数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22(,)1A x y x y =+=│，{}(,)B x y y x ==│，则A B 中元素的个数( )A.3B.2C.1D.0 2.设复数z 满足()1i z 2i +=，则z =( )A.12D.23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.()()5+y 2y x x -的展开式中33y x 的系数为( )A.-80B.-40C.40D.805.已知双曲线2222:1x y C a b-=()00>>a b ，的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C 的方程为( ) A.221810x y -= B.22145x y -= C.22154x y -= D.22143x y -= 6.设函数()π3cos ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，则下列结论错误的是( )A.()f x 的一个周期为2π-B.()f x 的图像关于直线8π=3x 对称 C.()π+f x 的一个零点为π6=x D.()f x 在(π2,π)单调递减 7.执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A.5B.4C.3D.28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若236a a a ,,成等比数列，则{}n a 前6项的和为 ( ) A.24-B.3-C.3D.810.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）D.1311.已知函数211()2(e e )--+=-++x x f x x x a 有唯一零点，则a = ( )A.12-B.13C.12D.112.在矩形ABCD 中，12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP=AB+AD λμ，则λμ+的最大值为( )A.3D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件y 0,20,0,x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z 34x y =-的最小值为 .14.设等比数列{}n a 满足1213–1,3a a a a +==--，则4=a . 15.设函数1,0,()2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .16.ab ，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a b ，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒.其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin 0=A A，a ,2b =.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD △的面积.18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19.（12分）如图，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，.ABD CBD AB BD ∠=∠=，（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角––D AE C 的余弦值.数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）20.（12分）已知抛物线C ：22y x =，过点（2，0）的直线l 交C 与,A B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.21.（12分）已知函数1(n )l =--f x a x x . （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111+1+1+222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜，求m 的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2,,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：()cos si n ρθθ+，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数12f x x x =+--（）. （1）求不等式1f x ≥（）的解集；（2）若不等式2– f x x x m ≥+（）的解集非空，求m 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）AB 中元素的个数为()1i -，所以3.【答案】A【解析】根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A 错误. 4．【答案】C【解析】当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含23x y 的项，即()()23352C x y -，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含32x y 的项，即()()32252C x y -，所以33x y 的系数为()23325522108440C C ⨯-⨯=⨯-=.5．【答案】B【解析】根据双曲线C 的渐近线方程为2y x =，可知2b a = ①，又椭圆221123x y +=的焦点坐标为（3，0）和（3-，0）,所以229a b += ②，根据①②可知224,5a b ==,所以选B. 6．【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数()f x 的最小正周期为2π ,所以函数的一个周期为π2-，A 正确；当8ππ,3π33=+=x x ，所以πcos 13⎛⎫+=- ⎪⎝⎭x ，所以B 正确；()4cos cos 33ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x ，当π6=x 时，4π3π32+=x ，所以()π0+=f x ，所以C 正确；函数()πcos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 在（π2，23π）上单调递减；（23π，π）上单调递增，故D 不正确.所以选D . 7．【答案】D【解析】010*******,100911001090,13S M t S M t =+==-==-===，，＞；， ,90＜91，输出S ，此时，3t =不满足t N ≤，所以输入的正整数N 的最小值为2，故选D. 8．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，则22213=1=24r ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以，圆柱的体积33=π1=π44⨯V ，故选B. 9．【答案】A【解析】设等差数列n a 的公差为d ，因为236,,a a a 成等比数列，所以2263a a a =，即()()()211152a d a d a d ++=+，又11a =，所以220d d +=，又0,d ≠则2d =-，所以6159a a d =+=-，所以n a 的前6项的和6196242S -=⨯=-，故选A. 10．【答案】A以线段12A A 为直径的圆的方程为222x y a +=，由原点到直线20bx ay ab -+=的距离==d a ，得223a b =，所以C 的离心率3e ==.11．【答案】C【解析】由()()2112x x f x x x a e e --+=-++，得()()()()()(221212112122224422x x x x x f x x x a e e x x x a e e x x a e --+-----⎡⎤-=---++=-++++=-+⎣⎦，所以()()2f x f x -=，即1x =为()f x 图像的对称轴.由题意()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即()()2111111210f a e e --+=-⨯++=，解得12a =.故选C. 12．【答案】A【解析】以A 为坐标原点，AB AD ，所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），C （1，2），D （0，2），可得直线BD 的方程为220x y +-=，点C 到直线BD =，圆C ：数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）()()224125x y -+-=，因为P 在圆C 上，所以P（1cos 5θ+，25θ+）(1,0)AB =，(0,2)AD =，(,2)AP AB AD λμλμ=+=，所以122{θλθμ==()22sin 3λμθθθα+==++≤，tan 2α=，选A.13．【答案】1-【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线:340l x y -=，平移直线l ，当直线34z x y =-经过点A （1，1）时，z 取得最小值，最小值为341-=-.14．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则121(1)1a a a q +=+=-，2131(1)3a a a q -=-=-，两式相除，得21113q q +=-，解得12,1q a =-=，所以3418a a q ==-.15．【答案】∞1（-，+）4【解析】当0x ＞，()=21xf x ＞恒成立，当102x -＞，即12x ＞时，121()=212x f x --＞，当102x -≤，即102x ≤＜时，111()=222f x x -+＞，则不等式1()()12f x f x +-＞恒成立.当0x ≤时，113()()121222+-=+++=+f x f x x x x ＞，所以104x -≤＜.综上所述，x 的取值范围是（14-，+∞）.16．【答案】②③【解析】由题意知，,,a b AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1，则1,AC AB ==AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，l 为半径的圆.数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）以C 为坐标原点，以CD 的方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，CA 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.则D （1，0，0），A （0，0，1）， 直线a 的单位方向向量(0,1,0), 1.a a == B 点起始坐标为（0，1，0）， 直线b 的单位方向向量b (1,0,0), 1.b == 设B 点在运动过程中的坐标B'(cos ,sin ,0)θθ， 其中θ为'CB 与CD 的夹角，[0,2)θπ∈.那么AB'在运动过程中的向量'(cos ,sin ,1),'2AB AB θθ=-=.设直线AB'与a 所成的夹角为[0,2],απ∈(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos a ABθθαθ-⋅==∈ 故[,],42ππα∈所以③正确，④错误. 设直线AB'与b 所成的夹角为β，则[0,2],βπ∈'b cos 'AB b AB β⋅=(cos ,sin ,1)(1,0,0)'b AB θθ-⋅=.θ 当'AB 与a 成60︒角时，=3πα，1sin=322πθα因为22sin+cos =1,θθ所以cos =2θ 所以1cos =.2βθ 因为[0,2],βπ∈所以=3πβ，此时'AB 与b 成60︒角.所以②正确，①错误.三、解答题17.【答案】解：（1）由已知得tan =A 所以2π3A=. 在ABC 中，由余弦定理得22π2844cos3=+-c c ，即2+224=0c c -. 解得c 6=-，（舍去），c =4（2）由题设可得π=2∠CAD ，所以π6∠=∠-∠=BAD BAC CAD .故ABD 面积与ACD 面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD= 又ABC 的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD ∆【解析】（1））先求出角A ,再根据余弦定理求出c 即可；（2）根据ABD ，ACD ，ABC 的面积之间的关系求解即可.18.【答案】解：（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为（2200，因此只需考虑200500n ≤≤当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[)20，,25，则63002300412002;Y n n n =⨯+--=-（） 若最高气温低于20，则6200220048002;Y n n n =⨯+--=-（） 因此()20.4120020.480020.26400.4.EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-（） 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642;Y n n n =-=若最高气温低于20，则6200220048002;Y n n n =⨯+--=-（） 因此()()20.40.480020.2160 1.2.EY n n n =⨯++-⨯=+ 所以300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.【解析】（1）根据表格提供的数据进行分类求解即可；（2)根据分布列得到关于利润的函数表达式，进而求解最值. 19.解：（1）由题设可得，,ABD CBD ∆≅∆从而AD DC =. 又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠.取AC 的中点O ，连接,,DO BO 则,.DO AC DO AO ⊥= 又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故0∠DOB=90.所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则-(1，0，0),(0(1，0，0),(0，0，1)A B C D .由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得102E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，故()()11，0，1，2，0，0，1，2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则0AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n即01022x z x y z .-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，可取113=,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭n .设m 是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 同理可得(01,=-m .则77cos ,==n m n m n m . 所以二面角D AE C --.数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）【解析】（1）通过题目中的边角关系证明线线垂直，进而得二面角D AC B --的平面角为DOB ∠，最后利用勾股定理的逆定理得 90DOB ∠=︒，从而得证；（2）根据（1）中得到的垂直关系，建立空间直角坐标系计算即可. 20.【答案】解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my .=+ 由222x my y x=+⎧⎨=⎩，可得212240则4y my ,y y --==-.又221212==22y y x ,x ,故()21212==44y y x x . 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为12124==14y y x x --，所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +. 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点42P -（，），因此0AP BP = ,故()()()()121244220x x y y --+++=，即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ， 所以2210m m --=，解得11或2m m ==-. 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为（3，1），圆M 的半径为，圆M 的方程为()()223110x y -+-=.当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）设出l 的方程，通过联立方程，证明直线OA 与OB 的斜率之积为1-即可； （2）根据（1）的结论及P 点的坐标即可求解直线与圆的方程. 21.【答案】解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫⎪⎝⎭，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x a =是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点.由于()10f =，所以当且仅当1a =时，()0f x ≥. 故1a =.（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --. 令1=1+2n x 得111+＜22n n ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3. 【解析】（1）通过求函数的导数，对函数的单调性进行研究，求解函数最小值点即可；（2)将问题转化为“和”式不等式，根据数列求和公式求解即可.数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）22.【答案】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得2l 的普通方程()212l :y x k=+.设,P x y （）,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠. （2）C 的极坐标方程为()()222cossin 40＜＜2ππ-=≠,.联立()()222cossin 4cos +sin-2=0⎧-=⎪⎨⎪⎩得()cossin =2cos +sin -.故1tan 3=-，从而2291cos =，sin =1010.代入()222cos-sin =4得2=5，所以交点M .【解析】（1）先将两条直线的参数方程化为普通方程，联立，消去k 即可得所求曲线C的普通方程；（2）先将（1）中求得的曲线C 的普通方程化为极坐标方程，再与3l 的极坐标方程联立，求出M 的极径即可.23.【答案】解：（1）()31211232,x f x x ,x ,x .--⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩＜，，＞ 当＜1x -时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤ 当＞2x 时，由()1f x ≥解得＞2x . 所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥.（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而22212+1+235=+2454x x x x x x x xx ,+---+≤--+⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+. 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）直接分段讨论即可解决问题；（2）先分离出参数m ，再将问题转化为最值问题，进而求解参数的取值范围.。
