7 向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b⋅<>=⋅=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥ba ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，ECBA CA b =，1,2a b ==，则CD = （ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B ．【解析】由角平分线的性质得2AD DB =,即有22()()33AD CB CA a b =-=-．从而221()333CD CA AD b a b a b =+=+-=+．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ， 那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D ．【解析】取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --= 【答案】A ． 【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=．或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.16【答案】A ．【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝17-，故选A ． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43． 【解析】设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+=． 【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF =,得cos 2ABAF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠．∵2AB =，∴22DF ⋅=，∴1DF =∴21CF =-．记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+． 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =． ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小． 【答案】2,,663A B C πππ===． 【解析】解：设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A = 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3sin 4C B A ⋅=-所以53sin sin()64C C π⋅-=，133sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===． 【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=( )（ ）A ．13 B ．23C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则a b += （）A B C ．D ．106. （2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--7．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最 小值为( )A.2- 2C.1-D.19.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12 B ．12± C ．12± D ．32-±10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =( )A.B. C. 5 D. 2511.（2012大纲理）ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 14.（2007湖北）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2)-- B ．(72,2)- C ．(46,2)-- D ．(46,2)-二、填空题16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且APAC = _____.A DBCP21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________. 23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C =3π，求ΔABC 的面积 . 28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且C n m 2sin =⋅.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A.B. C. 4 D. 22.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C.2 D.225.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b（ ） A ．(21)--， B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 （ ） A ．[-6，1]B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]8. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．23 D ．29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 （ ）A ．9B ．1C ．－1D ．－910. 已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=二、填空题11. 设向量2,3,19,AB AC AB AC CAB ==+=∠=则_________.12. 若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足，则向量b a 与的夹角等于 .13. 已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .14.（2008江苏）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ． 15. （2007安徽）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．16.（2007北京）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a =，(sin15,cos15)b =--，则a b |+|的值为 .18.（2007广东）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .三、解答题19.（2009湖南卷文）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：1。

向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。

这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。

专题02 七种平面向量的数量积及其应用解题方法题型一：利用定义法求平面向量数量积 题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积 题型三：利用转化法求平面向量数量积 题型四：坐标法求平面向量夹角 题型五：数量积和模求平面向量夹角 题型六：坐标公式法求平面向量的模 题型七：转化法求平面向量的模题型一：利用定义法求平面向量数量积 一、单选题1．（2021·江西省铜鼓中学高一期末（理））已知向量a ，b 满足1a =，32b =，且a 与b的夹角为56π，则()()2a b a b +⋅-=（ ） A ．32B ．32-C ．12-D ．12【答案】D【分析】根据向量的运算性质展开可得()()2222a b a b a a b b +⋅-=+⋅-，再代入向量的数量积公式即可得解.【详解】根据向量运算性质，()()2222a b a b a a b b +⋅-=+⋅-22252cos21(6a a b b π=+⋅-=+-3331224422=--=-=，故选：D2．（2021·云南·高一期末）已知 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600，则 a · b 的值为（ ）A ．B ．12C ．6D ．【答案】C【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由 a =6， b =2，且向量 a 与向量 b 的夹角为600，a ·1cos ,6226a b a b b ==⨯⨯=. 故选：C3．（2021·辽宁抚顺·高一期末）在Rt ABC 中，90,4C AC =︒=，则AB CA ⋅=（ ） A ．25- B ．25 C ．16- D ．16【答案】C【分析】根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解．【详解】解：2||||cos()|||||cos ||16AB CA AB CA A CA AB A CA π⋅=⋅-=-⋅⋅=-=-． 故选：C ．4．（2021·湖南张家界·高一期末）已知向量a 与b 的夹角120θ，3a =，4b =，则a b ⋅=（ ）A ．-B ．6-C ．6D ．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】根据平面向量数量积的定义可得1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B. 二、多选题5．（2021·福建省厦门集美中学高一期末）对于两个向量a 和b ，下列命题中正确的是（ ）A ．若a ，b 满足a b >，且a 与b 同向，则a b >B ．a b a b +≤+C ．a b a b ⋅≤D ．a b a b -≤- 【答案】BC【分析】向量不能比较大小可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B 、D ；根据向量数量积的定义可判断选项C ；进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：向量不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：根据向量的加法运算的几何意义可知a b a b +≤+，当且仅当向量a 和b 同向时等号成立；对于选项C ：cos ,a b a b a b ⋅=⋅，因为cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤，故选项C 正确；对于选项D ： 由向量减法的几何意义可知a b a b -≤-，故选项D 不正确； 故选：BC.6．（2020·辽宁·高一期末）在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD【答案】AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos A =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故A 正确； 对于B ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos (π−C )=−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos C =−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故B 错误； 对于C ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−∠ABD)=−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ∠ABD =−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故C 错误； 对于D ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ABD =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2, BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos ∠CBD =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题. 三、填空题7．（2021·广东江门·高一期末）已知向量a 、b 满足3a =，4b =，a 、b 的夹角为60︒，则a b -=______.【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】解：向量a 、b 满足3a =，4b =，a 、b 的夹角为60︒，则229162a b a b a b -=++-⋅==8．（2021·江西九江·高一期末）已知向量a ，b 13a =，5b =，则数量积a b ⋅=____________.【答案】1【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】cos ,1a b a b a b ⋅=⋅=. 故答案为：1.9．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）在△ABC 中，90C =︒，54AB CB ==，则BA BC ⋅=_____________．【答案】1625【分析】由已知条件可得1cos 5CBA ∠=，根据BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠CBA 即可求值. 【详解】在△ABC 中，90C =︒，且54AB CB ==， △||4AB =，4||5BC =，故1cos 5CBA ∠=， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠CBA =4×45×15=1625. 故答案为：1625四、解答题10．（2021·北京丰台·高一期末）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=． （1）求a b ⋅；（2）求a 与b 夹角的大小； （3）求2a b -． 【答案】（1）5，（2）4π，（3）5 【分析】（1）直接利用坐标求解即可； （2）利用向量的夹角公式求解； （3）先求出2a b -的坐标，再求其模 【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=， 所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=， （2）设a 与b 夹角为θ，则cos (1)a b a bθ⋅===- 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π， （3）因为(1,3),(1,2)a b =-=， 所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以2(3)5a b -=-=题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积 一、单选题 1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ）A ．2±B ．12±C ．43±D ．34±【答案】D【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以有22223()()0091604a kb a kb a k b k k +-=⇒-=⇒-=⇒=±，故选：D 二、多选题2．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）已知()()2,6,1,3a b =-=-，下列选项中正确的是（ ）A ．20a b ⋅=-B ．与b 同向的单位向量是⎝⎭C ．//a bD ．210a b +=【答案】ABC【分析】利用向量的坐标可求各项运算的结果，从而可得正确的选项. 【详解】对于A ，21820a b ⋅=--=-，故A 正确，对于B ，与b 同向的单位向量是1,10bb ⎛== ⎝⎝⎭，故B 正确.对于C ，因为()2361-⨯-=⨯，故//a b ，故C 正确.对于D ，()21a b +=-D 错误.故选：ABC. 三、填空题3．（2021·浙江宁波·高一期末）已知向量()1,2a =-，()3,1b =，则⋅=a b ______． 【答案】1【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可． 【详解】解：向量(1,2)a =-，(3,1)b =，则13211a b ⋅=⨯-⨯=． 故答案为：1．4．（2021·山东淄博·高一期末）向量()2,a t =，()1,3b =-的夹角为钝角，则t 的范围是___________．【答案】2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.【分析】由两向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于零，且两向量不共线，从而可求得结果【详解】解：因为()2,a t =，()1,3b =-的夹角为钝角， 所以230a b t ⋅=-+<，且23t -≠⨯， 解得23t <，且6t ≠-， 所以t 的范围为2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：2(,6)6,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭5．（2021·云南玉溪·高一期末）已知(2,),(1,3)a m b ==-，若a b ⊥，则m =___________． 【答案】23【分析】由两向量垂直，可得数量积为0，从而可列方程求得答案 【详解】解：因为(2,),(1,3)a m b ==-，a b ⊥， 所以230a b m ⋅=-+=，解得23m =， 故答案为：23 四、解答题6．（2019·湖南邵阳·高一期末）已知向量13,,(sin ,cos ),0,222m n x x x π⎛⎫⎛⎫=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)若m n ⊥，求tan x 的值；(2)若向量13m n ⋅=，求2cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】(2)79.【分析】(1) 由m n ⊥可得0m n ⋅=，利用数量积的坐标运算列方程求解； (2)由13m n ⋅=可得1sin()33x π-=，将2cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭变形为212sin ()3x π--，代入计算可得结果.【详解】(1)由m n ⊥可得0m n ⋅=，即1sin 02x x =，则tan x =(2)由题意可得11sin 23x x = 即1sin()33x π-=，△22cos(2)12sin ()33x x ππ-=--， 21712()39=-⨯=.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题. 题型三：利用转化法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·四川成都·高一期末）已知向量a ，b 满足3a b -=，则a b ⋅的最小值为（ ） A ．94B ．94-C ．9D ．92-【答案】B【分析】3a b -=两边平方得()()22922a b a b +⋅≥⨯，再利用又a b a b ≥-⋅可得答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ，[]0,θπ∈， 由3a b -=得()()()22229a b a b a b -=+-⋅=，所以()()()()2222922a ba b a b +=+⋅≥⨯，当且仅当a b =等号成立，又()()2222a ba b a b ⨯=≥-⋅，所以94a b ⋅≥-，a b a b ≥-⋅当且仅当θπ=时等号成立， 故选：B. 二、多选题2．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（ ） A ．已知1)2(a -=，，,1()b x x -=，若()2//b a a -，则1x =- B ．在ABC 中，若1122AD AB AC =+，则点D 是边BC 的中点 C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC =，则43AM AC ⋅=D ．若a b ，共线，则a b a b +=+ 【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A ；根据向量的线性运算可判断选项B ；根据向量数量积的运算可判断选项C ，举反例可判断选项D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：1)2(a -=，，,1()b x x -=，可得()22,5b a x x -=+-，若()2//b a a -则 ()()()215x x x x +-=-，即62x =，所以13x =，故选项A 不正确； 对于B ：取BC 的中点E ，则()111222AB AC AB AC AE AD +=+==，即D 点与E 点重合，所以点D 是边BC 的中点，故选项B 正确；对于C ：()()()13AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭22141413333AD DC AD DC =++⋅=+=，故选项C 正确；对于D ：当a b ，反向时不成立，故选项D 不正确， 故选：BC. 三、填空题3．（2021·北京东城·高一期末）已知△O 中弦6AB =，则AO AB ⋅=________． 【答案】18【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解. 【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =， 所以2211cos ,61822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯=，故答案为：18.4．（2021·陕西安康·高一期末）如图，矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 与BD 交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE BC ⋅=______.【答案】3【分析】先求得,cos AE BAE ∠，然后利用向量运算求得AE BC ⋅【详解】2,4AB AD BD ===， 1122AB AD BD AE AE ⨯⨯=⨯⨯⇒=所以cos AE BAE AB ∠==()()AE BC AE BD DC AE BD AB ⋅=⋅+=⋅+cos 23AE BD AE AB AE AB AE AB BAE =⋅+⋅=⋅=⋅⋅∠==. 故答案为：3 四、解答题5．（2021·广东·高一期末）已知||4a =，||3b =，,150a b <>=. 求（1）()a b b -⋅； （2）求||a b +.【答案】（1）9-；（2.【分析】（1）由已知求a b ⋅，结合向量数量积的运算律，即可求()a b b -⋅； （2）由2()a b a b +=+，利用向量数量积的运算律求值即可. 【详解】（1）4,3,,150a b a b ==<>=cos ,43(6a b a b a b ∴⋅=<>=⨯⨯=-， △2()639a b b a b b -⋅=⋅-=--=-.（2）2()a b a b +=+222a a b b=+⋅+=6．（2021·广东揭阳·高一期末）ABC 中，已知2,5AB AC ==，60BAC ∠=，M N 、分别是A BC C 、的中点，设AB a =，AC b =，（1）分别用a 、b 表示AM 和BN ；（2）设AM 与BN 交于点P ，求MPN ∠的余弦值．【答案】（1）()12AM a b =+；12BN a b =-+；（2．【分析】（1）利用平面向量加法法则能求出结果．（2AM 、BN 、AM BN ⋅，再根据cos cos ,||||AM BNMPN AM BN AM BN ⋅∠=<>=．由此能求出MPN ∠的余弦值．【详解】解：解：（1）AB a =，AC b =，∴()111()222AM AB BM AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+， 111222BN BA AN BA AC AB AC a b =+=+=-+=-+． （2）因为2, 5AB AC ==，60BAC ∠=，所以1cos602552a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=22222222111139()(2)(2)(2255)44444AM a b a a b b a a b b =+=+⋅+=+⋅+=+⨯+=，22222222111121()25524444BN a b a a b b a a b b =-+=-⋅+-⋅+-+⨯===，所以392AM =212BN =∴2211111()()22244AM BN a b a b a a b b ⋅=+⋅-+=--⋅+22221111112553244244a ab b =--⋅+=-⨯-⨯+⨯=， ∴4cos cos ,91||||AM BN MPN AM BN AM BN ⋅∠=<>==． 7．（2021·山西朔州·高一期末）已知z 是复数，3i z -为实数，5i2iz --为纯虚数（i 为虚数单位）.（1）求复数z ； （2）在复平面中，若复数i1z-对应向量a ，且向量b a ⊥，2b =，求向量b 的坐标.【答案】（1）13i z =-+；（2）25,5b ⎛= ⎝⎭或255b ⎛=- ⎝⎭. 【分析】（1）设i z a b =+,由已知条件化简计算求得,a b 即可求复数z ； （2）由（1）得2i 1iz=-+-，得出()2,1a =-，设向量(),b x y =，根据已知列出方程组求解即可.【详解】（1）设i z a b =+（,a b ∈R ），由()3i 3i z a b -=+-为实数，可得30b -=，即3b =. △()()()()()2i 2i 224i5i 2i 2i 2i 2i 2i 5a a a z a -+++---===---+为纯虚数， △220a +=，40a -≠，即1a =-△13i z =-+ （2）()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z -++-+-+====-+---+，则()2,1a =- 设向量(),b x y =，因为a b ⊥且2b =，所以22204x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得x =25,5b ⎛= ⎝⎭或255b ⎛=- ⎝⎭ 题型四：坐标法求平面向量夹角一、单选题1．（2021·北京西城·高一期末）向量cos500)n 5(,si a ︒︒=与()cos10,sin10b ︒︒=的夹角为（ ） A ．30 B ．40︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【分析】根据平面向量夹角公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可.【详解】设向量cos500)n 5(,si a ︒︒=与()cos10,sin10b ︒︒=的夹角为([0,180])θθ︒︒∈，所以有2cos cos 40cos a b a bθ︒︒︒︒︒⋅===⋅，因为[0,180]θ︒︒∈，所以40θ︒=， 故选：B2．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可 【详解】因为向量()3,1a =，()3,1b =-，所以·31cos ,231?·a b a b a b-===+,又因为[],0,a b π∈,所以,3a b π=,故选B.【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，121·cos ,·x x a b a b a bx ==+3．（2021·北京市八一中学高一期末）已知点(()(),0,0,1,0A BC ，则cos ,BC AC →→<>=（ ） A． B ．12-C ．12D 【答案】C【分析】先求出()(1,0,1,BC AC ==，再用向量的夹角公式求解即可【详解】()()()0,3,0,0,1,0A B C ，()(1,0,1,BC AC ∴==则11cos ,122BC AC BC AC BC AC⋅<>===⨯ 故选：C二、填空题4．（2021·广东惠州·高一期末）已知向量()2,1a =，()1,1b =-，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=______．【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得cos θ的值.【详解】由题意得，2c 21112os a b a bθ⋅=-⨯+⨯+=⋅5．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知向量()2,0a =，(1,3b =-，则其夹角,a b =______. 【答案】2π3【解析】直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量()2,0a =，(1,3b =-，所以()2102a b ⋅=⨯-+=-； 所以21cos ,222a b a b a b⋅-===-⨯⨯， 所以�a ,b ⃗ �∈[0,π],�a ,b ⃗ �=2π3. 故答案为：2π3. 【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．（2021·北京顺义·高一期末）向量a →，b →在正方形网格中的位置如图所示，则cos ,a b →→<>=__________.【答案】2-【分析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案. 【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则()3,1a →=，()1,2b →=--，故||a →||b →=325a b →→⋅=--=-，故cos ,||||a ba b a b →→→→→→⋅<>==故答案为：2-. 7．（2021·安徽黄山·高一期末）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角余弦值为___________.【答案】【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(1,)(3,2)a m b =-，=， 则()4,2a b m +=-， 若()a b b ⊥+，则()()()34220a b b m +⋅=⨯+-⨯-=， 解得8m =.向量a 与向量b 的夹角余弦值1cos ,164a b a b a b⋅⨯===+ 故答案为：三、解答题8．（2021·四川乐山·高一期末）已知()11,0e =，()20,1e =，122a e e λ=+，12b e e =-，且//a b .（1）求λ的值；（2）求向量a 与向量122c e e =+夹角的余弦.【答案】（1）2-；（2） 【分析】（1）先求出,a b 的坐标，再利用//a b 列方程可求出λ的值； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可 【详解】解：（1）由题知()()2,00,a λ=+()2,λ=，()()()1,00,11,1b =-=-，△//a b ，△121λ-=， △2λ=-，（2）由（1）知()2,2a =-，()1,2c =， 令a 与c 的夹角为θ， △cos a c a cθ⋅=⋅===. 9．（2021·云南玉溪·高一期末）已知||35,(1,2)a b ==，且a b λ=． （1）求a 的坐标；（2）当0λ>时，若(3,4)c =-，求a 与c 的夹角的正弦值．【答案】（1）(3,6)a =或(3,6)a =--；（2. 【分析】（1）由a b λ=可得(,2)a λλ=，再由||35a =，可求出λ的值，从而可求出a 的坐标；（2）直接利用向量的夹角公式求解 【详解】解（1）(1,2)(,2)a b λλλλ===，2||4||53a λλλλ=+===±，△(3,6)a =或(3,6)a =--， （2）当0,(3,6)a λ>=，9cos ,9a c ===+，因为,[0,]a c π∈，所以sin ,1a c ⎛=-= ⎝，即a 与c 10．（2021·江苏常州·高一期末）已知O 是坐标原点，向量()()2,3,6,1(,0)OA OB OP x ===，，（1）若PA PB ⊥，求实数x 的值；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求ABP △的面积． 【答案】（1）3或5；（2）4.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示即可求解.（2）根据向量数量积的坐标表示得出当4x =时，PA PB ⋅取最小值1-，再由向量数量积的坐标表示求出向量夹角余弦值，根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为(2,3)OA =，(6,1)OB =，(,0)OP x =， 所以(2,3)PA x =-，(6,1)PB x =-，又因为PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=，即(2)(6)30x x --+=也即28150x x -+=，解得3x =或5x ，则所求实数x 的值为3或5． （2）由（1）知PA PB ⋅=(2)(6)3x x --+=22815(4)1x x x -+=--， 当4x =时，PA PB ⋅取最小值1-， 此时(2,3)PA =-，(2,1)PB =，则cos ,13PA PB PA PB PA PB⋅<>===⨯，又在ABP △中，,(0,)PA PB π<>∈，则sin ,1PA PB <>=，ABP △的面积为12S PA PB =⨯⨯⨯sin ,PA PB <>142== 11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知平面向量(3,2)a =-，(1,)b y =-且b a -与(2,1)c =共线. （1）求y 的值；（2）若2m a b =+，n a c =-，求向量m 与向量n 所夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2. 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求出b a -，再根据b a -与(2,1)c =共线即可求得y 的值；（2）根据向量线性运算的坐标表示求出,m n ，再根据cos ,||||m nm n m n ⋅=即可求得向量m 与向量n 所夹角的余弦值.【详解】解：（1）由题意得：(2,2)b a y -=--，(2,1)c =， 因为b a -与c 共线， 所以(2)12(2)0y -⨯--=， 解得y 3=.（2）由（1）可知(1,3)b =-，于是2(7,7)m a b =+=-，(1,3)n a c =-=-， 设向量m 与向量n 夹角为θ，则28cos ||||72m n m n θ⋅===题型五：数量积和模求平面向量夹角一、单选题 1．（2021·山东泰安·高一期末）已知向量(1,0)a =，(2,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】求出两向量的模及数量积，根据cos ,a b a b a b⋅=即可求解.【详解】解：1,22a b ==，2a b ⋅=-， 所以2cos ,2a b a b a b⋅==-，又因[],0,a b π∈， 所以a 与b 的夹角为34π. 故选：D.2．（2022·陕西·长安一中高一期末）若两个非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．56π 【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到40a b ⋅=，即可得解； 【详解】解：因为||||a b a b +=-， 所以()()22a ba b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，所以a b ⊥，即a 与b 的夹角为2π； 故选：C 二、多选题3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）点P 是ABC 所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC 的形状不可能是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】ACD【分析】由已知结合向量的线性表示及数量积的性质可得0AC AB ⋅=，进而可求． 【详解】解：因为|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，2PB PC PA PB PA PC PA AB AC +-=-+-=+，所以||||||CB AB AC AB AC =+=-， 两边同时平方得0AC AB ⋅=， 故AB AC ⊥，即2A π∠=，则ABC 的形状为直角三角形． 故选：ACD ． 三、填空题4．（2021·湖南·高一期末）若向量a ，b 满足10a =，5b =，5a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为_________. 【答案】34π【分析】由向量夹角公式直接求解即可.【详解】5cos ,||||10a b a b a b ⋅-<>===⋅∴夹角为34π，故答案为：34π. 5．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知向量||3a =，||2b =，(2)(2)1a b a b +⋅-=，则a 与b 的夹角为______． 【答案】23π【分析】对(2)(2)1a b a b +⋅-=化简计算可求出a b ⋅，再利用向量的夹角公式可求得结果 【详解】由(2)(2)1a b a b +⋅-=，得222321a a b b +⋅-=， 因为||3a =，||2b =，所以18381a b +⋅-=，解得3a b ⋅=-， 设a 与b 的夹角为θ，则31cos 322a b a bθ⋅-===-⨯， 因为[0,]θπ∈，所以23πθ=， 故答案为：23π 四、解答题6．（2020·云南·罗平县第二中学高一期末）已知平面向量a ，b 满足2=a ，3b =，()()2334a b a b -⋅+=-．（1）求向量a 与b 的夹角θ； （2）当实数x 为何值时，xa b -与3a b 垂直．【答案】（1）23πθ=；（2）245x =-. 【分析】（1）由()()2334a b a b -⋅+=-化简再结合2=a ，3b =可求出向量a 与b 的夹角；（2）要xa b -与3ab 垂直，只需()()30xa b a b -⋅+=，化简可求出x 的值.【详解】（1）由()()223423253a b a b a a b b -=-⋅+=+⋅-182730cos cos ,0π2θθθ=-+⇒=-≤≤，得23πθ=． （2）当xa b -与3a b 垂直时，()()()223313xa b a b xax a b b -⋅+=+-⋅-()24631cos2752403x x x π=+--=--=， 所以245x =-． 【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.7．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b = ，求a 与a b +的夹角的余弦值．【分析】由模、夹角求a b ⋅，应用向量数量积的运算律求||a b +，令a 与a b +的夹角为α，则有cos α=a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |即可求余弦值. 【详解】△向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b = ， ∴a ⋅b ⃗ =|a ||b ⃗ |cos 3π4=−6，|a +b ⃗ |=√a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√5， 设a 与a b +的夹角为α，则cos α=a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |=a⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |⋅|a ⃗ +b ⃗ |=3×√5=√55，∴a 与a b + 题型六：坐标公式法求平面向量的模 一、单选题 1．（2021·吉林·长春市第二十九中学高一期末）已知向量(1,2)a =-，(,4)b x =，且a b ⊥，则||b =（ ）A ．B ．C ．D ．8【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得x 的值，得到向量b 的坐标，进而计算其模. 【详解】由题意，24=0a b x ⋅=-+⨯,解得8x =，所以(8,4)=b ，所以22||8+4b = 故选：C. 二、双空题2．（2021·北京通州·高一期末）已知点A （1，1），点B （5，3），将向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ，则点C 坐标为________；||BC =________．【答案】 (1,5)-【分析】由于向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ，结合旋转后两个向量互相垂直，以及向量的模相等，可得点C 坐标，再结合向量的模长公式，即可求解 【详解】解：设点C 的坐标为(,)x y ，因为点A （1，1），点B （5，3），所以(4,2),(1,1)AB AC x y ==--， 因为向量AB 绕点A 逆时针旋转2π，得到向量AC ， 所以0AB AC ⋅=，AB AC =，所以4(1)2(1)0x y -+-=，且22(1)(1)20x y -+-=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或15x y =-⎧⎨=⎩，因为逆时针旋转，所以点C 的坐标为(1,5)-， 所以(6,2)BC =-，所以(BC =-故答案为：(1,5)-，三、填空题3．（2022·青海海东·高一期末）已知向量()4,a x =-，()3,2b =，若a b ⊥，则a =________．【答案】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出x 的值，再利用平面向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a b ⊥，所以4320x -⨯+=，得6x =，故()24a =-故答案为：4．（2021·北京市育英学校高一期末）已知向量()1,3a =，3,1b 则3+a b 为___________【答案】【分析】先求出3a b +的坐标，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为向量()1,3a =，3,1b所以()((31,3a b +=+=，所以(2342a b +=+=故答案为：5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二期末）已知()3,2,2,2a x b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()a b a -⊥，则2a b +=___________.【答案】【分析】由数量积公式得出1x =，再由模长公式求2a b +.【详解】由()a b a -⊥得()12,,202x x ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即2210x x -+=，解得1x =由2(5,5)a b +=得522a b +=故答案为： 四、解答题6．（2021·北京昌平·高一期末）已知向量()1,2a =，()3,2b =-. （1）求a b -；（2）求向量a 与向量b 的夹角θ的余弦值；（3）若10c =，且()2a c c +⊥，求向量a 与向量c 的夹角.【答案】（1）（2）；（3）3,4a c π=.. 【分析】（1）先求出a b -的坐标，再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由()2a c c +⊥，得()20a c c +⋅=化简结合已知条件可得答案 【详解】解：（1）因为()1,2a =，()3,2b =-， 所以()2,4a b -=-.所以(2)a b -=-=（2）因为132(2)1a b =⨯+⨯--⋅=，212a =+23(b =+所以c 1os 5a b a bθ-=⨯⋅==（3）因为()2a c c +⊥， 所以()20a c c +⋅=.即220a c c ⋅+=.所以22cos ,0a c a c c +=.即2cos ,100a c +=， 所以2cos ,2a c =-因为[],0,a c π∈， 所以3,4a c π=. 题型七：转化法求平面向量的模 一、单选题1．（2021·湖南·高一期末）已知向量a ，b 的夹角为4π，()3,4a =-，10a b ⋅=，则b =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由10a b ⋅=可得cos104a b π=，再由()3,4a =-，可求出5a =，从而可求得b【详解】解：由()3,4a =-，得2(3)5a =-=，因为向量a ，b 的夹角为4π，10a b ⋅=，所以cos 104a b π=，所以510b =，解得b = 故选：A 二、多选题2．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，下列说法正确的是（ ）A ．a b c +=B ．AC 在a 上的投影向量为aC ．()()a a cb bc ⋅=⋅ D ．5a c +=【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A ；根据向量投影的定义，可判断B ；分别计算左、右两边，可判断C ；由22=(2)a c a b a b +=++，计算可判断D. 【详解】如图，可知+a b AB BC AC c +===，故A 正确； 由图可知AC 在a 上的投影向量为a ，故B 正确；因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，所以()00a b c c ⋅==，又2()1b c b a b a b b ⋅=⋅+=⋅+=，所以()=a c a b ⋅，所以()()a a c b b c ⋅≠⋅，故C 错误；因为|a +c |=|2a +b ⃗ |=√(2a +b ⃗ )2=√4a 2+4a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=√4+1=√5，故D 正确. 故选：ABD 三、填空题3．（2021·四川资阳·高一期末）已知向量a 与b 的夹角为23π，且1a b ==，则2a b -=___________．【分析】通过平方将所求向量的模转化为数量运算，再通过运算即可得出答案. 【详解】由题意得，222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b b θ-=-=-⋅+=-⋅⋅+，代入计算，得原式=故答案为:4．（2021·湖北孝感·高一期末）已知向量a ，b 满足22b a ==，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b +=__________.【答案】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可． 【详解】解：因为向量a ，b 满足22b a ==，且向量a 与b 的夹角为60︒，所以22|2|4444a b a a b b +=+⋅+=+故答案为： 四、解答题5．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，a b ⊥，若2m a b =+，3n a b =-+．（△）求m n ⋅； （△）求2m n +.【答案】（△）-10；（△【分析】（△）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解m n ⋅即可；（△）首先求出2m n +，再利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解|2|m n +． 【详解】解：（△）平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，a b ⊥，2m a b =+，3n a b =-+．22(2)(3)325342110m n a b a b a b a b ⋅=+⋅-+=-+-⋅=-⨯+⨯=-．（△）因为2m a b =+，3n a b =-+． 所以()22235m n a b a b a b +=+-+=-+，．所以22|2||5|1025425m n a b a a b b +=-+=-⋅+=+=6．（2021··高一期末）已知2a =，3b =，()()2219a b a b +⋅-=-. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b +.【答案】（1）3π；（2） 【分析】（1）若向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件可得2223cos 219a a b b θ-⋅-=-，即可求向量a 与b 的夹角；（2）利用向量数量积的运算律有222244a b a a b b +=+⋅+，即可求模. 【详解】（1）由题意，2223219a a b b -⋅-=-，若向量a 与b 的夹角为θ， △2223cos 219a a b b θ-⋅-=-，即818cos 1819θ--=-，得1cos 2θ=， △3πθ=； （2）222222444cos 4523a b a a b b a a b b π+=+⋅+=+⋅+=，∴252a b +==一、单选题1．（2021·重庆·高一期末）已知a →是单位向量，a →与b →的夹角是3π，且a b →→+=， 则b →=（ ）A ．12 B ．1 C D ．2【答案】D【分析】把a b →→+=的两边同时平方化简即得解.【详解】解：由题a b →→+=2221+27,12||||72a ab b b b →→→→→→+=∴+⨯⨯+=所以2||+||60,||2b b b →→→-=∴=或||3b →=-（舍去）. 故选：D2．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）如图所示，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，E 为 CD 的中点，则AB AE ⋅的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据向量的加法运算，表示出12AE AD AB =+，然后根据数量积的运算法则求得答案.【详解】由题意得：12AE AD DE AD AB =+=+ , 故211()22AB AE AB AD AB AB AD AB ⋅=⋅+=⋅+ 122cos 60442=⨯⨯+⨯= ，故选：A3．（2021·河南南阳·高一期末）在锐角ABC 中，60B =︒，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12 B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2【答案】A【分析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到(C ，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，得到所求范围.【详解】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，60B =︒，2AB AC CB -==，∴(C ，设(),0A xABC 是锐角三角形，∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合）， ∴14x <<，(),0AB x =-，(1AC x =-.则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，∴AB AC ⋅的范围为()0,12.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查数形结合的方法，属于较难题.4．（2021·江苏南通·高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A ．B ．CD 【答案】D【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin ABC ∠=()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin ABC ∠= 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠==则118A ⎛ ⎝⎭，所以118MA x ⎛=- ⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=- ⎪⎝⎭，43020⨯+⨯=所以2743292MA MB MC x ⎛++=- ⎝⎭，则27432MA MB MC ⎛++= 227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，当32x =时等号成立，所以3154322MA MB MC ++≥ 故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.5．（2020·浙江温州·高一期末）已知平面向量a →，b →，且满足2a a b b →→→→⋅===，若e →为平面单位向量，则a e b e →→→→⋅+⋅的最大值（ ）A ．3B ．C ．4D ．【答案】B【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a →与b →的夹角，根据条件，可设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出23sin 3a e b e πα⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】解：2a a b b →→→→⋅===，设a →与b →的夹角为θ， cos 22cos 2b a a b θθ→→→→∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=，1cos 2θ∴=，则3πθ=，不妨设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，则(()cos ,sin a e b e a b e αα→→→→→→→⎛⎫⋅+⋅=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭3cos 3ααα⎛⎫==≤ ⎪⎝即a e b e →→→→⋅+⋅≤所以a e b e →→→→⋅+⋅的最大值为 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，考查运算能力. 二、多选题6．（2021·浙江湖州·高一期末）在ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且6BC =，2AD =，则（ ）A ．ABC 面积最大值是12B ．cos B ≥C ．AD BE +不可能是5D ．1135,22BE AC ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A 选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断；B 选项结合余弦定理与均值不等式即可判断；C 选项将AD BE +表示为3122DC DA =-，结合平面向量的数量积的定义以及运算律，求得249121,44AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可判断；D 选项将BE AC ⋅表示为232DC DA =-⋅，进而求出范围即可判断. 【详解】设ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，A ：1163322ABCa a a Sah h h AD ==⨯⨯=≤，当AD BC ⊥时，等号成立，所以ABC 面积最大值是6，故A 错误；B ：在ABD △中，22223255cos 23666AB AB AB B AB AB AB +-+===+≥⨯⨯当566AB AB=，即AB =B 错误； C ：AD BE DA BD DA +=-+++12BD AC =+()12DC DC CA =+- 3122DC DA =- 2222319138532244242AD BE DC DA DC DA DC DA DC DA +=-=+-⋅=-⋅，因为6DC DA ⋅=，所以()6,6DC DA ⋅∈-，所以249121,44AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则711,22AD BE ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：()31312222BE AD BE AD DC DA DA DC DA ⎛⎫=+-=-+=+ ⎪⎝⎭，且AC DC DA =-，所以()3122BE AC DC DA DC DA ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭223122DC DA DC DA =--⋅ 232DC DA =-⋅， 又因为()6,6DC DA ⋅∈-，所以231135,222DC DA ⎛⎫-⋅∈ ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BD.7．（2021·湖北鄂州·高一期末）设,Ox Oy 是平面内相交成45︒角的两条数轴，12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12O e P y e x =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP在斜坐标系xOy 中的坐标，计作(,)OP x y =.已知在斜坐标系xOy 中，向量11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，则下列结论正确的是（ ） A ．2121(,)AB x x y y =--B ．若OA OB ⊥，则12120x x y y +=C ．(AB x =D ．若AP PB λ=，则OP =1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭. 【答案】AD【分析】先计算1222e e ⋅=，再根据新定义计算AB OB OA =-、0OA OB ⋅=、AB ，判断ABC 的正误，利用线性关系计算111OP OA OB λλλ=+++坐标，判断D 的正误即可.【详解】依题意，1211cos 45e e ⋅=⨯⨯︒=由向量11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，则()()22122111OB OA e e e AB x y e y x -==-++()()1221212121(,)x x y y y e x x y e =-=-+--，故A 正确；若OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，即()()()2211212111222122121212x y x y x x y y x y x y e e e e e e e e ⋅=++++⋅+())211222110x x y y x y x y +++==，当12210x y x y +≠时，12120x x y y ≠+，即B 错误； ()()2212112(AB x y y x e e ⎡⎤+⎣=⎦-==C 错误；若AP PB λ=，则()OP OA OB OP λ-=-，解得111OP OA OB λλλ=+++()()1111212122222111111e e e e x x y y x y x y e e λλλλλλλ++++++++++==，即1212,11x x y y OP λλλλ⎛⎫= ⎪++⎭++⎝，即D 正确.故选：AD.8．（2021·广东东莞·高一期末）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则下列结论正确的是（ ）A ．210,3a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭B ．21,3a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ C ．10,3a b πθ⎡⎫-<⇔∈⎪⎢⎣⎭D ．1,3a b πθπ⎛⎤-<⇔∈ ⎥⎝⎦【答案】AC【分析】先计算cos a b θ⋅=，0πθ≤≤，再分别计算1a b +>和1a b -<时对应夹角θ的取值范围，即可判断四个选项的正误.【详解】依题意，1,cos cos a b a b a b θθ==⋅=⋅=，0πθ≤≤.1a b +>，等价于21a b +>，即2221a b a b ++⋅>，即22cos 1θ+>，即1cos 2θ>-，而0πθ≤≤，故1a b +>2πθ⎡⎫⇔∈⎪⎢⎣⎭，即A 正确，B 错误； 1a b -<，等价于21a b -<，即2221a b a b +-⋅<，即22cos 1θ-<，即1cos θ2，而0πθ≤≤，故10,3a b πθ⎡⎫-<⇔∈⎪⎢⎣⎭，即C 正确，D 错误.故选：AC.9．（2021·广东广州·高一期末）ABC 中，2A π=，2AB AC ==，则下列结论中正确的是（ ）A ．若G 为ABC 的重心，则2233AG AB AC =+ B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值4C ．若M 、N 为BC 边上的两个动点，且MN AM AN ⋅的最小值为32D ．已知Q 是ABC 内部（含边界）一点，若1=AQ ，且AQ AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是1 【答案】BC【分析】以A 为坐标原点，分别以,AB AC 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出,,,A B C G 的坐标即可判断A ；将AP 用基底,AB AC 表示，再利由数量积运算计算()AP AB AC ⋅+可判断B ；不妨设M 靠近点B ，BM x =，则0x ≤≤x 表示,M N 两点坐标，计算 AM AN ⋅求最值，可判断C ；设(),P x y ，0,4PBA πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，可得2cos sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，利用向量相等，坐标相等可得,x y 与,λμ的关系，将λμ+表示为关于θ的函数，即可求最值判断D ，进而可得正确选项. 【详解】如图：以A 为坐标原点，分别以,AB AC 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，()2,0AB =，()0,2AC =，对于A ：由重心坐标公式可得22,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22,33AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而2244,3333AB AC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2233AG AB AC ≠+，故选项A 不正确； 对于B ：设()01BP tBC t =≤≤，则()AP AB BP AB tBC AB t AC AB =+=+=+- ()1t AC t AB =+-，所以()()()1AP AB t AC t AB AC AB AC ⎡⎤+⋅+=⋅-⎣+⎦()()22144104t AC t AB AB AC t t +-+⋅=+-+==，故选项B 正确；对于C ：不妨设M 靠近点B ，BM x =，则0x ≤≤2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，21,1N x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22112AM AN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当x =AM AN ⋅取得最小值为32，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，由AQ AB AC λμ=+可得()()()(),2,00,22,2x y λμλμ=+=，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，设0,4PBA πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以2cos sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，11sin cos 1122224xy πλμθθθ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得sin 4πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,142πθ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时无最大值，故选项D 不正确， 故选：BC.10．（2021·江苏泰州·高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的三个顶点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0，()11,x y ，()22,x y ，设OA a =，OB b =，AB c =，则（ ） A ．()2sin sin sin OABc A B SA B =+B ．()222OABS a b a b=-⋅C ．2OABa b c S R=(R 为OAB 外接圆的半径)D ．122112OABSx y x y =- 【答案】BD【分析】对A ，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对 B ，根据三角形面积公式以及向量的运算即可求解；对C ，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对D ，根据点到直线的距离以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：对A ，由正弦定理知：sin sin sin a b cA B C==， ()22sin sin sin sin 11sin 22sin 2sin OABc A B c A B Sa c B c A B =⋅=⋅=+，故A 错误； 对B ，1sin 2OABS a b AOB =∠ 222sin a b AOB =∠ (221cos a b ⋅=-。

第二十六教时教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。

过程：一、复习：设向量a = (x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，1．数量积的坐标表示：a •b = x 1x 2 + y 1y 2 2．关于距离公式3．二、 例题：1．已知|a | = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。

解：设a = (x ,y ) ∵|a | = 3 ∴322=+y x …①又：∵a ∥b ∴1•y - 2•x = 0 …②解之：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==556553y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=556553y x 即：a = (556,553) 或a = (556,553--) 2．设p = (2,7)，q = (x ,-3)，求x 的取值范围使得：①p 与q 的夹角为钝角 ②p 与q 的夹角为锐角。

解：①p 与q 的夹角为钝角⇔ p •q <0⇔2x -21<0⇔221<x 即x ∈(-∞,221)②p 与q 的夹角为锐角⇔ p •q >02121)3．求证：菱形的对角线互相垂直。

证：设B (b 1,0)，D (d 1,d 2)，则AB = (b 1,0), AD = (d 1,d 2)于是AC =AB +AD = (b 1,0) + (d 1,d 2) = (b 1+d 1,d 2)BD =AD -AB = (d 1 -b 1,d 2)∵AC•BD = (b 1+d 1)(d 1 -b 1) + d 2d 2 = (d 12 + d 22)- b 12= |AD |2 - b 12 = |AB |2 - b 12 = b 12 - b 12 = 01∴AC ⊥BD4．如图：ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积。

平面向量的数量积、平移·典型例题精析公式，可求a与b的夹角α．于是例2已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），求a·b及a与b的夹角θ．【分析】与例1不同的是，题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出a，b的坐标，再用向量的数量积定义求解．【解】由a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），二式相加，解得a=（－3，4）；二式相减，解得b=（5，－12）．于是a·b=（－3）×5＋4×（－12）=－63．求a，b的夹角θ也可用坐标表示式计算．【说明】如果知道两个向量的坐标，可直接求其夹角，不必利用定义去求模及数量积．例3 已知两个向量a=（3，4），b=（2，－1），当a+xb与a－b垂直时，求x 的值．【分析】利用已知向量a与b表示a+xb，a－b，根据向量垂直的充要条件，得到关于x的关系式．【解法一】∵（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0．a·b=3×2＋4×（－1）=2，∴25+（x－1）×2－5x=0．【解法二】∵a=（3，4），b=（2，－1），∴a+xb=（3，4）+x（2，－1）=（2x+3，4－x），a－b=（3，4）－（2，－1）=（1，5）．由于（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0，从而（2x+3）×1＋（4－x）×5=0，2x+3+20－5x=0，【说明】使用数量积的知识解决问题时，应注意有使用向量式或坐标两种形式的思路．例4 平面内三点A，B，C在一条直线上，=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），且⊥，求实数m，n的值．【分析】因为A，B，C三点共线，可由向量共线的充要条件得到关于m，n的一个关系式；又因为向量⊥，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式．对这两个关系式联立求解即可．【解】∵A，B，C三点在一条直线上，∴向量与共线．于是，存在实数λ，使=λ．又=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），∴=－=（7，－1－m），=－=（n+2，1－m）．∴（7，－1－m）=λ（n+2，1－m）．故有二式相除，消去λ，得∴mn－5m+n+9=0．①又⊥，∴·=0，即（－2）×n+m×1=0，m－2n=0．②由②得m=2n，代入①，得相应的 m=6，m=3．【说明】上面解法中，式①可由向量共线的坐标表达式求得，因为=（7，－1－m），＝（n＋2，1－m），与共线，所以7×（1－m）－（n ＋2）（－1－m）=0，同样可以得到mn－5m+n+9=0．例5 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．【分析】因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据·的最小值，求得，而cos∠AXB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决．【解】（1）设=（x，y）．∵点X在直线OP上，∴向量与共线．又=（2，1），∴x×1－y×2=0，即 x=2y．∴=（2y，y）．又=－，OA=（1，7），∴=（1－2y，7－y）．同样=－=（5－2y，1－y）．于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）有最小值－8．此时=（4，2）．（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1），·=（－3）×1＋5×（－1）=－8．【说明】由于X是OP上的动点，则向量，均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积·也处在不确定的状态，这个数量积由与的模||与||及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数．另外，求出与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值．例6 如图5－3－2，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°，自A 向对角线BD引垂线，并延长交BC于E，求BE∶EC．【分析】由于BC=2AB，∠ABC=60°，可以、为基底表示图中的向量，其中⊥是最可利用的条件．又=－，，于是可建立m与n的关系式．【解】设=a，=c，BE∶EC=m∶n，则又=+=c+a，且⊥，∴·=0，∴4m－n－（m+n）=0．∴3m=2n．∴m∶n=2∶3．故BE∶EC=2∶3．例7如图5－3－3，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD 与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CH⊥AB．【证法一】∵AD⊥BC，H在AD上，∴⊥．而=－，∴（－）·=0．∴·－·=0．①又⊥，∴·=0，即（－）·=0，·－·=0．②注意到①，②式中·=·，故①－②，得·（－）=0，即·（＋）=0，·=0．∴⊥，即CH⊥AB．【证法二】如图5－3－4，在平面内任取一点O．∵=－，⊥，∴·=0，即（－）·（－）=0．∴·（－）=·（－）．①同理，由⊥，可得·（－）=·（－）．②①+②，得·（－）=·－·，即·（－）=·（－），（－）·（－）=0，·=0，∴⊥，故CH⊥AB．【说明】用向量法证明CH⊥AB，只要证得·=0即可．因此证明中，都将已知条件中的·=0，·=0，运用减法的意义，将，分解成含的形式，再构造出·的形式，寻求结论．证法二中，在平面内任取一点O，使图中所用向量均用以O为起点的向量表示，将已知向量的关系相对集中，这种方法应注意学习和使用．例8 设平面内有两个向量a=（cosα，sinα）， b＝（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π．（1）证明（a＋b）⊥（a－b）；（2）若两个向量ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值（k≠0，k∈R）．【分析】题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到（a＋b）·（a－b）=0，即可证得（1），再利用|ka+b|与|a－kb|相等，确定β－α的值．【解】（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），∴a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ），a－b=（cosα－cosβ，sinα－sinβ）．∴（a＋b）·（a－b）=（cosα＋cosβ）（cosα－cosβ）＋（sinα＋sinβ）（sinα－sinβ）=1－1=0．∴（a＋b）⊥（a－b）．证得结论．于是（*）式化为 4kcos（α－β）=0．由于k∈R，k≠0，∴cos（α－β）=0，即cos（β－α）=0．而0＜α＜β＜π，【说明】由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中a ＋b与a－b垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知|ka+b|=|a－kb|时，a与b的夹角为|α－β|=90°．因为a·b=cos（α－β），a·b=|a|·|b|cosθ．故cos（α－β）=cosθ，又0＜α＜β＜π，有θ=|α－β|（θ为a与b的夹角）．这时a⊥b．此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形．例9 现有7个向量，其中任何3个向量之和的长度都与其余4个向量的和的长度相等，求证这7个向量的和向量是零向量．两边平方，得即 |α|=0．∴α=0．例10（1）将点A（2，4）按向量a=（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是_______．【解】（1）设A′点的坐标为（x′，y′），由平移公式得∴A′（－3，2）．（2）设平移向量a=（h，k）．。

6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（ ） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-， 所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =． 故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二 向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大 所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小 代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影； （2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π． （1）求a b ⋅； （2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值． 【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值； （2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥； （2）若m n =，求λ的值； （3）若m n ⊥，求λ的值； （4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=， 所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=， 即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=， 化简得23520λλ--=， 所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三 向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=， 因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（ ） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（ ） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=， 所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===， 如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒， 不妨设BA a =，故可得2BC a =， 则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______． 【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____． 【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形， 所以向量AB 与向量CA 的夹角为120， 因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四 向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 则a b +等于（ ）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为 【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________． 【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=， 又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-； （2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==． （1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==， 所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=， 又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五 平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误． 故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件 所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错， 若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错， 若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错， 故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确， 对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=， 原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π， 可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-， 由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =； 由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ； （3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+， 所以1()f k a b k k=⋅=+． （3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=， 此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-． （2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。

第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。

专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）一、核心素养1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．二、考试要求1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、主干知识梳理（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0.2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.（七）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a b ＝112222221212a b a b a a b b +++.(θ为a 与b 的夹角) （八）平面向量的应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．4.平面向量在物理中的应用一、命题规律（1）数量积、夹角及模的计算问题；（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．二、真题展示1．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP =，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin |2AP α===，同理2||(cos 2|sin |2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】11120 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=， 2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.考点01 平面向量数量积的运算【典例1】（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例3】（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】0 3【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.【典例4】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【典例5】（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭， 解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．（2）已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．考点02 平面向量的模、夹角【典例6】（2021·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π 【答案】A【分析】 直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a b θ⋅===⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π． 故选：A ． 【典例7】（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=， 因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【典例9】（2020·全国高考真题（理））设,ab 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考点03 平面向量的综合应用【典例10】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【典例11】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】 设，则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得252x y z +-=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =， 所以d a -在c 方向上的投影()221()22||5m x ny d a c x yz c m n-+-⋅-+===±+， 即252x y z +=,所以()()()22222222221122152510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++±++≥+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【典例13】（2020·重庆高一期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．0【答案】B 【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤，∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B.【典例14】（2020·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（ ）A ．215-B ．25-C ．35D ．45-【答案】B 【解析】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||c ||os 0,v v v θ+=即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5θ=-， 故选：B ．【典例15】（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC 中 （1）正弦定理：sin sin sin a b cA B C==； （2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图（a ）所示，过顶点A 作对边BC 的高AH ，则0()AH BC AH AC AB =⋅=⋅-，即0AH AC AH AB ⋅-⋅=． ∴()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-． 如图（b ）所示，如果B 为钝角，有()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-∴sin sin b C c B =．上述关系对直角三角形显然成立[图（c ）] ∴sin sin sin a b cA B C==． （2）在ABC 中，BC AC AB =-．∴2222()()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅． 即2222cos a b c bc A =+-．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.2．（2020·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量a b ，，满足2b =，且b 与b a -的夹角为45°，则a 的取值范围是（ ） A ．(02⎤⎦，B ．)22⎡⎣，C ．（0，2]D ．)2∞⎡+⎣，【答案】D 【解析】如图所示，设AB b =，AC a =，∠CAB ＝45°，由图可知，当BC ⊥AC 时，a 的取值最小，此时，则2a =， 而a 没有最大值，故a 的取值范围为)2,⎡+∞⎣. 故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．4.（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：5．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 6．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 7.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=8．（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 9. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】3 【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．10.（2019·天津高考真题（理）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE(3y x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。

专题二 平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°．(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0．投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θb |b |＝(a ·b )b |b |2． (2)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．3．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．4．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2．(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2．考点一 求平面向量数量积【方法总结】平面向量数量积的两种求法(1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >．若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解；(2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0答案 B 解析 a·(2a －b )＝2|a|2－a·b ＝2×1－(－1)＝3．(2)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172答案 D 解析 由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172． (3)如图，已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且|AB →－AC →|＝23，|AB →＋AC →|＝26，点D 是△ABC 中边BC 的中点，则AB →·BD →＝________．答案 －3 解析 由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0得BC →与∠A 的平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →．又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝|AB →||BD →|cos(π－B )＝AD 2＋BD 2·3·(－cos B )＝33×(－33)＝－3． (4)(2016·天津)如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118答案 B 解析 由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2．因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18． (5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C 解析 连接OA ．在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON→－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6．(6)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A ．16B ．12C ．8D ．－4答案 A 解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3)．设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16． (7)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA→＝________．答案 4 解析 由题意可建立如图所示的坐标系．可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB→＋CP →·CA →＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．(8)如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP→＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－12答案 B 解析 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC →＝12OA →＋12OB →，所以OP →＝12OC →＝14(OA →＋OB →)，则AP →＝OP →－OA →＝14OB →－34OA →，所以AP →·OP →＝14(OB →－3 OA →)·14(OA →＋OB →)＝116(OB →2－3OA →2)＝116． 法二：以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0，1)，B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP →＝⎝⎛⎭⎫12，14，AP →＝⎝⎛⎭⎫12，－34，故AP →·OP →＝12×12－34×14＝116．(9)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案 1 解析 因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1． (10)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝________．答案 5 解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →．(AB→＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5．(11)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，DC ＝2，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，若向量AB →与DC →的夹角为60°，则AB →·EF →的值为________．答案 7 解析 EF →＝EA →＋AB →＋BF → ①，EF →＝ED →＋DC →＋CF → ②，由AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，有2EA →＋ED →＝0，，2BF →＋CF →＝0，，①×2＋②得2AB →＋DC →＝3EF →，所以EF →＝23AB →＋13DC →，则AB →·EF →＝AB →·(23AB →＋13DC →)＝23AB →2＋13AB →·DC →＝23×32＋13×3×2cos 60°＝7． (12)如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD →·BC →＝m ，AC →·BD →＝n ．若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1答案 D 解析 AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(－AB →＋AD →)＝－AB →2＋AB →·AD →－AB →·BC →＋AD →·BC →＝－AB →2＋AB →·(AD →－BC →)＋m ＝－AB →2＋AB →·(AB →＋BC →＋CD →－BC →)＋m ＝AB →·CD →＋m ．又EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF →＝AB →＋DC →，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB →·DC →，所以AB →·DC →＝－12，则AB →·CD →＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D ． (13)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ．记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3答案 C 解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3．∴I 3<I 1<I 2．(14)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－3 D ．－4答案 C 解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点，∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝⎛⎭⎫－12－12×4＝－3．【对点训练】1．已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________．1．答案 1＋2 解析 因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋ 2|a |·|b |cos 45°＝1＋2．2．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________． 2．答案 6 解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝6． 3．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．23．答案 A 解析 ∵|a |cos<a ，b >＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos<a ，b >＝3×4＝12．4．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6B ．10C ．5D ．104．答案 D 解析 ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝ 10，故选D ．5．(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．55．答案 A 解析 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．6．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 6．答案 A 解析 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32． 7．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10，记m i ＝AB 2→·AP i → (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．180B ．603C ．45D ．1537．答案 A 解析 由题意可知，∠B 2AC 3＝30°，∠AC 3B 3＝60°，∴AB 2→⊥B 3C 3→，即AB 2→·B 3C 3→＝0．则m i＝AB 2→·AP i →＝AB 2→·(AC 3→＋C 3P i →)＝AB 2→·AC 3→＝23×6×32＝18，∴m 1＋m 2＋…＋m 10＝18×10＝180． 8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C ．23D ．328．答案 D 解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32． 9．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________．9．答案 13解析 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2)．因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝⎛⎭⎫13，43，所以DE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13． 10．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________．10．答案 6 解析 如图，设BC 的中点为D ，则AD ⊥BC ，∴|AP |cos ∠P AD ＝AD ，AB →＋AC →＝2AD ―→．∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴AD ＝3，∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2×|AD →|×|AP →|×cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝2×(3)2＝6．11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．26911．答案 B 解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 12．答案 C 解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形，又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°，∴CA →·CB →＝|CA→||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3． 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A ．23B ．32C ．33D ．3 13．答案 D 解析 ∵在△ABC 中，AD ⊥AB ，∴AB →·AD →＝0，AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝AB →·AD →＋BC →·AD →＝BC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3(AD →－AB →)·AD →＝ 3 AD →·AD →－ 3 AB →·AD →＝3．14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．14．答案 5 解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝⎛⎭⎫12，32．设C (a ，0)．∵AC →·AB →＝－1，∴⎝⎛⎭⎫a －12，－32·⎝⎛⎭⎫－12，－32＝－12⎝⎛⎭⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4．∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12(BA →＋BC →)＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12，32＋(4，0)＝⎝⎛⎭⎫32，36．∴BO →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32，36·⎝⎛⎭⎫72，－32＝5． 15．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．615．答案 A 解析 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC ∵O 为△ABC 的外接圆圆心．∴S 、T 为AB ，AC 的中点，且AS →·SO →＝0，AT →·TO →＝0，AO →＝AS →＋SO →，AO →＝AT →＋TO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝AO →·AB →＋AO →·AC →＝(AS →＋SO →)·AB →＋(AT→＋TO →)·AC →＝AS →·AB →＋SO →·AB →＋AT →·AC →＋TO →·AC →＝12AB →·AB →＋12AC →·AC →＝12|AB →|2＋12|AC →|2＝8＋2＝10．故选A ． 优解：不妨设∠A ＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B (4，0)，C (0，2)，则O 为BC 的中点O (2，1)，∴AB →＋AC →＝2AO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝2|AO →|2＝2(4＋1)＝10．故选A ．16．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是 ( )A ．112B ．132C ．6D ．7 16．答案 B 解析 不妨设AM →＝23AB →＋13AC →，AN →＝13AB →＋23AC →，所以AM →·AN →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →) ＝29AB 2→＋59AB →·AC →＋29AC 2→＝29(AB 2→＋AC 2→)＋59AB →·AC →＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B ． 17．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________．17．答案 －9 解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2，∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6，∴CA →⊥AB →，即A ＝π2， 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则P A →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，此时P (2，1)，AP →＝(2，1)，此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9．18．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______． 18．答案 ±43 解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2．∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±43．19．(2013·全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________．19．答案 2 解析 因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB ) ＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2． 20．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．3C ．2D ．2320．答案 C 解析 因为AC →＝AB →＋AD →，所以AC →·AB →＝(AB →＋AD →)·AB →＝|AB →|2＋AD →·AB →＝1＋|AD →||AB →|cos 60°＝2．21．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．1221．答案 C 解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝(AB →＋23AD →)·(12AB →－13AD →)＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24．22．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．622．答案 C 解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－ 3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，故选C ． 23．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________． 23．答案 2 解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，∴AD →·AB →＝8×5×1120＝22，∴AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2． 25．在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________．25．答案 －7 解析 ∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，∴AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →＋DB →＝AC →－BD →，BC →＋AD →＝BD →＋DC →＋AC →＋CD →＝AC →＋BD →，∴(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝(AC →－BD →)(AC →＋BD ―→)＝AC →2－BD →2＝9－16＝－7．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO →·AE → ＝8，则AC →·BD →＝( )A ．－9B ．－293C ．－10D ．－32326．答案 解析 由DC →＝13AB →，可得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，AO →＝34AC →＝34 (AD →＋13AB →) ＝34AD →＋14AB →，又E 是BD 的中点，所以AE →＝12AD →＋12AB →，则AO →·AE →＝(34AD →＋14AB →)(12AD →＋12AB →)＝38AD 2→＋18AB 2→＋12AD →·AB →＝32＋92＋12AD →·AB →＝8，则AD →·AB →＝4，则AC →·BD →＝(AD →＋13AB →)·(AD →－13AB →)＝AD 2→－13AB 2→－23AD →·AB →＝4－13×36－23×4＝－323． 27．设△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，若P A →＋PB →＝CP →，则P A →·PB →＝( )A ．－92B ．－32C ．3D ．9 27．答案 A 解析 由题意P A →＋PB →＝CP →，△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，故P A →，PB →两向量的和向量的模是3，由向量加法的平行四边形法则知，P A →，PB →的夹角为120°，所以P A →·PB →＝3×3×cos 120°＝9×⎝⎛⎭⎫－12＝－92．故选A ． 28．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →＝( )A ．1B ．2C ．tD ．2t28．答案 A 解析 因为BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AC →|·|AD →|cos ∠CAD －|AC →|·|AB →|cos ∠CAB ．又AC 为圆的直径，所以连接BC ，DC (图略)，则∠ADC ＝∠ABC ＝π2，所以cos ∠CAD ＝|AD →||AC →|，cos ∠CAB ＝|AB →||AC →|，则AC →·BD ―→＝|AD →|2－|AB →|2＝t ＋2－(t ＋1)＝1，故选A ．考点二 已知平面向量数量积，求参数的值或判断多边形的形状 【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若BQ ·CP ＝－2，则λ等于( )A ．13B ．23C ．43D ．2答案 B 解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB→2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23． (2)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( )A ．12B ．1±22C ．1±102 D ．－3±222答案 A 解析 ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ) AC －AB ]·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1) AB ·AC ＋(1－λ)| AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12．(3)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF ．若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B 解析 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝(12BC →－BA →)(BC →＋1λBA →)＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B ． (4)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13答案 A 解析 法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos π3＝2，BD →·CP →＝(BA →＋BC →) ·(BP →－BC →)＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →]＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2，0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x ，0)，由BD →·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1．∵AP →＝λAB →，∴λ＝12．故选A ．(5)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C 解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．(6)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．非等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形答案 C 解析 因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB →|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝3B ＝π，所以B ＝π3，故△ABC 是等边三角形．(7)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形 答案 C 解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．(8)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6．则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A ．23B ．－23C ．56D ．－56答案 B 解析 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23．考点三 平面向量数量积的最值(范围)问题 【方法总结】数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________．答案 1＋2 解析 依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋2． (2)(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．答案 12 解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ．即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12．∴a ·b 的最大值为12．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．(4)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t(0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时等号成立．∴PB →·PC →的最大值等于13．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 另解：设圆心为O ，AB 的中点为D ，由题得AB ＝2×2×sin π6＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由题得⎩⎪⎨⎪⎧P A →＋PC →＝2PM →，PC →－P A →＝AC →，两方程平方相减并化简得PC →·P A →＝PM →2－14AC →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213． (6)(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132 解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．在四边形ABCD 中，作AO⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． (7) (2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2，6) B ．(－6，2) C ．(－2，4) D ．(－4，6)答案 A 解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2，0)，且－1<x <3．所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6)．另解 AB →的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB →的取值范围是(－2，6)，故选A ．(8)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92 解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，∵|PO→|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC→|＝32时，等号成立，故最小值为－92． 【对点训练】1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则P A →·PB →的最大值为( ) A ．9 B ．16 C ．18 D ．251．答案 B 解析 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴P A →·PB →＝ (PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12，∴P A →·PB →的最大值为16．2．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且 满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤32，2B ．⎝⎛⎭⎫32，2C ．⎣⎡⎭⎫32，2D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 2．答案 C 解析 以等腰直角三角形的直角边BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立平面直 角坐标系如图所示，则B (0，0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2，设M (a ，2－a )，则0＜a ＜1，N (a ＋1，1－a )，∴BM →＝(a ，2－a )，BN →＝(a ＋1，1－a )，∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2，∵0＜a ＜1，∴当a ＝12时，BM →·BN →取得最小值32，又BM →·BN →＜2，故BM →·BN →的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2．3．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动， 则ME →·MC →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤716，12B ．⎣⎡⎦⎤716，1C ．⎣⎡⎦⎤12，1 D ．[0，1] 3．答案 B 解析 如图，以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (0，1)，C (1，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12．设M (0，m )(0≤m ≤1)，则ME →＝⎝⎛⎭⎫12，12－m ，MC →＝(1，－m )．ME →·MC →＝12－m ⎝⎛⎭⎫12－m ＝m 2－12m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m －142＋716，由于m ∈[0，1]，则当m ＝14时，ME →·MC →取得最小值716；当m ＝1时，ME →·MC →取得最大值1．所以ME →·MC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤716，1．4．在△ABC 中，满足AB →⊥AC →，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值为________．4．答案 －12解析 ∵|AB →|＝|AC →|＝2，∴|AM →|＝1．设|OA →|＝x ，则|OM →|＝1－x ，而OB →＋OC →＝2OM →，∴OA →·(OB →＋OC →)＝2OA →·OM →＝2|OA →|·|OM →|cos π＝－2x (1－x )＝2x 2－2x ＝2⎝⎛⎭⎫x －122－12，当且仅当x ＝12时，OA →·(OB →＋OC →)取得最小值，最小值为－12．5．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－725．答案 C 解析 由AP →＝1a AC →＋a －1a AD →知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (0，2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，33x ，则P A →＝⎝⎛⎭⎫－x ，2－33x ，PB →＝⎝⎛⎭⎫23－x ，－33x ，PC →＝⎝⎛⎭⎫－x ，－33x ，∴PB →＋PC →＝⎝⎛⎭⎫23－2x ，－233x ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎝⎛⎭⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－258．6．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边， 在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC →·OB →的取值范围是________．6．答案 (0，3] 解析 设∠BAO ＝θ，θ∈(0°，90°)，则B (0，2sin θ)，C (2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120° －θ))，则OC →·OB →＝(0，2sin θ)·(2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120°－θ))＝2sin θ·2sin(120°－θ)＝23sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sin(2θ－30°)＋1．因为θ∈(0°，90°)，所以OC →·OB →∈(0，3]．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为________；DE ·DC 的最大 值为________．7．答案 1 1 解析 方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)， B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1．因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1．方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1．8．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．[]0，1 8．答案 C 解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1．又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1， 1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12， EC ＝(1－x ，1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12．因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32．9．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ， AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE →·CD →的取值范围为________．9．答案 [－1，0] 解析 以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0，1)，B (0，0)，C (1，0)，D (1，1)．当E 在DA 上时，设E (x ，1)，其中0≤x ≤1，∵DE →＝(x －1，0)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )，其中0≤y ≤1，∵DE →＝(－1，y －1)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE →·CD →的取值范围为[－1，0]；当E 在BC 上时，设E (x ，0)，其中0≤x ≤1，∵DE →＝(x －1，－1)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝－1．综上所述，DE →·CD →的取值范围为[－1，0]．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．10．答案 9 解析 设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1，0≤μ≤1．AM ＝AD＋12DC ＝12AB ＋AD ．所以AM ·AN ＝1)2AB AD （＋·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ．所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．11．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．11．答案 2 解析 在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，所以|AB →|·|AD →|·cos A ＝－1，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0，0)，B (2，0)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32．设M ⎝⎛⎭⎫x ，32，－12≤x ≤32，因为MA →＝⎝⎛⎭⎫－x ，－32，MB →＝⎝⎛⎭⎫2－x ，－32，所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14．设f (x )＝(x －1)2－14，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－12，32，所以当x ＝－12时，f (x )取得最大值2．12．如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，1B ．⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1，1] D ．[－1，0]12．答案 C 解析 ∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝2．如图所示，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为O ，则P A →＝PO →＋OA →，OA →·BD →＝0，∴P A →·BD →＝(PO →＋OA →)·BD →＝PO →·BD →．∴当点P 与点B 重合时，P A →·BD →取得最大值，即P A →·BD →＝PO →·BD →＝12×2×2＝1；当点P 与点D 重合时，P A →·BD →取得最小值，即P A →·BD →＝－12×2×2＝－1．∴P A →·BD →的取值范围是[－1，1]．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－13213．答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2．由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1．所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC→＋BE →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·CF →＝|AB →|·|BC →|cos 120°＋|BE →|·|BC →|－|AB →|·|CF →|＋|BE →|·|CF →|cos 60°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE →·BF →的最小值是46－13．14．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．。

平面向量的数量积与平面向量应用举例【课前回顾】1．向量的夹角和，则(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.【课前快练】1．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |的值为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3D ．3解析：选B 因为a ·b ＝|a ||b |c os 135°＝－122， 所以|b |＝－1224×⎝⎛⎭⎫－22＝6. 2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a－b )等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.3．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |＞|b |解析：选A ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直， 所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7. 答案：75．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |c os θ＝4×c os 120°＝－2. 答案：－2考点一 平面向量的数量积的运算考法(一) 利用数量积定义进行运算1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，解得m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 2．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |c os 60°＝210×10×12＝10.答案：103．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 2|2.其中|e 1|2＝|e 2|2＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·c os π3＝1×1×12＝12，所以b 1·b 2＝－6.答案：－6考法(二) 平面图形中数量积的运算 计算有关平面几何中数量积的方法(1)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(2)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算法则求得．4．(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋23AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫12AB ―→－13AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24.5．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0， 即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14.答案：146．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (c os α，sin α)，则AP ―→＝(c os α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(c os α＋2，sin α)＝2c os α＋4≤6，当且仅当c os α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法三：AO ―→·AP ―→表示AP ―→在AO ―→方向上的投影与|AO ―→|的乘积．当点P 在点B (1,0)处时，AO ―→·AP ―→有最大值，此时AO ―→·AP ―→＝2×3＝6.答案：6考点二 平面向量数量积的性质角度(一) 平面向量的模 求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2. (2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：由题意，a ·b ＝|a |·|b |c os 60°＝2×1×12＝1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×1＋4＝2 3. 答案：2 32.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.解析：AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|c os 60°＝1×3×12＝32，又AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，所以AO ―→2＝14(AB ―→＋AC ―→)2＝14(AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2)，即AO ―→2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA ―→|＝132. 答案：132角度(二) 平面向量的夹角 求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.[注意] 〈a ，b 〉∈[0，π]．3．(2018·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4解析：选A 因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×c os π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以c os 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析：选D ∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c ·a|c |·|a |＝c ·b|c |·|b |，∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.角度(三) 平面向量的垂直1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．5．(2018·湘中名校联考)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0， 即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1， 所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2.6．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：712【针对训练】1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2解析：选A 法一：a ＋b ＝(2λ＋2,2)，a －b ＝(－2,0)，由|a ＋b |＝|a －b |，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.法二：由|a ＋b |＝|a －b |，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，故a ·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.2．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：由题意，得(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝c os 60°，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：333．已知AB ―→·BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2，AD ―→·DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为________． 解析：由AB ―→·BC ―→＝0可知，AB ―→⊥BC ―→.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )， 则AD ―→＝(x －1，y )，DC ―→＝(－x,2－y )． 由AD ―→·DC ―→＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝54. 所以点D 在以E ⎝⎛⎭⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上． 因为|BD ―→|表示B ，D 两点间的距离，而|EB ―→|＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝52.所以|BD ―→|的最大值为|EB ―→|＋r ＝52＋52＝ 5.答案： 5考点三 平面向量与三角函数的综合平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．【典型例题】(2017·江苏高考)已知向量a ＝(c os x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [思维路径](1)要求x 的值，需得到x 的关系式．由已知条件及两向量共线的坐标表示可得到关于x 的三角函数式，进而求得x 的值．(2)要求f (x )的最值，需把f (x )的关系式表示出来，由已知条件及f (x )＝a ·b 可得到f (x )的关系式是三角函数式，进而把问题转化为三角函数的最值问题，可求解．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3c os x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3c os x －3sin x ＝23c os ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤c os ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.【针对训练】已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2c os ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴c os ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1. ∵0<A <π，∴π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， 所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2.【课后演练】1．(2018·洛阳第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．2D ．3解析：选D 依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，由(a ＋λb )·(2a －b )＝0，得2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，即－3λ＋9＝0，解得λ＝3.2．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且a ·(a －b )＝2，|a |＝2，则|b |等于( )A. 2 B ．2 3 C ．4D ．2解析：选D 因为a ·(a －b )＝2，所以a 2－a ·b ＝2，即|a |2－|a ||b |c a ，b ＝2，所以4－2|b |×12＝2，解得|b |＝2.3．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(x,4)，若(a －b )⊥c ，则c ·(a ＋b )＝( ) A ．(2,12) B ．(－2,12) C ．14D ．10解析：选C 由题意可得，a －b ＝(－4,1)，由(a －b )⊥c ，得(－4)×x ＋1×4＝0，即－4x ＋4＝0，解得x ＝1，所以c ＝(1,4)．又a ＋b ＝(2,3)，所以c ·(a ＋b )＝1×2＋4×3＝14.4．(2018·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×c os 45°＝2，∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.5．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( )A ．－12B.32－1C.12D.32解析：选A 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12. 6．(2018·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.7．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：328．(2018·张掖一诊)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |＝________. 解析：∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝0，解得2a ·b ＝1， ∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝ 3. 答案： 39．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 所以由(m ＋n )⊥(m －n )，得(m ＋n )·(m －n )＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)， 所以c os 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45.答案：4510.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝(OA ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋AC ―→·AB ―→＝2cos 3π4＋24×2＝－12. 答案：－1211．(2018·惠州三调)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0， 得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→， ∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|， ∴△ABC 是等腰三角形．12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )， 所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.13．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 法一：如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·|CA ―→|c os ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→|， 而c os ∠AOB ＝c os ∠COD <0， ∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2. 法二：如图，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (0,2)，C (2，0)． 设D (m ，n )， 由AD ＝2和CD ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋(n －2)2＝4，(m －2)2＋n 2＝9， 从而有n －m ＝54>0，∴n >m .从而∠DBC >45°，又∠BCO ＝45°，∴∠BOC 为锐角． 从而∠AOB 为钝角．故I 1<0，I 3<0，I 2>0. 又OA <OC ，OB <OD ，故可设OD ―→＝－λ1OB ―→ (λ1>1)，OC ―→＝－λ2OA ―→(λ2>1)， 从而I 3＝OC ―→·OD ―→＝λ1λ2OA ―→·OB ―→＝λ1λ2I 1， 又λ1λ2>1，I 1<0，I 3<0，∴I 3<I 1，∴I 3<I 1<I 2.14．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 方向上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．解析：因为a ·b ＝3＋3m ，|a |＝1＋3＝2，|b |＝9＋m 2，由|b |cos 〈a ，b 〉＝3，可得a ·b |a |＝3，故3＋3m 2＝3，解得m ＝3，故|b |＝9＋3＝23，故cos 〈a ，b 〉＝323＝32，即〈a ，b 〉＝π6，故向量a 与b 的夹角为π6.答案：π615．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA ―→＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．解析：由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA ―→⊥OB ―→，|OA ―→|＝|OB ―→|.由OA ―→⊥OB ―→，得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0， 所以|a |＝|b |＝1，由|OA ―→|＝|OB ―→|，得|a －b |＝|a ＋b |， 所以a ·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB ―→|＝|OA ―→|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.答案：116．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )． 解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7. 当k ＝－7时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．17．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长． (2)设实数t 满足(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB ―→＝(3,5)，AC ―→＝(－1,1)， 则AB ―→＋AC ―→＝(2,6)，AB ―→－AC ―→＝(4,4)． 所以|AB ―→＋AC ―→|＝210，|AB ―→－AC ―→|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为210，4 2. (2)法一：由题设知，OC ―→＝(－2，－1)， AB ―→－t OC ―→＝(3＋2t,5＋t )， 由(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.法二：由(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，得AB ―→·OC ―→＝t OC ―→2，又因为AB ―→＝(3,5)，OC ―→＝(－2，－1)，|OC ―→|＝5， 所以t ＝AB ―→·OC ―→|OC ――→|2＝3×(－2)＋5×(－1)(5)2＝－115.。

§5.3 平面向量的数量积学习目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ∥b 的充要条件 a ＝λb (λ∈R ) x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3， cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1， 解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135 B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝(1，3)·(3，4)32＋42＝1525＝35.教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案 1解析由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(7，2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.方法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝(7a＋2b)2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋(－sin β)2＝1， 所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2 ＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋(1＋3)2＋2×1×(1＋3)cos θ， 解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋(1＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×(1＋3)＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[](a ＋b )2－(a －b )2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋(－3)2＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2， 故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中， BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ， ∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ， DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。

专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=， 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为134a b c ===，，， 所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________． 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒， 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-， 即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====， 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内， 所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°， 所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果． 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ， 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4． 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用． 题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______． 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭， 所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（ ）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】 解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠， 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________． 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-， 因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得； 【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==， 又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-， 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（ ）A B C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（ ） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=， 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】 求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=， 即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ）AB C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=， 解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值． 【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】 求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯， 所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=， 扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0， 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭， 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可． 【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=， 故答案为：54． 例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（ ）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=； 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（ ）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==， 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可． 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-， 故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =， 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=， 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-， 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =， 又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-． 故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____． 【答案】12±【解析】 【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（ ） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=， 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量， 所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=， 故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=， 故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（ ） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确； 故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（ ） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =， 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，， 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（ ）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==， 作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______． 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心， 所以()13=+AO AB AC ， 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△， 即1134522AD ⨯⨯=⨯， 所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =． 方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ， 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ． 方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-， 当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

第3讲平面向量的数量积及应用举例最新考纲考向预测1.通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题趋势平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍是选择题与填空题.核心素养数学运算、逻辑推理1．向量的夹角(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°.特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．当θ＝180°时，a与b共线反向．当θ＝90°时，a与b互相垂直．2．向量的数量积(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．(2)数量积的几何意义条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)，结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．结论几何表示坐标表示向量的模|a|＝a·a |a|＝x21＋y21夹角余弦cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x2＋y2a⊥b充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y2常用结论1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．常见误区1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )(3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33D ．3解析：选B.a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，所以|b |＝－1224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6.3．(多选)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－2，4)，则( ) A ．a ∥b B ．(a ＋b )·a ＝－5 C ．b ⊥(a －b )D ．2|a |＝|b |解析：选ABD.因为1×4＝－2×(－2)，所以a ∥b ，又a ＋b ＝(－1，2)，所以(a ＋b )·a ＝－5.a －b ＝(3，－6)，b ·(a －b )≠0，所以C 错误，|a |＝5，|b |＝25，2|a |＝|b |，故选ABD.4．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ＝________． 解析：cos θ＝a·b |a||b|＝－632×6＝－32，又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6. 答案：5π65．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝|b |＝1，且a ⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos π3＝12，因为a ⊥(a －λb )，所以a ·(a －λb )＝|a |2－λa ·b ＝1－λ2＝0，所以λ＝2.答案：2平面向量数量积的运算(1)(2021·内蒙古赤峰二中、呼市二中月考)已知向量a ，b 的夹角为π3，若c ＝a |a|，d ＝b |b|，则c ·d ＝( ) A.14B ．12 C.32 D ．34(2)(多选)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB→|，下列结论正确的是( ) A.CA→在CB →方向上的投影长为－ 3 B.OA →·AB →＝OA →·AC →C.CA→在CB →方向上的投影长为 3 D.OB →·AB →＝OC →·AC→ 【解析】 (1)c ·d ＝a |a|·b |b|＝|a||b|cos a ，b |a||b|＝cos π3＝12.故选B.(2)由OA→＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又O 为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB→|＝|OA →|，又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 为正三角形．因为△ABC 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以∠ACB ＝π6，所以CA →在CB →上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝3，故C 正确．因为OA →·AB→＝OA →·AC →＝－2，OB →·AB →＝OC →·AC→＝2，故B ，D 正确．【答案】 (1)B (2)BCD计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．1．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1，2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55 B ．－55 C ．－255D ．－355解析：选D.由a ＝(1，2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2，所以a ·b ＝－3，所以向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.故选D.2．(2020·重庆第一中学月考)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a ，c 的数量积为( )A ．0B ．－2a 2C ．2a 2D ．－a 2解析：选A.由非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，所以a ·c ＝a ·[－(a ＋b )]＝－a 2－a ·b ＝－a 2－|a |·|b |·cosa ，b．由于a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，所以a ·c ＝－a 2－|a |·|b |cos 120°＝－|a |2－2|a |2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.故选A.3．(一题多解)(2020·武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝π2，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上一点，且BP ＝2P A ，那么CP →·CA →＋CP →·CB→＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解析：选D.通解：由已知得|CA →|＝|CB →|＝2，CA →·CB→＝0，AP →＝13(CB →－CA →)，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(CA →＋AP →)·CA →＋(CA →＋AP →)·CB →＝|CA →|2＋AP →·CA →＋CA →·CB →＋AP →·CB →＝|CA →|2＋13(CB →－CA →)·(CB→＋CA →)＝|CA →|2＋13|CB →|2－13|CA →|2＝22＋13×22－13×22＝4. 优解：由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，2)，设P (x ，y )．因为BP ＝2P A ，所以BP →＝2P A →，所以(x ，y －2)＝2(2－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝23，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(43，23)·(2，0)＋(43，23)·(0，2)＝4.故选D.平面向量数量积的应用角度一 求两平面向量的夹角(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos〈a ，a ＋b 〉＝( )A ．－3135B ．－1935 C.1735D ．1935(2)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉＝( )A.73 B ．23 C.79D ．29【解析】 (1)由题意，得a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝25－6＝19，|a ＋b |＝a2＋2a·b ＋b2＝25－12＋36＝7，所以cosa ，a ＋b＝a·（a ＋b ）|a||a ＋b|＝195×7＝1935，故选D.(2)因为a ，b 是单位向量，所以|a |＝|b |＝1.又因为a ·b ＝0，c ＝7a ＋2b ，所以|c |＝（7a ＋2b ）2＝3，a ·c ＝a ·(7a ＋2b )＝7， 所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a||c|＝73.因为〈a ，c 〉∈[0，π]，所以sin 〈a ，c 〉＝23.故选B. 【答案】 (1)D (2)B求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系．(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x1x2＋y1y2x21＋y 21·x 2＋y 2.角度二 求平面向量的模(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB →与AC →的夹角为60°，则|MA→|＝________．【解析】 因为M 为BC 的中点，所以AM→＝12(AB →＋AC →)，所以|MA→|2＝14(AB →＋AC →)2 ＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝134， 所以|MA→|＝132. 【答案】 132求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a |＝a2＝a·a ，|a ±b |＝（a±b ）2＝a2±2a·b ＋b2. (2)坐标法：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x2＋y2.(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．[提醒] (1)求形如m a ＋n b 的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算． (2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．角度三 两平面向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP→＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0， 所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】 712有关平面向量垂直的两类题型根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |＝( ) A ．22 B ．25 C.17D ．15解析：选 C.因为a －b ＝(3，2)，所以|a －b |＝5，所以|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5－2a ·b ＝5，则a ·b ＝0，所以|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝17，所以|a ＋2b |＝17.故选C.2．(多选)设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 解析：选ABD.对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题； 对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |， 得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题． 对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0， 因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |， 所以D 不正确． 故选ABD.3．(一题多解)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE→，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________． 解析：方法一：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.方法二：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.答案：－1010向量数量积的综合应用在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．【解】 (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． Ｋ在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3. (2)由AD→＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD→＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD→|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.②由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝23.核心素养系列4 逻辑推理——平面向量与三角形的“四心”三角形的“四心”：设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA→＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔a OA→＋b OB →＋c OC →＝0. 类型一 平面向量与三角形的“重心”问题已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP→＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC→]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点【解析】 取AB 的中点D ，则2OD→＝OA →＋OB →， 因为OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， 所以OP→＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，所以P ，C ，D 三点共线，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 【答案】 C类型二 平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP→＝xOB →＋yOC→，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463 C ．43D ．62【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463. 【答案】 B类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【解析】 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC→|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．【答案】 B类型四 平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO→＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫45，35 B ．⎝⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－35，45【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC→， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB→. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB→＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB→＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB2→， 所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③把③代入①，②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.【答案】 A[A 级 基础练]1．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D ．32解析：选A.c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，所以k ＝－32.2．若向量OF1→＝(1，1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A.10 B ．25 C.5D ．15解析：选 C.由于F 1＋F 2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝（－2）2＋（－1）2＝5.3．(2020·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.109 B ．259 C.269D ．89解析：选A.方法一：因为|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即∠BAC ＝90°.所以AE →·AF →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13（AC →－AB →）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC →－13（AC →－AB →）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB→＋13AC →·(23AC →＋13AB →)＝29AB →2＋29AC →2＝109，故选A.方法二：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即AB→⊥AC →，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，1)，E (23，23)，F (43，13)，所以AE →·AF →＝(23，23)·(43，13)＝89＋29＝109，故选A.4．(多选)在△ABC 中，下列命题正确的是( ) A.AB→－AC →＝BC →B.AB→＋BC →＋CA →＝0 C ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形D ．若AC→·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形 解析：选BC.由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →；AB →＋BC →＋CA →＝0，故A 错，B对；因为(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB→|2＝|AC →|2，即AB ＝AC ， 所以△ABC 为等腰三角形，故C 对；因为AC →·AB →>0，所以角A 为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC. 5．(2020·安徽示范高中名校月考)已知a ，b ，c 均为单位向量，a 与b 的夹角为60°，则(c ＋a )·(c －2b )的最大值为( )A.32 B ．3 C ．2D ．3解析：选B.设c 与a －2b 的夹角为θ.因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，所以|a －2b |＝3，所以(c ＋a )·(c －2b )＝c 2＋c ·(a －2b )－2a ·b ＝1＋|c ||a －2b |cos θ－1＝3cos θ，所以(c ＋a )·(c －2b )的最大值为3，此时cos θ＝1.故选B.6．(2020·湖南、河南、江西3月联考)设非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，a ·(a －b )＝16，则|b |＝________． 解析：因为|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，所以a ·(a －b )＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.答案：27．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：因为|a |＝|a ＋2b |， 所以|a |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2， 所以a ·b ＝－|b |2， 令a 与b 的夹角为θ.所以cos θ＝a·b |a||b|＝－|b|23|b||b|＝－13. 答案：－138．(2020·新高考卷改编)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB→的取值范围是________． 解析：AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|·cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影，所以结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小．又AC →·AB →＝23×2×cos 30°＝6，AF →·AB →＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，AP →·AB→∈(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝52.(2)由题意得，a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3，所以b ＝(1，－3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22，因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 的夹角是π4.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC→＝0，求t 的值．解：(1)由题设知，AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)方法一：由题设知，OC→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.方法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115. [B 级 综合练]11．(多选)(2020·山东九校联考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE→＋OC →＝0 C ．|OA→＋OB →＋OC →|＝32 D.ED→在BC →方向上的投影为76 解析：选BCD.由题意知E 为AB 的中点，则CE ⊥AB ，以E 为原点，EA ，EC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO→＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，因为BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ， 解得y ＝32，即O 是CE 的中点，则OE→＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA→＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确； 因为CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，所以选项A 错误；ED→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)． 故ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．故选BCD.12．(2020·山东济宁一中月考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP→＝m AC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为( )A. 2 B ．43 C ．3D ． 3解析：选 D.令CP→＝k CD →(0<k <1)，则AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋k CD →＝AC →＋k (AD →－AC →)＝AC →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－AC →＝2k 3AB →＋(1－k )AC→＝m AC →＋12AB →，所以1－k ＝m ，2k 3＝12，所以m ＝14，因为△ABC 的面积为23，所以12|AC →|·|AB →|·32＝23，所以|AC →|·|AB→|＝8，所以|AP →|＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋18|AC →||AB →|＝1＋116|AC →|2＋16|AC →|2≥3，当且仅当|AC→|＝4时取“＝”，所以|AP →|的最小值为 3.故选D.13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB→⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →； (2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB→＝(n －8，t )， 因为AB→⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0. 又因为5|OA →|＝|AB →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB→＝(24，8)或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC→＝(k sin θ－8，t )，因为AC→与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k . 因为k >4，所以0<4k <1，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ， 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)， 所以OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.14．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC→＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC→＋OD →|有最小值，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC→＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以当θ＝π8时，m ·n 取得最小值，为1－2.[C 级 创新练]15．在Rt △ABC 中，∠C 是直角，CA ＝4，CB ＝3，△ABC 的内切圆与CA ，CB分别切于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若CP →＝xCD →＋yCE →，则x ＋y 的值可以是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B.设△ABC 内切圆的圆心为O ，半径为r ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，所以3－r ＋4－r ＝5，解得r ＝1，故CD ＝CE ＝1，连接DE ，则当x ＋y ＝1时，P 在线段DE 上，但线段DE 均不在阴影区域内，排除A ；在AC 上取点M ，在CB 上取点N ，使得CM ＝2CD ，CN ＝2CE ，连接MN ，所以CP→＝x 2CM →＋y2CN→，则当点P 在线段MN 上时，x 2＋y 2＝1，故x ＋y ＝2.同理，当x ＋y ＝4或x ＋y ＝8时，点P 不在△ABC 内部，排除C ，D ，故选B.16．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin a ，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ，则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ>0，则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是________．解析：①恒成立，②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin a ，b，(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sina ，b，当λ<0时，λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立，③a ＝λb ，则sin a ，b＝0，故a ⊗b ＝0恒成立，④a ＝λb ，且λ>0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin b，c＋|b|·|c|sin b，c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．答案：①③④。

平面向量数量积（讲案）一、平面向量数量积【知识点】1. 向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，记,OA a OB b ==，则(0180)AOB θθ∠=︒≤≤︒叫做a 与b 的夹角。

2. 数量积的定义：已知两个非零向量,a b ，它们的夹角为θ，则||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=。

3. 数量积的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

4. 平面向量数量积的性质：两个非零向量,a b ，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则：①||cos a e e a a θ⋅=⋅= ②0a b a b ⊥⇔⋅=③ 当a 与b 方向相同时，||||a b a b ⋅=，特别地2||||a a a a ==⋅；当a 与b 方向相反时，||||a b a b ⋅=− ④cos ||||a ba b θ⋅=⑤ ||||||a b a b ⋅≤5. 平面向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y ==，它们的夹角为θ，则： ①1212a b x x y y ⋅=+ ②21||a x y =+③cos θ=④121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 【例题讲解】★☆☆例题1．已知(1,1),(1,2)a b =−=−，则(2)a b a +⋅=（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：(2)(1,0)(1,1)1a b a +⋅=⋅−=★☆☆练习1．在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD =−=，则AD AC ⋅=（）A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+，()(2,1)(3,1)5AD AC AD AB AD ⋅=⋅+=⋅−=★☆☆练习2．已知(1,3),(3,1)a b ==，则a 与b 夹角的大小为 ． 答案：30︒ 3,2||||a b a b a b ⋅>==⋅，,30a b <>=︒ ★☆☆例题2. 设,x y R ∈，(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===−，且,//a c b c ⊥，则||a b +=（ ）A.B.10C. D. 10答案：B 解析：,//2,2a c b c x y ⊥∴==−(2,1)(1,2)(3,1),||10a b a b +=+−=−+=★★☆练习1. 设向量,a b 满足||10,||6a b a b +=−=，则a b ⋅=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5答案：A解析：使用极化恒等式221[()()]14a b a b a b ⋅=+−−= ★★☆练习2. 若非零向量,a b 满足||3|||2|a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为 。

课时分层作业二十八平面向量的数量积及应用举例一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,m),b=(3,-2)且(a-b)⊥b,则m= ( )A.-8B.-5C.5D.82.已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( )A. B.2 C.4 D.123.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,则|a-b|= ()A. B. C.2 D.4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=( )A. B.C. D.【一题多解】选A.如图建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设P(x1,0),Q(x2,y2),由=λ,得x1=2λ-1,由=(1-λ),得x2=-λ;y2=(1-λ),于是=(-λ-1,(1-λ)),=(2λ-1,-),由·=-得:(-λ-1)(2λ-1)-3(1-λ)=-,解得λ=.【变式备选】在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和点F分别在线段BC和CD上,且=,=, 则·的值为________.5.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b 满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( )A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥二、填空题(每小题5分,共15分)6.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角θ的余弦值为________.7.(2018·济南模拟)已知A(-1,c os θ),B(sinθ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角θ=________.【一题多解】坐标法:+=(sin θ-1,cos θ+1),-=(-sin θ-1,cos θ-1),由|+|=|-|可得(sin θ-1)2+(cos θ+1)2=(-sin θ-1)2+(cos θ-1)2,整理得sin θ=cos θ,于是锐角θ=.【变式备选】已知a=(1,1),b=(c os α,sinα).若a ∥b,则α=________.8.对任意平面向量a,b,下列关系式中恒成立的是________.(填序号)①|a·b|≤|a||b|;②|a-b|≤||a|-|b||;③(a+b)2=a2+b2+2a·b;④(a+b)·(a-b)=a2-b2.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知平面向量a=(,-1),b=.(1)证明:a⊥b.(2)若存在不同时为零的实数k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-k a+t b,且c ⊥d,试求函数关系式k=f(t).10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ.(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求△ABC的面积.【变式备选】已知a=(c os α,sinα),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若|a-b|=,求证:a⊥b.(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.1.(5分)已知平面向量a,b,若|a|=,|b|=2,a与b的夹角θ=,且(a-m b)⊥a,则m= ( )A. B.1 C. D.22.(5分)(2018·济南模拟)设非零向量a与b的夹角是,且|a|=|a+b|,则的最小值是 ( )A. B. C. D.3.(5分)在△ABC中,已知AB=3,BC=2,D在AB上,=,若·=3,则AC的长是________.4.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.5.(13分)(2018·石家庄模拟)已知A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c 所对的角,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),且m·n=sin 2C.(1)求角C的大小.(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·(-)=18,求边c 的长.。