沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.4 (1)无理方程 教案

沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章的内容，本节内容是在学生学习了二元一次方程组的基础上进行的。

二元二次方程组是实际问题中常见的数学模型，对于学生来说，掌握二元二次方程组的知识，不仅可以帮助他们解决实际问题，还可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二元一次方程组，对解方程组有一定的了解。

但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上都有很大的不同，所以学生可能需要一定的时间来适应和理解。

同时，学生对于解决实际问题的能力也各不相同，需要老师在教学中进行因材施教。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二元二次方程组的定义，了解二元二次方程组的解法，能够运用二元二次方程组解决实际问题。

2.过程与方法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对困难，勇于挑战的精神。

四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，二元二次方程组的解法。

2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，以及如何运用二元二次方程组解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。

2.小组合作教学法：通过小组讨论，培养学生的团队协作能力，提高学生解决问题的能力。

3.案例教学法：通过分析具体案例，使学生更好地理解二元二次方程组的应用。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。

2.准备PPT，用于呈现和讲解二元二次方程组的相关知识。

3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）老师通过设置一个实际问题，引出二元二次方程组的概念。

例如，某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元，顾客购买商品A和B的数量分别为a和b，已知该商店一天的总销售额为1500元，请问顾客购买了这两种商品的数量分别是多少？2.呈现（10分钟）老师通过PPT呈现二元二次方程组的定义和解法，让学生了解二元二次方程组的形式和求解方法。

24.1（1）无理方程教学目标（1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.（2）经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.（3）知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.教学重点及难点重点：只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；难点：对无理方程产生增根的理解.教学过程设计一、问题引入1．思考 直角坐标系中,点A(x ,5)与点B(3,1)之间的距离为5.怎样求点B 的坐标？解：5)15()3(22=-+-x2．观察上述方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？二、新课学习1. 归纳概念（1）方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.（2）整式方程和分式方程统称为有理方程.（3）有理方程和无理方程统称为代数方程.（4）代数方程的分类：整式方程有理方程分式方程 代数方程无理方程2. 辨析概念下列关于x 的方程中，无理方程有________________(填序号).[说明]关于无理方程的概念，课本通过实例引出，引导学生观察、思考以后，揭示无理方程的内涵，但课本引例学生可能不利用无理方程也能解决，为体现无理方程的存在和学习它的必要性，所以改成了利用两点之间距离公式列方程的问题作为引例；并在概念得出之后，联系代数式的分类，补充对所学过的方程进行分类，简单地介绍了代数方程的系统，帮助学生完整认识代数方程.3. 思考与尝试 怎样解方程43+=x x ？4. 归纳方法无理方程 有理方程5．提问解得有理方程的根1,421-==x x ，它们都是原方程的根吗?６．讨论方程43+=x x 的根究竟是什么？怎样知道4=x 是原方程的根，而1-=x 不是原方程的根？ ７．结论（1）无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围。

（如：,22-≠但22)2(2-=），因此可能产生增根，必须进行检验。

无理方程
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《无理方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过《无理方程》的学习，使学生能够：1. 理解无理方程的概念和基本性质。

2. 掌握无理方程的求解方法和步骤。

3. 能够运用所学知识解决简单的无理方程问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、作业内容1. 预习无理方程的定义及常见形式，尝试自己解决课本上的相关练习题目，标记出理解困难的题目。

2. 学习无理方程的基本求解步骤：先找到合适的二次方程表示，再进行实数与复数范围内的解算，对于部分含特定表达式的题目进行技巧性的解答。

3. 通过大量典型题型的解析练习，让学生对无理方程的解题技巧有深入理解。

题型包括但不限于选择题、填空题、计算题等。

具体内容如下：（1）选择适当的解题方法解决多个含无理数运算的练习题。

（2）学习如何通过代入法、移项法等手段，化简并求解无理方程。

（3）对涉及多个未知数的无理方程进行分组求解，如分组换元法等。

（4）对含有绝对值符号的无理方程进行解析，掌握去绝对值符号的技巧。

4. 针对作业中遇到的困难题目进行思考和总结，并尝试自行解决或与同学讨论解决。

三、作业要求1. 独立完成作业，不得抄袭他人答案或互相讨论。

2. 认真审题，理解题目要求，按照步骤进行解答。

3. 作业书写工整，计算过程清晰，答案准确无误。

4. 对于有疑问的题目，可以标记出来，并在课堂讨论时提出。

5. 及时上交作业，按照老师的要求完成修改和订正。

四、作业评价1. 教师根据学生提交的作业情况进行评分，评价标准包括准确性、完整性、书写规范等。

2. 对学生完成较好的题目进行表扬和鼓励，对错误较多的题目进行批改和指导。

3. 对于学生在作业中遇到的困难和问题，及时给予解答和指导，并鼓励学生主动提问。

4. 定期进行作业反馈和总结，针对学生的普遍问题进行针对性的辅导和讲解。

五、作业反馈1. 学生在提交作业后，应及时关注自己的成绩和教师的批改意见。

2. 教师对学生的作业进行全面分析，了解学生的学习情况和问题所在，制定针对性的教学方案。

2024春八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制一. 教材分析21.4无理方程2是沪教版八年级数学下册中的一节内容。

本节课主要让学生掌握无理方程的解法，提高学生解决实际问题的能力。

教材通过引入丰富的实例，引导学生探究无理方程的解法，并总结出解题规律。

本节课的内容对于学生来说具有一定的挑战性，需要学生熟练掌握实数的运算规则，并能灵活运用到无理方程的求解中。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数的相关知识，对实数的运算规则有一定的了解。

同时，学生也掌握了方程的基本解法，具备了一定的逻辑思维能力。

但是，对于无理方程的解法，学生可能还存在一定的困惑，对无理方程的求解方法不熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

三. 教学目标1.让学生理解无理方程的概念，掌握无理方程的解法。

2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3.引导学生运用无理方程的解法解决生活中的问题，感受数学与生活的紧密联系。

四. 教学重难点1.教学重点：无理方程的解法及其应用。

2.教学难点：无理方程的求解过程，以及如何将实际问题转化为无理方程。

五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导学生思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的问题解决能力。

2.案例分析法：教师通过引入丰富的实例，让学生在实际问题中感受无理方程的解法，提高学生的应用能力。

3.小组合作学习：教师学生进行小组讨论，让学生在合作中交流思路，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究无理方程的解法。

2.设计好课堂练习题，巩固学生对无理方程解法的掌握。

3.准备好课件，用于辅助讲解和展示无理方程的解法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习实数的相关知识，引导学生回顾实数的运算规则。

然后，教师引入无理方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）教师展示无理方程的实例，引导学生观察和分析无理方程的特点。

21.4（1）无理方程教学目标：知道无理方程、代数方程的概念，并会识别无理方程；经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想；知道解无理方程的一般步骤，会解简单的无理方程，知道验根是解无理方程的重要步骤，掌握验根的常用方法。

教学重点：掌握简单的无理方程的解法。

教学难点：了解无理方程产生增根的原因。

原方程的解 是增根，舍去写出原方程的解，结束四、课堂小结 本节课你的收获是什么？1、通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？ 无理方程的概念；无理方程的解法，通过平方将无理方程化归为有理化求解。

无理方程产生增根的原因。

2、你领悟了哪些常用数学思想与方法？ 类比法，化归思想。

师生共同小结使学生既学习了知识，又培养了能力，同时也对无理方程的解法有了整体的认识，为下节课打下良好的基础。

五、布置作业1、必做题：完成练习册P18-19习题21.4(1)2、选做题：问题1中，解列出的方程 302552=+++x x 后，可求得另一直角边的长是多少？分层布置作业，满足不同学生的需求，选做题供有能力的学生做，开拓学生思维，锻炼学生的逻辑思维能力。

教学设计说明本节课通过具体事例和学生已有的知识出发，对无理方程进行基本概念的教学。

学生根据实际问题中的数量关系列出方程，在对新方程的分析和旧方程的比较中形成概念，学生感受学习方程知识的实际意义，体会到已有方程的不足，认识到确实有必要拓展和探究新方程的知识，以此来调动学生学习的积极性，并增强将方程用于解决实际问题的意识。

一、加强学习指导，帮助学生突破难点通过探索无理方程的解法，引导学生积极思考，不断总结，逐步领会其中蕴含的数学思想，掌握解无理方程的解法，在解无理方程的过程中可能会产生增根是难点，因此对于具体方程的求解过程，深入浅出的说明产生增根的原因，让学生意识到验根是解无理方程的必要步骤，进而掌握验根的方法。

二、关注过程评价，促进学生主动学习帮助学生对方程的概念系统进行整理，形成关于代数方程系统的整体认识。

沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章“方程与不等式”的第四节内容。

本节课的主要内容是让学生掌握二元二次方程组的定义、解法及应用。

通过学习，学生能理解二元二次方程组的概念，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。

教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。

二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了二元一次方程组的相关知识，对解方程组有一定的基础。

但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上有较大的区别，需要学生重新建立认知结构。

此外，学生需要进一步培养抽象思维能力、问题解决能力和合作交流能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：理解二元二次方程组的定义，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生抽象思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，代入法、消元法求解二元二次方程组。

2.难点：理解二元二次方程组的解法及应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究二元二次方程组的解法，培养学生的抽象思维能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作交流能力。

4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二元二次方程组的相关概念、解法及应用。

2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。

如：某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元。

代数方程复习课教学目标:（1）进一步理解代数方程的概念；会用换元法、因式分解的方法解某些简单的高次方程。

掌握分式方程（组）和简单的无理方程的解法，知道“验根”是解分式方程（组）和无理方程的必要步骤及验根的基本方法。

掌握代入消元法、因式分解法解二元二次方程组。

（2）通过对本章的复习，经历整式方程从低次到高次以及从整式方程到分式方程、再到无理方程的扩展过程，探索并获得各类简单方程的解法，领会贯穿其中中化归的数学思想和消元、降次的数学方法。

教学重点重点是进一步复习巩固特殊的高次方程的解法和简单的分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法。

教学难点:难点是对分式方程和无理方程有可能产生增根的理解。

221619.,242x x x x +-=--+分式方程原方程可化为整式方程为_____________ 223310.20,+1__________y x x x xy +-+==用换元法解分式方程设原方程可化为关于的整式方程为_____________11.3-2x-3,x =无理方程原方程可化为整式方程为_____________2x 3012.,_______20y y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组本题宜采用法消元后关于的方程是_____________22222222x 32013.,50x 2055xy y x y x y y x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩-=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解方程组本题宜采用__________法，原方程可化为以下两个方程组或可化为整式方程为_____________ （二）请同学们判断解题过程的正确性，如果错误请指出错误的地方 下面是平时作业中同学的解题过程，请大家观察，找出解题过程中的错误，并说出为什么错，如何改正（题目附在PPT 上学生通过观察找错，并说明错误原因．展示平时作业中容易出现的问题，以轻松的形式找错，激发学生学习的兴趣，反思自己解题过程中的错误． 三、课堂小结通过学习这节课，你有什么收获吗？1.代数方程的分类.2.代数方程概念及解法复习学生自谈收获学生整理思路，及时查漏补缺. 四、思考提高21.(2)31x a x a x --=+解关于的方程22.y y=4290x a xx y -⎧⎨-+=⎩讨论关于，的二元二次的方程组解的情况应用知识思考作答 展示学生答案拓展提高五、作业布置一课一练单元二十一328.20,x x --=解方程x 本题可以采用____________法板书：代数方程复习课后反思本节课的亮点在于利用类比思想对代数方程进行分类,利用化归思想对代数方程进行求解,通过学生实践,潜移默化地掌握数学思想的运用,遗憾的是纠错部分由于时间问题,没有让学生的思维进行充分碰撞,可能仅仅适合于部分学生.。

《无理方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生掌握无理方程的基本概念、解题方法及技巧，通过实际操作练习，提高学生的数学思维能力及解题能力，为后续学习打下坚实的基础。

二、作业内容（一）无理方程基本概念及解题方法1. 理解无理方程的定义及特点，如根号、对数等出现的无理式子；2. 掌握无理方程的基本解法，如开平方根法、求近似解法等；3. 完成几个基础题目，熟悉解题思路及方法。

（二）练习题目及分析1. 题目设计：选择适当难度的题目，如“已知某数开平方等于根号2的x次方，求x的值”；2. 练习题目需具有代表性，能反映学生对无理方程的掌握程度；3. 要求学生按照步骤和思路，逐一分析题目，理解并掌握解题方法。

（三）综合运用与拓展1. 引导学生运用所学知识解决实际问题，如利用无理方程求解实际生活中的问题；2. 拓展学生思维，设计一些具有挑战性的题目，如多变量无理方程的求解等；3. 鼓励学生自主探索、尝试不同的解题方法，培养其创新思维和解决问题的能力。

三、作业要求1. 学生需认真阅读教材内容，理解无理方程的基本概念及解题方法；2. 完成所提供的练习题目，并按照步骤和思路进行分析和解答；3. 完成综合运用与拓展部分，尝试解决实际问题并拓展思维；4. 作业需按时完成，字迹工整，步骤清晰。

四、作业评价1. 教师根据学生作业完成情况进行评价，注重过程和结果的综合评价；2. 对学生的理解和解题方法进行评价，并给出指导和建议；3. 对于有创意和新颖解法的同学给予表扬和鼓励；4. 根据学生作业情况调整教学策略和内容。

五、作业反馈1. 教师及时批改作业，将学生的错误和不足进行记录和整理；2. 对学生的疑问和困惑进行解答和指导；3. 根据作业反馈调整后续教学计划和重点内容；4. 将优秀的作业展示给全班同学，激励其他学生向其学习。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生在第一课时所学的无理方程基础知识，通过实际问题的解决，加深学生对无理方程解法及应用的理解，提高其解决实际问题的能力。

沪教版数学八年级下册21.3《无理方程》教学设计一. 教材分析《无理方程》是沪教版数学八年级下册第21.3节的内容，主要介绍了无理方程的定义、特点和解法。

无理方程是指含有无理数的方程，它的解通常不是有理数，需要采用特殊的方法来求解。

本节内容是在学生学习了实数、平方根等知识的基础上进行的，为后续学习函数、不等式等知识打下了基础。

二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了有理数的运算、平方根等知识，对实数的概念有一定的了解。

但是，对于无理数和无理方程的概念可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。

同时，学生可能对无理方程的解法感到困惑，需要通过具体的例题和讲解来掌握解题方法。

三. 教学目标1.了解无理方程的定义和特点，能够识别和理解无理方程。

2.掌握无理方程的解法，能够独立解简单的无理方程。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重难点：无理方程的定义和特点，无理方程的解法。

2.难点：理解无理方程的解法，能够灵活运用解法解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和讨论引导学生思考和探索无理方程的定义和特点。

2.通过具体的例题和讲解，让学生掌握无理方程的解法，并能够独立解题。

3.采用小组合作和讨论的方式，让学生互相交流和分享解题经验，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材，包括无理方程的定义和特点的示例，以及无理方程的解法的示例和练习题。

2.准备黑板和粉笔，用于板书和展示解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问和讨论，引导学生回顾实数和平方根的知识，激发学生的学习兴趣，引出无理方程的概念。

2.呈现（15分钟）介绍无理方程的定义和特点，通过具体的示例让学生理解无理方程的形式和性质。

同时，展示无理方程和解法的相关知识，让学生初步了解无理方程的解法。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，进行一些简单的无理方程的练习题，让学生亲自动手解题，巩固对无理方程解法的理解和掌握。

无理方程【学习目标】1、理解无理方程的概念，会区分有理方程和无理方程。

2、会用在方程两边平方的方法解可以化为一元一次方程或一元二次方程的无理方程，并会验根。

3、知道用换元法解无理方程的条件，会用换元法把某些特殊的无理方程化为有理方程。

4、通过无理方程有理化的过程，知道验根是解无理方程的必要步骤，领会转化思想在解无理方程中的作用，掌握无理方程验根的基本方法。

5、会正确判定无理方程是否有实数解。

【例题精讲】例1：以下关于x 的方程，为无理方程的是〔 〕 A 、02332=+-x x B 、12112=-+-x x C 、0755122=+-x x D 、c bx x a =+1 考点：无理方程的概念分析：根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程． 解答：选项A 中的根号内不含未知数，此方程为整式方程； 选项B 中的根号内不含未知数，此方程为分式方程；选项D 中的根号内虽含有字母，但只是常数并非未知数，所以也不是无理方程，此 方程为分式方程；选项C 中的根号内含有未知数x ，符合无理方程的定义，所以该题答案为C 。

点评：此题主要考查无理方程的定义，关键在于分析各方程的根号内是否含有未知数．例2：解方程：1212-=-x x考点：解无理方程分析：两边直接平方把根号去掉，把无理方程转化为有理方程来求解，最后把所得的解代回 原方程中进行检验。

解答：两边平方得1212-=-x x ， 整理后得022=-x x ，解得2,021==x x检验：分别代入原方程检验得01=x 时根号内的数为负数不成立，为增根舍去， 故原方程的根为x =2。

点评：解无理方程的基本方法是把方程两边同时平方，这样可能使未知数的允许取值范围扩大，于是就有可能产生增根，所以在解答此类题目时一定要注意验根。

例3：解方程：x x =++1052考点：解无理方程分析：把方程移项后，两边平方求解，最后把所得的解代回原方程中进行检验。

21.4无理方程（1）教学目标：1．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念． 2．经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想．3．知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法．教学重点及难点：无理方程的解法． 教学过程：教师活动学生活动设计意图 我们已经学习了整式方程、分式方程，还有没有其它类型的方程呢？一、问题引入已知平面直角坐标系内的A 、B 两点，其中点A 坐标()1,3，点B 是x 轴上的点，且A 、B 两点间的距离等于5，求点B 的坐标．问：方程()2195x -+=有什么特点？与前面所学的方程有什么不同？ （如果学生未说完整，用一个例子让学生加以区别，如：532x +=．）二、新课学习 1．无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 例如：62x -=、3221x x +=+、1353x x ++=+等都是无理方程． 无理方程也叫根式方程．猜想：有的．答：由点B 在x 轴上，可设B点坐标为(),0x ． 由两点间距离公式，得∶()()221035x -+-=即：()2195x -+=答：方程中含有根号，且根号里含有未知数．引发学生的思考，带着困惑和好奇学习新知．通过实例引入，使学生感受到无理方程的存在和学习它的必要．课本中的问题1可根据学生的实际情况选择．引导学生观察所得方程的特点，再归纳无理方程的概念．要让学生知道，无理方程中不仅含有根式，而且根号内含有未知数．练习：判断下列关于x 的方程是不是无理方程．2(1)510x x ++=；2(2)510x x ++=； 3(3)170x +-=；(4)127a x -+=；1(5)2x x +=；1(6)332x x x+=+-； 2(7)130x x --+=；2(8)71x+=． 2．代数方程整式方程和分式方程统称为有理方程． 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．师：代数方程可以这样分类：3．无理方程的解法 知道了无理方程的概念，接下来我们一起来探究如何解无理方程． 怎样解方程34x x =+？ ①问1：这个方程是今天刚刚学习的无理方程，我们还不会求解．回忆一下之前我们是如何解分式方程的，是将分式方程转化为什么方程？如何转化？问2：是不是可以将无理方程转化已学习过的方程来求解呢，转化为什么方程？问3：如何转化？根据等式性质，若p q =，则22p q =以及2()a a =(0)a ≥的性质．通过方程两边同时平方，将方程转化为有理方程．（2）、（3）、（5）、（7）是无理方程，方程中有根式，且根号内含有未知数． （1）、（4）根号内不含未知数，是整式方程；（6）、（8）是分式方程．（1）、（4）、（6）、（8）是有理方程，8个都是代数方程．1：通过去分母，将分式方程转化为整式方程．2：有理方程．3：去根号．及时巩固新知，强化对无理方程概念的理解．感受知识的分类，帮助学生形成关于代数方程系统的整体认识．用问题引导学生进行探索，并联系解分式方程的基本思想方法，从而归纳出解无理方程的方法．让学生参与求解这个无理方程的分析过程，形成解题思三、巩固练习 1．课后练习32．解方程：2x x +=-．3.将方程2120x x --=化成有理方程．师：强调解形如这样的无理方程的关键是使二次根式单独在等式一边．四、课堂小结本节课主要学习了什么，有何收获？学生独立完成，两位学生板书，师生共同纠正 解： 两边平方，得22x x +=，整理，得220x x --=，解这个方程，得11x =-，22x =，检验：把1x =-分别代入原方程两边，左边=1，右边=1，由左边=右边，可知1x =-是原方程的根． 把2x =分别代入原方程两边，左边=2，右边=-2，由左边≠右边，可知2x =是增根，应舍去．∴ 原方程的根是1x =-．预设： 学生可能会两边直接平方，造成平方后依然含有根式． 解：移项，得212x x -=．两边同时平方，得2214x x -=．图进行表述．呈现一次平方的其他题型，移项后再平方，从而巩固解无理方程的基本思想方法．五、布置作业练习册21.4（1）1．理方程的概念．2．数方程的分类．3．理方程的解法：梳理知识点，培养学生归纳的能力．。

八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制一. 教材分析八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制，这一节内容是在学生已经掌握了无理数的概念、实数的概念以及一元二次方程的解法的基础上进行学习的。

无理方程是实数范围内的一类方程，它不能用传统的解法直接求解，需要采用特殊的方法。

本节内容主要介绍了求解无理方程的方法，包括换元法、有理化方法等，以及如何运用这些方法解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于无理数和一元二次方程的概念有一定的了解。

但是，对于无理方程的解法，大部分学生可能会感到困惑，因此需要通过实例讲解，让学生理解无理方程的解法，并能够运用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握无理方程的解法，能够运用无理方程的解法解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例讲解，培养学生解决无理方程的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等。

2.教学难点：如何运用无理方程的解法解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例讲解法、问题驱动法、合作交流法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决无理方程。

2.新课讲解：讲解无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等，并通过实例进行讲解。

3.课堂练习：让学生进行课堂练习，巩固所学知识。

4.实际问题解决：让学生运用无理方程的解法解决实际问题。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调无理方程的解法和实际问题的解决方法。

七. 说板书设计板书设计如下：无理方程的解法设t = a + b√c ，则原方程可以转化为关于 t 的一元二次方程。

2.有理化方法将方程两边同时乘以共轭式，将无理方程转化为有理方程。

八. 说教学评价通过课堂练习和实际问题解决的情况，评价学生对无理方程解法的掌握程度。

21.4（1）无理方程一、学习说明【学习目标】1.理解无理方程的概念，会识别无理方程；2.知道解无理方程的一般步骤，领会无理方程“有理化”的化归思想。

【学习重难点】无理方程的概念，经历探索无理方程解法的一般步骤。

二、智慧启航（一）复习引入1.我们目前所学的方程有哪些？2.你能把这些方程归归类吗？你能说说解这些方程的基本思想吗？（二）探索新知：课本p401.已知直角三角形周长为12cm，两条直角边的差为1cm，求它的各边长。

若设它的较短的直角边长为xcm，则另一条直角边为 cm，根据三者之间的等量关系可得方程________________.●此方程具有什么特征？与之前所学方程相比有什么区别？●归纳：方程中含有______,且被开方数是含有_______的代数式，这样的方程叫做_______________。

整式方程和分式方程统称为__________；有理方程和无理方程统称为__________。

2.怎样解方程4x？=x3+第一步：根号去掉，转化为有理方程：__________第二步：解这个有理方程：________________第三步：检验________________________________所以，原方程的根是__________________。

解无理方程过程中，转化为有理方程，未知数的允许取值的范围扩大了，所以必须______.解无理方程的基本思想是通过 ,将无理方程转化为●总结归纳解无理方程的一般步骤：（三）小试牛刀完成课后练习1~3三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑．．．(可在书写过程中红笔标注)，并．．．．．．的地方．．、需要引起注意在课堂上提出。

预习评价：自评（）教师评（）。

无理方程【教学目标】1．掌握解移项后经过一次或一次以上平方可转化为整式方程的无理方程；知道无理方程的解需要检验，并掌握无理方程验根的方法。

2．经历运用一次或一次以上平方的方法把无理方程转化为整式方程的过程。

3．体会化归思想，学会在简单情形中运用化归的基本思想。

【教学重点】按流程正确解无理方程并检验。

【教学难点】判断含二次根式的无理方程的根的情况。

【教学过程】一、导图梳理。

梳理无理方程的一般步骤，思考：（1）解无理方程的一般步骤是什么？（2）无理方程如何进行“验根”？（3）尝试解无理方程二、新课探究。

例1解下列方程。

交流：在解无理方程的时候要注意些什么？[设计意图]：本例题设计为两道仅有一个根式含未知数的无理方程。

在引例题的基础上，理清做题思路。

然后由学生自主完成。

要求按流程正确解无理方程并检验。

（2）需要通过移项变形到（1）的结构，再进行求解无理方程。

例1（1）是实施化归思想的基本形式，遇到新的情景应考虑化为该形式。

例2解下列方程。

[设计意图]：本例题设计为两道有两个根式含未知数的无理方程。

理清做题思路，然后由学生自主完成。

并板演展示，纠错改错。

三、课内训练。

1．解下列方程：[设计意图]：这两道训练题比较基础，意在巩固掌握无理方程的解法。

注重解题的规范书写。

特别是验根的过程。

2．解下列方程：设计意图]：该三道题的设置较<课内练习1>有一定的梯度。

意在加强对无理方程的解法的熟练掌握。

课内练习2（2）虽然是有两个二次根式中含未知数，但是移项后两边仅平方一次即可化归为整式方程，与（3）小题有一定的区别。

思考：不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？[设计意图]：本思考题的设计，旨在对二次根式的“双非负”特征的理解和应用，对于某些特殊的无理方程，可以不解方程，“观察分析”后直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式a，有3．拓展提升已知两点A（2,1）、B（1,3），在y轴上找一点P，使PB=PA，求点P的坐标。

第二十一章代数方程复习（1）教学目的：通过系统的疏理，帮助学生归纳、整理代数方程的知识体系。

使学生加深对各类方程（组）概念的理解，熟练掌握各类方程（组）的解法，并能灵活选择合适的解法，教会学生整理知识的方法，提高学生的学习能力。

教学重点：掌握各类方程（组）的基本解法，领会分类、化归思想。

教学难点：选择合适的方法解方程（组）4、将二元二次方程0562=+-x xy x 化为二个一次方程为 ．5、用换元法解方程322122=-+-x xx x 时，如果设y xx =-12，那么可以得到一个关于y 的一元二次方程是6、一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==4,2y x 和⎩⎨⎧-=-=.4,2y x 试写出符合要求的一个方程组 ． 二、解方程（组） 1、关于y 的方程：)1(9122-≠-=+m y my2、2231242x x x--=--． 3、2725=--+y y4、0342)2(2=----x x x x5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++.1103,215y x y x y x y x6、⎪⎩⎪⎨⎧=--=-.02342222y xy x y x 三、选做题：如果关于x 的方程1151222--=+-+-x k x x k x x 无解，求k 的值有挑战性，要给学生留有做数学与思考数学的空间，照顾到全班不同层次学生的学习水平，使他们都有收益，真正做到让每一个学生动起来，让学生“思维”飞起来。

教学反思：本节课是一节复习课，是前面所学知识的归纳和应用，因而本课的重点是鼓励学生独立回顾，对已学的知识和方法在头脑中再现和整理；给学生适当的时间交流，再回顾和明确已学的知识和方法。

通过适当的回顾，使学生认识到数学知识和方法在解决实际问题中的作用，迅速唤起对已有知识的再现，最终使课堂教学得以有效生成，为下节课在实际问题中建模打下基础。

（1）教学过程设计符合学生的认知规律，以先抛给学生辨别方程的类型的问题，完成代数方程的部分知识体系，再让学生动手解这些方程，来总结方法和策略，真正做到让每一个学生动起来，让学生“思维”飞起来。

八年级数学下册21.4无理方程1教学设计沪教版五四制一. 教材分析《八年级数学下册21.4无理方程1》这一节的内容，主要是让学生掌握无理方程的定义、特点和解法。

沪教版的教材通过丰富的例题和练习，帮助学生理解和掌握无理方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式等基础知识，对解一元二次方程也有了一定的了解。

但无理方程作为一种新的方程形式，对学生来说还是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握无理方程的解法。

三. 教学目标1.了解无理方程的定义和特点。

2.掌握无理方程的解法。

3.能够应用无理方程解决实际问题。

四. 教学重难点1.无理方程的定义和特点。

2.无理方程的解法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握无理方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决无理方程。

例如：一个正方形的对角线长为√5，求这个正方形的面积。

2.呈现（10分钟）介绍无理方程的定义和特点，呈现无理方程的解法。

通过例题，讲解无理方程的解法步骤。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些无理方程的练习题，检验学生对无理方程解法的掌握情况。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生巩固无理方程的解法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将无理方程应用到实际问题中，解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调无理方程的定义、特点和解法。

7.家庭作业（5分钟）布置一些无理方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。

8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和无理方程的解法步骤。

通过本节课的教学，学生应该已经掌握了无理方程的定义、特点和解法。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。