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效用理论与保险

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《效用理论在保险中的应用》

《效用理论在保险中的应用》

《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中的一个重要概念，主要探讨的是决策者在面临不同选择时，基于个人偏好的决策行为如何影响其最终的收益或效用。

在保险行业中，效用理论的应用尤为重要，因为保险产品的主要目的是在风险发生时为消费者提供经济保障，提高其效用水平。

本文将探讨效用理论在保险中的应用，包括其理论基础、应用场景以及存在的问题和未来发展方向。

二、效用理论概述效用理论认为，决策者在进行选择时，会根据自己的偏好和价值观进行权衡，以实现效用最大化。

在保险领域，效用可以理解为消费者在购买保险产品后，所获得的保障程度和所支付保费的满意程度。

保险产品的设计、定价以及销售等环节都需要考虑消费者的效用最大化。

三、效用理论在保险中的应用1. 保险产品设计保险产品设计是保险公司的重要工作之一，而效用理论在产品设计中的应用主要体现在对消费者需求的了解和分析。

通过调查和数据分析，了解消费者的风险偏好、保障需求以及支付能力等信息，从而设计出符合消费者需求的保险产品。

例如，针对不同年龄、性别、职业等人群设计不同的保险产品，以满足其特定的保障需求。

2. 保险产品定价保险产品定价是保险公司实现盈利的关键环节，而效用理论在定价中的应用主要体现在对风险和收益的权衡。

保险公司需要根据历史数据和风险评估结果，对不同类型的风险进行定价，以实现风险和收益的平衡。

同时，保险公司还需要考虑消费者的支付能力和对价格的敏感度等因素，制定合理的保费价格。

3. 保险销售与推广保险销售与推广是保险公司实现市场份额的关键环节，而效用理论在销售与推广中的应用主要体现在对消费者心理和行为的分析。

保险公司需要通过市场调研和数据分析，了解消费者的购买决策过程和购买偏好，制定相应的销售策略和推广方案。

例如，通过广告、促销等活动提高消费者的购买意愿和满意度。

四、存在的问题与挑战尽管效用理论在保险中的应用取得了显著的成果，但仍存在一些问题和挑战。

首先，由于消费者的风险偏好和保障需求具有较大的差异性，如何准确了解和分析消费者的需求是一个难题。

第三讲 保险效用理论

第三讲 保险效用理论
在同一平面图上有无数条无差异曲线同一条无差异曲线代表同样的满足程度不同的无差异曲线代表不同的满足程度离原点越远满足程度越大反之则越贝努利建议可以对原有的期望值度量进行修正其方法是对结果值进行变换即构造定义在实数集合上的函数ux满足对于连续性随机变量x可以用其对应的概率密度函数fx计算效用期望值对于离散型随机变量x可以用其对应的概率分布列计算效用期望值然而贝努利的建议有何根据
S S S
X X X
< E[X ] > E[X ] = E[X ]
三者之一
确定等价值的确定
在前例中：
u ( x) =
x
确定等价值的确定
E[u( X1 )] = 0.999× 2000000+ 0.001× 0 = 141280 . E[u( X 2 )] = 0.999× 1997500+ 0.001× 1997500= 141333 . E[u( X 3 )] = 0.999× 1997800+ 0.001× 1897800= 141340 .
Var( X ) u'' (E[X ]) − k( X ) ≈ 2 u' (E[X ])
Taylor 展开，得：
为此，Arrow（1970）和 Arrow（1970） Arrow Pratt（1964） Pratt（1964）分别把反 映客观风险的因素去掉， 映客观风险的因素 仅留下反映行为主体主观 上对风险的态度部分，提 出绝对风险厌恶度的概念。
X = [x1 , π 1 ; x 2 , π 2 ;L x n , π n ]
S X = u − 1 (E [u ( X 为X的确定值等价。
称
)])
含义是：在行为主体的心 目中，得到确定的结果 S 与采取行动得到的随机变 量X是等价的。

现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007

现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007

可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的 连 续 函 数 ． 注 意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减u'(x) 0 ； 2． 凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]

《风险理论》第1章_效用理论与保险

《风险理论》第1章_效用理论与保险

• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能 比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论)
以价格 P 元参与如下的
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E 那么保险人将以保 U W P X U W ， 费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费， 可从反映保险人 状况的效用均衡方程中解出：
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值 u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富 w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会 去比较 E u w X 和E u w Y ，并选择期望效用 较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富 w 的被保险 人，就可以决定为此支付的最大保费 P 了。这可以由均 衡方程 E u w X u w P 求出。 保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一 个最小的保费 P 。 如果保费介于被保险人的最大保费 P 和保险人的最小 保费 P 之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加 了。
风险偏好者的效用函数 u x 的特点：
u ' x 0, u " x 0 ，凸函数
风险中性人的效用函数 u x 的特点： ：
u ' x 0, u " x 0 ，直线

《效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言在当今的社会中，保险已成为风险管理的重要组成部分，对于个体、家庭和企业而言，它都是一种重要的经济保障手段。

效用理论作为经济学的重要分支，为保险业提供了坚实的理论基础和决策支持。

本文旨在探讨效用理论在保险领域的应用，分析其如何帮助保险公司和投保人做出更合理的决策。

二、效用理论概述效用理论是经济学中研究个体如何根据自身偏好进行选择的理论。

它通过衡量个体对不同结果的主观偏好程度，即效用，来预测个体的行为决策。

在保险领域，效用理论主要关注投保人对于风险的态度以及其为了转移风险而支付的保费的心理接受程度。

三、效用理论与保险产品定价1. 风险评估与定价：保险公司使用效用理论来评估风险并确定保险产品的价格。

通过分析投保人的风险偏好和预期效用，保险公司能够制定出合理的保费，既能够覆盖风险成本，又能吸引潜在客户。

2. 定制化产品：基于效用理论，保险公司可以开发出更加符合消费者需求的定制化保险产品。

通过了解客户对风险的厌恶程度和对保障的追求，保险公司能够提供个性化的保险计划，从而提高消费者的满意度和忠诚度。

四、效用理论与保险决策1. 投保决策：投保人在购买保险时，会基于自己的风险承受能力和对风险的厌恶程度进行决策。

效用理论可以帮助投保人量化其风险厌恶程度，从而决定是否购买保险以及购买多少保险。

2. 保障选择：在购买保险时，投保人需要选择不同的保障项目和保额。

效用理论可以帮助投保人权衡不同保障项目和保额的效用和成本，从而做出最优的保障选择。

五、效用理论在保险业中的应用案例以寿险产品为例，保险公司可以通过效用理论分析不同年龄、职业和健康状况的投保人对风险的厌恶程度和对未来生活保障的需求。

基于这些分析，保险公司可以设计出更加符合消费者需求的寿险产品，如定期寿险、终身寿险等。

同时，保险公司还可以通过调整保费和保障范围来满足不同消费者的需求，提高产品的竞争力。

六、结论效用理论在保险业中的应用具有重要意义。

基于效用理论的建筑火灾保险临界保费确定方法

基于效用理论的建筑火灾保险临界保费确定方法
Ｕ ＜ 一 ）’ （ ｌＷ ｐ一 ） （） ７
Ｅ ｕ（ 一 ［ ｗ ＋￡］ ［ ｗ 一 ） ＜ 一 ） 一Ｅ ｕ（ ＋ ｗ ）・ ＋ ￡ “ ”ｗ — １ （ ）・ ｚ ｅ／ ！＋ … ］ 甜 （ 一 ＋ “ ” ｗ 一 ）・ ≈ ｌ ｗ ） １（
。２ ／ ’ （） ８
结 合 已 经 有 比较 成 熟 的 模 式 ， 多 理 论 与 方 法 非 常 值 得 许 我 国借 鉴 。建 立 火 灾 保 险 与 消 防 工 作 协 调 的互 动 机 制 是
我 国 今 后 火 灾 风 险 管 理 的 发 展 方 向 。合 理 的保 费 确 定 方
消 防 安 全 度 越 高 ， 主 的 效 用 越 大 ， （） 调 递 增 。 业 即 ｓ单 １ ２ Ａ—Ｐ风 险 厌 恶 系数 ． Ａ— Ｐ风 险 厌 恶 系 数 是 由 Ａ ｒｗ 和 Ｐ ａｔ 出 的 对 ｒｏ ｒｔ 提 决 策 者 风 险偏 好 ／ 恶 程 度 的测 度 ， 作 Ａ（ 。 对 于 严 厌 记 ・）
事 物 的倾 向 、 好 等 主 观 因素 的强 弱 程 度 ， 决 策 者 的 价 偏 是
险 临界 保 费确 定 中 的 应 用 。
关 键 词 ： 用 理 论 ；建 筑 火 灾 ；临界 保 费 效 中国分类号 ： ９５４ Ｆ ４．７ Ｘ １ ． 。 ８ ０４ 文 献 标 志码 ： Ｂ
格 递 增 且 有 一 、 阶 微 商 的 一 元 函数 （ ） 定 义 Ａ— Ｐ风 二 ，
法 是 建 立 这 一 互 动机 制 的 核 心 问题 ， 是 建 筑 业 主 、 险 也 保
公 司 、 防 机 构 三 者 相 互 联 系 的纽 带 。 消
目前 ， 内在 保 险 事 务 上 没 有 单 独 的 建 筑 火 灾 保 险 ， 国 也 没 有 系 统 成 熟 的保 费 确 定 方 法 ， 是 学 术 界 在 理 论 上 但

效用函数、保险价格与财产保险定价

效用函数、保险价格与财产保险定价

效用函数、保险价格与财产保险定价商品价格是经济学中的基本问题。

在市场经济条件下，商品价格的形成由供给和需求两个方面共同决定，同时还受到这两个方面的影响。

保险作为一种金融产品也有其价格，保险价格在实践中表现为保险费率，它实质上衡量的是风险的价格。

保险价格是保险理论和实践中所要研究的核心问题。

如何对保险产品定价？要回答这个问题必先搞清楚消费者对待风险的态度，更进一步就是要知道消费者的效用函数。

本文先结合消费者效用函数，从理论上确定保险人（保险公司）所能接受的最低价格和投保人所愿意支付的最高价格；然后分析加入WTO几年来实践中的财产保险定价问题。

一、效用函数与保险价格理论分析（一）保险人（保险公司）所能接受的最低价格。

假设投保人的初始财产为W0，其效用函数u（·）为VNM效用函数，在保险期间内其财产损失是一个随机变量X（0≤X≤W0），且E（X）＝△W为财产损失的期望值，Var（X）＝?滓2为财产损失的方差。

假设保险人（保险公司）唯一的收益是保险费，保险价格为p（0＜p＜1），即投保人每保一元的财产险，需要向保险公司支付p元。

保险人（保险公司）作为市场经济中的行为主体，其目标是追求利润最大化，保险公司的利润可表示为：?仔＝pW0－X。

（二）投保人愿意支付的最高价格。

根据上文的假设，若投保人不购买保险，其效用u（W0－X）将是一个随机变量，这种情形下投保人的预期效用为E［u （W0－X）］；若投保人购买足额保险，其效用u（W0－pW0）是一个确定的值。

令E［u（W0－X）］=u（W0－pW0），由效用函数的递增性不难看出，满足此方程的保险价格即为投保人愿意支付的最高价格。

下面求解此方程。

将方程的左右两边泰勒展开得到：左边＝E［u（W0－X）］＝E［u（W0－△W＋△W－X）］右边=u（W0－pW0）＝u（W0－△W＋△W－pW0）≈u（W0－△W）＋（△W－pW0）×u′（W0－△W）将左右两边都代入原方程得：（三）结论时，p无解，即风险喜好者在一个成熟的保险市场上不会购买保险。

效用理论在保险决策中的应用

效用理论在保险决策中的应用

效用理论在保险决策中的应用保险是一种风险转移的机制，其基本原理是将一部分风险分散到大量的保险人身上，以缓解个体遭受意外风险的经济损失。

在保险决策中，效用理论被广泛用于风险评估和决策制定。

本文将探讨效用理论在保险决策中的应用。

一、效用函数效用函数是描述人们偏好和决策的数学模型。

效用函数的作用是将每个决策的期望收益（或损失）转化为数值，以便进行比较和选择。

在保险决策中，效用函数可用于度量个体对保险产品的需求程度和决策效益的大小。

二、主观概率和期望效用主观概率是指个体对某种事件发生可能性的主观估计。

在保险决策中，个体所处的环境和历史经验等因素都可以影响个体对某种事件发生的估计。

因此，在计算期望效用时，必须考虑主观概率的影响。

期望效用是指一个决策的所有可能结局的效用值加权平均值。

在保险决策中，个体需要考虑购买保险和不购买保险两种决策所带来的期望效用。

如果购买保险的期望效用高于不购买保险的期望效用，那么个体应该选择购买保险。

三、边际效用理论边际效用理论是效用理论的重要分支之一，指的是每增加一单位某种物品所带来的效用变化。

在保险决策中，边际效用理论可以用来衡量保险保额的最优选择。

通常情况下，随着保额的增加，保险的边际效用逐渐降低。

也就是说，在保费不变的情况下，保险保额越高，个体每增加一单位保额所带来的效用增加越少。

基于这种情况，个体可以使用边际效用理论来确定最优的保险保额。

四、风险规避风险规避是指个体在面对不确定性的情况下，采取一定的行动或决策以减少或避免风险的发生。

在保险决策中，风险规避是保险的核心目的。

当个体面临不确定的风险时，购买保险可以有效地规避这些风险，保障个体的生活和经济安全。

在实际保险决策中，个体往往会对不同的风险做出不同的选择。

效用理论可以帮助个体进行风险规避的决策，确定最优的保险产品和保障方案。

五、总结效用理论在保险决策中具有广泛的应用价值。

通过效用函数、主观概率、期望效用、边际效用理论和风险规避等方法，个体可以更加科学地评估风险和制定保险决策，从而更好地保障自身经济安全。

行为保险学系列(八) 决策效用、体验效用与保险决策

行为保险学系列(八) 决策效用、体验效用与保险决策
基金、 教 育部 社 科 基 金 、 上 海社 科 基
金 项 目各 一 项
正产 生 满 足感 或效 用 ， 而 购 买物 品之 时 的 消
费 决 策 其实 仅 仅 是 对 未 来 享 丹 ｊ 过 程 带 来 的 效用 进 行想 象 ， 然 后 基于 想 象 的满 足感 或效
用 做 出买 不 买 、 买 多 少 的 决 策 。例 如 ， 饥 饿
２ ０ 世 纪 后期 ， 随 着心 理 学 和神 经科 学 的 发展 ， 大脑的“ 决策黑箱” 逐渐 被 打 开 ， 生 物
１ ８
往 会 后悔 不 已 ， 示 其 体验 效 用 大于 决策 效
对 工作 意愿 做 Ｈ Ｉ 选择 ， 请第 二 组 学生 回答 哪 份Ｔ 作让 自己更快 乐 。结 果 ， 第 一组 中 ８ ４ ％ 的学 生 选 择 了 ｒ 作 Ａ， 但第二组中６ ２ ％的学 生 认为 工作 Ｂ让 自己更快 乐 。 显然 ， 工作 选 择 体现 的是 决 策效 用 ． 快 乐与 否 体现 的 是体 验效用 ， 结果 ， 大学 生 们 的 决 策 效 用 和体 验
Ｆ， 哪些 物 品带 来 的边 际 效川 大就 多 父哪 些
心理 学 家 贝里奇 在 老 鼠 、 灵 长类 动物 和人 类 婴 儿身 上 发现 ， 大 脑 中确 实存 两 个 冲经 系 统， 分别与欲求（ 想要什么 ） 和快 乐 （ 享 用 物
品 的快 乐 ） 有关 （ Ｂ ｅ ｒ ｒ ｉ ｄ ｇ ｅ ． １ ９ ９ ６ ） 与此 高 度
费理 论 捕 述 的是 人 们 在 购 买 物 品之 时 的消
效用， 也 即上 面提 到 的消 费 决 策 巾想 象 出来 的效用 ； 后 者 是 指 某 一 选 择 带 来 的快 乐 体

效用函数与保费定价原理

效用函数与保费定价原理
一
险厌 恶 指标 ， （ ＝— ）
Ａ Ｌ
称 为风 险 容 忍 系数 ．
个 人 在给 定行 动集 中作 选 择 ， 如果 他 知道 与给
它们 是对 于 给定绝 对 大小 的风 险定 义 的 ， 并不 考 虑参 与者 总财 富 大小 ． 可定 义相 对 风 险厌 恶指 标
定行 动 有关 将 来 的 自然 状 态 且 这 些 状 态 出现 的
购买 彩 票 的人 ：
（） ３ 效用 函数 为线 性 函数 “ ） ＝ａ （ ｘ＋ｂ的 人 称 为 风 险 中性 者 ， 中 ａ ｂ为 常数 且 ａ ＞０． 其 ，
结 构 ， 将 它与 潜在 损失 或 理赔 的概率 评 估 有机 并 结 合起 来 ， 从更 加综 合 的角 度对 保 险产 品进 行定
可用 一个 输 入 输 出 系统 来 描 述 保 险公 司 的 概 率 已知或 可 以估计 ， 他应 选择 各 种 可能 后 果 则 中偏 好 期望 值 最 高 的行 动． 财 富 对 理 性人 而 言 ”
业务 ， 在这 个 系 统 中 ， 余 由 于征 收 的保 费 和赚 盈
取 的利 息 而 增 加 ． 于 理 赔 和 成 本 的 支 出而 减 由 少 ， 费计 算 就 是 求 出这 么 一 个 最 小 保 费 ： 不 保 它
∞
也 称为 效用 函数 的新 古典 条件 ． 证 明了如 果 决 他
１ 效 用 函数
效 用是 指 商 品 满 足 人 的欲 望 和 需 要 的能 力
与程度． 缪 尔森 提 出的幸 福方 程 式 ： 福 ＝ 萨 幸
赤 阳
策者 的决策行 为 符合 一系 列 的一致 性 条 件 ， 非 则 确定 性 条件 下 的 最 优投 资选 择 可 由期 望效 用 最

主观期望效用模新型在保险产品定价中的运用

主观期望效用模新型在保险产品定价中的运用

主观期望效用模型在保险产品定价中的应用厦门大学金融系 厦门保监局 何凯浩厦门大学金融系 郑振龙[摘要] 效用理论一直是研究在风险和不确定条件下进行合理决策的理论基础，但是，由于多数决策者的决策行为与期望效用理论所规范的“合理决策”模式不相吻合，这种对效用理论合理性方面的挑战使在传统的期望效用理论下确定的保费价格的合理性也受到了普遍的怀疑。

本文首先述评了期望效用理论对保险定价的可行性方面的解释，指出其中的不足之处；然后运用主观期望效用模型对保险定价的可行性进行解释说明，指出保险定价可行的根本原因在于保险人和投保人所处的不同风险环境，而不在于两者效用函数之间的差别。

关键词：主观期望效用、保险产品、定价一、期望效用理论在保险定价中的应用述评∗虽然在保险教科书和保险精算实务中都常用“纯保费＋附加保费”的模式来对保险产品进行定价。

但从理论上说，保险产品作为一种商品，和其它商品一样，其价格在本质上是由市场的供求关系决定的，它的特殊性仅仅体现在它不是在对有形的产品而是要对无形的“风险”定价。

这里可以把风险理解为理赔或损失随机变量。

这样一来，保险定价在形式上就是要建立一种价格尺度，使得可以用一种确定的量（保费）去衡量一个不确定的损失。

但是，随之会产生的一个问题就是由谁来决定这种价格尺度以及它的合理性体现在什么地方？这是保险经济学首先应该回答的问题。

保险产品作为一种商品，和其他商品一样，必须满足商品的社会性，它在市场上的运作之所以能够成功是因为它能满足人们的主观需要，人们通过购买保险能够获取与他（她）所支付的价格相匹配的主观满足。

在经济学中，通常是用效用理论来衡量一定量的物品或财富给人们带来的满足程度的。

我们现在就先从经济学中的期望效用理论（Expected Utility Theory，EU）、从合理决策的角度来看∗本节主要参考文献[8]待保险定价的问题。

为此，我们分别从投保人和保险人的价值结构来看看保费定价的“合理性”。

期望效用、保险理论与农业保险的发展

期望效用、保险理论与农业保险的发展
与Ｓ ｍｕ ｌｏ 定义 的结 果主 义 假说 有关 ；第 三 ，Ｅ ｌ ｅｇ 论 中 ａ ｅｓ ｎ ｌ ｂ ｒ悖 ｓ
经济人面对特定赌博所作 出的选择 ，那么我们就能够对他的偏好
进 行描 述 ，这 类似 于显 示 性偏 好 的思想 。在这 个意 义上 ，Ｒａ ｉ ｂｎ 和 Ｔｈ ｌｒ ａ ｅ 的假 设 只 是描 述 了一 个 具 有异 常 高 水平 风 险 厌恶 的偏
由 ｕｗ’ ） ｕ ｗ‘ ，＝２ （ ） （ 一 ＋ （ ＋Ｊ ） ｕｗ‘ 导 ｛
期 望 效用 与保 险 理 论
期 望 效用理 论 （ ＵＴ）是大 多数 现 代经 济理 论 的基石 ，尽 管 Ｅ
其合理 性 和适 用性 存在 长期 的争 论 ，Ｅ 仍 然被广 泛地 运 用于 不 ＵＴ
“（ ） ｌ（ ＋ ｗ ） ＋ ＋ ‘ ｗ ） “ （ ’ ｗ’
性 产生 挑战 ；第二 ，ＥＵＴ 理论 的两个 隐含假 设 ， “ 过程 不变
性 ” （ ｒｃｄ ｒ Ｉｖ ｒ ｎ ｅ Ｐ ｏｅ ｕｅ ｎ ａ ｉ ｃ ）和 “ ａ 描述 不 变性 ” （ ｅｃｉｔ ｎ Ｄ ｓｒ ｉ ｐｏ Ｉ ｖ ｒａ ｃ ）在 现实 中也 常常 被违 反 。从理 论 上来 说 ，这一 现象 ｎ ａ ｉｎ ｅ
Ｒ＜０ ；如果Ｕ （ ） ， 存在一个有 限值 ＞Ｗ 使得对ｗ ＞ ， ｗ ＞０
Ｒ＞０ ｌ存在 一 个有 限值 ＜ｗ使 得 ｘｗ ＜ ，Ｒ ＞０ ． Ｃ 。
这 一 结论 表 明 ，在某 一 财 富范 围 内 ，经 济 人是 否接 受 赌博 取 决 于 效 用 函数 更 高 阶 的 导 数 ，这 些 导 数 用 于描 述 风 险厌 恶 的程 度 。逆 转 上述 推导 过 程 ，如 果我 们 能够 观察 到 在某 一 财富 范 围内

《效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它描述了消费者对于物品和服务的满足程度或偏好强度。

在保险领域，效用理论同样发挥着重要作用，用于解释和分析保险消费者的行为决策。

本文将详细探讨效用理论在保险中的应用，分析其理论基础、实际应用及潜在问题，并尝试提出相应的解决方案。

二、效用理论概述效用理论主要研究个体在面对不同选择时如何根据自身偏好进行决策。

在保险领域，效用可以理解为消费者从保险合同中获得的满足感或利益。

效用理论认为，消费者在购买保险时会根据自身风险承受能力、保险需求以及保费等因素进行权衡，以实现效用最大化。

三、效用理论在保险中的应用1. 保险需求分析：效用理论可以帮助保险公司了解消费者的保险需求。

通过分析消费者的风险偏好、对风险的认知以及预期的损失，保险公司可以更好地设计符合消费者需求的保险产品。

2. 定价策略：效用理论在保险定价中发挥着重要作用。

保险公司根据风险评估和消费者效用理论，制定合理的保费价格。

同时，通过比较不同消费者的效用水平，保险公司可以制定差异化的定价策略，以满足不同消费者的需求。

3. 风险管理：效用理论有助于保险公司进行风险管理。

通过分析消费者的风险偏好和预期损失，保险公司可以评估风险水平，并采取相应的风险管理措施，如调整保险条款、提高保费等。

4. 保险合同设计：在保险合同设计中，效用理论可以帮助保险公司确定合适的保障范围、赔付条件等。

通过分析消费者的效用水平和需求，保险公司可以设计出更符合消费者需求的保险产品。

四、实际应用案例分析以车险为例，效用理论在车险中的应用主要体现在以下几个方面：1. 保费定价：保险公司根据车辆类型、驾驶者年龄、驾驶记录等因素进行风险评估，并结合消费者的风险偏好和预期损失，制定合理的保费价格。

2. 保险责任范围：保险公司根据消费者的需求和风险承受能力，设计不同的保险责任范围和赔付条件。

例如，部分消费者可能更关注车辆损失险，而另一些消费者则更关注第三者责任险。

第二讲风险效用理论及保险定价理论的发展

第二讲风险效用理论及保险定价理论的发展

后验费率
称为无赔款折扣系统(NCD： no-claims discount)，
又称为奖惩系统(BMS：bonus-malus system)
BMS最早产生于20世纪50年代中期的欧洲，后来 逐渐为各国接受，并在各国形成了符合自身国情 的奖惩系统。BMS被广泛应用于各种险种，在我 国对于BMS的研究也大多集中在汽车保险的领域。
参加者可能赢钱的数学期望：
2
1 2
22
1 22
23
1 23
圣彼得堡悖论说明，在人们心目中， 不是用数学期望值来度量一个随机变 量的。
西方经济学效用理论
效用：商品满足人的欲望的能力和消费者在消费商品时 所感受到的满足程度。
基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法 总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一定时间内从 一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和。 边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费者在一定时间 内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量
我们称对于消费者“ x1 与 x2 只是一样地好”。若该二元
关系满足如下公理：
完备性：对于任意属于X集的两个选择 x1 与 x2 ，要么
x1 x2 ，要么 x2 x1
传递性：对于任意属于X集的任何三元素 x1 、x2 与 x3 ，
如果 x1 x2且 x2 x3，则 x1 x3 。那么它被称为一种偏 好关系。
1
2
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参数估计和拟合优度检验
参数估计 矩估计法 极大似然估计 最小法
拟合优度检验

保险中的效用理论

保险中的效用理论

公 认 的第一 本 真正意 义上 的经济 高 可 以想 见 。之 后 ， 精 明 的商 人 尔 ・ 伯 努利 在解 释圣 彼得 堡悖论 丹尼 尔 的 表兄 尼 古 拉 ・ 伯 努 利 学著 作 。亚 当 ・ 斯密 也就 成 了经 发 明 了钱庄 、 银 票 。这样 ， 风 险程 （
济学 之父 。此 后 ， 经 济 学 登 堂 入 度 就得 到 了大 大 的 缓解 ， 整 个 交 故意设 计 出来 的一 个 悖 论 ） 时提 室， 成 为一 门独 立 的科 学 ， 历 久不 易 也变 得非 常容易 。钱 庄是 中 国 出 的 ， 目的是 挑 战 以金 额 期 望 值
么， 什 么 是 效 用 理 论 呢？ 效 用 理 明天用而被拿到今天用 （ 商业贷 济活 动 中发挥 作用 的呢 ？在讲枯 （ 养老 保 险 ） ， 这些 都 是 钱 在 时 间 看 几个 简单 的例子 。
一
二 、保 险 中 的 “ 边 际效 用 递 经济 学 中还 有一 个非 常著 名
没成 本” 的概 念 。
完 全 以损 益 率 万 元 的 效 用 值 应 当 是 多 少 ？ 是 人属 于 中 间类 型 ，
０吗 ？错 了 。应该 高 于 ８ ０ ， 否 则 的高低 作 为选择 方案 的标 准 。 不过 ， 为众 人 所 熟 知 的可 能 ８ 事实 上 ， 从 上 面 的例 子 可 以 边 际效用 递减 ” 就不 成立 了。如 是另 一种 边 际 的概 念 。举一 个例 “ 对 同一对 象而 言 ， 不 同 的人 ０ ０万元 的效 用值 为 看 出 ， 子， 给一个饥饿 的人吃馒头 。第 果 我们 假设 ８ ５ ， 以此来 看 一 看 购 买保 险 之 前 定 有不 同 的效 用值 。而 即便 是 个 馒头 ， 雪 中送 炭 ， 感 觉一 定极 ８ 同一 个人 ， 在不 同的时 间 、 不 同的 好； 第二个 呢， 感 觉也还不错 ； 第 和之后 都发 生 了什 么 ？ 阶段 下其效 用判 断可 能也 是迥 然 三个 呢 ， 感觉饱 了； 第 四个 呢 ， 好 不同。 像 就有些 多 了 ； 第 五个 呢 ， 第 六个 购 买 之 前 ８ ０ ０万 ８ ０ 前面 说 过 ， 效 用 是 指 消 费 者 呢……这 就是 有 名 的 “ 边 际效 用 购 买 之 后 ８ ０ ０万 ８ ５ 从消 费某 种物 品 中所 得 到的满 足 递减 ” ， 是 丹 尼 尔 ・伯 努 利 在 上 面 的例 子 表 明 ， 通 过 保 险 程度 。效 用理论 是 消费者 行 为理 １ ７ ３ ８年 的 论 文 里 阐述 的 另 一 条 产品， 许 多 生 活 中的 不 确 定 性 被 论 的核 心 。对 这 一 点 ， 消 费 者 在 原理 ： 边 际 效 用 递 减 原 理 ，即 一 得 以确定 下 来 ， 而 购 买 者 的平 均 作 保 险 规 划 时 应 该 清 醒 的 意 识 个人 对 于 财 富 的 占有 多 多 益 善 ， 效用 被提 升 了 。 到 。在资 产 的选 择 上 面 ， 应 多 些 效用 函数 一 阶 导 数 大 于 零 ； 而 随 三 、“ 效 用” 在 保 险规 划 中 的 关注 效用 而非 金额 的大 小 。笔 者 着 财富 的 增 加 ， 满 足 程 度 的 增 加 实 际 应 用 也 曾经 接触 过 一 些 高 净值 客 户 。 速 度不 断 下 降 ， 效 用 函数 二 阶 导 笔者 曾经 给朋 友们 出过 一个 他们 在做 着 高风 险 、 高 收 益 的生 数 小于零 。 题 目： “ 退休 时， 假 设 有 两 个 养 老 意 ， 而在选 择 保险产 品 的时候 ， 依 如 果边 际效 用 不 变 ， 也 就 是 资产 可供 你 选 择 ， 一 是 价 值 确 定 然 孜 孜 不 倦 地 追 求 产 品 的 收 益 后 面一个 馒 头永 远 和前一 个馒 头 在 ２ ０万 元 的保证 资产 ； 二是 不确 率 。这恰 似一 个肚 子里 已经 塞 了 样好 吃 ， 那 会 发 生 什 么？ 我 们 定 资产 ， 有６ ０ 的可 能 性 可 以拿 许 多馒 头 的人 仍 然渴望 下一 个馒 将 永远 吃 下去 ， 永远 吃不 饱 。 到４ ０万 的资 产 ， ４ ０ 的可 能性一 头 。在 目前 阶段 而 言 ， 能 带 给 他 边 际 效用递 减 可 以用来 解释 分 钱都 没有 。你会 选 择哪一 个 ？ ” 们 最 大效用 的是保 险 能够带 来 的 保 险 中 的许多 事情 。假设 有 一个 结 果有 大约 ２ ／ ３的人 选择 了第 二 其 他 功 能 ， 如 资产 安全 、 杠 杆 作 农场 主 ， 他 的正 常年 毛利 为 １ ０ ０ ０ 个 资产 。对 于 这 一 拨 人 ， 笔 者 在 用 、 财 富传 承等 等 。而这些 ， 有些 万元 ， 可是 一 旦发 生 自然灾 害 ， 其 ２ ０万和 ４ ０万 之 后 各加 个 零 后 请 高净 值客 户常 常忽视 。 年 毛利就 会锐 减 到 ６ ０ ０万元 。发 这 群 人再 做 选 择 ， 结 果 几 乎 所 有 经济 学 是 一 门社 会 科 学 ， 研 生 自 然 灾 害 的 可 能 性 恰 好 为 人 都 选择 了第 一个 资产 。

《效用理论与保险》课件

《效用理论与保险》课件

保险与效用理论
• 保险的效用 • 风险池与固定保障计划 • 公平保险理论
保险中的效用函数
• 后悔避免理论 • 精神账户理论 • 收益-保障理论
结合实际案例分析
• 买房保险与效用理论的关系 • 是否购买某种保险的判断 • 从效用理论角度分析不同保险产品
总结
• 效用理论与保险的关系 • 未来发展趋势 • 展望与思考
《效用理论与保险》PPT 课件
在本课件中，我们将探讨效用理论与保险之间的关系，以及效用函数在保险 领域的应用。让我们一起深入了解 效用定义 • 效用曲线 • 马歇尔效用函数
效用函数与风险偏好
• 风险偏好类型 • 效用函数与风险偏好的关系 • 例子：投资决策中的风险偏好
参考文献
• 书籍、论文等相关文献 • 网站链接

《2024年效用理论在保险中的应用》范文

《2024年效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中的一个重要概念，它描述了人们对于物品或服务的偏好程度和满足感。

在保险行业中，效用理论的应用对于风险管理和产品设计具有重要价值。

本文将探讨效用理论在保险中的应用，包括风险评估、保险产品设计、定价策略等方面，并分析其影响和作用。

二、效用理论与风险评估在保险业务中，风险评估是至关重要的环节。

效用理论可以帮助保险公司更准确地评估风险，从而制定合理的保险策略。

通过分析投保人的效用函数，即其对不同风险结果的偏好程度，保险公司可以了解投保人的风险承受能力和需求。

在风险评估过程中，保险公司需要收集大量数据，包括历史损失数据、投保人信息、行业趋势等。

通过运用效用理论，保险公司可以分析这些数据，识别潜在的风险因素，并评估不同风险因素对保险业务的影响。

这有助于保险公司制定更加精准的风险管理策略，降低风险损失。

三、效用理论与保险产品设计保险产品的设计是保险公司业务的核心环节。

效用理论可以帮助保险公司设计出更符合投保人需求的产品，提高产品的吸引力和竞争力。

在产品设计过程中，保险公司需要了解投保人的需求和偏好，以及他们对不同风险结果的期望。

通过分析投保人的效用函数，保险公司可以了解投保人对保险产品的期望和需求。

这有助于保险公司设计出更加符合投保人需求的产品，提高产品的吸引力和竞争力。

此外，效用理论还可以帮助保险公司确定产品的保障范围、保费水平、赔付方式等关键因素，从而确保产品能够满足投保人的需求。

四、效用理论与定价策略保险产品的定价是保险公司业务的重要环节。

效用理论可以帮助保险公司制定合理的定价策略，确保保费水平既能覆盖风险成本，又能满足投保人的期望。

在定价过程中，保险公司需要考虑多种因素，包括风险因素、市场需求、竞争状况等。

通过分析投保人的效用函数和市场需求，保险公司可以确定合理的保费水平。

这有助于确保保费水平既能覆盖风险成本，又能满足投保人的期望。

此外，效用理论还可以帮助保险公司制定灵活的定价策略，根据不同投保人的需求和风险承受能力，提供个性化的定价方案。

伯努利效用函数的修正与保险决策.doc

伯努利效用函数的修正与保险决策.doc

伯努利效⽤函数的修正与保险决策.doc伯努利效⽤函数的修正与保险决策⼥『⾏为保险学系列（⼀）理性保险决策理论及其由来”所述，在新古典经济学和当今主流经济学教材⼬,⼀直采⽤的是伯努利1738年发明的效⽤函数。

在⼈类世界，伯努利⾸次将财富的“⾦钱价值”和财富带来的“效⽤（⼼理价值）”区分开来，⽤边际递减的效⽤函数解决了圣彼得堡悖论，成为理性⼈进⾏风险决策的经迸学准则。

伯努利效⽤函数有四⼤特点：第⼀，个体的效⽤是由其财富状态或财富结果决定的；第⼆，只要个体拥有⼀定的财富，⽆论规模⼤⼩，都会有⼀定的正效⽤⽔平；第三，随着财富增加，个体的效⽤会增加，但财富增加带来的边际正效⽤递减；第四，随着财富减少（或损失增加），个体的效⽤会降低，但⼈们的边际负效⽤递增。

表1是伯努利于1738年计算得出的⼀个效⽤函数版本，从中可以清晰地看到上述四个特点：第⼀，不同的财富值带来不同的效⽤值。

100万达克财富⽔平的效⽤值是10个点，200万达克财富⽔平的效⽤值是30个点。

第⼆，只要个体拥有⼀定的财富，⽆论规模⼤⼩，都会有⼀定的正效⽤⽔平。

可以看到，⽆论财富多少，效⽤值都是正的。

第三，随着财富增加，效⽤增加，但边际正效⽤递减。

例如，财富⽔平从100万达克增加到200万达克时，效⽤增加了20个点（=30?10）；财富⽔平从200万达克增加到300万达克时，效⽤只增加了18个点（=48-30）；财富⽔平从900万达克增加到1000万达克时，效⽤只增加了4个点（=100?96）。

第四，随着财富减少，效⽤降低，但边际负效⽤递增。

例如，财富⽔平从1000⼒达克降低到900万达克时，效⽤减少了4个点（=100?96）；财富⽔平从900万达克降低到800 万达克时，效⽤降低了6个点（=96?90）；财富⽔平从200万达克降低到100万达克时，效⽤⼤幅减少了20个点（=30?10） o本⽂讨论效⽤函数对保险决策的影响，⽽保险主要承保纯粹风险，纯粹风险的特点是“要么遭受损失、要么没损失”，所以，本⽂主要研究个体在损失情境下的效⽤函数。

《效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它主要研究个体如何根据预期的效用最大化来做出决策。

在保险行业中，效用理论的应用尤为重要，因为它涉及到风险管理和损失补偿的核心问题。

本文将探讨效用理论在保险产品设计、定价、索赔处理等方面的应用，并分析其带来的影响和挑战。

二、效用理论基本概念效用理论认为，个体在做出决策时，会考虑各种可能的结果及其效用，并选择能带来最大效用的行动。

在保险领域，效用可以理解为投保人从保险合同中获得的满意度或价值感。

因此，保险公司需要了解投保人的效用函数，以便设计出符合其需求的保险产品。

三、效用理论在保险产品设计中的应用1. 定制化保险产品：根据投保人的风险偏好、保障需求和财务状况，设计出符合其效用的定制化保险产品。

例如，针对不同行业、不同职业的投保人，提供差异化的保险方案。

2. 保险责任设计：通过分析投保人的风险承受能力和损失补偿需求，确定保险产品的责任范围和赔付标准。

例如，在健康保险中，可以根据投保人的医疗需求和经济能力，设定不同的免赔额和赔付比例。

四、效用理论在保险定价中的应用1. 风险评估与定价：保险公司需要根据投保人的风险状况和历史数据，评估其发生损失的概率和严重程度。

然后，结合效用理论，确定合理的保险价格，以实现风险与收益的平衡。

2. 动态定价：根据市场环境和投保人的变化，实时调整保险价格。

例如，在车险中，可以根据驾驶员的驾驶行为、车辆状况等因素，实施动态定价。

五、效用理论在索赔处理中的应用1. 索赔决策：保险公司需要依据效用理论，评估索赔请求的合理性和真实性。

通过分析历史数据和投保人的行为模式，识别潜在的欺诈行为和不合理索赔。

2. 快速理赔：为了提高客户满意度和效用，保险公司需要优化索赔处理流程，实现快速理赔。

这包括简化索赔手续、提高审批效率等方面。

六、效用理论在保险业的影响和挑战1. 提高客户满意度：通过运用效用理论，保险公司可以更好地了解投保人的需求和期望，从而设计出更符合其效用的保险产品和服务。

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=
n −α log(1 − α), 0 < α < 1 ∞, α≥1
因为log(1 + x) < x, x > −1, x = 0，所以log(1 − α) < −α，因而P + > E [X ] = n。
• 如果α ≥ 1，则P + = ∞，这表明决策者愿意支 付任何有限的保费。 • 按照效用理论，如果α ≥ 1，那么承保该风险的 保险人对于任何有限的保费P ，都会遭受损失，因 为P − = ∞。 • 对于这些保险人来说，这种风险是不可保的。
为了比较X 和Y ，效用函数u(x)与其线性变换au(x)+ b(a > 0)是等价的，即无论选择哪个效用函数会得 出相同的决策：
E [u(w − X )] ≤ E [u(w − Y )]
当且仅当
E [au(w − X ) + b] ≤ E [au(w − Y ) + b]
• 效用函数是存在的，但很难给出一个明确的解析 式。 • 可以向决策提出大量的问题，通过他对这些问题 的回答来决定该决策者的效用函数。 • 如“为了避免以概率q 发生损失1，你愿意支付多 大保费P ？”
1.2 期 望 效 用 模 型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01的风 险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单 支付保费P ，B 和P 之间有何种关系？ • 如果B 非常小，那么P 几乎不会大于0.01B ; • 如果B 略微大一点，如500，那么P 就可能比5稍 大一些; • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B 大很多。因 为这么大的损失一旦发生可以导致破产。 • 结论：可以付出比期望值高的费用为风险投保。
1.3 效 用 函 数 族
• • • • •
linear utility: u(w) = w quadratic utility: u(w) = −(α − w)2 (w ≤ α) logarithmic utility: u(w) = log(α + w)(w > −α) exponential utility: u(w) = −αe−αw (α > 0) c power utility: u(w) = w c (w > 0, c ≤ 1)
=⇒ V ar[X − I (X )] ≥ V ar[X − (X − d)+ ] Proof. We write the retained risks as follows: V (X ) = X − I (X ), W (X ) = X − (X − d)+
例 1.3.1（ 指 数 保 费 ） 假 设 一 保 险 人 使 用 参 数 为α的指数效用函数，对于风险X ，最小保费P − 应 为多少？ 解 ： 把U (x) = −αe−αx 带 入U (W ) = E [U (W + P − − X )]，得
P− =
1 log(mX (α)) α
其中mX (α) = E [eαX ]是X 的矩母函数。 • 最大保费P + 为
P+ =
1 log(mX (α)) α
假设损失X 服从参数为β 的指数分布。令β = 0.01， 则E [X ] = 1/β = 100. • 如果被保险人的效用函数是参数为α = 0.005的 指数效用函数，那么
P+ =
1 β log(mX (α)) = 200 log( ) = 138.6 α β−α
那么他的期望效用将会提高。 • P + 代表被保险人愿意支付的最大保费，则有
E [u(w − X )] = u(w − P + ) • 因为u(·)是一个非减的连续函数，所以P ≤ P + 。
保险人：
• 保险人的效用函数为U (·)，资本为W 。如果 E [U (W + P − X )] ≥ U (W )
所以
1 2 σ u (w − µ) ≈ (µ − P + )u (w − µ) 2 • 因此，风险X 的最大保费P + 近似为 1 u (w − µ) 1 P + = µ − σ2 = µ + σ 2 r(w − µ) 2 u (w − µ) 2 • 风险厌恶系数真正反映了风险厌恶程度：对风险 厌恶程度越高，准备支付的保费也越大。
由E [u(w − X )] = u(w − P + )，得
P = P (w) =
(11/2 − w)2 + 1/4 − (5 − w)
容易验证P (w) > 0。
例 1.3.3（ 不 可 保 风 险 ） 某决策者使用风险厌恶系 数为α > 0的指数效用函数，对分布为Γ(n, 1)的 风 险 进 行 投 保 。 确 定P + ， 并 证 明P + > n。 何 时P + = ∞，此时说明什么？ 解：由于 1 P + = log(mX (α)) α
• 因此，有P + > E [X ] = 100. • 由（1.18）得 1 P + ≈ E [X ] + Var[X ] = 125 2
如果X 是方差有限的非负随机变量，则
P− =
1 log(mX (α)) α
是α的递增函数。 Proof. For 0 < α < γ , consider the strictly concave function v (·) with
这既不是凸函数，也不是凹函数。
• 有重大决策时，决策者往往是风险厌恶的。 • 被保险人是风险厌恶的。 • 风险厌恶者的效用函数具有如下特点： 1. 边际效用是非负的，u (x) ≥ 0； 2. 边际效用是递减的，u (x) ≤ 0。
定 理1.2.3（Jensen不 等 式 ） 如果v (x)是一个凸函 数，Y 是一个随机变量，则
• 停止损失保费（纯保费）： πX (d) = E [(X − d)+ ] • 在离散情形，pX (x) = P (X = x)为分布律；在 连续情形，fX (x)为密度函数。则有 πX (d) =
∞ x>d (x − d)pX (x) ∞ d (x − d)fX (x)dx
=
d
[1 − FX (x)]dx
1.4 停 止 损 失 再 保 险 的 最 优 性
• 再保险合同只承保保险人的一部分风险。停止损 失再保险承保损失超过制定免赔额的超额部分。 • 定义如下：如果损失为X (X ≥ 0)，则理赔支付 为 (X − d)+ = max{X − d, 0} = X − d, X > d 0, X≤d
• 保险人保留损失小于d的风险（自留额），同时 再保险公司支付损失的剩余部分。
第一章 效用理论与保险
1.1 引 言
例 1： 我们有如下两种选择： • A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什 么也得不到. • B ：100%的机会得到10元钱. 选A？或选B ？ 喜好风险
例 2： 我们有如下两种选择： • A：0.1%的机会失去10000元钱，99.9%的机会不 损失. • B ：100%的机会失去10元钱. 选A？或选B ？ 厌恶风险
例 1.2.1（ 圣 彼 得 堡 悖 论 ） 以价格P 元参与如下游 戏：抛掷一枚均匀地硬币，直到出现正面为止。 如果投掷n才首次出现正面，则游戏的参与者就可 以获得2n 元。因此，从该游戏中获得的期望收益 是 ∞ 1 2n ( )n = ∞ 2 n=1 然而，除非P 很小，否则很少有人会参加这样的游 戏，这意味着人们并不仅仅看到期望收益。
• πX (0) = E [X ], πX (∞) = 0, πX (d) = FX (d) − 1.
定 理1.4.1（停止 损失再保险的最优性 ） 用I (X )表 示当损失为X (X ≥ 0)时，某再保险合同约定的理 赔支付。假设0 ≤ I (x) ≤ x 对于任意x ≥ 0成立， 则 E [I (X )] = E [(X − d)+ ]
v (x) = xα/γ , From Jensen’s inequality, it follows that v (E [Y ]) > E [v (Y )]
Take Y = exp(γX ), then v (Y ) = exp(αX ) and {E [eγX ]}α = {(E [Y ])α/γ }γ = {v (E [Y ])}γ > {E [v (Y )]}γ = {E [eαX ]}γ . Therefore, {mX (α)}γ < {mX (γ )}α which implies that, for any α < γ , 1 1 log(mX (α)) < log(mX (γ )) α γ
保险人将以保费P 承保损失X 。 • 如果不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 • P − 代表保险人要求的最小保费，则有
U (W ) = E [U (W + P − − X )] • 因 为U (·)是 一 个 非 减 的 连 续 函 数 ， 所 以P ≥ P −。
• 如果P + ≥ P − ，那么交易会同时增加保险人和被 保险人双方的期望效用。 • 保险合约能够成交。
在经济学中，由von Neumann和Morgenstern于1947年 引入的模型描述了决策者怎样在不确定的结果中 做出选择。 • 一个评估财富w的效用函数u(·), • 决策基于期望E [u(w − X )], • 如果有两个损失X 和Y ，比较E [u(w−X )]与E [u(w− Y )]的大小来决定.
例 1.2.2（偏好风 险与厌恶 风险） 假设一个拥有资 本w的个体使用效用函数u(·)衡量其财富的价值。 他面临两种选择： • A：以概率1/2损失b元, • B ：仅支付固定的b/2元. 他得决策是这样的： • 当b = 1时，选择A； • 当b = 4时，选择B ； • 当b = 2时，两种选择等价。