大学数学(高数微积分)专题四第1讲立体几何(课堂讲义)

立体几何专题讲义一、考点分析1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★ 底面为矩形底面为正方形 侧棱与底面边长相等 2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；★②r =d 、球的半径为R 、截面的半径为r ）★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2344,3S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。

常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。

常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

3求二面角的平面角[]0,θπ∈解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

俯视图二、典型例题1．_________________.第1题2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.第2题 第3题3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .第4题 第5题5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是 a侧(左)视图 正(主)视图 3 俯视图6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .第6题 第7题7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3。

绪 论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry ”就是“土地测量”.Pythagoras 定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements )为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan 的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用. 内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()()(),(),()r r t x t y t z t ==.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§ 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB ，r ，r. 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0 . 反向量：a - . 向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘.内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠外积的定义.二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ⨯⨯=⋅-⋅ ；()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架{};,,O OA OB OC. 定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：{};,,O i j k. 笛卡尔直角坐标系. 坐标.内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3.三、正交标架流形取定一个正交标架{};,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ea i a j a k ⎧=++⎪=++⎪⎨=++⎪⎪=++⎩(1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足31ikjk ij k aa δ==∑， (1.7)即过渡矩阵()ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e是右手系，det 1A =，即矩阵111213212223313233(3)a a a A a a a SO a a a ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：{正交标架}←→3(3)E SO ⨯，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点Q 在两个正交标架{};,,O i j k 和{}123;,,P e e e中的坐标分别为(,,)x y z 和(,,)xy z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： 111213*********132333,,.x a xaya za y a xaya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.QOPki1e j2e 3e QO()P O σ=ki1e j2e 3e ()QQ σ=在刚体运动33:E E σ→下，若σ将正交标架{};,,O i j k 变为{}123;,,P e e e，则空间任意一点(,,)Q x y z 和它的像点 (,,)Q xy z (均为在{};,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为 111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za za xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E 中的任意两个正交标架，必有3E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:E E σ→称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§ 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3中的映射3::()r p r p →D .设有定义在区间[,]a b 上的向量函数()((),(),()),r t x t y t z t a t b =≤≤. 如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t是连续可微的. 向量函数()r t的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即0000()()lim t t t r t t r t drdt t∆→=+∆-=∆0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ∆→+∆-+∆-+∆-⎛⎫= ⎪∆∆∆⎝⎭()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)()1()lim ()(),(),()nbbbbi i aaaai r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=∆=∑⎰⎰⎰⎰， (2.7)其中01n a t t t b =<<<= 是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且{}max |1,2,,i t i n λ=∆= . (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()()()(),()()()()()()a t b t a t b t t at t a t t a t λλλ''''''+=+=+. 定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⋅=⋅+⋅；(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⨯=⨯+⨯；(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t ''''=++.定理2.2 设()a t是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '⋅≡. (2) 向量函数()a t的方向不变当且仅当()()0a t a t '⨯≡.(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡. 反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '⨯≠，那么向量函数()a t必定与某个固定的方向垂直.证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''== ，所以|()|a t 是常数2|()|a t ⇔是常数()()0a t a t '⇔⋅≡.(2) 因为()a t 处处非零，取()a t方向的单位向量1()|()|()b t a t a t -= . 则()()()a t f t b t = ，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是()()2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''⨯=⨯+=⨯∀“⇒”由条件知()b t c = 是常向量，()0b t c ''== . 从而()()0a t a t '⨯≡.“⇐”由条件得()()0b t b t '⨯≡，所以()b t ，()b t ' 处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'= . 用()b t 作内积，得()12()()()()()0t b t bt b t b t λ''=⋅=⋅≡ . 于是()0b t '≡ ，()b t c =是常向量.(3) 设向量函数()a t与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ⋅≡ . 求导得到1()0a t e '⋅≡ ，1()0a t e ''⋅≡ . 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡ .反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡ . 令()()()b t a t a t '=⨯. 由条件，()b t 处处非零. 且()b t '= ()()a t a t ''⨯连续. 根据二重外积公式，()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''⨯=⨯⨯⨯''''''=-'''=≡根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e = . 用()a t作内积，得()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '⋅=⋅=⋅⨯≡.由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ⋅≡ ，即()a t与固定方向1e 垂直. □课外作业： 1. 证明定理2.1.2. 设33:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{};,,O i j k . 令3 为3E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33::()()AB A B σσ→ . 如果()O O σ=，证明 是线性映射.3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设()(1)()()k k r t r t +⨯处处非零. 试求()()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明§ 2.1 参数曲线三维欧氏空间3E 中的一条曲线C 是一个连续映射3:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，参数曲线C 是映射p 的象.取定正交标架{};,,O i j k，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3)其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.由定义可知()()01()lim (),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t∆→''''==+∆-∆，(,)t a b ∈. (1.4)如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t是连续可微的. 此概念与标架的取法无关.(为什么？)导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.如果()0r t '≠ ，则()r t '是该曲线在()r t 处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为()()()X u r t ur t '=+， (1.5) 其中t 是固定的，u 是切线上点的参数，()X u是切线上参数为u 的点的位置向量.定义. 如果()r t是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，()0r t '≠ ，则称曲线()r t是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1)()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d d du dt t t u r t u r t t u ='=⋅ .这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)例1.1 圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r ta t a t bt t =∈ ，其中,ab 是常数，0a >.()()sin ,cos ,r t a t a t b '=- ，|()|0()0r t r t ''=>⇒≠所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2 半三次曲线32()(,),()r t t t t =∈.2()(3,2)r t t t '= ，(0)0r '= .这条曲线不是正则曲线.连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程(),()y f x z g x == (1.6)和隐式方程(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5§ 2.2 曲线的弧长设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则|()|b as r t dt '=⎰(2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为1max||01|()|lim|()()|i nbi i at i s r t dt r t r t +∆→='==-∑⎰.其中01n a t t t b =<<<= 是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，max λ={|1,i t i ∆=2,,n . (为什么？)令()|()|t as t r d ττ'=⎰. (2.4)则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.定理 2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.证明. “⇐”由(2.4)可知，s t a =-. “⇒”如果t 是弧长参数，则s t =，从而|()|1ds r t dt '==. □以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,rr 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3.§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令()()s r s α=. (3.1) 对于给定的s ，令θ∆是()s α 与()s s α+∆之间的夹角，其中0s ∆≠是s 的增量.定理3.1 设()s α 是曲线()r r s = 的单位切向量场，s 是弧长参数. 用θ∆表示向量()s s α+∆与()s α之间的夹角，则lim|()|ss s θα∆∆∆→= . (3.2) 证明. ()001||lim lim ()()s s d s s s ds s s ααααα∆→∆→∆===+∆-∆∆()()2200022sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθθθ∆∆∆∆→∆→∆→∆∆===∆∆∆， ()r s 0s =图2-5O()s αs L=()s s α+∆()r s s +∆()s s α+∆()s α()()s s s αα+∆-θ∆因为θ∆=定义 )为该曲线的曲率向量.把曲线C . 其方程就是(3.3)当然，s (3.4) 所以(3.5) 即曲率κ由|()s α 如果在一点s 处()0s κ≠. 于是在该点有(3.6) 在()s κ (3.7)}),()s s γ ，称为曲线在该点的Frenet 标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.注意. 如果在一点0s 处0()0s κ=，则一般来说无法定义在该点的Frenet 标架. 1. 若()0s κ≡，则C 是直线，可以定义它的Frenet 标架.2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+ ；次法线：()()()u r s u s ργ=+法平面：[()]()0X r s s α-= ；从切平面：[()]()0X r s s β-= ；密切平面：[()]()0X r s s γ-=在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''⨯==' ，()|()|r t r t α'=' ，()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯，βγα=⨯ . (3.13) 证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，()|()|ds s t r t dt''==. 故(())()()()|()|(())()(),():(())|()|dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''====='. (3.12) 由曲率κ的定义，||0κα=≥ ，可知主法向量||αβα= 满足ακβ= . 上式再对t 求导，得 2d d ds r s s s s s s dt ds dtααααακβ'''''''''''=+=+=+.于是2333()()||r r s s s s s r r s αακβκαβκγκ'''''''''''''⨯=⨯+=⨯=⇒⨯= .所以33|()()||()()||()|r t r t r t r t s r t κ''''''⨯⨯==''. 代入上式得()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯. □ 例3.1 求圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈的曲率和Frenet 标架，其中0a >.解. ()r t 'r ' 所以例3.2 .解法1. 22t k ππ=+于是当/t π=r 所以在1)-，γ=解法2. 对应的参数为0s =. 则有 (0)((0),(0),(0))(0,0,1)r x y z ==， (1)以及22222222()()()1,(,).()()()0,()()()1,x s y s z s s x s y s x s xs y s z s εε⎧++=⎪∀∈-+-=⎨⎪++=⎩ (3.14) 求导得到()()()()()()0,2()()2()()()0,()()()()()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩(3.15) 令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0xz == ，(0)1y =± . 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y= ，于是 (0)((0),(0),(0))(0,1,0)xy z α==. (3.16) 对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得22()()()()()()1,2()()2()2()()2()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-⎧⎨+++-=⎩(3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y= ；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =- ；再由(3.17)第2式得(0)2x = . 所以(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y zα===-. 由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|κα== ，Frenet 标架为：(0)(0,0,1)r = ；(0)(0,1,0)α=，1(0)(0)(0)1)κβα==-，(0)(0)(0)1,0,2)γαβ=⨯=-- . □课外作业：习题1(2,4)，4，7§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数τγβ=-⋅ ，即()()()s s s τγβ=-⋅ 称为曲线的挠率.注. 由0γγ⋅= ，()0γαγαγκβ⋅=-⋅=-⋅= 可知//γβ . 因此可设γτβ=- ， (4.1)从而||||τγ= ，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{};,,r αβγ.“⇒” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-= 上，其中a是平面上一个定点的位置向量，n 是平面的法向量，a 和n均为常向量. 则有(())0,[0,]r s a n s L -=∀∈.求导得()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==⇒=∀.于是()//s n γ , 由于|()|||1s n γ== ，所以()s n γ=± 是常向量，从而0γ≡ ，||||0τγ=≡ . 即有0τ≡.“⇐”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-= . 所以()0s c γ=≠ 是常向量. 由(())()()()0d r s c r s c s s ds αγ=== 可知()r s c是一个常数，即0()()r s c r s c = ，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -= ，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c是平面的法向量. □设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩(4.8) 上式中的后三式可以写成矩阵的形式00000ακαβκτβγτγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (4.9) 作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (4.10) 其中a 为常数.证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r，即有()220()rs r a -= . (4.11)求导得到()0()()0rs r s α-=. 这说明0()r s r - 垂直于()s α，可设 0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)再求导，利用Frenet 公式得()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-. 比较两边,,αβγ的系数，得1λκ=-，λμτ= ，μλτ=- ， (4.13) 其中略去了自变量s . 所以1λκ=-，111d d ds ds λλμτττκ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. (4.14)将(4.12)两边平方可得()22220r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.2(,,)||r r r r r τ''''''='''⨯ . (4.18)证明. 因为()|()|ds s t r t dt''==，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt dsα''==，2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，23(())()()(())3()()(())(())()(())()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dts t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+于是3()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''⨯= ，从而()362()()()()(())(())()(),(),()()(())(()).r t r t r t s t s t s t r t rt r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=⨯⋅=⋅'=由(3.13)可知622()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=⨯ ，代入上式即得(4.18). □定理4.3 曲线()r r t = 是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=- ，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，|()|r t '=2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，||r r '''⨯=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=-所以2(,,)r r r a b ''''''= ，22b a b τ=+. □课外作业：习题1(2, 4)，4，10§ 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理 5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 选取3E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变为1C 在0s =处的Frenet 标架{}1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动σ将2C 变为正则曲线3C .设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====令{}1111();(),(),()r s s s s αβγ 和{}3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩(5.6) 1111(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩(5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα= ， ()123()(),(),()s s s s ββββ= ，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.初始条件为：()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零.如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|t a s t r d ξξ'=⎰ ，2C 的弧长为 ()23322()()|()||()|(())()t t t a a a dr s t r d d d s t r duλλξξλξξηλη'''====⎰⎰⎰.由条件，可取132()()()s s t s t s t λ=== 作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----==== ，12s λμ-= . 于是 1111112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡ .同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □定理5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3E 中的正则曲线:()C r r s =，[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：,,,.dr ds d ds d ds d dsαακββκατγγτβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-⎩(5.6) 0000(0),(0),(0),(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]a b 上[,]a b 11[,]a b [0,]l λ1s 2s1κ2κμ的解. 取(5.6)的满足初始条件(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ====(5.7)’的解，其中{};,,O i j k是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s = 是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得311,,1,2,3i ij j j de dr e a e i dsds ====∑(5.6)’ 首先来证明(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)由(5.6)得333111()()iji j j i j i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g ds ds ds ds =====+=+=+∑∑∑， 由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题31()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s = 是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s构成右手系.现在，由(5.6)’可知11dr e ds==. 所以()r r s = 是正则曲线，并且s 是:()C r r s = 的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ= 是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-= . □例 求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.解 我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为22aa b +和22b a b +. 根据定理 5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由022a a b κ=+和022ba bτ=+解出02200a κκτ=+，02200b τκτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为()00022001()cos ,sin ,r t t t t κκτκτ=+ .因为C的弧长参数s ==t就可得到C 的弧长参数方程：))()00022001()cos ,sin,r s κκτκτ=+ . □课外作业：习题1，4，6§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：2()11000000002!!()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x fx x x o x x '''=+-+-++-+- . 同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为 233112!3!()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++++ ， (6.1) 其中3()o s是一个向量函数，满足330()lim 0s o s s→=. (6.2) 由Frenet 公式可得 2(0)(0),(0)(0)(0),(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)代入(6.1)得23233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，其中000(0),(0),(0)κκκκττ=== . 以0s =处的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ 建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为2330123300233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ⎧=-+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩(6.4) 上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.在标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ⎛⎫=≡+++ ⎪⎝⎭. (6.5)近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，1(0)(1,0,0)(0)r α'== ，100(0)(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)rκτκτγ'''== ， 从而1(0)1r '= ，111(0)(0)(0)(0)r r αα'==' ，()1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''⨯=⨯=，110(0)(0)r r κ'''⨯=，111031(0)(0)(0)(0)r r r κκ'''⨯==' ，11111(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r γγ'''⨯=='''⨯ ， 111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=⨯=⨯=，2111001022011(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r r κτττκ''''''⨯⋅==='''⨯ . 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.在密切平面上的投影是抛物线：20,,02x s y s z κ===，在从切平面上的投影是三次曲线：300,0,6x s y z s κτ===，在法平面上的投影是半三次曲线：230000,,26x y s z s κκτ===.定义 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r == . 取1122,p C p C ∈∈，使得 0102p p p p s ==∆. 若有正整数n 使得121200|||()()|lim lim 0n n s s p p r s r s s s ∆→∆→∆-∆==∆∆ ，1210|()()|lim 0n s r s r s s +∆→∆-∆≠∆， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.定理6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在0s =处有n 阶切触的充分必要条件是()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k n = ，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠ . (6.10)证明 在0s =处，有0s s s ∆=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据Taylor 公式，12()()12121()()()(0)(0)!kn n k k k s r s r s o s r r k ++=-=+⎡⎤-⎣⎦∑ . 充分性. 由(6.10)，12(1)(1)1212()()()(0)(0)(1)!n n n n s r s r s o s r r n ++++-=+⎡⎤-⎣⎦+ ，所以 2(1)(1)12121210001()||()()lim lim lim ||0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s s r r n s s s++++∆→→→-===+⎡⎤-⎣⎦+∆， 2(1)(1)1212121110001()||()()lim lim lim 0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s r r n s s s++++++∆→→→-==≠+⎡⎤-⎣⎦+∆. 即12,C C 在0s =处有n 阶切触.必要性. 由条件，12,C C 在0s =处有n 阶切触，则1n ≥. 如果12(0)(0)r r ''≠ ，则12121200||()()lim lim 0(0)(0)s s p p r s r s r r s s∆→→-''==>-∆， 从而120||lim0ns p p s ∆→≠∆，矛盾. 设1m ≥是满足()()12(0)(0)k k r r = ，1,2,,k m = ，(1)(1)12(0)(0)m m r r ++≠的正整数. 由充分性，12,C C 在0s =处有m 阶切触. 由条件得m n =，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor 展开式中的前1n +项之和(即略去()ns ∆的高阶无穷小)至少有n 阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触. (2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线:()C r r s = 上一点()r s处的密切平面上，以曲率中心1()()()r s s s βκ+ 为圆心，以曲率半径1()R s κ=为半径的圆. 它的方程是：()11()()()cos ()sin ()()()X t r s s t s t s s s βαβκκ=+++ . 曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略) 课外作业：习题2，3§2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线111222:(),:()C r r t C r r u ==之间存在一个一一对应关系()t u t ↔=，()0u t '≠. 对曲线2C 作参数变换，可设222:()C r r t =，从而12,C C 之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1 如果两条互不重合的曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand 曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.事实上，因为，所以，. 另一方面由可知. 因此//n α . 设rn κα=. 于是C 的曲率 ()()|()||||()|||(),()rs s n s x s y s κακ=====. 当常数λ充分小时，1()[1()]()0r r s s s λκα'=+≠ ，所以1C 是正则参数曲线. 因为0λ≠，所以曲线C 和1C 不重合.现在来证明在对应点C 和1C 有相同的主法线. 在相同的参数s 点处，C 的主法线l 是过()r s(的终)点且垂直于()s α 的直线，所以l 的方程为()()()X u r s un s =+，u ∈ .同理，在相同的参数s 点处，1C 的主法线1l 是过1()r s 点且垂直于1()//()r s s α' 的直线. 所以1//l l (因为它们都垂直于()s α ). 由定义可知1()r s在直线l 上，所以l 与1l 重合. □下面考虑空间挠曲线，即挠率0τ≠的曲线.定理7.1 设1C 和2C 是Bertrand 曲线偶. 则1C 和2C 在对应点的距离是常数，并且1C 和2C 在对应点的切线成定角.证明 设曲线1C 的弧长参数方程为11()r r s = ，Frenet 标架为{}1111();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为1()s κ和1()s τ. 因为1C 和2C 之间存在一一对应，设2C 上与1()r s 对应的点是22()r r s = ，s 是2C 的一般参数，2C 的Frenet 标架为{}2222();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为2()s κ和2()s τ. 再设2C 的弧长参数为()ss s = . 由条件，2()r s 在曲线1C 上的点1()r s 处的主法线11()()()X u r s u s β=+上，所以()121//()()()s r s r s β-，并且12()()s s ββ=± . 因此可设211()()()()r s r s s s λβ=+，21()()s s βεβ= ， (7.3)其中1ε=±是常数，()121()()()()s s r s r s λβ=-是可微函数.将(7.3)两边对s 求导，利用Frenet 公式，得21111()()()()()()[()()()()]ss s s s s s s s s s ααλβλκατγ''=++-+111[1()()]()()()()()()s s s s s s s s λκαλβλτγ'=-++. (7.4)以21βεβ=分别与上式两边作内积，可得()0s λ'=，()s c λ=是常数. 再由(7.3)得211|()()||()()|||r s r s s s c λβ-==，即1C 和2C 在对应点的距离是常数||(0c >，因为1C 和2C 不重合).设12()((),())s s s θαα=∠ ，则()12()()cos ()s s s ααθ=. 因为()112212122211120d ss dsκβακαβεκβαεκαβαα''=+=+=， 所以()cos ()s θ是常数，从而()s θ是常数. □定理7.2 设正则曲线C 的曲率κ和挠率τ都不为零. 则C 是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数,λμ，且0λ≠，使得1λκμτ+=.证明 必要性. 设曲线C 有侣线1C ，它们的参数方程分别是()r s 和1()r s，其中s 是C 的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设{}();(),(),()r s s s s αβγ和{}1111();(),(),()r s s s s αβγ分别是C和1C 的Frenet 标架，11,κτ分别是1C 的曲率和挠率，s是1C 的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为 1()()()r s r s s λβ=+，1()()s s βεβ= ， (7.3) 1()()[1()]()()()ss s s s s s αλκαλτγ'=-+. (7.5) 其中0λ≠是常数. 因此由0τ≠得|()|0ss '=≠，()s s ε'= 其中11ε=±也是一个常数.由定理7.1，1()()s s c αα= 是常数. 用()s α与(7.5)两边作内积，得22221()(1)[1()][()]c s c s c s ελκλκλτ=-⇒--=.由()0s λτ≠可知2(1)0c -≠，从而1()()s s λκμτ-==是常数. 这就是说，存在常数0,λμ≠，使得.充分性. 设正则弧长参数曲线:()C r r s =的曲率κ和挠率τ满足1λκμτ+=，其中,λμ是常数，且0λ≠. 令1()()()r s r s s λβ=+，则1()[1()]()()()()[()()]0r s s s s s s s s λκαλτγτμαλγ'=-+=+≠. 所以由参数方程11()r r s =定义的曲线1C 是正则曲线，并且与曲线C 不重合(因为0λ≠).由于1|r τ'= 1C 的单位切向量场1()[sin ()cos ()]s s s αθαθγ=±+，其中arctan(/)θμλ=是常数，满足sin θ=，cos θ=.设s是1C 的弧长参数，利用Frenet 公式，有111(sin cos )d ds ds ds ακβθκθτβ==±- .如果sin cos 0θκθτ-≠，则有1ββ=±，从而曲线1C 是C 的侣线，1C 和C 是Bertrand 曲线偶(在参数s 相同的点，1C 和C 得主法线有相同方向，并且1()r s 在()r s处的主法线上). 如果sin cos 0θκθτ-=，则μκλτ=. 结合1λκμτ+=可知κ和τ都是非零常数，C 是圆柱螺线，从而是Bertrand 曲线. □定义7.2 如果两条曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得曲线1C 在任意一点的切线正好是2C 在对应点的法线(即垂直于2C 在该点的切线)，则称曲线2C 是1C 的渐伸线. 同时称曲线1C 是2C 的渐缩线.定理7.3 设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐伸线的参数方程为1()()()()r s r s c s s α=+-. (7.7) 证明 设渐伸线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 则1()r s 在曲线C 上()r s点处的切线上，故有函数()s λλ=使得1()()()()r s r s s s λα=+. (7.8) 由渐伸线的定义，1()()r s s α'⊥，所以10()()[()()()()()()]()1()r s s s s s s s s s s ααλαλκβαλ'''==++=+. 由此得()1s λ'=-，()s c s λ=-. 代入(7.8)即得(7.7). □曲线C 的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C 的切线曲面∑上. 定理7.4设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐缩线的参数方程为()111()()()tan ()()()()r s r s s s ds s s s βτγκκ=+-⎰. (7.10) 证明 设渐缩线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 由定义，1[()()]()()rs r s r s s α-⊥=，可设 1()()()()()()r s r s s s s s λβμγ=++. (7.11) 求导得1()()()()()[()()()()]()()()()()r s s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ'''=++-++-[1()()]()[()()()]()[()()()]()s s s s s s s s s s s λκαλμτβμλτγ''=-+-++.因为11()//[()()]()()()()r s r s r s s s s s λβμγ'-=+，所以1()[()()()()]0r s s s s s λβμγ'⨯+=，即有()()1s s λκ=，()[()()()]()[()()()]s s s s s s s s μλμτλμλτ''-=+. (7.12)所以()1/()s s λκ=，且由(7.12)第2式得22()μλλμμλτ''-=+，arctan μτλ'⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，()()()tan ()s s s ds μλτ⇒=-⎰.所以有(7.10). □课外作业：习题4，8§2.8 平面曲线本节研究平面曲线的特殊性质.一、平面曲线的Frenet 标架在平面2E 上取定一个正交标架(右手直角标架){};,O i j. 则平面曲线C 的弧长参数方程为()((),())r s x s y s =， [,]s a b ∈. (8.1)它的单位切向量为()()()(),()cos(()),sin(())s xs y s s s αθθ==， (8.2) 其中()(,())s i s θα=是由i到()s α的有向角(允许相差2π的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间[,]a b 是闭区间时，函数()s θ可以成为定义在整个[,]a b 上的连续可微函数.将()s α 右旋/2π，得到与()s α正交的单位向量()s β ，()()()22()cos(()),sin(())sin(()),cos(())(),()s s s s s y s x s ππβθθθθ=++=-=- . (8.3)这样，得到沿曲线C 的(平面)Frenet 标架{}();(),()r s s s αβ.二、平面曲线的Frenet 公式由于()s α 是单位切向量场，有0αα⋅= ，故//αβ ，可设 ()()()rs s s ακβ= ， (7.4) 其中()()()()()()()(),()(),()()()r x s y s s s s x s y s y s x s x s y s καβ=⋅=⋅-= (7.5)称为曲线C 的相对曲率. 曲线C 的曲率为()|()|r s s κκ=. ()r s κ的符号的几何意义见图2-8.利用(7.4)得到平面曲线的Frenet 公式Cyxs =s l=O()s α ()s β(),()x f x i。

高等数学4教材答案详解一、导数与微分1. 导数的定义导数是函数在某一点处的瞬时变化率，通常用f'(x)表示。

导数的定义可以表达为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的基本运算法则2.1 常数规则：如果f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0。

2.2 乘积规则：若f(x) = u(x) v(x)，则f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)。

2.3 商数规则：若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)] / [v(x)]²。

3. 微分与近似计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于函数的线性近似计算。

微分的公式为：dy = f'(x) dx其中dy表示函数f(x)在点(x, f(x))处的微小变化量，dx表示自变量x 的微小变化量。

二、函数的极限1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限为L，可以表示为：lim(x→a) f(x) = L2. 极限的性质2.1 唯一性：如果极限存在，则极限唯一。

2.2 有界性：如果极限存在，则函数在某个邻域内有界。

2.3 保号性：如果lim(x→a) f(x) > 0，则存在a的某个邻域内，使得f(x) > 0。

3. 极限的计算方法3.1 四则运算法则：对于函数的四则运算，可以利用极限的性质进行计算。

3.2 复合函数的极限：如果f(x)的极限为L，g(x)在L处连续，那么f(g(x))的极限为f(L)。

三、一元函数的连续性1. 连续函数的定义如果函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且f(a)等于该极限值，那么称函数在点x=a处连续。

2. 连续函数的性质2.1 连续函数的四则运算：连续函数的加、减、乘、除仍然是连续函数。

2.2 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在f(a)处连续，则f(g(x))在x=a处连续。

立体几何（向量法）一建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一•所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1 （2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分如图，在直三棱柱ABC AB iG中，AB=4, AC=BC=3 D为AB 的中点（I）求点C到平面A1ABB1的距离；（n）若AB1 AC求二面角的平面角的余弦值.【答案】解：（1）由AC= BC, D为AB的中点，得CD丄AB.又CD丄AA1,故CD丄面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD = BC2—BD2= 5.（2）解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，贝U DD1// AA1 //CC1.又由(1)知CD丄面A i ABB i，故CD丄A i D, CD丄DD i,所以/ A i DD i为所求的二面角A i —CD —C i的平面角.因A i D为A i C在面A i ABB i上的射影，又已知AB i丄A i C，由三垂线定理的逆定理得AB i丄A i D,从而/ A i AB i、/ A i DA都与/ B i AB互余，因此/ A i AB i =AA i ^\i B i/ A i DA，所以Rt A A i AD s Rt A B i A i A.因此応=云石，即卩AA i = ADA i B i = 8,得AA i = 22.从而A i D = ,AA i + AD2= 2 3.所以，在Rt△ A i DD i中，/ DD i AA i V6cos/A iDDi= A i D = A i D =亍解法二：如图，过D作DD i// AA i交A i B i于点D i,在直三棱柱中，易知DB，DC，DD i两两垂直.以D为原点，射线DB，DC，DD i分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.设直三棱柱的高为h，则A( —2,0,0), A i( —2,0，h)，B i(2,0, h)，C(0，5, 0)，C i(0, 5, h),从而A B i= (4,0, h), A i C= (2, 5,—h).由晶i丄A i C,有8—h2= 0, h = 2 2.故D X i= ( —2,0,2 2), CC i = (0,0,2 2), DC =(0, 5, 0).设平面A i CD的法向量为m= (x i, y i, z i),贝U m丄DC, m丄DA i,即卩cos BD, EFBD ?FE|BD||FE|0 18 64 82 100 ^82 10设异面直线BD 与EF 所成角为，则cos| cosBD, EF-82直线BD 与 EF 所成的cos〈 m ,m-n _ 2|m||n 厂；2+ 1 1 J6 3 .所以二面角A 1 — CD — C 1的平面角的余弦值为_36.、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2.如图所示， AF 、DE 分别是圆O 、圆O 1的直径,AD 8. BC 是圆 O 的直径，AB AC 6 , OE // AD .(I) 求二面角B AD F 的大小；(II) 求直线BD 与EF 所成的角的余弦值. 19.解：(I ) •/ AD 与两圆所在的平面均垂直，••• ADLAB, AD 丄AF,故/ BAD 是二面角 B — AD — F 的平面角, 依题意可知，ABCD 是正方形，所以/ BAD= 450. 即二面角B — AD — F 的大小为45°;(II)以O 为原点，BC AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示) ，贝U O (0, 0, 0) , A (0, 3/2 ,0), B ( ^' 2 , 0 , 0) ,D (0 , 3/2, 8) , E (0 , 0 , 8) , F(0 , 3 2 , 0)所以，BD ( 3、2, 3.2,8),FE (0,3 2,8) 、■‘5y= 0, —2x i + 2 2z i = 0,取乙=1,得 m = ( ：2, 0,1),设平面C i CD 的法向量为n = (X 2, y 2, Z 2),贝U n 丄DC, n 丄CC i ，即：5y2= 0,2 ：2z 2 = 0,取 X 2= 1，得 n = (1,0,0),所以AD 与两圆所在的平面均垂直,角为余弦值为竺•10三、利用图形中的对称关系建立坐标系例3(2013年重庆数学(理))如图，四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD , BC CD 2，A C 4, ACB ACD 3，F为P C 的中点，AF P B.B【答案】(1)求PA的长；(2) 求二面角B AF D的正弦值•題(13)0z- 2解: (1)如图，联结BD 交AC 于O,因为BC = CD ，即△ BCD 为等腰三角形，又AC 平分/ BCD , 故AC 丄BD.以O 为坐标原点，OB , OC , AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立 n n空间直角坐标系 O — xyz,则 0C = CDcosT = 1,而 AC = 4,得 AO = AC — OC = 3•又 OD = CDsin3 3 3=3,故 A(0, — 3, 0), B( 3, 0, 0), C(0, 1, 0), D( — . 3 , 0 , 0) •因PA 丄底面ABCD ,可设P(0 , — 3 , z),由F 为PC 边中点，得F 0 , — 1, 2 ,又A F =—z),因 AF 丄 PB ,故AF PB = 0,即 6 — - = 0, z = 2,3(舍去一2.3),所以 |PA|= 2 .3(2)由⑴知 AD = (— 3, 3, 0), AB = ( 3 3, 0), AF = (0, 2, '3) •设平面 FAD 的法 向量为1=(x i , y i , z i )，平面FAB 的法向量为2= (X 2, y 2, Z 2).由 i AD = 0, i AF = 0，得 —3xi+ 3yi =0,因此可取 i =(3, 3 — 2).2y i + . 3z i = 0,由2 AB = 0, 2 AF = 0，得 3x 2+ 3y 2= 0, _故可取2= (3，—衍,2).2y 2 + .3Z 2= 0,从而向量i , 2的夹角的余弦值为 n i n 2 icos 〈 i , 2>= =-.|n i | |n 2| 8故二面角B — AF — D 的正弦值为 斗78四、利用正棱锥的中心与高所在直线，投影构建直角坐标系 例4-i (20i3大纲版数学(理))如图，四棱锥P ABCD中，ABC BAD 90o , BC 2AD, PAB 与 PAD 都是等边三角形(I)证明：PB CD; (II)求二面角 A PD C 的余弦值•【答案】 解：⑴取BC 的中点E ,联结DE ,则四边形 ABED 为正方形. 过P 作PO 丄平面 ABCD ，垂足为 O.联结 OA , OB , OD , OE.由厶FAB 和厶FAD 都是等边三角形知 PA = PB = PD,所以OA = OB= OD，即点0为正方形ABED对角线的交点，故OE丄BD，从而PB丄OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE // CD.因此PB丄CD.所以 cos / AFG = FG 2+ AF 2— AG 2 _2 F G AF —63 .解法由⑴知，OE , OB , OP 两两垂直. O —xyz.(2)解法一：由(1)知 CD 丄 PB , CD 丄 PO , PB A PO = P , 故CD 丄平面PBD. 又PD?平面PBD ，所以CD 丄PD. 取PD 的中点F , PC 的中点G ,连FG. 则 FG // CD , FG 丄 PD.联结AF ，由△ APD 为等边三角形可得 AF 丄PD. 所以/ AFG 为二面角A — PD — C 的平面角. 联结 AG , EG ,贝U EG // PB. 又PB 丄AE ,所以EG 丄AE.1设 AB = 2,贝U AE = 2 .2, EG = ?PB = 1, 故 AG = AE 2 + EG 2= 3,1在厶 AFG 中，FG = ^CD = .2, AF = .3, AG = 3.以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设|AB|= 2,则A( —2, 0, 0), D(0，- ,2, 0),C(2 2,—2, 0), P(0, 0, .2),PC= (2 .2，—. 2 , —2), PD = (0 , —2 , —2),AP= ( 2 , 0 , 2) , AD = ( 2 , —2 , 0).设平面PCD的法向量为1= (x , y , z),贝V1 PC = (x , y , z) (2 2 , — 2 , —2) = 0 ,1 PD = (x , y , z) (0 , —2 , —2) = 0 ,可得2x—y —z= 0 , y+ z= 0.取y =—1，得x= 0 , z= 1,故i= (0 , —1 , 1). 设平面PAD的法向量为2= (m , p , q),贝U2 AP = (m , p , q) (- 2 , 0 , 2) = 0 ,2 AD = (m , p , q) (• 2 , — 2 , 0) = 0 ,可得m + q = 0 , m—p= 0.取m= 1,得p = 1 , q=—1,故2= (1, 1, —1).于是COS〈, 2> = n1n2 .6「|n 1||n2| 3 .例4-2如图1--5 ,在三棱柱ABC—A1B1C1 中,已知AB = AC = AA1 = 5 , BC =4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1) 证明在侧棱AA1上存在一点E ,使得0E丄平面BB1C1C ,并求出AE的长;(2) 求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.【答案】解：⑴证明：连接人0,在厶AOA i 中，作 0E 丄AA i 于点E ,因为0B = 0C ,所以 A0丄BC ,所以BC 丄平面 AA i O. 所以0E 丄平面 AA i = . 5,AA i // BB i ，所以 0E 丄BB i .因为A i 0丄平面ABC ，所以A i 0丄BC. 因为AB = AC ,所以BC 丄0E , BB i C i C ,又 A0= AB 2— B02= i ,得AE =疇、违(2)如图，分别以0A , 0B , 0A i 所在直线为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系，贝U A(i,0,0), B(0,2,0), C(0,— 2,0), A i (0,0,2),cos 〈 OE ,〉OE n V 30 |0E| |n| 10A A Q由AE = 5AA 1得点E 的坐标是5， 0, 2 ,— 4 2由⑴得平面BB i C i C 的法向量是0E = 5，0，5，设平面A I B I C 的法向量=(x , y , z),AB = 0,— x + 2y = 0,由得nAC = 0 y +z = 0,令 y = 1,得 x = 2, z =— 1,即二(2,1,— 1),所以即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例5 （2012高考真题安徽理18）（本小题满分12分）平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1— 4（1）所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC = 2, BB 110=4, AB=AC= 2, A i B i= A i C i= 5.图1-4现将该平面图形分别沿BC和B i C i折叠，使△ ABC与厶A i B i C i所在平面都与平面BB i C i C垂直，再分别连接A i A, A i B, A i C，得到如图i-4(2)所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题.(i)证明：AA i 丄BC;⑵求AA i的长；(3)求二面角A-BC-A i的余弦值.【答案】解：(向量法)：(i)证明：取BC,B iC i的中点分别为D和D i，连接A i D i, DD i, AD. 由BB i C i C为矩形知，DD i丄B i C i,因为平面BB i C i C丄平面A1B1C1,所以DD i丄平面A i B i C i,又由A i B i = A i C i 知，A i D i 丄B iC i.故以D i为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D i—xyz.由题设，可得A i D i = 2, AD = i.由以上可知AD丄平面BB i C i C, A i D i丄平面BB i C i C，于是AD// A i D i.所以A(0,—i,4), B(i,0,4), A i(0,2,0), C( —i,0,4), D(0,0,4). 故A A i= (0,3,—4), BC= ( —2,0,0), AA i BC = 0, 因此A X i丄BC, 即卩AA i丄BC.(2) 因为AA i = (0,3,—4),所以| AA i卜5,即AA匸5.(3) 连接A i D，由BC丄AD, BC丄AA i,可知BC丄平面A i AD, BC丄A i D，所以/ ADA i为二面角A—BC—A i的平面角.cos〈IDA, DA i>因为D A = (0,—i,0), DA i = (0,2,—4),所以2即二面角A—BC—A i的余弦值为—电5(综合法)(1)证明：取BC, B i C i的中点分别为D和D i，连接A i D i, DD i, AD, A i D.由条件可知，BC丄AD, B i C i丄A i D i,由上可得AD丄面BB i C i C, A i D i丄面BB i CC因此AD // A i D i，即AD, A i D i 确定平面AD i A i D.又因为DD i / BB i, BB i丄BC,所以DD i丄BC.又考虑到AD丄BC,所以BC丄平面AD i A i D,故BC丄AA i.⑵延长A i D i到G点，使GD i= AD,连接AG.因为AD綊GD i，所以AG綊DD i綊BB i.由于BB i丄平面A i B i C i，所以AG丄A i G. 由条件可知，A i G = A i D i + D i G= 3, AG = 4, 所以AA i = 5.⑶因为BC丄平面AD i A i D，所以/ ADA i为二面角A-BC- A i的平面角. 在Rt A A i DD i 中，DD i = 4, A i D i = 2,解得sin/ D i DA i =5冗 / ^[5cos/ ADA i = cos 2+/ D i DA i = —g.即二面角A- BC- A i的余弦值为—f.。

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

周建伟微分几何讲义一、微分几何概述1.1 什么是微分几何微分几何是研究曲线、曲面及高维空间中的几何性质的数学分支。

它通过引入微分、积分和向量等工具，研究切向量、曲率、曲率线等概念，揭示了几何对象与微分方程之间的密切关系。

1.2 微分几何的应用领域微分几何在很多领域有广泛的应用，例如物理学中的广义相对论、机器学习中的降维算法、计算机图形学中的曲面建模等。

它为解决实际问题提供了数学工具和理论基础。

二、微分流形2.1 流形的定义流形是具有良好局部欧几里德结构的空间。

它可以用参数化局部坐标系来刻画，并且能够通过坐标变换进行衔接。

2.2 流形的分类根据维度的不同，流形可以分为一维曲线、二维曲面和高维流形。

高维流形的研究对于理解现实世界中的复杂结构具有重要意义。

2.3 流形上的切空间切空间是流形上每一点处切向量的集合，它与流形的局部变换相联系。

切空间的研究是微分几何的重要内容之一，可以用来描述曲线的切线、曲面的切平面等。

2.4 流形上的度量度量是流形上定义的一种距离概念，用于测量流形上两点之间的距离。

在微分几何中，度量可以用来定义曲线的长度、曲率等重要概念。

三、微分几何的基本概念3.1 曲率曲率是刻画流形弯曲程度的量度。

在一维曲线上，曲率即为曲线的弯曲程度；在二维曲面上，曲率包括高斯曲率和平均曲率等。

3.2 平行性平行性是流形上切向量平行的概念。

通过引入仿射联络，可以在流形上定义平行性的概念，从而研究平行移动、测地线等重要概念。

3.3 高斯-博内定理高斯-博内定理是微分几何中的重要定理之一。

它描述了曲面上的曲率和曲面内外几何关系之间的联系，对于研究曲面的性质具有重要意义。

3.4 微分形式微分形式是微分几何中的关键工具，用于描述切向量场和流形局部性质。

微分形式的引入使得微分几何与微分方程能够建立起联系。

四、微分几何的应用案例4.1 物理学中的应用微分几何在物理学中有广泛的应用，例如广义相对论中的时空曲率、黑洞的几何性质等。

凌晨讲数学立体几何凌晨讲数学：立体几何大家好，欢迎来到凌晨的数学世界。

今天我们要探讨的是立体几何。

立体几何，与平面几何相对，主要研究三维空间中图形的性质和关系。

一、三维空间与点、线、面首先，我们要理解三维空间。

想象一下，我们生活的世界就是一个三维空间。

每一个物体，无论大小，都可以被视为这个空间中的一个点。

线是由无数个点组成的，而面则是由无数条线组成的。

1. 点：在三维空间中，点具有三个坐标（x, y, z），表示其在三个方向上的位置。

2. 线：通过两个不同的点可以确定一条直线。

此外，还有平面、曲面等不同的线。

3. 面：在一个平面内，可以通过三个不共线的点来确定一个平面。

而曲面则是通过其他方式定义的。

二、空间中的几何图形除了点、线、面这些基本元素外，立体几何还研究其他一些常见的几何图形，如球体、立方体、圆锥等。

1. 球体：球体是一个中心对称的几何体，所有点到球心的距离都相等。

2. 立方体：立方体是一个具有六个面的几何体，每个面都是一个正方形。

3. 圆锥：圆锥由一个圆面和一个曲面组成，圆面称为底面，曲面称为侧面。

三、空间几何的性质空间几何有一些重要的性质，如平行性、垂直性、角度和距离等。

这些性质是理解和解决空间几何问题的基础。

1. 平行性：在三维空间中，两条直线如果永远不相交，则它们是平行的。

2. 垂直性：如果一条直线与一个平面永远垂直，则这条直线称为该平面的垂线。

3. 角度和距离：在空间中，我们可以定义线与线之间的角度，以及点到线或点到点的距离。

以上就是立体几何的一些基本概念和性质。

立体几何是数学中非常有趣且实用的一个领域，它不仅在解决实际问题中有广泛应用，而且对于培养我们的空间想象力和逻辑思维能力也很有帮助。

希望通过今天的讲解，大家能够对立体几何有更深入的理解和认识。

微分⼏何陈维桓第四章讲稿⽬录第四章曲⾯的第⼆基本形式 (50)§ 4.1 第⼆基本形式 (50)§ 4.2 法曲率 (52)§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55)⼀、Gauss映射和W eingarten变换 (55)⼆、主曲率和主⽅向 (55)§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算 (57)⼀、Gauss曲率和平均曲率 (57)⼆、Weingarten变换在⾃然基底下的矩阵 (59)三、第三基本形式 (61)§ 4.5 Dupin标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开 (61)§ 4.6 某些特殊曲⾯ (64)⼀、Gauss曲率K为常数的旋转曲⾯ (65)⼆、旋转极⼩曲⾯ (66)第四章曲⾯的第⼆基本形式本章内容：第⼆基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主⽅向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲⾯计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主⽅向与主曲率§ 4.1 第⼆基本形式设:(,)S r r u v = 为正则曲⾯，(,)n n u v = 是单位法向量. 向量函数(,)r u v的⼀阶微分为u v dr r du r dv =+，⼆阶微分为()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++ .由于0dr n ?= ，再微分⼀次，得2d r n dr dn ?=-? .定义⼆次微分式222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =?=-?=++ (1.6)称为曲⾯S 的第⼆基本形式(second fundamental form)，其中uu u u L r n r n =?=-? ，uv u v v u M r n r n r n =?=-?=-?，vv v v N r n r n =?=-? (1.4-5) 称为曲⾯S 的第⼆类基本量.第⼆基本形式的⼏何意义：刻划了曲⾯偏离切平⾯的程度，也就是曲⾯的弯曲程度.由微分的形式不变性可知第⼆基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，⽽在改变定向的参数变换下会相差⼀个符号. 但是，在参数变换下第⼆类基本量,,L M N ⼀般都会改变.第⼆基本形式与空间坐标系的选取⽆关. 对曲⾯:(,)S r r u v =作参数变换(,),(,)u u uv v v uv == (1.7) 在新的参数下，u u v u v r r r u u ??=+?? ，v u v u v r r r v v=+ .因此(,)(,)u v uv uv u vu v u v r r r r r r u v v u u v=-=. (1.10)当(,)0(,)u v uv ?>? 时，n n = ，从⽽ I I ,,I Id r d nd r d n =-=-=；当(,)0(,)u v uv ?n =- ，从⽽ II ,,II dr d n dr dn =-==- . 在保持定向的参数变换下，第⼆类基本量有和第⼀类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi 矩阵为u vu uu v vvJ =. 则()()(),,,u vu uu v vvdu dv dudv dudv J== ??. (1.14) 从⽽T II (,)(,)(,)II LM du L M dudu L M du dv du dv J J du dv MN dv M N dv dvMN ==== ?，即有T L M L M J J M N M N = ? ?. (1.13) 例求平⾯(,,0)r u v =和圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v = 的第⼆基本形式. 解. (1) 对平⾯，(1,0,0)(0,1,0)dr du dv =+ ，20d r =，所以II 0=.(2) 对圆柱⾯，()sin ,cos ,0u uu a a r =- ，()0,0,1v r = ，()cos ,sin ,0u u u v a a n r r =?= . 因此 ()11sin ,cos ,0u u u a a a a dn du r du =-= ， ()()211 II u v u a a dr dn r du r dv r du du =-?=-+?=- . □定理1.1 正则曲⾯S 是平⾯(或平⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式II 0≡. 证明 “?”平⾯S 的单位法向量n是常向量，故II 0dr dn =-?=. “?” 由0u n n ?= ，0u u n r L ?=-= ，0u v n r M ?=-= 得0u n = . 同理有0v n =. 所以0n n =是常向量. 于是0()0dr n d r n ?=?=. 故0r n C ?=. □定理 1.2正则曲⾯S 是球⾯(或球⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式是第⼀基本形式的⾮零倍数：II I λ≡，其中(,)u v λλ=是⾮零函数.证明 “?”不妨设球⼼为原点，半径为a . 则22r a = ，0r dr ?= ，1an r =. 从⽽211II I aadr dn dr =-?=-=-.“?”由条件，L E λ=，M F λ=，N G λ=(因为,du dv 是独⽴的变量). 所以()0u u u n r r L E λλ+?=-+= ，()0u u v n r r M F λλ+?=-+=.⼜()0u u n r n λ+?=. 故u u n r λ=-. (1) 同理有v v n r λ=-. (2)因为S 是三次以上连续可微的，uv vu n n =. 于是v u uv uv vu u v vu r r n n r r λλλλ--===--，即有v u u v r r λλ=. 由于,u v r r线性⽆关，0,0u v λλ==. 故λ是⾮零常数. 由(1)和(2)得()0u n r λ+= ，()0v n r λ+=.所以110()n r n r r λλλ+=+=是常向量. 从⽽S 上的点满⾜球⾯⽅程2210()r r λ-= . □课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率设:(),()C u u s v v s ==是曲⾯:(,)S r r u v =上过点p 的⼀条正则曲线，s 是C 的弧长参数，00(,)((0),(0))u v u v =为p 点的曲纹坐标. 则C 的单位切向量为du dvu v ds ds dr ds r r r α===+ . (2.3) 根据Frenet 公式，C 的曲率向量22222222()2()d r d u d vdu du dv dv u vuu uv vv ds ds ds ds dsds dsr r r r r κβα===++++ ， (2.4) 其中κ是C 的曲率. 设n 为S 的单位法向量，(,)n θβ=∠，则cos n θβ=? .定义函数000000(,,,):(0)cos (0)(0)(,)(0)(,)n n u v du dv n u v r n u v κκκθκβ===?=?(2.6)22000000(,)()2(,)(,)()du du dvdv ds ds ds dsL u v M u v N u v =++ (2.5) 称为曲⾯S 在p 点沿着切⽅向(,)du dv (即d r)的法曲率(normal curvature).注曲⾯上所有在p 点相切的曲线在p 点有相同的法曲率，并且在p 点这些曲线的曲率中⼼位于垂直于切⽅向的平⾯(C 的法平⾯∏)内的⼀个直径为1/||n κ的圆周上：曲率中⼼为11((0),(0))(0)((0),(0))cos (0)(0)nc r u v r u v βθβκκ=+=+.沿着曲线C ，有dr rds= . 由于s 是弧长参数，因此在p 点成⽴ 22200000(,)2(,)(,)d s d r d r E u v d u F u v d u d v G u vd v=?=++.定义2.1 在曲⾯S 上对应于参数(,)u v 的点p 处，沿着切⽅向(,)du dv 的法曲率为22222II (,,,)2In n Ldu M dudv Ndv u v du dv Edu Fdudv G dvκκ++===++. (2.8)注法曲率除了与点p 有关，还与切⽅向即⽐值:du dv 有关. 但是与切向量d r的⼤⼩⽆关. 上⾯的定义不要求以d r为切向量的曲线C 以弧长s 为参数.定义曲⾯S 上过p 点的⼀个切⽅向(,)d u d v 与p 点的法线确定的平⾯π称为由切⽅向(,)du dv 确定的法截⾯. 法截⾯π与曲⾯S 的交线称为该点的⼀条法截线.定理2.1 曲⾯S 在(,)u v 点，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率n κ等于该切⽅向确定的法截线C 在相应的有向法截⾯π(以d r n ?为平⾯π的定向)中的相对曲率，即有n r κκ=.证明设该点是000(,)r r u v =，沿切⽅向(,)du dv 的单位切向量为000(,)()|u v uv r du r dv α=+，在00(,)u v 点的单位法向量为000(,)n n u v =. 则法截⾯的定向是00n α?，从⽽法截线C 的弧长参数⽅程为000()()()r s r x s y s n α=++，其中(0)(0)0x y ==. 因为00(0)(0)(0)r x y n α=+ 是S 的切向量，0(0)(0)0y r n =?= . 从⽽(0)1x = . 因此0(0)r α= 是由(,)du dv 确定的切⽅向. 由定义，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率 0000(0)[(0)(0)](0)n r n x y n n y κα=?=+?=.另⼀⽅⾯，法截线C 在该点的相对曲率(0)(0)(0)(0)(0)r x y x y y κ=-= . 所以有n r κκ=. □例 (1) 平⾯的法曲率.在平⾯S 上，II 0≡. 所以在任意点p S ∈，沿任意切⽅向(,)du dv ，都有法曲率0n κ=.(2) 圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v =的法曲率. 对圆柱⾯，由上⼀节的例，22I du dv =+，21II adu =-，所以222()dun a du dv κ+=-.(3) 球⾯()2():cos cos ,cos sin ,sin S a r a u v a u v a u = 的法曲率.由定理1.2，1II I a =-. 所以1n aκ=-是⾮零常数. □定理2.2 在曲⾯S 上任意⼀点p 处，法曲率必定在两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值.证明在固定点p ，,,,,,E F G L M N 都是常数，法曲率n κ仅与⽐值:du dv 有关. 取p 点邻近的正交参数⽹. 则任意单位切向量p dr T S ∈，可以写成12cos sin u v dr r du r dv e e θθ=+=+，其中12,u v e e ==，1(,)dr e θ=∠即,du dv θθ==.沿着切⽅向:du dv 的法曲率22()cos sin sinn n L N E G κκθθθθθ==++ ()θ∈R是R 上的连续可微周期函数，必定在闭区间[0,2]π上取到最⼤值和最⼩值.如果n κ是常值函数，则n κ在任意两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值. 设()n κθ不是常值函数，则它的最⼤值和最⼩值不相等. 通过对曲⾯作参数变换00cos sin u uv θθ=- ，00sin cos v u v θθ=+ ，不妨设在0θ=处()n κθ取到最⼤值(0)/n L E κ=. 由于()sin 22nN L G E κθθθ??'=-+ ?，(0)0n κ'==，并且/(/2)(0)/n n N G L E κπκ=≤=，有222()cos sin cos n L N NL N N E GG E G G κθθθθ??=+=+-≥ ?. 所以()n κθ在/2θπ=±处取到最⼩值/N G . □定义2.2在曲⾯S 上⼀个固定点p 处，法曲率取最⼤值和最⼩值的切⽅向称为曲⾯S 在该点的主⽅向(principal direction)，相应的法曲率称为S 在该点的主曲率(principal curvature).注由上⾯的推导过程可知，如果在p 点n κ不是常值函数，()()sin 2NL nGEκθθ'=-在闭区间[0,2]π上只有4个零点，所以在p 点n κ只有两个主曲率1/L E κ=，2/N G κ=. 于是有下⾯的Euler 公式：2212()cos sin n κθκθκθ=+，其中(,)u dr r θ=∠，12κκ>，并且12()n κκθκ≥≥.定义 2.3 (1) 在曲⾯S 上⼀点，使法曲率为零的切⽅向(,)du dv 称为该点的⼀个渐近⽅向(asymptotic direction).(2) 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的渐近⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条渐近曲线(asymptotic curve).在⼀点(,)u v 处，渐近⽅向(,)du dv 是⼆次⽅程 2220Ldu Mdudv Ndv ++= (2.5) 的解. 当20LN M-<时，有两个实渐近⽅向::du dv M L N M =-±=-当20LN M -=时，只有⼀个实渐近⽅向:::du dv M L N M =-=-；当20LN M ->时，没有实渐近⽅向.让(,)u v 变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分⽅程. 如果在曲⾯上每⼀点，20LN M -<，则曲⾯上存在两个处处线性⽆关的渐近⽅向向量场. 根据第三章定理4.1，在曲⾯上有由渐近曲线构成的参数曲线⽹，称为渐近线⽹.定理2.3 参数曲线⽹是渐近线⽹的充分必要条件是：0L N ==.证明 “?” 在u -曲线上0,0dv du =≠. 由(2.5)得0L =. 同理可得0N =. “?” (2.5)现在成为0M dudv =. 因此u -曲线和v -曲线都是渐近曲线. □定理 2.4 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 则C 是渐近线，当且仅当C 是直线，或C 的密切平⾯与曲⾯的切平⾯重合.证明由公式cos (,)n n κκβ=∠可得. □课外作业：习题1，4，7.§ 4.3 Weingarten 映射和主曲率⼀、Gauss 映射和W eingarten 变换设:(,)S r r u v = (2(,)u v ∈Ω? )是⼀个正则曲⾯，(,)n n u v =是它的单位法向量. 向量函数(,)n u v 定义了⼀个映射2::(,)(,)n S u v n u v Ω→，其中2S 是3E 中的单位球⾯. 因为空间3E 中的点与它的位置向量是⼀⼀对应的，映射n诱导了映射12::(,)((,))(,)g n r S S r u v g r u v n u v -=→= . (3.1)这个映射2:g S S →称为Gauss 映射. 注意Gauss 映射的象不⼀定是2S 的⼀个区域.Gauss 映射g 的切映射2():p g p g T S T S *→是⼀个线性映射，满⾜()g dr dn *=，即 ()u v u v g r du r du n du n dv *+=+，p dr T S ?∈，p S ?∈. (3.2)特别有()u u g r n *= ，()v v g r n *=. (3.4)因为(,)n u v同时也是2()g p T S 的法向量，S 在(,)p u v 点的切平⾯与2S 在()g p 点的切平⾯是平⾏的，从⽽在⾃由向量的意义下可将2()g p T S 与p T S 等同.定义线性映射2():p p g p W g T S T S T S *=-→≡称为曲⾯S 在p 点的Weingarten 变换(Weingarten transformation).事实上，因为0u v n n n n ?=?= ，所以,u u p n n T S ∈. 由定义可知， ()()()u v uv p W d r W r d u r d v d n n d un d v T S =+=-=-+∈，p dr T S ?∈. (3.5)⼆、主曲率和主⽅向定理3.1 II ()W dr dr =?. □定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten 变换:p p W T S T S →是⾃共轭(对称)的，即()()W dr r dr W r δδ?=?，,p dr r T S δ?∈ .证明 ()()()u v u v W dr r dn r n du n dv r u r v δδδδ?=-?=-+?+L d u u M d u v M d v u N dδδδδ=+++ ()()()(u v uvr d u r d v n u n v d r n d r W r δδδδ=-+?+=?-=?. □根据线性变换理论，Weingarten 变换W 的2个特征值12,λλ都是实的(这2个特征值可能相等). 设12,p X X T S ∈分别是从属于它们的特征向量，即111()W X X λ= ，222()W X X λ= . 当12λλ≠时，12,X X所确定的切⽅向:du dv 和:u v δδ是唯⼀的，且相互正交. 当12λλ=时，p T S 中的任何⾮零向量都是特征向量. 因此仍然有两个相互正交的特征⽅向.定理3.3在曲⾯S 上任意⼀点p 处，W 的2个特征值12,λλ正好是曲⾯S 在p 点的主曲率，对应的特征⽅向是曲⾯S 在p 点的主⽅向.证明取p T S 的由W 的特征向量构成的单位正交基{}12,e e，使得111()W e e λ= ，222()W e e λ=， (3.12)并设12λλ≥.对任意⼀个单位切向量p e T S ∈，可设 12cos sin e e e θθ=+. (3.13)则有121122()cos ()sin ()cos sin W e W e W e e e θθλθλθ=+=+. (3.14)于是沿切⽅向e的法曲率为2211221212II ()()I (cos sin )(cos sin )cos sin .n n W e ee ee e e e κκθλθλθθθλθλθ?===?=+?+=+由12λλ≥可知2222121121()cos ()()sin n λλλλθκθλλλθλ≤+-==--≤，并且()n κθ在0θ=时取最⼤值1λ，在/2θπ=时取最⼩值2λ. 所以12,λλ就是曲⾯S 在p 点的主曲率12,κκ，相应的切⽅向12,e e就是主⽅向. □注1 由定理可知沿特征⽅向:du dv 的法曲率n κ就是对应于特征向量d r的特征值：II()()I nW dr dr dr drdr dr dr dr λκλ??====?? . 注2 曲⾯S 在每⼀点p 有2个主曲率12,κκ. 当12κκ≠时，只有2个主⽅向，它们相互正交. 此时可取2个单位特征向量12,e e. 当12κκ=时，任何⽅向都是主⽅向. 此时可任取2个正交的单位特征向量12,e e.定理3.4(Euler 公式) 设{}12,e e是p 点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为12,κκ.则对任意单位切向量12cos sin p X e e T S θθ=+∈，沿着X ⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. (3.15)在曲⾯S 上⼀点p 处，如果12κκλ==，则由Euler 公式可知沿任何切⽅向:du dv ，都有II In κλ==， (3.16)即II I λ=. 这样的点称为脐点(umbilical point). 此时在该点有:::L E M F N G λ===. (3.17)当0λ=时，该点称为平点(planar point)；当0λ≠时，该点称为圆点(circle point).定理1.1和定理1.2的推论曲⾯S 是平⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是平点；曲⾯S 是球⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是圆点.定义3.1 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的主⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条曲率线(curvature line).定理 3.5(Rodriques 定理) 曲⾯:(,)S r r u v =上⼀条正则曲线:(),()C u u t v v t ==是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线C ，()//()dn t dr t ，即((),())//((),())dn u t v t dr u t v t. 证明. 由定义，C 是曲率线，当且仅当对所有的t ，()dr t是Weingarten 变换的特征向量，即()()()()W dr t t dr t λ= ，也就是()()()()()dn t W dr t t dr t λ=-=-. □定理3.6 曲⾯S 上⼀条曲线C 是曲率线的充分必要条件是：曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成可展曲⾯.证明. 对曲⾯S 上任意⼀条曲线C ，曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成直纹⾯1:(,)((),())((),())S X X s t r u s v s t n u s v s ==+，其中s 是C 的弧长参数. 由于()()r s s α= 和()n s 是相互正交的单位向量，从⽽是线性⽆关的.1S 是可展曲⾯?()(),(),()0s n s n s α'≡()()()()(n s s s s n s λαµ'=+. 上式两边与()n t作内积可得()0s µ=，从⽽上式等价于 ()()()n s s s λα'=，这正好是曲线C 是曲率线的充分必要条件. □例3.1 求旋转⾯上的曲率线.解设旋转⾯的⽅程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =. 其中()0f v >，并且v 是经线的弧长参数，221f g ''+=. 则()sin ,cos ,0u r f u u =- ，()cos ,sin ,v r f u f u g '''=， ()cos ,sin ,u v r r f g u g u f '''?=- ，()cos ,sin ,n g u g u f '''=-. 由于()sin ,cos ,0u n g u u '=- ，()cos ,sin ,v n g u g u f ''''''=-，并且0f fg g ''''''+=，有0v v n r ?= ，0v v n r ?=. 所以u -曲线(纬线圆)和v -曲线(经线)都是曲率线. 当0g '=时，这个旋转⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. 当0g '≠时，1 g g f f -''''''=-. 如果f g f g a ''''''-=是常数，即经线是圆弧，则旋转⾯是球⾯.此时任何曲线都是曲率线. □例3.2 求可展曲⾯上的曲率线.解设可展曲⾯⽅程为(,)()()r u v a u vl u =+ . 已经知道它的单位法向量()n n u =与v ⽆关，沿着v -曲线(直母线)有0//v v n r =. 所以v -曲线是它的⼀族曲率线. 于是v -曲线的正交轨线是它的另⼀族曲率线. 如果可展曲⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. □课外作业：习题1，4，5§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算⼀、Gauss 曲率和平均曲率设曲⾯S 的参数⽅程为(,)r r u v =，,,E F G 和,,L M N 分别是S 的第⼀、第⼆类基本量. 引理设λ是(,)p u v 点的主曲率，则λ满⾜0L E M F M FN Gλλλλ--=--， (4.4)即λ是⼆次⽅程222()(2)()0EG F LG M F NE LN M λλ---++-=的根，也就是⽅程220H K λλ-+= (4.8)的根，其中222()LG M F NEH EG F -+=-，22LN MK EG F -=-，分别称为曲⾯S 的平均曲率(或中曲率)(mean curvature)和Gauss 曲率(或总曲率)(Gaussian curvature). 换句话说，H λ= (4.9)证明. 设:du dv 是对应的主⽅向. 则有()W dr dr λ=，即()()u v u u n du n dv r du r dv λ-+=+.分别⽤,u v r r与上式两边作内积，得()Ldu M dv Edu Fdv λ+=+，()M du Ndv Fdu Gdv λ+=+.所以主⽅向:du dv 满⾜ ()()0,()()0.L E d u M F d v M F d uN G d v λλλλ-+-=??-+-=? (4.3)由于,du dv 不全为零，可得(4.4)式. □设12,κκ是(,)p u v 点的两个主曲率. 由根与系数的关系可得12222L G M F N EH E G Fκκ-++==-，2122LN M K EG Fκκ-==-. (4.6-7)因此1H κ=+，2H κ=-(4.9)p 点是脐点的充分必要条件是在p 点成⽴20H K ==.注⽅程(4.4)即(4.8)是Weingarten 变换的特征⽅程，在保持定向的参数变换下保持不变. 事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. 因此平均曲率12()/2H κκ=+在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. ⽽Gauss 曲率12K κκ=在参数变换下保持不变.定理4.1 假定曲⾯S 是3r ≥次连续可微的. 则主曲率函数12,κκ是连续的，且在⾮脐点邻近是2r -次连续可微的. □在脐点，20K H=≥，12H κκ==. 从⽽由II I H =可知L H E =，M HF =，N H G =，(4.3)中的两个⽅程成为恒等式. 此时，任何⽅向都是主⽅向.在⾮脐点，分别⽤1λκ=和2λκ=代⼊(4.3)，得到相应的主⽅向1111:():()():()d u d vM F L E N G M F κκκκ=---=--- (4.10) 和2222:():()():()u v M F L E N G M F δδκκκκ=---=---. (4.11)将(4.3)改写成()()0,()()0.L d u M d v E d u F d v M d u N d v F d uG d v λλ+-+=??+-+=? (4.12)由于1,λ-不全为零，有 0Ldu M dv E du F dv M du N dv F du G dv++=++， (4.14)即22()()()0FL EM du G L EN dudv G M FN dv -+-+-=. (4.15) 上式可写成220dv dudv du E F G LMN-=. (4.16)(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲⾯上曲率线的微分⽅程.定理4.2 设p 是曲⾯:(,)S r r u v =上⼀个固定点，它的曲纹坐标为00(,)u v . 则在该点参数曲线的切⽅向是相互正交的主⽅向，当且仅当在该点有00(,)0F u v =，00(,)0M u v =. 此时，曲⾯S 在该点的两个主曲率分别为00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=.证明必要性. 在00(,)p u v 点，u -曲线和v -曲线相互正交，故000000(,)(,)(,)0u v F u vr u v r u v =?=. (1) ⼜00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量，故()0000100(,)(,)(,)u u un u v W r u v r u v κ-==， ()0000200(,)(,)(,)v v vn u v W r u v r u v κ-==. 分别⽤,u v r r与上⾯两式作内积得00(,)0M u v =，并且00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=. (4.17)充分性. 由条件，0000(,)(,)0u v r u v r u v ?= ，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v相互正交. ⼜00000000(,)(,)(,)(,)0u v v u n u v r u v n u v r u v ?=?=.因此()000000(,)(,)//(,)u u u n u v W r u v r u v -= ，()000000(,)(,)//(,)v v vn u v W r u v r u v -=，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量. □下⾯的两个定理是定理4.2的直接推论.定理4.3 参数曲线⽹是正交的曲率线⽹的充分必要条件是0F M ==，此时222212I ,II Edu G dv Edu G dv κκ=+=+. (4.18) 定理4.4 在⾮脐点，定理4.3中的参数曲线⽹局部总是存在的. □注若曲⾯S 上没有脐点，则可取正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹. 事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主⽅向:du dv 和:u v δδ. 从⽽有两个相互正交的⾮零向量场u v dr r du r dv =+ 和u v r r u r v δδδ=+，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线⽹是存在的.若曲⾯S 上的点都是脐点，则曲⾯上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线⽹都是曲率线⽹. 但是在孤⽴脐点邻近，未必有正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹.⼆、W eingarten 变换在⾃然基底下的矩阵我们知道{},u v r r是切空间p T S 的基，称为p T S 的⾃然基. 在这组基下，设Weingarten 变换的矩阵为11211222a a A a a ??=，即()()()11211222,(),(),u v u v u v a a n n W r W r r r a a ??--==， (4.19) 也就是11122122(),().u u u v v v u v n W r a r a r n W r a r a r -==+??-==+? 分别⽤,u v r r与上⾯⼆式作内积得11211222a a L M E F a a MN FG ??= ? ? ???. 因此11121212221a aE F LM G F LM A a a F G MN FE MN EG F --===--21G L F M G M F NE MF L E NF ME GF --??=---. (4.21) 代⼊(4.19)得()()1,,u v u v E F L M W r r r r F G MN -=()21,u v G L FM G M FN r r EM FL EN FM EG F --?=---. (4.22)我们知道Weingarten 变换W 的特征多项式 ()10()d e t 0EF L M f I A FG M N λλλλ-=-=- ?121E F E L F M E L F MF GF MG NF MG NEG F λλλλλλλλ-----==-----.其中I 是单位矩阵. W 的特征值12,κκ是特征多项式()f λ的根，与基的取法⽆关，从⽽Gauss 曲率2122det LN M K A EG Fκκ-===-和平均曲率12212trace 222()LG M F NE H A EG F κκ+-+===-与参数取法⽆关，是曲⾯的⼏何不变量.Gauss 曲率K 的⼏何意义：从(4.19)可得1112212211221221()()()u v u v u v u v u v n n a r a r a r a r a a a a r r K r r ?=+?+=-?=? .因此曲⾯S 上⼀个区域D 在Gauss 映射g 下的像()g D 的⾯积元素 0||||||||u v u v d n n dudv K r r dudv K d σσ=?=?= . (4.23)所以()g D 的⾯积()0()||()g D DA d K d g D σσ==.根据积分中值定理，存在pD ∈使得 ()|()|||()()()DA K pd K p A D g D σ==? .让区域D 收缩到⼀点p D ∈，取极限得到(())|()|lim()D pA g D K p A D →=. (4.25)这个公式是曲线论中||()limlim||s s s s sθθκ?→?→??==??的⼀个推⼴,其中θ?是曲线上⼀段由s 到s ?的弧在切线像α下的弧长.三、第三基本形式定义设(,)n u v 是曲⾯:(,)S r r u v =的单位法向量. ⼆次微分式22III 2dn dn e du f dudv g dv =?=++ (4.27)称为曲⾯S 的第三基本形式，其中()()22,,u u v v e n f n n g n ==?= . (4.28)注利⽤Gauss 映射，第三基本形式0III I g *=，其中0I 是单位球⾯2S 的第⼀基本形式. 定理4.5 曲⾯:(,)S r r u v =上的三个基本形式满⾜III 2II I 0H K -+=. 证明因为Weingarten 变换W 的特征多项式为2()2f H K λλλ=-+，所以 220W H W K I -+=.其中::p pI T S T S X X →是单位变换. 于是有 ()()()()()2()()()(2)()22.u u u u u u u uu u u e n n W r W r W r r H W K I r r H n K r r H L K E =?=?=?=-?=--?=-同理可得2u v f n n HM KF =?=- ，2u v g n n HN KG =?=-课外作业：习题2，4，6§ 4.5 Dupin 标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开设(,)p u v 是曲⾯:(,)S r r u v = 上⼀个固定点，12,e e是p 点的两个相互正交的单位主向量 (即Weingarten 变换的特征向量)，对应的主曲率为12,κκ. 对单位切向量12cos sin e e e θθ=+([0,2]θπ∈)，沿该⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. 当()0n κθ≠时，在p 点的切平⾯π中取⼀点q 使得)1211cos sin pq e e θθ==+. (5.3)p 点切平⾯π中这样的点q 的轨迹称为曲⾯S 在p 点的Dupin 标形(或标线indicatrix ).在平⾯π中取直⾓标架{}12;,p e e, 现在来导出Dupin 标线的⽅程.设轨迹上的点q 在此坐标系中的坐标为(,)x y . 则)1212cos sin xe ye pq e e θθ+==+.因此1x θ=，1y θ=. (5.4)由Euler 公式得到2212sgn(())n x y κκκθ+=. (5.5)这就是Dupin 标线的直⾓坐标⽅程，它是平⾯π中的⼆次曲线. 如果在平⾯π中取极坐标系，那么Dupin 标线的极坐标⽅程可由(5.3)⽴即得到：()ρρθ==当p 点的Gauss 曲率120K κκ=>时，()n κθ，1κ，2κ同号，Dupin 标线(5.5)是⼀个椭圆2212||||1x y κκ+=. (5.6) 当120K κκ=<时，1κ，2κ异号，Dupin 标线(5.5)是两对共轭双曲线2212||||1x y κκ-=±. (5.7)它们的公共渐近线的⽅向正是曲⾯S 在p 点的渐近⽅向00:cos :sin du dv θθ=.当120K κκ==时，若1κ，2κ不全为零，Dupin 标线(5.5)是两条平⾏直线x =±(20κ=) 或y =±(10κ=). (5.8)当p 点为平点，即120κκ==时，Dupin 标线不存在.定义. 设p S ∈，若()0K p >，则称p 点为曲⾯S 上的椭圆点；若()0K p <，则称p 点为曲⾯S 上的双曲点；若()0K p =，则称p 点为曲⾯S 上的抛物点.下⾯考察曲⾯S 在⼀点p 邻近的形状. 在p 点邻近取正交参数曲线⽹(,)u v ，使得p 点对应的参数为(0,0)，且(0,0)u r，(0,0)v r是p 点的两个单位主向量. 则(0,0)(0,0)(0,0)u v n r r =?，且在p 点有(0,0)(0,0)E G ==，(0,0)(0,0)0F M ==，1(0,0)L κ=，2(0,0)N κ=. (5.9)以标架{}123;(0,0),(0,0),(0,0)u v p e r e r e n === 建⽴3E 的坐标系. 根据Taylor 公式，(,)(0,0)(0,0)(0uvr u v r r u r v =++22212(0,0)2(0,0)(0,0)()u u u v v v r u r u v r v o ρ??+ +++?, (5.10)其中ρ=. 由于(0,0)0r p p == ，31(0,0)(0,0)uu r e L κ?==， 3(0,0)(0,0)0uv r e M ?==，32(0,0)(0,0)vv r e N κ?==， (5.11)(5.10)可化为()()()2221121232(,)()()()r u v u o e v o e u v oe ρρκκρ=++++++. (5.12)(5.12)称为曲⾯S 在p 点的标准展开.当ρ=我们得到S 的近似曲⾯S *，在标架{}123;,,p e e e 下，S *的参数⽅程为()221122(,),,()r u v u v u v κκ*=+ ，显式⽅程为 221122()z x y κκ=+. (5.14)直接计算可知近似曲⾯S *与原曲⾯S 在p 点相切(即它们的切平⾯相同). 并且沿着p 点切空间的任何相同的切⽅向，两者有相同的法曲率，即在p 点具有公共切⽅向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲⽅向.在椭圆点p ，近似曲⾯S *是椭圆抛物⾯. S *在p 点是凸的.在双曲点p ，S *是双曲抛物⾯. S *在p 点不是凸的，且p 点的切平⾯与S *相交成两条直线，它们是S *上过p 点的两条渐近曲线.在⾮平点的抛物点p ，S *是抛物柱⾯，p 点的切平⾯与S *相交成⼀条直线，是S *上过p 点的渐近曲线.在平点p ，S *是平⾯. 此时，要考察曲⾯S 的近似形状，需要将Taylor 展式(5.10)展开到更⾼阶的项. 见例5.2.⽤平⾯12z =±去截近似曲⾯S *，再投影到p 点的切平⾯上，就得到p 点的Dupin 标线.例5.1 考察圆环⾯()(cos )cos ,(cos )sin ,sin r a r u v a r u v r u =++，2(,)u v ∈R上各种类型点的分布，其中常数,a r 满⾜0a r >>.解 ()sin cos ,sin sin ,cos u r r u v u v u =-- ，()(cos )sin ,cos ,0v r a r u v v =+-， ()(cos )cos cos ,cos sin ,sin u v r r r a r u u v u v u ?=-+ ，()cos cos ,cos sin ,sin n u v u v u =-.()1sin cos ,sin sin ,cos u u n u v u v u r r =-=- ，()cos cos sin ,cos ,0cos v v u n u v v r a r u=-=-+.所以两个主曲率为121cos ,cos u r a r uκκ=-=-+.Gauss 曲率和平均曲率分别为其中0a ≥. 它的母线是xO z 平⾯上的曲线：()z f x =. 则由()cos ,sin ,()u r v v f u '= ，()sin ,cos ,0v r u v u v =-.)()cos ,()sin ,1n f u v f u v ''=-- ，()0,0,()uu r f u ''= ，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v u v =--.可得()21E f '=+，0F =，2G u =， (6.2)L ''=，0M =，N '=. (6.3)因此参数曲线⽹是正交的曲率线⽹. 由定理4.2，主曲率为()13/221L f E f κ''=='+， ()21/221N f Gu f κ'=='+.于是Gauss 曲率和平均曲率分别为 ()221f f K u f '''='+， ()23/22(1)21f f uf H u f ''''++='+. (6.4)⼀、Gauss 曲率K 为常数的旋转曲⾯如果K 是常数，则函数()f u 应满⾜()2211K u f ''=-??'+??. (6.5) 积分得到2211C K u f =-'+， (6.6)其中C 为积分常数. 即有2221C Ku f C Ku-+'=-.于是()f u =±?. (6.7)1.若0K =，则()f u Au B =+，其中A =，B 为积分常数. 当0A =时，S 是平⾯；当0A ≠时，S 是圆锥⾯. 另⼀个0K =的旋转曲⾯是圆柱⾯()cos ,sin ,r a v a v u =，它不能写成(6.1)的形式.2.若0K >，令21a K =(0a >). 则由(6.6)可知0C >. 设2C b =(0b >). (6.7)化为()f u =±?. (6.9)若21b =，则()f u c =±=+?. (6.10)于是S 是由xO z 平⾯上的半圆弧222()x z c a +-=(0x u =>)绕z 轴旋转⽽成的球⾯.当21b >或201b <<时，由(6.9)定义的函数()f u 仍然存在，但旋转曲⾯S 不是球⾯，虽然S 的Gauss 曲率也是常数21a K =.3.若0K <，令21aK =-(0a >).则由(6.6)可知1C <.设21C b =-(0b >). (6.7)可化为()f u =±?. (6.11)若21b =，则[]()ln(sec tan )sin f u a c u=±=±+-+?，其中arccosu a=. 不妨设积分常数0c =. 则旋转曲⾯S 的母线是xO z 平⾯上的两条曳物线[]c o s ,l n (s ec t a n )s i n .x u az a ==??=±+-? (6.13)其中0z >的⼀⽀绕z 轴旋转⽽得的旋转曲⾯S 称为伪球⾯，它的参数⽅程为[]()c o s c o s ,c o s s i n ,l n (s e c t a n )s i n r a a a ?θ?θ=+-， (,)(0,/2)(0,?θππ∈?. (6.14)当21b >或201b <<时，由(6.11)定义的函数()f u 给出Gauss 曲率为负常数的旋转曲⾯的其他例⼦.⼆、旋转极⼩曲⾯平均曲率0H ≡的曲⾯称为极⼩曲⾯. 现在我们来研究有哪些旋转极⼩曲⾯. 由(6.4)可知函数()f u 应满⾜2(1)0f f uf ''''++=. (6.16)也就是()211f uf f ''=-''+.则()()222222ln()ln(1)2ln 1f f f f u uf f '''''''??-+==-=-??'+.积分得2221f Cf u'='+， (6.17)其中积分常数0C ≥.如果0C =，则()f u A =是常数，从⽽S 是平⾯z A =.如果2C a =，0a >. 则22211u C f u-='+，即f '=±故(()ln f u a u c ??=±=±++. (6.19)不妨设积分常数ln c a =-. 令(ln ua. 则cosh u a t =，S 的参数⽅程可改写为()cosh cos ,cosh sin ,r a t v a t v at =，(,)(0,2)t v π∈? .这个旋转极⼩曲⾯S 称为悬链⾯.⽤变分法可以证明，如果在所有以给定曲线C 为边界的曲⾯中，S 的⾯积达到最⼩值，则S ⼀定是极⼩曲⾯.极⼩曲⾯是微分⼏何研究的重要课题之⼀. ⼀百多年来，数学家们在关于以已知曲线为边界的极⼩曲⾯的存在性的Plateau 问题，⼤范围极⼩曲⾯的性质，极⼩曲⾯在⾼维的推⼴⽅⾯作了⼤量的⼯作，取得了丰富的成果.在极⼩曲⾯上，Gauss 曲率21210K κκκ==-≤，只有平点或双曲点. 在双曲点，2个渐进⽅向是正交的. 事实上，根据Euler 公式，渐近⽅向与主⽅向的夹⾓θ满⾜cos 20θ=.著名的Bernstein 定理是说：极⼩图只能是平⾯，即习题6中的⼆阶偏微分⽅程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=的定义在全平⾯上的解只能是线性函数.平均曲率H 为⾮零常数的曲⾯，即常平均曲率曲⾯，也是微分⼏何研究的⼀个重要课题. 课外作业：习题2，4，6。

第1讲 空间几何体高考《考试大纲》的要求：① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲：例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ）A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )A ．π2B ．π23C ．π332D ．π21例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

（二）基础训练：1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ）（A(B) 6R π(C)56R π(D) 23R π①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥C3．若一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．4. 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为___________，球心到平面ABC 的距离为________ 5．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.（三）巩固练习：1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（ ）（A ）π3 （B ）π33 （C ）π6 （D ）π92、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π3.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A.34 B.45 C.35 D.－35 4．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）（A ）31 （B ）33 （C ）32 （D）36 5.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（）A ．3 B ．13π C．23π D ．36.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于________7．请您设计一个帐篷。

空间几何体知识讲解一、构成空间几何体的基本元素1.几何体的概念概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C L ，，来命名；（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l L ，，或用直线上两个点AB PQ L ，表示； 一条直线把平面分成两个部分．（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；DCBAα其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母αβγL ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分．3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．二、多面体的结构特征1.多面体1）多面体的定义由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．2.棱柱1）棱柱的定义由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．D C BAHA 'D 'B 'C'2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． 3）棱柱的分类按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4）棱柱的记法①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； ②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱''''ABCD A B C D 或棱柱'AC 等． 5）特殊的四棱柱：平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体3.棱锥1）棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高． 2）棱锥的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．对角面SACE高侧棱侧面底面ABCDEHSDCBA3）棱锥的记法用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥S ABCDE -或棱锥S AC -．4.棱台1）棱台的定义棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． 2）棱台的性质棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示． 4）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．HH'O'OC'B'A'CBA右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O ，O '为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．三、旋转体的结构与特征1.圆柱、圆锥和圆台定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示． 性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．SOO'OAA'A2.球球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．四、三视图1.投影定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMlF 'M '2.平行投影定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3.正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．4.中心投影定义：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．5.三视图1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）.2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）.3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图.将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图主视图5.三视图的对应关系关系：正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．五、直观图1.定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法2.斜二测画法规则1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） 2）画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 3）已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．五、简单空间几何体的表面积和体积1.直棱柱与圆柱的侧面积()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积11''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积1(')'(')'22nS c c h a a h =+=+正棱台侧，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高；4.球面面积：24πS R =球，R 为球的半径．5.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；6.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；7.台体（棱台，圆台）的体积公式： 1(')3V h S S =+台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；8.球的体积公式：34π3V R 球，R 为球的半径典型例题一．选择题（共8小题）1．（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．2．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选：B．3．（2018•郑州一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．4．（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C． D．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．5．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．6．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．7．（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．8．（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．二．填空题（共4小题）9．（2017•上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．10．（2011•南通三模）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为11．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．12．（2015•盐城校级模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为2π．【解答】解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．三．解答题（共3小题）13．（1965•全国）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．【解答】解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为2a．底面边长为a，故底面积，棱锥的高，故正六棱锥的体积，，=．14．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积．【解答】解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为a，设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（a﹣R）2，∴R=a，∴外接球的体积为=；（2）设内切球的半径为r，则，∴r=a∴表面积为4πr2=．15．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．【解答】解：（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，由各个侧面都是矩形，得出侧棱垂直于底面，是直棱柱；所以这样的几何体是正六棱柱；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形，这样的几何体是正四棱锥．。