正弦定理习题精选精讲

正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

在近年高考中主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1(2005年全国高考江苏卷)ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果． 解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sinsin sin()33b c b c b cB C B C B B ππ++====++-， 得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6Bπ+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，故选(D)． 评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE，设BE ＝x在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BDcos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC，即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3(2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-．∴2222a c b ac+-＝2c a，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 例4(2005年全国高考上海卷) 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决．解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-∙∙，解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc c b=-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

秒杀高考数学题型之正弦定理在解三角形中的应用【秒杀题型一】：正弦定理解三角形应用一之已知两角与任意一条边。

『秒杀策略』：2sin sin sin a b cR A B C===(外接圆直径)，利用三角形内角和：A B C π++=，求出第三 角，再利用正弦定理可求出另两边。

1.(2016年新课标全国卷II13)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若135cos ,54cos ==C A , 1=a ，则b = 。

【解析】：6563sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C A C A C A B ，由正弦定理得1321=b 。

2.(高考题)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且35cos ,cos ,513A B ==3b =，则c = 。

【解析】：由正弦定理得514。

3.(高考题)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为a ,b ,c ，若a =21sin =B ，6π=C ，则b = 。

【解析】：由正弦定理得1。

4.(2015年新课标全国卷I16)在平面四边形ABCD 中，︒=∠=∠=∠75C B A ，2=BC ，则AB 的取值 范围是 。

【解析】：当A 与D 重合时最长为26+，当C 与D 重合时最短为26-。

【秒杀题型二】：正弦定理解三角形应用二之已知两边与其中一边所对的角。

『秒杀策略』：在这类题型中注意增根与丢根，因为求正弦时一定为正值，如为1，则只有一组解，如为()0,1时，利用大边对大角，小边对小角原理，如这条边是大边则有两组解(锐角与钝角均成立)，如这条边是小边，则只有一组解(只取锐角)，如正弦值大于1，则无解。

1.(2017年新课标全国卷I11)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2,2==c a ,则C = ( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】：由)sin(sin C A B +=得π43=A ，由正弦定理得6π=C ，选B 。

第04讲正弦定理和余弦定理(精讲）-2第04讲正弦定理和余弦定理(精讲）角度4：正余弦定理综合应用例题（2022·山西·高一阶段练习）1．在ABC 中，已知cosA =1tan 2B =，若ABC 边长为（）A BC D ．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））2．已知在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A ＝60°，BC =4，则△ABC 的周长的取值范围为（）A ．(4,12⎤⎦B ．(]8,12C ．)4,12⎡⎣D ．(]10,12（2022·山东菏泽·高一期中）3．在△ABC 中，2cos 3C =，AC =4，BC =3，则sin B =（）A ．19B C ．1D ．3（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的最大值是__________.（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）5．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S 根据此公式，若()cos 2cos 0a B b c A +-=，且2224b c a +-=，则ABC 的面积为______.题型归类练（2022·江苏·高一课时练习）6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．)2401m B ．)1801mC ．)1201mD ．)301m（2022·天津河北·高一期中）7．在 ABC 中，120B ∠= ，AB =∠A 的角平分线AD则|AC |＝（）A ．2B ．3C D（2022·四川绵阳·高一期中）8．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC )222a b c +-，则角C ＝（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）9．为了测量一个不规则公园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km 的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A 处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75 方向上，则,C D 之间的距离为______km.（2022·江西萍乡·三模（理））10．已知,,a b c分别为锐角ABC 的内角,,A B C 的对边，若in 2s c a A ==，则ABC 面积的最大值为_________．高频考点二：判断三角形的形状例题（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）11．在ABC 中，已知()sin 2sin cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）12．若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（2022·江苏南通·模拟预测）13．小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1则（）A ．能制作一个锐角三角形B ．能制作一个直角三角形C ．能制作一个钝角三角形D ．不能制作这样的三角形题型归类练（2022·全国·高一单元测试）14．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形（2022·江苏南通·高一期中）15．在ABC 中，若22cos a b c B -=，cos cos 1A B +=，则ABC 一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定（2022·天津市第二十一中学高一期中）16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形（2022·安徽·安庆一中高一期中）17．已知在ABC 中，22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2022·江苏徐州·高一期中）18．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，则ABC 为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形参考答案：1．A【分析】由题意求得sin ,sin A B ，判断a b <，求出cos C ，判断出最短边和最长边，利用正弦定理求得答案.【详解】在ABC中，因为cos A =sin A =因为1tan 2B =，所以sin B =，因为sin sin A B <，所以a b <，所以()()cos cos πcos 052C A B A B ⎛⎫=--=-+=--=-<，即C 为最大角，sinC 2=，故最短边为a ，最长边为c，所以a =由正弦定理得12=c =，故选:A 2．A【分析】利用正弦定理将周长表达为关于B 的函数，然后利用△ABC 为锐角三角形求出定义域，再算值域即可.【详解】由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，又A ＝60°，BC =4所以)()4sin sin 4sin sin a b c B C B A B ++=++=+++148cos 48sin 26B B B p 骣琪=++=++琪桫桫因为△ABC 为锐角三角形，所以0,2,620,2B B C ππππ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⇒∈⎨⎪⎝⎭⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩所以2,633B πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦所以周长的取值范围是(4,12⎤⎦.故选：A.3．B【分析】利用余弦定理求出边AB ，再利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC中，3AB =，而sin C，由正弦定理得：4sin 3sin 3AC C B AB ===所以sin 9B =.故选：B4．35##0.6【分析】由余弦定理结合基本不等式可得4cos 15A ≤<，从而得到sin A 的最大值.【详解】由222533a b c +=得：222335c b a -=故22222222233445cos 22555c b b c b c a c b A bc bc bc bc -+-+-+===≥=，当且仅当2c b =时取等号，由于()0,A π∈，故4cos 15A ≤<，则229sin 1cos 0,25A A ⎛⎤=-∈ ⎥⎝⎦，则3sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即sin A 的最大值是35故答案为：355【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解.【详解】解：由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A+=即()sin sin 2sin cos A B C C A+==sin 0C ≠ ，1cos 2A ∴=,∴222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S =6．C【分析】根据题目所给俯角，求出ABC 内角，利用正弦定理求解即可.【详解】从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60m ，所以105,30,45ABC ACB CAB ∠=︒∠=︒∠=︒所以260120AC =⨯=，由正弦定理可得，60sin 75AB =，sin 30sin 45AB BC = ，所以sin 45601)sin 30sin(3045)AB BC ===+ .故选：C.7．C【分析】在 ABD 中，利用正弦定理求得45ADB ∠= ，进而得到 ABC 是等腰三角形，再利用余弦定理求解.【详解】解：在 ABD 中，120B ∠= ，AB =A 的角平分线AD由正弦定理得sin sin 120ADABADB=∠，则sin 2ADB ∠=，所以45,15ADB DAB ∠=∠= ，则30A = ，所以 ABC 是等腰三角形，即==AB BC 所以2222cos 1206ACABBCAB BC =+-⋅⋅= ，故AC =，故选：C 8．A【分析】化简已知得1sin cos 26ab C C =，解方程即得解.【详解】解：1sin 2ABC S ab C = ，由余弦定理得2222cos b a c ab C +-=，∴结合)22212ABC S b a c =+-△，得1sin cos 26ab C C =，sin C C ∴=，()0,πC ∈ ，所以cos 0C ≠，∴tan C =6C π∴=．故选：A ．9．2【分析】由题意确定相应的各角的度数，在ABC 中，由正弦定理求得BC ,同理再求出DB ，解DBC △，求得答案.【详解】由题意可知，904545,9045135,9015105CAB DAB CBA ∠=-=∠=+=∠=+= ,157590,15CDB DBA ∠=+=∠= ,故在ABC 中，1804510530ACB ∠=--= ，故sin sin BD AB DAB ADB =∠∠，1sin 45sin 30BC ⨯==，在ABD △中，1801513530ADB ∠=--= ，故sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，1sin135sin 30BD ⨯=所以在DBC △中，90CBD ∠= ，则2CD =,故答案为：210．4【分析】先由正弦定理求得3C π=，再由余弦定理求出23ab c ≤=，即可求出ABC 面积的最大值.【详解】因为in 2s c a A =，由正弦定理可得：2sin sin c a C A ==，所以sin 2c C ==又ABC 为锐角三角形，所以3C π=.由余弦定理得：2222cos 2c a b ab C ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a =b 时等号成立）即23ab c ≤=，所以11sin 322ABC S ab C =≤⨯=△a =b ，即ABC 为等边三角形时等号成立）.所以ABC故答案为：4.11．B【分析】由两角和的正弦公式结合正弦定理和余弦定理可求出a b =，即可判断ABC 的形状.【详解】因为()sin 2sin cos C B C B =+，sin()sin B C A +=，所以sin 2sin cos C A B =，所以由正余弦定理得22222a c b c a ac+-=⋅，化简得22a b =，所以a b =，所以ABC 为等腰三角形.故选：B.12．B【分析】根据余弦定理角化边可得结果.【详解】由2cos a B c ⋅=以及余弦定理得22222a c b a c ac+-⋅=，化简得a b =，所以三角形的形状一定是等腰三角形.故选：B 13．C【分析】由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断【详解】设三角形的三条边为a ，b ，c ，设BC 中点为D ，1()2AD AB AC =+，则()222124AD AB AC AB AC=++⋅ ()2222222211222424b c a c b bc b c a bc ⎛⎫+-=++⋅=+- ⎪⎝⎭，∴2222228b c a +-=同理，2222222228,224a b c a c b +-=+-=∴2222831003283a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴3a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，33a c +=>，∴可以构成三角形2225610044333a cb +-=-=-，∴cos 0B <，∴ABC 为钝角三角形，故选：C 14．B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B=，∴sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =，又∵A 、B 为ABC ∆的内角，∴A B =，又∵222c a b ab =+-，∴222ab a b c =+-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=，∴ABC ∆为等边三角形.故选：B.15．A【分析】由22cos a b c B -=，利用余弦定理可求C ，再利用三角形内角的关系结合两角和与差的三角函数可求A ，进而可得三角形的形状.【详解】解：由22cos a b c B -=，根据余弦定理，故222222a c b a b c ac+--=，所以222a b c ab +-=，所以1cos 2C =，()0C π∈，，所以3C π=，所以23A B π+=，因为cos cos 1A B +=，所以2221cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin 133322πππ⎛⎫+-=++=-+= ⎪⎝⎭A A A A A A A A ，即1cos 122A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0A π∈，，所以62A ππ+=，所以3A π=，从而3B AC ππ=--=.所以三角形为等边三角形，故选:.A 16．C【分析】先依据条件222b c a bc +=+求得π3A =，再利用2sin sin sinBC A =可以求得b c =，从而判断△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，222b c a bc +=+，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又0πA <<，则π3A =由2sin sin sinBC A =，可得2a bc =，代入222b c a bc+=+则有222b c bc bc bc +=+=，则()20b c -=，则b c =又π3A =，则△ABC 的形状是等边三角形故选：C17．D【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可【详解】由正弦定理有22sin cos sin sin sin cos A A B B A B =，因为sin ,sin 0A B ≠，故sin cos sin cos A A B B =，故2sin cos 2sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，又(),0,A B π∈，故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，故ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形故选：D18．D【分析】利用正弦定理，化简得sin cos sin cos 0A C B C -=，进而对cos C 进行分类讨论，分为①cos 0C =；②cos 0C ≠两种情况进行求解，即可得到答案.【详解】1111sin sin tan tan c A c B b A a B -=-，利用正弦定理，可得，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B-=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A B C A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=，①cos 0C =时，有等式成立，此时2C π=；②cos 0C ≠时，有sin sin A B =，因为0,0A B ππ<<<<，所以，A B =.故ABC 为等腰或直角三角形.故选：D。

正弦定理练习题经典正弦定理是解决三角形中的边和角之间关系的重要工具。

它可以帮助我们推导解决各种各样的三角形题目。

为了帮助大家更好地理解和应用正弦定理，下面将给出一些经典的练习题。

练习题一:已知一个三角形ABC，边a=5，边b=9，角C=35°，求边c的长度。

解析:根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c我们已知角C=35°，边a=5，边b=9，将题目中的数值代入等式中，可得：sinA/5 = sinB/9 = sin35°/c由此，我们可以继续推导：sinA = (5/c) * sin35°sinB = (9/c) * sin35°接下来，我们可以利用已知三角函数值表，查找sin35°的近似值为0.574，将其带入以上等式：sinA = (5/c) * 0.574sinB = (9/c) * 0.574由此，我们可以进一步推导：5/c = sinB/0.5749/c = sinA/0.574换算一下：c = 5 / (sinB/0.574)c = 9 / (sinA/0.574)最后，我们可以计算出边c的长度：c = 5 / (sin35°/0.574) ≈ 9.41c = 9 / (sin35°/0.574) ≈ 16.28练习题二:已知一个三角形ABC，边a=7.5，边b=8，角A=48°，求角B的大小。

解析:同样根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c已知边a=7.5，边b=8，角A=48°，将题目中的数值代入等式中，可得：sin48°/7.5 = sinB/8我们可以继续推导：sinB = (8/7.5) * sin48°利用已知三角函数值表，查找sin48°的近似值为0.743，将其带入以上等式：sinB = (8/7.5) * 0.743最后，我们可以计算角B的大小：B = arcsin[(8/7.5) * 0.743] ≈ 71.7°通过以上两个经典的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形中的边和角之间关系时的应用。

正弦定理【预习达标】在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即sin aA= = 。

2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|= = ，即sin aA= ，同理得 ，故有sin aA= 。

3. 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即sin a A = ，故有sin aA= 。

【典例解析】一 新课导入，推导公式 （1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。

例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=【达标练习】1. 已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ3 D 2ABD（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 -（3）正弦定理的内容是————————————（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则则a=------------------------，b=------------------------（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明==+c b a CBA sin sin sin +参考答案【预习达标】1．a,b,sin sin b c B C=. 2.bsinA asinB ,sin b B , sin aA =sin c C ,sin b B =sin c C . 3. .bsinA asinB ,sin b B , sin b B =sin cC .【典例解析】在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

正弦定理经典题型归纳正弦定理是三角形中的一种重要定理，它表明各边和它所对角的正弦的比相等。

这个定理适用于任意三角形。

除了原始的正弦定理，还有一些变形。

其中一个问题是“已知a、b和A，解三角形”。

当sinB>1时，无解；当sinB=1时，只有一个解；当sinB<1时，有两个解。

需要根据“大边对大角”以及“三角形内角和等于180”来判断B是锐角还是钝角，或者两个都有可能。

在解三角形的过程中，有几种常见的题型。

第一种是已知两角及任意一边，需要解出三角形。

例如，在△ABC中，已知A＝45°，B＝60°，a＝2，则b等于2.另一个例子是，在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于43.第二种题型是已知两边及一边对角，需要解出三角形。

例如，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为45°或135°。

另一个例子是，在△ABC中，a＝6，b＝26，B＝120°，则c等于2.第三种题型是正弦定理的边角转化。

例如，在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于1∶5∶6.另一个例子是，在△ABC中，若cosAb＝cosBa，则△ABC是等腰三角形。

需要注意的是，在解三角形的过程中，如果sinB>1或者sinB=1，则无法解出三角形。

此外，如果已知的条件不足以解出三角形，也无法得出解。

因此，在解题时需要仔细分析已知条件，判断是否能够得到解。

最后，需要注意一些常见的错误。

例如，将角度和弧度混淆，或者错误地使用正弦定理等。

为了避免这些错误，需要认真研究和理解三角函数及其应用，多做练，加深对知识点的理解和掌握。

A。

等腰三角形 B。

等边三角形 C。

直角三角形 D。

无法确定在三角形中，有几种常见的类型，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

专题01：正弦定理常见题型题型一：正弦定理及辨析例1：1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin cos A Ba b=，则B =（ ） A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理结合sin cos A Ba b=求得tan 1B =，即可求出B . 【详解】 由正弦定理可得sin sin cos A B B a b b==，则sin cos B B =，tan 1B =，又()0,B π∈，则4B π=.故选：C. 举一反三1．（多选）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ， 则下列说法正确的有（ ） A ．A :B :C = a :b :c B ．sin sin sin sin a b c aA B C A++=++C ．若A >B ， 则a >bD ．πA B C ++=【答案】BCD 【解析】 【分析】结合三角形的性质、正弦定理求得正确答案. 【详解】在三角形中，大角对大边，所以C 选项正确. 三角形的内角和为π，所以D 选项正确.由正弦定理得::sin :sin :sin a b c A B C =，所以A 选项错误. 设sin sin sin a b ck A B C===， 则()sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin k A B C a b c a k A B C A B C A++++===++++，B 选项正确.故选：BCD2．在ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B =( )ABCD【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理可知：sin sin sin a b B A B =⇒=故选：A题型二：正弦定理解三角形例2：1．（2015·山东·高考真题）在△ABC 中，105A ∠=︒，45C ∠=︒，AB =BC 等于______．【解析】 【分析】由和角正弦公式求sin105︒函数值，再应用正弦定理求BC 即可. 【详解】sin105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理可知，sin sin AB BCC A=，∴sin sin AB A BC C ==2．（2016·江苏·高考真题）在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）2【解析】 【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ， 再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cos sin sin ,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 55A =-= 因为0A π<<，所以272sin 1cos A A =- 因此23721726cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ--=+==举一反三1．（2012·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，7，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于 A 3B 33C 36+D 339+【答案】B 【解析】 【详解】 7232127sin 60sin 7A A A =⇒==， 所以321sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 则BC 边上的高3213377h C ===B . 2．（2018北京高考）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC 33【解析】 【详解】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos 7B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =8437，∴sin A =32．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎝⎭=3314．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337142⨯=，∴AC 边上的高为332．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 题型三：正弦定理判定三角形解得个数例3：1．设在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足3,,6a b m B π===的ABC 不唯一，则m 的取值范围为（ ） A ．33⎝ B ．3)C ．132⎛ ⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理计算可得； 【详解】解：由正弦定理sin sin a b A B =12m=，所以m =， 因为ABC 不唯一，即ABC 有两解，所以566A ππ<<且2A π≠，即1sin 12A <<，所以12sin 2A <<，所以11122sin A <<m <<故选：A2．在ABC 中，若3b =，2c =，45B =，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定【答案】C 【解析】 【分析】求出sin C 的值，结合大边对大角定理可得出结论. 【详解】由正弦定理可得sin sin b c B C=可得2sin 2sin sin 33c B C B b ===<， 因为c b <，则C B <，故C 为锐角，故满足条件的ABC 只有一个. 故选：C. 举一反三1．在△ABC 中，3A π∠=，b ＝6，下面使得三角形有两组解的a 的值可以为（ ）A ．4 B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】解：由题意，根据正弦定理有sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a =，要使三角形有两组解，则sin sin 1b AB a=<，且a b <，即sin b A a b <<，所以6a <，所以a 的值可以为 故选：C ．2．（多选）ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，以下条件中，使得ABC 无解的是（ ）A ．120a b A ===；B ．45a b A ===；C ．60;b A B ===D ．,sin ,60c A B c ===， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正余弦定理及三角形的性质分析解即可. 【详解】对于A ，大边对大角，而a <b ，无解； 对于B ，由正弦定理得sinB 1>，无解；对于C ，由cos A 可得sin A =a ，再由正弦定理或余弦定理可求出c ，有解；对于D ，由=c 和a ，通过余弦定理可得cos 0C =，与60C =矛盾，无解. 故选：ABD题型四：正弦定理求外接圆的半径例4：1．（2011·全国·高考真题（理））设向量,,a b c 满足2a b ==，2a b ⋅=-，,60a c b c --=︒，则c 的最大值等于A ．4B ．2CD ．1【答案】A 【解析】 【详解】因为2a b ==，2a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒.如图所以，设,,OA a OB b OC c ===，则CA a c =-, C B b c =-,120AOB ∠=︒. 所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆. 不妨设为圆M ，因为AB b a =-,所以222212AB a a b b =-+=. 所以23AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c 取得最大值4. 故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 211213【解析】 【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解. 【详解】 根据余弦定理：22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 得7BC =由正弦定理△ABC sin3=故答案为 举一反三1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,cos sin a b C c A ==-，则ABC 的外接圆半径为__________.【解析】 【分析】利用正弦定理可得sin sin cos sin sin B A C C A =-，进而可得34A π=，即得.【详解】1a =，则cos sin b a C c A =-，由正弦定理，得sin sin cos sin sin B A C C A =- 故()sin sin cos sin sin A C A C C A +=-，展开化简得：cos sin sin sin A C C A =-，()0,C π∈，sin 0C ≠， 故cos sin A A =-，()0,A π∈， 即34A π=，∴外接圆直径2R sin aA==，.2．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边若2a =，3b =，sin 2sin cos A B C =，则ABC 外接圆的半径为_____________．【解析】 【分析】利用正弦定理角化边求出cos C ，再根据余弦定理求出c ，进而求出外接圆半径.由正弦定理得，2cos a b C =，1cos 3C =， 由余弦定理得222222231cos 22233a b c c C ab +-+-===⨯⨯，解得3c =．又sin C =，所以外接圆半径12sin c R C =⋅=故答案为：8. 题型五：正弦定理边角互化例5：1．（2019·全国·高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】 【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．2．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立． 举一反三1．（2014·江西·高考真题（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为（ ）A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角求解即可. 【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.2．（2022·安徽·一模（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ）A ．1B ．32C ．43D ．54 【答案】C【解析】【分析】 先由正弦定理化简得111tan tan C B +=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B +=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故1≥tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立， 此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C +⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C -取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43， 即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43． 故选：C ．。

1.正弦定理类型一定理证明例1在钝角△A B C 中，证明正弦定理.证明如图，过C 作C D ⊥A B ，垂足为D ，D 是B A 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝s i n ∠C A D ＝s i n (180°－A )C D b＝s i n A ，＝s i n B .C D a∴C D ＝b s i n A ＝a s i n B .∴＝.a s i n A b s i n B同理，＝.故＝＝.b s i n B c s i n C a s i n A b s i n B cs i n C类型二用正弦定理解三角形例2在△A B C 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9c m ，解三角形.解根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，b ＝＝≈80.1(c m )；a s i n B s i n A 42.9s i n 81.8°s i n 32.0°根据正弦定理，c ＝＝≈74.1(c m ).a s i n C s i n A 42.9s i n 66.2°s i n 32.0°跟踪训练2在△A B C 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值.解根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，b ＝＝＝9.a s i n B s i n A 18s i n 60°s i n 45°6类型三边角互化例3在任意△A B C 中，求证：a (s i n B －s i n C )＋b (s i n C －s i n A )＋c (s i n A －s i n B )＝0.证明由正弦定理，令a ＝k s i n A ，b ＝k s i n B ，c ＝k s i n C ，k >0.代入得：左边＝k (s i n A s i n B －s i n A s i n C ＋s i n B s i n C －s i n B s i n A ＋s i n C s i n A －s i n C s i n B )＝0＝右边，所以等式成立.跟踪训练3在△A B C 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值.解∵A ＋B ＋C ＝π，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝，B ＝，C ＝，π6π3π2∴s i n A ＝，s i n B ＝，s i n C ＝1.1232设＝＝＝k (k >0)，则a s i n A b s i n B c s i n Ca ＝k s i n A ＝，b ＝k s i n B ＝k ，c ＝k s i n C ＝k ，k 232∴a ∶b ∶c ＝∶∶1＝1∶∶2.12323类型四判断三角形解的个数例4在△A B C 中，已知a ＝20c m ，b ＝28c m ，A ＝40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1c m ).解根据正弦定理，s i n B ＝＝≈0.8999.b s i n A a 28s i n 40°20因为0°<B <180°，且b >a ，B >A ，(1)当B ≈64°时，C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(40°＋64°)＝76°，c ＝＝≈30(c m ).a s i n C s i n A 20s i n 76°s i n 40°(2)当B ≈116°时，C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(40°＋116°)＝24°，c ＝＝≈13(c m ).a s i n C s i n A 20s i n 24°s i n 40°综上，B ≈64°，C ＝76°，c ≈30c m 或B ≈116°，C ＝24°，c ≈13c m ，所以B ≈64°，或B ≈116°.跟踪训练4已知一三角形中a ＝2，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该3三角形.解a ＝2，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.3又因为b s i n A ＝6s i n 30°＝3，a >b s i n A ，所以本题有两解，由正弦定理得，s i n B ＝＝＝，b s i n A a 6s i n 30°2332因为b >a ，B >A ，B ∈(0°，180°)，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝＝4；a 2＋b 23当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2.3所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2.3类型五利用正弦定理求最值或取值范围例5在锐角△A B C 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b s i n A ，求c o s A ＋s i n C 的取值范围.解∵a ＝2b s i n A ，∴由正弦定理得s i n A ＝2s i n B s i n A ，又∵A ∈(0，)，s i n A ≠0，π2∴s i n B ＝.∵B 为锐角，∴B ＝.12π6令y ＝c o s A ＋s i n C ＝c o s A ＋s i n π－(B ＋A )[]＝c o s A ＋s i n π6＋A ()＝c o s A ＋s i n c o s A ＋c o s s i n A π6π6＝c o s A ＋s i n A ＝s i n .32323A ＋π3()由锐角△A B C 知，－B <A <，∴<A <.π2π2π3π2∵<A ＋<，∴<s i n <，2π3π35π612A ＋π3()32∴<s i n <，即<y <.323A ＋π3()323232∴c o s A ＋s i n C 的取值范围是.32，32()跟踪训练5在△A B C 中，若C ＝2B ，求的取值范围.c b解因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <，π3所以<c o s B <1，12所以1<2c o s B <2，又＝＝＝2c o s B ，c b s i n C s i n B s i n 2B s i n B 所以1<<2.c b 类型六正弦定理与三角变换的综合例6已知△A B C 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2c o s 2B －8c o s B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△A B C 的形状.解∵2c o s 2B －8c o s B ＋5＝0，∴2(2c o s 2B －1)－8c o s B ＋5＝0.∴4c o s 2B －8c o s B ＋3＝0，即(2c o s B －1)(2c o s B －3)＝0.解得c o s B ＝或c o s B ＝(舍去).1232∵0<B <π，∴B ＝.π3∵a ＋c ＝2b .由正弦定理得s i n A ＋s i n C ＝2s i n B ＝2s i n ＝.π33∴s i n A ＋s i n ＝，2π3－A ()3∴s i n A ＋s i n c o s A －c o s s i n A ＝.2π32π33化简得s i n A ＋c o s A ＝，∴s i n ＝1.32323A ＋π6()∵0<A <π，∴<A ＋<，π6π67π6∴A ＋＝.∴A ＝，C ＝.π6π2π3π3∴△A B C 是等边三角形.跟踪训练6已知方程x 2－(b c o s A )x ＋a c o s B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△A B C的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状.解设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得∴b c o s A ＝a c o s B .x 1＋x 2＝b c o s A ，x 1x 2＝a c o s B ，{由正弦定理得s i n B c o s A ＝s i n A c o s B ，∴s i n A c o s B －c o s A s i n B ＝0，s i n (A －B )＝0.∵A 、B 为△A B C 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π.∴A －B ＝0，即A ＝B .故△A B C 为等腰三角形.课时作业一、选择题1.在△A B C 中，若a ＝3，c o s A ＝，则△A B C 外接圆的半径为()12A .6B .2C .3D .33答案D解析∵c o s A ＝，A ∈(0，)，12π2∴s i n A ＝，32由＝2R 得R ＝.a s i n A 32.在△A B C 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则s i n A ∶s i n B ∶s i n C 等于()A .6∶5∶4B .7∶5∶3C .3∶5∶7D .4∶5∶6答案B解析∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴＝＝.令＝＝＝k (k >0)，b ＋c 4c ＋a 5a ＋b6b ＋c 4c ＋a 5a ＋b6则解得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，{a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .{∴s i n A ∶s i n B ∶s i n C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.3.在△A B C 中，a ＝2b c o s C ，则这个三角形一定是()A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理得：s i n A ＝2s i n B c o s C ，∴s i n (B ＋C )＝2s i n B c o s C ，∴s i n B c o s C ＋c o s B s i n C ＝2s i n B c o s C ，∴s i n (B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，∴B ＝C ，故选A .4.在△A B C 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为()3A .45°B .60°C .75°D .90°答案C解析设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴＝＝c a s i n C s i n A s i n (120°－A )s i n A＝s i n 120°c o s A －c o s 120°s i n As i n A＝·＋＝＋，32c o s A s i n A 123212∴＝1.∴t a n A ＝1，c o s As i n A 又∵A 为锐角，∴A ＝45°，C ＝75°.5.在△A B C 中，＝，则△A B C 一定是()a c o s B bc o s A A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形答案D解析在△A B C 中，∵＝，a c o s B bc o s A ∴a c o s A ＝b c o s B ，由正弦定理，得s i n A c o s A ＝s i n B c o s B ，∴s i n 2A ＝s i n 2B .又∵A ，B ∈(0°，180°)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△A B C 为等腰三角形或直角三角形.6.在△A B C 中，若t a n A ＝，C ＝150°，B C ＝1，则A B 等于()13A .2B .C .D .4103102答案C 解析∵t a n A ＝，A ∈(0°，180°)，13∴s i n A ＝.1010由正弦定理知＝，B C s i n A A Bs i n C∴A B ＝＝＝.B C s i n C s i n A 1×s i n 150°1010102二、填空题7.在△A B C 中，若b ＝1，c ＝，C ＝，则a ＝.32π3答案1解析由正弦定理，有＝，3s i n 2π31s i n B ∴s i n B ＝.12∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝，π6∴A ＝.∴a ＝b ＝1.π68.在△A B C 中，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则B ＝.32答案45°解析由正弦定理＝，得s i n B ＝，a s i n A b s i n B 22∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解.∴B ＝45°.9.在△A B C 中，A ＝，B C ＝3，则△A B C 的周长为(用B 表示).π3答案6s i n ＋3B ＋π6()解析在△A B C 中，由正弦定理得＝，A C s i n B 332化简得A C ＝2s i n B ，＝，3A B s i n π－B ＋π3()[]332化简得A B ＝2s i n ，32π3－B ()所以三角形的周长为B C ＋A C ＋A B ＝3＋2s i n B ＋2s i n ＝3＋3s i n B ＋3c o s 332π3－B ()3B＝6s i n ＋3.B ＋π6()10.已知c ＝50，b ＝72，C ＝135°，则三角形解的个数为.答案0解析∵c <b ，∴C <B ，∴B ＋C >180°，故三角形无解.三、解答题11.在△A B C 中，求证：＝.a －c c o s B b －c c o s As i n B s i n A 证明因为＝＝＝2R ，a s i n A b s i n B c s i n C所以左边＝2R s i n A －2R s i n C c o s B 2R s i n B －2R s i n C c o s A＝s i n (B ＋C )－s i n C c o s B s i n (A ＋C )－s i n C c o s A ＝＝＝右边.s i n B c o s C s i n A c o s C s i n B s i n A所以等式成立.12.在△A B C 中，已知c ＝10，＝＝，求a 、b 及△A B C 的内切圆半径.c o s A c o s B b a 43解由正弦定理知＝，∴＝.s i n B s i n A b a c o s A c o s B s i n B s i n A即s i n A c o s A ＝s i n B c o s B ，∴s i n 2A ＝s i n 2B .又∵a ≠b ，且A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝.π2∴△A B C 是直角三角形，且C ＝，π2由得a ＝6，b ＝8.a 2＋b 2＝102，b a ＝43{故内切圆的半径为r ＝＝＝2.a ＋b －c 26＋8－10213.在△A B C 中，已知a 2t a n B ＝b 2t a n A ，试判断△A B C 的形状.解设三角形外接圆半径为R ，则a 2t a n B ＝b 2t a n A ⇔＝，a 2s i n B c o s B b 2s i n A c o s A＝，4R 2s i n 2A s i n B c o s B 4R 2s i n 2B s i n A c o s As i n A c o s A ＝s i n B c o s B ⇔s i n 2A ＝s i n 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝.π2所以△A B C 为等腰三角形或直角三角形.。

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =，∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ⨯=== ∴ 180()105B A C =-+=，又sin sin b c B C=，∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304c B b C ⨯====⨯= 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==.例2．在60,1ABC b B c ∆===中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin2c B C b ===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =，当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；当30C =时，90A =，∴2a =．（方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <，∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A =∴2a ==．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

第七节 正弦定理和余弦定理【知识回顾】【课前演练】1. 在△ABC 中, 若∠A ＝60°, ∠B ＝45°, BC ＝3 , 则AC ＝( ) A. 4 B. 2 C.D.2．（余弦定理）在△ABC 中, a ＝ , b ＝1, c ＝2, 则A 等于( ) A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°[例1](2012·浙江高考)在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3, sin C＝2sin A, 求a, c的值.变式训练一:△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B＋bcos2A＝ a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋a2, 求B.[例2]在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边, 且2asi.A＝(2b＋c)si.B＋(2c＋b)si.C.求A的大小；【变式训练二】: 已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 向量m＝(4, －1), n＝, 且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2 , 试判断△ABC的形状.[例3](2012·新课标全国卷)已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边, acos C ＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2, △ABC的面积为, 求b, c.【变式训练三】: . (2012·江西重点中学联考)在△ABC中, cos 2A＝cos2A－cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3, sin B＝2sin C, 求S△ABC.1. 在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C所对的边. 若A＝, b＝1, △ABC的面积为, 则a的值为() A. 1 B. 2 C. D.2．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知a＝2 , c＝2 , 1＋＝, 则C ＝()A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°3．在△ABC中, 角A, B, C所对边的长分别为a, b, c, 若a2＋b2＝2c2, 则cos C的最小值为()A. B. C. D. －4．在△ABC中, 若sin2 A＋sin2B<sin2C, 则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 在△ABC中, 角A.B.C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B, 则角A的大小为6. 在△ABC中, 若a＝3, b＝, A＝, 则C的大小为________.7. 在△ABC中, 若a＝2, b＋c＝7, cos B＝－, 则b＝________.8．△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, asin A＋csin C－asin C＝bsin B.(1)求B；(2)若A＝75°, b＝2, 求a, c.9. 在锐角三角形ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边, 且满足a－2bsin A＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5, 且a>c, b＝, 求·的值.。

正弦定理演习题 【1 】1．在△ABC 中,A ＝45°,B ＝60°,a ＝2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.144．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( ) A.6B ．2C.3D. 26．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________.9．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________.10．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.11．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解．12 . 断定知足下列前提的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解 正弦定理1．在△ABC 中,∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.运用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ,求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.4．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B ＝45°. 5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A.6B ．2 C.3D. 26sin120°＝2sin C, ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A ＝30°,△ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.6．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin B sin A, sin A cos A ＝sin B cos B ,∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B ,或A ＋B ＝π2. 8．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B ＝30°,则△ABC 的面积为( ) A.32B.34 C.32或3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ,求出sin C ＝32,∵AB ＞AC , ∴∠C 有两解,即∠C ＝60°或120°,∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 9．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C, 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ,∴A ＜C ＝π3,∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a ＝c ,由a sin A ＝b sin B 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43,∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解． 解析：∵Bb Cc sin sin =,有B sin 3430sin 2=︒,得sinB=13＞ ∴此三角形无解．答案：0一,二,二,无。

正、余弦定理的五大命题热点一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB例2 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________四、求值问题例5 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc cb =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值．利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？（三.）追击问题例3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45° 方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇． 例6 (2005年全国高考卷三试题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2=a c ，.43cos =B （Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a ＋c 的值.易错题解析西 北南东 A B C 30° 15°图2图1 A B C D 图3C°例题2在△ABC中，若abAB22=tantan，试判断△ABC的形状。