概率论习题解答(第4章)
第4章习题答案
三、解答题
1. 设随机变量X 的分布律为
求)(X E ，)(2
X E ，)53(+X E ．
解：E (X ) = ∑∞
=1
i i
xp =
()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2
E (X 2
) = ∑∞
=1
2
i i
p x = 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8
E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.4
2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．
解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为
6
,,2,1,6/1}{Λ===i i X P
记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28
3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙
{}k X
==
λ
λ-e k k
!
，k = 1,2,...
又P {}5=X =P {}6=X , 所以 λ
λ
λλ--=
e e
!
6!56
5
解得
6=λ，所以
E (X ) = 6.
6. 设随机变量
X
的分布律为
,,4,3,2,1,6
}{2
2Λ--==
=k k
k X P π问X 的数学期望是否存在？
解：因为级数∑∑∑∞
=+∞
=+∞
=+-=-=⨯-1
1
2
1
211
221
1
)1(6)6)1(()6)
1((k k k k k k k
k k k πππ，
而
∑∞
=11k k
发散，所以X 的数学期望不存在.
7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0
,0,9
1)(3
/其它x xe x f x
求一天的平均耗电量． 解：E (X ) =⎰⎰⎰
∞
-∞
-∞∞
-==0
3/20
3/9191)(dx e x dx xe x
dx x f x x x =6.
8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0
,
5,25
1)(2
其它x x x F
求这种家电的平均寿命E (X )．
解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=
当x >5时，=)(x f 3
350
252x
x =⨯--
，当x ≤5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-5
3=-==∞
++∞∞
+∞
⎰
⎰x
dx x x
dx x xf
所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.
9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧<<-=.0,10,)1(42)(5其它x x x x f
求X 的数学期望E (X )．
解：E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞
∞
-=-1
5
2
)1(42)(=1/4
10. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2
3
01)1(23)(22
其它，，
，，x x x x x f
解：0)1(102
3
)1(0123)()(2
2
=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E . 11. 设),4(~p B X ，求数学期望)2(sin X
E π．
解：X 的分布律为k
n k
k
n
p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，
2，3，4，
1
X 取值为0，1，2，3，4时，2
sin X π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以
)
21)(1(4)1(1)1(1)2
(sin
13
343114p p p p p C p p C X E --=-⨯--⨯=π
12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2
kV W =，
（k > 0，常数），求W 的数学期望． 解：V 的分布律为
⎪⎩
⎪⎨
⎧<<=其它 ,00
,1
)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=⎰⎰a
a v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(2
3
1ka
13. 设随机变量(X , Y )的分布律为
求E (X )，E (Y )，E (X – Y )．
解
：
E (X )=0×(3/28+9/28+3/28
）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×
（
3/28+3/14+1/28
）
+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4. 14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度
⎩⎨
⎧≤+≤≤≤≤=其它,
01
,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求E (X )，E (Y )
